Lição 9 — Taxa de variação média — porta de entrada do cálculo

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 3]$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 5]$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[2, 4]$.

Calcule a TVM de $g(x) = 3x - 5$ em $[0, 10]$. Verifique que é igual à inclinação $a = 3$ da reta.

Calcule a TVM de $g(x) = 2x + 7$ em $[10, 20]$.

Calcule a TVM de $f(x) = \sqrt{x}$ no intervalo $[4, 9]$.

Calcule a TVM de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ no intervalo $[1, 4]$.

Mostre que a TVM de $f(x) = c$ (constante) em qualquer intervalo $[a, b]$ é zero. Explique geometricamente.

Um carro percorre $s(t) = 4t^2$ metros em $t$ segundos. Calcule a velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$.

A altura de uma bola lançada vertical é $h(t) = 20t - 5t^2$ (m, s). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 2$. (b) Entre $t = 0$ e $t = 4$. (c) Interprete a "média" nula do item (b).

Calcule a TVM de $f(x) = \sin(x)$ em $[0, \pi/2]$ e em $[\pi/2, \pi]$. Compare e interprete.

Calcule a TVM de $f(x) = e^x$ em $[0, 1]$ e em $[1, 2]$. Por que a segunda é maior?

Pré-derivada. Para $f(x) = x^2$, encontre a TVM no intervalo $[a, a+h]$ em função de $a$ e $h$. O que acontece quando $h \to 0$?

Para $f(x) = x^3$, encontre a TVM no intervalo $[a, a+h]$. O que ocorre quando $h \to 0$?

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ em (a) $[1, 2]$; (b) $[1, 1{,}5]$; (c) $[1, 1{,}1]$; (d) $[1, 1{,}01]$. Para qual valor as TVMs convergem? Essa convergência é a derivada $f'(1)$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^3$ em $[2, 2{,}5]$, $[2, 2{,}1]$, $[2, 2{,}01]$. Estime $f'(2)$.

Para $f(x) = 1/x$, calcule a TVM em $[1, 1+h]$ e simplifique algebricamente. O que ocorre quando $h \to 0$?

Para $f(x) = x^2 + 3x$, calcule a TVM em $[1, 1+h]$ em função de $h$. Para qual valor a TVM tende quando $h \to 0$?

Conceitual. Para $f(x) = x^2$, qual das expressões abaixo descreve corretamente a TVM em $[a, a+h]$ e o seu limite quando $h \to 0$?

Em quais intervalos a TVM de $f(x) = x^3$ é positiva? Negativa? (Pista: $f$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$.)

Conceitual: simetria. Qual é a TVM de uma função par $f$ no intervalo $[-a, a]$?

Pegadinha clássica. A TVM de uma função ímpar em $[-a, a]$ é zero? Justifique — e compare com o caso par.

A TVM de $f(x) = |x|$ em $[-1, 1]$ é zero. A TVM em $[0, 1]$ é $1$. A TVM em $[-1, 0]$ é $-1$. O que isso revela sobre o gráfico no ponto $x = 0$?

A função $f$ é monótona crescente em $[a, b]$ se e somente se a TVM em qualquer subintervalo $[c, d] \subset [a, b]$ é positiva. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Dê exemplo de uma função com TVM $= 0$ em $[0, 2]$ que não seja constante. (Existem muitas — uma simples.)

Demonstre: a TVM de $f(x) = ax^2 + bx + c$ em $[p, q]$ é $a(p + q) + b$. (Use a fórmula direta, sem derivada.)

Demonstre que a TVM de qualquer função afim em qualquer intervalo é igual ao seu coeficiente angular.

Demonstre: a TVM de $f + g$ em $[a, b]$ é a soma das TVMs de $f$ e $g$ em $[a, b]$.

Prove que a TVM de $kf$ em $[a, b]$ é $k$ vezes a TVM de $f$. Aplique com $f(x) = x^2$, $k = 3$, $[1, 4]$.

Desafio. Para $f(x) = \sqrt{x}$, calcule a TVM em $[a, a+h]$ e simplifique rationalizando o numerador. O que você obtém quando $h \to 0$?

Um carro percorre 120 km em 1,5 h. Qual a velocidade média?

A posição de uma partícula é $s(t) = 4t^2$ (m). Velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$?

Um corredor percorre $s(t) = 0{,}5t^2 + 2t$ (km). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 1$? (b) Entre $t = 0$ e $t = 2$? (c) Por que a segunda é maior?

A população de uma cidade era 50.000 em 2010 e 75.000 em 2020. (a) TVM anual média? (b) Projeção para 2030 mantida a mesma taxa?

O PIB do Brasil cresceu de R$ 5,5 tri em 2010 a R$ 8,3 tri em 2020 (valores constantes). Calcule a TVM linear anual. Por que ela é uma aproximação grosseira?

A receita de uma empresa cresceu de R$ 2 milhões para R$ 3,5 milhões em 5 anos. Qual a TVM mensal?

Em farmacocinética, concentração no sangue: $C(t) = 100\, e^{-0{,}3t}$. TVM em $[0, 2]$? E em $[2, 4]$? Compare as magnitudes.

Crescimento de bactérias: $N(t) = 1\,000 \cdot 2^t$ (horas). TVM em $[0, 3]$? Em $[3, 6]$? Por que a segunda é exatamente 8× maior?

A inflação acumulada em 12 meses foi de 4,8%. Qual a inflação média mensal? (Cuidado: inflação compõe.)

Empresa tem custo $C(q) = 0{,}5q^2 + 30q + 200$. Calcule a TVM em $[10, 11]$ (= custo marginal aproximado da 11.ª unidade).

Numa corrida de 100 m, o atleta percorre os primeiros 30 m em 4,5 s e os últimos 70 m em 5,5 s. Velocidade média nos (a) primeiros 30 m; (b) últimos 70 m; (c) corrida toda. Onde correu mais rápido?

A altura de uma pedra é $h(t) = 100 - 5t^2$ (m). Velocidade média em $[0, 2]$? E em $[2,\, t_\text{impacto}]$, sendo $t_\text{impacto}$ quando $h = 0$?

Dois sensores de tráfego estão a 1 km de distância. Um carro passa pelo primeiro e pelo segundo com intervalo de 50 s. Calcule $v_m$ em km/h.

Um índice subiu de 100 para 144 em 4 anos. (a) Retorno acumulado (%)? (b) Retorno anualizado (composto)?

A temperatura desceu de $28\,°C$ às 14h para $20\,°C$ às 22h. Calcule a TVM (°C/h). Discuta a validade do modelo linear para temperatura ao longo de 8 horas.

A população $P(t) = 1\,000\, e^{0{,}03t}$ (habitantes). TVM entre $t = 0$ e $t = 10$? E entre $t = 10$ e $t = 20$? Qual é maior e por quê?

ENEM-style. Um carro percorre 100 km em 54 minutos em rodovia com limite de 110 km/h. Justifique por que o motorista necessariamente excedeu o limite em algum instante.

Para $f(x) = \sqrt{x}$, calcule a TVM em $[4, 4{,}1]$, $[4, 4{,}01]$, $[4, 4{,}001]$. Para qual valor as TVMs convergem? Interprete como $f'(4)$.

Calcule a TVM de $f(x) = e^x$ em $[\ln 2,\, \ln 3]$. Expresse o resultado em forma fechada. Para qual valor a TVM tende quando $b \to a$?

Integração conceitual. Para $f(x) = e^x$, a TVM em $[0, 1]$ é $e - 1 \approx 1{,}718$. A derivada de $f$ no intervalo varia de $f'(0) = 1$ a $f'(1) = e \approx 2{,}718$. Como reconciliar a TVM com esses valores? (Pista: Teorema do Valor Médio.)