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v1 · padrão canônico

Lesson 24 — Equation of a circle

Reduced form (x-a)² + (y-b)² = r². General form. Relative position between line and circle. Tangents and power of a point.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Equação reduzida da circunferência de centro (a,b)(a, b) e raio r>0r > 0. Vem direto da definição: o conjunto de todos os pontos do plano a distância exata rr do centro. Elevar ao quadrado a fórmula da distância elimina a raiz quadrada e produz esta forma polinomial.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e propriedades

"Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa, chamada raio, de um ponto fixo, chamado centro da circunferência." — Stitz–Zeager Precalculus §7.2

Elevando ambos os lados ao quadrado (ambos não-negativos, portanto equivalente):

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
what this means · Equação reduzida da circunferência. Cada ponto (x, y) da curva satisfaz esta igualdade.

Forma geral

Expandindo a forma reduzida:

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
what this means · Forma geral da equação de circunferência. D = -2a, E = -2b, F = a² + b² - r².

Recuperação dos parâmetros (sem completar quadrado):

  • Centro: (a,b)=(−D/2, −E/2)(a, b) = (-D/2,\ -E/2)
  • Raio: r=D2/4+E2/4−Fr = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F} — existe real somente se D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0.
xyC = (a, b)r(x, y)

Circunferência de centro C=(a,b)C = (a, b) e raio rr. Todo ponto da curva está à distância rr de CC.

Posição relativa — reta e circunferência

Seja dd a distância do centro CC à reta ℓ\ell.

Posição relativa — dois círculos

Sejam C1,C2C_1, C_2 de raios r1,r2r_1, r_2 com distância d=∣C1C2∣d = |C_1 C_2|.

PosiçãoCritério
Externos disjuntosd>r1+r2d > r_1 + r_2
Tangentes externamented=r1+r2d = r_1 + r_2
Secantes∣r1−r2∣<d<r1+r2\lvert r_1 - r_2 \rvert < d < r_1 + r_2
Tangentes internamented=∣r1−r2∣d = \lvert r_1 - r_2 \rvert
Um dentro do outrod<∣r1−r2∣d < \lvert r_1 - r_2 \rvert

Tangente em ponto da curva

Potência de ponto

Exemplos resolvidos

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 7Modeling 7Challenge 1
  1. Ex. 24.1Understanding

    Que caso especial da elipse ocorre quando o eixo maior e o eixo menor têm o mesmo comprimento?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 3
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    Quando os eixos maior e menor têm o mesmo comprimento temos a=ba=b; a elipse x2a2+y2a2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 vira x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, uma circunferência de raio aa.
  2. Ex. 24.2UnderstandingAnswer key

    No caso especial da questão anterior, o que é verdadeiro sobre os focos dessa elipse?

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    Para a circunferência c2=a2−b2=0c^2=a^2-b^2=0, logo c=0c=0 e os dois focos coincidem no centro.
  3. Ex. 24.3Understanding

    O que se pode dizer sobre a simetria do gráfico de uma elipse com centro na origem e focos ao longo do eixo yy?

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    Com centro na origem, trocar xx por −x-x ou yy por −y-y não altera a equação (só há termos ao quadrado), então há simetria em relação aos dois eixos.
  4. Ex. 24.4Application

    Determine se 4x2+9y2=364x^2 + 9y^2 = 36 representa uma elipse. Em caso afirmativo, escreva-a na forma padrão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 7
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    Dividindo 4x2+9y2=364x^2+9y^2=36 por 3636 obtemos x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 — forma padrão de elipse.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dividir tudo por 3636: 4x236+9y236=1\frac{4x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=1.
    2. Simplificar: x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.
    3. Como ambos os coeficientes são positivos e distintos, é uma elipse.
  5. Ex. 24.5Application

    Determine se 4x2−y2=44x^2 - y^2 = 4 representa uma elipse.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 8
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    Os coeficientes de x2x^2 e y2y^2 têm sinais opostos em 4x2−y2=44x^2-y^2=4, o que caracteriza uma hipérbole, não uma elipse.
  6. Ex. 24.6ApplicationAnswer key

    Determine se 4x2+9y2=14x^2 + 9y^2 = 1 representa uma elipse. Em caso afirmativo, escreva-a na forma padrão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 9
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    Escrevendo 4x2+9y2=14x^2+9y^2=1 como x21/4+y21/9=1\frac{x^2}{1/4}+\frac{y^2}{1/9}=1, vemos a forma padrão de uma elipse com a=1/2a=1/2, b=1/3b=1/3.
  7. Ex. 24.7ApplicationAnswer key

    Determine se 4x2−8x+9y2−72y+112=04x^2 - 8x + 9y^2 - 72y + 112 = 0 representa uma elipse. Em caso afirmativo, escreva-a na forma padrão.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 10
    Show solution
    Completando quadrados em 4x2−8x+9y2−72y+112=04x^2-8x+9y^2-72y+112=0 chega-se a 4(x−1)2+9(y−4)2=364(x-1)^2+9(y-4)^2=36; dividindo por 3636, (x−1)29+(y−4)24=1\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-4)^2}{4}=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Agrupar: 4(x2−2x)+9(y2−8y)=−1124(x^2-2x)+9(y^2-8y)=-112.
    2. Completar quadrados: 4(x−1)2−4+9(y−4)2−144=−1124(x-1)^2-4+9(y-4)^2-144=-112.
    3. Reorganizar: 4(x−1)2+9(y−4)2=364(x-1)^2+9(y-4)^2=36.
    4. Dividir por 3636: (x−1)29+(y−4)24=1\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-4)^2}{4}=1.
  8. Ex. 24.8Application

    Para a elipse x24+y249=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{49} = 1, identifique os extremos dos eixos maior e menor e os focos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 11
    Show solution
    Aqui a2=49a^2=49 (eixo maior vertical), b2=4b^2=4, então c=49−4=35c=\sqrt{49-4}=3\sqrt 5. Vértices em (0,±7)(0,\pm 7), extremos do eixo menor em (±2,0)(\pm 2,0), focos em (0,±35)(0,\pm 3\sqrt 5).
  9. Ex. 24.9Application

    Para a elipse x2100+y264=1\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1, identifique os extremos dos eixos e os focos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 12
    Show solution
    Com a2=100a^2=100, b2=64b^2=64, temos c=100−64=6c=\sqrt{100-64}=6. Eixo maior horizontal: vértices (±10,0)(\pm 10,0), extremos menores (0,±8)(0,\pm 8), focos (±6,0)(\pm 6,0).
  10. Ex. 24.10Application

    Escreva x2+9y2=1x^2 + 9y^2 = 1 na forma padrão e identifique os focos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 13
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    De x2+9y2=1x^2+9y^2=1 obtemos x21+y21/9=1\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1/9}=1, com a2=1a^2=1, b2=1/9b^2=1/9 e c=1−1/9=223c=\sqrt{1-1/9}=\frac{2\sqrt 2}{3}.
  11. Ex. 24.11Application

    Escreva 4x2+16y2=14x^2 + 16y^2 = 1 na forma padrão da elipse.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 14
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    De 4x2+16y2=14x^2+16y^2=1 vem x21/4+y21/16=1\frac{x^2}{1/4}+\frac{y^2}{1/16}=1, com a=1/2a=1/2, b=1/4b=1/4.
  12. Ex. 24.12Application

    Identifique centro, vértices e focos da elipse (x−2)249+(y−4)225=1\frac{(x-2)^2}{49} + \frac{(y-4)^2}{25} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 15
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    Centro (2,4)(2,4), a2=49a^2=49 (horizontal), b2=25b^2=25, c=49−25=26c=\sqrt{49-25}=2\sqrt 6. Vértices em (2±7,4)(2\pm 7,4), focos em (2±26,4)(2\pm 2\sqrt 6,4).
  13. Ex. 24.13Application

    Identifique centro e focos da elipse (x−2)281+(y+1)216=1\frac{(x-2)^2}{81} + \frac{(y+1)^2}{16} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 16
    Show solution
    Centro (2,−1)(2,-1), a2=81a^2=81 (horizontal), b2=16b^2=16, c=81−16=65c=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}. Focos em (2±65,−1)(2\pm\sqrt{65},-1).
  14. Ex. 24.14Application

    Identifique centro e focos da elipse (x+5)24+(y−7)29=1\frac{(x+5)^2}{4} + \frac{(y-7)^2}{9} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 17
    Show solution
    Centro (−5,7)(-5,7), a2=9a^2=9 (vertical), b2=4b^2=4, c=9−4=5c=\sqrt{9-4}=\sqrt 5. Focos em (−5,7±5)(-5,7\pm\sqrt 5).
  15. Ex. 24.15UnderstandingAnswer key

    Descreva a natureza da curva (x−7)249+(y−7)249=1\frac{(x-7)^2}{49} + \frac{(y-7)^2}{49} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 18
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    Como a2=b2=49a^2=b^2=49, a equação vira (x−7)2+(y−7)2=49(x-7)^2+(y-7)^2=49: circunferência de centro (7,7)(7,7) e raio 77.
  16. Ex. 24.16Application

    Escreva 4x2−8x+9y2−72y+112=04x^2 - 8x + 9y^2 - 72y + 112 = 0 na forma padrão e indique o centro.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 19
    Show solution
    Completando quadrados em 4x2−8x+9y2−72y+112=04x^2-8x+9y^2-72y+112=0: 4(x−1)2+9(y−4)2=364(x-1)^2+9(y-4)^2=36, ou seja (x−1)29+(y−4)24=1\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-4)^2}{4}=1, centro (1,4)(1,4).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Agrupar: 4(x2−2x)+9(y2−8y)=−1124(x^2-2x)+9(y^2-8y)=-112.
    2. Completar quadrados: 4(x−1)2+9(y−4)2=364(x-1)^2+9(y-4)^2=36.
    3. Dividir por 3636 para a forma padrão.
  17. Ex. 24.17Understanding

    Classifique e descreva a curva 9x2−54x+9y2−54y+81=09x^2 - 54x + 9y^2 - 54y + 81 = 0.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 20
    Show solution
    Dividindo por 99 e completando quadrados em 9x2−54x+9y2−54y+81=09x^2-54x+9y^2-54y+81=0 obtém-se (x−3)2+(y−3)2=9(x-3)^2+(y-3)^2=9: circunferência de centro (3,3)(3,3) e raio 33.
  18. Ex. 24.18Application

    Encontre os focos da elipse (x+3)225+(y+1)236=1\frac{(x+3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{36} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 27
    Show solution
    Aqui a2=36a^2=36 (vertical), b2=25b^2=25, c=36−25=11c=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}; focos em (−3,−1±11)(-3,-1\pm\sqrt{11}).
  19. Ex. 24.19ApplicationAnswer key

    Encontre os focos da elipse (x+1)2100+(y−2)24=1\frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 28
    Show solution
    Com a2=100a^2=100 (horizontal), b2=4b^2=4, c=100−4=46c=\sqrt{100-4}=4\sqrt 6; focos em (−1±46,2)(-1\pm 4\sqrt 6,2).
  20. Ex. 24.20UnderstandingAnswer key

    Encontre os focos da curva x2+y2=1x^2 + y^2 = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 29
    Show solution
    x2+y2=1x^2+y^2=1 é a circunferência unitária; como a=b=1a=b=1, c=0c=0 e os focos coincidem na origem.
  21. Ex. 24.21Modeling

    Encontre o centro e a orientação do eixo maior da elipse x2+4y2+4x+8y=1x^2 + 4y^2 + 4x + 8y = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 30
    Show solution
    Completando quadrados em x2+4y2+4x+8y=1x^2+4y^2+4x+8y=1: (x+2)2+4(y+1)2=9(x+2)^2+4(y+1)^2=9, ou (x+2)29+(y+1)29/4=1\frac{(x+2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{9/4}=1. Centro (−2,−1)(-2,-1), com a2=9>b2=9/4a^2=9>b^2=9/4, eixo maior horizontal.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Agrupar: (x2+4x)+4(y2+2y)=1(x^2+4x)+4(y^2+2y)=1.
    2. Completar quadrados: (x+2)2−4+4(y+1)2−4=1(x+2)^2-4+4(y+1)^2-4=1.
    3. Reorganizar: (x+2)2+4(y+1)2=9(x+2)^2+4(y+1)^2=9; centro (−2,−1)(-2,-1).
  22. Ex. 24.22ApplicationAnswer key

    Para a elipse x225+y236=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{36} = 1, indique centro, vértices e focos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 33
    Show solution
    De x225+y236=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{36}=1: a2=36a^2=36 (vertical), b2=25b^2=25, c=36−25=11c=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}. Vértices (0,±6)(0,\pm 6), focos (0,±11)(0,\pm\sqrt{11}).
  23. Ex. 24.23Application

    Para a elipse 81x2+49y2=181x^2 + 49y^2 = 1, identifique o centro e a orientação do eixo maior.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 34
    Show solution
    81x2+49y2=181x^2+49y^2=1 é x21/81+y21/49=1\frac{x^2}{1/81}+\frac{y^2}{1/49}=1; como 1/49>1/811/49>1/81, o eixo maior é vertical, com a=1/7a=1/7 e b=1/9b=1/9.
  24. Ex. 24.24Understanding

    Descreva a natureza e o centro da curva (x+3)29+(y−3)29=1\frac{(x+3)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 37
    Show solution
    Como os denominadores são iguais, (x+3)29+(y−3)29=1\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{9}=1 equivale a (x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9: circunferência de centro (−3,3)(-3,3) e raio 33.
  25. Ex. 24.25Application

    Para a elipse x22+(y+1)25=1\frac{x^2}{2} + \frac{(y+1)^2}{5} = 1, indique centro, vértices e focos.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 38
    Show solution
    De x22+(y+1)25=1\frac{x^2}{2}+\frac{(y+1)^2}{5}=1: centro (0,−1)(0,-1), a2=5a^2=5 (vertical), b2=2b^2=2, c=5−2=3c=\sqrt{5-2}=\sqrt 3. Vértices (0,−1±5)(0,-1\pm\sqrt 5), focos (0,−1±3)(0,-1\pm\sqrt 3).
  26. Ex. 24.26Application

    Determine a equação da elipse com centro na origem, simétrica em relação aos eixos, foco em (0,−2)(0,-2) e vértice em (0,4)(0,4).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 47
    Show solution
    Centro na origem, foco em (0,−2)(0,-2) (eixo maior vertical) dá c=2c=2; com vértice em (0,4)(0,4), a=4a=4 e b2=a2−c2=16−4=12b^2=a^2-c^2=16-4=12, logo x212+y216=1\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1.
  27. Ex. 24.27Application

    Determine a equação da elipse com centro na origem, simétrica em relação aos eixos, foco em (3,0)(3,0) e vértice em (5,0)(5,0).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 48
    Show solution
    Centro na origem, foco em (3,0)(3,0) dá c=3c=3; com vértice em (5,0)(5,0), a=5a=5 e b2=a2−c2=16b^2=a^2-c^2=16, logo x225+y216=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Eixo maior horizontal: c=3c=3, a=5a=5.
    2. b2=a2−c2=25−9=16b^2=a^2-c^2=25-9=16.
    3. Equação: x225+y216=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.
  28. Ex. 24.28Modeling

    Determine a equação da elipse de centro (4,2)(4,2), vértice (9,2)(9,2) e um foco em (4+26,2)(4+2\sqrt 6, 2).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 49
    Show solution
    Centro (4,2)(4,2), vértice (9,2)(9,2) dá a=5a=5; foco (4+26,2)(4+2\sqrt 6,2) dá c=26c=2\sqrt 6, então b2=a2−c2=25−24=1b^2=a^2-c^2=25-24=1. Equação: (x−4)225+(y−2)21=1\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{1}=1.
  29. Ex. 24.29Modeling

    Determine a equação da elipse de centro (3,5)(3,5), vértice (3,11)(3,11) e um foco em (3,5+42)(3, 5+4\sqrt 2).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 50
    Show solution
    Centro (3,5)(3,5), vértice (3,11)(3,11) dá a=6a=6 (eixo maior vertical); foco (3,5+42)(3,5+4\sqrt 2) dá c=42c=4\sqrt 2, então b2=36−32=4b^2=36-32=4. Equação: (x−3)24+(y−5)236=1\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y-5)^2}{36}=1.
  30. Ex. 24.30Application

    A área de uma elipse é Aˊrea=πab\text{Área} = \pi a b. Calcule a área de (x−3)29+(y−3)216=1\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{16} = 1.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 57
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    Da elipse (x−3)29+(y−3)216=1\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{16}=1: a=3a=3, b=4b=4; área =πab=12π=\pi a b=12\pi.
  31. Ex. 24.31ApplicationAnswer key

    Calcule a área da elipse (x+6)216+(y−6)236=1\frac{(x+6)^2}{16} + \frac{(y-6)^2}{36} = 1 usando Aˊrea=πab\text{Área} = \pi a b.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 58
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    Da elipse (x+6)216+(y−6)236=1\frac{(x+6)^2}{16}+\frac{(y-6)^2}{36}=1: a=4a=4, b=6b=6; área =πab=24π=\pi a b=24\pi.
  32. Ex. 24.32Application

    Calcule a área da elipse (x+1)24+(y−2)25=1\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{5} = 1 usando Aˊrea=πab\text{Área} = \pi a b.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 59
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    Da elipse (x+1)24+(y−2)25=1\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{5}=1: a=5a=\sqrt 5, b=2b=2; área =πab=25 π=\pi a b=2\sqrt 5\,\pi.
  33. Ex. 24.33Modeling

    Determine a equação da elipse que se encaixa exatamente numa caixa de 88 unidades de largura por 44 de altura.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 62
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    Uma caixa de largura 88 e altura 44 dá semieixos a=4a=4 (horizontal) e b=2b=2 (vertical), logo x216+y24=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.
  34. Ex. 24.34Modeling

    Um arco tem a forma de uma semi-elipse de altura 88 ft e vão 2020 ft. Qual é a equação da semi-elipse correspondente?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 64
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    Vão de 2020 ft dá a=10a=10; altura 88 ft dá b=8b=8: x2100+y264=1\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1. Substituindo um valor de xx obtém-se a altura correspondente do arco.
  35. Ex. 24.35Modeling

    Uma ponte em arco semielíptico tem vão de 120120 ft. A 4040 ft do centro a altura é 88 ft. Determine a altura do arco no centro.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 66
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    Com vão 120120 ft, a=60a=60; a 4040 ft do centro a altura é 88 ft. Da elipse x23600+y2b2=1\frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{b^2}=1 determina-se a altura no centro b≈8,94b\approx 8{,}94 ft.
  36. Ex. 24.36Modeling

    Numa galeria de sussurros elíptica, uma pessoa está a 88 ft da parede mais próxima, num foco; o outro foco está a 8080 ft. Determine o comprimento e a altura no centro da galeria.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.1 · ex. 68
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    A pessoa está a 88 ft de um foco e o outro foco está a 8080 ft, então 2c=802c=80 e o comprimento da galeria é 2a=8+80+8=962a=8+80+8=96 ft; daí b=a2−c2≈17,9b=\sqrt{a^2-c^2}\approx 17{,}9 ft é a altura no centro.
  37. Ex. 24.37ApplicationAnswer key

    Determine a equação da elipse com extremos do eixo maior em (±4,0)(\pm 4, 0) e focos em (±2,0)(\pm 2, 0).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 263
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    Extremos do eixo maior (±4,0)(\pm 4,0) dão a=4a=4; focos (±2,0)(\pm 2,0) dão c=2c=2; b2=a2−c2=12b^2=a^2-c^2=12. Equação: x216+y212=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.
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    1. a=4a=4 (extremos do eixo maior).
    2. c=2c=2 (focos).
    3. b2=16−4=12b^2=16-4=12; equação x216+y212=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.
  38. Ex. 24.38Application

    Determine a equação da elipse com extremos do eixo maior em (0,±5)(0, \pm 5) e focos em (0,±3)(0, \pm 3).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 264
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    Extremos do eixo maior (0,±5)(0,\pm 5) dão a=5a=5 (vertical); focos (0,±3)(0,\pm 3) dão c=3c=3; b2=25−9=16b^2=25-9=16. Equação: x216+y225=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1.
  39. Ex. 24.39ApplicationAnswer key

    Determine a equação da elipse com extremos do eixo menor em (0,±2)(0, \pm 2) e focos em (±3,0)(\pm 3, 0).

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 265
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    Extremos do eixo menor (0,±2)(0,\pm 2) dão b=2b=2; focos (±3,0)(\pm 3,0) dão c=3c=3; a2=b2+c2=13a^2=b^2+c^2=13 (eixo maior horizontal). Equação: x213+y24=1\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1.
  40. Ex. 24.40Challenge

    Determine a equação da elipse com focos em (±2,0)(\pm 2, 0) e excentricidade 12\frac{1}{2}.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 269
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    Focos (±2,0)(\pm 2,0) dão c=2c=2; excentricidade e=c/a=1/2e=c/a=1/2 dá a=4a=4, logo b2=a2−c2=12b^2=a^2-c^2=12. Equação: x216+y212=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. c=2c=2.
    2. e=c/a=1/2⇒a=4e=c/a=1/2 \Rightarrow a=4.
    3. b2=16−4=12b^2=16-4=12; equação x216+y212=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.
  41. Ex. 24.41Application

    Esboce a cônica x29+y24=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1, indicando centro, vértices e focos.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 298
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    De x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1: a=3a=3 (horizontal), b=2b=2, c=9−4=5c=\sqrt{9-4}=\sqrt 5. Vértices (±3,0)(\pm 3,0), focos (±5,0)(\pm\sqrt 5,0).
  42. Ex. 24.42Application

    Esboce a cônica 4x2+9y2=364x^2 + 9y^2 = 36, identificando seus vértices e focos.

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §7.5 · ex. 300
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    Dividindo 4x2+9y2=364x^2+9y^2=36 por 3636: x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1; a=3a=3, b=2b=2, c=5c=\sqrt 5. Vértices (±3,0)(\pm 3,0), focos (±5,0)(\pm\sqrt 5,0).

Fontes

  • Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · v3 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §7.2 Circles. Fonte primária para forma padrão, forma geral, posição relativa, tangentes e demonstrações.
  • OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §8.3. Exercícios de modelagem e forma reduzida.
  • Wikilivros — Matemática elementar — comunidade · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · seção Geometria analítica. Exercícios no padrão vestibular/ENEM e modelagem brasileira (cobertura de antenas, trilateração).

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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