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Lesson 67 — Marginal analysis in economics

Marginal cost MC = C', marginal revenue MR = R', profit maximization where MR = MC, price elasticity of demand and monopoly markup.

Used in: 2.º ano EM avançado · Cálculo I universitário · Introdução à Microeconomia · Engenharia Econômica

MC = C'(q),\quad MR = R'(q),\quad \pi'(q^*) = 0 \iff MR(q^*) = MC(q^*)

Em economia, a derivada é chamada marginal: $MC = C'$ é o custo de produzir uma unidade adicional. $MR = R'$ é a receita de vender uma unidade adicional. Lucro máximo ocorre onde receita marginal iguala custo marginal — produzir mais compensa enquanto $MR > MC$ ; para quando $MR = MC$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições, maximização e elasticidade

Funções marginais

"The marginal cost function is $C'(x)$ , the derivative of the cost function. The marginal revenue function is $R'(x)$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.7

Maximização do lucro

$\pi'(q) = 0 \iff MR(q) = MC(q)$ .

Condição de segunda ordem: $\pi''(q^*) < 0 \iff MR'(q^*) < MC'(q^*)$ — custo marginal cresce mais rápido que receita marginal.

Custo médio e custo marginal

Logo: $\bar{C}'(q) = 0 \iff MC(q) = \bar{C}(q)$ . A curva de custo marginal cruza a curva de custo médio exatamente em seu mínimo.

Elasticidade-preço da demanda

Markup de monopólio

Para monopolista que escolhe $q$ (e indiretamente $p$ ):

$MR = p + q\,\frac{dp}{dq} = p\!\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right).$

Lucro máximo ( $MR = MC$ ) dá a regra do markup: $p^* = \frac{MC}{1 + 1/\varepsilon} = \frac{MC \cdot \varepsilon}{\varepsilon + 1}.$

Índice de Lerner: $L = (p - MC)/p = -1/\varepsilon$ mede poder de mercado.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Custo marginal e minimo do custo medio (basico)

Problema. Para $C(q) = q^2 + 9$ , encontre o custo marginal $MC$ e a quantidade que minimiza o custo médio $\bar{C}$ .

Estratégia. Calcular $MC = C'$ . Minimizar $\bar{C} = C/q$ derivando e igualando a zero — ou usar a propriedade $MC = \bar{C}$ no mínimo.

Resolução.

$MC(q) = 2q$ .
$\bar{C}(q) = q + 9/q$ .
$\bar{C}'(q) = 1 - 9/q^2 = 0 \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = 3$ .
Verificação: $\bar{C}(3) = 3 + 3 = 6$ e $MC(3) = 6$ . ✓ — custo médio mínimo coincide com custo marginal.

Verificação. $\bar{C}''(q) = 18/q^3 > 0$ em $q = 3$ : mínimo confirmado. ✓

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs, cap. 5, Exercise 5.3.9 — licença livre.

Example— 2· Lucro maximo com demanda linear (intermediario)

Problema. Demanda $q = 100 - 2p$ (inverso: $p = 50 - q/2$ ). Custo $C(q) = 200 + 4q + q^2$ . Encontre $q^*$ , $p^*$ e $\pi^*$ .

Estratégia. Calcular $R(q)$ , $MR$ e $MC$ . Igualar $MR = MC$ para achar $q^*$ . Confirmar com $\pi'' < 0$ .

Resolução.

$R(q) = pq = (50 - q/2)q = 50q - q^2/2$ . $MR = 50 - q$ .
$MC = 4 + 2q$ .
$MR = MC \Rightarrow 50 - q = 4 + 2q \Rightarrow 3q = 46 \Rightarrow q^* \approx 15{,}3$ . (Aproximado; se $q$ inteiro: $q^* = 15$ .)
$p^* = 50 - 15/2 = 42{,}50$ R$.
$pi^* = R(15) - C(15) = 637{,}50 - (200 + 60 + 225) = 637{,}50 - 485 = 152{,}50$ R$.

Verificação. $\pi''(q) = -3 < 0$ para qualquer $q$ — máximo. ✓

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs, cap. 5, Exercise 5.3.15 — licença livre.

Example— 3· Elasticidade e receita maxima (intermediario)

Problema. Demanda $q = 100 - 2p$ . (a) Calcule a elasticidade em $p = 20$ . (b) Em que preço a receita é máxima?

Estratégia. Aplicar $\varepsilon = D'(p) \cdot p/q$ . Maximizar $R = pq = p(100 - 2p)$ derivando.

Resolução.

(a) Elasticidade em $p = 20$ : $D'(p) = -2$ . $q(20) = 100 - 40 = 60$ . $\varepsilon = -2 \cdot 20/60 = -40/60 = -2/3$ .

Como $|\varepsilon| < 1$ : demanda inelástica em $p = 20$ — subir o preço aumenta a receita.

(b) Receita máxima: $R(p) = p(100 - 2p) = 100p - 2p^2$ . $R'(p) = 100 - 4p = 0 \Rightarrow p^* = 25$ .

$R(25) = 25 cdot 50 = 1250$ R$. Verificação: $varepsilon(25) = -2 cdot 25/50 = -1$ (elasticidade unitária). ✓

Verificação. $R'' = -4 < 0$ — máximo confirmado. ✓

Fonte. Active Calculus §3.3, Activity 3.3.4 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Lote economico EOQ (modelagem real)

Problema. Uma fábrica tem demanda anual $D = 10000$ unidades, custo de pedido $S = R$ ,200 $por pedido, e custo de armazenagem$ h = R$,4 $por unidade por ano. Encontre o lote econômico$ q^*$.

Estratégia. Minimizar $T(q) = Dhq/2 + SD/q$ (custo total anual = armazenagem + pedidos). Derivar e igualar a zero.

Resolução.

$T(q) = \frac{10000 \cdot 4}{2} q + \frac{200 \cdot 10000}{q} = 20000q + \frac{2000000}{q}$ .

Atenção: os valores foram simplificados: $T(q) = \frac{4q}{2} \cdot 10000/10000 + \ldots$ — usando a fórmula padrão diretamente:

$T(q) = \frac{Dhq}{2} + \frac{SD}{q} = \frac{4 \cdot q}{2} + \frac{200 \cdot 10000}{q} = 2q + \frac{2000000}{q}$ .
$T'(q) = 2 - 2000000/q^2 = 0 \Rightarrow q^2 = 1000000 \Rightarrow q^* = 1000$ unidades.
$T(1000) = 2000 + 2000 = 4000$ R$/ano.

Verificação. $T''(q) = 4000000/q^3 > 0$ — mínimo. ✓ A fórmula direta $q^* = \sqrt{2SD/h} = \sqrt{2 \cdot 200 \cdot 10000/4} = \sqrt{1000000} = 1000$ . ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.7, Example 4.38 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Markup de monopolio e perda de bem-estar (avancado)

Problema. Monopolista tem demanda $p(q) = 100 - 2q$ e custo $C(q) = q^2$ . (a) Encontre o equilíbrio de monopólio. (b) Compare com concorrência perfeita ( $MC = p$ ). (c) Calcule a perda de bem-estar (deadweight loss).

Estratégia. Monopólio: $MR = MC$ . Concorrência: $p = MC$ . Perda = área do triângulo entre as duas quantidades.

Resolução.

(a) Monopólio: $R = 100q - 2q^2$ , $MR = 100 - 4q$ . $MC = 2q$ . $MR = MC Rightarrow 100 - 4q = 2q Rightarrow q_M = 100/6 approx 16{,}7$ . $p_M = 100 - 2(100/6) = 100 - 100/3 approx 66{,}7$ R$. Lucro: $pi = (p_M - bar{C})q_M = ldots approx 833$ R$.

(b) Concorrência: $p = MC Rightarrow 100 - 2q = 2q Rightarrow q_C = 25$ , $p_C = 50$ R$.

(c) Perda de bem-estar: o monopólio produz $16{,}7$ em vez de $25$ . A perda é a área do triângulo com base $q_C - q_M \approx 8{,}3$ e altura $p_M - p_C \approx 16{,}7$ :

Deadweight loss $approx frac{1}{2} cdot 8{,}3 cdot 16{,}7 approx 69$ R$.

Verificação. $p_M > MC(q_M) = 2 \cdot 16{,}7 = 33{,}4$ — monopólio cobra acima do custo marginal, confirmando ineficiência. ✓

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs, cap. 5, Exercise 5.3.20 — licença livre.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 5Modeling 10Challenge 5

Ex. 67.1Application
A posição de uma partícula é $s(t) = 2t^3 - 3t^2 - 12t + 8$ (em metros, $t \geq 0$ ). Calcule a velocidade $s'(t)$ e encontre em que instante a taxa de variação é zero.
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$s'(t) = 6t^2 - 6t - 12$ ; em $t=2$ : velocidade $= 0$ $s'(t) = 6t - 6$ ; em $t=2$ : velocidade $= 6$ $s'(t) = 6t^2 - 3t - 12$ ; em $t=2$ : velocidade $= 6$ $s'(t) = 3t^2 - 3t$ ; em $t=2$ : velocidade $= 6$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 150
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$s'(t) = 6t^2 - 6t - 12$ . Em $t = 2$ : $s'(2) = 24 - 12 - 12 = 0$ . A taxa de variação instantânea é zero — análogo ao custo marginal ser zero em um extremo da função custo.
Ex. 67.2Application
A posição de uma partícula é $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t - 10$ (metros, $t \geq 0$ ). Calcule a velocidade $s'(t)$ e determine os instantes em que a taxa de variação instantânea é zero.
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$s'(t) = 6t^2 - 30t + 36$ ; em $t=2$ : velocidade $= 0$ $s'(t) = 6t - 15$ ; em $t=2$ : velocidade $= -3$ $s'(t) = 2t^3 - 15t$ ; em $t=2$ : velocidade $= -14$ $s'(t) = 6t^2 - 15t + 36$ ; em $t=2$ : velocidade $= 30$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 151
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$s'(t) = 6t^2 - 30t + 36$ . Em $t=2$ : $s'(2) = 24 - 60 + 36 = 0$ . Em $t=3$ : $s'(3) = 54 - 90 + 36 = 0$ . Dois instantes de taxa zero — análogos a dois pontos críticos de uma função custo.
Ex. 67.3Application
A posição de uma partícula é $s(t) = t/(1+t^2)$ ( $t \geq 0$ ). Calcule a velocidade e determine o instante em que a partícula para. Faça a analogia com o ponto de receita máxima.
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$s'(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2$ ; zero em $t=1$ ; positivo para $t<1$ , negativo para $t>1$ $s'(t) = 1/(1+t^2)^2$ ; sempre positivo $s'(t) = -t/(1+t^2)$ ; negativo para $t>0$ $s'(t) = 2t/(1+t^2)^2$ ; zero em $t=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 152
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Regra do quociente: $\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}$ . Zero em $t=1$ . Para $t < 1$ : avança; para $t > 1$ : recua. Análogo ao ponto de receita máxima onde $MR$ muda de sinal.
Ex. 67.4Application
Um foguete tem posição $s(t) = -16t^2 + 560t$ pés ( $t \geq 0$ ). Calcule velocidade e aceleração em $t = 3$ s e interprete a aceleração constante como analogia ao custo marginal de escala.
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Velocidade em $t=3$ : $464$ ft/s; aceleração: $-32$ ft/s²Velocidade em $t=3$ : $400$ ft/s; aceleração: $0$ Velocidade em $t=3$ : $512$ ft/s; aceleração: $32$ ft/s²Velocidade em $t=3$ : $464$ ft/s; aceleração: $-64$ ft/s²
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OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 153
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$s(t) = -16t^2 + 560t$ . $s'(t) = -32t + 560$ . Em $t=3$ : $s'(3) = 464$ ft/s. Aceleração: $s''(t) = -32$ ft/s² (constante). Analogia: aceleração constante negativa equivale a custo marginal decrescente a taxa constante — economias de escala lineares.
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar: $s'(t) = -32t + 560$ .
2. Em $t=3$ : $s'(3) = -96 + 560 = 464$ ft/s.
3. Segunda derivada: $s''(t) = -32$ ft/s².
4. Interpretação: $s''$ constante e negativa equivale a custo marginal decrescente — economias de escala.
Ex. 67.5Application
Uma bola é lançada para baixo com velocidade inicial de 8 ft/s do topo de um prédio de 64 ft: $s(t) = -16t^2 - 8t + 64$ . Em que instante atinge o solo? Qual a velocidade no impacto?
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Bola atinge o solo em $t \approx 1{,}77$ s; velocidade no impacto $\approx -64{,}6$ ft/sBola atinge o solo em $t=4$ s; velocidade: $-136$ ft/sBola atinge o solo em $t=2$ s; velocidade: $-40$ ft/sBola atinge o solo em $t=3$ s; velocidade: $-104$ ft/s
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 154
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$s(t) = -16t^2 - 8t + 64 = 0$ . Fórmula quadrática: $t = (-1 + \sqrt{65})/4 \approx 1{,}77$ s. Velocidade: $s'(t) = -32t - 8$ ; em $t \approx 1{,}77$ : $s' \approx -64{,}6$ ft/s.
Ex. 67.6Modeling
Um caminhão consome $g(v) = av + b/v$ galões por milha ( $a, b > 0$ ). Encontre $v^*$ que minimiza o consumo e mostre que no ótimo custo aerodinâmico = custo temporal (analogia EOQ).
Select the correct option
$v^* = \sqrt{b/a}$ mph; no ótimo custo aerodinâmico iguala custo temporal $v^* = a/b$ ; linear nos parâmetros $v^* = a + b$ ; soma dos coeficientesNão existe mínimo: custo decresce indefinidamente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 329
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$g(v) = av + b/v$ . $g'(v) = a - b/v^2 = 0 \Rightarrow v^* = \sqrt{b/a}$ . $g''(v) = 2b/v^3 > 0$ — mínimo. No ótimo: custo aerodinâmico $av^* = \sqrt{ab}$ iguala custo temporal $b/v^* = \sqrt{ab}$ . Analogia EOQ. (Resp: $v^* = \sqrt{b/a}$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar: $g'(v) = a - b/v^2$ .
2. Igualar a zero: $v^* = \sqrt{b/a}$ .
3. $g''(v^*) = 2b/(v^*)^3 > 0$ — mínimo.
4. No ótimo: custo aerodinâmico = custo temporal.
5. Analogia EOQ: custo armazenagem = custo pedido em $q^* = \sqrt{2SD/h}$ .
Ex. 67.7ModelingAnswer key
Uma limusine tem consumo $m(v) = (120-2v)/5$ mi/gal na velocidade $v$ mph, motorista custa US$ 15/h e gasolina US$ 3,50/gal. Escreva o custo total por milha $C(v)$ .
Select the correct option
Custo por milha: $C(v) = 17{,}5/(120-2v) + 15/v$ Custo por milha é constante: não depende de $v$ Custo por milha: $C(v) = 15v/5 + 3{,}5$ ; linear em $v$ Custo por milha: $C(v) = 15/(120-2v) + 3{,}5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 330
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Consumo: $m(v) = (120-2v)/5$ mi/gal. Custo combustível por milha: $3{,}5/m(v) = 17{,}5/(120-2v)$ . Custo motorista por milha: $15/v$ . Total: $C(v) = 17{,}5/(120-2v) + 15/v$ .
Ex. 67.8ModelingAnswer key
Usando $C(v) = 17{,}5/(120-2v) + 15/v$ (limusine do exercício anterior), encontre $v^*$ que minimiza o custo por milha.
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$v^* \approx 34{,}6$ mph minimiza o custo por milha da limusine $v^* = 60$ mph — velocidade padrão de rodovia $v^* = 120$ mph — velocidade máxima $v^* = 0$ mph — parar minimiza custo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 331
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$C(v) = 17{,}5/(120-2v) + 15/v$ . $C'(v) = 35/(120-2v)^2 - 15/v^2 = 0$ . Portanto $35v^2 = 15(120-2v)^2$ . Resolvendo: $v^* \approx 34{,}6$ mph. (Resp: $v^* \approx 34{,}6$ mph)
Ex. 67.9Application
Uma pizzaria tem receita $R(x) = ax$ e custo $C(x) = b + cx + dx^2$ , $a > c$ . (a) Escreva o lucro $\pi(x)$ . (b) Calcule o custo marginal.
Select the correct option
Lucro: $\pi(x) = (a-c)x - b - dx^2$ ; custo marginal: $c + 2dx$ Lucro: $\pi(x) = ax - (b+cx)$ ; sem termo quadráticoLucro: $\pi(x) = ax - bx^2$ ; sem custo fixoLucro: $\pi(x) = (a-c)x - dx^2$ ; ignora custo fixo $b$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 332
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Receita: $R(x) = ax$ . Custo: $C(x) = b + cx + dx^2$ . Lucro: $\pi(x) = (a-c)x - b - dx^2$ . Custo marginal: $MC = c + 2dx$ . Para $a > c$ , há lucro positivo para quantidades moderadas.
Ex. 67.10Application
Pizzaria com $R(x) = 10x$ e $C(x) = 2x + x^2$ . Quantas pizzas maximizam o lucro? Confirme com $MR = MC$ .
Select the correct option
$x^* = 4$ pizzas; $\pi(4) = 16$ $x^* = 10$ pizzas; $\pi(10) = 0$ $x^* = 8$ pizzas; $\pi(8) = -8$ $x^* = 2$ pizzas; $\pi(2) = 12$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 333
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$R(x) = 10x$ , $C(x) = 2x + x^2$ . Lucro: $\pi(x) = 8x - x^2$ . $\pi'(x) = 8 - 2x = 0 \Rightarrow x^* = 4$ . $\pi(4) = 16$ . Verificação $MR = MC$ : $10 = 2 + 8 = 10$ . ✓
Show step-by-step (with the why)
1. Lucro: $\pi(x) = 10x - (2x + x^2) = 8x - x^2$ .
2. Derivada: $\pi'(x) = 8 - 2x = 0 \Rightarrow x^* = 4$ .
3. $\pi''(x) = -2 < 0$ — máximo.
4. Verificação $MR = MC$ : $R'(4) = 10$ e $C'(4) = 2+8 = 10$ . ✓
Ex. 67.11Application
Pizzaria com $R(x) = 15x$ e $C(x) = 60 + 3x + x^2/2$ . Encontre $x^*$ e o lucro máximo.
Select the correct option
$x^* = 12$ pizzas; $\pi(12) = 12$ $x^* = 6$ pizzas; $\pi(6) = 36$ $x^* = 15$ pizzas; $\pi(15) < 0$ $x^* = 10$ pizzas; $\pi(10) = 10$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 334
Show solution
$R(x) = 15x$ , $C(x) = 60 + 3x + x^2/2$ . Lucro: $\pi(x) = 12x - 60 - x^2/2$ . $\pi'(x) = 12 - x = 0 \Rightarrow x^* = 12$ . $\pi(12) = 144 - 60 - 72 = 12$ . Verificação: $MR = 15$ , $MC(12) = 3+12 = 15$ . ✓ (Resp: $x^*=12$ , $\pi^*=12$ )
Ex. 67.12Modeling
Um agricultor tem 20 pés de melancia que produzem 30 melancias cada. Para cada muda extra plantada, a produção por planta cai em uma melancia. Quantas mudas extras maximizam a produção total?
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Plantar 5 mudas extras; total de 25 plantas e 625 melanciasPlantar 10 mudas extras; total de 30 plantas e 600 melanciasNão plantar nenhuma muda extra; 20 plantas, 600 melanciasPlantar 20 mudas extras; total de 40 plantas e 400 melancias
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 352
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Produção: $P(x) = (20+x)(30-x) = 600 + 10x - x^2$ . $P'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x^* = 5$ . $P(5) = 625$ . (Resp: plantar 5 extras, total 625 melancias)
Show step-by-step (with the why)
1. Variável: $x$ = mudas extras.
2. Produção total: $P(x) = (20+x)(30-x)$ .
3. Expandir: $P(x) = 600 + 10x - x^2$ .
4. $P'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x^* = 5$ .
5. $P(5) = 600 + 50 - 25 = 625$ melancias.
Ex. 67.13Modeling
Complexo de 50 apartamentos: a US$ 800/mês todos são ocupados; a cada aumento de US$ 25/mês, uma unidade fica vaga. Manutenção: US$ 50/mês por unidade. Qual aluguel maximiza o lucro mensal?
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Aluguel ótimo: US\$ 975/mês; 43 apartamentos ocupadosAluguel ótimo: US\$ 800/mês; 50 apartamentosAluguel ótimo: US\$ 1050/mês; 40 apartamentosAluguel ótimo: US\$ 850/mês; 48 apartamentos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 355
Show solution
Unidades ocupadas: $n(r) = 50 - (r-800)/25$ . Lucro por unidade: $r - 50$ . Lucro total: $\pi(r) = [50-(r-800)/25](r-50)$ . Derivando e igualando a zero: $r^* = 975$ . $n(975) = 43$ unidades. (Resp: US\$ 975, 43 unidades)
Ex. 67.14ApplicationAnswer key
Encontre o inteiro positivo que minimiza a soma do número e seu recíproco. Relacione ao custo médio $\bar{C}(q) = F/q + c$ .
Select the correct option
Inteiro positivo que minimiza $x + 1/x$ é $x=1$ ; valor mínimo $= 2$ Mínimo em $x=2$ ; valor $= 2{,}5$ Mínimo em $x=0$ ; valor $= +\infty$ Não existe mínimo inteiro
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 317
Show solution
$f(x) = x + 1/x$ . $f'(x) = 1 - 1/x^2 = 0 \Rightarrow x^*=1$ . $f(1) = 2$ . Inteiros: $f(1)=2 < f(2)=2{,}5 < \cdots$ . Confirmação AM-GM: $x + 1/x \geq 2$ . Analogia: minimizar custo médio $\bar{C}(q) = F/q + c$ .
Ex. 67.15Application
Dois números não-negativos com $x+y=10$ . Maximize e minimize $x^2+y^2$ . Interprete economicamente.
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$x^2+y^2$ máximo nos extremos $(0,10)$ ou $(10,0)$ ; mínimo em $(5,5)$ $x^2+y^2$ máximo em $(5,5)$ ; mínimo nos extremos $x^2+y^2$ é constante para $x+y=10$ $x^2+y^2$ sempre igual a 100
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 337
Show solution
Com $y=10-x$ : $f(x) = 2x^2-20x+100$ . $f'(x) = 4x-20=0 \Rightarrow x=5$ — mínimo ( $f(5)=50$ ). Máximo nos extremos: $f(0)=f(10)=100$ . Analogia: variância mínima de dois lotes com soma fixa é quando iguais.
Ex. 67.16ModelingAnswer key
Com $x+y=10$ , $x, y \geq 0$ , maximize $x^2y^2$ .
Select the correct option
$x^2y^2$ máximo em $x=y=5$ ; valor $= 625$ $x^2y^2$ máximo em $x=2, y=8$ ; valor $= 256$ $x^2y^2$ máximo em $x=8, y=2$ ; valor $= 256$ $x^2y^2$ máximo em $x=0$ ; valor $= 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 338
Show solution
Com $y=10-x$ : $f(x) = x^2(10-x)^2$ . $f'(x) = 2x(10-x)(10-2x)$ . Zero em $x=5$ . $f(5)=625$ . AM-GM: $xy \leq 25 \Rightarrow (xy)^2 \leq 625$ .
Ex. 67.17Application
Você tem 400 ft de cerca para construir um curral retangular. Quais dimensões maximizam a área?
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$100 \times 100$ ft; área máxima $= 10000$ ft² $200 \times 50$ ft; área $= 10000$ ft² $80 \times 120$ ft; área $= 9600$ ft² $150 \times 50$ ft; área $= 7500$ ft²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 319
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$2x+2y=400 \Rightarrow y=200-x$ . $A(x)=x(200-x)$ . $A'=200-2x=0 \Rightarrow x=100$ . $A(100)=10000$ ft². Quadrado maximiza área com perímetro fixo — analogia: maximizar produção sujeita a orçamento fixo.
Ex. 67.18Application
Você tem 800 ft de cerca para um chiqueiro retangular com um rio em um lado (sem cerca nesse lado). Quais dimensões maximizam a área?
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$200 \times 400$ ft; área máxima $= 80000$ ft² $400 \times 400$ ft; área $= 160000$ ft² $267 \times 267$ ft; área $\approx 71000$ ft² $100 \times 600$ ft; área $= 60000$ ft²
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 320
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$2x+y=800 \Rightarrow y=800-2x$ . $A(x)=x(800-2x)$ . $A'=800-4x=0 \Rightarrow x=200$ , $y=400$ . $A=80000$ ft². (Resp: $200 \times 400$ ft)
Ex. 67.19ApplicationAnswer key
Você precisa cercar uma área de 1600 ft². Quais dimensões do retângulo minimizam o perímetro?
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$40 \times 40$ ft; perímetro mínimo $= 160$ ft $32 \times 50$ ft; perímetro $= 164$ ft $20 \times 80$ ft; perímetro $= 200$ ft $25 \times 64$ ft; perímetro $= 178$ ft
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 321
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$xy=1600 \Rightarrow y=1600/x$ . $P(x)=2x+3200/x$ . $P'=2-3200/x^2=0 \Rightarrow x=40$ . $P(40)=160$ ft. Quadrado minimiza perímetro para área fixa. (Resp: $40 \times 40$ ft)
Ex. 67.20Understanding
Verdadeiro ou falso: toda função contínua não-constante em domínio fechado e limitado possui máximo e mínimo. Cite o teorema e sua importância em economia.
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Verdadeiro: Teorema de Weierstrass — toda função contínua em fechado e limitado tem máximo e mínimoFalso: existem funções contínuas sem máximo em domínio fechadoDepende: só vale para funções diferenciáveisVerdadeiro apenas para funções monótonas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 314
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Verdadeiro: Teorema de Weierstrass. Condições: função contínua + domínio fechado e limitado. Garante existência de máximo e mínimo. Aplicação econômica: garante que existe quantidade ótima de produção em horizonte finito.
Ex. 67.21Understanding
Por que, ao maximizar lucro $\pi(q)$ , não basta igualar $\pi'(q) = 0$ — é preciso verificar o sinal de $\pi'$ ao redor do ponto crítico?
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Verificar o sinal de $\pi'$ ao redor confirma se é máximo, mínimo ou inflexãoO máximo de lucro é sempre onde $\pi'=0$ , sem precisar verificar sinalBasta calcular $\pi''$ — se negativo, é sempre máximo globalQualquer ponto crítico de $\pi$ é máximo ou mínimo
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 311
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Ao encontrar $q_0$ com $\pi'(q_0)=0$ : verificar se $\pi'$ muda de positivo para negativo (máximo local) ou negativo para positivo (mínimo local). Alternativa: $\pi''(q_0) < 0$ implica máximo local. Em lucro: confirma que o ponto crítico é máximo, não mínimo.
Ex. 67.22Understanding
Por que, ao maximizar lucro com capacidade máxima $q \in [0, q_{\max}]$ , é preciso verificar os extremos do intervalo, não apenas os pontos críticos interiores?
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Sim: os extremos do domínio podem ter lucro maior que o ponto crítico interiorNão: pontos críticos sempre superam os extremosNão é necessário; a função lucro sempre tem máximo interiorVerificar extremos só é necessário se $\pi$ não for derivável
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 312
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Para $q \in [0, q_{\max}]$ , o máximo pode estar em: (1) ponto crítico interior, (2) $q=0$ , ou (3) $q=q_{\max}$ . Avalie $\pi$ em todos e escolha o maior. Exemplo: se o ponto crítico dá $\pi < 0$ e $\pi(0)=0$ , a empresa não deve produzir.
Ex. 67.23Understanding
Verdadeiro ou falso: para toda função contínua não-linear, existe um ponto que a maximiza. Prove ou dê contraexemplo e explique a implicação econômica.
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Falso: $f(x) = x^2$ em $(-\infty, +\infty)$ é contínua não-linear sem máximoVerdadeiro: toda função não-linear contínua tem máximoDepende da curvatura: funções côncavas têm máximo, convexas nãoVerdadeiro apenas para polinômios de grau par
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 313
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Falso. Contraexemplo: $f(x)=x^2$ em $(-\infty,+\infty)$ é contínua e não-linear, mas não tem máximo. Weierstrass requer domínio fechado e limitado. Em economia: modelo sem restrições de capacidade pode não ter solução ótima bem definida.
Ex. 67.24Modeling
Com $x+y=10$ e $x > 0$ , maximize $y - 1/x$ .
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$y - 1/x$ máximo em $x=1, y=9$ : valor $= 8$ $y - 1/x$ máximo em $x=5, y=5$ : valor $= 4{,}8$ $y - 1/x$ máximo em $x=10, y=0$ : valor $= -0{,}1$ $y - 1/x$ não tem máximo para $x+y=10$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 339
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Com $y=10-x$ : $f(x) = 10-x-1/x$ . $f'(x) = -1+1/x^2=0 \Rightarrow x=1$ . $f''(1)=-2<0$ — máximo. $f(1)=8$ . (Resp: máximo em $x=1, y=9$ , valor $8$ )
Ex. 67.25ModelingAnswer key
Com $x+y=10$ e $x, y \geq 0$ , maximize e minimize $x^2 - y$ .
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$x^2 - y$ máximo em $x=10, y=0$ : valor $= 100$ $x^2 - y$ máximo em $x=5, y=5$ : valor $= 20$ $x^2 - y$ máximo em $x=0, y=10$ : valor $= -10$ $x^2 - y$ máximo em $x=3, y=7$ : valor $= 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 340
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Com $y=10-x$ : $f(x)=x^2+x-10$ . $f'(x)=2x+1 > 0$ — crescente. Máximo em $x=10$ : $f(10)=100$ . Mínimo em $x=0$ : $f(0)=-10$ . (Resp: máximo em $(10,0)$ )
Ex. 67.26Modeling
Para $s(t) = t \ln t$ ( $t > 0$ ), calcule $s'(t)$ e o instante em que muda de sinal. Interprete como custo marginal de $C(q) = q\ln q$ .
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$v(t) = \ln t + 1$ ; zero em $t=1/e$ ; análogo a custo marginal de $C(q)=q\ln q$ $v(t) = \ln t$ ; zero em $t=1$ $v(t) = 1/t$ ; sempre positivo $v(t) = t + \ln t$ ; zero em $t \approx 0{,}57$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 160
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Regra do produto: $s'(t) = \ln t + t \cdot (1/t) = \ln t + 1$ . Zero: $\ln t = -1 \Rightarrow t = e^{-1} \approx 0{,}37$ . Para $t > 1/e$ : positivo. Analogia: $C(q)=q\ln q$ tem $MC = \ln q + 1$ zero em $q=1/e$ .
Ex. 67.27ModelingAnswer key
Para $s(t) = e^{-t}$ , calcule $s'(t)$ e descreva o comportamento quando $t \to \infty$ . Relacione ao custo marginal de depreciação exponencial.
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$s'(t) = -e^{-t}$ ; negativo, tendendo a zero — taxa de depreciação marginal decrescente $s'(t) = e^{-t}$ ; positiva e decrescente $s'(t) = -te^{-t}$ ; zero em $t=0$ $s'(t) = e^t$ ; crescente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 162
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$s(t) = e^{-t}$ . $s'(t) = -e^{-t}$ . Sempre negativo; $|s'(t)| \to 0$ quando $t \to \infty$ . Analogia: taxa marginal de depreciação exponencial de um ativo — o ativo perde cada vez menos valor por unidade de tempo.
Ex. 67.28Application
Para $s(t) = \sqrt{t}$ , calcule $s'(t)$ e a segunda derivada. Interprete como lei dos rendimentos marginais decrescentes em $Q(L) = \sqrt{L}$ .
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$s'(t) = 1/(2\sqrt{t})$ ; decrescente — rendimentos marginais decrescentes $s'(t) = 2\sqrt{t}$ ; crescente $s'(t) = -1/(2\sqrt{t})$ ; negativa $s'(t) = 1/t$ ; forma diferente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 159
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$s(t) = \sqrt{t}$ . $s'(t) = 1/(2\sqrt{t})$ . Positiva e decrescente. $s''(t) = -1/(4t^{3/2}) < 0$ . Analogia direta: $Q(L) = \sqrt{L}$ tem produto marginal do trabalho $Q'(L) = 1/(2\sqrt{L})$ — rendimentos marginais decrescentes.
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1. Derivar: $s'(t) = (1/2)t^{-1/2} = 1/(2\sqrt{t})$ .
2. Positiva para $t > 0$ .
3. $s''(t) = -1/(4t^{3/2}) < 0$ — côncava.
4. Lei dos rendimentos decrescentes: cada unidade extra de insumo contribui menos.
Ex. 67.29ApplicationAnswer key
Para $s(t) = e^{2t}$ , calcule velocidade e aceleração. Interprete a taxa sempre crescente como receita marginal crescente em produto de rede (lei de Metcalfe).
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$v(t) = 2e^{2t}$ ; sempre crescente — receita marginal de produto de rede $v(t) = e^{2t}/2$ ; decrescente $v(t) = 2te^t$ ; zero em $t=0$ $v(t) = e^t$ ; crescente à taxa constante
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 157
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$s(t) = e^{2t}$ . $v(t) = 2e^{2t}$ . Aceleração: $4e^{2t}$ . Ambas crescentes. Analogia: receita de produto de rede $R(q) = e^{2q}$ tem $MR = 2e^{2q}$ sempre crescente — lei de Metcalfe (efeito de rede).
Ex. 67.30Application
Para $s(t) = \sin t$ , calcule a velocidade e os instantes de taxa zero. Interprete a oscilação periódica como padrão sazonal de receita marginal.
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$v(t) = \cos t$ ; oscila entre $\pm 1$ — taxa marginal sazonal $v(t) = -\cos t$ ; fase invertida $v(t) = \sin t$ ; zero apenas em $t=0$ $v(t) = -\sin t$ ; decrescente em $(0, \pi)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 158
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$s(t) = \sin t$ . $v(t) = \cos t$ . Zeros em $t = \pi/2 + k\pi$ . Aceleração: $a(t) = -\sin t$ . Analogia: receita marginal sazonal com ciclos periódicos — demanda de verão/inverno.
Ex. 67.31Understanding
Para $s(t) = \tan^2 t$ , calcule $s'(t)$ e o comportamento quando $t \to \pi/2^-$ . Relacione ao custo marginal com gargalo de capacidade.
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$v(t) = 2\tan t \sec^2 t$ ; diverge em $t \to \pi/2^-$ — gargalo de capacidade $v(t) = \sec^2 t$ ; sem fator $\tan t$ $v(t) = \sin t \cos t$ ; limitada $v(t) = 2\sin t$ ; periódica e limitada
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 161
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$s(t) = \tan^2 t$ . Regra da cadeia: $s'(t) = 2\tan t \cdot \sec^2 t$ . Quando $t \to \pi/2^-$ : $s'(t) \to +\infty$ . Analogia: custo marginal que explode ao se aproximar da capacidade máxima de produção — gargalo ou congestionamento.
Ex. 67.32Application
Para $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t - 10$ , determine os instantes em que a partícula para e os intervalos de recuo. Faça a analogia com pontos críticos de uma função lucro.
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A partícula para em $t=2$ e $t=3$ ; recua entre esses instantesA partícula nunca paraA partícula para em $t=1$ apenasA partícula para em $t=5$ apenas
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 156
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$s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t - 10$ . $s'(t) = 6t^2-30t+36 = 6(t-2)(t-3)$ . Zeros em $t=2$ e $t=3$ . Entre $2$ e $3$ : $s' < 0$ (recua). Dois pontos críticos — análogo a dois pontos críticos de uma função lucro.
Ex. 67.33ApplicationAnswer key
Para $s(t) = t^3 - t$ ( $t \geq 0$ ), calcule $s'(t)$ e determine o instante em que ela muda de negativa para positiva. Interprete como custo marginal com mínimo local.
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$v(t) = 3t^2-1$ ; zero em $t=1/\sqrt{3}$ ; mínimo local — análogo a custo marginal com mínimo $v(t) = 3t^2+1$ ; sempre positivo $v(t) = t^3-t$ ; zero em $t=0$ e $t=1$ $v(t) = 3t-1$ ; zero em $t=1/3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 164
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$s(t) = t^3-t$ . $s'(t) = 3t^2-1$ . Zero em $t=1/\sqrt{3}$ . Para $t < 1/\sqrt{3}$ : $s' < 0$ ; para $t > 1/\sqrt{3}$ : $s' > 0$ — mínimo. Analogia: custo marginal com mínimo antes da escala ótima.
Ex. 67.34Application
Para $s(t) = 2t^3 - 10t^2 + 6t$ , calcule $s'(t)$ , seus zeros e os intervalos de avanço/recuo. Interprete como custo marginal com dois pontos críticos.
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$v(t) = 6t^2-20t+6 = 2(3t-1)(t-3)$ ; zeros em $t=1/3$ e $t=3$ $v(t) = 6t^2-10t+6$ ; zeros diferentes $v(t) = 3t^2-10t+3$ ; metade dos coeficientes $v(t) = 6t-10$ ; linear
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 166
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$s(t) = 2t^3-10t^2+6t$ . $s'(t) = 6t^2-20t+6 = 2(3t^2-10t+3) = 2(3t-1)(t-3)$ . Zeros em $t=1/3$ e $t=3$ . Entre eles: $s' < 0$ . Análogo a dois pontos críticos de lucro (máximo local, depois mínimo).
Ex. 67.35Application
Para $s(t) = \sin t + \cos t$ , calcule $s'(t)$ e os instantes de taxa zero. Interprete como ciclo de lucro sazonal.
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$v(t) = \cos t - \sin t$ ; zero em $t=\pi/4 + k\pi$ $v(t) = \sin t + \cos t$ ; zero em $t=3\pi/4$ $v(t) = -\cos t + \sin t$ ; fase diferente $v(t) = -\sin t - \cos t$ ; sempre negativo em $t \in (0, \pi)$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 165
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$s(t) = \sin t + \cos t$ . $s'(t) = \cos t - \sin t$ . Zero: $\cos t = \sin t \Rightarrow t = \pi/4 + k\pi$ . Em $t=\pi/4$ : máximo ( $s'' < 0$ ). Analogia: lucro sazonal com máximo periódico (campanha de Natal, Black Friday).
Ex. 67.36ChallengeAnswer key
O pulso de um paciente mede 70, 80 e 120 bpm. Encontre $x^*$ que minimiza $(x-70)^2+(x-80)^2+(x-120)^2$ . Explique a conexão com mínimos quadrados ordinários (OLS) em econometria.
Select the correct option
$x^* = 90$ bpm; é a média aritmética — minimiza soma dos quadrados dos desvios (OLS) $x^* = 80$ bpm — mediana $x^* = 70$ bpm — menor leitura $x^* = 120$ bpm — maior leitura
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 324
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Minimizar $f(x) = (x-70)^2 + (x-80)^2 + (x-120)^2$ . $f'(x) = 6x-540=0 \Rightarrow x^*=90$ . $f''=6>0$ — mínimo. Média: $(70+80+120)/3=90$ . Aplicação OLS: o estimador que minimiza $\sum(y_i-\hat{y})^2$ é a média condicional. (Resp: $x^*=90$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar: $f'(x) = 2(x-70)+2(x-80)+2(x-120) = 6x-540$ .
2. Igualar a zero: $x^*=90$ .
3. $f''=6>0$ — mínimo global.
4. Conclusão: $x^*=(70+80+120)/3=90$ — a média minimiza a soma dos quadrados.
5. OLS: minimizar $\sum(y_i-\hat{y})^2$ dá o estimador de média condicional.
Ex. 67.37Challenge
Mesmo cenário de pulso (70, 80, 120 bpm), mas a terceira leitura tem peso $1/2$ : minimize $(x-70)^2+(x-80)^2+\tfrac{1}{2}(x-120)^2$ . Compare com o caso sem peso e interprete como mínimos quadrados ponderados (WLS).
Select the correct option
$x^* = 82$ bpm; a terceira leitura ponderada com $1/2$ tem menor influência $x^* = 90$ ; igual ao caso sem peso $x^* = 80$ ; mediana ponderada $x^* = 85$ ; média simples dos extremos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 325
Show solution
Minimizar $g(x) = (x-70)^2+(x-80)^2+\tfrac{1}{2}(x-120)^2$ . $g'(x) = 2(x-70)+2(x-80)+(x-120) = 5x-410=0 \Rightarrow x^*=82$ . Peso menor na terceira leitura desloca ótimo de 90 para 82. Aplicação: mínimos quadrados ponderados (WLS) — observações heterocedásticas recebem peso proporcional ao inverso da variância. (Resp: $x^*=82$ )
Ex. 67.38Challenge
Caminhão com $g(v)=av+b/v$ ( $a,b>0$ ). (a) Encontre $v^*$ . (b) Calcule o custo mínimo $g(v^*)$ . (c) Mostre que custo aerodinâmico = custo temporal no ótimo (analogia com EOQ).
Select the correct option
$v^* = \sqrt{b/a}$ ; custo mínimo $= 2\sqrt{ab}$ ; custo aerodinâmico = custo temporal no ótimo $v^* = a/b$ ; custo mínimo $= a^2/b+b/a$ $v^* = a+b$ ; soma dos coeficientesNão existe mínimo: custo decresce indefinidamente
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 329
Show solution
$g(v)=av+b/v$ . $g'(v)=a-b/v^2=0 \Rightarrow v^*=\sqrt{b/a}$ . $g(v^*)=2\sqrt{ab}$ . No ótimo: custo aerodinâmico = custo temporal. Analogia EOQ: custo armazenagem = custo pedido. (Resp: $v^*=\sqrt{b/a}$ , mínimo $2\sqrt{ab}$ )
Show step-by-step (with the why)
1. Derivar e igualar a zero: $v^* = \sqrt{b/a}$ .
2. Custo mínimo: $g(v^*) = a\sqrt{b/a}+b/\sqrt{b/a} = \sqrt{ab}+\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$ .
3. No ótimo: custo aerodinâmico = custo temporal.
4. Analogia EOQ: custo armazenagem = custo de pedido em $q^*=\sqrt{2SD/h}$ .
5. Ambos minimizam a soma de dois termos antagônicos.
Ex. 67.39Challenge
Com $x+y=10$ , $x,y \geq 0$ , maximize $x^2y^2$ . Confirme com AM-GM e interprete como maximizar receita $R=pq$ com $p+q$ constante.
Select the correct option
$x^2y^2$ máximo em $x=y=5$ ; AM-GM confirma $(xy)^2 \leq 625$ $x^2y^2$ máximo em $x=2, y=8$ ; valor $= 256$ $x^2y^2$ máximo em $x=1, y=9$ ; valor $= 81$ $x^2y^2$ tem máximo na fronteira em $x=0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 338
Show solution
$f(x)=x^2(10-x)^2$ . $f'(x)=2x(10-x)(10-2x)$ . Zero em $x=5$ . $f(5)=625$ . AM-GM: $xy \leq (x+y)^2/4=25 \Rightarrow (xy)^2 \leq 625$ . Aplicação: maximizar receita $R=pq$ com $p+q=10$ constante — igualdade maximiza. (Resp: $x=y=5$ , máximo $625$ )
Ex. 67.40Challenge
Para $s(t) = 2t^3 - 3t^2 - 12t + 8$ ( $t \geq 0$ ), encontre os instantes em que a partícula para, determine os intervalos de avanço/recuo e interprete como análogo de uma função custo com máximo e mínimo locais.
Select the correct option
A partícula para em $t=2$ e $t=3$ ; recua entre eles — análogo a lucro com máximo e mínimo locaisA partícula nunca paraA partícula para em $t=1$ apenasA partícula para em $t=5$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.4 · ex. 150
Show solution
$s(t) = 2t^3-3t^2-12t+8$ . $s'(t) = 6t^2-6t-12 = 6(t-2)(t+1)$ . Para $t \geq 0$ : zero em $t=2$ . Em $t=2$ : $s'' = 12(2)-6=18>0$ — mínimo local (análogo a mínimo de custo). A partícula recua em $(0,2)$ e avança para $t>2$ . (Resp: para em $t=2$ )

Fontes

Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — cap. 4–5 Aplicações de derivadas em negócios · licença livre. Fonte primária.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §3.3 Global Optimization · CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §4.7 Applied Optimization Problems · CC-BY-NC-SA.
Prêmio Nobel de Economia 1997 — Merton e Scholes (Black-Scholes-Merton).