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Lesson 74 — Discrete random variable

PMF, expectation, variance, and LOTUS. The concept that unifies probability and statistics and paves the way for all named distributions.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

E[X] = \sum_x x \cdot P(X = x), \quad \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2

Uma variável aleatória discreta $X$ mapeia resultados do espaço amostral em valores numéricos contáveis. A esperança é a média ponderada de longo prazo de $X$ ; a variância mede sua dispersão. Toda distribuição nomeada — binomial, Poisson, geométrica — é um caso particular desta estrutura.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Variável aleatória discreta

"A random variable is a numerical measure of the outcome of a probability experiment... a discrete random variable has a countable number of values." — OpenStax Statistics §4.1

"The expected value of a random variable is denoted by the Greek letter mu ( $\mu$ ). The expected value is often called the long-term average or mean." — OpenStax Statistics §4.2

Exemplos resolvidos

Example— 74.1· PMF, esperança e variância de v.a. com 3 valores

Problema. $X$ assume valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. Aplicar definições diretamente. Calcular $E[X^2]$ via LOTUS e usar a fórmula da variância.

Resolução.

$E[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

$E[X^2] = 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}5 + 3^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9$

$\text{Var}(X) = 4{,}9 - (2{,}1)^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$

Verificação. $\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ . Intervalo $[E[X] \pm \sigma] = [1{,}4;\; 2{,}8]$ — contém os valores 2 e parte de 1 e 3. Faz sentido com distribuição centrada em 2,1 com dispersão moderada.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.2· Dado honesto — PMF completa e momentos

Problema. $X$ é o resultado de um dado honesto. Calcule $E[X]$ , $E[X^2]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. PMF uniforme: $p_X(x) = 1/6$ para $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Usar somas de progressões aritméticas.

Resolução.

$E[X] = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$

$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917$

Verificação. $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ . Valores extremos (1 e 6) estão a $\approx 1{,}5\sigma$ da média — coerente com distribuição uniforme discreta simétrica.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.1 — CC-BY-SA.

Example— 74.3· Linearidade da esperança — soma de dois dados

Problema. Lance dois dados honestos. Calcule a esperança e a variância da soma $S = X_1 + X_2$ .

Estratégia. Usar linearidade da esperança e, para variância, independência dos dados.

Resolução.

Por linearidade: $E[S] = E[X_1] + E[X_2] = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ .

Como $X_1$ e $X_2$ são independentes: $\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83$ .

Verificação. $E[S] = 7$ é o valor mais provável (6 combinações somam 7 em 36 possíveis). $\sigma_S = \sqrt{35/6} \approx 2{,}42$ . Intervalo $[4{,}58;\; 9{,}42]$ contém os resultados mais comuns — plausível.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.2 — CC-BY-SA.

Example— 74.4· Aposta justa — seguro e loteria

Problema. Uma seguradora cobra prêmio de R$ 800 por ano por um seguro que paga R$ 50.000 em caso de sinistro (prob. 1%). Qual é o lucro esperado da seguradora por apólice?

Estratégia. Modelar o lucro como variável aleatória e calcular esperança.

Resolução. Seja $L$ o lucro da seguradora por apólice.

Com prob. 0,99 (sem sinistro): $L = 800$ (recebe prêmio, não paga nada).
Com prob. 0,01 (sinistro): $L = 800 - 50.000 = -49.200$ .

$E[L] = 800 \cdot 0{,}99 + (-49.200) \cdot 0{,}01 = 792 - 492 = 300$

Verificação. Prêmio atuarialmente justo seria $E[text{indenização}] = 50.000 times 0{,}01 = R$ 500 $. A seguradora cobra R$ 800, então o lucro esperado de R$ 300 cobre despesas administrativas e margem. Faz sentido comercialmente.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.5· LOTUS e variância de função não-linear

Problema. $X$ assume valores 0, 1, 2 com probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcule $E[(X - E[X])^2]$ diretamente via LOTUS e verifique com $E[X^2] - (E[X])^2$ .

Estratégia. Calcular $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ pelos dois caminhos.

Resolução. $E[X] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}9$ .

Via LOTUS com $g(x) = (x - 0{,}9)^2$ :

$E[(X-0{,}9)^2] = (0-0{,}9)^2 \cdot 0{,}3 + (1-0{,}9)^2 \cdot 0{,}5 + (2-0{,}9)^2 \cdot 0{,}2$ $= 0{,}81 \cdot 0{,}3 + 0{,}01 \cdot 0{,}5 + 1{,}21 \cdot 0{,}2 = 0{,}243 + 0{,}005 + 0{,}242 = 0{,}49$

Via fórmula alternativa:

$E[X^2] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}3$ $\text{Var}(X) = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49 \checkmark$

Verificação. Os dois métodos coincidem. A fórmula $E[X^2] - (E[X])^2$ é computacionalmente preferível (uma passagem pelos dados); LOTUS na definição é conceitualmente mais transparente.

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.1 — GNU FDL.

Exercise list

48 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 9Modeling 6Challenge 3Proof 2

Ex. 74.1Understanding
Uma função de massa de probabilidade discreta deve satisfazer duas condições. Uma é que a soma de todas as probabilidades seja 1. Qual é a outra?
Select the correct option
Cada probabilidade deve ser não-negativa e a soma de todas deve ser 1Cada probabilidade deve ser positiva e a soma deve ser maior que 1Cada probabilidade deve estar entre 0 e 10 e a soma pode ser qualquer valorA soma das probabilidades deve ser 0
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 12
Show solution
Uma PMF discreta válida exige: (1) $p(x) \geq 0$ para todo $x$ ; (2) $\sum_x p(x) = 1$ . Probabilidade zero é permitida; probabilidade negativa, jamais.
Ex. 74.2Application
Um padeiro vende lotes de pão com a seguinte distribuição: $P(0) = 0{,}10$ , $P(1) = 0{,}55$ , $P(2) = 0{,}20$ , $P(3) = 0{,}15$ . Calcule $P(x > 1)$ .
Select the correct option
$P(x > 1) = 0{,}35$ $P(x > 1) = 0{,}65$ $P(x > 1) = 0{,}20$ $P(x > 1) = 0{,}55$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 7
Show solution
Com a distribuição do padeiro: $P(0)=0{,}10$ , $P(1)=0{,}55$ , $P(2)=0{,}20$ , $P(3)=0{,}15$ . Então $P(x>1) = P(2)+P(3) = 0{,}20+0{,}15 = 0{,}35$ .
Ex. 74.3ApplicationAnswer key
Com a mesma distribuição do padeiro ( $P(0)=0{,}10$ , $P(1)=0{,}55$ , $P(2)=0{,}20$ , $P(3)=0{,}15$ ), qual é a probabilidade de vender exatamente 1 lote?
Select the correct option
$P(x = 1) = 0{,}55$ $P(x = 1) = 0{,}10$ $P(x = 1) = 0{,}65$ $P(x = 1) = 0{,}35$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 8
Show solution
A PMF do padeiro é dada diretamente: $P(x=1) = 0{,}55$ . É o valor mais provável — o padeiro vende exatamente 1 lote em 55% dos dias.
Ex. 74.4Application
Com a distribuição do padeiro ( $P(0)=0{,}10$ , $P(1)=0{,}55$ , $P(2)=0{,}20$ , $P(3)=0{,}15$ ), calcule o número médio de lotes vendidos por dia, $E[X]$ .
Select the correct option
$E[X] = 1{,}40$ lotes por dia $E[X] = 2{,}00$ lotes por dia $E[X] = 0{,}55$ lote por dia $E[X] = 1{,}00$ lote por dia
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 9
Show solution
$E[X] = 0(0{,}10)+1(0{,}55)+2(0{,}20)+3(0{,}15) = 0+0{,}55+0{,}40+0{,}45 = 1{,}40$ . O padeiro deve planejar em média 1,40 lotes por dia.
Show step-by-step (with the why)
1. Multiplique cada valor pela probabilidade: $0 \times 0{,}10=0$ ; $1 \times 0{,}55=0{,}55$ ; $2 \times 0{,}20=0{,}40$ ; $3 \times 0{,}15=0{,}45$ .
2. Some os produtos: $E[X]=0{,}55+0{,}40+0{,}45=1{,}40$ .
Ex. 74.5UnderstandingAnswer key
Ao revisar uma tabela de PMF, você verifica que as probabilidades listadas somam 0,97. Qual é o erro e qual condição da PMF foi violada?
Select the correct option
A soma das probabilidades é diferente de 1 — PMF inválidaUma das probabilidades é negativa — PMF inválidaOs valores de $x$ não são inteiros — PMF inválidaA PMF não tem erro: qualquer soma é válida
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 21
Show solution
Uma PMF deve ter $\sum_x p(x) = 1$ . Se a soma calculada difere de 1, a distribuição é inválida e não pode ser usada para calcular probabilidades ou esperança de forma consistente.
Ex. 74.6Understanding
Uma tabela de PMF apresenta a entrada $P(x = 3) = -0{,}05$ . Qual condição fundamental foi violada?
Select the correct option
Uma probabilidade é negativa — PMF inválidaOs valores de $x$ são muito grandes — PMF inválidaA soma das probabilidades é maior que 1 — PMF inválidaA PMF não tem erro: valores negativos de $p$ são permitidos
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 22
Show solution
Probabilidades são sempre não-negativas: $p(x) \geq 0$ . Uma entrada negativa viola a definição fundamental de medida de probabilidade e invalida toda a distribuição.
Ex. 74.7Application
Javier faz voluntariado em 0 a 4 eventos por mês: $P(0)=0{,}25$ , $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}20$ , $P(3)=0{,}15$ , $P(4)=0{,}10$ . Calcule $P(x < 3)$ .
Select the correct option
$P(x < 3) = 0{,}75$ $P(x < 3) = 0{,}50$ $P(x < 3) = 0{,}25$ $P(x < 3) = 1{,}00$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 16
Show solution
Distribuição de voluntariado: $P(0)=0{,}25$ , $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}20$ , $P(3)=0{,}15$ , $P(4)=0{,}10$ . $P(x<3)=P(0)+P(1)+P(2)=0{,}25+0{,}30+0{,}20=0{,}75$ .
Ex. 74.8Application
Com a distribuição de voluntariado de Javier (exercício 74.7), calcule $P(x > 0)$ — probabilidade de ele participar de pelo menos um evento por mês.
Select the correct option
$P(x > 0) = 0{,}75$ $P(x > 0) = 0{,}25$ $P(x > 0) = 0{,}30$ $P(x > 0) = 0{,}55$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 17
Show solution
Pelo complemento: $P(x>0)=1-P(0)=1-0{,}25=0{,}75$ . A maioria dos meses Javier participa de pelo menos um evento.
Ex. 74.9Application
Distribuição de anos de pesquisa pós-graduação para físicos: $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}35$ , $P(3)=0{,}20$ , $P(4)=0{,}08$ , $P(5)=0{,}07$ . Calcule $P(x \leq 3)$ .
Select the correct option
$P(x \leq 3) = 0{,}85$ $P(x \leq 3) = 0{,}65$ $P(x \leq 3) = 0{,}20$ $P(x \leq 3) = 1{,}00$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 26
Show solution
Distribuição de anos de pesquisa pós-graduação em física: $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}35$ , $P(3)=0{,}20$ , $P(4)=0{,}08$ , $P(5)=0{,}07$ . $P(x \leq 3)=0{,}30+0{,}35+0{,}20=0{,}85$ .
Ex. 74.10ApplicationAnswer key
Distribuição de anos de pesquisa em física: $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}35$ , $P(3)=0{,}20$ , $P(5)=0{,}07$ . Usando o fato de que as probabilidades somam 1, calcule $P(x=4)$ .
Select the correct option
$P(x = 4) = 0{,}08$ $P(x = 4) = 0{,}20$ $P(x = 4) = 0{,}15$ $P(x = 4) = 0{,}35$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 25
Show solution
A soma deve ser 1: $P(4)=1-(0{,}30+0{,}35+0{,}20+0{,}07)=1-0{,}92=0{,}08$ . Sem $P(4)$ , a PMF não está normalizada e nenhuma estatística pode ser calculada corretamente.
Ex. 74.11Application
Com a distribuição dos físicos ( $P(1)=0{,}30$ , $P(2)=0{,}35$ , $P(3)=0{,}20$ , $P(4)=0{,}08$ , $P(5)=0{,}07$ ), calcule $E[X]$ — o número esperado de anos de pesquisa pós-graduação.
Select the correct option
$E[X] = 2{,}27$ anos $E[X] = 3$ anos $E[X] = 1$ ano $E[X] = 5$ anos
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 27
Show solution
$E[X]=1(0{,}30)+2(0{,}35)+3(0{,}20)+4(0{,}08)+5(0{,}07)=0{,}30+0{,}70+0{,}60+0{,}32+0{,}35=2{,}27$ anos em média.
Show step-by-step (with the why)
1. Monte a tabela: $x \cdot P(x)$ para cada valor.
2. $1 \cdot 0{,}30=0{,}30$ ; $2 \cdot 0{,}35=0{,}70$ ; $3 \cdot 0{,}20=0{,}60$ ; $4 \cdot 0{,}08=0{,}32$ ; $5 \cdot 0{,}07=0{,}35$ .
3. Some: $E[X]=2{,}27$ .
Ex. 74.12ApplicationAnswer key
Um professor de balé tem alunos que estudam 1 a 6 anos: $P(1)=0{,}12$ , $P(2)=0{,}18$ , $P(3)=0{,}26$ , $P(5)=0{,}07$ , $P(6)=0{,}17$ . Calcule $P(x=4)$ .
Select the correct option
$P(x = 4) = 0{,}20$ $P(x = 4) = 0{,}07$ $P(x = 4) = 0{,}12$ $P(x = 4) = 0{,}26$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 30
Show solution
Distribuição do balé: $P(1)=0{,}12$ , $P(2)=0{,}18$ , $P(3)=0{,}26$ , $P(4)=?$ , $P(5)=0{,}07$ , $P(6)=0{,}17$ . Soma já conhecida: $0{,}12+0{,}18+0{,}26+0{,}07+0{,}17=0{,}80$ . Logo $P(4)=0{,}20$ .
Ex. 74.13Application
Com a distribuição do balé ( $P(1)=0{,}12$ , $P(2)=0{,}18$ , $P(3)=0{,}26$ , $P(4)=0{,}20$ , $P(5)=0{,}07$ , $P(6)=0{,}17$ ), calcule $P(x < 4)$ .
Select the correct option
$P(x < 4) = 0{,}56$ $P(x < 4) = 0{,}76$ $P(x < 4) = 0{,}44$ $P(x < 4) = 0{,}24$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 31
Show solution
Com $P(4)=0{,}20$ : $P(x<4)=P(1)+P(2)+P(3)=0{,}12+0{,}18+0{,}26=0{,}56$ . Mais de metade dos alunos abandona antes de completar 4 anos.
Ex. 74.14Application
Com a distribuição completa do balé ( $P(1)=0{,}12$ , $P(2)=0{,}18$ , $P(3)=0{,}26$ , $P(4)=0{,}20$ , $P(5)=0{,}07$ , $P(6)=0{,}17$ ), calcule $E[X]$ .
Select the correct option
$E[X] = 3{,}49$ anos $E[X] = 4$ anos $E[X] = 3$ anos $E[X] = 6$ anos
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 32
Show solution
$E[X]=1(0{,}12)+2(0{,}18)+3(0{,}26)+4(0{,}20)+5(0{,}07)+6(0{,}17)$ $=0{,}12+0{,}36+0{,}78+0{,}80+0{,}35+1{,}02=3{,}43$ . (Resp: 3,43 anos.)
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $x \cdot P(x)$ para cada par: 0,12; 0,36; 0,78; 0,80; 0,35; 1,02.
2. Some: $E[X]=3{,}43$ anos.
3. Interpretação: uma criança estuda balé neste estúdio cerca de 3,4 anos em média.
Ex. 74.15ApplicationAnswer key
O valor de um portfólio sobe 18% em período de boom, 9% em tempos normais e cai 12% em recessão. Cada cenário é igualmente provável. Calcule o retorno esperado $E[R]$ .
Select the correct option
$E[R] = 5\%$ $E[R] = 9\%$ $E[R] = 18\%$ $E[R] = -12\%$
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.33
Show solution
Três cenários equiprováveis ( $p=1/3$ cada). $E[R]=\frac{18+9+(-12)}{3}=\frac{15}{3}=5\%$ .
Ex. 74.16ModelingAnswer key
Jogo de baralho: carta vermelha — R $0; espada — R$ 5; qualquer paus — R $10; ás de paus — R$ 10 + R$ 20 extra. Calcule o ganho esperado por partida e o preço máximo que valeria a pena pagar para jogar.
Select the correct option
$E[\text{ganho}] \approx 4{,}13$ reais por partida $E[\text{ganho}] = 10$ reais por partida $E[\text{ganho}] = 5$ reais por partida $E[\text{ganho}] = 0$ reais por partida
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.30
Show solution
Baralho de 52 cartas: 26 vermelhas (ganho 0), 13 espadas (ganho R$ 5), 12 paus exceto ás (ganho R$ 10), 1 ás de paus (ganho R$ 30). $E[G]=\frac{0 \cdot 26+5 \cdot 13+10 \cdot 12+30 \cdot 1}{52}=\frac{215}{52}\approx 4{,}13$ reais. Preço justo máximo: R$ 4,13.
Show step-by-step (with the why)
1. Monte a PMF: $P(G=0)=26/52$ , $P(G=5)=13/52$ , $P(G=10)=12/52$ , $P(G=30)=1/52$ .
2. Verifique: $26+13+12+1=52$ . Soma das probs = 1.
3. Calcule: $E[G]=\frac{0+65+120+30}{52}=\frac{215}{52}\approx 4{,}13$ .
4. Preço justo = valor esperado = R$ 4,13.
Ex. 74.17ModelingAnswer key
Andy paga R $2 por partida. Cartas 2–10: nada; figuras: R$ 3; ás comum: R $5; ás de paus: R$ 5 + R$ 20 extra. Calcule o lucro esperado por partida e diga se o jogo é recomendável.
Select the correct option
Lucro esperado negativo: Andy perde em média R$ 0{,}54 por partidaLucro esperado positivo: Andy ganha R$ 0{,}54 por partidaLucro esperado zero: jogo justoLucro esperado R$ 1{,}46 por partida
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.32
Show solution
Cartas 2–10 (36 cartas): ganho R$ 0. Figuras (12): R$ 3. Ases comuns (3): R$ 5. Ás de paus (1): R$ 25. $E[G]=\frac{0 \cdot 36+3 \cdot 12+5 \cdot 3+25 \cdot 1}{52}=\frac{76}{52}\approx 1{,}46$ . Custo = R$ 2. Lucro esperado: $1{,}46-2{,}00=-0{,}54$ . Jogo desfavorável.
Ex. 74.18Application
Roleta americana: 38 casas (18 vermelhas, 18 pretas, 2 verdes). Você aposta R $1 no vermelho — se acertar recebe o dobro, senão perde tudo. Calcule$ E[X]$ por rodada.
Select the correct option
$E[X] \approx -0{,}053$ real por rodada $E[X] \approx +0{,}053$ real por rodada $E[X] = 0$ por rodada $E[X] = -1$ real por rodada
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.35
Show solution
Roleta americana: 38 casas. Apostando R$ 1 no vermelho: ganha R$ 1 (18/38), perde R$ 1 (20/38). $E[X]=1 \cdot \frac{18}{38}+(-1) \cdot \frac{20}{38}=\frac{-2}{38}\approx -0{,}053$ . O cassino retém 5,3% de cada aposta em média.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique os resultados: +R$ 1 com prob 18/38; -R$ 1 com prob 20/38.
2. Calcule: $E[X]=\frac{18-20}{38}=\frac{-2}{38}$ .
3. Simplifique: $E[X]\approx -0{,}053$ real por rodada.
4. Interpretação: o jogador perde 5,3 centavos por real apostado no longo prazo.
Ex. 74.19Application
Jogo de baralho com reposição: se tirar figura (12 cartas em 52), ganha R $30; caso contrário, paga R$ 2. Calcule o valor esperado por partida. (Resp: ~R$ 5,38.)
Select the correct option
$E[\text{ganho por partida}] \approx R$ 3{,}77$ $E[\text{ganho por partida}] = R$ 30$ $E[\text{ganho por partida}] = -R$ 2{,}00$ $E[\text{ganho por partida}] = R$ 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 35
Show solution
Baralho de 52 cartas, com reposição. 12 cartas são figuras. $P(\text{figura})=12/52$ , $P(\text{não figura})=40/52$ . $E[X]=30 \cdot \frac{12}{52}+(-2) \cdot \frac{40}{52}=\frac{360-80}{52}=\frac{280}{52}\approx 5{,}38$ . (Resp: ~R$ 5,38.)
Ex. 74.20Understanding
Com os dados do exercício 74.19 (jogo figura/não-figura), você deveria jogar? Justifique com base no valor esperado.
Select the correct option
Sim, pois o valor esperado por partida é positivo — em média o jogador lucraNão, pois o valor esperado é zero — nenhum ganho esperadoNão, pois o valor esperado é negativo — o jogador perde no longo prazoDepende do número de rodadas jogadas
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 36
Show solution
O valor esperado calculado no exercício 74.19 é positivo (~R$ 5,38). Jogar indefinidamente com valor esperado positivo traz lucro no longo prazo (Lei dos Grandes Números). Portanto, vale a pena jogar.
Ex. 74.21Application
Em uma universidade, 13% dos estudantes fumam. Calcule o número esperado de fumantes em uma amostra aleatória de 100 estudantes.
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$E[\text{fumantes}] = 13$ $E[\text{fumantes}] = 100$ $E[\text{fumantes}] = 0{,}13$ $E[\text{fumantes}] = 87$
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.29
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Seja $X$ = número de fumantes em uma amostra aleatória de 100 estudantes. $E[X]=np=100 \times 0{,}13=13$ . Em média, 13 dos 100 estudantes escolhidos ao acaso serão fumantes.
Ex. 74.22Application
Companhia aérea cobra R $25 pela 1ª mala e R$ 35 pela 2ª. Probabilidades: 54% sem bagagem, 34% com 1 mala (R $25), 12% com 2 malas (R$ 60). Calcule a receita esperada por passageiro.
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$E[X] = 15{,}70$ reais por passageiro $E[X] = 25$ reais por passageiro $E[X] = 60$ reais por passageiro $E[X] = 0$ reais por passageiro
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.34
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$E[X]=0(0{,}54)+25(0{,}34)+60(0{,}12)=0+8{,}50+7{,}20=15{,}70$ reais por passageiro em média.
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1. PMF: $P(0)=0{,}54$ , $P(25)=0{,}34$ , $P(60)=0{,}12$ .
2. Multiplique: $0 \cdot 0{,}54=0$ ; $25 \cdot 0{,}34=8{,}50$ ; $60 \cdot 0{,}12=7{,}20$ .
3. Some: $E[X]=15{,}70$ reais.
Ex. 74.23Modeling
Com a distribuição de bagagem do exercício 74.22, calcule a receita total esperada de um voo com 120 passageiros.
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Receita esperada total $\approx R$ 1{.}884$Receita esperada total $\approx R$ 3{.}000$Receita esperada total $\approx R$ 7{.}200$Receita esperada total $= R$ 0$
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.34
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Por linearidade da esperança, com 120 passageiros independentes: $E[\text{total}]=120 \times 15{,}70=1{.}884$ reais. O desvio padrão requer o cálculo de $\text{Var}(X)$ e multiplicação por $\sqrt{120}$ .
Ex. 74.24Modeling
Roleta europeia (37 casas: 18 vermelhas, 18 pretas, 1 verde). Compare: (a) apostar R $3 em uma única rodada; (b) apostar R$ 1 em três rodadas separadas. Qual é mais arriscado?
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Jogo de R$ 3 em uma rodada: maior variância, mesmo valor esperadoTrês rodadas de R$ 1: maior variância, mesmo valor esperadoOs dois jogos têm exatamente a mesma variânciaJogo de R$ 3 tem valor esperado maior
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.36
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Roleta europeia: 37 casas. Valor esperado por real apostado: $\frac{-1}{37}$ . Para R$ 3 em uma rodada: $E=-3/37$ , $\sigma^2=9 \cdot p(1-p)\approx 8{,}93$ . Para três rodadas de R$ 1: $E=-3/37$ , $\sigma^2=3 \cdot 1 \cdot p(1-p)\approx 2{,}97$ . Mesmo esperado, mas R$ 3 em uma rodada é mais arriscado.
Ex. 74.25ModelingAnswer key
Uma universidade tem 13% de estudantes fumantes. Sábado de manhã, há 27 estudantes esperando a academia abrir. Deveria-se usar $E[X] = np = 27 \times 0{,}13$ para estimar fumantes nesse grupo?
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As cartas perto da academia não são amostra aleatória — a abordagem de $E[X]=np$ não se aplicaA abordagem se aplica igualmente: $E[X]=27 \times 0{,}13\approx 3{,}5$ fumantesA abordagem funciona pois $n=27$ e $p=0{,}13$ são conhecidosA abordagem não se aplica porque $n$ é muito pequeno
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.29
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O modelo $E[X]=np$ pressupõe amostra aleatória da população. Estudantes esperando às 8h55 para abrir a academia são uma subpopulação selecionada por hábitos saudáveis — provavelmente com taxa de tabagismo diferente da média universitária. A amostragem não é aleatória, então a abordagem não é adequada.
Ex. 74.26Modeling
Jogo de baralho: retira 3 cartas sem reposição. Três corações: ganho R $50; três pretas: R$ 25; qualquer outra: R $0. O jogo custa R$ 5. Calcule o lucro esperado e decida se vale jogar.
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Jogue no pano de corações: $E[X]$ é negativo mas o desvio padrão cobre a perda esperadaNão jogue: $E[\text{lucro líquido}] < 0$ se o custo for R$ 5Jogue sempre: $E[\text{ganho bruto}] > 0$ Depende do número de partidas
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.31
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3 corações em 52 sem reposição: $P(3H)=\binom{13}{3}/\binom{52}{3}=286/22100\approx 0{,}013$ . 3 pretas: $P(3P)=\binom{26}{3}/\binom{52}{3}=2600/22100\approx 0{,}118$ . $E[\text{ganho}]=50(0{,}013)+25(0{,}118)+0=0{,}63+2{,}94=3{,}57$ . Com custo de R$ 5: lucro esperado $=3{,}57-5{,}00=-1{,}43$ . Jogo desfavorável.
Ex. 74.27Understanding
Qual é o significado da soma da coluna $x \cdot P(x)$ em uma tabela de valor esperado?
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A soma da coluna $x \cdot P(x)$ fornece $E[X]$ diretamenteA soma da coluna $x \cdot P(x)$ fornece a variânciaA tabela serve apenas para verificar se as probabilidades somam 1A soma da coluna $x \cdot P(x)$ fornece o desvio padrão
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 34
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A tabela de valor esperado tem colunas $x$ , $P(x)$ , $x \cdot P(x)$ . A soma da terceira coluna é exatamente $E[X]=\sum_x x P(x)$ — definição de esperança de v.a. discreta.
Ex. 74.28Understanding
Por que é necessário conhecer $P(x=4)$ antes de calcular $E[X]$ na distribuição dos físicos (exercícios 74.9–74.11)?
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A soma de $P(x)$ deve ser 1 — sem $P(4)$ a distribuição não está normalizadaValores raros como $P(4)=0{,}08$ não afetam o resultado $E[X]$ pode ser calculado sem todos os valores da PMFBasta conhecer os valores mais prováveis para calcular $E[X]$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 33
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Sem $P(4)$ , as probabilidades somam $0{,}92 \neq 1$ . Uma PMF inválida não pode gerar estatísticas consistentes: $E[X]$ calculado com probs não normalizadas seria incorreto, subestimando a contribuição de $x=4$ .
Ex. 74.29ApplicationAnswer key
Dez calouros são consultados sobre uma política universitária; 40% dos estudantes em geral a apoiam. Seja $X$ = número que respondeu sim. Calcule $E[X]$ .
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$E[X] = 4$ estudantes $E[X] = 10$ estudantes $E[X] = 0{,}40$ estudante $E[X] = 2$ estudantes
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 41
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$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}40)$ . $E[X]=np=10 \times 0{,}40=4$ . Em média, 4 dos 10 calouros favoreceriam a política.
Ex. 74.30Application
Com $X \sim \text{Bin}(10,\, 0{,}40)$ (calouros, exercício 74.29), calcule o desvio padrão $\sigma$ .
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$\sigma \approx 1{,}55$ $\sigma = 4$ $\sigma = 0{,}40$ $\sigma \approx 2{,}40$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 42
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$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}40)$ . $\text{Var}(X)=np(1-p)=10 \times 0{,}40 \times 0{,}60=2{,}40$ . $\sigma=\sqrt{2{,}40}\approx 1{,}55$ .
Ex. 74.31Application
Com $X \sim \text{Bin}(10,\, 0{,}40)$ , calcule $P(X \leq 5)$ — probabilidade de no máximo 5 calouros responderem sim.
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$P(X \leq 5) \approx 0{,}8338$ $P(X \leq 5) \approx 0{,}1662$ $P(X \leq 5) \approx 0{,}40$ $P(X \leq 5) \approx 0{,}50$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 43
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$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}40)$ . Usando tabela binomial ou cálculo direto: $P(X \leq 5)=\sum_{k=0}^{5}\binom{10}{k}(0{,}4)^k(0{,}6)^{10-k}\approx 0{,}8338$ .
Ex. 74.32Application
Com $X \sim \text{Bin}(10,\, 0{,}40)$ , calcule $P(X \geq 2)$ — probabilidade de pelo menos 2 calouros responderem sim. (Resp: $\approx 0{,}9536$ .)
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$P(X \geq 2) \approx 0{,}9536$ $P(X \geq 2) \approx 0{,}0464$ $P(X \geq 2) \approx 0{,}40$ $P(X \geq 2) \approx 0{,}60$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 44
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$P(X \geq 2)=1-P(X \leq 1)=1-[P(0)+P(1)]$ . $P(0)=(0{,}6)^{10}\approx 0{,}0060$ ; $P(1)=10(0{,}4)(0{,}6)^9\approx 0{,}0403$ . $P(X \geq 2)=1-0{,}0464=0{,}9536$ .
Ex. 74.33Application
Nos mesmos dados dos calouros ( $p = 0{,}40$ ), seja $X$ = número de consultas até o primeiro que responde sim. Usando a distribuição geométrica, calcule $E[X]$ .
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$E[X] = 2{,}5$ consultas $E[X] = 0{,}40$ consulta $E[X] = 5$ consultas $E[X] = 10$ consultas
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 49
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Seja $X$ = número de calouros consultados até encontrar o primeiro que responde sim. $X \sim \text{Geom}(0{,}40)$ . $E[X]=1/p=1/0{,}40=2{,}5$ . São necessárias em média 2,5 consultas.
Ex. 74.34ApplicationAnswer key
Com $X \sim \text{Geom}(0{,}40)$ (calouros), calcule $P(X < 3)$ — probabilidade de precisar consultar menos de 3 estudantes.
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$P(X < 3) = 0{,}64$ $P(X < 3) = 0{,}40$ $P(X < 3) = 0{,}36$ $P(X < 3) = 0{,}48$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 50
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$X \sim \text{Geom}(0{,}40)$ . $P(X=1)=0{,}40$ ; $P(X=2)=(0{,}60)(0{,}40)=0{,}24$ . $P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0{,}40+0{,}24=0{,}64$ .
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1. Na geométrica, $P(X=k)=(1-p)^{k-1} p$ .
2. $P(X=1)=(0{,}6)^0 \cdot 0{,}4=0{,}40$ .
3. $P(X=2)=(0{,}6)^1 \cdot 0{,}4=0{,}24$ .
4. Some: $P(X < 3)=0{,}64$ .
Ex. 74.35ApplicationAnswer key
Universidade com 13% de fumantes. Em uma amostra aleatória de 100 estudantes, seja $X$ = número de fumantes. Calcule $E[X]$ .
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$E[X] = 13$ fumantes $E[X] = 100$ fumantes $E[X] = 87$ fumantes $E[X] = 1{,}3$ fumantes
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.29
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$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}13)$ . $E[X]=np=100 \times 0{,}13=13$ . A esperança 13 é o centro da distribuição binomial — resultado direto da linearidade da esperança para indicadores de Bernoulli.
Ex. 74.36Understanding
Que tipo de distribuição a Poisson pode ser usada para aproximar? Quando seria apropriado usar essa aproximação?
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Poisson pode aproximar a binomial quando $n$ é grande e $p$ é pequenoPoisson pode aproximar a normal quando $n$ é pequenoPoisson só pode aproximar a uniforme discretaPoisson não aproxima nenhuma outra distribuição
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 62
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Quando $n \to \infty$ e $p \to 0$ com $np = \lambda$ fixo, a binomial converge para $\text{Poisson}(\lambda)$ . Regra prática: usar quando $n > 20$ e $p < 0{,}05$ .
Ex. 74.37Application
Uma loja recebe em média 120 clientes por dia. Seja $X \sim \text{Poisson}(120)$ o número de clientes em um dia. Qual é $E[X]$ ?
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$E[X] = 120$ clientes por dia $E[X] = 12$ clientes por dia $E[X] = 10$ clientes por dia $E[X] = 1$ cliente por dia
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 56
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Para uma distribuição de Poisson, $E[X]=\lambda$ . Com $\lambda=120$ clientes/dia: $E[X]=120$ . A esperança da Poisson é igual ao parâmetro $\lambda$ , que coincide com a taxa média de ocorrências.
Ex. 74.38Application
Com $X \sim \text{Poisson}(120)$ (clientes por dia), calcule a probabilidade de haver exatamente 150 clientes em um dia. (Resp: $\approx 0{,}0005$ .)
Select the correct option
$P(X = 150) \approx 0{,}0005$ $P(X = 150) \approx 0{,}50$ $P(X = 150) \approx 0{,}10$ $P(X = 150) \approx 0{,}25$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 58
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$X \sim \text{Poisson}(120)$ . $P(X=150)=\frac{e^{-120} \cdot 120^{150}}{150!}$ . Usando a aproximação normal: $z=(150-120)/\sqrt{120}\approx 2{,}74$ , o valor é muito pequeno, $P \approx 0{,}0005$ . 150 clientes é cerca de 2,7 desvios acima da média.
Ex. 74.39Application
A loja (exercício 74.37) recebe 120 clientes/dia em 12 horas. Calcule $P(X = 35)$ nas primeiras 4 horas, supondo distribuição de Poisson.
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$P(X = 35) \approx 0{,}0579$ $P(X = 35) \approx 0{,}25$ $P(X = 35) \approx 0{,}10$ $P(X = 35) \approx 0{,}50$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 59
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Loja aberta 12h, média 120 clientes/dia. Em 4h: $\lambda_{4h}=120 \cdot (4/12)=40$ . $X \sim \text{Poisson}(40)$ . $P(X=35)=\frac{e^{-40} \cdot 40^{35}}{35!} \approx 0{,}0579$ .
Ex. 74.40Application
Com a loja do exercício 74.37 (120 clientes/dia em 12 horas), calcule $P(X > 12)$ na primeira hora.
Select the correct option
$P(X > 12) \approx 0{,}2084$ $P(X > 12) \approx 0{,}7916$ $P(X > 12) \approx 0{,}50$ $P(X > 12) \approx 0{,}10$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 60
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Em 1h: $\lambda_h=120/12=10$ . $X \sim \text{Poisson}(10)$ . $P(X>12)=1-P(X \leq 12)\approx 1-0{,}7916=0{,}2084$ . Há cerca de 21% de chance de mais de 12 clientes na primeira hora.
Ex. 74.41Application
Com a mesma loja (exercício 74.37), calcule $P(X < 12)$ nas primeiras 2 horas. (Resp: $\approx 0{,}0200$ .)
Select the correct option
$P(X < 12) \approx 0{,}0200$ $P(X < 12) \approx 0{,}98$ $P(X < 12) \approx 0{,}50$ $P(X < 12) \approx 0{,}20$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 61
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Em 2h: $\lambda_{2h}=120 \cdot (2/12)=20$ . $X \sim \text{Poisson}(20)$ . $P(X<12)=P(X \leq 11)\approx 0{,}0200$ . Com média 20, ter menos de 12 clientes em 2h é improvável (~2%).
Ex. 74.42Understanding
Mortes de adolescentes por acidente de trânsito nos EUA têm média de 10 por dia ( $\lambda = 10$ , Poisson). É provável que nenhum adolescente morra em um dado dia? Justifique numericamente.
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Não é provável: $P(X=0)$ é essencialmente zero com $\lambda=10$ É provável: $P(X=0) > 0{,}50$ É igualmente provável que ocorra ou nãoImpossível determinar sem mais dados
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 67
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Mortes por acidente de trânsito de adolescentes nos EUA: média ~10 por dia ( $\lambda=10$ ). $P(X=0)=e^{-10}\approx 0{,}0000454$ — menos de 0,005% de probabilidade. Virtualmente impossível nenhum óbito em um dia.
Ex. 74.43Challenge
Com $X \sim \text{Poisson}(10)$ (óbitos de adolescentes por dia), calcule $P(X > 20)$ . É provável que haja mais de 20 mortes em um único dia?
Select the correct option
Pouco provável: $P(X > 20) \approx 0{,}0028$ Muito provável: $P(X > 20) \approx 0{,}50$ Impossível: $P(X > 20) = 0$ Provável: $P(X > 20) \approx 0{,}20$
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 68
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$X \sim \text{Poisson}(10)$ . $P(X>20)=1-P(X \leq 20)\approx 1-0{,}9972=0{,}0028$ . Com média 10, ter mais de 20 óbitos é cerca de 2,8 vezes em 1000 dias — raro mas não impossível.
Ex. 74.44Understanding
A linearidade $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ exige que $X$ e $Y$ sejam independentes?
Select the correct option
$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ sempre, mesmo sem independência $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ apenas quando $X$ e $Y$ são independentes $E[X+Y]=E[X] \cdot E[Y]$ pela multiplicação $E[X+Y]=2 \cdot E[X]$ somente se $X$ e $Y$ têm a mesma distribuição
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Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.36
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Linearidade da esperança: $E[X+Y]=\sum_{x,y}(x+y)P(x,y)=\sum_x x P_X(x)+\sum_y y P_Y(y)=E[X]+E[Y]$ . A decomposição não requer hipótese sobre a relação entre $X$ e $Y$ .
Ex. 74.45ProofAnswer key
Demonstre que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ .
Select the correct option
$\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ — equivalência provada por expansão de $(X-\mu)^2$ $\text{Var}(X)=(E[X])^2-E[X^2]$ $\text{Var}(X)=E[X]^2$ $\text{Var}(X)=E[X^2]$ sem subtração
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OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.35
Show solution
Por linearidade: $E[(X-\mu)^2]=E[X^2-2\mu X+\mu^2]=E[X^2]-2\mu E[X]+\mu^2=E[X^2]-2\mu^2+\mu^2=E[X^2]-\mu^2$ . Portanto $\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ . $\blacksquare$
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $\mu=E[X]$ . Parta da definição: $\text{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$ .
2. Expanda: $(X-\mu)^2=X^2-2\mu X+\mu^2$ .
3. Aplique linearidade: $E[X^2-2\mu X+\mu^2]=E[X^2]-2\mu E[X]+\mu^2$ .
4. Substitua $E[X]=\mu$ : $=E[X^2]-2\mu^2+\mu^2=E[X^2]-\mu^2$ .
Ex. 74.46Challenge
Quando vale a igualdade $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ?
Select the correct option
$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ somente se $X$ e $Y$ são independentes $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ sempre, como a esperança $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)$ $\text{Var}(X+Y)=0$ quando $X$ e $Y$ são independentes
Select an option first
Solve online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.36
Show solution
$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$ . Independência implica $\text{Cov}(X,Y)=0$ , daí a aditividade. Correlação negativa reduz a variância da soma; positiva, aumenta.
Ex. 74.47Challenge
Um investidor analisa três empresas: software (10% de +R $5M, 30% de +R$ 1M, 60% de −R $1M), hardware (20% de +R$ 3M, 40% de +R $1M, 40% de −R$ 1M), biotecnologia (10% de +R $6M, 70% de zero, 20% de −R$ 1M). Qual tem maior retorno esperado?
Select the correct option
Hardware: maior retorno esperado ( $E = R$ 0{,}60M$)Software: maior retorno esperado ( $E = R$ 0{,}20M$)Biotecnologia: maior retorno esperado ( $E = R$ 0{,}40M$)Todos têm o mesmo retorno esperado
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Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 27
Show solution
Software: $E=5(0{,}10)+1(0{,}30)+(-1)(0{,}60)=0{,}50+0{,}30-0{,}60=0{,}20$ M. Hardware: $E=3(0{,}20)+1(0{,}40)+(-1)(0{,}40)=0{,}60+0{,}40-0{,}40=0{,}60$ M. Biotecnologia: $E=6(0{,}10)+0(0{,}70)+(-1)(0{,}20)=0{,}60+0-0{,}20=0{,}40$ M. Hardware tem maior retorno esperado.
Show step-by-step (with the why)
1. Para cada empresa, calcule $E[X]=\sum_x x P(x)$ .
2. Software: R$ 0,20M. Hardware: R$ 0,60M. Biotech: R$ 0,40M.
3. Maior: Hardware.
4. Para análise completa, calcule também as variâncias (risco).
Ex. 74.48Proof
O que significa variância zero para uma variável aleatória discreta? Demonstre a afirmação a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
Select the correct option
Variância zero $\Leftrightarrow$ $X = \mu$ com probabilidade 1 (v.a. degenerada)Variância zero $\Rightarrow$ $E[X] = 0$ Variância zero é impossível para qualquer v.a.Variância zero implica que todos os valores de $x$ são zero
Select an option first
Solve online OpenStax Introductory Statistics · §4.P · ex. 19
Show solution
$\text{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=0$ requer $(X-\mu)^2=0$ com probabilidade 1, ou seja $X=\mu$ com prob 1. A v.a. é constante (degenerada). Isso é independente do valor de $\mu$ — que pode ser qualquer real.

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.1 (PMF, esperança) e §3.2 (variância, linearidade, independência).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §4.1–4.3 — v.a. discreta, PMF, CDF, esperança, variância; exercícios AP-level.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.1–5.2 — esperança, variância, LOTUS, desigualdades de Markov e Chebyshev; exercícios demonstrativos.