v1 · padrão canônico

Lesson 81 — Antiderivative and indefinite integral

F such that F'(x) = f(x). Integration constant C. Table of elementary antiderivatives. Linearity. Verification by differentiation.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

Antiderivada: operação inversa da derivada. F é antiderivada de f se $F'(x) = f(x)$ . A constante C surge porque qualquer constante adicional some ao derivar.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Antiderivada e integral indefinida

"Se $F$ é uma antiderivada de $f$ em um intervalo $I$ , então a antiderivada mais geral de $f$ em $I$ é $F(x) + C$ , onde $C$ é uma constante arbitrária." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.10

Tabela de antiderivadas elementares

Tabela das antiderivadas elementares. Verificar cada linha derivando o resultado: deve retornar a coluna da esquerda.

Linearidade da antiderivação

"A regra da soma e as regras dos múltiplos constantes da integração mostram que a antiderivada de qualquer combinação linear de funções é a combinação linear das antiderivadas." — APEX Calculus, §5.1

Exemplos resolvidos

Example— 3· Condição inicial determina C (intermediário)

Problema. Encontre $F(x)$ sabendo que $F'(x) = x^2 - 4x + 1$ e $F(2) = -3$ .

Estratégia. Integrar para obter a família geral; usar a condição $F(2) = -3$ para determinar $C$ .

Resolução. $F(x) = \int (x^2 - 4x + 1)\, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + x + C.$

Condição inicial: $F(2) = \frac{8}{3} - 8 + 2 + C = -3$ , logo $C = -3 - \frac{8}{3} + 6 = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ .

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + x + \frac{1}{3}.$

Verificação. $F'(x) = x^2 - 4x + 1$ e $F(2) = \frac{8}{3} - 8 + 2 + \frac{1}{3} = 3 - 8 + 2 = -3$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.10, Exercício 4.284 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Expansão algébrica antes de integrar (intermediário)

Problema. Calcule $\displaystyle\int x(3x - 1)^2\, dx$ .

Estratégia. Expandir o quadrado e distribuir antes de aplicar a regra da potência. (Substituição funcionaria, mas expansão é mais direta aqui.)

Resolução. $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$ , então $x(3x-1)^2 = 9x^3 - 6x^2 + x$ .

$\int (9x^3 - 6x^2 + x)\, dx = \frac{9x^4}{4} - 2x^3 + \frac{x^2}{2} + C.$

Verificação. Derivando: $9x^3 - 6x^2 + x = x(9x^2 - 6x + 1) = x(3x-1)^2$ . Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.1, Exercício 5.1.15 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 5Modeling 2Challenge 2Proof 1

Ex. 81.1Understanding
Verifique se $F(x) = 5x^3+2x^2+3x+1$ é antiderivada de $f(x) = 15x^2+4x+3$ .
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Sim, pois $(5x^3+2x^2+3x+1)' = 15x^2+4x+3$ Não, pois a integral de $15x^2$ é $5x^4$ , não $5x^3$ Não, pois falta o termo constanteSim, mas apenas para $x > 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 465
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Verifique derivando: $(5x^3+2x^2+3x+1)' = 15x^2+4x+3$ . Como a derivada de $F$ é igual a $f$ , a resposta é sim. B confundiu integração com derivação de $x^2$ . C ignora que a constante some ao derivar. D: a relação vale para todo $x$ .
Ex. 81.2Understanding
Verifique se $F(x) = x^2+4x+1$ é antiderivada de $f(x) = 2x+4$ .
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Sim, pois $(x^2+4x+1)' = 2x+4$ Não, pois a antiderivada de $2x+4$ é $x^2+4x$ , sem constanteNão, pois $(x^2+4x+1)' = 2x+4x$ Depende do intervalo considerado
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 466
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Calcule a derivada: $(x^2+4x+1)' = 2x+4$ . Como coincide com $f(x)$ , $F$ é de fato antiderivada. B é verdade, mas a constante $+1$ não impede: qualquer constante adicional é permitida na família de antiderivadas. C é erro de derivação. D: valem em todo intervalo do domínio.
Ex. 81.3UnderstandingAnswer key
Verifique se $F(x) = x^2 e^x$ é antiderivada de $f(x) = e^x(x^2+2x)$ .
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Sim, pois $(x^2 e^x)' = e^x(x^2+2x)$ Não, pois $(x^2 e^x)' = 2x e^x$ Não, pois falta somar $C$ Sim, mas apenas para $x geq 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 467
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Regra do produto: $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2+2x)$ . Logo $F$ é antiderivada. B aplicou apenas a regra da potência. C confundiu verificação com a constante de integração. D: vale para todo $x$ .
Ex. 81.4Understanding
Verifique se $F(x) = \cos x$ é antiderivada de $f(x) = -\sin x$ .
Select the correct option
Sim, pois $(\cos x)' = -\sin x$ Não, pois a antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$ , não $\cos x$ Não, pois falta o móduloDepende do ramo de $\cos x$ utilizado
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 468
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Calcule: $(\cos x)' = -\sin x$ . Como a derivada de $F(x)=\cos x$ é exatamente $f(x)=-\sin x$ , a verificação confirma. B confundiu a relação: o enunciado pede verificar $F=\cos x$ vs $f=-\sin x$ , não o contrário. C não se aplica. D: a identidade vale para todo $x \in \mathbb{R}$ .
Ex. 81.5Application
Verifique que $F(x) = e^x$ é antiderivada de $f(x) = e^x$ e escreva $\int e^x\,dx$ .
Select the correct option
$e^x + C$ $x e^{x-1} + C$ $e^x / x + C$ $\ln x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 469
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A exponencial natural é sua própria antiderivada: $(e^x)' = e^x$ , logo $\int e^x\,dx = e^x+C$ . B aplicou erroneamente a regra da potência. C dividiu por $x$ sem fundamento. D é antiderivada de $1/x$ .
Ex. 81.6Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ .
Select the correct option
$\ln|x| - \frac{1}{x} + C$ $-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + C$ $\ln|x| + x^{-2} + C$ $\frac{1}{x^2} + x^{-2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 470
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Separe: $\int(1/x)\,dx + \int x^{-2}\,dx = \ln|x| + x^{-1}/(-1) = \ln|x| - 1/x + C$ . B derivou $1/x$ em vez de integrar. C errou o resultado de $\int x^{-2}\,dx$ . D usou potência errada em $1/x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separe: $\int(1/x + 1/x^2)\,dx = \int x^{-1}\,dx + \int x^{-2}\,dx$ .
2. $\int x^{-1}\,dx = \ln|x|$ .
3. $\int x^{-2}\,dx = x^{-1}/(-1) = -1/x$ .
4. Resultado: $\ln|x| - 1/x + C$ .
Ex. 81.7ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = e^x - 3x^2 + \sin x$ .
Select the correct option
$e^x - x^3 - \cos x + C$ $e^x - 3x^2 - \cos x + C$ $e^x - x^3 + \cos x + C$ $e^x + x^3 - \cos x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 471
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Linearidade: $\int e^x\,dx = e^x$ , $\int(-3x^2)\,dx = -x^3$ , $\int \sin x\,dx = -\cos x$ . Some: $e^x - x^3 - \cos x + C$ . B não integrou $3x^2$ . C errou o sinal de $\sin x$ . D trocou o sinal de $x^3$ .
Ex. 81.8ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = e^x + 3x - x^2$ .
Select the correct option
$e^x + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C$ $e^x + 3x - x^2 + C$ $e^x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$ $e^x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 472
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Integre cada parcela: $e^x \to e^x$ , $3x \to 3x^2/2$ , $-x^2 \to -x^3/3$ . B não integrou os termos polinomiais. C errou o sinal de $-x^2$ . D trocou o sinal de $3x$ .
Ex. 81.9Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = x^{-1} + 4\sin(2x)$ .
Select the correct option
$\ln|x| - 2\cos(2x) + C$ $\ln|x| + 2\cos(2x) + C$ $\ln|x| - 8\cos(2x) + C$ $-x^{-2} - 2\cos(2x) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 473
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$x^{-1} \to \ln|x|$ . Para $4\sin(2x)$ : $\int 4\sin(2x)\,dx = -4\cos(2x)/2 = -2\cos(2x)$ . B perdeu o sinal negativo. C errou o fator do denominador. D derivou $1/x$ em vez de integrar.
Show step-by-step (with the why)
1. $\int x^{-1}\,dx = \ln|x|$ .
2. $\int 4\sin(2x)\,dx$ : com $u=2x$ , $du=2\,dx$ .
3. Resultado: $4\cdot(-\cos(2x)/2) = -2\cos(2x)$ .
4. Some: $\ln|x| - 2\cos(2x) + C$ .
Ex. 81.10Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = 5x^4 + 4x^5$ .
Select the correct option
$x^5 + \frac{2x^6}{3} + C$ $20x^3 + 24x^5 + C$ $x^5 + \frac{x^6}{3} + C$ $5x^5 + 4x^6 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 474
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Regra da potência: $5x^4 \to 5x^5/5 = x^5$ e $4x^5 \to 4x^6/6 = 2x^6/3$ . B derivou. C errou o coeficiente de $x^6$ . D não dividiu pelos novos expoentes.
Ex. 81.11Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = x + 12x^{-2}$ .
Select the correct option
$\frac{x^2}{2} - \frac{12}{x} + C$ $\frac{x^2}{2} + 12\ln|x| + C$ $x - \frac{12}{x} + C$ $\frac{x^2}{2} + 12x^{-2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 475
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Reescreva: $x + 12x^{-2}$ . Integre: $x^2/2 + 12x^{-1}/(-1) = x^2/2 - 12/x + C$ . B usou $\ln|x|$ para $x^{-2}$ . C não integrou $x$ corretamente. D errou o expoente de $x^{-2}$ .
Ex. 81.12Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$ .
Select the correct option
$\ln|x| + C$ $-x^{-2} + C$ $x^{-2}/2 + C$ $1 + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 476
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A antiderivada de $f(x) = 1/x$ é $\ln|x|+C$ . O módulo é necessário para cobrir $x < 0$ . B é antiderivada de $x^{-3}$ . C é antiderivada de $x^{-3}/2$ . D é incorreta (constante).
Ex. 81.13ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = (\sqrt{x})^3$ .
Select the correct option
$\frac{2}{5}x^{5/2} + C$ $\frac{3}{2}x^{1/2} + C$ $x^{5/2} + C$ $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 477
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Reescreva: $(\sqrt{x})^3 = x^{3/2}$ . Regra da potência: $\int x^{3/2}\,dx = x^{5/2}/(5/2) = (2/5)x^{5/2}+C$ . B derivou. C esqueceu dividir por $5/2$ . D é antiderivada de $\sqrt{x}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva: $(\sqrt{x})^3 = x^{3/2}$ .
2. Aplique: $n=3/2 \Rightarrow n+1=5/2$ .
3. $\int x^{3/2}\,dx = x^{5/2}/(5/2) = (2/5)x^{5/2}+C$ .
Ex. 81.14Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \frac{x^{1/3}}{x^{2/3}}$ .
Select the correct option
$\frac{3}{2}x^{2/3} + C$ $-\frac{1}{3}x^{-2/3} + C$ $x^{2/3} + C$ $\frac{2}{3}x^{2/3} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 479
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Simplifique: $x^{1/3}/x^{2/3} = x^{1/3-2/3} = x^{-1/3}$ . Regra da potência: $\int x^{-1/3}\,dx = x^{2/3}/(2/3) = (3/2)x^{2/3}+C$ . B derivou. C esqueceu o coeficiente $3/2$ . D usou $2/3$ em vez de $3/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Simplifique: $x^{1/3}/x^{2/3} = x^{-1/3}$ .
2. $n=-1/3 \Rightarrow n+1=2/3$ .
3. $\int x^{-1/3}\,dx = x^{2/3}/(2/3) = (3/2)x^{2/3}+C$ .
Ex. 81.15Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = 2\sin x + \sin(2x)$ .
Select the correct option
$-2\cos x - \frac{\cos(2x)}{2} + C$ $-2\cos x + \frac{\cos(2x)}{2} + C$ $2\cos x - \frac{\cos(2x)}{2} + C$ $-2\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 480
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$\int 2\sin x\,dx = -2\cos x$ . Para $\sin(2x)$ : $\int \sin(2x)\,dx = -\cos(2x)/2$ . Some: $-2\cos x - \cos(2x)/2+C$ . B trocou o sinal de $\cos(2x)/2$ . C errou o sinal de $2\sin x$ . D não integrou nenhum dos termos.
Ex. 81.16Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \sec^2 x + 1$ .
Select the correct option
$\tan x + x + C$ $2\sec x \tan x + C$ $\tan x + C$ $\sec^2 x + x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 481
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$\int \sec^2 x\,dx = \tan x$ e $\int 1\,dx = x$ . Some: $\tan x + x + C$ . B é a derivada de $\sec^2 x$ . C esqueceu integrar a constante $1$ . D não integrou $\sec^2 x$ .
Ex. 81.17Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \sin x \cos x$ .
Select the correct option
$\frac{\sin^2 x}{2} + C$ $\sin^2 x \cos^2 x + C$ $\frac{-\cos(2x)}{4} + C$ $\sin x \cdot (-\sin x) + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 482
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Substituição $u=\sin x$ , $du=\cos x\,dx$ : $\int u\,du = u^2/2 = \sin^2 x/2+C$ . C também está correta (difere por constante), mas A é a forma mais direta. B não é antiderivada. D não faz sentido.
Ex. 81.18ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \sin^2 x \cos x$ .
Select the correct option
$\frac{\sin^3 x}{3} + C$ $\frac{\cos^3 x}{3} + C$ $\sin^2 x \cos x + C$ $-\frac{\cos^3 x}{3} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 483
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Substituição $u=\sin x$ , $du=\cos x\,dx$ : $\int u^2\,du = u^3/3 = \sin^3 x/3+C$ . B usa $\cos$ em vez de $\sin$ . C é o integrando, não a antiderivada. D errou o sinal.
Ex. 81.19Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = 0$ .
Select the correct option
$C$ (qualquer constante arbitrária) $0$ $x + C$ Não existe antiderivada de $f = 0$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 484
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Se $f(x) = 0$ para todo $x$ , então $F'(x) = 0$ implica que $F$ é constante: $F(x) = C$ . B é um caso particular com $C=0$ . C teria $F'=1 \neq 0$ . D é falsa: toda constante é antiderivada de zero.
Ex. 81.20ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \frac{1}{2}\csc^2 x + \frac{1}{x^2}$ .
Select the correct option
$-\frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{x} + C$ $-\frac{1}{2}\csc^2 x + \frac{1}{x^2} + C$ $\frac{1}{2}\cot x - \frac{1}{x} + C$ $-\frac{1}{2}\cot x + \frac{1}{x} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 485
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$\int \frac{1}{2}\csc^2 x\,dx = -\frac{1}{2}\cot x$ (pois $(\cot x)' = -\csc^2 x$ ). $\int x^{-2}\,dx = -1/x$ . Some: $-\cot x/2 - 1/x + C$ . B derivou em vez de integrar. C perdeu o sinal de $\cot$ . D errou o sinal de $-1/x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\int \frac{1}{2}\csc^2 x\,dx = \frac{1}{2}(-\cot x) = -\cot x/2$ .
2. $\int x^{-2}\,dx = -1/x$ .
3. Resultado: $-\cot x/2 - 1/x + C$ .
Ex. 81.21ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \csc x \cot x + 3x$ .
Select the correct option
$-\csc x + \frac{3x^2}{2} + C$ $-\csc x \cot x + 3x + C$ $\csc x + \frac{3x^2}{2} + C$ $-\cot x + \frac{3x^2}{2} + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 486
Show solution
$(\csc x)' = -\csc x \cot x$ , logo $\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x$ . $\int 3x\,dx = 3x^2/2$ . B não integrou. C perdeu o sinal de $\csc$ . D confundiu $\csc x \cot x$ com $\csc^2 x$ .
Ex. 81.22Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = 4\csc x \cot x - \sec x \tan x$ .
Select the correct option
$-4\csc x - \sec x + C$ $4\csc x - \sec x + C$ $-4\csc x + \sec x + C$ $-4\csc x \cot x - \sec x \tan x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 487
Show solution
$\int 4\csc x \cot x\,dx = -4\csc x$ e $\int \sec x \tan x\,dx = \sec x$ , com sinal negativo: $-4\csc x - \sec x + C$ . B trocou o sinal de $\csc$ . C trocou o sinal de $\sec$ . D não integrou.
Ex. 81.23ApplicationAnswer key
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = 8\sec x(\sec x - 4\tan x)$ .
Select the correct option
$8\tan x - 32\sec x + C$ $8\sec x \tan x - 32\sec x \tan x + C$ $8\tan x + 32\sec x + C$ $8\sec^2 x - 32\sec x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 488
Show solution
Distribua: $8\sec x(\sec x - 4\tan x) = 8\sec^2 x - 32\sec x \tan x$ . Integre: $8\tan x - 32\sec x + C$ . B não integrou. C errou o sinal de $\sec x$ . D não integrou $\sec^2 x$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expanda: $8\sec^2 x - 32\sec x \tan x$ .
2. $\int 8\sec^2 x\,dx = 8\tan x$ .
3. $\int(-32\sec x \tan x)\,dx = -32\sec x$ .
4. Some: $8\tan x - 32\sec x + C$ .
Ex. 81.24Application
Encontre a antiderivada geral de $f(x) = \frac{1}{2}e^{-4x} + \sin x$ .
Select the correct option
$-\frac{e^{-4x}}{8} - \cos x + C$ $-2e^{-4x} - \cos x + C$ $-\frac{e^{-4x}}{8} + \cos x + C$ $\frac{e^{-4x}}{8} - \cos x + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 489
Show solution
$\int \frac{1}{2}e^{-4x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-4x}}{-4} = -\frac{e^{-4x}}{8}$ . $\int \sin x\,dx = -\cos x$ . Some: $-e^{-4x}/8 - \cos x + C$ . B errou o denominador 8. C trocou o sinal de $\cos$ . D perdeu o sinal de $e^{-4x}$ .
Ex. 81.25Application
Calcule $\int(-1)\,dx$ .
Select the correct option
$-x + C$ $0$ $1 + C$ $x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 490
Show solution
$\int(-1)\,dx = -1 \cdot x + C = -x + C$ . A constante $-1$ integra para $-x$ . B é a derivada de $-1$ (zero). C é incorreta. D trocou o sinal.
Ex. 81.26ApplicationAnswer key
Calcule $\int(4x + \sqrt{x})\,dx$ .
Select the correct option
$2x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ $4x + \frac{1}{2\sqrt{x}} + C$ $2x^2 + x^{3/2} + C$ $2x^2 + \frac{x^{3/2}}{2} + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 492
Show solution
Integre: $4x^2/2 + x^{3/2}/(3/2) = 2x^2 + (2/3)x^{3/2}+C$ . B derivou. C esqueceu o fator $2/3$ . D usou $1/2$ em vez de $2/3$ .
Ex. 81.27Application
Calcule $\int(\sec x \tan x + 4x)\,dx$ .
Select the correct option
$\sec x + 2x^2 + C$ $\sec x \tan x + 4x + C$ $\tan x + 2x^2 + C$ $\sec x - 2x^2 + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 494
Show solution
$\int \sec x \tan x\,dx = \sec x$ e $\int 4x\,dx = 2x^2$ . Some: $\sec x + 2x^2 + C$ . B não integrou. C confundiu $\sec x \tan x$ com $\sec^2 x$ . D trocou o sinal de $2x^2$ .
Ex. 81.28Application
Calcule $\int(x^{-1/3} - x^{2/3})\,dx$ .
Select the correct option
$\frac{3}{2}x^{2/3} - \frac{3}{5}x^{5/3} + C$ $-\frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{2}{3}x^{2/3} + C$ $x^{2/3} - x^{5/3} + C$ $\frac{3}{2}x^{2/3} + \frac{3}{5}x^{5/3} + C$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 496
Show solution
$\int x^{-1/3}\,dx = x^{2/3}/(2/3) = (3/2)x^{2/3}$ e $\int x^{2/3}\,dx = x^{5/3}/(5/3) = (3/5)x^{5/3}$ . Com o sinal: $(3/2)x^{2/3} - (3/5)x^{5/3}+C$ . B derivou. C esqueceu os coeficientes. D trocou o sinal de $x^{5/3}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. $\int x^{-1/3}\,dx = (3/2)x^{2/3}$ .
2. $\int(-x^{2/3})\,dx = -(3/5)x^{5/3}$ .
3. Resultado: $(3/2)x^{2/3} - (3/5)x^{5/3}+C$ .
Ex. 81.29Application
Calcule $\int(e^x + e^{-x})\,dx$ .
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$e^x - e^{-x} + C$ $e^x + e^{-x} + C$ $e^{2x} + C$ $2e^x + C$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 498
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$\int e^x\,dx = e^x$ e $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}$ . Some: $e^x - e^{-x}+C$ . B errou o sinal de $e^{-x}$ . C não separou as parcelas. D confundiu $e^{-x}$ com $e^x$ .
Ex. 81.30Application
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x^{-3}$ , $f(1) = 1$ .
Select the correct option
$f(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{3}{2}$ $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + 2$ $f(x) = x^{-3} + \frac{3}{2}$ $f(x) = -\frac{1}{2x^2} + 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 499
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Integre: $f(x) = x^{-2}/(-2) + C = -1/(2x^2)+C$ . Condição $f(1)=1$ : $-1/2+C=1 \Rightarrow C=3/2$ . B calculou $C=2$ . C não integrou. D usou $C=1$ .
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1. Integre: $f(x) = \int x^{-3}\,dx = -x^{-2}/2 + C$ .
2. Aplique $f(1)=1$ : $-1/2+C=1$ .
3. $C=3/2$ .
4. Resultado: $f(x)=-1/(2x^2)+3/2$ .
Ex. 81.31Application
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x + x^2$ , $f(0) = 2$ .
Select the correct option
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + 2$ $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ $f(x) = x + x^2 + 2$ $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + 3$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 500
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Integre: $f(x) = x^2/2 + x^3/3 + C$ . Condição $f(0)=2$ : $0+0+C=2 \Rightarrow C=2$ . B esqueceu a condição inicial. C derivou em vez de integrar. D calculou $C=3$ .
Ex. 81.32Application
Resolva o problema de valor inicial: $f'(x) = x^3 - 8x^2 + 16x + 1$ , $f(0) = 0$ .
Select the correct option
$f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2 + x$ $f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2 + x + 1$ $f(x) = x^3 - 8x^2 + 16x + 1$ $f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + 8x^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 502
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Integre: $f(x) = x^4/4 - 8x^3/3 + 8x^2 + x + C$ . Condição $f(0)=0$ : $C=0$ . B calculou $C=1$ . C não integrou. D omitiu o $x$ .
Ex. 81.33Challenge
Dado $f''(x) = x^2 + 2$ , encontre a forma geral de $f(x)$ integrando duas vezes.
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$f(x) = \frac{x^4}{12} + x^2 + C_1 x + C_2$ $f'(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C$ $f(x) = \frac{x^4}{4} + x^2 + C$ $f(x) = \frac{x^4}{12} + x^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 504
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Integre $f''(x) = x^2+2$ : $f'(x) = x^3/3 + 2x + C_1$ . Integre novamente: $f(x) = x^4/12 + x^2 + C_1 x + C_2$ . Há duas constantes livres. B parou na primeira integração. C errou os coeficientes. D esqueceu as constantes de integração.
Ex. 81.34ChallengeAnswer key
Dado $f''(x) = e^{-x}$ , encontre a forma geral de $f(x)$ integrando duas vezes.
Select the correct option
$f(x) = e^{-x} + C_1 x + C_2$ $f(x) = -e^{-x} + C_1 x + C_2$ $f(x) = e^{-x} + C$ $f(x) = e^x + C_1 x + C_2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 505
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Integre $f''(x) = e^{-x}$ : $f'(x) = -e^{-x} + C_1$ . Integre novamente: $f(x) = e^{-x} + C_1 x + C_2$ . B errou o sinal na segunda integração. C esqueceu o $C_1 x$ . D trocou o sinal do expoente.
Ex. 81.35Modeling
Um carro viaja a 40 mph quando os freios são acionados. Ele desacelera a 10 ft/s². Quanto tempo até parar?
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Aproximadamente 5,87 segundosAproximadamente 4 segundosAproximadamente 8 segundosAproximadamente 2,9 segundos
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 509
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Converta: 40 mph = 58,67 ft/s. Deceleração $a = -10$ ft/s². $v(t) = 58{,}67 - 10t = 0 \Rightarrow t \approx 5{,}87$ s. B subestimou. C superestimou. D é metade do valor correto.
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1. Converta: $40 \times 5280/3600 \approx 58{,}67$ ft/s.
2. $v(t) = 58{,}67 - 10t$ .
3. Carro para quando $v=0$ : $t = 58{,}67/10 \approx 5{,}87$ s.
Ex. 81.36Modeling
Encontre a antiderivada de $f(x) = x^2 + 2$ com condição $F(0) = 0$ .
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$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x$ , com $F(0)=0$ $F(x) = x^2 + 2$ $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 1$ $F(x) = 2x + 2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 515
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Integre $f(x) = x^2+2$ : $F(x) = x^3/3 + 2x + C$ . Condição $F(0)=0$ : $C=0$ . B derivou. C calculou $C=1$ . D integrou apenas a parte constante.
Ex. 81.37Application
Encontre a antiderivada de $f(x) = \sin x + 2x$ com condição $F(0) = 0$ .
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$F(x) = -\cos x + x^2 + 1$ $F(x) = -\cos x + x^2$ $F(x) = \cos x + x^2$ $F(x) = -\sin x + x^2$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 517
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Integre: $F(x) = -\cos x + x^2 + C$ . Condição $F(0)=0$ : $-1+0+C=0 \Rightarrow C=1$ . B não verificou a condição inicial. C errou o sinal de $\sin x$ . D confundiu $\int \sin x$ com $-\sin x$ .
Ex. 81.38Application
Encontre a antiderivada de $f(x) = e^x$ com condição $F(0) = 0$ .
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$F(x) = e^x - 1$ $F(x) = e^x$ $F(x) = e^x + 1$ $F(x) = xe^{x-1} - 1$
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 518
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Integre: $F(x) = e^x + C$ . Condição $F(0)=0$ : $1+C=0 \Rightarrow C=-1$ . Resultado: $F(x)=e^x-1$ . B esqueceu aplicar a condição inicial. C calculou $C=1$ com sinal errado. D usou regra da potência.
Ex. 81.39Understanding
Determine se é verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $2f(x)$ é antiderivada de $2v(x)$ .
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Verdadeiro, pois $(2f(x))' = 2f'(x) = 2v(x)$ Falso, pois a antiderivada não é linearVerdadeiro, mas apenas se $v(x) > 0$ Falso, pois $2f(x)$ introduz uma constante extra
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 521
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A integral é linear: $\int 2v(x)\,dx = 2\int v(x)\,dx = 2f(x)+C$ . Logo $2f(x)$ é antiderivada de $2v(x)$ . B é falsa — linearidade é propriedade fundamental. C incorreta: vale para qualquer $v$ . D não há constante extra problemática.
Ex. 81.40Proof
Determine se é verdadeiro ou falso: se $f(x)$ é antiderivada de $v(x)$ , então $f(2x)$ é antiderivada de $v(2x)$ .
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Falso: $(f(2x))' = 2v(2x) \neq v(2x)$ Verdadeiro: basta substituir $x$ por $2x$ Verdadeiro, pois a regra da cadeia garante issoDepende se $v(x)$ é contínua ou não
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · ex. 522
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Por regra da cadeia: $(f(2x))' = f'(2x)\cdot 2 = 2v(2x)$ . Logo $f(2x)$ é antiderivada de $2v(2x)$ , NÃO de $v(2x)$ . Contraexemplo: $v(x)=x$ , $f(x)=x^2/2$ , $f(2x)=2x^2$ , $(2x^2)'=4x \neq 2x = v(2x)$ . B aplica substituição ingenuamente. C contradiz a si mesmo. D é irrelevante.
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1. Calcule: $\frac{d}{dx}[f(2x)] = f'(2x)\cdot 2 = 2v(2x)$ .
2. Para ser antiderivada de $v(2x)$ , precisaria $(f(2x))' = v(2x)$ .
3. Como $2v(2x) \neq v(2x)$ em geral, a afirmação é falsa.

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.1 · CC-BY-NC-SA. Motivação física da antiderivada; conexão velocidade-posição.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.1 · CC-BY-NC. Tabela de antiderivadas, exercícios de drill, linearidade.
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.10 · CC-BY-NC-SA. Corolário do TVM, condição inicial, erros comuns, exercícios de modelagem.