v1 · padrão canônico

Lição 1 — Conjuntos numéricos, intervalos, notação

Linguagem matemática rigorosa: conjuntos numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), intervalos, operações entre conjuntos. Aula de abertura do programa.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Os conjuntos numéricos: cada um contém todos os elementos do anterior, e adiciona objetos novos. Naturais → inteiros (ganha negativos) → racionais (ganha frações) → reais (ganha irracionais como $\sqrt{2}$ e $\pi$ ).

Livros que cobrem esta lição

OpenStax — College Algebra 2e
· §1.1 Números reais · CC-BY 4.0 · Tratamento canônico dos conjuntos numéricos $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ , notação de intervalos e propriedades algébricas básicas. Fonte primária dos exercícios desta lição.
Stitz–Zeager — Precalculus
· §1.1–1.2 Conjuntos, intervalos e desigualdades · CC-BY-NC-SA · Apresentação rigorosa de notação de conjuntos, intervalos abertos/fechados/mistos, e introdução a desigualdades como bloco fundamental.
Hammack — Book of Proof
· Cap. 1 Conjuntos · CC-PD · Fundamentos formais de conjuntos (pertinência, igualdade, subconjuntos, operações ∪, ∩, complemento), com exercícios de demonstração para os tópicos mais avançados.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Conjuntos numéricos fundamentais

"Qualquer número real corresponde a uma posição única na reta numérica. O inverso também é verdadeiro: cada localização na reta numérica corresponde a exatamente um número real." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Intervalos

Definição· Tipos de intervalo

Para $a, b \in \mathbb{R}$ com $a \leq b$ :

Os quatro tipos de intervalo na reta numérica. Ponto preenchido = extremo incluído. Ponto vazio = extremo excluído.

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}

o que isso quer dizer · Intervalo fechado: ambos os extremos incluídos.

(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}

o que isso quer dizer · Intervalo aberto: nenhum extremo incluído.

[a, b) = \{x : a \leq x \lt b\}, \quad (a, b] = \{x : a \lt x \leq b\}

o que isso quer dizer · Intervalos semiabertos.

Intervalos infinitos: $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Operações entre conjuntos

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Listando elementos de um conjunto (aplicação)

Problema: Liste, em notação de chaves, o conjunto $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ .

Estratégia: O problema pede para listar os elementos de um conjunto. A notação de conjunto nos dá duas informações:

A qual conjunto numérico os elementos pertencem: $\mathbb{Z}$ (números inteiros).
Quais condições esses elementos devem satisfazer: $-2 < x \leq 3$ . Vamos combinar essas informações para identificar todos os inteiros que se encaixam.

Resolução:

Identificar o tipo de número: Os elementos $x$ devem ser inteiros ( $\mathbb{Z}$ ).
Analisar a primeira condição: $x > -2$ . Isso significa que $x$ deve ser maior que $-2$ . Os inteiros que satisfazem essa parte são $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ .
Analisar a segunda condição: $x \leq 3$ . Isso significa que $x$ deve ser menor ou igual a $3$ . Os inteiros que satisfazem essa parte são $\ldots, 1, 2, 3$ .
Combinar as condições: Precisamos de inteiros $x$ $x$ que sejam simultaneamente maiores que $-2$ $- 2$ E menores ou iguais a $3$ $3$ .
- Inteiros maiores que $-2$ : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- Inteiros menores ou iguais a $3$ : $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- A interseção desses dois conjuntos é $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Verificação: Todos os números listados são inteiros.

$-1$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$0$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$1$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$2$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK)
$3$ é maior que $-2$ e menor ou igual a $3$ . (OK) Nenhum outro inteiro entre $-2$ e $3$ (excluindo $-2$ , incluindo $3$ ) foi deixado de fora.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §1.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Interseção de intervalos (intermediário)

Problema: Dados os intervalos $A = [-3, 7)$ e $B = (1, 10]$ , calcule $A \cap B$ .

Estratégia: A interseção de dois conjuntos inclui apenas os elementos que pertencem a ambos os conjuntos. Novamente, a visualização na reta numérica é a ferramenta mais eficaz.

Resolução:

Visualizar o intervalo $A$ : $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ vai de -3 (incluído) até 7 (excluído).
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```
Visualizar o intervalo $B$ : $B = (1, 10]$ $B = (1, 10]$ vai de 1 (excluído) até 10 (incluído).
```
←——————————(----------]————→
           1          10
```
Combinar para a interseção: Precisamos encontrar a região onde os dois intervalos se sobrepõem.
- O ponto mais à esquerda onde ambos estão presentes: $1$ . Mas $1$ é excluído em $B$ , então ele é excluído na interseção.
- O ponto mais à direita onde ambos estão presentes: $7$ . Mas $7$ é excluído em $A$ , então ele é excluído na interseção.
- A região de sobreposição é entre $1$ (excluído) e $7$ (excluído).

$A \cap B = (1, 7)$

Verificação:

Um ponto na interseção: $x=3$ . Está em $A$ (pois $-3 \leq 3 < 7$ ) e em $B$ (pois $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
Um ponto que está só em $A$ : $x=-2$ . Não está em $B$ . (OK)
Um ponto que está só em $B$ : $x=8$ . Não está em $A$ . (OK)
Os extremos: $1$ não está em $B$ , $7$ não está em $A$ . Ambos excluídos na interseção. A resposta está consistente.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §1.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Inequação com módulo, tipo |u| ≤ c (intermediário)

Problema: Resolva a inequação $|x - 4| \leq 3$ e expresse a solução em notação de intervalo.

Estratégia: Inequações com valor absoluto do tipo $|u| \leq c$ (onde $c > 0$ ) podem ser reescritas como uma inequação composta: $-c \leq u \leq c$ . Aplicaremos essa propriedade e então resolveremos para $x$ .

Resolução:

Reescrever a inequação: A propriedade do valor absoluto nos permite transformar $|x - 4| \leq 3$ em: $-3 \leq x - 4 \leq 3$
Isolar $x$ : Para isolar $x$ , adicionamos $4$ a todas as partes da inequação: $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
Expressar em notação de intervalo: A inequação $1 \leq x \leq 7$ significa que $x$ pode ser qualquer número real entre 1 e 7, incluindo 1 e 7.

$\text{Solução: } [1, 7]$

Verificação:

Teste um ponto dentro do intervalo: $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
Teste um extremo: $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Teste o outro extremo: $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Teste um ponto fora do intervalo: $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
Teste um ponto fora do intervalo: $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) A solução está correta.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §1.7 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Inequação quadrática (avançado)

Problema: Determine o conjunto solução da inequação $x^2 - x - 6 > 0$ em notação de intervalo.

Estratégia: Para resolver uma inequação quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática associada ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Essas raízes dividem a reta real em intervalos. Em seguida, testamos um ponto em cada intervalo para ver onde a inequação é satisfeita.

Resolução:

Encontrar as raízes da equação associada: $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- Podemos fatorar a equação: $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- As raízes são $x = 3$ e $x = -2$ .
Dividir a reta real em intervalos: As raízes $-2$ $- 2$ e $3$ $3$ dividem a reta real em três intervalos:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
Testar um ponto em cada intervalo:
- Intervalo $(-\infty, -2)$ : Escolha $x = -3$ . $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . Como $6 > 0$ , este intervalo satisfaz a inequação.
- Intervalo $(-2, 3)$ : Escolha $x = 0$ . $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . Como $-6 \not> 0$ , este intervalo não satisfaz a inequação.
- Intervalo $(3, +\infty)$ : Escolha $x = 4$ . $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . Como $6 > 0$ , este intervalo satisfaz a inequação.
Combinar os intervalos que satisfazem: A solução é a união dos intervalos onde a inequação é verdadeira. Note que a inequação é estritamente maior que 0, então as raízes não são incluídas.

$\text{Solução: } (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Verificação:

A parábola $y = x^2 - x - 6$ tem concavidade para cima (coeficiente de $x^2$ é positivo). Isso significa que os valores da função são positivos "para fora" das raízes e negativos "entre" as raízes. A solução encontrada está consistente com o gráfico de uma parábola.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §3.6 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Modelagem com exclusão de ponto (modelagem real)

Problema: Um sensor de temperatura opera corretamente em um ambiente onde a temperatura $T$ (em Celsius) deve estar entre $10\,°C$ (inclusive) e $40\,°C$ (exclusive). Além disso, por um requisito específico, a temperatura não pode ser exatamente $25\,°C$ . Expresse a faixa de operação válida para $T$ como uma união de intervalos.

Estratégia: Primeiro, defina o intervalo base de operação. Em seguida, remova o ponto específico que não é permitido. A remoção de um único ponto de um intervalo pode resultar em dois intervalos disjuntos.

Resolução:

Definir o intervalo base: A temperatura deve estar entre $10\,°C$ (inclusive) e $40\,°C$ (exclusive). Isso é representado pelo intervalo $[10, 40)$ .
Identificar o ponto a ser excluído: A temperatura não pode ser $25\,°C$ .
Remover o ponto do intervalo base: O número $25$ $25$ está dentro do intervalo $[10, 40)$ $[10, 40)$ . Ao remover $25$ $25$ , o intervalo é dividido em duas partes:
- Todos os números de $10$ (inclusive) até $25$ (exclusive): $[10, 25)$ .
- Todos os números de $25$ (exclusive) até $40$ (exclusive): $(25, 40)$ .
Expressar como união de intervalos: A faixa de operação válida é a união desses dois intervalos disjuntos.

$\text{Faixa de operação: } [10, 25) \cup (25, 40)$

Verificação:

$T=10$ : Válido. Está no primeiro intervalo.
$T=20$ : Válido. Está no primeiro intervalo.
$T=25$ : Não válido. Não está em nenhum dos intervalos.
$T=30$ : Válido. Está no segundo intervalo.
$T=40$ : Não válido. Excluído do intervalo original. A solução está correta e atende a todas as condições.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licença livre.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 11Modelagem 5Desafio 2

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1.
College Algebra 2e — OpenStax · 2022 · EN · CC-BY · §1.1, §1.7.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · caps. 1, 3, 6.
Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1.
Matemática elementar — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.