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Lição 2 — Funções: definição, domínio, imagem

Função como objeto matemático: regra de correspondência única entre dois conjuntos. Domínio, contradomínio, imagem. Gráfico cartesiano. Funções injetoras, sobrejetoras, bijetoras.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Math I japonês cap. 2 · Klasse 10 alemã

f : A \to B,\quad x \mapsto f(x)

Uma função de A em B é uma regra que associa cada elemento de A a exatamente um elemento de B. A é o domínio, B o contradomínio, e o conjunto dos valores efetivamente atingidos é a imagem.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

"Uma função é uma relação na qual cada valor de entrada produz exatamente um valor de saída." — OpenStax College Algebra 2e, §3.1

Cada elemento do domínio aponta pra exatamente um elemento do contradomínio. Note que $x_3$ pode mapear no mesmo $f(x_1)$ — uma função pode levar valores diferentes ao mesmo destino.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (avaliação numérica e leitura de domínio) à modelagem real (composição em pipeline de produção). Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exemplo— 1· Avaliação e domínio direto (aplicação)

Problema: Para $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ , calcule $f(-1)$ , $f(0)$ e $f(2)$ . Determine o domínio máximo.

Estratégia: Avaliar uma função em um ponto significa substituir a variável pelo valor dado e calcular. O domínio máximo de um polinômio é todo $\mathbb{R}$ , pois polinômios estão definidos em qualquer real.

Resolução:

$f(-1)$ : Substituir $x = -1$ : $f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3(1) + 2 + 1 = 6$ .
$f(0)$ : Substituir $x = 0$ : $f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$ .
$f(2)$ : Substituir $x = 2$ : $f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$ .
Domínio: Como $f$ é polinomial, não há restrição. Domínio = $\mathbb{R}$ .

Verificação: Os três valores são finitos. Para confirmar a coerência, observe que $f(0) = 1$ é o coeficiente independente — sempre vale para qualquer polinômio.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §3.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Domínio máximo com restrições combinadas (intermediário)

Problema: Determine o domínio máximo de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ .

Estratégia: Há duas restrições simultâneas: o radicando $x + 2$ deve ser não negativo (para a raiz quadrada existir nos reais), e o denominador $x - 3$ não pode ser zero. O domínio é a interseção dessas duas condições.

Resolução:

Restrição da raiz: $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ , ou seja, $x \in [-2, +\infty)$ .
Restrição do denominador: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ , ou seja, $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
Interseção: $[-2, +\infty) \cap (\mathbb{R} \setminus \{3\}) = [-2, 3) \cup (3, +\infty)$ .

Verificação:

$x = -2$ : $\sqrt{0}/(-5) = 0$ . OK (incluído).
$x = 3$ : divisão por zero. Excluído. OK.
$x = -3$ : $\sqrt{-1}$ não existe nos reais. Excluído. OK.
$x = 5$ : $\sqrt{7}/2$ . OK.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §3.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 3· Composição de funções (intermediário)

Problema: Sejam $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ . Mostre que são diferentes em $x = 1$ .

Estratégia: Composição $(f \circ g)(x)$ significa "aplicar $g$ primeiro, depois $f$ ". Isto é, $f(g(x))$ . Trocar a ordem produz funções em geral diferentes — um aviso clássico.

Resolução:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : substitui $g(x) = 2x - 3$ no lugar de $x$ em $f$ : $f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10$ .
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : substitui $f(x) = x^2 + 1$ no lugar de $x$ em $g$ : $g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3 = 2x^2 - 1$ .
Em $x = 1$ :
- $(f \circ g)(1) = 4 - 12 + 10 = 2$ .
- $(g \circ f)(1) = 2 - 1 = 1$ . Diferentes — composição não comuta.

Verificação: Faça também em $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = 10$ e $(g \circ f)(0) = -1$ . Diferentes em todos os pontos exceto talvez em soluções de $4x^2 - 12x + 10 = 2x^2 - 1$ , ou seja $2x^2 - 12x + 11 = 0$ .

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §5.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Inversa e restrição de domínio (avançado)

Problema: Seja $f(x) = x^2 - 4x + 5$ definida em $\mathbb{R}$ . Mostre que $f$ não é injetora em $\mathbb{R}$ . Restrinja o domínio para um intervalo onde $f$ seja injetora e determine $f^{-1}$ nessa restrição.

Estratégia: Uma função quadrática não é injetora em $\mathbb{R}$ : pontos simétricos em relação ao eixo da parábola têm mesma imagem. O eixo de simetria é $x = 2$ (vértice). Restringir a $[2, +\infty)$ torna $f$ estritamente crescente, portanto injetora; aí calcula-se a inversa.

Resolução:

Não-injetividade. Reescreva por completar quadrado: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ . Então $f(0) = 4 + 1 = 5$ e $f(4) = 4 + 1 = 5$ . Como $0 \neq 4$ mas $f(0) = f(4)$ , $f$ não é injetora.
Restrição: considere $f: [2, +\infty) \to [1, +\infty)$ . Nessa restrição $f$ é crescente (a parte direita da parábola), portanto injetora; a imagem é $[1, +\infty)$ , portanto também sobrejetora — bijetora.
Inverter. Faça $y = (x-2)^2 + 1 \Rightarrow (x-2)^2 = y - 1 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{y - 1}$ . Como $x \geq 2$ , escolhemos o ramo positivo: $x = 2 + \sqrt{y - 1}$ . Logo $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y - 1}$ , com $y \geq 1$ .

Verificação: $f(f^{-1}(y)) = (2 + \sqrt{y-1} - 2)^2 + 1 = (y - 1) + 1 = y$ . ✓

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §3.7 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Modelagem real: conta de luz por faixas (modelagem real)

Problema: Uma concessionária cobra a energia consumida $k$ (em kWh) por faixas: até 100 kWh paga R$ 0,60 por kWh; entre 100 e 200 kWh paga R$ 0,90 sobre o excedente; acima de 200 kWh paga R$ 1,30 sobre o excedente. Modele a conta total $C(k)$ como função por partes contínua.

Estratégia: Cada faixa adiciona um novo "preço marginal", aplicado apenas ao consumo dentro daquela faixa. A função resultante é afim por partes e contínua nos pontos de fronteira (diferente de uma cobrança em saltos).

Resolução:

Faixa 1 (até 100 kWh): $C(k) = 0,60\, k$ .
Faixa 2 (100 a 200 kWh): os primeiros 100 kWh custam $0,60 \times 100 = 60$ reais; o excedente $(k - 100)$ é cobrado a R$ 0,90: $C(k) = 60 + 0,90\,(k - 100) = 0,90\,k - 30$ .
Faixa 3 (acima de 200 kWh): os primeiros 200 kWh custam $60 + 0,90 \times 100 = 150$ reais; o excedente $(k - 200)$ a R$ 1,30: $C(k) = 150 + 1,30\,(k - 200) = 1,30\,k - 110$ .
Função por partes: $C(k) = \begin{cases} 0,60\,k & k \leq 100 \\ 0,90\,k - 30 & 100 < k \leq 200 \\ 1,30\,k - 110 & k > 200 \end{cases}$

Verificação de continuidade: em $k = 100$ : ramo 1 dá 60, ramo 2 dá $90 - 30 = 60$ . ✓ Em $k = 200$ : ramo 2 dá $180 - 30 = 150$ , ramo 3 dá $260 - 110 = 150$ . ✓ A função é contínua — modelo correto de cobrança marginal.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 2 — licença livre.

Lista de exercícios

42 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 7Modelagem 4Desafio 5

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §3.1–3.7. Fonte primária dos blocos A, B, D.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.4–1.6, §2.3, §5.1–5.2.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · caps. 1–2, 4, 6. Fonte do bloco E (modelagem).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · §12 (funções e bijeções). Fonte do exercício 2.20.

Definição rigorosa

Classificação

Exemplos resolvidos

Fontes