v1 · padrão canônico

Lição 3 — Funções afins (1.º grau)

Função afim f(x) = ax + b. Inclinação como taxa de variação CONSTANTE — ponte conceitual para derivada.

Usado em: 1.º ano EM

f(x) = ax + b

Função afim: o coeficiente a é a taxa de variação (quanto y muda quando x cresce 1 unidade). O b é o valor de y quando x = 0. Quando b = 0, é função linear. Quando a = 0, é função constante.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e propriedades

$a$ : coeficiente angular (slope, inclinação)
$b$ : coeficiente linear (intercepto em y)
Gráfico: reta. $a > 0$ : crescente. $a < 0$ : decrescente. $a = 0$ : constante.

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a

(1)

o que isso quer dizer · Taxa de variação entre dois pontos da reta. Para função afim, esse valor é CONSTANTE — não depende de qual par de pontos você escolha. É essa constância que caracteriza a função afim entre todas as outras.

"A inclinação de uma reta que passa por dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Zero da função e intercepto

$f(x) = 0 \iff x = -b/a$ (quando $a \neq 0$ ). O par $(0, b)$ é o intercepto vertical. O par $(-b/a, 0)$ é o zero (ou intercepto horizontal).

Teorema da unicidade por dois pontos

Prova (esboço). Existência: defina $a$ pela fórmula acima e $b = y_1 - a x_1$ . Verifica-se $f(x_1) = y_1$ por construção, e $f(x_2) = a(x_2 - x_1) + y_1 = (y_2 - y_1) + y_1 = y_2$ . Unicidade: se $g(x) = a' x + b'$ também satisfaz $g(x_i) = y_i$ , então $a' = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = a$ e $b' = y_1 - a' x_1 = b$ . ∎

Composição e operações

Sejam $f(x) = a_1 x + b_1$ e $g(x) = a_2 x + b_2$ . Então:

Soma: $(f + g)(x) = (a_1 + a_2) x + (b_1 + b_2)$ — afim, com inclinações somadas.
Composição: $(f \circ g)(x) = a_1 (a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1)$ — afim, com inclinações multiplicadas.
Inversa (se $a_1 \neq 0$ ): $f^{-1}(y) = (y - b_1)/a_1$ — também afim, com inclinação $1/a_1$ .

O conjunto das funções afins invertíveis ( $a \neq 0$ ) com a operação de composição forma um grupo — a estrutura $(\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \circ)$ . Essa observação será usada em álgebra linear (Aula 31+) e em geometria afim.

Família de retas paralelas

Família de retas com mesma inclinação a = 1 e diferentes interceptos b. Translação vertical: mudar b só desloca a reta para cima ou para baixo, sem girar.

Família de retas concorrentes

Família com mesmo intercepto (0, 1) e inclinações diferentes — todas se cruzam nesse ponto. Rotação: mudar a gira a reta em torno do intercepto.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da avaliação direta de uma reta dada à modelagem de um break-even de planos de internet. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exemplo— 1· Exemplo 1 — Identificar coeficientes e zero (aplicação)

Problema: Para $f(x) = -\dfrac{2}{3} x + 4$ , determine: coeficiente angular $a$ , coeficiente linear $b$ , zero da função e o valor de $f(6)$ .

Estratégia: Comparação direta com a forma reduzida $y = ax + b$ . O zero é $x_0 = -b/a$ ; $f(6)$ é avaliação numérica direta.

Resolução:

Coeficientes. Comparando: $a = -2/3$ , $b = 4$ .
Zero. $f(x) = 0 \iff -\tfrac{2}{3}x + 4 = 0 \iff x = 6$ .
$f(6)$ . $f(6) = -\tfrac{2}{3}(6) + 4 = -4 + 4 = 0$ . Confere com o item 2 — $x = 6$ é o zero.

Verificação: Como $a < 0$ , a função é decrescente. Em $x = 0$ , $f(0) = 4$ (intercepto vertical). Em $x = 6$ , cruza o eixo $x$ . ✓

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Exemplo 2 — Reta passando por dois pontos (intermediário)

Problema: Determine a equação da função afim cujo gráfico passa por $(2, -1)$ e $(5, 8)$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula $a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ para a inclinação, depois usar um dos pontos para encontrar $b$ .

Resolução:

Inclinação. $a = \dfrac{8 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$ .
Intercepto. Usando o ponto $(2, -1)$ : $-1 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -7$ .
Equação. $f(x) = 3x - 7$ .

Verificação: $f(2) = 6 - 7 = -1$ ✓ e $f(5) = 15 - 7 = 8$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 3· Exemplo 3 — Retas paralelas e perpendiculares (intermediário)

Problema: Determine a equação da reta paralela a $y = -2x + 7$ que passa por $(3, 1)$ , e a equação da reta perpendicular a essa mesma reta passando pelo mesmo ponto.

Estratégia: Paralelas têm a mesma inclinação ( $a' = a$ ). Perpendiculares têm inclinações cujo produto é $-1$ ( $a' = -1/a$ ). Em ambos os casos, encontrar $b'$ pelo ponto dado.

Resolução:

Reta paralela. Inclinação $a' = -2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = -2(3) + b' \Rightarrow b' = 7$ . Equação: $y = -2x + 7$ . (Espera — coincidiu com a reta original. Isso ocorre porque $(3, 1)$ está sobre a reta original.)
Verificação. $-2(3) + 7 = 1$ . ✓ De fato, $(3, 1)$ pertence à reta original; a única reta paralela é ela mesma.
Reta perpendicular. Inclinação $a' = -1/(-2) = 1/2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = (1/2)(3) + b' \Rightarrow b' = -1/2$ . Equação: $y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $\tfrac{1}{2}(3) - \tfrac{1}{2} = 1$ . ✓ Produto das inclinações: $(-2) \cdot (1/2) = -1$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §2.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Exemplo 4 — Composição de afins é afim (avançado)

Problema: Sejam $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = -3x + 5$ . Calcule $f \circ g$ , $g \circ f$ e mostre que ambas são afins. Determine os coeficientes resultantes em cada caso.

Estratégia: Substituir uma função na outra e simplificar para a forma reduzida. A composição de duas afins é sempre afim — propriedade-chave que permite construir grupos de transformações.

Resolução:

$f \circ g$ . $f(g(x)) = f(-3x + 5) = 2(-3x + 5) + 1 = -6x + 10 + 1 = -6x + 11$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 11$ . Note que $a$ resultante é o produto $2 \cdot (-3) = -6$ .
$g \circ f$ . $g(f(x)) = g(2x + 1) = -3(2x + 1) + 5 = -6x - 3 + 5 = -6x + 2$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 2$ .
Observação. Ambas têm a mesma inclinação $-6$ (multiplicação dos $a$ 's individuais — comutativa) mas diferentes interceptos (não comutativos no termo constante).

Verificação: Em $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = f(5) = 11$ ✓; $(g \circ f)(0) = g(1) = 2$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Exemplo 5 — Modelagem real: comparação de planos de táxi (modelagem real)

Problema: Duas empresas de táxi competem na mesma cidade. Empresa X: bandeirada R$ 6,00 + R$ 2,80/km. Empresa Y: bandeirada R$ 4,00 + R$ 3,50/km. A partir de qual distância a Empresa X é mais barata?

Estratégia: Modelar cada custo como função afim, igualar para encontrar o ponto de equilíbrio, e analisar a comparação para distâncias maiores e menores.

Resolução:

Modelos. $C_X(d) = 6 + 2,80\,d$ e $C_Y(d) = 4 + 3,50\,d$ .
Ponto de equilíbrio. Igualar: $6 + 2,80\,d = 4 + 3,50\,d \Rightarrow 2 = 0,70\,d \Rightarrow d = 2/0,70 \approx 2,86$ km.
Comparação. Para $d < 2,86$ km, a Empresa Y é mais barata (bandeirada menor compensa). Para $d > 2,86$ km, a Empresa X é mais barata (taxa por km menor compensa).

Verificação: Em $d = 5$ km: $C_X = 6 + 14 = 20,00$ reais; $C_Y = 4 + 17,50 = 21,50$ reais. ✓ X é mais barata. Em $d = 1$ km: $C_X = 8,80$ , $C_Y = 7,50$ . ✓ Y é mais barata.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licença livre.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 20Compreensão 10Modelagem 12Desafio 3

Ex. 3.1Modelagem
Terry desce uma colina íngreme. Sua elevação, $E(t)$ , em pés após $t$ segundos é $E(t) = 3000 - 70t$ . O que esse modelo afim nos diz sobre a elevação inicial e como ela muda com o tempo?
Selecione a alternativa correta
Elevação inicial de 3 000 pés, diminuindo 70 pés por segundo.Elevação inicial de 70 pés, aumentando 3 000 pés por segundo.Elevação constante de 3 000 pés.Elevação inicial de 3 000 pés, aumentando 70 pés por segundo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 1
Ver solução
Em $E(t) = 3000 - 70t$ , o valor inicial $E(0) = 3000$ é a elevação de partida (pés), e $-70$ é a taxa de variação: a elevação cai 70 pés a cada segundo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Comparar com $f(t) = at + b$ : aqui $a = -70$ e $b = 3000$ .
2. O coeficiente linear $b = 3000$ é o valor em $t = 0$ : elevação inicial.
3. O coeficiente angular $a = -70$ indica queda de 70 pés por segundo.
4. Logo: parte de 3 000 pés e desce 70 pés/s.
Ex. 3.2ModelagemGabarito
Jessica caminha para casa de uma amiga. Após 2 minutos ela está a 1,4 milhas de casa; 12 minutos após sair, ela está a 0,9 milha. Qual é sua velocidade em milhas por hora?
Selecione a alternativa correta
3 milhas por hora.0,5 milha por hora.1,4 milhas por hora.0,05 milha por hora.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 2
Ver solução
A taxa de variação é $a = (0{,}9 - 1{,}4)/(12 - 2) = -0{,}5/10 = -0{,}05$ milhas por minuto. Convertendo: $0{,}05 imes 60 = 3$ milhas por hora.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular a variação de distância: $0{,}9 - 1{,}4 = -0{,}5$ mi em 10 minutos.
2. Taxa por minuto: $0{,}5/10 = 0{,}05$ mi/min.
3. Converter para mi/h: $0{,}05 imes 60 = 3$ mi/h.
Ex. 3.3ModelagemGabarito
Um barco está a 100 milhas da marina, navegando diretamente em direção a ela a 10 milhas por hora. Escreva uma equação para a distância do barco à marina após $t$ horas.
Selecione a alternativa correta
$D(t) = 100 - 10t$ , onde $t$ é o tempo em horas. $D(t) = 10t$ . $D(t) = 100 + 10t$ . $D(t) = 100t - 10$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 3
Ver solução
O barco começa a 100 milhas e se aproxima a 10 mi/h, então $D(t) = 100 - 10t$ . O coeficiente angular $a = -10$ indica que a distância diminui 10 milhas por hora.
Ex. 3.4Compreensão
Determine se a função $f(x) = 4x + 3$ é crescente ou decrescente.
Selecione a alternativa correta
Crescente, pois o coeficiente angular é positivo.Decrescente, pois o coeficiente linear é positivo.Constante.Decrescente, pois o coeficiente angular é negativo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 14
Ver solução
Em $f(x) = 4x + 3$ , o coeficiente angular $a = 4 > 0$ , portanto a função é crescente.
Ex. 3.5Compreensão
Determine se a função $a(x) = 5 - 2x$ é crescente ou decrescente.
Selecione a alternativa correta
Decrescente, pois o coeficiente angular é negativo.Crescente, pois o termo constante é positivo.Constante.Crescente, pois o coeficiente angular é positivo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 16
Ver solução
Em $a(x) = 5 - 2x$ , o coeficiente angular $a = -2 < 0$ , portanto a função é decrescente.
Ex. 3.6Compreensão
Determine se a função $b(x) = 8 - 3x$ é crescente ou decrescente.
Selecione a alternativa correta
Decrescente, pois o coeficiente angular é negativo.Crescente, pois o coeficiente linear é positivo.Constante.Crescente, pois o coeficiente angular é positivo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 17
Ver solução
Em $b(x) = 8 - 3x$ , o coeficiente angular $a = -3 < 0$ , portanto a função é decrescente.
Ex. 3.7CompreensãoGabarito
Determine se a função $j(x) = \dfrac{1}{2}x - 3$ é crescente ou decrescente.
Selecione a alternativa correta
Crescente, pois o coeficiente angular é positivo.Decrescente, pois há um termo negativo.Constante.Decrescente, pois o coeficiente linear é negativo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 20
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Em $j(x) = \frac{1}{2}x - 3$ , o coeficiente angular $a = \frac{1}{2} > 0$ , portanto a função é crescente.
Ex. 3.8Aplicação
Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(2, 4)$ e $(4, 10)$ .
Selecione a alternativa correta
$3$ $2$ $6$ $1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 24
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{10 - 4}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$ .
Ex. 3.9AplicaçãoGabarito
Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(1, 5)$ e $(4, 11)$ .
Selecione a alternativa correta
$2$ $3$ $\dfrac{1}{2}$ $6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 25
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{11 - 5}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ .
Ex. 3.10Aplicação
Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(-1, 4)$ e $(5, 2)$ .
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ $3$ $-3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 26
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{2 - 4}{5 - (-1)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ .
Ex. 3.11Aplicação
Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(8, -2)$ e $(4, 6)$ .
Selecione a alternativa correta
$-2$ $2$ $\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{1}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 27
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{6 - (-2)}{4 - 8} = \frac{8}{-4} = -2$ .
Ex. 3.12AplicaçãoGabarito
Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(6, 11)$ e $(-4, 3)$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{4}{5}$ $-\dfrac{4}{5}$ $\dfrac{5}{4}$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 28
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{3 - 11}{-4 - 6} = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular $\Delta y = 3 - 11 = -8$ .
2. Calcular $\Delta x = -4 - 6 = -10$ .
3. Dividir: $m = -8 / -10 = 4/5$ .
Ex. 3.13AplicaçãoGabarito
Encontre a equação da função afim que satisfaz $f(-5) = -4$ e $f(5) = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = \dfrac{3}{5}x - 1$ $f(x) = \dfrac{3}{5}x + 1$ $f(x) = -\dfrac{3}{5}x - 1$ $f(x) = 5x + 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 29
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{2-(-4)}{5-(-5)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ . Usando $f(-5) = -4$ : $b = -4 - \frac{3}{5}(-5) = -4 + 3 = -1$ . Portanto $f(x) = \frac{3}{5}x - 1$ .
Ex. 3.14Aplicação
Encontre a equação da função afim que satisfaz $f(-1) = 4$ e $f(5) = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$ $f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$ $f(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{2}$ $f(x) = 2x + 7$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 30
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{1-4}{5-(-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ . Usando $(-1, 4)$ : $b = 4 - (-\frac{1}{2})(-1) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ . Logo $f(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ .
Ex. 3.15Aplicação
Encontre a equação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos $(2, 4)$ e $(4, 10)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = 3x - 2$ $f(x) = 3x + 2$ $f(x) = -3x - 2$ $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 31
Ver solução
A inclinação é $m = \frac{10 - 4}{4 - 2} = 3$ . Usando $(2, 4)$ : $b = 4 - 3(2) = -2$ . Logo $f(x) = 3x - 2$ .
Ex. 3.16Aplicação
Encontre a equação da função afim cujo zero é $x = -2$ (intercepto em $x$ : $(-2, 0)$ ) e cujo intercepto em $y$ é $(0, -3)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -\dfrac{3}{2}x - 3$ $f(x) = \dfrac{3}{2}x - 3$ $f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 3$ $f(x) = -\dfrac{2}{3}x - 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 35
Ver solução
O zero é $(-2, 0)$ e o intercepto em $y$ é $(0, -3)$ . A inclinação é $m = \frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}$ . Logo $f(x) = -\frac{3}{2}x - 3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identificar os dois pontos: $(-2, 0)$ e $(0, -3)$ .
2. Calcular a inclinação: $m = (-3 - 0)/(0 - (-2)) = -3/2$ .
3. O intercepto vertical é $b = -3$ (dado diretamente).
4. Escrever: $f(x) = -\frac{3}{2}x - 3$ .
Ex. 3.17Aplicação
Encontre a equação da função afim cujo zero é $x = -5$ (intercepto em $x$ : $(-5, 0)$ ) e cujo intercepto em $y$ é $(0, 4)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = \dfrac{4}{5}x + 4$ $f(x) = -\dfrac{4}{5}x + 4$ $f(x) = \dfrac{4}{5}x - 4$ $f(x) = \dfrac{5}{4}x + 4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 36
Ver solução
O zero é $(-5, 0)$ e o intercepto em $y$ é $(0, 4)$ . A inclinação é $m = \frac{4 - 0}{0 - (-5)} = \frac{4}{5}$ . Logo $f(x) = \frac{4}{5}x + 4$ .
Ex. 3.18Compreensão
As retas $4x - 7y = 10$ e $7x + 4y = 1$ são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas?
Selecione a alternativa correta
Perpendiculares, pois o produto das inclinações é $-1$ .Paralelas, pois têm a mesma inclinação.Nem paralelas nem perpendiculares.Coincidentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 37
Ver solução
Convertendo: $4x - 7y = 10 \Rightarrow y = \frac{4}{7}x - \frac{10}{7}$ e $7x + 4y = 1 \Rightarrow y = -\frac{7}{4}x + \frac{1}{4}$ . O produto das inclinações é $\frac{4}{7} \cdot (-\frac{7}{4}) = -1$ , logo são perpendiculares.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Isolar $y$ na primeira: $m_1 = 4/7$ .
2. Isolar $y$ na segunda: $m_2 = -7/4$ .
3. Calcular $m_1 \cdot m_2 = (4/7)(-7/4) = -1$ .
4. Concluir: perpendiculares.
Ex. 3.19Compreensão
As retas $3y + x = 12$ e $-y = 8x + 1$ são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas?
Selecione a alternativa correta
Nem paralelas nem perpendiculares.Paralelas.Perpendiculares.Coincidentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 38
Ver solução
Convertendo: $3y + x = 12 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 4$ , inclinação $-1/3$ . E $-y = 8x + 1 \Rightarrow y = -8x - 1$ , inclinação $-8$ . As inclinações são diferentes e o produto $(-1/3)(-8) = 8/3 \neq -1$ , logo não são nem paralelas nem perpendiculares.
Ex. 3.20CompreensãoGabarito
As retas $3y + 4x = 12$ e $-6y = 8x + 1$ são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas?
Selecione a alternativa correta
Paralelas, pois ambas têm inclinação $-\dfrac{4}{3}$ .Perpendiculares.Nem paralelas nem perpendiculares.Coincidentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 39
Ver solução
Convertendo: $3y + 4x = 12 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 4$ e $-6y = 8x + 1 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{6}$ . Ambas têm inclinação $-4/3$ , logo são paralelas.
Ex. 3.21Compreensão
As retas $6x - 9y = 10$ e $3x + 2y = 1$ são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas?
Selecione a alternativa correta
Perpendiculares.Paralelas.Nem paralelas nem perpendiculares.Coincidentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 40
Ver solução
Convertendo: $6x - 9y = 10 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{10}{9}$ , inclinação $2/3$ . E $3x + 2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ , inclinação $-3/2$ . Produto: $(2/3)(-3/2) = -1$ , então são perpendiculares.
Ex. 3.22Aplicação
Encontre o zero (intercepto em $x$ ) e o intercepto em $y$ da função $f(x) = -x + 2$ .
Selecione a alternativa correta
Zero em $x = 2$ ; intercepto em $y = 2$ .Zero em $x = -2$ ; intercepto em $y = -2$ .Zero em $x = 2$ ; intercepto em $y = -2$ .Zero em $x = -2$ ; intercepto em $y = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 41
Ver solução
Para $f(x) = -x + 2$ : zero é $f(x)=0 \Rightarrow x = 2$ ; intercepto em $y$ é $f(0) = 2$ .
Ex. 3.23Aplicação
Encontre o zero (intercepto em $x$ ) e o intercepto em $y$ da função $g(x) = 2x + 4$ .
Selecione a alternativa correta
Zero em $x = -2$ ; intercepto em $y = 4$ .Zero em $x = 2$ ; intercepto em $y = -4$ .Zero em $x = 4$ ; intercepto em $y = -2$ .Zero em $x = -4$ ; intercepto em $y = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 42
Ver solução
Para $g(x) = 2x + 4$ : zero é $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ ; intercepto em $y$ é $g(0) = 4$ .
Ex. 3.24Aplicação
Encontre o zero (intercepto em $x$ ) e o intercepto em $y$ da função $h(x) = 3x - 5$ .
Selecione a alternativa correta
Zero em $x = \dfrac{5}{3}$ ; intercepto em $y = -5$ .Zero em $x = -5$ ; intercepto em $y = \dfrac{5}{3}$ .Zero em $x = 5$ ; intercepto em $y = -\dfrac{5}{3}$ .Zero em $x = -\dfrac{5}{3}$ ; intercepto em $y = 5$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 43
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Para $h(x) = 3x - 5$ : zero é $3x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5/3$ ; intercepto em $y$ é $h(0) = -5$ .
Ex. 3.25Aplicação
Escreva a equação da reta paralela a $f(x) = -5x - 3$ que passa por $(2, -12)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -5x - 2$ $f(x) = -5x + 2$ $f(x) = 5x - 2$ $f(x) = \dfrac{1}{5}x - 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 52
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Reta paralela a $f(x) = -5x - 3$ tem inclinação $-5$ . Usando $(2, -12)$ : $b = -12 - (-5)(2) = -12 + 10 = -2$ . Portanto $f(x) = -5x - 2$ .
Ex. 3.26AplicaçãoGabarito
Escreva a equação da reta paralela a $g(x) = 3x - 1$ que passa por $(4, 9)$ .
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 3x - 3$ $g(x) = 3x + 3$ $g(x) = -3x - 3$ $g(x) = \dfrac{1}{3}x - 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 53
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Reta paralela a $g(x) = 3x - 1$ tem inclinação $3$ . Usando $(4, 9)$ : $b = 9 - 3(4) = 9 - 12 = -3$ . Portanto $g(x) = 3x - 3$ .
Ex. 3.27Aplicação
Escreva a equação da reta perpendicular a $h(t) = -2t + 4$ que passa por $(-4, -1)$ .
Selecione a alternativa correta
$h(t) = \dfrac{1}{2}t + 1$ $h(t) = -\dfrac{1}{2}t + 1$ $h(t) = 2t + 1$ $h(t) = \dfrac{1}{2}t - 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 54
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Reta perpendicular a $h(t) = -2t + 4$ tem inclinação $m = -1/(-2) = 1/2$ . Usando $(-4, -1)$ : $b = -1 - (1/2)(-4) = -1 + 2 = 1$ . Portanto $h(t) = \frac{1}{2}t + 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Inclinação de $h(t) = -2t + 4$ é $-2$ .
2. Inclinação perpendicular: $m = -1/(-2) = 1/2$ .
3. Usando $(-4, -1)$ : $b = -1 - (1/2)(-4) = 1$ .
4. Resultado: $h(t) = \frac{1}{2}t + 1$ .
Ex. 3.28AplicaçãoGabarito
Escreva a equação da reta perpendicular a $p(t) = 3t + 4$ que passa por $(3, 1)$ .
Selecione a alternativa correta
$p(t) = -\dfrac{1}{3}t + 2$ $p(t) = 3t + 2$ $p(t) = -\dfrac{1}{3}t - 2$ $p(t) = \dfrac{1}{3}t + 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 55
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Reta perpendicular a $p(t) = 3t + 4$ tem inclinação $m = -1/3$ . Usando $(3, 1)$ : $b = 1 - (-1/3)(3) = 1 + 1 = 2$ . Portanto $p(t) = -\frac{1}{3}t + 2$ .
Ex. 3.29Compreensão
A tabela abaixo pode representar uma função afim? Se sim, encontre a equação.
$x$ 0 5 10 15
$f(x)$ $-5$ $20$ $45$ $70$
Selecione a alternativa correta
Sim, é linear: $f(x) = 5x - 5$ .Sim, é linear: $f(x) = 5x + 5$ .Não é linear, pois a diferença de $x$ não é constante.Sim, é linear: $f(x) = 25x$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 91
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Verificando as diferenças: $\Delta x = 5$ e $\Delta f = 25$ em todos os intervalos, logo $m = 25/5 = 5$ . Usando $(0,-5)$ : $f(x) = 5x - 5$ .
Ex. 3.30CompreensãoGabarito
A tabela abaixo pode representar uma função afim? Se sim, encontre a equação.
$x$ 2 4 6 8
$f(x)$ $-4$ $16$ $36$ $56$
Selecione a alternativa correta
Sim, é linear: $f(x) = 10x - 24$ .Sim, é linear: $f(x) = 10x + 24$ .Não é linear.Sim, é linear: $f(x) = 5x - 24$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 95
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Verificando: $\Delta x = 2$ e $\Delta f = 20$ em todos os intervalos, logo $m = 20/2 = 10$ . Usando $(2, -4)$ : $b = -4 - 10(2) = -24$ . Portanto $f(x) = 10x - 24$ .
Ex. 3.31DesafioGabarito
Se $f$ é uma função afim com $f(0{,}1) = 11{,}5$ e $f(0{,}4) = -5{,}9$ , encontre a equação de $f$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -58x + 17{,}26$ $f(x) = 58x - 17{,}26$ $f(x) = -58x - 17{,}26$ $f(x) = 58x + 17{,}26$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 97
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A inclinação é $m = \frac{-5{,}9 - 11{,}5}{0{,}4 - 0{,}1} = \frac{-17{,}4}{0{,}3} = -58$ . Usando $(0{,}1,\; 11{,}5)$ : $b = 11{,}5 - (-58)(0{,}1) = 11{,}5 + 5{,}8 = 17{,}3$ . Portanto $f(x) = -58x + 17{,}3$ .
Ex. 3.32Modelagem
Ao meio-dia, um barista tem R$ 20 no pote de gorjetas. Se receber em média R$ 0,50 por cliente, qual a função afim que modela o valor total no pote após atender $n$ clientes?
Selecione a alternativa correta
$T(n) = 20 + 0{,}50\,n$ reais, com $n$ clientes atendidos. $T(n) = 0{,}50\,n$ reais. $T(n) = 20n + 0{,}50$ reais. $T(n) = 20 - 0{,}50\,n$ reais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 114
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O valor inicial é R\$ 20 (coeficiente linear) e cresce R\$ 0,50 por cliente (coeficiente angular). Logo $T(n) = 20 + 0{,}50n$ .
Ex. 3.33Modelagem
Uma academia com 2 sessões de personal trainer custa R$ 125, e com 5 sessões custa R$ 260. Qual é o custo por sessão individual?
Selecione a alternativa correta
R\$ 45 por sessão.R\$ 125 por sessão.R\$ 65 por sessão.R\$ 30 por sessão.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 115
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A diferença de preço por 3 sessões extras é $260 - 125 = 135$ . Custo por sessão: $135 / 3 = 45$ reais.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Diferença de custo: $260 - 125 = 135$ reais.
2. Diferença de sessões: $5 - 2 = 3$ sessões.
3. Custo por sessão: $135 / 3 = 45$ reais.
Ex. 3.34Modelagem
A população de uma cidade crescia linearmente. Em 2003 eram 45 000 habitantes, com crescimento de 1 700 pessoas por ano. Escreva a função $P(t)$ que modela a população.
Selecione a alternativa correta
$P(t) = 45\ 000 + 1\ 700\,t$ , onde $t$ são os anos após 2003. $P(t) = 1\ 700\,t$ . $P(t) = 45\ 000 - 1\ 700\,t$ . $P(t) = 45\ 000 + 1\ 700$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 120
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A população parte de 45 000 em 2003 e cresce 1 700 por ano. Logo $P(t) = 45000 + 1700t$ , onde $t = 0$ corresponde a 2003.
Ex. 3.35Modelagem
Quando a temperatura é 0 °C, Fahrenheit é 32. Quando Celsius é 100, Fahrenheit é 212. Expresse Fahrenheit como função afim de Celsius.
Selecione a alternativa correta
$F = 1{,}8C + 32$ . $F = C + 32$ . $F = 1{,}8C - 32$ . $F = \dfrac{C}{1{,}8} + 32$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 122
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Dois pontos: $(C, F) = (0, 32)$ e $(100, 212)$ . A inclinação é $m = (212-32)/(100-0) = 180/100 = 1{,}8$ . Com $b = 32$ : $F = 1{,}8C + 32$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identificar dois pontos conhecidos: $(0, 32)$ e $(100, 212)$ .
2. Calcular a inclinação: $m = (212-32)/100 = 1{,}8$ .
3. O intercepto vertical é $b = 32$ (quando $C = 0$ ).
4. Escrever: $F = 1{,}8C + 32$ .
Ex. 3.36Modelagem
A população de uma cidade diminuía a taxa constante. Em 2010 era 5 900; em 2012 caiu para 4 700. Escreva a função afim $P(t)$ que modela a população, com $t = 0$ em 2010.
Selecione a alternativa correta
$P(t) = 5\ 900 - 600\,t$ , onde $t$ são os anos após 2010. $P(t) = 5\ 900 + 600\,t$ . $P(t) = 600\,t$ . $P(t) = 5\ 900 - 1\ 200\,t$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 9
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Taxa de variação: $(4700 - 5900)/(2012 - 2010) = -1200/2 = -600$ habitantes/ano. Com $P(0) = 5900$ : $P(t) = 5900 - 600t$ .
Ex. 3.37Modelagem
Em 2004, a população escolar era 1 001. Em 2008 cresceu para 1 697. Assumindo crescimento linear, qual foi a taxa anual de crescimento?
Selecione a alternativa correta
696 pessoas por ano.174 pessoas por ano.2 784 pessoas por ano.1 001 pessoas por ano.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 45
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Taxa de crescimento: $(1697 - 1001)/(2008 - 2004) = 696/4 = 174$ pessoas/ano.
Ex. 3.38Desafio
Você escolhe entre dois planos de celular pré-pago. O Plano A cobra R$ 0,26/minuto. O Plano B cobra uma taxa fixa de R$ 19,95 mais R$ 0,11/minuto. A partir de quantos minutos o Plano B se torna mais barato?
Selecione a alternativa correta
Após 133 minutos.Após 100 minutos.Após 200 minutos.Após 66 minutos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 53
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Plano 1: $C_1(m) = 0{,}26m$ . Plano 2: $C_2(m) = 19{,}95 + 0{,}11m$ . Igualando: $0{,}26m = 19{,}95 + 0{,}11m \Rightarrow 0{,}15m = 19{,}95 \Rightarrow m = 133$ minutos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Modelar: $C_1 = 0{,}26m$ e $C_2 = 19{,}95 + 0{,}11m$ .
2. Igualar para encontrar o ponto de equilíbrio: $0{,}26m = 19{,}95 + 0{,}11m$ .
3. Isolar $m$ : $0{,}15m = 19{,}95$ .
4. Resolver: $m = 19{,}95 / 0{,}15 = 133$ minutos.
Ex. 3.39Desafio
Em um novo emprego de vendas, você tem duas opções salariais:
- Opção A: salário base de R$ 17 000/ano + 12% de comissão sobre vendas.
- Opção B: salário base de R$ 20 000/ano + 5% de comissão sobre vendas.
Acima de que valor de vendas a Opção A rende mais?
Selecione a alternativa correta
Acima de R\$ 25 000 em vendas.Acima de R\$ 17 000 em vendas.Acima de R\$ 50 000 em vendas.Acima de R\$ 12 000 em vendas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 55
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Opção A: $17000 + 0{,}12s$ ; Opção B: $20000 + 0{,}05s$ . Igualando: $17000 + 0{,}12s = 20000 + 0{,}05s \Rightarrow 0{,}07s = 3000 \Rightarrow s = 3000/0{,}07 \approx 42857$ . Acima de ~R\$ 42 857 em vendas a Opção A é mais lucrativa.
Ex. 3.40Modelagem
A empresa A lava janelas a R$ 5 por janela. A empresa B cobra uma taxa fixa de R$ 40 mais R$ 3 por janela. Para quantas janelas a empresa B se torna mais barata?
Selecione a alternativa correta
Acima de 20 janelas.Acima de 5 janelas.Acima de 40 janelas.Acima de 10 janelas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 54
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Empresa 1: $C_1 = 5w$ ; Empresa 2: $C_2 = 40 + 3w$ . Igualando: $5w = 40 + 3w \Rightarrow 2w = 40 \Rightarrow w = 20$ janelas. Acima de 20 janelas a Empresa 2 é mais barata.
Ex. 3.41Aplicação
Determine se cada função é crescente ou decrescente: $g(x) = 5x + 6$ e $a(x) = 5 - 2x$ .
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 5x + 6$ é crescente; $a(x) = 5 - 2x$ é decrescente.Ambas são crescentes.Ambas são decrescentes. $g(x)$ é decrescente; $a(x)$ é crescente.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 15
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Em $g(x) = 5x + 6$ o coeficiente angular $5 > 0$ , portanto crescente. Em $a(x) = 5 - 2x$ o coeficiente angular $-2 < 0$ , portanto decrescente.
Ex. 3.42Aplicação
Encontre a equação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos $(1, 5)$ e $(4, 11)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = 2x + 3$ $f(x) = 2x - 3$ $f(x) = -2x + 3$ $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 32
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A inclinação é $m = (11 - 5)/(4 - 1) = 6/3 = 2$ . Com $(1, 5)$ : $b = 5 - 2(1) = 3$ . Portanto $f(x) = 2x + 3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular $m = (11-5)/(4-1) = 2$ .
2. Usar $(1,5)$ : $b = 5 - 2 \cdot 1 = 3$ .
3. Escrever: $f(x) = 2x + 3$ .
4. Verificar: $f(4) = 8 + 3 = 11$ . Correto.
Ex. 3.43Aplicação
Encontre a equação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos $(-1, 4)$ e $(5, 2)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{11}{3}$ $f(x) = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{11}{3}$ $f(x) = -3x + \dfrac{11}{3}$ $f(x) = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{11}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.1 · ex. 33
Ver solução
A inclinação é $m = (2-4)/(5-(-1)) = -2/6 = -1/3$ . Com $(-1,4)$ : $b = 4 + (-1/3)(-1) = 4 + 1/3 = ...$ . Corrigindo: $b = 4 - (-1/3)(-1) = 4 - 1/3 = 11/3$ . Logo $f(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$ .
Ex. 3.44Modelagem
Um recém-nascido pesa 7,5 libras. No primeiro ano, engorda meia libra por mês. Escreva a função afim $W(m)$ que modela o peso após $m$ meses.
Selecione a alternativa correta
$W(m) = 7{,}5 + 0{,}5\,m$ libras, com $m$ o número de meses. $W(m) = 0{,}5\,m$ libras. $W(m) = 7{,}5 - 0{,}5\,m$ libras. $W(m) = 7{,}5 + m$ libras.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 19
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A criança nasce pesando 7,5 lb (coeficiente linear) e ganha 0,5 lb/mês (coeficiente angular). Logo $W(m) = 7{,}5 + 0{,}5m$ .
Ex. 3.45Modelagem
Usando o modelo $W(m) = 7{,}5 + 0{,}5m$ do exercício anterior, após quantos meses a criança pesou 10,0 libras?
Selecione a alternativa correta
Após 5 meses.Após 3 meses.Após 7 meses.Após 10 meses.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §4.2 · ex. 23
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Usando $W(m) = 7{,}5 + 0{,}5m$ , resolvendo $10{,}0 = 7{,}5 + 0{,}5m \Rightarrow 0{,}5m = 2{,}5 \Rightarrow m = 5$ meses.

$x$	0	5	10	15
$f(x)$	$-5$	$20$	$45$	$70$

$x$	2	4	6	8
$f(x)$	$-4$	$16$	$36$	$56$

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1–2.4, §5.1–5.3. Fonte primária dos blocos A, B, C.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1. Fonte primária do bloco E (modelagem).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.2–1.3 (taxa de variação como motivação para derivada). Fonte da Porta 25.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1, §10.6.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · §12. Fonte do exercício 3.15 (composição de afins).