v1 · padrão canônico

Lição 4 — Função quadrática

Função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Discriminante, raízes (Bhaskara), forma canônica, vértice, concavidade, eixo de simetria, sinal, máximo e mínimo. Otimização de área, custo e lucro.

Usado em: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Math I japonês cap. 2 · Klasse 10 alemã · O-level Singapore cap. 2 · ENEM

f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Função quadrática — polinomial de 2.º grau. O gráfico é uma parábola: abre pra cima se $a > 0$ , pra baixo se $a < 0$ . O ponto mais alto ou mais baixo é o vértice $V = (-b/(2a),\ -\Delta/(4a))$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

"A quadratic function is a polynomial function of degree 2. The graph of a quadratic function is a parabola." — OpenStax College Algebra 2e, §5.1

Raízes — Fórmula de Bhaskara

O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina a natureza das raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac

o que isso quer dizer · Fórmula resolutiva (Bhaskara): Δ > 0 → duas raízes reais distintas; Δ = 0 → raiz dupla real; Δ < 0 → nenhuma raiz real (duas complexas conjugadas).

Vértice e forma canônica

Completando o quadrado em $ax^2 + bx + c$ , obtemos a forma canônica:

f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V

o que isso quer dizer · Forma canônica: revela diretamente vértice V = (xV, yV), eixo de simetria x = xV e valor extremo yV.

onde as coordenadas do vértice são:

x_V = -\frac{b}{2a}, \qquad y_V = f(x_V) = -\frac{\Delta}{4a}

o que isso quer dizer · xV é também a média das raízes (quando existem). yV é o valor mínimo se a > 0, máximo se a < 0.

Parábolas — figura geométrica

Esquerda: a > 0, concavidade pra cima, vértice é mínimo. Direita: a < 0, concavidade pra baixo, vértice é máximo. Pontos laranja: raízes (zeros da função). Linha tracejada: eixo de simetria.

Relações de Vieta

Se $x_1, x_2$ são as raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ (quando $\Delta \geq 0$ ):

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

o que isso quer dizer · Relações de Girard-Vieta: soma e produto das raízes expressos diretamente pelos coeficientes, sem necessidade de achar as raízes individualmente.

"The vertex of the parabola is the maximum point if $a < 0$ or the minimum point if $a > 0$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §5.1

Sinal da função quadrática

Com raízes $x_1 \leq x_2$ (quando $\Delta > 0$ ) e $a > 0$ : $f(x) \leq 0$ para $x \in [x_1, x_2]$ ; $f(x) \geq 0$ para $x \leq x_1$ ou $x \geq x_2$ . Se $a < 0$ , os sinais invertem.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da aplicação direta de Bhaskara à otimização de lucro. Cada exemplo cita o livro-fonte.

Exemplo— 1· Bhaskara — resolução completa (aplicação)

Problema: Resolva $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Estratégia: Identificar $a, b, c$ ; calcular $\Delta$ ; aplicar a fórmula resolutiva; verificar com as relações de Vieta.

Resolução:

Coeficientes. $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ .
Discriminante. $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0$ . Duas raízes reais distintas.
Bhaskara. $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$ $x = \frac{7 \pm 25}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$ .
- $x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3$
- $x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$
Fatoração. $2(x - 3)(x - \tfrac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$ .

Verificação (Vieta): $x_1 + x_2 = 3 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} = -b/a = 7/2$ ✓ e $x_1 \cdot x_2 = 3/2 = c/a = 3/2$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Vértice, forma canônica e concavidade (intermediário)

Problema: Para $f(x) = -3x^2 + 12x - 7$ , determine o vértice, a forma canônica, a concavidade e o valor máximo.

Estratégia: Usar $x_V = -b/(2a)$ , calcular $y_V = f(x_V)$ , montar a forma canônica; a concavidade vem do sinal de $a$ .

Resolução:

$x_V$ . $x_V = -12/(2 \cdot (-3)) = -12/(-6) = 2$ .
$y_V$ . $f(2) = -3(4) + 12(2) - 7 = -12 + 24 - 7 = 5$ .
Forma canônica. $f(x) = -3(x - 2)^2 + 5$ .
Concavidade. $a = -3 < 0$ : parábola abre pra baixo. Vértice é máximo.
Valor máximo de $f$ : $y_V = 5$ , atingido em $x = 2$ .

Verificação: Expandir $-3(x-2)^2 + 5 = -3(x^2 - 4x + 4) + 5 = -3x^2 + 12x - 12 + 5 = -3x^2 + 12x - 7$ ✓.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §2.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Inequação quadrática com análise de sinal (intermediário)

Problema: Resolva $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ .

Estratégia: Encontrar as raízes da equação associada; usar a concavidade para determinar onde a parábola está abaixo do eixo $x$ .

Resolução:

Raízes. $x^2 - 2x - 8 = 0$ : $\Delta = 4 + 32 = 36$ . $x = (2 \pm 6)/2$ : $x_1 = -2$ , $x_2 = 4$ .
Fatoração. $(x + 2)(x - 4) = 0$ .
Análise de sinal. $a = 1 > 0$ : parábola "sorridente". Está abaixo do eixo ( $f \leq 0$ ) entre as raízes, incluindo os extremos (desigualdade não-estrita).
Solução. $x \in [-2, 4]$ .

Verificação:

Em $x = 0$ (interno): $0 - 0 - 8 = -8 \leq 0$ ✓.
Em $x = 5$ (externo): $25 - 10 - 8 = 7 > 0$ ✓ (não na solução).
Em $x = -2$ (borda): $4 + 4 - 8 = 0 \leq 0$ ✓ (incluído).

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Otimização de área com cerca retangular (avançado)

Problema: Um produtor tem 120 m de cerca e quer cercar um pasto retangular contra um muro existente (a cerca cobre apenas 3 lados). Quais dimensões maximizam a área?

Estratégia: Modelar a área em função de uma única variável usando a restrição de comprimento de cerca. O vértice da quadrática resultante dá o máximo.

Resolução:

Variáveis. Seja $x$ a profundidade (lados perpendiculares ao muro) e $y$ a largura paralela ao muro. Cerca: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$ .
Área. $A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$ .
Domínio físico. $x > 0$ e $y > 0 \Rightarrow x \in (0, 60)$ .
Vértice. $a = -2 < 0$ — tem máximo. $x_V = -120/(2 \cdot (-2)) = 30$ m. $y = 120 - 60 = 60$ m.
Área máxima. $A(30) = 30 \cdot 60 = 1800$ m².

Verificação: $A(25) = 25 \cdot 70 = 1750 < 1800$ ✓ e $A(35) = 35 \cdot 50 = 1750 < 1800$ ✓.

Observação. A relação ótima é $y = 2x$ (a dimensão paralela ao muro é o dobro da perpendicular). Esse resultado generaliza: com $n$ lados cobertos, o ótimo divide igualmente o comprimento disponível entre os lados com cerca.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença livre.

Exemplo— 5· Maximização de lucro de monopolista (modelagem real)

Problema: Uma empresa tem receita $R(q) = 180q$ (R$/u, preço fixo) e custo $C(q) = 2q^2 + 20q + 500$ . Determine a quantidade que maximiza o lucro e calcule o lucro máximo.

Estratégia: Definir $L(q) = R(q) - C(q)$ ; identificar como quadrática; usar o vértice.

Resolução:

Lucro. $L(q) = 180q - (2q^2 + 20q + 500) = -2q^2 + 160q - 500$ .
Concavidade. $a = -2 < 0$ : tem máximo.
$q^*$ . $q_V = -160/(2 \cdot (-2)) = 160/4 = 40$ unidades.
Lucro máximo. $L(40) = -2(1600) + 160(40) - 500 = -3200 + 6400 - 500 = 2700$ reais.
Verificação: $L(39) = -2(1521) + 6240 - 500 = -3042 + 5740 = 2698 < 2700$ ✓.

Interpretação (MR = MC): Receita marginal $R'(q) = 180$ ; custo marginal $C'(q) = 4q + 20$ . Igualando: $4q + 20 = 180 \Rightarrow q = 40$ — o vértice da quadrática coincide com o ponto ótimo da microeconomia.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença livre.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 8Modelagem 4Desafio 2

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §5.1–5.3 (funções quadráticas, vértice, discriminante, otimização). Fonte primária dos Blocos A, C e D.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.3 (forma canônica, Vieta, transformações, desafios). Fonte primária dos Blocos B e E.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · caps. 6–7 (otimização de área, lucro, balística). Fonte primária do Bloco D e da Porta prática.