v1 · padrão canônico

Lição 5 — Composição e função inversa

Composição f∘g como combinação de operações sequenciais. Inversa f⁻¹ desfazendo a operação. Condições para existência da inversa: bijeção ou restrição de domínio.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Math I japonês cap. 3 · Klasse 10 alemã — Funktionen

(f \circ g)(x) = f(g(x)), \quad f^{-1}(f(x)) = x

Composição encadeia duas funções — a saída de $g$ vira entrada de $f$ . Inversa desfaz a operação: $f^{-1}$ existe se e somente se f é bijetora (ou o domínio for restrito). A identidade $f^{-1}(f(x)) = x$ é a verificação universal.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Composição de funções

"Quando combinamos funções de tal forma que a saída de uma função se torna a entrada de outra, chamamos isso de composição de funções. A função resultante é denominada uma função composta." — OpenStax College Algebra 2e, §3.4

Composição: cada seta sólida é uma função; a seta tracejada inferior é a composta f ∘ g — atalho que "pula" o conjunto intermediário B.

Função inversa

"Para que uma função tenha uma função inversa, ela precisa ser uma função um-para-um. Uma função é um-para-um se cada valor de saída corresponde exatamente a um valor de entrada." — Stitz–Zeager Precalculus, §5.2

f e sua inversa são simétricas em relação à reta y = x. Refletir o gráfico de f nessa diagonal dá o gráfico de f⁻¹.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Calcular (f∘g)(x) — notar que a ordem muda o resultado

Problema: Dadas $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = x^2$ , calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e compare.

Estratégia: Aplique a definição $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — primeiro avalie $g(x)$ , depois substitua o resultado em $f$ . Repita na ordem inversa para $(g \circ f)$ .

Resolução:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 3x^2 + 1$ .
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ .
Compare: $3x^2 + 1 \neq 9x^2 + 6x + 1$ . A ordem mudou tudo.

Verificação: Em $x = 2$ : $(f \circ g)(2) = 3 \cdot 4 + 1 = 13$ e $(g \circ f)(2) = 7^2 = 49$ . Distintos, confirmando a não-comutatividade.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §3.4 — CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Encontrar a inversa de uma função afim e verificar

Problema: Determine $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 4x - 7$ . Verifique que $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \operatorname{id}$ .

Estratégia: Algoritmo padrão: escreva $y = f(x)$ , troque $x \leftrightarrow y$ , isole $y$ . Depois valide.

Resolução:

$y = 4x - 7$ .
Troca: $x = 4y - 7$ .
Isola: $4y = x + 7 \Rightarrow y = (x + 7)/4$ .
Logo $f^{-1}(x) = (x + 7)/4$ .

Verificação:

$f(f^{-1}(x)) = 4 \cdot \dfrac{x+7}{4} - 7 = (x + 7) - 7 = x$ . ✓
$f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(4x - 7) + 7}{4} = \dfrac{4x}{4} = x$ . ✓

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §5.7 — CC-BY 4.0.

Exemplo— 3· Domínio da composta com raiz — cuidado com restrições

Problema: Sejam $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 4$ . Determine $(f \circ g)(x)$ e o domínio máximo.

Estratégia: A composta existe onde $g(x)$ cai no domínio de $f$ , ou seja, onde $g(x) \geq 0$ .

Resolução:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 4}$ .
Para existir: $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2$ .
Domínio: $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $g(3) = 5$ ; $f(5) = \sqrt{5}$ . E $\sqrt{9-4} = \sqrt{5}$ . ✓. Em $x = 1$ : $g(1) = -3 < 0$ , fora do domínio de $f$ — correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §5.1 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Inversa de uma função quadrática com restrição de domínio

Problema: $f(x) = x^2 - 4x + 7$ não é invertível em $\mathbb{R}$ . Restrinja o domínio para que ela se torne invertível e determine $f^{-1}$ .

Estratégia: Complete o quadrado para identificar o vértice. Restrinja a um dos ramos (convenção: ramo direito) e inverta.

Resolução:

$f(x) = (x-2)^2 + 3$ . Vértice $(2, 3)$ , parábola crescente para $x \geq 2$ .
Restrinja a $A = [2, +\infty)$ : $f$ é estritamente crescente, portanto injetora.
$y = (x-2)^2 + 3 \Rightarrow (x-2)^2 = y - 3$ . Como $x \geq 2$ , temos $x - 2 = \sqrt{y-3}$ , logo $x = 2 + \sqrt{y-3}$ .
$f^{-1}: [3, +\infty) \to [2, +\infty)$ , $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y-3}$ .

Verificação: $f^{-1}(7) = 2 + \sqrt{4} = 4$ . $f(4) = (4-2)^2 + 3 = 7$ . ✓

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §5.7 — CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Composição em cadeia: conversão de moedas modelada como inversa da composta

Problema: Conversão dólar → real via $f(d) = 5{,}00 \cdot d$ (taxa simplificada). Conversão real → pontos de fidelidade via $g(r) = r/10$ . (a) Modele a função composta dólar → pontos. (b) Determine a inversa pontos → dólar. (c) 150 pontos equivalem a quantos dólares?

Estratégia: Composição direta é $g \circ f$ . A inversa é $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ — atenção à ordem invertida.

Resolução:

$(g \circ f)(d) = g(f(d)) = g(5d) = 5d/10 = d/2$ .
$f^{-1}(r) = r/5$ e $g^{-1}(p) = 10p$ .
$(g \circ f)^{-1}(p) = f^{-1}(g^{-1}(p)) = f^{-1}(10p) = 10p/5 = 2p$ .
Para $p = 150$ : $2 \cdot 150 = 300$ dólares.

Verificação: $300$ US$ $to$ R$ $1{.}500$ $to$ $150$ pontos. ✓

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 4 — livre.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 18Compreensão 9Modelagem 6Desafio 4Demonstração 3

Ex. 5.1Compreensão
Como se determina o domínio do quociente de duas funções, $f/g$ ?
Selecione a alternativa correta
Todos os $x$ onde $f$ e $g$ estão definidas e $g(x) \neq 0$ .Todos os $x$ onde $f(x) \neq 0$ .Todos os $x$ onde $f$ e $g$ estão definidas, ignorando $g(x)=0$ .Somente os $x$ onde $f(x)=g(x)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 1
Ver solução
O domínio de $f/g$ inclui todos os valores onde ambas as funções estão definidas, excluindo os pontos onde o denominador $g(x)$ se anula.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Determinar o domínio de $f$ e o domínio de $g$ separadamente.
2. 2. Tomar a interseção desses dois domínios.
3. 3. Excluir da interseção todos os $x$ tais que $g(x) = 0$ .
4. 4. O conjunto resultante é o domínio de $f/g$ .
Ex. 5.2CompreensãoGabarito
O que é a composição de duas funções, $f \circ g$ ?
Selecione a alternativa correta
A saída de $g$ torna-se entrada de $f$ : $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ .A saída de $f$ torna-se entrada de $g$ : $(f\circ g)(x) = g(f(x))$ .É a soma $f(x) + g(x)$ .É o produto $f(x) \cdot g(x)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 2
Ver solução
Por definição, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : avalia-se $g$ primeiro, e o resultado é passado para $f$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Avaliar $g$ no ponto $x$ .
2. 2. Usar esse resultado como argumento de $f$ .
3. 3. O valor final é $(f \circ g)(x)$ .
Ex. 5.3Compreensão
Se a ordem for invertida ao compor duas funções, o resultado pode ser o mesmo que na ordem original? Se sim, dê um exemplo.
Selecione a alternativa correta
Sim, por exemplo $f(x)=x$ e $g(x)=x$ são tais que $f \circ g = g \circ f$ .Não, nunca: a composição jamais comuta.Sim, sempre: $f \circ g = g \circ f$ para quaisquer funções.Sim, mas somente quando $f(x) = -g(x)$ .
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 3
Ver solução
Em geral $f \circ g \neq g \circ f$ , mas para $f = g = \mathrm{id}$ (identidade) ou $f = g$ quaisquer, as composições coincidem. Exemplo: $f(x) = 2x$ e $g(x) = 2x$ dão $(f \circ g)(x) = 4x = (g \circ f)(x)$ .
Ex. 5.4CompreensãoGabarito
Como se determina o domínio da composição $f \circ g$ ?
Selecione a alternativa correta
Conjunto dos $x$ no domínio de $g$ tais que $g(x)$ pertence ao domínio de $f$ .Conjunto dos $x$ onde $f(x)$ está definido.Conjunto dos $x$ onde $g(x)$ está definido.Interseção simples dos domínios de $f$ e $g$ , sem condição adicional.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 4
Ver solução
Para $f(g(x))$ fazer sentido, $x$ deve estar no domínio de $g$ e além disso $g(x)$ deve cair dentro do domínio de $f$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Escrever o domínio de $g$ .
2. 2. Para cada $x$ nesse domínio, calcular $g(x)$ e verificar se pertence ao domínio de $f$ .
3. 3. Reter apenas os $x$ que satisfazem ambas as condições.
Ex. 5.5Aplicação
Com $f(x) = 2x^2 + 1$ e $g(x) = 3x + 5$ , calcule $f(g(2))$ e encontre $f(g(x))$ .
Selecione a alternativa correta
$f(g(2)) = 243$ e $f(g(x)) = 2(3x+5)^2+1$ $f(g(2)) = 125$ e $f(g(x)) = 6x^2+11$ $f(g(2)) = 99$ e $f(g(x)) = (3x+5)^2+2$ $f(g(2)) = 243$ e $f(g(x)) = 9x^2+30x+26$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 76–77
Ver solução
$g(2) = 3(2)+5 = 11$ ; $f(11) = 2(121)+1 = 243$ . Para a fórmula geral: $f(g(x)) = 2(3x+5)^2+1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Calcular $g(2) = 3 \cdot 2 + 5 = 11$ .
2. 2. Calcular $f(11) = 2 \cdot 11^2 + 1 = 2 \cdot 121 + 1 = 243$ .
3. 3. Para a fórmula geral: substituir $g(x) = 3x+5$ em $f$ : $f(g(x)) = 2(3x+5)^2 + 1$ .
Ex. 5.6Aplicação
Com $f(x) = 2x^2 + 1$ e $g(x) = 3x + 5$ , calcule $g(f(-3))$ .
Selecione a alternativa correta
$g(f(-3)) = 62$ $g(f(-3)) = 9$ $g(f(-3)) = -13$ $g(f(-3)) = 54$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 78
Ver solução
$f(-3) = 2(-3)^2+1 = 2 \cdot 9+1 = 19$ ; depois $g(19) = 3(19)+5 = 62$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Calcular $f(-3) = 2(-3)^2+1 = 18+1 = 19$ .
2. 2. Calcular $g(19) = 3 \cdot 19+5 = 57+5 = 62$ .
Ex. 5.7Aplicação
Com $g(x) = 3x + 5$ , encontre $(g \circ g)(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$(g \circ g)(x) = 9x + 20$ $(g \circ g)(x) = 6x + 5$ $(g \circ g)(x) = 9x + 10$ $(g \circ g)(x) = 3x + 10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 79
Ver solução
$(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(3x+5) = 3(3x+5)+5 = 9x+15+5 = 9x+20$ .
Ex. 5.8Aplicação
Com $f(x) = 4x + 8$ e $g(x) = 7 - x^2$ , calcule $f(g(0))$ e $g(f(0))$ .
Selecione a alternativa correta
$f(g(0)) = 36$ e $g(f(0)) = -57$ $f(g(0)) = 8$ e $g(f(0)) = 7$ $f(g(0)) = 36$ e $g(f(0)) = 57$ $f(g(0)) = 28$ e $g(f(0)) = -57$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 72
Ver solução
$g(0) = 7$ , então $f(g(0)) = 4(7)+8 = 36$ . Por outro lado, $f(0) = 8$ , então $g(f(0)) = 7-8^2 = 7-64 = -57$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Calcular $g(0) = 7 - 0^2 = 7$ .
2. 2. Calcular $f(7) = 4(7)+8 = 36$ .
3. 3. Calcular $f(0) = 4(0)+8 = 8$ .
4. 4. Calcular $g(8) = 7 - 64 = -57$ .
Ex. 5.9Aplicação
Com $f(x) = 5x + 7$ e $g(x) = 4 - 2x^2$ , calcule $f(g(0))$ e $g(f(0))$ . (Resp: 27 e $-94$ )
Selecione a alternativa correta
$f(g(0)) = 27$ e $g(f(0)) = -4$ $f(g(0)) = 7$ e $g(f(0)) = 4$ $f(g(0)) = 4$ e $g(f(0)) = -28$ $f(g(0)) = 27$ e $g(f(0)) = 4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 73
Ver solução
$g(0) = 4$ , então $f(4) = 5(4)+7 = 27$ . Também $f(0) = 7$ e $g(7) = 4 - 2(49) = 4-98 = -94$ . (Resp: $f(g(0))=27$ , $g(f(0))=-94$ )
Ex. 5.10Aplicação
Com $f(x) = x + 4$ e $g(x) = 12 - x^3$ , calcule $f(g(0))$ e $g(f(0))$ . (Resp: 16 e $-52$ )
Selecione a alternativa correta
$f(g(0)) = 16$ e $g(f(0)) = 12$ $f(g(0)) = 12$ e $g(f(0)) = 16$ $f(g(0)) = 4$ e $g(f(0)) = 12$ $f(g(0)) = 16$ e $g(f(0)) = -12$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 74
Ver solução
$g(0) = 12 - 0 = 12$ , então $f(12) = 12+4 = 16$ . Também $f(0) = 4$ e $g(4) = 12 - 4^3 = 12-64 = -52$ . (Resp: 16 e $-52$ )
Ex. 5.11Aplicação
Com $f(x) = \frac{1}{x+2}$ e $g(x) = 4x + 3$ , calcule $f(g(0))$ e $g(f(0))$ . (Resp: $\frac{1}{5}$ e $5$ )
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{2}$ e $3$ $2$ e $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{3}$ $3$ e $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 75
Ver solução
$g(0) = 3$ , então $f(g(0)) = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$ . Aguarda — $g(0) = 4(0)+3 = 3$ e $f(3) = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$ . (Resp: $f(g(0)) = 1/5$ )
Ex. 5.12CompreensãoGabarito
Com $f(x) = x^3 + 1$ e $g(x) = \sqrt[3]{x-1}$ , calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e compare os resultados.
Selecione a alternativa correta
$(f \circ g)(x) = x = (g \circ f)(x)$ , as duas composições são iguais à identidade. $(f \circ g)(x) = x^3 + 1$ e $(g \circ f)(x) = x - 1$ . $(f \circ g)(x) = x + 1$ e $(g \circ f)(x) = x - 1$ .As composições diferem: $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 80
Ver solução
Com $f(x) = x^3+1$ e $g(x) = \sqrt[3]{x-1}$ : $(f \circ g)(x) = (\sqrt[3]{x-1})^3+1 = x$ e $(g \circ f)(x) = \sqrt[3]{x^3+1-1} = x$ . Ambas são a identidade, confirmando que $g = f^{-1}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Calcular $f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x-1}) = (\sqrt[3]{x-1})^3+1 = x-1+1 = x$ .
2. 2. Calcular $g(f(x)) = g(x^3+1) = \sqrt[3]{x^3+1-1} = \sqrt[3]{x^3} = x$ .
3. 3. Concluir: as duas composições dão $x$ , logo $f$ e $g$ são inversas uma da outra.
Ex. 5.13Aplicação
Com $f(x) = x^3 + 1$ e $g(x) = \sqrt[3]{x-1}$ , calcule $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(2)$ .
Selecione a alternativa correta
$(f \circ g)(2) = 2$ e $(g \circ f)(2) = 2$ $(f \circ g)(2) = 9$ e $(g \circ f)(2) = 2$ $(f \circ g)(2) = 2$ e $(g \circ f)(2) = 9$ $(f \circ g)(2) = 3$ e $(g \circ f)(2) = 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 81
Ver solução
$g(2) = \sqrt[3]{2-1} = 1$ , então $f(1) = 1+1 = 2$ . Também $f(2) = 9$ e $g(9) = \sqrt[3]{8} = 2$ . Ambos resultam em 2.
Ex. 5.14Compreensão
Com $f(x) = x^3 + 1$ e $g(x) = \sqrt[3]{x-1}$ , qual é o domínio de $(g \circ f)(x)$ ?
Selecione a alternativa correta
Todo $\mathbb{R}$ , pois $x^3+1$ é definido para todo $x$ e a raiz cúbica aceita qualquer real.Somente $x \geq 0$ , pois a raiz cúbica exige argumento não-negativo.Somente $x \geq 1$ . $x \neq 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 82
Ver solução
$(g \circ f)(x) = \sqrt[3]{x^3}$ , e a raiz cúbica está definida para todo real. Portanto o domínio é $\mathbb{R}$ .
Ex. 5.15Desafio
Sejam $F(x) = (x+1)^5$ , $f(x) = x^5$ e $g(x) = x+1$ . Verdadeiro ou falso: $(f \circ g)(x) = F(x)$ ?
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: $(f \circ g)(x) = (x+1)^5 = F(x)$ .Falso: $(f \circ g)(x) = x^5+1 \neq F(x)$ .Falso: $(f \circ g)(x) = x^6$ .Verdadeiro, mas somente para $x \geq 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 86
Ver solução
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^5 = F(x)$ . Verdadeiro.
Ex. 5.16Desafio
Com $f(x) = x^2 + 2$ (para $x \geq 0$ ) e $g(x) = \sqrt{x-2}$ , calcule $(f \circ g)(6)$ e $(g \circ f)(6)$ .
Selecione a alternativa correta
$(f \circ g)(6) = 6$ e $(g \circ f)(6) = 6$ $(f \circ g)(6) = 38$ e $(g \circ f)(6) = 6$ $(f \circ g)(6) = 6$ e $(g \circ f)(6) = 36$ $(f \circ g)(6) = 38$ e $(g \circ f)(6) = 36$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 87
Ver solução
Para $f(x) = x^2+2$ ( $x \geq 0$ ) e $g(x) = \sqrt{x-2}$ : $g(6) = 2$ , $f(2) = 6$ ; e $f(6) = 38$ , $g(38) = 6$ . Ambos resultam em 6.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. $g(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$ .
2. 2. $f(2) = 4+2 = 6$ . Portanto $(f \circ g)(6) = 6$ .
3. 3. $f(6) = 36+2 = 38$ .
4. 4. $g(38) = \sqrt{38-2} = \sqrt{36} = 6$ . Portanto $(g \circ f)(6) = 6$ .
Ex. 5.17Modelagem
A função $D(p)$ dá o número de itens demandados quando o preço é $p$ . A função $C(x)$ é o custo de produzir $x$ itens. Para determinar o custo de produção quando o preço é 6, qual composição você avaliaria?
Selecione a alternativa correta
$C(D(6)) = C(\text{itens demandados a p=6})$ , ou seja, avaliar $C(D(6))$ . $D(C(6))$ : aplicar a função demanda sobre o custo. $D(C(x)) = 6$ : resolver a equação. $C(D(p)) = 6$ : resolver a equação para p.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 90
Ver solução
Para saber o custo de produção quando o preço é 6, primeiro determinamos quantos itens serão demandados — $D(6)$ — e depois calculamos o custo de produzir essa quantidade: $C(D(6))$ .
Ex. 5.18Modelagem
A função $A(d)$ dá o nível de dor (0–10) com $d$ mg de analgésico. A quantidade de droga após $t$ minutos é $m(t)$ . O que você faria para saber quando o paciente terá nível de dor 4?
Selecione a alternativa correta
Resolver $A(m(t)) = 4$ : encontrar o instante $t$ em que a dor chega a 4.Avaliar $A(m(4))$ .Avaliar $m(A(4))$ .Resolver $m(A(d)) = 4$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 91
Ver solução
A dor é função da dose, que é função do tempo: $A(m(t))$ dá o nível de dor em função do tempo. Para saber *quando* a dor atinge 4, resolve-se $A(m(t)) = 4$ .
Ex. 5.19Modelagem
Uma loja oferece 30% de desconto no preço $x$ de itens selecionados, e depois desconta mais 15% no caixa. Escreva a função preço final $P(x)$ usando composição.
Selecione a alternativa correta
$P(x) = 0{,}595x$ $P(x) = 0{,}45x$ $P(x) = 0{,}55x$ $P(x) = 0{,}85x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 92
Ver solução
Primeiro aplica-se o desconto de 30%: $d(x) = 0{,}7x$ . Depois o desconto adicional de 15% no caixa: $P(x) = 0{,}85 \cdot d(x) = 0{,}85 \cdot 0{,}7x = 0{,}595x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Desconto de 30%: preço fica $d(x) = 0{,}7x$ .
2. 2. Desconto adicional de 15%: $P(x) = 0{,}85 \cdot 0{,}7x$ .
3. 3. Multiplicar: $0{,}85 \times 0{,}7 = 0{,}595$ .
Ex. 5.20ModelagemGabarito
Uma gota de chuva cria uma ondulação circular. O raio (em polegadas) cresce com o tempo (em minutos) segundo $r(t) = 25\sqrt{t}+2$ . Expresse a área da ondulação como função do tempo e calcule-a em $t=2$ .
Selecione a alternativa correta
$A(t) = \pi(25\sqrt{t}+2)^2$ e $A(2) = \pi(25\sqrt{2}+2)^2 \approx 5765$ pol² $A(t) = 25\pi t + 4$ e $A(2) = 54\pi$ $A(t) = \pi(25t+2)^2$ e $A(2) = \pi(52)^2$ $A(t) = 25\pi\sqrt{t}$ e $A(2) \approx 111$ pol²
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O raio cresce como $r(t) = 25\sqrt{t}+2$ . A área é $A = \pi r^2$ , logo a composição dá $A(t) = \pi(25\sqrt{t}+2)^2$ . Em $t=2$ : $r = 25\sqrt{2}+2 \approx 37{,}36$ , $A \approx \pi (37{,}36)^2 \approx 4384$ pol².
Ex. 5.21DesafioGabarito
O número de bactérias num alimento é $N(T) = 23T^2 - 56T + 1$ (com $3 < T < 33$ °C). A temperatura após $t$ horas fora da geladeira é $T(t) = 5t + 1{,}5$ . Encontre a função composta $N(T(t))$ .
Selecione a alternativa correta
$N(T(t)) = 23(5t+1{,}5)^2 - 56(5t+1{,}5)+1$ $N(T(t)) = 23t^2 - 56t + 1{,}5$ $N(T(t)) = 115t^2 - 280t + 1$ $N(T(t)) = 23(5t)^2 - 56(5t)$
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Substitui-se $T(t) = 5t+1{,}5$ em $N(T) = 23T^2 - 56T+1$ : $N(T(t)) = 23(5t+1{,}5)^2 - 56(5t+1{,}5)+1$ .
Ex. 5.22Compreensão
Por que o teste da reta horizontal é eficaz para determinar se uma função é injetora (um-para-um)?
Selecione a alternativa correta
O teste verifica se alguma reta horizontal cruza o gráfico mais de uma vez: se sim, a função não é injetora.O teste verifica se o gráfico passa pela origem.O teste verifica se alguma reta vertical cruza o gráfico mais de uma vez.O teste verifica se a função é sobrejetora.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 1
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Uma função é injetora (um-para-um) se e somente se nenhuma reta horizontal cruza seu gráfico mais de uma vez. O teste da reta horizontal verifica precisamente essa condição visualmente.
Ex. 5.23Compreensão
Por que restringimos o domínio de $f(x) = x^2$ para encontrar sua função inversa?
Selecione a alternativa correta
Porque $f(x) = x^2$ não é injetora em $\mathbb{R}$ : $f(2) = f(-2) = 4$ , impedindo a existência de inversa global.Porque $f(x) = x^2$ não é sobrejetora.Porque a inversa de $x^2$ seria uma função constante.Porque $x^2$ cresce muito rápido.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 2
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Para existir inversa global, $f$ deve ser bijetora. Como $f(2) = f(-2) = 4$ , a função não é injetora em $\mathbb{R}$ . Restringindo a $[0, +\infty)$ , ela se torna injetora e invertível, com $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .
Ex. 5.24DemonstraçãoGabarito
Uma função pode ser sua própria inversa? Explique e dê um exemplo.
Selecione a alternativa correta
Sim, por exemplo $f(x) = x$ (identidade) satisfaz $f^{-1} = f$ .Não, uma função jamais pode ser sua própria inversa.Sim, mas somente funções constantes são suas próprias inversas.Sim, mas somente funções exponenciais.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 3
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Uma função é sua própria inversa se $f(f(x)) = x$ para todo $x$ . Exemplos: $f(x) = x$ (identidade), $f(x) = 1/x$ (para $x \neq 0$ ), e $f(x) = a - x$ para qualquer constante $a$ .
Ex. 5.25Compreensão
Como se encontra a inversa de uma função algebricamente?
Selecione a alternativa correta
Trocar $x$ e $y$ , depois isolar $y$ : escrever $y = f(x)$ , permutar para $x = f(y)$ , isolar $y$ .Tomar o recíproco de $f(x)$ : $f^{-1}(x) = 1/f(x)$ .Derivar $f(x)$ e inverter o resultado.Refletir o gráfico no eixo $y$ .
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 5
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O algoritmo padrão: (1) escreva $y = f(x)$ ; (2) troque $x \leftrightarrow y$ obtendo $x = f(y)$ ; (3) isole $y$ — o resultado é $f^{-1}(x)$ . Sempre verifique com $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Ex. 5.26Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = x + 3$ .
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = x - 3$ $f^{-1}(x) = x + 3$ $f^{-1}(x) = \frac{1}{x+3}$ $f^{-1}(x) = 3 - x$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 7
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Troca $y = x+3$ por $x = y+3$ , isola: $y = x-3$ . Logo $f^{-1}(x) = x-3$ .
Ex. 5.27Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 2 - x$ .
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = 2 - x$ $f^{-1}(x) = x - 2$ $f^{-1}(x) = \frac{1}{2-x}$ $f^{-1}(x) = x + 2$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 9
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Troca $y = 2-x$ por $x = 2-y$ , isola: $y = 2-x$ . Portanto $f^{-1}(x) = 2-x$ — a função é sua própria inversa!
Ex. 5.28Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = \frac{x}{x+2}$ .
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = \frac{2x}{1-x}$ $f^{-1}(x) = \frac{x}{x+2}$ $f^{-1}(x) = \frac{1-x}{2x}$ $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x}$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 11
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Troca: $x = \frac{y}{y+2}$ . Resolve: $x(y+2) = y$ , $xy+2x = y$ , $2x = y - xy = y(1-x)$ , logo $y = \frac{2x}{1-x}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Escrever $y = \frac{x}{x+2}$ e trocar $x \leftrightarrow y$ : $x = \frac{y}{y+2}$ .
2. 2. Multiplicar ambos os lados por $(y+2)$ : $x(y+2) = y$ .
3. 3. Expandir: $xy + 2x = y$ .
4. 4. Isolar $y$ : $2x = y(1-x)$ , logo $f^{-1}(x) = \frac{2x}{1-x}$ .
Ex. 5.29Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = \frac{2x+3}{5x+4}$ .
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = \frac{4x-3}{5-2x}$ $f^{-1}(x) = \frac{5x+4}{2x+3}$ $f^{-1}(x) = \frac{3-4x}{2x-5}$ $f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{5x+4}$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 12
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Troca: $x = \frac{2y+3}{5y+4}$ . Resolve: $x(5y+4) = 2y+3$ , $5xy+4x = 2y+3$ , $5xy-2y = 3-4x$ , $y(5x-2) = 3-4x$ . Portanto $f^{-1}(x) = \frac{3-4x}{5x-2} = \frac{4x-3}{2-5x}$ .
Ex. 5.30Aplicação
Encontre um domínio onde $f(x) = (x+7)^2$ é injetora e não-decrescente. Depois encontre $f^{-1}$ restrita a esse domínio.
Selecione a alternativa correta
Domínio $[-7, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 7$ Domínio $(-\infty, 0]$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x+7}$ Domínio $[-7, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x+7}$ Domínio $[0, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 7$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 13
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Restringe-se a $[-7, +\infty)$ onde $f$ é crescente. Troca: $x = (y+7)^2$ , isola: $y = \sqrt{x}-7$ . Portanto $f^{-1}(x) = \sqrt{x}-7$ , domínio $[0,+\infty)$ .
Ex. 5.31AplicaçãoGabarito
Encontre um domínio onde $f(x) = x^2 - 5$ é injetora e não-decrescente, depois determine $f^{-1}$ nesse domínio.
Selecione a alternativa correta
Domínio $[0, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x+5}$ Domínio $(-\infty, 0]$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x+5}$ Domínio $[0, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 5$ Domínio $[-5, +\infty)$ e $f^{-1}(x) = \sqrt{x}-5$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 15
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Em $[0, +\infty)$ , $f(x) = x^2-5$ é crescente. Troca: $x = y^2-5$ , isola: $y = \sqrt{x+5}$ . Portanto $f^{-1}(x) = \sqrt{x+5}$ , domínio $[-5, +\infty)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Restringir a $[0, +\infty)$ (ramo onde $f$ é crescente).
2. 2. Escrever $y = x^2-5$ e trocar: $x = y^2-5$ .
3. 3. Isolar $y$ : $y^2 = x+5$ , $y = \sqrt{x+5}$ (positivo pois $y \geq 0$ ).
Ex. 5.32Demonstração
Use composição de funções para verificar que $f(x) = \sqrt[3]{x-1}$ e $g(x) = x^3 + 1$ são inversas uma da outra.
Selecione a alternativa correta
Sim: $f(g(x)) = x$ e $g(f(x)) = x$ , portanto são inversas.Não: as composições não resultam na identidade.Sim, mas somente para $x \geq 0$ .Não: $f(g(x)) = x$ mas $g(f(x)) \neq x$ .
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 17
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$f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x-1}) = (\sqrt[3]{x-1})^3+1 = x$ . E $g(f(x)) = g(x^3+1) = \sqrt[3]{x^3} = x$ . Ambas as composições são a identidade, confirmando que são inversas.
Ex. 5.33DemonstraçãoGabarito
Use composição para verificar que $f(x) = -3x+5$ e $g(x) = \frac{x-5}{-3}$ são inversas uma da outra.
Selecione a alternativa correta
Sim: as duas composições resultam em $x$ , confirmando que são inversas.Não: $f(g(x)) \neq x$ .Não: $g(f(x)) \neq x$ .Não: nenhuma das composições dá a identidade.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 18
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$f(g(x)) = f\!\left(\frac{x-5}{-3}\right) = -3 \cdot \frac{x-5}{-3}+5 = (x-5)+5 = x$ . E $g(f(x)) = g(-3x+5) = \frac{-3x+5-5}{-3} = \frac{-3x}{-3} = x$ .
Ex. 5.34Aplicação
A conversão Celsius → Fahrenheit é $f(x) = \frac{9}{5}x + 32$ . Encontre a função inversa e explique seu significado.
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = \frac{5}{9}(x-32)$ — converte Fahrenheit em Celsius $f^{-1}(x) = \frac{9}{5}(x+32)$ $f^{-1}(x) = \frac{5}{9}x - 32$ $f^{-1}(x) = \frac{9}{5}x - 32$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 45
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Troca: $x = \frac{9}{5}y+32$ . Isola: $x-32 = \frac{9}{5}y$ , portanto $y = \frac{5}{9}(x-32)$ . A inversa converte Fahrenheit em Celsius.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Partir de $y = \frac{9}{5}x+32$ e trocar $x \leftrightarrow y$ : $x = \frac{9}{5}y+32$ .
2. 2. Subtrair 32: $x-32 = \frac{9}{5}y$ .
3. 3. Multiplicar por $\frac{5}{9}$ : $y = \frac{5}{9}(x-32)$ .
4. 4. Interpretar: dado um valor em °F, a fórmula retorna °C.
Ex. 5.35ModelagemGabarito
A circunferência de um círculo é $C(r) = 2\pi r$ . Expresse o raio como função da circunferência, chame-a de $r(C)$ , e calcule $r(36\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$r(C) = \frac{C}{2\pi}$ e $r(36\pi) = 18$ (raio em função da circunferência) $r(C) = 2\pi C$ e $r(36\pi) = 72\pi^2$ $r(C) = \frac{2\pi}{C}$ e $r(36\pi) = \frac{1}{18}$ $r(C) = \frac{C}{\pi}$ e $r(36\pi) = 36$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 46
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Da fórmula $C = 2\pi r$ , isola-se $r = C/(2\pi)$ . Portanto $r(C) = C/(2\pi)$ . Para $C = 36\pi$ : $r = 36\pi/(2\pi) = 18$ .
Ex. 5.36ModelagemGabarito
Um carro a 50 mph percorre $d(t) = 50t$ milhas em $t$ horas. Expresse o tempo como função da distância, chame-a de $t(d)$ , e calcule $t(180)$ .
Selecione a alternativa correta
$t(d) = \frac{d}{50}$ e $t(180) = 3{,}6$ horas $t(d) = 50d$ e $t(180) = 9000$ horas $t(d) = \frac{50}{d}$ e $t(180) \approx 0{,}28$ horas $t(d) = d - 50$ e $t(180) = 130$ horas
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 47
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De $d = 50t$ , isola-se $t = d/50$ . Para $d = 180$ : $t = 180/50 = 3{,}6$ horas. Interpretação: são necessárias 3,6 horas para percorrer 180 milhas a 50 mph.
Ex. 5.37Aplicação
Com $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 + 1$ , determine $(f \circ g)(x)$ e seu domínio.
Selecione a alternativa correta
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = \sqrt{x^2+1}$ , com domínio $\mathbb{R}$ $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2}+1 = |x|+1$ $(f \circ g)(x) = x+1$ para $x \geq 0$ $(f \circ g)(x)$ não está definida para $x < 0$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 88
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Substituindo $g(x) = x^2+1$ em $f(u) = \sqrt{u}$ : $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2+1}$ . Como $x^2+1 \geq 1 > 0$ para todo $x$ , o domínio é $\mathbb{R}$ .
Ex. 5.38Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = x - 5$ .
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = x + 5$ $f^{-1}(x) = x - 5$ $f^{-1}(x) = 5 - x$ $f^{-1}(x) = \frac{1}{x+5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 8
Ver solução
Troca: $x = y-5$ dá $y = x+5$ . Logo $f^{-1}(x) = x+5$ . Verificação: $f(f^{-1}(x)) = (x+5)-5 = x$ .
Ex. 5.39Aplicação
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 3 - x$ e verifique que $f$ é sua própria inversa.
Selecione a alternativa correta
$f^{-1}(x) = 3 - x$ $f^{-1}(x) = x - 3$ $f^{-1}(x) = x + 3$ $f^{-1}(x) = \frac{1}{3-x}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 10
Ver solução
Troca: $x = 3-y$ , isola: $y = 3-x$ . Portanto $f^{-1}(x) = 3-x$ , que é a própria função (auto-inversa).
Ex. 5.40Desafio
Mostre que $f(x) = a - x$ é sua própria inversa para todo número real $a$ .
Selecione a alternativa correta
$f(x) = a - x$ é sua própria inversa para qualquer $a$ real: $f(f(x)) = a-(a-x) = x$ . $f(x) = a - x$ é sua própria inversa apenas para $a = 0$ . $f(x) = a - x$ nunca é sua própria inversa, pois $f(f(x)) = 2a - x \neq x$ . $f(x) = a - x$ é sua própria inversa apenas para $a = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §3.7 · ex. 6
Ver solução
Calcule $f(f(x)) = f(a-x) = a-(a-x) = a-a+x = x$ . Como $f(f(x)) = x$ para qualquer $a$ , a função é sua própria inversa para todos os reais $a$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1. Aplicar $f$ uma vez: $f(x) = a-x$ .
2. 2. Aplicar $f$ novamente ao resultado: $f(a-x) = a-(a-x)$ .
3. 3. Simplificar: $a-a+x = x$ . Portanto $f \circ f = \mathrm{id}$ para qualquer $a$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §3.4 (composição) e §5.7 (inversa). Fonte primária dos blocos A e C.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §5.1 (composição e domínio) e §5.2 (inversas). Fonte primária do bloco B.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 4 (inversa em modelagem de unidades). Fonte primária do bloco D.
Hammack — Book of Proof (3ª ed) — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · cap. 12 (composição, inversa, bijeção, demonstrações). Fonte primária do bloco E.
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.5 (composição como antecipação da regra da cadeia).