v1 · padrão canônico

Lição 6 — Funções exponenciais

Função exponencial f(x) = aˣ com a > 0, a ≠ 1. Domínio ℝ, imagem (0,+∞). Crescimento e decaimento. Número de Euler e. Equações exponenciais. Juros compostos e capitalização contínua.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Math I japonês cap. 5 · Klasse 10 alemã (Exponentialfunktion) · AP Precalculus Unit 2

f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1

A função exponencial de base $a$ . Quando $a > 1$ , a função é estritamente crescente; quando $0 < a < 1$ , estritamente decrescente. O domínio é $\mathbb{R}$ e a imagem é $(0, +\infty)$ — nunca toca zero ou fica negativa. O caso especial $a = e \approx 2{,}718$ é a base natural: única exponencial cuja derivada é igual a si mesma.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e propriedades

Definição

"A função exponencial com base $b$ é definida por $f(x) = b^x$ , onde $b > 0$ , $b \neq 1$ , e $x$ é qualquer número real." — OpenStax College Algebra 2e §6.1

Propriedades algébricas

Monoticidade e injetividade

O número de Euler $e$

"À medida que $n$ aumenta sem limite, a expressão $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ se aproxima do número irracional $e \approx 2{,}71828$ . Este número aparece naturalmente em problemas de crescimento contínuo." — Boelkins, Active Calculus §1.6

Gráfico

As três exponenciais mais usadas. Todas passam por (0, 1). 2ˣ e eˣ crescem; (1/2)ˣ decai. A linha laranja é o reflexo da azul pelo eixo y.

Equações exponenciais por igualdade de bases

Exemplos resolvidos

Exemplo— 4· Juros compostos vs capitalização contínua (avançado)

Problema: Aplique R$ 1.000 a 8% a.a. por 10 anos. Compare capitalização anual, mensal e contínua.

Estratégia: Use $M = P(1 + r/n)^{nt}$ para capitalização discreta e $M = Pe^{rt}$ para a contínua.

Resolução:

Anual ( $n=1$ ): $M = 1\,000 \cdot (1{,}08)^{10} \approx 2\,158{,}92$ .
Mensal ( $n=12$ ): $M = 1\,000 \cdot (1 + 0{,}08/12)^{120} \approx 2\,219{,}64$ .
Contínua: $M = 1\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 2\,225{,}54$ .

Verificação: $M_text{anual} < M_text{mensal} < M_text{contínua}$ — capitalizações mais frequentes rendem mais. A diferença entre mensal e contínua é apenas R$ 5,90 (0,3%).

Fonte. Boelkins — Active Calculus §1.6 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Datação por carbono-14 (modelagem real)

Problema: Meia-vida do carbono-14: $\tau_{1/2} = 5\,730$ anos. Um osso contém $1/8$ do C-14 original. Quantos anos ele tem?

Estratégia: Modele $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/\tau_{1/2}}$ e resolva $N(t)/N_0 = 1/8$ .

Resolução:

Modelo: $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/5730}$ .
Iguale ao dado: $(1/2)^{t/5730} = 1/8$ .
Reescreva: $1/8 = (1/2)^3$ .
Iguale expoentes: $t/5\,730 = 3 \Rightarrow t = 17\,190$ anos.

Verificação: Em 3 meias-vidas, $1 \to 1/2 \to 1/4 \to 1/8$ . ✓ O osso tem ~17.190 anos — final do Pleistoceno, fauna pré-histórica brasileira.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §6.7 — CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 5Modelagem 8Desafio 6

Ex. 6.1CompreensãoGabarito
Por que os valores de uma função exponencial crescente eventualmente superam os de uma função linear crescente?
Selecione a alternativa correta
Funções exponenciais crescentes eventualmente superam qualquer função linear.Funções lineares sempre crescem mais rápido que funções exponenciais.Funções exponenciais e lineares crescem à mesma taxa assintótica.Funções exponenciais crescentes nunca superam funções lineares.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 1
Ver solução
Uma função linear cresce adicionando uma constante a cada passo, enquanto uma exponencial $b^x$ com $b > 1$ multiplica por $b$ a cada passo. O crescimento multiplicativo sempre domina o aditivo para valores grandes de $x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Linear: $f(x) = mx + c$ — a diferença $f(x+1)-f(x) = m$ é constante.
2. Exponencial: $g(x) = b^x$ — a razão $g(x+1)/g(x) = b$ é constante.
3. Para $b > 1$ , eventualmente $b^x > mx + c$ para todo $x$ grande.
Ex. 6.2Compreensão
Dada a fórmula $f(x) = a \cdot b^x$ , é possível determinar se a função cresce ou decresce apenas olhando a fórmula? Explique.
Selecione a alternativa correta
Sim: se a base $b > 1$ cresce; se $0 < b < 1$ decai.Não: é impossível determinar pela fórmula sem calcular valores.Sim, mas apenas olhando o coeficiente $a$ , não a base.Não: crescimento e decaimento dependem apenas do domínio.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 2
Ver solução
Em $f(x) = a \cdot b^x$ com $a > 0$ : se $b > 1$ a função cresce; se $0 < b < 1$ a função decresce. A base $b$ determina completamente a direção.
Ex. 6.3Aplicação
"O aumento anual médio da população de uma alcateia de lobos é de 25 indivíduos." Isso representa uma função exponencial? Justifique.
Selecione a alternativa correta
Não; o aumento de 25 indivíduos por ano é constante (linear).Sim; qualquer crescimento de população é exponencial.Sim; a taxa de 25 por ano é multiplicativa.Não; é uma função quadrática porque envolve animais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 4
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Um aumento de 25 indivíduos por ano é uma adição constante, característica de função linear, não exponencial. Crescimento exponencial exigiria multiplicação por um fator constante.
Ex. 6.4AplicaçãoGabarito
"Uma população de bactérias diminui por um fator de $\tfrac{1}{8}$ a cada 24 horas." Isso representa uma função exponencial? Justifique.
Selecione a alternativa correta
Sim; a população é multiplicada por um fator constante a cada 24 horas.Não; a fração $1/8$ indica crescimento linear.Não; só é exponencial se a base for maior que 1.Sim, mas é crescimento, não decaimento.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 5
Ver solução
Diminuir por um fator de $\frac{1}{8}$ a cada 24 horas é equivalente a multiplicar por $\frac{1}{8}$ — razão constante. Isso é a definição de decaimento exponencial com base $b = \frac{1}{8} < 1$ .
Ex. 6.5Aplicação
"O valor de uma coleção de moedas aumentou $3{,}25\%$ ao ano nos últimos 20 anos." Isso representa uma função exponencial? Justifique.
Selecione a alternativa correta
Sim; a valorização de $3{,}25\%$ ao ano é multiplicativa.Não; percentuais fixos geram crescimento linear.Sim, mas apenas se o período for exatamente 20 anos.Não; coleções de moedas nunca seguem funções exponenciais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 6
Ver solução
Um aumento de $3{,}25\%$ ao ano significa multiplicar por $1{,}0325$ a cada ano — razão constante. O modelo é $V(t) = V_0 \cdot (1{,}0325)^t$ , claramente exponencial.
Ex. 6.6AplicaçãoGabarito
A população da floresta A é $A(t) = 115(1{,}025)^t$ e da floresta B é $B(t) = 82(1{,}029)^t$ . Qual floresta cresce mais rápido?
Selecione a alternativa correta
Floresta B cresce mais rápido: base $1{,}029 > 1{,}025$ .Floresta A cresce mais rápido: começa com mais árvores.Ambas crescem à mesma taxa assintótica.Floresta B cresce mais devagar por ter menos árvores inicialmente.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 9
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A taxa de crescimento é determinada pela base: $A(t) = 115(1{,}025)^t$ tem base $1{,}025$ e $B(t) = 82(1{,}029)^t$ tem base $1{,}029$ . Como $1{,}029 > 1{,}025$ , a floresta B cresce mais rápido.
Ex. 6.7Compreensão
Com $A(t) = 115(1{,}025)^t$ e $B(t) = 82(1{,}029)^t$ , qual floresta tinha mais árvores inicialmente e por quanto?
Selecione a alternativa correta
Floresta A começa maior: $115 > 82$ , diferença de 33 árvores.Floresta B começa maior: $82 > 115$ (erro de leitura).Ambas começam com o mesmo número de árvores.Floresta A começa com 33 árvores a menos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 10
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Em $t=0$ : $A(0) = 115$ e $B(0) = 82$ . A floresta A tem $115 - 82 = 33$ árvores a mais no início.
Ex. 6.8Modelagem
Com $A(t) = 115(1{,}025)^t$ e $B(t) = 82(1{,}029)^t$ , qual floresta terá mais árvores após 20 anos? Por quantas? (Resp: A com cerca de 188 vs B com 145)
Selecione a alternativa correta
Floresta A: $\approx 189$ árvores; Floresta B: $\approx 148$ árvores; A tem mais.Floresta B: $\approx 189$ árvores; A: $\approx 148$ árvores; B tem mais.Floresta A: $\approx 115$ árvores; B: $\approx 82$ árvores (sem crescimento).Ambas têm aproximadamente 170 árvores após 20 anos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 11
Ver solução
$A(20) = 115(1{,}025)^{20} \approx 115 \times 1{,}6386 \approx 188{,}4$ ; $B(20) = 82(1{,}029)^{20} \approx 82 \times 1{,}7623 \approx 144{,}5$ . A floresta A tem mais árvores após 20 anos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $(1{,}025)^{20} \approx 1{,}6386$ .
2. Calcule $(1{,}029)^{20} \approx 1{,}7623$ .
3. $A(20) \approx 115 \times 1{,}6386 \approx 188$ .
4. $B(20) \approx 82 \times 1{,}7623 \approx 145$ . A tem mais.
Ex. 6.9Aplicação
A equação $y = 300(1-t)^5$ representa crescimento exponencial, decaimento exponencial, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Nem crescimento nem decaimento exponencial; a base $(1-t)$ não é constante.Crescimento exponencial; a base é positiva.Decaimento exponencial; o coeficiente é 300.Crescimento linear; $t$ aparece no expoente.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 14
Ver solução
Em $y = 300(1-t)^5$ , a expressão $(1-t)^5$ tem a variável $t$ na BASE, não no expoente. Isso é uma função polinomial (potência), não exponencial.
Ex. 6.10Aplicação
A equação $y = 220(1{,}06)^x$ representa crescimento exponencial, decaimento exponencial, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Crescimento exponencial; base $1{,}06 > 1$ .Decaimento exponencial; base $1{,}06 < 2$ .Nem crescimento nem decaimento; o expoente é $x$ , não $t$ .Crescimento linear; $1{,}06$ é constante.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 15
Ver solução
$y = 220(1{,}06)^x$ : base $b = 1{,}06 > 1$ , portanto crescimento exponencial com taxa de $6\%$ por unidade de $x$ .
Ex. 6.11Aplicação
A equação $y = 11{,}701 \cdot (0{,}97)^t$ representa crescimento exponencial, decaimento exponencial, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Decaimento exponencial; base $0{,}97 < 1$ .Crescimento exponencial; o coeficiente 11.701 é grande.Nem; a base $0{,}97$ é muito próxima de 1.Crescimento linear; a taxa de mudança é constante.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 17
Ver solução
$y = 11701(0{,}97)^t$ : base $b = 0{,}97$ , e como $0 < 0{,}97 < 1$ , a função representa decaimento exponencial a $3\%$ por período.
Ex. 6.12Modelagem
Uma conta é aberta com depósito inicial de R$6.500 e rende juros de $3{,}6\%$ ao ano capitalizados semestralmente. Quanto valerá a conta após 20 anos? (Resp: $\approx$ R$13.268,58)
Selecione a alternativa correta
$A \approx 13{,}268{,}58$ após 20 anos. $A \approx 11{,}500{,}00$ após 20 anos. $A \approx 12{,}000{,}00$ após 20 anos. $A \approx 14{,}000{,}00$ após 20 anos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 31
Ver solução
$A = 6500\left(1+\frac{0{,}036}{2}\right)^{2 \cdot 20} = 6500(1{,}018)^{40} \approx 6500 \times 2{,}0413 \approx 13268{,}58$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fórmula: $A = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ .
2. $P = 6500$ , $r = 0{,}036$ , $n = 2$ , $t = 20$ .
3. Base: $1 + 0{,}036/2 = 1{,}018$ . Expoente: $2 \times 20 = 40$ .
4. $A = 6500 \times (1{,}018)^{40} \approx 13268{,}58$ .
Ex. 6.13DesafioGabarito
Uma conta vale R$14.472,74 após render $5{,}5\%$ ao ano com capitalização mensal por 5 anos. Qual foi o depósito inicial? (Resp: $\approx$ R$11.001)
Selecione a alternativa correta
$P \approx R$ \$ 11.001 $P \approx R$ \$ 10.000 $P \approx R$ \$ 13.000 $P \approx R$ \$ 12.500
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 34
Ver solução
Isole $P$ em $A = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ : $P = A / \left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ . Com $A = 14472{,}74$ , $r = 0{,}055$ , $n = 12$ , $t = 5$ : $P = 14472{,}74 / (1{,}004583)^{60} \approx 14472{,}74 / 1{,}3157 \approx 11001$ .
Ex. 6.14AplicaçãoGabarito
A equação $y = 3742 \cdot e^{0{,}75t}$ representa crescimento contínuo, decaimento contínuo, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Crescimento contínuo; expoente positivo $0{,}75t$ .Decaimento contínuo; base $e < 3$ .Nem crescimento nem decaimento; $e$ é constante.Crescimento linear; o expoente é linear em $t$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 39
Ver solução
$y = 3742 \cdot e^{0{,}75t}$ : na forma $y = a e^{kt}$ com $k = 0{,}75 > 0$ . Expoente positivo indica crescimento contínuo a taxa de $75\%$ por unidade de tempo.
Ex. 6.15Aplicação
A equação $y = 150 \cdot e^{3{,}25t}$ representa crescimento contínuo, decaimento contínuo, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Crescimento contínuo; expoente positivo $3{,}25t$ .Decaimento contínuo; coeficiente 150 é pequeno.Nem crescimento nem decaimento; $e$ é constante.Decaimento contínuo; a taxa $3{,}25$ é maior que 1.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 40
Ver solução
$y = 150 \cdot e^{3{,}25t}$ : forma $y = a e^{kt}$ com $k = 3{,}25 > 0$ . Crescimento contínuo com taxa $325\%$ por unidade de tempo.
Ex. 6.16AplicaçãoGabarito
A equação $y = 2{,}25 \cdot e^{-2t}$ representa crescimento contínuo, decaimento contínuo, ou nenhum dos dois?
Selecione a alternativa correta
Decaimento contínuo; expoente negativo $-2t$ .Crescimento contínuo; $e$ é maior que 1.Nem; o coeficiente $2{,}25$ é positivo.Crescimento contínuo; o módulo da taxa $|-2| = 2$ é grande.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 41
Ver solução
$y = 2{,}25 \cdot e^{-2t}$ : forma $y = a e^{kt}$ com $k = -2 < 0$ . Expoente negativo indica decaimento contínuo.
Ex. 6.17Modelagem
Uma conta é aberta com R$12.000 e rende $7{,}2\%$ ao ano com capitalização contínua. Quanto valerá após 30 anos? (Resp: $\approx$ R$96.168)
Selecione a alternativa correta
$A \approx$ R\$96.168,03 após 30 anos. $A \approx$ R\$50.000,00 após 30 anos. $A \approx$ R\$75.000,00 após 30 anos. $A \approx$ R\$110.000,00 após 30 anos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 42
Ver solução
Capitalização contínua: $A = Pe^{rt} = 12000 \cdot e^{0{,}072 \times 30} = 12000 \cdot e^{2{,}16} \approx 12000 \times 8{,}0144 \approx 96172{,}8$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fórmula: $A = P e^{rt}$ .
2. $P = 12000$ , $r = 0{,}072$ , $t = 30$ .
3. Expoente: $rt = 0{,}072 \times 30 = 2{,}16$ .
4. $A = 12000 \cdot e^{2{,}16} \approx 12000 \times 8{,}014 \approx 96168$ .
Ex. 6.18Aplicação
Avalie $f(-3)$ para $f(x) = 2(5)^x$ . (Resp: $0{,}016$ )
Selecione a alternativa correta
$f(-3) = 2(5)^{-3} = 2/125 = 0{,}016$ . $f(-3) = 2(-5)^3 = -250$ . $f(-3) = -6(5)^3 = -750$ . $f(-3) = 2(5^3) = 250$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 44
Ver solução
$f(-3) = 2 \cdot 5^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{125} = \frac{2}{125} = 0{,}016$ .
Ex. 6.19Aplicação
Avalie $f(-1)$ para $f(x) = -4 \cdot 2^{x+3}$ . (Resp: $-16$ )
Selecione a alternativa correta
$f(-1) = -4 \cdot 2^{(-1)+3} = -4 \cdot 2^2 = -16$ . $f(-1) = -4 \cdot 2^{-1+3} = -4 \cdot 4 = 8$ . $f(-1) = (-4 \cdot 2)^{-1+3} = (-8)^2 = 64$ . $f(-1) = -4 \cdot 2^{-1} = -2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 45
Ver solução
$f(x) = -4 \cdot 2^{x+3}$ . Então $f(-1) = -4 \cdot 2^{(-1)+3} = -4 \cdot 2^2 = -4 \cdot 4 = -16$ .
Ex. 6.20Aplicação
Avalie $f(3)$ para $f(x) = e^x$ com 4 casas decimais. (Resp: $\approx 20{,}0855$ )
Selecione a alternativa correta
$f(3) = e^3 \approx 20{,}0855$ . $f(3) = 3e \approx 8{,}154$ . $f(3) = e^3 \approx 3$ . $f(3) = 3^e \approx 19{,}81$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 46
Ver solução
$f(3) = e^3 \approx 20{,}0855$ . Lembre que $e \approx 2{,}71828$ , então $e^3 \approx 20{,}09$ .
Ex. 6.21Aplicação
Avalie $f(-1)$ para $f(x) = -2e^{x-1}$ com 4 casas decimais. (Resp: $\approx -0{,}2707$ )
Selecione a alternativa correta
$f(-1) = -2e^{(-1)-1} = -2e^{-2} \approx -0{,}2707$ . $f(-1) = -2e^{1} \approx -5{,}436$ . $f(-1) = 2e^{-2} \approx 0{,}2707$ . $f(-1) = -2e^{0} = -2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 47
Ver solução
$f(-1) = -2 \cdot e^{(-1)-1} = -2 \cdot e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -\frac{2}{7{,}389} \approx -0{,}2707$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua $x = -1$ : $f(-1) = -2e^{-1-1} = -2e^{-2}$ .
2. $e^{-2} = 1/e^2 \approx 1/7{,}389 \approx 0{,}1353$ .
3. $-2 \times 0{,}1353 \approx -0{,}2707$ .
Ex. 6.22Desafio
Avalie $f(3)$ para $f(x) = 1{,}2\,e^{2x-0{,}3}$ com 4 casas decimais. (Resp: $\approx 358{,}64$ )
Selecione a alternativa correta
$f(3) = 1{,}2 e^{6-0{,}3} \approx 1{,}2 e^{5{,}7} \approx 360{,}0$ . $f(3) = 1{,}2 e^{3} \approx 24{,}10$ . $f(3) = 1{,}2 e^{5{,}7} \approx 1{,}2 \times 298 = 357{,}6$ (arredondamento alternativo). $f(3) = 1{,}2 e^{2{,}7} \approx 17{,}88$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 49
Ver solução
$f(3) = 1{,}2 \cdot e^{2(3)-0{,}3} = 1{,}2 \cdot e^{5{,}7} \approx 1{,}2 \times 298{,}867 \approx 358{,}64$ . (Opção A é a mais próxima ao valor correto.)
Ex. 6.23Modelagem
A população de raposas em uma região tem taxa de crescimento anual de $9\%$ . Em 2012, foram contadas 23.900 raposas. Qual é a previsão para 2020? (Resp: $\approx 47.622$ )
Selecione a alternativa correta
$P(2020) \approx 47.622$ raposas. $P(2020) \approx 35.000$ raposas. $P(2020) \approx 52.000$ raposas. $P(2020) \approx 29.000$ raposas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 61
Ver solução
$P(t) = 23900 \cdot (1{,}09)^t$ . De 2012 a 2020 são $t = 8$ anos. $P(8) = 23900 \cdot (1{,}09)^8 \approx 23900 \times 1{,}9926 \approx 47622$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Modelo: $P(t) = 23900 \cdot (1{,}09)^t$ com $t$ a partir de 2012.
2. De 2012 a 2020: $t = 8$ .
3. $(1{,}09)^8 \approx 1{,}9926$ .
4. $P(8) \approx 23900 \times 1{,}9926 \approx 47622$ .
Ex. 6.24Modelagem
Um cientista começa com 100 mg de substância radioativa que decai exponencialmente. Após 35 horas, restam 50 mg. Quantos miligramas restarão após 54 horas? (Resp: $\approx 35{,}4$ mg)
Selecione a alternativa correta
Cerca de 35,4 mg após 54 horas.Cerca de 25 mg após 54 horas.Cerca de 50 mg após 54 horas.Cerca de 12,5 mg após 54 horas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 62
Ver solução
Meia-vida de 35 h: $N(t) = 100 \cdot (1/2)^{t/35}$ . Em $t = 54$ : $N(54) = 100 \cdot (0{,}5)^{54/35} \approx 100 \times 0{,}354 \approx 35{,}4$ mg.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Meia-vida $\tau = 35$ h. Modelo: $N(t) = 100 \cdot (0{,}5)^{t/35}$ .
2. Calcule $54/35 \approx 1{,}5429$ .
3. $(0{,}5)^{1{,}5429} \approx 0{,}354$ .
4. $N(54) \approx 100 \times 0{,}354 \approx 35{,}4$ mg.
Ex. 6.25Desafio
Em 1985 uma casa valia R$110.000. Em 2005 valia R$145.000. Qual foi a taxa de crescimento anual? Assumindo crescimento constante, qual era o valor em 2010? (Resp: $\approx 1{,}4\%$ ; $\approx$ R$163.834)
Selecione a alternativa correta
Taxa de $\approx 1{,}4\%$ ao ano; valor em 2010 $\approx$ R\$163.834.Taxa de $\approx 5\%$ ao ano; valor em 2010 $\approx$ R\$200.000.Taxa de $\approx 1{,}4\%$ ao ano; valor em 2010 $\approx$ R\$145.000.Taxa de $\approx 2\%$ ao ano; valor em 2010 $\approx$ R\$175.000.
Selecione uma opção primeiro
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Modelo: $V(t) = 110000 \cdot b^t$ . Em $t = 20$ : $110000 b^{20} = 145000 \Rightarrow b = (145/110)^{1/20} \approx 1{,}01396$ . Taxa $\approx 1{,}4\%$ . Em 2010 ( $t=25$ ): $V(25) \approx 110000 \times (1{,}014)^{25} \approx 163834$ .
Ex. 6.26Modelagem
Um carro valia R$38.000 em 2007 e R$11.000 em 2013. Se o valor continua caindo na mesma proporção, quanto valerá em 2017? (Resp: $\approx$ R$3.218)
Selecione a alternativa correta
Cerca de R\$3.218 em 2017.Cerca de R\$5.000 em 2017.Cerca de R\$1.500 em 2017.Cerca de R\$7.000 em 2017.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 64
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Modelo de depreciação: $V(t) = 38000 \cdot b^t$ . Em $t=6$ (2013): $38000 b^6 = 11000 \Rightarrow b = (11/38)^{1/6} \approx 0{,}8474$ . Em 2017 ( $t=10$ ): $V(10) \approx 38000 \times (0{,}8474)^{10} \approx 3218$ .
Ex. 6.27Desafio
Jaylen quer juntar R$54.000 para entrada de um imóvel. Quanto deve investir em uma conta com $8{,}2\%$ ao ano capitalizado diariamente para atingir seu objetivo em 5 anos? (Resp: $\approx$ R$36.097)
Selecione a alternativa correta
Precisa investir aproximadamente R\$36.097.Precisa investir aproximadamente R\$45.000.Precisa investir aproximadamente R\$30.000.Precisa investir aproximadamente R\$50.000.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 65
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Isole $P$ : $P = \frac{A}{\left(1+r/n\right)^{nt}}$ com $A = 54000$ , $r = 0{,}082$ , $n = 365$ , $t = 5$ . $P = 54000 / (1{,}082)^5 \approx 54000 / 1{,}4955 \approx 36097$ .
Ex. 6.28Modelagem
Alyssa abriu conta de aposentadoria com $7{,}25\%$ ao ano em 2000 e depósito inicial de R$13.500. Quanto valerá em 2025 com capitalização mensal? Quanto mais com capitalização contínua? (Resp: $\approx$ R$83.998; diferença $\approx$ R$1.949)
Selecione a alternativa correta
Capitalização mensal: $\approx$ R\ $83.998; contínua:$ \approx $R\$ 85.947; diferença $\approx$ R\$1.949.Capitalização mensal: $\approx$ R\ $75.000; contínua:$ \approx $R\$ 80.000.Ambas produzem exatamente o mesmo valor.Capitalização mensal: $\approx$ R\ $90.000; contínua:$ \approx $R\$ 85.000.
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Mensal ( $n=12$ ): $A = 13500(1+0{,}0725/12)^{300} \approx 83998$ . Contínua: $A = 13500 \cdot e^{0{,}0725 \times 25} \approx 13500 \cdot e^{1{,}8125} \approx 85947$ . Diferença $\approx 1949$ reais.
Ex. 6.29Modelagem
Uma conta com $7\%$ ao ano e depósito de R$4.000. Compare os saldos após 9 anos com capitalização anual, trimestral, mensal e contínua. (Resp: anual $\approx$ R$7.612; contínua $\approx$ R$7.715)
Selecione a alternativa correta
Anual $\approx$ R\ $7.612; trimestral$ \approx $R\$ 7.688; mensal $\approx$ R\ $7.707; contínua$ \approx $R\$ 7.715.Todos os modos de capitalização produzem exatamente R\$7.600.A capitalização anual é sempre maior que a contínua.Anual $\approx$ R\ $9.000; contínua$ \approx $R\$ 8.000.
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.1 · ex. 68
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Anual: $4000(1{,}07)^9 \approx 7612$ . Trimestral: $4000(1{,}0175)^{36} \approx 7688$ . Mensal: $4000(1+0{,}07/12)^{108} \approx 7707$ . Contínua: $4000 e^{0{,}63} \approx 7715$ . Mais frequente, maior rendimento.
Ex. 6.30Compreensão
Qual é o papel da assíntota horizontal de uma função exponencial para descrever o comportamento de extremidade do gráfico?
Selecione a alternativa correta
A assíntota horizontal indica o valor que $f(x)$ se aproxima quando $x \to \pm\infty$ , descrevendo o comportamento de extremidade.A assíntota horizontal indica o valor máximo da função.A assíntota horizontal indica o mínimo absoluto da função.A assíntota horizontal não tem relação com o comportamento de extremidade.
Selecione uma opção primeiro
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A assíntota horizontal $y = c$ de uma função exponencial indica que $f(x) \to c$ quando $x \to -\infty$ (crescimento) ou $x \to +\infty$ (decaimento). Ela descreve o comportamento de longo prazo.
Ex. 6.31Compreensão
Qual é a vantagem de reconhecer transformações do gráfico de uma função-pai algebraicamente?
Selecione a alternativa correta
Permite aplicar regras de transformação a partir de um gráfico-pai já conhecido.As funções transformadas têm o mesmo gráfico que a função-pai.Transformações algébricas não funcionam para funções exponenciais.Reconhecer transformações é inútil com calculadoras disponíveis.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 2
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Reconhecer a função-pai permite identificar rapidamente deslocamentos, reflexões e esticamentos sem recalcular tudo. Economiza tempo e reduz erros ao esboçar gráficos de funções complexas.
Ex. 6.32AplicaçãoGabarito
O gráfico de $f(x) = 3^x$ é refletido sobre o eixo $y$ e esticado verticalmente por um fator de 4. Qual é a equação de $g(x)$ ? Indique o intercepto $y$ , domínio e imagem.
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 4 \cdot (1/3)^x$ ; intercepto $y = 4$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $g(x) = 4 \cdot 3^x$ ; intercepto $y = 4$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $g(x) = (1/3)^x$ ; intercepto $y = 1$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $g(x) = -4 \cdot 3^{-x}$ ; intercepto $y = -4$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, 0)$ .
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 3
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Reflexão de $3^x$ sobre o eixo $y$ : substitua $x$ por $-x$ : $3^{-x} = (1/3)^x$ . Esticamento vertical por 4: $g(x) = 4(1/3)^x$ . Intercepto: $g(0) = 4$ . Domínio: $\mathbb{R}$ ; imagem: $(0,+\infty)$ .
Ex. 6.33Aplicação
O gráfico de $f(x) = 10^x$ é refletido sobre o eixo $x$ e deslocado 7 unidades para cima. Qual é a equação de $g(x)$ ? Indique o intercepto $y$ , domínio e imagem.
Selecione a alternativa correta
$g(x) = -10^x + 7$ ; intercepto $y = 6$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, 7)$ . $g(x) = 10^x + 7$ ; intercepto $y = 8$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(7, +\infty)$ . $g(x) = -10^x - 7$ ; intercepto $y = -8$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, -7)$ . $g(x) = 7 - 10^{-x}$ ; intercepto $y = 6$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, 7)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 5
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Reflexão sobre o eixo $x$ : $-10^x$ . Deslocamento 7 para cima: $g(x) = -10^x + 7$ . Intercepto: $g(0) = -1 + 7 = 6$ . Imagem: como $10^x > 0$ , temos $-10^x < 0$ , logo $g(x) < 7$ ; imagem $(-\infty, 7)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reflexão sobre eixo $x$ : multiplica por $-1$ : $-10^x$ .
2. Deslocar 7 para cima: $g(x) = -10^x + 7$ .
3. Intercepto: $g(0) = -1 + 7 = 6$ .
4. Imagem: $10^x \in (0,+\infty)$ , logo $-10^x \in (-\infty,0)$ , logo $g(x) \in (-\infty, 7)$ .
Ex. 6.34Desafio
O gráfico de $f(x) = (1{,}68)^x$ é deslocado 3 unidades à direita, esticado verticalmente por fator 2, refletido sobre o eixo $x$ e deslocado 3 unidades abaixo. Qual é a equação de $g(x)$ e seu domínio e imagem?
Selecione a alternativa correta
$g(x) = -2(1{,}68)^{x-3} - 3$ ; intercepto $y \approx -3{,}210$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, -3)$ . $g(x) = 2(1{,}68)^{x-3} + 3$ ; intercepto $y \approx 3{,}210$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(3, +\infty)$ . $g(x) = -2(1{,}68)^{x+3} - 3$ ; intercepto $y \approx -3{,}592$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, -3)$ . $g(x) = 2(1{,}68)^{x-3} - 3$ ; intercepto $y \approx -2{,}790$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-3, +\infty)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 6
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Aplicando as transformações em ordem: deslocar 3 à direita ( $(1{,}68)^{x-3}$ ), esticar por 2 ( $2(1{,}68)^{x-3}$ ), refletir sobre eixo $x$ ( $-2(1{,}68)^{x-3}$ ), deslocar 3 abaixo ( $-2(1{,}68)^{x-3}-3$ ). Intercepto: $g(0) = -2(1{,}68)^{-3}-3 \approx -2(0{,}2104)-3 \approx -3{,}421$ . Imagem: $(-\infty,-3)$ .
Ex. 6.35Aplicação
Escreva a transformação de $f(x) = 2^x$ refletida sobre o eixo $y$ . Identifique a assíntota horizontal, o domínio e a imagem.
Selecione a alternativa correta
$f(x) = 2^{-x}$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $f(x) = 2^x$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $f(x) = -2^x$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-\infty, 0)$ . $f(x) = 2^{x-1}$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 26
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Reflexão de $f(x) = 2^x$ sobre o eixo $y$ : substituir $x$ por $-x$ : $f(-x) = 2^{-x}$ . Assíntota $y=0$ se mantém; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0,+\infty)$ .
Ex. 6.36AplicaçãoGabarito
Escreva a transformação de $f(x) = 2^x$ deslocada 3 unidades para cima. Identifique assíntota, domínio e imagem.
Selecione a alternativa correta
$h(x) = 2^x + 3$ ; assíntota $y=3$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(3, +\infty)$ . $h(x) = 2^{x+3}$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $h(x) = 3 \cdot 2^x$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $h(x) = 2^x - 3$ ; assíntota $y=-3$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-3, +\infty)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 27
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Deslocar 3 para cima: $h(x) = 2^x + 3$ . A assíntota horizontal sobe de $y=0$ para $y=3$ . Domínio: $\mathbb{R}$ ; imagem: $(3, +\infty)$ .
Ex. 6.37Aplicação
Escreva a transformação de $f(x) = 2^x$ deslocada 2 unidades para baixo. Identifique assíntota, domínio e imagem.
Selecione a alternativa correta
$f(x) = 2^x - 2$ ; assíntota $y=-2$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(-2, +\infty)$ . $f(x) = 2^{x-2}$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $f(x) = 2^x + 2$ ; assíntota $y=2$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(2, +\infty)$ . $f(x) = (1/2)^x$ ; assíntota $y=0$ ; domínio $\mathbb{R}$ ; imagem $(0, +\infty)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 28
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Deslocar 2 para baixo: $f(x) = 2^x - 2$ . Assíntota desce para $y=-2$ . Domínio: $\mathbb{R}$ ; imagem: $(-2, +\infty)$ .
Ex. 6.38AplicaçãoGabarito
Descreva o comportamento de extremidade de $f(x) = -5(4)^x - 1$ .
Selecione a alternativa correta
Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to -1$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to -1$ .Quando $x \to \pm\infty$ : $f(x) \to -1$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to 0$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to -\infty$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 29
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$f(x) = -5(4)^x - 1$ : como $4^x \to +\infty$ quando $x \to +\infty$ , temos $-5(4)^x \to -\infty$ , logo $f \to -\infty$ . Quando $x \to -\infty$ , $4^x \to 0$ , logo $f \to -1$ .
Ex. 6.39Aplicação
Descreva o comportamento de extremidade de $f(x) = 3\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^x - 2$ .
Selecione a alternativa correta
Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to -2$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to -2$ .Quando $x \to \pm\infty$ : $f(x) \to -2$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to 0$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 30
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$f(x) = 3(1/2)^x - 2$ : como $(1/2)^x \to 0$ quando $x \to +\infty$ , temos $f \to -2$ . Quando $x \to -\infty$ , $(1/2)^x \to +\infty$ , logo $f \to +\infty$ .
Ex. 6.40Aplicação
Descreva o comportamento de extremidade de $f(x) = 3(4)^{-x} + 2$ .
Selecione a alternativa correta
Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to 2$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to 2$ .Quando $x \to \pm\infty$ : $f(x) \to 2$ .Quando $x \to +\infty$ : $f(x) \to 0$ ; quando $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 31
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$f(x) = 3(4)^{-x} + 2$ : como $4^{-x} = (1/4)^x \to 0$ quando $x \to +\infty$ , temos $f \to 2$ . Quando $x \to -\infty$ , $(1/4)^x \to +\infty$ , logo $f \to +\infty$ .
Ex. 6.41Aplicação
Partindo de $f(x) = 4^x$ , escreva a função que resulta de deslocar $f(x)$ 4 unidades para cima. Qual é a assíntota horizontal?
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 4^x + 4$ ; assíntota $y = 4$ . $g(x) = 4^{x+4}$ ; assíntota $y = 0$ . $g(x) = 4 \cdot 4^x$ ; assíntota $y = 0$ . $g(x) = 4^x - 4$ ; assíntota $y = -4$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 32
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Deslocar 4 unidades para cima: $g(x) = 4^x + 4$ . A assíntota horizontal sobe de $y=0$ para $y=4$ .
Ex. 6.42Aplicação
Partindo de $f(x) = 4^x$ , escreva a função que resulta de deslocar $f(x)$ 3 unidades para baixo. Qual é a assíntota horizontal?
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 4^x - 3$ ; assíntota $y = -3$ . $g(x) = 4^{x-3}$ ; assíntota $y = 0$ . $g(x) = 4^x + 3$ ; assíntota $y = 3$ . $g(x) = (1/4)^x$ ; assíntota $y = 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 33
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Deslocar 3 para baixo: $g(x) = 4^x - 3$ . Assíntota desce de $y=0$ para $y=-3$ .
Ex. 6.43AplicaçãoGabarito
Partindo de $f(x) = 4^x$ , escreva a função que resulta de deslocar $f(x)$ 2 unidades à esquerda.
Selecione a alternativa correta
$g(x) = 4^{x+2}$ ; assíntota $y = 0$ . $g(x) = 4^{x-2}$ ; assíntota $y = 0$ . $g(x) = 4^x + 2$ ; assíntota $y = 2$ . $g(x) = 2 \cdot 4^x$ ; assíntota $y = 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 34
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Deslocar 2 unidades à esquerda: substituir $x$ por $x+2$ : $g(x) = 4^{x+2}$ . Deslocamentos horizontais não alteram a assíntota horizontal $y=0$ .
Ex. 6.44Aplicação
Partindo de $f(x) = 4^x$ , escreva a função que resulta da reflexão de $f(x)$ sobre o eixo $x$ . Identifique assíntota e imagem.
Selecione a alternativa correta
$g(x) = -4^x$ ; assíntota $y = 0$ ; imagem $(-\infty, 0)$ . $g(x) = 4^{-x}$ ; assíntota $y = 0$ ; imagem $(0, +\infty)$ . $g(x) = -4^{-x}$ ; assíntota $y = 0$ ; imagem $(-\infty, 0)$ . $g(x) = 4^x + 1$ ; assíntota $y = 1$ ; imagem $(1, +\infty)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 36
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Reflexão sobre o eixo $x$ : $g(x) = -4^x$ . A assíntota $y=0$ se mantém; a imagem muda para $(-\infty, 0)$ .
Ex. 6.45DesafioGabarito
Avalie $g(6)$ para $g(x) = \tfrac{1}{3}(7)^{x-2}$ . (Resp: $\approx 800{,}33$ )
Selecione a alternativa correta
$g(6) = \tfrac{1}{3}(7)^{6-2} = \tfrac{1}{3}(7)^4 = \tfrac{2401}{3} \approx 800{,}33$ . $g(6) = \tfrac{1}{3}(7)^6 = 39{,}237$ . $g(6) = \tfrac{1}{3}(7)^4 = 57{,}17$ . $g(6) = (7)^4 = 2401$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.2 · ex. 43
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$g(x) = \frac{1}{3}(7)^{x-2}$ . Então $g(6) = \frac{1}{3}(7)^{6-2} = \frac{1}{3}(7)^4 = \frac{1}{3} \cdot 2401 \approx 800{,}33$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua $x = 6$ : $g(6) = \frac{1}{3}(7)^{6-2}$ .
2. Simplifique o expoente: $6-2 = 4$ .
3. Calcule: $7^4 = 2401$ .
4. $g(6) = \frac{2401}{3} \approx 800{,}33$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §6.1 (definição e propriedades), §6.2 (gráficos) e §6.6 (equações). Fonte primária dos blocos A e B.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §6.1 (equações exponenciais) e §6.3 (equações e inequações).
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.6 (número $e$ , capitalização contínua).
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §6.7 (modelos: juros, decaimento, crescimento populacional). Fonte primária do bloco C.
Lebl — Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §1.4 (exponencial como solução de EDOs de 1ª ordem).
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3ª ed · EN · CC-BY-ND · §10.2 (demonstrações elementares com expoentes). Fonte primária do bloco D.