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Lição 7 — Funções logarítmicas

Logaritmo como inversa da exponencial. Propriedades operatórias. Logaritmo natural ln e log decimal. Equações logarítmicas. Aplicações: pH, Richter, decibel, meia-vida.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Math I japonês cap. 4 · Klasse 10 alemã · Química (pH) · Física (decibel, Richter)

\log_a x = y \iff a^y = x

Logaritmo é a inversa da exponencial: $\log_a x$ responde à pergunta "a elevado a quanto dá x?" A base satisfaz $a > 0, a \neq 1$ e o argumento exige $x > 0$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e propriedades

Definição e domínio

"A função logarítmica de base $b$ , $f(x) = \log_b(x)$ , é a inversa da função exponencial $g(x) = b^x$ . O domínio é $(0, +\infty)$ e a imagem é $\mathbb{R}$ ." — OpenStax College Algebra 2e §6.3

Propriedades operatórias

Definição· Leis do logaritmo

Para $a > 0, a \neq 1$ e $x, y > 0$ :

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y

(P1)

o que isso quer dizer · Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

\log_a \!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y

(P2)

o que isso quer dizer · Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.

\log_a (x^n) = n\, \log_a x

(P3)

o que isso quer dizer · Logaritmo de uma potência: o expoente sai na frente.

\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}

(P4)

o que isso quer dizer · Mudança de base: permite calcular qualquer log a partir de ln ou log₁₀.

Duas identidades fundamentais (consequências diretas da definição):

\log_a (a^x) = x

(I1)

o que isso quer dizer · O logaritmo desfaz a exponenciação: log_a de a^x é x.

a^{\log_a x} = x

(I2)

o que isso quer dizer · A exponenciação desfaz o logaritmo: a elevado ao log_a de x é x.

"A regra do produto do logaritmo é derivada diretamente da propriedade $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ." — OpenStax College Algebra 2e §6.5

Gráfico — log e exponencial como inversas

e^x e ln x são reflexos um do outro pela reta y = x. A curva de ln x passa por (1, 0) pois ln 1 = 0; cresce sem limite mas muito devagar.

Teorema e demonstração da propriedade do produto

Exemplos resolvidos

Exemplo— 3· Resolver equação logarítmica (intermediário)

Problema: Resolva $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ .

Estratégia: Combine via P1, aplique a definição e verifique o domínio.

Resolução:

Domínio: precisamos $x > 0$ e $x - 2 > 0$ , ou seja $x > 2$ .
Combine: $\log_2[x(x-2)] = 3$ .
Definição: $x(x-2) = 2^3 = 8$ , ou seja $x^2 - 2x - 8 = 0$ .
Fatore: $(x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4$ ou $x = -2$ .
Filtre: $x = -2 < 2$ → descarte. Fica $x = 4$ .

Verificação: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ . ✓

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §6.6 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Mudança de base com calculadora (avançado)

Problema: Calcule $\log_3 17$ usando apenas $\ln$ e $\log_{10}$ .

Estratégia: Fórmula de mudança de base $\log_a x = \log_b x / \log_b a$ .

Resolução:

Via ln: $\log_3 17 = \dfrac{\ln 17}{\ln 3} \approx \dfrac{2{,}8332}{1{,}0986} \approx 2{,}5789$ .
Sanity check via $\log_{10}$ : $\dfrac{\log 17}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}2304}{0{,}4771} \approx 2{,}5789$ . ✓

Verificação: $3^{2{,}5789} \approx 17$ (calculadora confirma). ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §6.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· pH como modelo logarítmico (modelagem real)

Problema: Numa solução, $[H^+] = 4 \times 10^{-5}$ mol/L. Calcule o pH. (Dado: $\log_{10} 4 \approx 0{,}6$ .)

Estratégia: Aplique $\text{pH} = -\log_{10}[H^+]$ e use P1 para separar os fatores.

Resolução:

Definição: $\text{pH} = -\log_{10}(4 \times 10^{-5})$ .
P1: $\log_{10}(4 \times 10^{-5}) = \log_{10} 4 + \log_{10} 10^{-5} = 0{,}6 + (-5) = -4{,}4$ .
Sinal: $\text{pH} = -(-4{,}4) = 4{,}4$ .

Interpretação: pH 4,4 — solução ácida, semelhante ao suco de laranja diluído.

Verificação: $10^{-4{,}4} = 10^{-5} \cdot 10^{0{,}6} \approx 10^{-5} \cdot 3{,}98 \approx 4 \times 10^{-5}$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 27Compreensão 7Modelagem 8Desafio 3

Ex. 7.1Compreensão
Como a equação logarítmica $\log_b x = y$ pode ser resolvida para $x$ usando propriedades de expoentes?
Selecione a alternativa correta
A equação logarítmica $\log_b x = y$ pode ser resolvida para $x$ reescrevendo-a como $b^{y} = x$ .A equação logarítmica $\log_b x = y$ pode ser resolvida para $x$ reescrevendo-a como $x^{b} = y$ .A equação logarítmica $\log_b x = y$ pode ser resolvida para $x$ reescrevendo-a como $y^{b} = x$ .A equação logarítmica $\log_b x = y$ não pode ser resolvida para $x$ sem calculadora.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 3
Ver solução
A definição equivalente é $\log_b x = y \Leftrightarrow b^y = x$ . Basta elevar a base ao expoente.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reconheça a definição: $\log_b x = y$ significa " $b$ elevado a $y$ dá $x$ ".
2. Reescreva a igualdade na forma exponencial: $b^y = x$ .
3. Essa equivalência é exatamente a definição de logaritmo como inversa da exponencial.
Ex. 7.2Compreensão
Discuta o significado do logaritmo comum. Qual é sua relação com um logaritmo de base $b$ e como a notação difere?
Selecione a alternativa correta
O logaritmo comum é $\log_{10} x$ , escrito simplesmente como $\log x$ .O logaritmo comum é $\log_e x = \ln x$ , base $e$ .O logaritmo comum tem base $b$ qualquer, desde que $b > 0$ .O logaritmo comum usa a notação $\ln x$ e tem base $e$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 4
Ver solução
Logaritmo comum = base 10. A notação é $\log x$ (sem índice de base), ao contrário de $\ln x$ que tem base $e$ .
Ex. 7.3CompreensãoGabarito
Que tipos de translações afetam o domínio de uma função logarítmica?
Selecione a alternativa correta
Translações horizontais podem alterar o domínio, mas não a imagem.Translações horizontais alteram tanto o domínio quanto a imagem.Translações horizontais não alteram nem o domínio nem a imagem.Translações horizontais alteram a imagem, mas não o domínio.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 3
Ver solução
Deslocar a curva horizontalmente (substituir $x$ por $x - h$ ) move a assíntota vertical e muda o domínio, mas a imagem permanece $\mathbb{R}$ .
Ex. 7.4Compreensão
Considere a função logarítmica geral $f(x) = \log_b(x)$ . Por que $x$ não pode ser zero?
Selecione a alternativa correta
$x > 0$ , pois o argumento do logaritmo deve ser positivo. $x \geq 0$ , pois o logaritmo de zero é zero. $x \neq 0$ , pois o logaritmo de zero não está definido. $x$ pode ser qualquer real, pois a função é contínua.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 4
Ver solução
Para $f(x) = \log_b(x)$ estar definido, o argumento $x$ deve ser estritamente positivo: $x > 0$ . O logaritmo de zero e de negativos não existe nos reais.
Ex. 7.5Aplicação
Reescreva a equação $\log_4(q) = m$ na forma exponencial.
Selecione a alternativa correta
$4^m = q$ $q^4 = m$ $4^q = m$ $m^4 = q$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 6
Ver solução
Forma exponencial de $\log_4(q) = m$ : base 4, expoente $m$ , resultado $q$ . Logo $4^m = q$ .
Ex. 7.6Aplicação
Reescreva $\log_a(b) = c$ na forma exponencial.
Selecione a alternativa correta
$a^c = b$ $b^a = c$ $c^a = b$ $a^b = c$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 7
Ver solução
Forma exponencial de $\log_a(b) = c$ : $a^c = b$ .
Ex. 7.7Aplicação
Reescreva $\log_{16}(y) = x$ na forma exponencial.
Selecione a alternativa correta
$16^x = y$ $y^{16} = x$ $x^{16} = y$ $16^y = x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 8
Ver solução
Forma exponencial de $\log_{16}(y) = x$ : $16^x = y$ .
Ex. 7.8Aplicação
Reescreva $\log_x(64) = y$ na forma exponencial.
Selecione a alternativa correta
$x^y = 64$ $64^x = y$ $y^x = 64$ $x^{64} = y$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 9
Ver solução
Forma exponencial de $\log_x(64) = y$ : base $x$ , expoente $y$ , resultado $64$ . Logo $x^y = 64$ .
Ex. 7.9Aplicação
Reescreva $\log_y(x) = -11$ na forma exponencial.
Selecione a alternativa correta
$y^{-11} = x$ $x^{-11} = y$ $y^x = -11$ $x^y = -11$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 10
Ver solução
Forma exponencial de $\log_y(x) = -11$ : $y^{-11} = x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: base $y$ , expoente $-11$ , resultado $x$ .
2. Escreva na forma $\text{base}^{\text{expoente}} = \text{resultado}$ .
3. Conclusão: $y^{-11} = x$ .
Ex. 7.10Aplicação
Reescreva $2^x = y$ na forma logarítmica.
Selecione a alternativa correta
$\log_2 y = x$ $\log_y 2 = x$ $\log_2 x = y$ $\log_x y = 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 14
Ver solução
Forma logarítmica de $2^x = y$ : base 2, expoente $x$ , resultado $y$ . Logo $\log_2 y = x$ .
Ex. 7.11Aplicação
Reescreva $10^a = b$ na forma logarítmica.
Selecione a alternativa correta
$\log_{10} b = a$ $\log_b 10 = a$ $\log_{10} a = b$ $\log_a b = 10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 22
Ver solução
Forma logarítmica de $10^a = b$ : $\log_{10} b = a$ .
Ex. 7.12Aplicação
Avalie $\log_5 25$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$2$ $\frac{1}{2}$ $-2$ $4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 30
Ver solução
Como $5^2 = 25$ , temos $\log_5 25 = 2$ . (Resp: 2)
Ex. 7.13Aplicação
Avalie $\log_2 8$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$3$ $4$ $-3$ $9$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 29
Ver solução
Como $2^3 = 8$ , temos $\log_2 8 = 3$ . (Resp: 3)
Ex. 7.14AplicaçãoGabarito
Avalie $\log(0{,}0001)$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$-4$ $4$ $\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 34
Ver solução
Como $10^{-4} = 0{,}0001$ , temos $\log(0{,}0001) = -4$ . (Resp: -4)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva $0{,}0001 = 10^{-4}$ .
2. Aplique a identidade: $\log_{10}(10^{-4}) = -4$ .
3. Conclusão: $\log(0{,}0001) = -4$ .
Ex. 7.15Aplicação
Avalie $\ln(e^{-3})$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$-3$ $3$ $\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 46
Ver solução
Como $e^{-3}$ está no expoente: $\ln(e^{-3}) = -3$ pela identidade inversa. (Resp: -3)
Ex. 7.16Aplicação
Avalie $\ln(e^{1/3})$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$\frac{1}{3}$ $3$ $-3$ $\frac{1}{9}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 50
Ver solução
Pela identidade: $\ln(e^{1/3}) = \frac{1}{3}$ . (Resp: 1/3)
Ex. 7.17AplicaçãoGabarito
Avalie $\ln(1)$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$0$ $1$ $e$ indefinido
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 51
Ver solução
Por definição: $a^0 = 1$ para qualquer $a > 0$ , logo $\ln(1) = 0$ . (Resp: 0)
Ex. 7.18AplicaçãoGabarito
Avalie $\ln(e^{-0{,}225}) - 3$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$-3{,}225$ $-2{,}225$ $3{,}225$ $0{,}225$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 52
Ver solução
Pela identidade: $\ln(e^{-0{,}225}) = -0{,}225$ . Subtraindo 3: $-0{,}225 - 3 = -3{,}225$ . (Resp: -3,225)
Ex. 7.19Aplicação
Avalie $25\ln(e^{2/5})$ sem calculadora.
Selecione a alternativa correta
$10$ $\frac{2}{5}$ $5$ $25$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 53
Ver solução
Pela identidade $\ln(e^x) = x$ : $25 \ln(e^{2/5}) = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10$ . (Resp: 10)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Use a identidade: $\ln(e^{2/5}) = \frac{2}{5}$ .
2. Multiplique pelo coeficiente: $25 \cdot \frac{2}{5} = 10$ .
Ex. 7.20ModelagemGabarito
Determine o domínio, a imagem e a assíntota vertical de $h(x) = \log_4(x-1) + 1$ .
Selecione a alternativa correta
Domínio $(1,\infty)$ , imagem $\mathbb{R}$ , assíntota vertical $x = 1$ Domínio $(-\infty,1)$ , imagem $\mathbb{R}$ , assíntota vertical $x = 1$ Domínio $(1,\infty)$ , imagem $[0,\infty)$ , assíntota vertical $x = 1$ Domínio $[1,\infty)$ , imagem $\mathbb{R}$ , assíntota vertical $x = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 21
Ver solução
Para $h(x) = \log_4(x-1) + 1$ : argumento positivo exige $x - 1 > 0$ , logo domínio $(1, \infty)$ ; imagem de qualquer logaritmo é $\mathbb{R}$ ; assíntota vertical em $x = 1$ .
Ex. 7.21Modelagem
Determine o domínio e a assíntota vertical de $f(x) = \log(5x+10) + 3$ .
Selecione a alternativa correta
Domínio $(-2,\infty)$ , assíntota $x = -2$ Domínio $(-\infty,-2)$ , assíntota $x = -2$ Domínio $(-2,\infty)$ , assíntota $x = 0$ Domínio $[-2,\infty)$ , assíntota $x = -2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 22
Ver solução
Para $f(x) = \log(5x+10) + 3$ : argumento positivo exige $5x + 10 > 0 \Rightarrow x > -2$ ; assíntota vertical em $x = -2$ .
Ex. 7.22Modelagem
Determine o domínio e a assíntota vertical de $g(x) = \ln(-x) - 2$ .
Selecione a alternativa correta
Domínio $(-\infty,0)$ , assíntota $x = 0$ Domínio $(0,\infty)$ , assíntota $x = 0$ Domínio $(-\infty,0)$ , assíntota $x = -2$ Domínio $\mathbb{R}$ , sem assíntota vertical
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 23
Ver solução
Para $g(x) = \ln(-x) - 2$ : argumento positivo exige $-x > 0 \Rightarrow x < 0$ ; assíntota vertical em $x = 0$ .
Ex. 7.23Modelagem
Determine o domínio e a assíntota vertical de $f(x) = \log(3x+1)$ .
Selecione a alternativa correta
Domínio $(-\frac{1}{3},\infty)$ , assíntota $x = -\frac{1}{3}$ Domínio $(\frac{1}{3},\infty)$ , assíntota $x = \frac{1}{3}$ Domínio $(-\frac{1}{3},\infty)$ , assíntota $x = 0$ Domínio $(-\infty,-\frac{1}{3})$ , assíntota $x = -\frac{1}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 13
Ver solução
Para $f(x) = \log(3x+1)$ : argumento positivo exige $3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$ ; assíntota vertical em $x = -\frac{1}{3}$ .
Ex. 7.24ModelagemGabarito
Determine o domínio e a assíntota vertical de $g(x) = -\ln(3x+9) - 7$ .
Selecione a alternativa correta
Domínio $(-3,\infty)$ , assíntota $x = -3$ Domínio $(-\infty,-3)$ , assíntota $x = -3$ Domínio $(-3,\infty)$ , assíntota $x = 0$ Domínio $[-3,\infty)$ , assíntota $x = -3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 15
Ver solução
Para $g(x) = -\ln(3x+9) - 7$ : argumento positivo exige $3x + 9 > 0 \Rightarrow x > -3$ ; assíntota vertical em $x = -3$ .
Ex. 7.25Compreensão
Seja $b$ qualquer número real positivo tal que $b \neq 1$ . A quanto deve ser igual $\log_b 1$ ? Justifique.
Selecione a alternativa correta
$\log_b 1 = 0$ para qualquer base válida $b > 0, b \neq 1$ . $\log_b 1 = 1$ para qualquer base válida. $\log_b 1 = b$ para qualquer base válida. $\log_b 1$ é indefinido pois 1 não é positivo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.4 · ex. 56
Ver solução
Para qualquer base válida, $b^0 = 1$ , logo $\log_b 1 = 0$ . Isso segue diretamente da definição de logaritmo como inversa.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $b > 0, b \neq 1$ qualquer base válida.
2. Procure o expoente $y$ tal que $b^y = 1$ .
3. Pela propriedade de expoentes, $b^0 = 1$ para todo $b$ .
4. Portanto $\log_b 1 = 0$ .
Ex. 7.26Compreensão
Como a regra da potência para logaritmos ajuda ao calcular $\log_b(x^n)$ ?
Selecione a alternativa correta
A regra da potência (P3) extrai o expoente como fator multiplicativo.A regra da potência divide o expoente pelo logaritmo da base.A regra da potência converte o logaritmo de potência em produto de logaritmos.A regra da potência só funciona quando o expoente é inteiro.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 1
Ver solução
A regra da potência: $\log_b(x^n) = n \log_b x$ . Ela traz o expoente $n$ para frente como fator, simplificando cálculos com potências arbitrárias.
Ex. 7.27Compreensão
O que faz a fórmula de mudança de base? Por que ela é útil ao usar uma calculadora?
Selecione a alternativa correta
Permite calcular logaritmos em qualquer base usando apenas $\ln$ ou $\log_{10}$ .Permite simplificar o produto de dois logaritmos em um único logaritmo.Permite calcular logaritmos de produtos sem usar a regra do produto.Converte logaritmos para a base $e$ sempre, independente da base original.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 2
Ver solução
A fórmula de mudança de base: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$ . É útil porque calculadoras científicas têm apenas $\ln$ e $\log_{10}$ .
Ex. 7.28Aplicação
Expanda ao máximo possível: $\log_b(7x \cdot 2y)$ .
Selecione a alternativa correta
$\log_b 7 + \log_b x + \log_b 2 + \log_b y$ $\log_b(7x) - \log_b(2y)$ $7 \log_b x + 2 \log_b y$ $\log_b(7x \cdot 2y)$ não pode ser expandido
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 3
Ver solução
Pela P1: $\log_b(7x \cdot 2y) = \log_b 7 + \log_b x + \log_b 2 + \log_b y$ .
Ex. 7.29AplicaçãoGabarito
Expanda ao máximo possível: $\ln(3ab \cdot 5c)$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln 3 + \ln a + \ln b + \ln 5 + \ln c$ $\ln 3 + \ln a + \ln b - \ln 5 - \ln c$ $\ln(3ab) + \ln(5c)$ $3\ln a + 5\ln c$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 4
Ver solução
Pela P1 repetida: $\ln(3ab \cdot 5c) = \ln 3 + \ln a + \ln b + \ln 5 + \ln c$ .
Ex. 7.30AplicaçãoGabarito
Expanda ao máximo possível: $\log_b\!\left(\frac{13}{17}\right)$ .
Selecione a alternativa correta
$\log_b 13 - \log_b 17$ $\log_b 13 + \log_b 17$ $\frac{\log_b 13}{\log_b 17}$ $\frac{13}{17}\log_b 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 5
Ver solução
Pela P2: $\log_b\!\left(\frac{13}{17}\right) = \log_b 13 - \log_b 17$ .
Ex. 7.31Aplicação
Expanda ao máximo possível: $\ln\!\left(\frac{1}{4k}\right)$ .
Selecione a alternativa correta
$-\ln 4 - \ln k$ $\ln 4 + \ln k$ $\ln 4 - \ln k$ $-\frac{\ln k}{\ln 4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 7
Ver solução
Pela P2: $\ln\!\left(\frac{1}{4k}\right) = \ln 1 - \ln 4 - \ln k = 0 - \ln 4 - \ln k = -\ln 4 - \ln k$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva como quociente: $\ln(1) - \ln(4k)$ .
2. Como $\ln 1 = 0$ : resultado é $-\ln(4k)$ .
3. Aplique P1: $-\ln 4 - \ln k$ .
Ex. 7.32Aplicação
Condense em um único logaritmo: $\ln 7 + \ln x + \ln y$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln(7xy)$ $7 \ln(xy)$ $7 + \ln(xy)$ $\ln(7 + x + y)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 9
Ver solução
Pela P1: $\ln 7 + \ln x + \ln y = \ln(7xy)$ .
Ex. 7.33Aplicação
Condense em um único logaritmo: $\log_b 28 - \log_b 7$ .
Selecione a alternativa correta
$\log_b 4$ $\log_b(28 + 7)$ $4\log_b 7$ $\log_b\!\left(\frac{7}{28}\right)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 11
Ver solução
Pela P2: $\log_b 28 - \log_b 7 = \log_b\!\left(\frac{28}{7}\right) = \log_b 4$ .
Ex. 7.34Aplicação
Condense em um único logaritmo: $\frac{1}{3}\ln 8$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln 2$ $\ln 8$ $3\ln 2$ $\frac{1}{3}\ln 8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 14
Ver solução
Pela P3: $\frac{1}{3}\ln 8 = \ln(8^{1/3}) = \ln 2$ . (Resp: $\ln 2$ )
Ex. 7.35AplicaçãoGabarito
Avalie sem calculadora: $\log_3\!\left(\frac{1}{9}\right) - 3\log_3 3$ .
Selecione a alternativa correta
$-5$ $5$ $-2$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 30
Ver solução
Pela P3: $\log_3\!\left(\frac{1}{9}\right) = \log_3(3^{-2}) = -2$ . Subtraindo: $-2 - 3\log_3 3 = -2 - 3 = -5$ . (Resp: -5)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\log_3(1/9) = \log_3(3^{-2}) = -2$ .
2. $\log_3 3 = 1$ , logo $3\log_3 3 = 3$ .
3. Resultado: $-2 - 3 = -5$ .
Ex. 7.36Aplicação
Avalie sem calculadora: $2\log_9 3 - 4\log_9 3 + \log_9\!\left(\frac{1}{729}\right)$ . (Resp: -4)
Selecione a alternativa correta
$-4$ $-2$ $0$ $4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 32
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Combine as duas parcelas com $\log_9 3$ : $(2 - 4)\log_9 3 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$ . Depois, $\log_9\!\left(\frac{1}{729}\right) = \log_9(3^{-6}) = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3$ . Total: $-1 + (-3) = -4$ . (Resp: -4)
Ex. 7.37Aplicação
Use a fórmula de mudança de base para avaliar $\log_3 22$ como quociente de logaritmos naturais. Arredonde para cinco casas decimais.
Selecione a alternativa correta
$\approx 2{,}81359$ $\approx 1{,}40680$ $\approx 3{,}09104$ $\approx 0{,}72792$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 33
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Mudança de base: $\log_3 22 = \frac{\ln 22}{\ln 3} \approx \frac{3{,}09104}{1{,}09861} \approx 2{,}81359$ . (Resp: ≈ 2,81359)
Ex. 7.38Aplicação
Use a fórmula de mudança de base para avaliar $\log_8 65$ como quociente de logaritmos naturais. Arredonde para cinco casas decimais.
Selecione a alternativa correta
$\approx 2{,}00746$ $\approx 4{,}17439$ $\approx 0{,}49814$ $\approx 1{,}81291$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 34
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Mudança de base: $\log_8 65 = \frac{\ln 65}{\ln 8} \approx \frac{4{,}17439}{2{,}07944} \approx 2{,}00746$ . (Resp: ≈ 2,00746)
Ex. 7.39AplicaçãoGabarito
Use a fórmula de mudança de base para avaliar $\log_6 5{,}38$ como quociente de logaritmos naturais. Arredonde para cinco casas decimais.
Selecione a alternativa correta
$\approx 0{,}93913$ $\approx 1{,}08257$ $\approx 1{,}68245$ $\approx 0{,}61939$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 35
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Mudança de base: $\log_6 5{,}38 = \frac{\ln 5{,}38}{\ln 6} \approx \frac{1{,}68245}{1{,}79176} \approx 0{,}93913$ . (Resp: ≈ 0,93913)
Ex. 7.40Desafio
Use a regra do produto dos logaritmos para encontrar todos os valores de $x$ tais que $\log_{12}(2x+6) + \log_{12}(x+2) = 2$ . Mostre os passos de resolução.
Selecione a alternativa correta
$x = 6$ (único valor que satisfaz a equação e o domínio) $x = -11$ e $x = 6$ $x = -11$ apenasNenhum valor real satisfaz a equação
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 38
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Pela P1: $(2x+6)(x+2) = 144$ . Expandindo: $2x^2 + 10x - 132 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x - 66 = 0$ . Discriminante: $25 + 264 = 289 = 17^2$ . Raízes: $x = \frac{-5 \pm 17}{2}$ , logo $x = 6$ ou $x = -11$ . Domínio exige $x > -2$ , portanto $x = 6$ é a única solução.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Aplique P1: $\log_{12}[(2x+6)(x+2)] = 2$ .
2. Converta: $(2x+6)(x+2) = 12^2 = 144$ .
3. Expanda: $2x^2 + 10x + 12 = 144 \Rightarrow x^2 + 5x - 66 = 0$ .
4. Bhaskara: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-5 \pm 17}{2}$ , logo $x = 6$ ou $x = -11$ .
5. Domínio: $2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3$ e $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$ . Aceite $x = 6$ .
Ex. 7.41Desafio
Use a regra do quociente dos logaritmos para encontrar todos os valores de $x$ tais que $\log_6(x+2) - \log_6(x-3) = 1$ . (Resp: $x = 4$ )
Selecione a alternativa correta
$x = 4$ $x = 5$ $x = -5$ $x = \frac{5}{17}$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 39
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Pela P2: $\log_6\!\left(\frac{x+2}{x-3}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x+2}{x-3} = 6$ . Resolvendo: $x + 2 = 6x - 18 \Rightarrow 20 = 5x \Rightarrow x = 4$ . Verificando domínio com $x = 4$ : $x + 2 = 6 > 0$ e $x - 3 = 1 > 0$ ; válido. (Resp: 4)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Aplique P2: $\log_6\!\left(\frac{x+2}{x-3}\right) = 1$ .
2. Converta: $\frac{x+2}{x-3} = 6^1 = 6$ .
3. Resolva: $x + 2 = 6(x-3) = 6x - 18 \Rightarrow 20 = 5x \Rightarrow x = 4$ .
4. Verifique domínio: ambos os argumentos positivos em $x = 4$ . Válido.
Ex. 7.42Modelagem
O índice de exposição $EI$ de uma câmera é dado por $EI = \log_2(f^2 t)$ , onde $f$ é a abertura (f-stop) e $t$ o tempo de exposição em segundos. Se $f = 8$ e $t = 2$ , qual é o índice de exposição? (Resp: 7)
Selecione a alternativa correta
7685
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 64
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Com $f = 8$ e $t = 2$ : $EI = \log_2(f^2 t) = \log_2(64 \cdot 2) = \log_2 128 = \log_2(2^7) = 7$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua: $EI = \log_2(8^2 \cdot 2) = \log_2(64 \cdot 2) = \log_2 128$ .
2. Escreva 128 como potência de 2: $128 = 2^7$ .
3. Aplique a identidade: $\log_2(2^7) = 7$ .
Ex. 7.43Modelagem
Usando a fórmula $EI = \log_2(f^2 t)$ : se o medidor indica $EI = -2$ e o tempo desejado é $t = 16$ s, qual deve ser a abertura $f$ ? (Resp: $f = 1/8$ )
Selecione a alternativa correta
$f = \frac{1}{8}$ $f = 8$ $f = \frac{1}{4}$ $f = 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 65
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Com $EI = -2$ e $t = 16$ : $-2 = \log_2(f^2 \cdot 16) \Rightarrow f^2 \cdot 16 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow f = \frac{1}{8}$ .
Ex. 7.44Modelagem
As intensidades de dois terremotos numa estação sismográfica podem ser comparadas pela fórmula $\log\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = M_1 - M_2$ . Em agosto de 2009 ocorreu um terremoto de magnitude 6,1; em março de 2011, um de magnitude 9,0. Quantas vezes mais intenso foi o segundo em relação ao primeiro? (Resp: ≈ 794)
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $794$ vezes mais intensoAproximadamente $2{,}9$ vezes mais intensoAproximadamente $0{,}0013$ vezes mais intensoAproximadamente $100$ vezes mais intenso
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.3 · ex. 66
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Usando $\log\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = M_1 - M_2$ com $M_1 = 6{,}1$ e $M_2 = 9{,}0$ : $\frac{I_2}{I_1} = 10^{M_2 - M_1} = 10^{2{,}9} \approx 794$ . O terremoto de magnitude 9,0 foi cerca de 794 vezes mais intenso.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva: $\log(I_2/I_1) = M_2 - M_1 = 9{,}0 - 6{,}1 = 2{,}9$ .
2. Converta: $I_2/I_1 = 10^{2{,}9} \approx 794$ .
3. Interpretação: o segundo terremoto foi aproximadamente 794 vezes mais intenso.
Ex. 7.45DesafioGabarito
Prove que $\log_b(n) = \frac{1}{\log_n(b)}$ para quaisquer inteiros positivos $b > 1$ e $n > 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\log_b(n) = \frac{1}{\log_n(b)}$ para $b > 1$ e $n > 1$ inteiros. $\log_b(n) = \log_n(b)$ para quaisquer bases positivas. $\log_b(n) = -\log_n(b)$ pois a relação é inversa. $\log_b(n) \cdot \log_n(b) = 0$ pela propriedade do produto.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §6.5 · ex. 41
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Pela fórmula de mudança de base: $\log_b(n) = \frac{\ln n}{\ln b}$ e $\log_n(b) = \frac{\ln b}{\ln n}$ . Portanto $\log_b(n) = \frac{1}{\log_n(b)}$ — são recíprocos.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §6.3–6.6 (definição, propriedades operatórias, equações logarítmicas). Fonte primária dos blocos A, B e C.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §6.3–6.7 (logaritmos, propriedades, modelos exponenciais e logarítmicos). Fonte primária do bloco D.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §6.2–6.3 (funções logarítmicas, mudança de base, equações). Fonte do bloco E (mudança de base).
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.7 (logaritmo natural e relação com $1/x$ ). Exercício 7.46.