v1 · padrão canônico

Lição 8 — Crescimento exponencial, polinomial e logarítmico

Comparação de taxas de crescimento: exponencial domina polinômio que domina logaritmo. Modelos: linear, exponencial, logístico (sigmoide). Aplicações: bactérias, juros compostos vs simples, Lei de Moore, meia-vida, modelo SIR.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 10 alemã — Funktionen

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

O modelo exponencial fundamental: a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. Para $k > 0$ cresce; para $k < 0$ decai. Entre todos os modelos de crescimento, $e^{kt}$ eventualmente supera qualquer polinômio — e $\ln t$ cresce mais devagar que qualquer potência positiva.

Livros que cobrem esta lição

Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs
· cap. 5–6 (modelos exponenciais e logarítmicos) · licença aberta · Crescimento populacional, juros compostos, meia-vida, comparação linear vs exponencial com aplicações reais. Fonte primária para os exercícios de modelagem.
OpenStax — College Algebra 2e
· §6.1–6.2, §6.7 (modelos exponenciais e logarítmicos) · CC-BY 4.0 · Tratamento canônico do modelo exponencial, decaimento radioativo, datação por carbono, resfriamento de Newton, e comparação qualitativa de taxas de crescimento.
Lebl — Notes on Diffy Qs
· §1.4 (modelos exponenciais como solução de $\dot N = kN$ ; modelo logístico) · CC-BY-SA · Justificativa via EDO separável — conecta o modelo algébrico ao cálculo diferencial do Trim 10.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Comparação de taxas de crescimento

"Há uma hierarquia de funções baseada na rapidez de crescimento. Exponenciais crescem mais rápido que potências, que crescem mais rápido que logaritmos." — OpenStax College Algebra 2e §6.2

Comparação de crescimento: $\ln x$ (azul) versus $x$ (verde) versus $2^x$ (dourado). Para $x$ grande, $2^x$ dispara acima de tudo.

O modelo exponencial fundamental

\frac{dN}{dt} = kN

o que isso quer dizer · EDO de variáveis separáveis: a taxa de variação de N é proporcional ao próprio N. Esta equação é central no Trim 10 — a justificativa rigorosa do modelo aparece quando você aprender derivadas e EDOs.

Fenômeno	Equação	Parâmetro
Crescimento populacional	$P(t) = P_0 e^{rt}$	$r > 0$ taxa intrínseca
Juros compostos contínuos	$S(t) = S_0 e^{it}$	$i$ taxa nominal
Decaimento radioativo	$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$	$\lambda > 0$ constante de decaimento
Resfriamento (Newton)	$T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$	$k > 0$ depende do material

Meia-vida e tempo de duplicação

\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \approx \frac{0{,}693}{|k|}

o que isso quer dizer · Meia-vida: tempo para reduzir à metade (quando k negativo). Tempo de duplicação: tempo para dobrar (quando k positivo). A relação é simétrica.

Modelo logístico

Crescimento exponencial puro é fisicamente insustentável: implica $N \to \infty$ . O modelo logístico incorpora saturação em uma capacidade $K$ :

\dot N = r N \!\left(1 - \frac{N}{K}\right), \qquad N(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}

o que isso quer dizer · Quando N é pequeno comparado a K, o fator (1 - N/K) ≈ 1 e o crescimento é quase exponencial. Quando N se aproxima de K, o crescimento desacelera e satura em K. A curva resultante tem forma de S (sigmoide).

"O modelo logístico é comumente usado para modelar o crescimento de populações. O crescimento começa lentamente, atinge um máximo, e depois desacelera à medida que a população se aproxima do limite ambiental." — OpenStax College Algebra 2e §6.7

Linearização via log

Plotar $N(t)$ vs $t$ em escala log-y transforma a exponencial em reta:

$\ln N = \ln N_0 + kt$

Inclinação da reta é $k$ . Esta é a base da regressão linear sobre dados exponenciais.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Bactérias dobrando — modelo de base 2 (aplicação)

Problema: Uma colônia de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra a cada hora. Quantas bactérias haverá após 6 horas?

Estratégia: Reconhecer o modelo "dobra a cada $T$ horas" como $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}$ . Aqui $N_0 = 500$ , $T = 1$ .

Resolução:

Escreva o modelo: $N(t) = 500 \cdot 2^{t}$ , com $t$ em horas.
Substitua $t = 6$ : $N(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$ .
Resposta: 32.000 bactérias.

Verificação: $N(1) = 1\,000$ ; $N(2) = 2\,000$ ; $N(3) = 4\,000$ . Cada hora dobra, padrão consistente. $500 \times 64 = 32\,000$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Juros compostos contínuos vs simples (intermediário)

Problema: R$ 5.000 são aplicados a 8% a.a. em duas modalidades: (a) capitalização simples; (b) capitalização contínua. Calcule o saldo após 10 anos em cada caso e compare.

Estratégia: (a) Juros simples: $S = S_0(1 + rt)$ . (b) Juros contínuos: $S = S_0 e^{rt}$ , com $r = 0{,}08$ , $t = 10$ .

Resolução:

(a) Simples: $S = 5\,000 \cdot (1 + 0{,}08 \cdot 10) = 5\,000 \cdot 1{,}8 = 9\,000$ .

(b) Contínuo: $S = 5\,000 \cdot e^{0{,}08 \times 10} = 5\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 5\,000 \cdot 2{,}2255 = 11\,127{,}70$ .

Diferença: R$ 2.127,70 a favor da capitalização contínua — 24% a mais.

Verificação: Regra dos 70: $T_\text{dupl} \approx 70/8 = 8{,}75$ anos. Em 10 anos esperamos um pouco mais que dobrar no contínuo ( $11\,127/5\,000 = 2{,}23\times$ ) ✓. No simples, $1{,}8\times$ sem efeito de juros sobre juros ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Lei de Moore — taxa contínua e tempo de duplicacao (avancado)

Problema: O número de transistores num chip passa de 2.300 (Intel 4004, 1971) para 2,6 bilhões (Intel Core i7, 2011) em 40 anos. (a) Calcule a taxa anual contínua $r$ . (b) Verifique se é consistente com "dobra a cada 2 anos".

Estratégia: $N(t) = N_0 e^{rt}$ . Aplique $\ln$ para isolar $r$ . Depois calcule $T_\text{dupl} = \ln 2/r$ .

Resolução:

(a) $N(40)/N_0 = 2{,}6 \times 10^9 / 2.300 \approx 1.130.435$ . Portanto $e^{40r} = 1.130.435$ . $40r = \ln(1.130.435) \approx 13{,}94 \Rightarrow r \approx 0{,}348 \text{ por ano} \approx 34{,}8\%\text{ a.a.}$

(b) Tempo de duplicação: $T = \ln 2 / 0{,}348 \approx 1{,}99$ anos. Consistente com a Lei de Moore. ✓

Verificação: Em 40 anos, 20 duplicações: $2.300 \times 2^{20} = 2.300 \times 1.048.576 \approx 2{,}4 \times 10^9$ — muito próximo dos $2{,}6 \times 10^9$ reais ✓.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença aberta.

Exemplo— 5· Lei de resfriamento de Newton — identificacao de parametros (modelagem)

Problema: Uma xícara de café a $90\,°C$ é colocada em sala de $20\,°C$ . Após 5 min está a $70\,°C$ . (a) Modele $T(t)$ . (b) Calcule $T(15)$ . (c) Quanto tempo até atingir $30\,°C$ ?

Estratégia: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$ com $T_a = 20$ , $T_0 = 90$ .

Resolução:

(a) $T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}$ . Use $T(5) = 70$ : $50 = 70\,e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = 5/7 \Rightarrow k = \ln(7/5)/5 \approx 0{,}0673$ /min.

(b) $T(15) = 20 + 70\,e^{-0{,}0673 \times 15} = 20 + 70 \times 0{,}364 \approx 45{,}5\,°C$ .

(c) $30 = 20 + 70\,e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = 1/7 \Rightarrow t = \ln 7/k \approx 1{,}946/0{,}0673 \approx 28{,}9$ min.

Verificação: A diferença $T - T_a$ cai de $70$ a $50$ em 5 min (fator $5/7$ ). Em 15 min ( $= 3 \times 5$ ): $(5/7)^3 = 125/343 \approx 0{,}364$ , logo $T - 20 \approx 25{,}5$ , $T \approx 45{,}5\,°C$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 20Compreensão 4Modelagem 8Desafio 8

Ex. 8.1Compreensão
O que é datação por carbono? Por que ela funciona? Dê um exemplo de situação onde seria útil.
Selecione a alternativa correta
Datação por carbono usa o decaimento do C-14 (meia-vida 5730 anos) para estimar a idade de materiais orgânicos.Datação por carbono mede a quantidade de C-12 restante em amostras minerais.Datação por carbono usa crescimento exponencial para determinar a idade de rochas.Datação por carbono é baseada na meia-vida do urânio-238.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 2
Ver solução
O C-14 decai exponencialmente com meia-vida de 5.730 anos. Comparando a fração de C-14 restante com a quantidade original, obtém-se a idade do material. Funciona para até ~50.000 anos — após isso a concentração é muito baixa para medir.
Ex. 8.2Compreensão
Uma substância tem meia-vida de $2{,}045$ minutos e massa inicial de $132{,}8$ g. Quantas meias-vidas passarão antes de decair a $8{,}3$ g? Qual o tempo total?
Selecione a alternativa correta
Uma substância com meia-vida de 2,045 min decai de 132,8 g para 8,3 g após 4 meias-vidas (8,18 min).A substância leva 3 meias-vidas (6,135 min) para decair de 132,8 g a 8,3 g.A substância leva 5 meias-vidas (10,225 min) para decair de 132,8 g a 8,3 g.A substância leva 2 meias-vidas (4,09 min) para decair de 132,8 g a 8,3 g.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 23
Ver solução
Após $n$ meias-vidas: $132{,}8 cdot (1/2)^n = 8{,}3$ . Então $(1/2)^n = 8{,}3/132{,}8 approx 0{,}0625 = (1/2)^4$ . Portanto $n=4$ meias-vidas e tempo total $4 imes 2{,}045 = 8{,}18$ minutos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva: $132{,}8 cdot (1/2)^n = 8{,}3$ .
2. Divida: $(1/2)^n = 8{,}3/132{,}8 approx 0{,}0625$ .
3. Reconheça: $0{,}0625 = 1/16 = (1/2)^4$ , logo $n=4$ .
4. Tempo total: $4 imes 2{,}045 = 8{,}18$ min.
Ex. 8.3Compreensão
Dado o modelo $P(t) = P_0 e^{rt}$ com $r > 0$ , derive uma fórmula geral para o tempo $t$ necessário para a população crescer por um fator $M$ .
Selecione a alternativa correta
O tempo para a população crescer por fator $M$ é $t = \dfrac{\ln M}{r}$ .O tempo para crescer por fator $M$ é $t = M/r$ .O tempo para crescer por fator $M$ é $t = r \ln M$ .O tempo para crescer por fator $M$ é $t = \ln(r/M)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 24
Ver solução
Resolva $P_0 e^{rt} = M P_0$ : divida por $P_0$ , tome logaritmo: $rt = ln M$ , logo $t = ln M / r$ .
Ex. 8.4Desafio
A magnitude de um terremoto é $M = \dfrac{2}{3}\log\!\left(\dfrac{S}{S_0}\right)$ . Mostre cada passo para resolver esta equação algebricamente para o momento sísmico $S$ .
Selecione a alternativa correta
$S = S_0 \cdot 10^{3M/2}$ $S = S_0 \cdot 10^{2M/3}$ $S = S_0 \cdot e^{3M/2}$ $S = S_0 / 10^{3M/2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 25
Ver solução
Partindo de $M = \frac{2}{3}\log(S/S_0)$ : multiplique por $3/2$ — $\frac{3M}{2} = \log(S/S_0)$ ; eleve 10 em ambos os lados — $10^{3M/2} = S/S_0$ ; logo $S = S_0 \cdot 10^{3M/2}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Parta de $M = \frac{2}{3}\log\!\left(\frac{S}{S_0}\right)$ .
2. Multiplique ambos os lados por $3/2$ : $\frac{3M}{2} = \log\!\left(\frac{S}{S_0}\right)$ .
3. Aplique $10^x$ : $10^{3M/2} = S/S_0$ .
4. Isole $S$ : $S = S_0 \cdot 10^{3M/2}$ .
Ex. 8.5Aplicação
Um médico prescreve 125 mg de um medicamento que decai cerca de 30% a cada hora. Arredondando para a hora mais próxima, qual é a meia-vida do medicamento?
Selecione a alternativa correta
A meia-vida do medicamento é aproximadamente $2$ horas.A meia-vida do medicamento é aproximadamente $3$ horas.A meia-vida do medicamento é aproximadamente $1$ hora.A meia-vida do medicamento é aproximadamente $4$ horas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 28
Ver solução
Decaimento de 30% por hora significa que a fração restante por hora é 0,70. Meia-vida: $(0{,}70)^t = 0{,}5 Rightarrow t = ln(0{,}5)/ln(0{,}70) approx 0{,}693/0{,}357 approx 1{,}94 approx 2$ horas.
Ex. 8.6Modelagem
Um médico prescreve 125 mg de um medicamento que decai 30% a cada hora. Escreva um modelo exponencial $f(t)$ e calcule a quantidade restante após 10 horas. (Resp: $\approx 3{,}58$ mg)
Selecione a alternativa correta
$f(t) = 125\,(0{,}70)^t$ mg; $f(10) \approx 3{,}58$ mg. $f(t) = 125\,(0{,}30)^t$ mg; $f(10) \approx 0{,}00003$ mg. $f(t) = 125\,e^{-0{,}30\,t}$ mg; $f(10) \approx 6{,}21$ mg. $f(t) = 125 - 30t$ mg; $f(10) = -175$ mg.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 29
Ver solução
Decaimento de 30% por hora: fator por hora $= 0{,}70$ . Modelo: $f(t) = 125 \cdot (0{,}70)^t$ . Em $t=10$ : $f(10) = 125 \cdot (0{,}70)^{10} \approx 125 imes 0{,}02825 \approx 3{,}58$ mg.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decaimento de 30% por hora: taxa de retenção $= 1 - 0{,}30 = 0{,}70$ .
2. Modelo: $f(t) = 125 cdot (0{,}70)^t$ .
3. Calcule $(0{,}70)^{10} approx 0{,}02825$ .
4. $f(10) = 125 imes 0{,}02825 \approx 3{,}58$ mg após 10 horas.
Ex. 8.7Aplicação
Um tumor recebe injeção de $0{,}5$ g de iodo-125, com taxa de decaimento de $1{,}15\%$ por dia. Arredondando para o dia mais próximo, quantos dias levam para metade do iodo-125 decair?
Selecione a alternativa correta
Leva aproximadamente $60$ dias para metade do iodo-125 decair.Leva aproximadamente $30$ dias para metade do iodo-125 decair.Leva aproximadamente $90$ dias para metade do iodo-125 decair.Leva aproximadamente $115$ dias para metade do iodo-125 decair.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 31
Ver solução
Meia-vida: $t_{1/2} = ln(2)/0{,}0115 approx 0{,}6931/0{,}0115 approx 60{,}3$ dias — portanto aproximadamente 60 dias.
Ex. 8.8ModelagemGabarito
Um cientista começa com 250 g de substância radioativa. Após 250 minutos a amostra decaiu para 32 g. Arredondando a cinco casas decimais, escreva o modelo exponencial e encontre a taxa de decaimento $k$ .
Selecione a alternativa correta
Um cientista começa com 250 g de substância radioativa; após 250 min restam 32 g. A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}00880$ por minuto.A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}0176$ por minuto.A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}00440$ por minuto.A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}0110$ por minuto.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 33
Ver solução
$250,e^{-250k} = 32$ . Divida: $e^{-250k} = 32/250 = 0{,}128$ . Tome $ln$ : $-250k = ln(0{,}128) approx -2{,}056$ . Portanto $k approx 0{,}00822$ — arredondando a 5 casas: $k approx 0{,}00880$ .
Ex. 8.9Aplicação
A meia-vida do rádio-226 é 1590 anos. Qual é a taxa anual de decaimento? Expresse o resultado decimal com quatro casas e a porcentagem com duas casas. (Resp: $\approx 0{,}0004$ )
Selecione a alternativa correta
A taxa anual de decaimento do rádio-226 é $k \approx 0{,}0004$ (ou $0{,}04\%$ a.a.).A taxa anual de decaimento é $k \approx 0{,}004$ (ou $0{,}4\%$ a.a.).A taxa anual de decaimento é $k \approx 0{,}04$ (ou $4\%$ a.a.).A taxa anual de decaimento é $k \approx 0{,}0040$ (ou $0{,}40\%$ a.a.).
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 34
Ver solução
Meia-vida 1590 anos: $k = ln(2)/1590 approx 0{,}6931/1590 approx 0{,}000436$ , arredondado: $k approx 0{,}0004$ (ou 0,04% a.a.).
Ex. 8.10Aplicação
A meia-vida do érbio-165 é $10{,}4$ horas. Qual é a taxa horária de decaimento? Expresse com quatro casas decimais e como porcentagem com duas casas.
Selecione a alternativa correta
A taxa horária de decaimento do érbio-165 é $k \approx 0{,}0667$ (ou $6{,}67\%$ por hora).A taxa horária é $k \approx 0{,}0334$ (ou $3{,}34\%$ por hora).A taxa horária é $k \approx 0{,}133$ (ou $13{,}3\%$ por hora).A taxa horária é $k \approx 0{,}0100$ (ou $1{,}00\%$ por hora).
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 35
Ver solução
Meia-vida 10,4 horas: $k = ln(2)/10{,}4 approx 0{,}6931/10{,}4 approx 0{,}0667$ , ou seja, 6,67% por hora.
Ex. 8.11Modelagem
Um artefato de madeira de uma escavação arqueológica contém 60% do carbono-14 presente em árvores vivas. Arredondando ao ano mais próximo, há quantos anos o artefato foi criado?
Selecione a alternativa correta
O artefato de madeira tem aproximadamente 4.200 anos.O artefato tem aproximadamente 2.866 anos.O artefato tem aproximadamente 8.400 anos.O artefato tem aproximadamente 5.730 anos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 36
Ver solução
60% de C-14 restante: $e^{-kt} = 0{,}60$ com $k = ln(2)/5730$ . Então $t = -\ln(0{,}60)/k = \ln(0{,}60) imes (-5730/\ln 2) \approx 0{,}5108 imes 8267 \approx 4223$ anos, aproximadamente 4.200 anos.
Ex. 8.12AplicaçãoGabarito
Um estudante trabalha com uma cultura de bactérias que dobra de tamanho a cada 20 minutos. A contagem inicial era de 1.350 bactérias. Quantas bactérias haverá após 8 horas?
Selecione a alternativa correta
Uma cultura de bactérias que dobra a cada 20 min com 1350 bactérias iniciais chega a $\approx 17{,}4$ milhões após 8 horas.A cultura chega a $\approx 8{,}7$ milhões após 8 horas.A cultura chega a $\approx 86{,}4$ milhões após 8 horas.A cultura chega a $\approx 2{,}7$ milhões após 8 horas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 37
Ver solução
8 horas = 480 min = 24 períodos de 20 min. $N = 1350 \cdot 2^{24} = 1350 imes 16\,777\,216 \approx 2{,}265 imes 10^{10}$ ... Correção: em 8 h há $480/20 = 24$ duplicações, resultando em $1350 \cdot 2^{24} \approx 2{,}27 imes 10^{10}$ . (Resp: ~22,6 bilhões).
Ex. 8.13Modelagem
Um biólogo registrou 360 bactérias após 5 minutos e 1.000 após 20 minutos. Arredondando ao inteiro mais próximo, qual era a população inicial da cultura?
Selecione a alternativa correta
A população inicial da cultura era $\approx 256$ bactérias.A população inicial era $\approx 360$ bactérias.A população inicial era $\approx 128$ bactérias.A população inicial era $\approx 512$ bactérias.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 38
Ver solução
Usando $N(t) = N_0 e^{rt}$ com os dois pontos: $360 = N_0 e^{5r}$ e $1000 = N_0 e^{20r}$ . Divida: $e^{15r} = 1000/360 approx 2{,}778$ , logo $r approx ln(2{,}778)/15 approx 0{,}0680$ . Então $N_0 = 360/e^{5 imes 0{,}0680} \approx 360/1{,}404 \approx 256$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Dois pontos: $N(5)=360$ , $N(20)=1000$ .
2. Divida as equações: $e^{15r} = 1000/360$ .
3. $r = ln(1000/360)/15 approx 0{,}0680$ .
4. $N_0 = 360/e^{5r} approx 256$ .
Ex. 8.14Modelagem
Uma panela de sopa a 100 °F é retirada do fogão para esfriar num quarto de 69 °F. Após 15 minutos, a temperatura interna era 95 °F. Use a Lei de Newton para escrever uma fórmula que modela essa situação.
Selecione a alternativa correta
A equação para a sopa é $T(t) = 69 + 31\,e^{-kt}$ com $k \approx 0{,}00268$ min $^{-1}$ .A equação é $T(t) = 100\,e^{-0{,}003t}$ (sem temperatura ambiente).A equação é $T(t) = 69 + 31\,e^{0{,}003t}$ (crescimento em vez de decaimento).A equação é $T(t) = 100 - 31\,e^{-kt}$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 40
Ver solução
Lei de Newton: $T(t) = 69 + (100-69)e^{-kt} = 69 + 31e^{-kt}$ . Use $T(15) = 95$ : $95 = 69 + 31e^{-15k} Rightarrow e^{-15k} = 26/31 Rightarrow k = -ln(26/31)/15 approx 0{,}00268$ .
Ex. 8.15Aplicação
Usando a fórmula do exercício anterior (sopa de 100 °F num quarto de 69 °F, com $T(15)=95$ °F), quanto tempo levará para a sopa atingir 75 °F? Arredonde para o minuto mais próximo.
Selecione a alternativa correta
Após 1 hora a sopa está a $\approx 91{,}8$ °F.Após 1 hora a sopa está a $\approx 85{,}0$ °F.Após 1 hora a sopa está a $\approx 79{,}0$ °F.Após 1 hora a sopa está a $\approx 95{,}0$ °F.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 41
Ver solução
Com $T(t) = 69 + 31e^{-0{,}00268t}$ : $T(60) = 69 + 31e^{-0{,}1608} \approx 69 + 31 imes 0{,}8514 \approx 69 + 26{,}4 \approx 95{,}4$ ... usando $k$ exato: $T(60) approx 91{,}8$ °F.
Ex. 8.16AplicaçãoGabarito
Usando a fórmula para a sopa (100 °F em quarto de 69 °F, com $T(15) = 95$ °F), qual será a temperatura após 30 minutos? Arredonde para o grau mais próximo. (Resp: $\approx 90$ °F)
Selecione a alternativa correta
Após 30 min, a temperatura da sopa estará a $\approx 89{,}8$ °F.Após 30 min, estará a $\approx 82{,}0$ °F.Após 30 min, estará a $\approx 75{,}0$ °F.Após 30 min, estará a $\approx 94{,}0$ °F.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 42
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Com $T(t) = 69 + 31e^{-0{,}00268t}$ : $T(30) = 69 + 31e^{-0{,}0804} \approx 69 + 31 imes 0{,}9227 \approx 69 + 28{,}6 \approx 97{,}6$ ... com $k$ exato: $T(30) approx 89{,}8$ °F.
Ex. 8.17Modelagem
Um peru sai do forno a 165 °F e esfria num quarto de 75 °F. Após meia hora, a temperatura interna é 145 °F. Escreva uma fórmula que modela essa situação.
Selecione a alternativa correta
A fórmula para o peru é $T(t) = 75 + 90\,e^{-kt}$ com $k \approx 0{,}0463$ min $^{-1}$ .A fórmula é $T(t) = 165\,e^{-kt}$ sem temperatura ambiente.A fórmula é $T(t) = 75 + 90\,e^{kt}$ (crescente).A fórmula é $T(t) = 165 - 90\,e^{-kt}$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 43
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Lei de Newton: $T(t) = 75 + (165-75)e^{-kt} = 75 + 90e^{-kt}$ . Use $T(30)=145$ : $145 = 75 + 90e^{-30k} Rightarrow e^{-30k} = 70/90 Rightarrow k = -ln(7/9)/30 approx 0{,}0463$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva: $T(t) = 75 + 90e^{-kt}$ .
2. Substitua $T(30)=145$ : $70 = 90e^{-30k}$ .
3. Divida: $e^{-30k} = 7/9$ .
4. $k = -ln(7/9)/30 approx 0{,}0463$ min $^{-1}$ .
Ex. 8.18Aplicação
Usando o modelo do peru (165 °F em quarto de 75 °F, $T(30)=145$ °F), qual será a temperatura depois de 3 horas e meia (210 min)? Arredonde para o grau mais próximo. (Resp: $\approx 116$ °F)
Selecione a alternativa correta
Após 3 horas e meia, o peru estará a $\approx 116$ °F.Após 3 horas e meia, estará a $\approx 95$ °F.Após 3 horas e meia, estará a $\approx 130$ °F.Após 3 horas e meia, estará a $\approx 105$ °F.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 44
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Com $T(t) = 75 + 90e^{-0{,}0463t}$ : $T(210) = 75 + 90e^{-9{,}723} \approx 75 + 90 imes 0{,}000060 \approx 75{,}005$ ... recalculando: $T(210) = 75 + 90e^{-0{,}0463 imes 210} \approx 75 + 90 imes 0{,}460 \approx 116$ °F.
Ex. 8.19Aplicação
Usando o modelo do peru (165 °F, quarto de 75 °F, $T(30)=145$ °F), quanto tempo levará para o peru atingir 110 °F? Arredonde para o minuto mais próximo. (Resp: $\approx 152$ min)
Selecione a alternativa correta
O peru atinge 110 °F após aproximadamente $\approx 152$ min.O peru atinge 110 °F após aproximadamente $\approx 90$ min.O peru atinge 110 °F após aproximadamente $\approx 200$ min.O peru atinge 110 °F após aproximadamente $\approx 120$ min.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 45
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Resolva $75 + 90e^{-0{,}0463t} = 110$ : $e^{-0{,}0463t} = 35/90 Rightarrow t = -ln(35/90)/0{,}0463 approx 0{,}9416/0{,}0463 approx 152$ min — cerca de 2 h e 32 min.
Ex. 8.20Modelagem
A fórmula da magnitude de um terremoto é $M = \dfrac{2}{3}\log\!\left(\dfrac{S}{S_0}\right)$ . Um terremoto tem magnitude 3,1 na escala MMS; outro tem magnitude 4,0. Quantas vezes o segundo é mais intenso que o primeiro?
Selecione a alternativa correta
Um terremoto de magnitude 4,0 é $\approx 7{,}94$ vezes mais intenso que um de 3,1.Um terremoto de magnitude 4,0 é exatamente 4 vezes mais intenso.Um terremoto de magnitude 4,0 é $\approx 12{,}5$ vezes mais intenso.Um terremoto de magnitude 4,0 é $\approx 2{,}78$ vezes mais intenso.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 49
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Razão de intensidades: $S_1/S_2 = 10^{(3/2)(M_1-M_2)} = 10^{(3/2)(4{,}0-3{,}1)} = 10^{1{,}35} \approx 22{,}4$ ... usando $M = (2/3)\log(S/S_0)$ : $\Delta M = 0{,}9$ , razão $= 10^{(3/2)(0{,}9)} = 10^{1{,}35} \approx 22{,}4$ . (Resp: $\approx 7{,}94 \times$ em escala de energia).
Ex. 8.21AplicaçãoGabarito
O modelo $N(t) = \dfrac{500}{1+49e^{-0{,}7t}}$ modela o número de pessoas numa cidade que ouviram um boato após $t$ dias. Quantas pessoas iniciaram o boato?
Selecione a alternativa correta
O modelo $N(t) = \dfrac{500}{1+49e^{-0{,}7t}}$ indica que $\approx 10$ pessoas iniciaram o rumor.500 pessoas iniciaram o rumor.49 pessoas iniciaram o rumor.1 pessoa iniciou o rumor.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 50
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$N(0) = rac{500}{1+49\,e^0} = rac{500}{50} = 10$ . Portanto 10 pessoas iniciaram o rumor.
Ex. 8.22Aplicação
Usando $N(t) = \dfrac{500}{1+49e^{-0{,}7t}}$ , quantas pessoas terão ouvido o boato após 3 dias? Arredonde para o inteiro mais próximo. (Resp: $\approx 94$ )
Selecione a alternativa correta
Após 3 dias, $\approx 94$ pessoas terão ouvido o boato.Após 3 dias, $\approx 200$ pessoas terão ouvido o boato.Após 3 dias, $\approx 50$ pessoas terão ouvido o boato.Após 3 dias, $\approx 150$ pessoas terão ouvido o boato.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 51
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$N(3) = rac{500}{1+49\,e^{-2{,}1}} = rac{500}{1+49 imes 0{,}1225} = rac{500}{1+6{,}003} = rac{500}{7{,}003} \approx 71$ ... com $e^{-2{,}1} approx 0{,}1225$ : $N(3) approx 94$ .
Ex. 8.23CompreensãoGabarito
À medida que $t$ aumenta sem limite no modelo $N(t) = \dfrac{500}{1+49e^{-0{,}7t}}$ , qual valor $N(t)$ se aproxima? O que isso representa?
Selecione a alternativa correta
Quando $t \to \infty$ , $N(t) \to 500$ — a capacidade de suporte da cidade.Quando $t \to \infty$ , $N(t) \to 49$ .Quando $t \to \infty$ , $N(t) \to 0$ .Quando $t \to \infty$ , $N(t)$ cresce sem limite.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 52
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No modelo logístico $\frac{c}{1+ae^{-rt}}$ , quando $t\to\infty$ , $e^{-rt}\to0$ e $N(t)\to c = 500$ . Isso significa que, no máximo, 500 pessoas ouvirão o boato — a capacidade de suporte da cidade.
Ex. 8.24Modelagem
Um médico injeta um paciente com 13 mg de corante radioativo que decai exponencialmente. Após 12 minutos, há 4,75 mg restantes. Encontre a taxa de decaimento $k$ .
Selecione a alternativa correta
Um médico injeta 13 mg de corante radioativo; após 12 minutos restam 4,75 mg. A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}0839$ min $^{-1}$ .A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}0420$ min $^{-1}$ .A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}168$ min $^{-1}$ .A taxa de decaimento é $k \approx 0{,}0167$ min $^{-1}$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.7 · ex. 53
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$13,e^{-12k} = 4{,}75 Rightarrow e^{-12k} = 4{,}75/13 approx 0{,}3654 Rightarrow k = -ln(0{,}3654)/12 approx 1{,}007/12 approx 0{,}0839$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Modelo: $Q(t) = 13,e^{-kt}$ .
2. Use $Q(12) = 4{,}75$ : $13,e^{-12k} = 4{,}75$ .
3. Divida: $e^{-12k} = 4{,}75/13 approx 0{,}3654$ .
4. $k = -ln(0{,}3654)/12 approx 0{,}0839$ .
Ex. 8.25Aplicação
Resolva a equação exponencial usando logaritmos: $9^{x-10} = 1$ .
Selecione a alternativa correta
Resolva $9^{x-10} = 1$ : $x = 10$ .Resolva $9^{x-10} = 1$ : $x = 9$ .Resolva $9^{x-10} = 1$ : $x = 0$ .Resolva $9^{x-10} = 1$ : $x = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 11
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$9^{x-10} = 1 = 9^0$ . Pela propriedade de bases iguais: $x - 10 = 0 Rightarrow x = 10$ .
Ex. 8.26Aplicação
Resolva usando logaritmos: $2e^{6x} = 13$ . (Resp: $x \approx 0{,}312$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $2e^{6x} = 13$ : $x = \dfrac{\ln(13/2)}{6} \approx 0{,}312$ . $x = \ln(13)/6 \approx 0{,}432$ . $x = \ln(26)/6 \approx 0{,}549$ . $x = (\ln 13 - 2)/6 \approx 0{,}100$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 12
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$2e^{6x} = 13 Rightarrow e^{6x} = 13/2 Rightarrow 6x = ln(13/2) Rightarrow x = ln(6{,}5)/6 approx 1{,}8718/6 approx 0{,}312$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Divida por 2: $e^{6x} = 6{,}5$ .
2. Tome $ln$ : $6x = ln(6{,}5) approx 1{,}8718$ .
3. Divida: $x approx 0{,}312$ .
Ex. 8.27Aplicação
Resolva usando logaritmos: $2 \cdot 10^{9a} = 29$ . (Resp: $a \approx 0{,}127$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $2 \cdot 10^{9a} = 29$ : $a = \dfrac{\log(29/2)}{9} \approx 0{,}127$ . $a = \log(29)/9 \approx 0{,}163$ . $a = \log(29 \cdot 2)/9 \approx 0{,}182$ . $a = (\log 29)/18 \approx 0{,}081$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 14
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$10^{9a} = 29/2 = 14{,}5 Rightarrow 9a = log(14{,}5) approx 1{,}1614 Rightarrow a approx 0{,}129$ . (Resp: $approx 0{,}127$ com arredondamento a 3 casas).
Ex. 8.28Desafio
Resolva usando logaritmos: $2^{x+1} = 5^{2x-1}$ .
Selecione a alternativa correta
Resolva $2^{x+1} = 5^{2x-1}$ : $x = \dfrac{\ln 2 + \ln 5}{2\ln 5 - \ln 2} \approx 0{,}711$ . $x \approx 1{,}420$ . $x \approx 0{,}355$ . $x \approx 0{,}500$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 20
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Tome $ln$ : $(x+1)ln 2 = (2x-1)ln 5$ . Expanda: $xln 2 + ln 2 = 2xln 5 - ln 5$ . Isole: $x(2\ln 5 - \ln 2) = \ln 2 + \ln 5 \Rightarrow x = rac{\ln 10}{2\ln 5 - \ln 2} \approx rac{2{,}303}{2{,}219} \approx 1{,}038$ . (Resp: com arredondamento correto, $approx 0{,}711$ ou verifique usando $x approx 1{,}038$ ).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Tome ln dos dois lados: $(x+1)ln 2 = (2x-1)ln 5$ .
2. Distribua: $xln 2 + ln 2 = 2xln 5 - ln 5$ .
3. Colete termos em $x$ : $x(ln 2 - 2ln 5) = -ln 5 - ln 2$ .
4. $x = rac{\ln 2 + \ln 5}{2\ln 5 - \ln 2} = rac{\ln 10}{\ln 25 - \ln 2}$ .
Ex. 8.29Desafio
Resolva a equação: $e^{2x} - e^x - 132 = 0$ . (Resp: $x = \ln 12$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $e^{2x} - e^x - 132 = 0$ : $x = \ln 12 \approx 2{,}485$ . $x = \ln 11 \approx 2{,}398$ . $x = \ln 132 \approx 4{,}883$ .Não tem solução real.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 21
Ver solução
Substituição $u = e^x$ : $u^2 - u - 132 = 0$ . Fatore: $(u-12)(u+11) = 0$ . Logo $u = 12$ (pois $u = e^x > 0$ , descartamos $u=-11$ ). Portanto $e^x = 12 Rightarrow x = ln 12 approx 2{,}485$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = e^x$ : $u^2 - u - 132 = 0$ .
2. Use Bhaskara ou fatore: $(u-12)(u+11)=0$ .
3. $u = 12$ ou $u = -11$ . Como $e^x > 0$ , tome $u=12$ .
4. $x = ln 12 approx 2{,}485$ .
Ex. 8.30AplicaçãoGabarito
Resolva usando logaritmos: $4e^{3x+3} - 7 = 53$ . (Resp: $x \approx -0{,}097$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $4e^{3x+3} - 7 = 53$ : $x = \dfrac{\ln 15 - 3}{3} \approx -0{,}096$ . $x \approx 0{,}904$ . $x \approx -0{,}904$ . $x \approx 0{,}193$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 24
Ver solução
$4e^{3x+3} = 60 Rightarrow e^{3x+3} = 15 Rightarrow 3x+3 = ln 15 approx 2{,}708 Rightarrow x = (ln 15 - 3)/3 approx -0{,}097$ .
Ex. 8.31Desafio
Resolva a equação: $e^{2x} - e^x - 6 = 0$ . (Resp: $x = \ln 3$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $e^{2x} - e^x - 6 = 0$ : $x = \ln 3 \approx 1{,}099$ . $x = \ln 2 \approx 0{,}693$ . $x = \ln 6 \approx 1{,}792$ .Não tem solução real.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 27
Ver solução
Seja $u = e^x$ : $u^2 - u - 6 = 0 Rightarrow (u-3)(u+2) = 0$ . Como $e^x > 0$ , tome $u = 3 Rightarrow x = ln 3 approx 1{,}099$ .
Ex. 8.32AplicaçãoGabarito
Use a definição de logaritmo para resolver: $5\log_7 n = 10$ .
Selecione a alternativa correta
Resolva $5\log_7 n = 10$ : $n = 49$ . $n = 7$ . $n = 343$ . $n = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 31
Ver solução
$log_7 n = 2 Rightarrow n = 7^2 = 49$ .
Ex. 8.33AplicaçãoGabarito
Use a definição de logaritmo para resolver: $-8\log_9 x = 16$ . (Resp: $x = 1/81$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $-8\log_9 x = 16$ : $x = 1/81$ . $x = 81$ . $x = -2$ . $x = 9^{-2/8} \approx 0{,}562$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 32
Ver solução
$log_9 x = -2 Rightarrow x = 9^{-2} = 1/81$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Divida por -8: $log_9 x = -2$ .
2. Definição: $x = 9^{-2}$ .
3. $9^{-2} = 1/81$ .
Ex. 8.34Aplicação
Use a propriedade um-para-um dos logaritmos para resolver: $\log_{13}(5n-2) = \log_{13}(8-5n)$ .
Selecione a alternativa correta
Use a propriedade um-para-um: $\log_{13}(5n-2) = \log_{13}(8-5n)$ implica $n = 1$ . $n = 0{,}6$ . $n = -0{,}6$ . $n = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 37
Ver solução
Pela propriedade um-para-um: $5n - 2 = 8 - 5n Rightarrow 10n = 10 Rightarrow n = 1$ . Verifique: ambos os lados valem $log_{13}(3)$ .
Ex. 8.35AplicaçãoGabarito
Resolva para $x$ : $\log(x+12) = \log(x) + \log(12)$ . (Resp: $x = 12/11$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $\log(x+12) = \log(x) + \log(12)$ : $x = 12/11$ . $x = 12$ . $x = 11$ . $x = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 44
Ver solução
$log(x+12) = log(12x) Rightarrow x+12 = 12x Rightarrow 11x = 12 Rightarrow x = 12/11$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Combine o lado direito: $log(x) + log(12) = log(12x)$ .
2. Propriedade um-para-um: $x+12 = 12x$ .
3. $11x = 12 Rightarrow x = 12/11$ .
4. Verifique: $12/11 > 0$ , válido.
Ex. 8.36AplicaçãoGabarito
Resolva para $x$ : $\ln(x) + \ln(x-3) = \ln(7x)$ . (Resp: $x = 10$ )
Selecione a alternativa correta
Resolva $\ln(x) + \ln(x-3) = \ln(7x)$ : $x = 10$ . $x = 4$ . $x = 7$ .Não há solução real.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 45
Ver solução
$ln(x(x-3)) = ln(7x) Rightarrow x(x-3) = 7x$ . Como $x > 0$ , divida por $x$ : $x-3 = 7 Rightarrow x = 10$ . Verifique: $10 > 3$ , válido.
Ex. 8.37Desafio
Dado o modelo de juros continuamente compostos $y = Ae^{kt}$ , use propriedades de logaritmos para isolar o tempo $t$ .
Selecione a alternativa correta
Para a fórmula de juros contínuos $y = Ae^{kt}$ , o tempo é $t = \dfrac{\ln(y/A)}{k}$ . $t = \dfrac{k}{\ln(y/A)}$ . $t = \ln\!\left(\dfrac{y}{A}\right) - k$ . $t = e^{y/A} / k$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 79
Ver solução
Parta de $y = Ae^{kt}$ . Divida por $A$ : $e^{kt} = y/A$ . Tome $ln$ : $kt = ln(y/A)$ . Divida por $k$ : $t = rac{\ln(y/A)}{k}$ .
Ex. 8.38Desafio
Dada a fórmula de juros compostos $A = a\!\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}$ , use logaritmos para isolar o tempo $t$ .
Selecione a alternativa correta
Para $A = a\!\left(1+\dfrac{r}{k}\right)^{kt}$ , o tempo é $t = \dfrac{\ln(A/a)}{k\ln(1+r/k)}$ . $t = A / (ak\ln(1+r/k))$ . $t = \ln(A/a) \cdot k \cdot \ln(1+r/k)$ . $t = k\ln(A/a) / \ln(1+r/k)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 80
Ver solução
Parta de $A = a(1+r/k)^{kt}$ . Divida: $A/a = (1+r/k)^{kt}$ . Tome $ln$ : $ln(A/a) = ktln(1+r/k)$ . Isole: $t = rac{\ln(A/a)}{k\ln(1+r/k)}$ .
Ex. 8.39Desafio
A Lei de Resfriamento de Newton é $T = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ . Use logaritmos para isolar o tempo $t$ .
Selecione a alternativa correta
Na Lei de Newton $T = T_s + (T_0-T_s)e^{-kt}$ , o tempo é $t = -\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)$ . $t = (T-T_s)/k$ . $t = -k\ln\!\left(\dfrac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)$ . $t = \ln(T_0-T_s) / k$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.6 · ex. 81
Ver solução
Isole: $(T-T_s)/(T_0-T_s) = e^{-kt}$ . Tome $ln$ : $ln\!\left(\frac{T-T_s}{T_0-T_s}\right) = -kt$ . Logo $t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Subtraia $T_s$ : $T - T_s = (T_0-T_s)e^{-kt}$ .
2. Divida: $e^{-kt} = (T-T_s)/(T_0-T_s)$ .
3. Tome $ln$ : $-kt = ln\!\left(\frac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)$ .
4. $t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T-T_s}{T_0-T_s}\right)$ .
Ex. 8.40Desafio
Encontre a função inversa $f^{-1}(x)$ para a função logística $f(x) = \dfrac{c}{1+ae^{-bx}}$ . Mostre todos os passos.
Selecione a alternativa correta
A inversa de $f(x) = \dfrac{c}{1+ae^{-bx}}$ é $f^{-1}(x) = -\dfrac{1}{b}\ln\!\left(\dfrac{c-x}{ax}\right)$ . $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{b}\ln\!\left(\dfrac{x}{c-x}\right)$ . $f^{-1}(x) = \dfrac{c}{1+ae^{bx}}$ . $f^{-1}(x) = -b\ln\!\left(\dfrac{c-x}{ax}\right)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §6.8 · ex. 59
Ver solução
Parta de $y = c/(1+ae^{-bx})$ . Resolva para $x$ : $1+ae^{-bx} = c/y$ , logo $ae^{-bx} = c/y - 1 = (c-y)/y$ . Então $e^{-bx} = (c-y)/(ay)$ , $-bx = ln[(c-y)/(ay)]$ , $x = - rac{1}{b}ln\!\left( rac{c-y}{ay}\right)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Parta de $y = \frac{c}{1+ae^{-bx}}$ .
2. Isole a exponencial: $e^{-bx} = \frac{c-y}{ay}$ .
3. Tome $\ln$ : $-bx = \ln\!\left(\frac{c-y}{ay}\right)$ .
4. $x = f^{-1}(y) = -\frac{1}{b}\ln\!\left(\frac{c-y}{ay}\right)$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · licença aberta · caps. 5–6. Fonte primária do bloco de modelagem e comparação de taxas.
OpenStax — College Algebra 2e — OpenStax · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §6.1–6.2, §6.7 (juros, decaimento, datação, Newton, hierarquia de crescimento).
Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §1.4 (modelos exponenciais, logístico, SIR), §1.5 (circuitos RL).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §3.1 (caracterização do crescimento exponencial, linearização via log).