v1 · padrão canônico

Lição 9 — Taxa de variação média — porta de entrada do cálculo

Δy/Δx como conceito central que precede a derivada. Interpretação geométrica (inclinação da secante) e física (velocidade média). A pergunta que abre o cálculo: 'e se Δx for muito pequeno?'

Usado em: 1.º ano EM · porta de entrada para Cálculo (Trim 5-6)

\text{TVM} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Taxa de variação média: o quanto y mudou dividido pelo quanto x mudou. Geometricamente, é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos $(a,\, f(a))$ e $(b,\, f(b))$ do gráfico de f.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e interpretação

"A razão $[f(b) - f(a)]/(b - a)$ é chamada razão de variação média de $f$ no intervalo $[a, b]$ ." — Active Calculus §1.3

Interpretação geométrica

A TVM é a inclinação da reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ .

Reta secante (dourada) pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Sua inclinação é exatamente Δy / Δx, a taxa de variação média de f em [a, b].

Casos especiais

$f$ afim ( $f(x) = mx + n$ ): TVM é constante e igual a $m$ , qualquer que seja o intervalo escolhido.
$f$ quadrática: TVM varia conforme o intervalo; é $a(p + q) + b$ para $f(x) = ax^2 + bx + c$ em $[p, q]$ .
$f$ constante: TVM $= 0$ para qualquer intervalo.

A pergunta que abre o cálculo

E se $\Delta x \to 0$ ? A reta secante "vai virando" reta tangente, e a TVM converge para a taxa instantânea de variação — que é exatamente a derivada $f'(a)$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Isso é o tema dos Trim 5 (limites) e Trim 6 (derivadas). Esta lição é a antessala.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· TVM de f(x) = x² em [1, 4] (aplicação direta)

Problema: Calcule a taxa de variação média de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 4]$ .

Estratégia: Aplicar diretamente a definição $\text{TVM} = (f(b) - f(a))/(b - a)$ com $a = 1$ , $b = 4$ .

Resolução:

Calcule $f(1) = 1^2 = 1$ e $f(4) = 4^2 = 16$ .
Aplique a fórmula: $\text{TVM} = (16 - 1)/(4 - 1) = 15/3 = 5$ .
Resposta: TVM = 5.

Verificação: Esta é a inclinação da reta secante pelos pontos $(1, 1)$ e $(4, 16)$ . Equação da secante: $y - 1 = 5(x - 1)$ , ou $y = 5x - 4$ . Substituindo $x = 4$ : $y = 16$ , confere. Substituindo $x = 1$ : $y = 1$ , confere.

Fonte. Active Calculus §1.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Velocidade média de queda livre (cinemática)

Problema: A altura de uma pedra em queda livre é $h(t) = 80 - 5t^2$ (m). Calcule a velocidade média no intervalo $[1, 3]$ s.

Estratégia: Velocidade média é a TVM da posição. Como $h$ está em metros e $t$ em segundos, a TVM tem unidades de m/s.

Resolução:

Calcule $h(1) = 80 - 5 = 75$ m e $h(3) = 80 - 45 = 35$ m.
Variação de altura: $\Delta h = 35 - 75 = -40$ m (negativo: a pedra desceu).
Variação de tempo: $\Delta t = 3 - 1 = 2$ s.
Velocidade média: $v_m = \Delta h/\Delta t = -40/2 = -20$ m/s.

Verificação: A derivada $h'(t) = -10t$ (preview cálculo). No instante médio $t = 2$ : $h'(2) = -20$ m/s. Pelo Teorema do Valor Médio, para quadráticas a derivada no ponto médio coincide com a TVM — confirmado.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §2.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· TVM em [a, a+h] e o limite que vira derivada (intermediário)

Problema: Para $f(x) = x^2$ , encontre a TVM no intervalo $[a, a+h]$ em função de $a$ e $h$ . O que ocorre quando $h \to 0$ ?

Estratégia: Aplicar a definição com extremos $a$ e $a + h$ , depois simplificar algebricamente.

Resolução:

$f(a + h) = (a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ .
Numerador: $f(a + h) - f(a) = 2ah + h^2 = h(2a + h)$ .
Denominador: $(a + h) - a = h$ .
TVM $= h(2a + h)/h = 2a + h$ (válido para $h \neq 0$ ).
Quando $h \to 0$ : TVM $\to 2a$ .

Verificação: Para $a = 1$ e $h = 0{,}1$ : TVM $= 2{,}1$ . Para $h = 0{,}01$ : TVM $= 2{,}01$ . O limite tende a $2$ . Foi assim que Cauchy demonstrou que $f'(x) = 2x$ para $f(x) = x^2$ .

Fonte. Active Calculus §1.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Custo marginal via TVM (economia, avançado)

Problema: Uma empresa tem custo $C(q) = 0{,}5 q^2 + 30 q + 200$ (R$). Calcule a TVM do custo entre $q = 100$ e $q = 101$ unidades. Interprete economicamente.

Estratégia: TVM $= C(101) - C(100)$ . Como $\Delta q = 1$ , a TVM coincide com o custo da unidade marginal.

Resolução:

$C(100) = 5,000 + 3,000 + 200 = 8,200$ R$.
$C(101) = 5,100{,}5 + 3,030 + 200 = 8,330{,}5$ R$.
TVM $= 8,330{,}5 - 8,200 = 130{,}5$ R$/unidade.
Interpretação: produzir a 101.ª unidade custa cerca de R$ 130,50 a mais.

Verificação: A derivada $C'(q) = q + 30$ , então $C'(100) = 130$ R$/unidade. A TVM (130,5) é boa estimativa do custo marginal verdadeiro (130). A pequena diferença (0,5) desaparece quando $Delta q to 0$ .

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 5 — licença aberta.

Exemplo— 5· Estimativa da derivada via TVMs sucessivas (modelagem)

Problema: Para $f(x) = \sqrt{x}$ , calcule a TVM em $[4,\, 4{,}5]$ , $[4,\, 4{,}1]$ e $[4,\, 4{,}01]$ . Para qual valor essas TVMs convergem?

Estratégia: Calcular numericamente cada TVM e observar a convergência. Quando $\Delta x$ encolhe, a TVM se aproxima da derivada.

Resolução:

$[4,\, 4{,}5]$ : $f(4) = 2$ , $f(4{,}5) \approx 2{,}1213$ . TVM $\approx 0{,}1213/0{,}5 \approx 0{,}2426$ .
$[4,\, 4{,}1]$ : $f(4{,}1) \approx 2{,}0248$ . TVM $\approx 0{,}0248/0{,}1 \approx 0{,}2485$ .
$[4,\, 4{,}01]$ : $f(4{,}01) \approx 2{,}002498$ . TVM $\approx 0{,}002498/0{,}01 \approx 0{,}2498$ .
As TVMs convergem para $0{,}25 = 1/4$ . Portanto $f'(4) = 1/4$ .

Verificação: A derivada exata é $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$ . Em $x = 4$ : $f'(4) = 1/4$ . Confirmado.

Fonte. Active Calculus §1.5 — licença CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 23Compreensão 5Modelagem 7Desafio 5

Ex. 9.1CompreensãoGabarito
A taxa de variação média de uma função pode ser constante? Explique com um exemplo.
Selecione a alternativa correta
Sim — toda função linear tem taxa média constante e igual à sua inclinação.Não — a taxa média muda sempre que o intervalo muda.Sim, mas apenas para funções constantes.Não — somente a taxa instantânea pode ser constante.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 1
Ver solução
Para uma função linear $f(x) = mx + b$ , a taxa média em qualquer intervalo $[a, c]$ é $\frac{(mc+b)-(ma+b)}{c-a} = \frac{m(c-a)}{c-a} = m$ , que é constante. Para funções não-lineares, a taxa média varia com o intervalo.
Ex. 9.2Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $f(x) = 4x^2 - 7$ no intervalo $[1,\, b]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$4(b+1)$ $4(b-1)$ $8b$ $4b$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 5
Ver solução
Temos $f(1) = 4-7 = -3$ e $f(b) = 4b^2-7$ . A taxa média é $\frac{4b^2-7-(-3)}{b-1} = \frac{4b^2-4}{b-1} = \frac{4(b-1)(b+1)}{b-1} = 4(b+1)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f(1) = 4(1)^2 - 7 = -3$ .
2. Escreva $f(b) = 4b^2 - 7$ .
3. Forme o quociente $\frac{4b^2-7-(-3)}{b-1} = \frac{4b^2-4}{b-1}$ .
4. Fatore: $4(b^2-1) = 4(b-1)(b+1)$ ; cancele $b-1$ .
Ex. 9.3AplicaçãoGabarito
Encontre a taxa de variação média de $g(x) = 2x^2 - 9$ no intervalo $[4,\, b]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$2(b+4)$ $2(b-4)$ $4b$ $2b+8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 6
Ver solução
Temos $g(4) = 32 - 9 = 23$ e $g(b) = 2b^2-9$ . A taxa média é $\frac{2b^2-9-23}{b-4} = \frac{2(b^2-16)}{b-4} = \frac{2(b-4)(b+4)}{b-4} = 2(b+4)$ .
Ex. 9.4Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $p(x) = 3x + 4$ no intervalo $[2,\; 2+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$3$ $3h$ $3 + h$ $6 + 3h$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 7
Ver solução
Temos $p(2) = 10$ e $p(2+h) = 3(2+h)+4 = 10+3h$ . A taxa média é $\frac{10+3h-10}{h} = \frac{3h}{h} = 3$ . A função é linear, portanto a taxa é sempre $3$, independente de $h$.
Ex. 9.5AplicaçãoGabarito
Encontre a taxa de variação média de $k(x) = 4x - 2$ no intervalo $[3,\; 3+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$4$ $4h$ $4 + h$ $8 + 4h$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 8
Ver solução
Temos $k(3) = 12-2 = 10$ e $k(3+h) = 4(3+h)-2 = 10+4h$ . A taxa média é $\frac{10+4h-10}{h} = 4$ . Como $k$ é linear, a taxa é sempre $4$.
Ex. 9.6Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $f(x) = 2x^2 + 1$ no intervalo $[x,\; x+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$4x + 2h$ $4x$ $2x + h$ $4x + h$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 9
Ver solução
Temos $f(x+h) = 2(x+h)^2+1 = 2x^2+4xh+2h^2+1$ . O numerador é $4xh+2h^2$ . Dividindo por $h$: $4x + 2h$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda $f(x+h) = 2(x+h)^2+1$ .
2. Subtraia $f(x) = 2x^2+1$ ; os termos constantes se cancelam.
3. Divida $4xh + 2h^2$ por $h$.
Ex. 9.7Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $g(x) = 3x^2 - 2$ no intervalo $[x,\; x+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$6x + 3h$ $6x$ $3x + h$ $6x + h$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 10
Ver solução
Temos $g(x+h) = 3(x+h)^2-2 = 3x^2+6xh+3h^2-2$ . Subtraindo $g(x)$ : numerador $6xh+3h^2$ . Dividindo por $h$: $6x+3h$ .
Ex. 9.8Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $a(t) = \dfrac{1}{t+4}$ no intervalo $[9,\; 9+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-1}{13(13+h)}$ $\dfrac{1}{13(13+h)}$ $\dfrac{-1}{169}$ $\dfrac{1}{169}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 11
Ver solução
Temos $a(9) = \frac{1}{13}$ e $a(9+h) = \frac{1}{13+h}$ . A taxa média é $\frac{\frac{1}{13+h}-\frac{1}{13}}{h} = \frac{13-(13+h)}{13h(13+h)} = \frac{-1}{13(13+h)}$ . Quando $h \to 0$ , o limite é $-\frac{1}{169}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $a(9) = \frac{1}{9+4} = \frac{1}{13}$ .
2. Calcule $a(9+h) = \frac{1}{13+h}$ .
3. Forme o quociente e use diferença de frações no numerador.
Ex. 9.9Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $b(x) = \dfrac{1}{x+3}$ no intervalo $[1,\; 1+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-1}{4(4+h)}$ $\dfrac{1}{4(4+h)}$ $\dfrac{-1}{16}$ $\dfrac{-h}{4(4+h)}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 12
Ver solução
Temos $b(1) = \frac{1}{4}$ e $b(1+h) = \frac{1}{4+h}$ . A taxa média é $\frac{\frac{1}{4+h}-\frac{1}{4}}{h} = \frac{4-(4+h)}{4h(4+h)} = \frac{-1}{4(4+h)}$ . Quando $h \to 0$ , o limite é $-\frac{1}{16}$ .
Ex. 9.10AplicaçãoGabarito
Encontre a taxa de variação média de $j(x) = 3x^3$ no intervalo $[1,\; 1+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$9 + 9h + 3h^2$ $9$ $9h + 3h^2$ $3 + 3h + h^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 13
Ver solução
Temos $j(1) = 3$ e $j(1+h) = 3(1+h)^3 = 3(1+3h+3h^2+h^3)$ . O numerador é $3(3h+3h^2+h^3)$ . Dividindo por $h$: $3(3+3h+h^2) = 9+9h+3h^2$ . Quando $h \to 0$ , o limite é $9$.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda $(1+h)^3 = 1+3h+3h^2+h^3$ .
2. Multiplique por $3$ e subtraia $j(1) = 3$ .
3. Divida por $h$; simplifique.
Ex. 9.11Aplicação
Encontre a taxa de variação média de $r(t) = 4t^3$ no intervalo $[2,\; 2+h]$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$48 + 24h + 4h^2$ $48$ $24 + 12h + 4h^2$ $12 + 6h + h^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 14
Ver solução
Temos $r(2) = 32$ e $r(2+h) = 4(2+h)^3 = 4(8+12h+6h^2+h^3)$ . O numerador é $4(12h+6h^2+h^3)$ . Dividindo por $h$: $4(12+6h+h^2) = 48+24h+4h^2$ . Quando $h \to 0$ , o limite é $48$, que é a derivada de $4t^3$ em $t=2$.
Ex. 9.12Aplicação
Calcule $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para $f(x) = 2x^2 - 3x$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$4x + 2h - 3$ $4x - 3$ $2x + h$ $4x + 2h$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 15
Ver solução
Temos $f(x+h) = 2(x+h)^2 - 3(x+h) = 2x^2+4xh+2h^2-3x-3h$ . Subtraindo $f(x) = 2x^2-3x$ : numerador $4xh+2h^2-3h$ . Dividindo por $h$: $4x+2h-3$ . Quando $h\to 0$ : $4x-3$ , que é a derivada.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda $f(x+h) = 2(x+h)^2-3(x+h)$ .
2. Subtraia $f(x)$ .
3. Divida por $h$ e simplifique.
Ex. 9.13Aplicação
Calcule a taxa de variação média de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1,5]$ .
Selecione a alternativa correta
$6$ $5$ $4$ $24$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 28
Ver solução
Temos $f(1) = 1$ e $f(5) = 25$ . A taxa média é $\frac{25-1}{5-1} = \frac{24}{4} = 6$ .
Ex. 9.14Aplicação
Calcule a taxa de variação média de $h(x) = 5 - 2x^2$ no intervalo $[-2,4]$ .
Selecione a alternativa correta
$-4$ $4$ $-12$ $-2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 29
Ver solução
Temos $h(-2) = 5-2(4) = -3$ e $h(4) = 5-2(16) = -27$ . A taxa média é $\frac{-27-(-3)}{4-(-2)} = \frac{-24}{6} = -4$ .
Ex. 9.15AplicaçãoGabarito
Calcule a taxa de variação média de $q(x) = x^3$ no intervalo $[-4,2]$ .
Selecione a alternativa correta
$12$ $-12$ $6$ $-6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 30
Ver solução
Temos $q(-4) = -64$ e $q(2) = 8$ . A taxa média é $\frac{8-(-64)}{2-(-4)} = \frac{72}{6} = 12$ .
Ex. 9.16Aplicação
Calcule a taxa de variação média de $g(x) = 3x^3 - 1$ no intervalo $[-3,3]$ .
Selecione a alternativa correta
$27$ $-27$ $54$ $9$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 31
Ver solução
Temos $g(-3) = 3(-27)-1 = -82$ e $g(3) = 3(27)-1 = 80$ . A taxa média é $\frac{80-(-82)}{3-(-3)} = \frac{162}{6} = 27$ .
Ex. 9.17Aplicação
Calcule a taxa de variação média de $y = \dfrac{1}{x}$ no intervalo $[1,3]$ .
Selecione a alternativa correta
$-\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ $-\dfrac{2}{3}$ $-3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 32
Ver solução
Temos $y(1) = 1$ e $y(3) = \frac{1}{3}$ . A taxa média é $\frac{\frac{1}{3}-1}{3-1} = \frac{-\frac{2}{3}}{2} = -\frac{1}{3}$ .
Ex. 9.18Compreensão
Se uma função $f$ é crescente em $(a,b)$ e decrescente em $(b,c)$ , o que se pode afirmar sobre o extremo local de $f$ em $(a,c)$ ?
Selecione a alternativa correta
Se $f$ cresce em $(a,b)$ e decresce em $(b,c)$ , então $f$ tem máximo local em $x=b$ .Se $f$ cresce em $(a,b)$ e decresce em $(b,c)$ , então $f$ tem mínimo local em $x=b$ .Não é possível determinar se há extremo em $x=b$ . $f$ tem inflexão em $x=b$ , não extremo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 2
Ver solução
Quando uma função muda de crescente para decrescente num ponto, ela atinge um pico, ou seja, um máximo local. Se a mudança fosse de decrescente para crescente, haveria mínimo local.
Ex. 9.19Modelagem
No início de uma viagem, o hodômetro marcava $21\,395$ milhas. Ao fim, $13{,}5$ horas depois, marcava $22\,125$ milhas. Qual foi a velocidade média da viagem?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $54{,}07$ milhas por hora.Aproximadamente $730$ milhas por hora.Aproximadamente $27$ milhas por hora.Aproximadamente $108$ milhas por hora.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 44
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A distância percorrida foi $22125 - 21395 = 730$ milhas. O tempo foi $13{,}5$ horas. A velocidade média foi $\frac{730}{13{,}5} \approx 54{,}07$ milhas por hora.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule a distância: $22125 - 21395 = 730$ milhas.
2. Divida pela duração: $730 \div 13{,}5 \approx 54{,}07$ mph.
Ex. 9.20Modelagem
Perto da superfície da Lua, a distância que um objeto cai é dada por $d(t) = 2{,}6667\,t^2$ pés, onde $t$ é em segundos. Qual é a distância percorrida em $t=2$ s, e qual é a velocidade média entre $t=1$ s e $t=2$ s?
Selecione a alternativa correta
$d(2) = 10{,}6668$ pés; taxa média em $[1,2]$ é $approx 8$ pés/s. $d(2) = 10{,}6668$ pés; taxa média em $[1,2]$ é $approx 5{,}3$ pés/s. $d(2) = 2{,}6667$ pés; taxa média em $[1,2]$ é $approx 2{,}7$ pés/s. $d(2) = 5{,}3334$ pés; taxa média em $[1,2]$ é $approx 4$ pés/s.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 46
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Temos $d(t) = 2{,}6667t^2$ . Então $d(1) = 2{,}6667$ e $d(2) = 2{,}6667 \times 4 = 10{,}6668$ pés. A taxa média é $\frac{10{,}6668 - 2{,}6667}{2-1} \approx 8{,}0001 \approx 8$ pés/s.
Ex. 9.21ModelagemGabarito
Uma bola é lançada para cima com velocidade inicial de $36$ pés/s. Sua altura é $y = 36t - 12t^2$ pés. Qual é a velocidade média no intervalo $[1,2]$ ?
Selecione a alternativa correta
$0$ m/s $36$ m/s $12$ m/s $-12$ m/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 2
Ver solução
Temos $y(1) = 36 - 12 = 24$ m e $y(2) = 72 - 48 = 24$ m. A velocidade média em $[1,2]$ é $\frac{24-24}{2-1} = 0$ m/s. O objeto subiu e desceu simetricamente nesse intervalo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $y(1) = 36(1) - 12(1)^2 = 24$ pés.
2. Calcule $y(2) = 36(2) - 12(2)^2 = 72-48 = 24$ pés.
3. A taxa média é $(24-24)/(2-1) = 0$ .
Ex. 9.22Modelagem
Para $f(x) = 25 - x^2$ , qual é a taxa de variação média no intervalo $[0,3]$ ?
Selecione a alternativa correta
$-3$ $3$ $-8$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 3
Ver solução
Temos $f(3) = 25-9 = 16$ , $f(0) = 25$ . TVM em $[0,3]$ : $\frac{16-25}{3} = -3$ . Temos $f(5) = 0$ . TVM em $[3,5]$ : $\frac{0-16}{2} = -8$ . TVM em $[0,5]$ : $\frac{0-25}{5} = -5$ . A taxa média em $[0,3]$ é $-3$.
Ex. 9.23Modelagem
Segundo o censo americano, a população de Grand Rapids, Michigan, era de $181\,843$ em 1980 e $197\,800$ em 2000. Qual foi a taxa de crescimento médio anual nesse período?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $798$ pessoas por ano.Aproximadamente $1,600$ pessoas por ano.Aproximadamente $399$ pessoas por ano.Aproximadamente $15,957$ pessoas por ano.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 11
Ver solução
A população cresceu de $181\,843$ em 1980 para $197\,800$ em 2000, um crescimento de $15\,957$ pessoas em $20$ anos. A taxa média é $\frac{15957}{20} \approx 798$ pessoas por ano.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule a variação: $197800 - 181843 = 15957$ pessoas.
2. Divida pelo intervalo: $15957 \div 20 = 797{,}85 \approx 798$ pessoas/ano.
Ex. 9.24Desafio
Para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , encontre o número $c$ tal que a taxa de variação média de $f$ no intervalo $(1, c)$ seja igual a $-\dfrac{1}{4}$ .
Selecione a alternativa correta
$c = 4$ $c = 2$ $c = -4$ $c = 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 42
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Temos $f(x) = \frac{1}{x}$ . A taxa média em $(1,c)$ é $\frac{\frac{1}{c}-1}{c-1} = \frac{1-c}{c(c-1)} = \frac{-(c-1)}{c(c-1)} = -\frac{1}{c}$ . Igualando a $-\frac{1}{4}$ : $c = 4$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva a taxa média: $\frac{f(c)-f(1)}{c-1} = \frac{\frac{1}{c}-1}{c-1}$ .
2. Simplifique: $\frac{1-c}{c(c-1)} = -\frac{1}{c}$ .
3. Resolva $-\frac{1}{c} = -\frac{1}{4}$ .
Ex. 9.25Desafio
Para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , encontre o número $b$ tal que a taxa de variação média de $f$ no intervalo $(2, b)$ seja igual a $-\dfrac{1}{10}$ .
Selecione a alternativa correta
$b = 5$ $b = 3$ $b = 10$ $b = -5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 43
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A taxa média de $f(x) = \frac{1}{x}$ em $(2,b)$ é $\frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{2}}{b-2} = \frac{2-b}{2b(b-2)} = -\frac{1}{2b}$ . Igualando a $-\frac{1}{10}$ : $2b = 10$ , logo $b = 5$ .
Ex. 9.26Compreensão
A temperatura $H$ (em °C) de uma xícara de café colocada no balcão da cozinha é dada por $H = f(t)$ , onde $t$ é em minutos. Qual é o sinal de $f'(t)$ ?
Selecione a alternativa correta
Negativa, pois o café esfria com o tempo.Positiva, pois a temperatura aumenta com o tempo.Nula, pois a temperatura é constante.Não é possível determinar o sinal sem mais dados.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 1
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O café colocado no balcão esfria progressivamente. Logo, a temperatura $H = f(t)$ é decrescente em $t$, ou seja, $f'(t) < 0$ .
Ex. 9.27Compreensão
O custo $C$ (em dólares) para produzir $g$ galões de sorvete é dado por $C = f(g)$ . Na expressão $f(125) = 325$ , quais são as unidades de $125$ ?
Selecione a alternativa correta
Galões de sorvete produzidos.Dólares por galão.Galões por dólar.Dólares ao quadrado.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 2
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Na expressão $f(125) = 325$ , o argumento $125$ é a entrada da função $C = f(g)$, onde $g$ é a quantidade produzida em galões. Logo $125$ tem unidade de galões.
Ex. 9.28AplicaçãoGabarito
A tabela abaixo dá valores de $f(x)$ : $x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$ e $f(x) = -16, -13, -12, -13, -17, -21, -25$ . Qual é a taxa de variação média de $f$ no intervalo $[0,4]$ ?
Selecione a alternativa correta
$1{,}0$ °C/cm² $-1{,}0$ °C/cm² $0{,}5$ °C/cm² $2{,}0$ °C/cm²
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 5
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O quociente pedido é a taxa de variação média de $f$ em $[0,12]$: $\frac{f(12)-f(0)}{12-0}$ . Da tabela: $f(0) = -16$ e $f(12) = -4$ ... aguarde: os dados são $f(0)=-16$ , $f(12)=-25$ . Então $\frac{-25-(-16)}{12-0} = \frac{-9}{12} = -0{,}75$ . Como a pergunta é sobre o intervalo $[0,8]$: $f(8)=-17$ , TVM $= \frac{-17-(-16)}{8} = -\frac{1}{8} \approx -0{,}125$ . Para o exercício simplificado de $[2,6]$: $\frac{-13-(-13)}{4} = 0$ . A taxa média em $[0,4]$ é $\frac{-12-(-16)}{4} = 1{,}0$ .
Ex. 9.29Aplicação
Usando a tabela ( $x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$ e $f(x) = -16, -13, -12, -13, -17, -21, -25$ ), estime $f'(2)$ pela diferença central.
Selecione a alternativa correta
$1$ $-1$ $0{,}5$ $-0{,}5$
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Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 5
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Da tabela: $f(0) = -16$ e $f(4) = -12$ . A estimativa de $f'(2)$ pela diferença central é $\frac{f(4)-f(0)}{4-0} = \frac{-12-(-16)}{4} = \frac{4}{4} = 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Use a diferença central: $f'(2) \approx \frac{f(4)-f(0)}{4-0}$ .
2. Substitua $f(4) = -12$ e $f(0) = -16$ .
3. Calcule $\frac{4}{4} = 1$ .
Ex. 9.30Modelagem
A velocidade de uma bola lançada verticalmente é dada por $v(t) = 16 - 32t$ (em pés/s). Em que instante a bola atinge a altura máxima (velocidade zero)?
Selecione a alternativa correta
$t = 0{,}5$ s $t = 1$ s $t = 2$ s $t = 0{,}25$ s
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Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 8
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A velocidade é $v(t) = 16 - 32t$ . Para encontrar quando a bola para, resolvemos $16 - 32t = 0$ , logo $t = \frac{16}{32} = 0{,}5$ s.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A bola para quando $v(t) = 0$.
2. Resolva $16 - 32t = 0$ .
3. Isole $t$: $t = 0{,}5$ s.
Ex. 9.31Modelagem
O valor $V$ (em dólares) de um automóvel depende da quilometragem $m$ percorrida: $V = h(m)$ . Se $h(40\,000) = 15\,500$ e $h(55\,000) = 13\,200$ , qual é a taxa de variação média do valor em relação à quilometragem nesse intervalo?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $-153{,}33$ dólares por milha.Aproximadamente $153{,}33$ dólares por milha.Aproximadamente $-2300$ dólares por milha.Aproximadamente $-76{,}67$ dólares por milha.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 9
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Temos $h(40000) = 15500$ e $h(55000) = 13200$ . A taxa média é $\frac{13200 - 15500}{55000 - 40000} = \frac{-2300}{15000} \approx -0{,}1533$ dólares por milha, ou seja, aproximadamente $-0{,}15$ dólares/milha ( $-153{,}33$ centavos por mil milhas).
Ex. 9.32AplicaçãoGabarito
Considere $f(x) = -7x - 4$ . Qual é a taxa de variação média de $f$ entre os pontos $(-1, f(-1))$ e $(2, f(2))$ ?
Selecione a alternativa correta
$-5$ $5$ $-7$ $-3$
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Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 7
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Temos $f(-7) = -7$ e $f(-1) = -7(-1)-4 = 3$ . A TVM em $[-1,2]$ : $f(-1) = 3$ e $f(2) = -7(2)-4 = -18$ . TVM $= \frac{-18-3}{2-(-1)} = \frac{-21}{3} = -7$ . Para o intervalo $(-1,2)$ : resposta é $-7$. Para $(a,b)$ : a inclinação é sempre $-7$ (linear). A taxa média no intervalo geral é sempre $-7 = $ coeficiente angular.
Ex. 9.33Compreensão
Qual é a relação precisa entre a taxa de variação média e a derivada de uma função?
Selecione a alternativa correta
A derivada $f'(a)$ é o limite da taxa de variação média quando o intervalo encolhe a um ponto.A derivada $f'(a)$ é a média aritmética de $f$ num intervalo.A taxa média e a derivada são sempre iguais.A derivada $f'(a)$ existe apenas para funções lineares.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 5
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Por definição, $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . O quociente dentro do limite é exatamente a taxa de variação média no intervalo $[a, a+h]$ . Quando $h \to 0$ , a reta secante se torna a reta tangente.
Ex. 9.34AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para $f(x) = 5 - 2x^2$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$-4x - 2h$ $-4x$ $4x + 2h$ $-2x - h$
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Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 3
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Temos $f(x) = 5 - 2x^2$ . $f(x+h) = 5 - 2(x+h)^2 = 5-2x^2-4xh-2h^2$ . Numerador: $-4xh-2h^2$ . Dividindo por $h$: $-4x-2h$ . Quando $h \to 0$ : $-4x$ .
Ex. 9.35Aplicação
A função $s(t) = 4t^2$ descreve a posição de um objeto em metros. Qual a taxa de variação média entre $t=1$ s e $t=3$ s?
Selecione a alternativa correta
$16$ $8$ $-16$ $32$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 28
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Temos $s(1) = 4$ e $s(3) = 4 \times 9 = 36$ . A taxa média é $\frac{36-4}{3-1} = \frac{32}{2} = 16$ .
Ex. 9.36AplicaçãoGabarito
Um tanque tem $V(t) = 100 - 5t$ litros após $t$ minutos. Qual é a taxa de variação média do volume entre $t=2$ e $t=6$ minutos?
Selecione a alternativa correta
$-5$ $5$ $-15$ $-10$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 7
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Como $V(t) = 100 - 5t$ é linear com coeficiente angular $-5$, a taxa de variação média é sempre $-5$ litros por minuto, independente do intervalo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $V(6) = 100 - 30 = 70$ L.
2. Calcule $V(2) = 100 - 10 = 90$ L.
3. TVM: $\frac{70 - 90}{6-2} = \frac{-20}{4} = -5$ .
Ex. 9.37Aplicação
Um ciclista percorre $s(t) = 2t^2 + 3t$ km em $t$ horas. Qual é a velocidade média entre $t=1$ h e $t=4$ h?
Selecione a alternativa correta
$13$ km/h $-13$ km/h $6{,}5$ km/h $39$ km/h
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 9
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Temos $s(4) = 2 \times 16 + 3 \times 4 = 32 + 12 = 44$ km e $s(1) = 2 + 3 = 5$ km. A velocidade média é $\frac{44-5}{4-1} = \frac{39}{3} = 13$ km/h.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Avalie $s(4) = 2(16) + 3(4) = 44$ .
2. Avalie $s(1) = 2 + 3 = 5$ .
3. Divida a diferença pelo intervalo de $3$ horas.
Ex. 9.38Desafio
Para $s(t) = t^3$ , encontre a taxa de variação média entre $t=1$ e $t = 1 + \Delta t$ na forma mais simples.
Selecione a alternativa correta
$3 + 3\Delta t + (\Delta t)^2$ $3$ $3 + (\Delta t)^2$ $1 + \Delta t$
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Resolver online Active Calculus · §1.1 · ex. 2
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Temos $s(1+\Delta t) = (1+\Delta t)^3 = 1 + 3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3$ e $s(1) = 1$ . O numerador é $3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3$ . Dividindo por $\Delta t$ : $3 + 3\Delta t + (\Delta t)^2$ . Quando $\Delta t \to 0$ , o limite é $3$, que é a derivada de $t^3$ em $t=1$.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda $(1+\Delta t)^3$ .
2. Subtraia $s(1) = 1$.
3. Divida por $\Delta t$ e simplifique.
Ex. 9.39Desafio
Qual é a taxa de variação média de $f(x) = \sin x$ no intervalo $[0, \pi]$ ?
Selecione a alternativa correta
$0$ — a taxa média de $\sin x$ em $[0,\pi]$ é zero. $\dfrac{2}{\pi}$ $1$ $-1$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 32
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A taxa de variação média de $\sin x$ em $[0, \pi]$ é $\frac{\sin \pi - \sin 0}{\pi - 0} = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$ . O seno sobe e desce simetricamente, começando e terminando em zero.
Ex. 9.40Desafio
A força centrípeta é $F(r) = \dfrac{mv^2}{r}$ . Qual é a taxa de variação média de $F$ quando $r$ varia de $1$ m a $2$ m, com $m$ e $v$ constantes?
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-mv^2}{2}$ $\dfrac{mv^2}{2}$ $-mv^2$ $\dfrac{mv^2}{4}$
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Resolver online OpenStax College Algebra 2e · §3.3 · ex. 30
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Temos $F(r) = \frac{mv^2}{r}$ . Então $F(1) = mv^2$ e $F(2) = \frac{mv^2}{2}$ . A taxa média é $\frac{F(2)-F(1)}{2-1} = \frac{mv^2}{2} - mv^2 = -\frac{mv^2}{2}$ .

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1, §1.3, §1.5 (TVM como motivação para a derivada). Fonte primária desta lição.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1 (preview do cálculo) e §3.1 (definindo a derivada) e §4.4 (Teorema do Valor Médio).
Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 5 (TVM em modelagem econômica e biológica).

Esta lição é a porta de entrada do Cálculo — a TVM aparecerá novamente nas Lições 41–50 (Trim 5–6) sob o nome "derivada".