v1 · padrão canônico

Lição 10 — Consolidação Trim 1: workshop integrador

Workshop de integração das 9 lições anteriores. Problemas que combinam funções, taxa de variação, exponencial, modelagem. Estilo ENEM/EJU/Abitur.

Usado em: 1.º ano EM

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A taxa de variação média é o fio condutor do Trim 1: liga função afim (TVM constante), quadrática (TVM linear), exponencial (TVM proporcional ao valor) e prepara o terreno para derivada.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Roteiro do trimestre

Esta lição não introduz conteúdo novo. É um workshop integrador com problemas que exigem combinar:

Lição 1: notação de conjuntos, intervalos, operações entre conjuntos
Lição 2: domínio, imagem, composição, injetividade
Lições 3–4: funções afim e quadrática
Lição 5: composição formal e inversa
Lições 6–8: exponencial, logaritmo, modelos de crescimento/decaimento
Lição 9: taxa de variação média

Arco conceitual do trimestre

O Trim 1 constrói uma única ideia de baixo para cima: como descrever mudança.

\underbrace{\text{Conjuntos}}_{\text{L1}} \to \underbrace{\text{Funções}}_{\text{L2}} \to \underbrace{f(x) = ax+b}_{\text{L3: TVM constante}} \to \underbrace{f(x) = ax^2+bx+c}_{\text{L4: TVM linear}} \to \underbrace{f \circ g,\ f^{-1}}_{\text{L5}} \to \underbrace{a^x,\ \ln x}_{\text{L6-7: TVM proporcional ao valor}} \to \underbrace{N_0 e^{kt}}_{\text{L8}} \to \underbrace{\Delta y/\Delta x}_{\text{L9: porta do cálculo}}

Cada etapa responde à pergunta "o que acontece com $y$ quando $x$ muda um pouquinho?": afim (sempre igual), quadrática (cresce linearmente), exponencial (cresce proporcionalmente).

Mapa de pré-requisitos

Conceito	Lição	Para o que serve aqui
Conjuntos e intervalos	1	Domínio de exponencial/log; interseção de condições
Função e composição	2, 5	$(f \circ g)(x)$ , inversa
Afim e quadrática	3, 4	Modelagem linear/parabólica
Exponencial e log	6, 7, 8	Juros, decaimento, meia-vida
TVM	9	Velocidade média, custo marginal

Reserve 4 h sem consulta para resolver. Confira no gabarito (25% têm resposta inline). Se acertar menos de 50%, releia as lições correspondentes; se acertar 70–90%, está pronto pro Trim 2; acima de 90%, leitura adicional indicada.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Domínio de composição com log (aplicação)

Problema: Determine o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ .

Estratégia: O argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. Resolver a inequação $x^2 - 4 > 0$ por fatoração e análise de sinal.

Resolução:

Condição: $x^2 - 4 > 0$ , ou seja, $(x - 2)(x + 2) > 0$ .
Raízes: $x = 2$ e $x = -2$ . Parábola com concavidade para cima.
A inequação é satisfeita "fora das raízes": $x < -2$ ou $x > 2$ .
Domínio: $\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $f(3) = \log_2(5) \approx 2{,}32$ , definido. Em $x = 0$ : $0^2 - 4 = -4 < 0$ — indefinido, confere com $0 \notin \text{Dom}(f)$ . Em $x = 2$ : $\log_2(0) \to -\infty$ — não está no domínio.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.3 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Equação exponencial via substituição (intermediário)

Problema: Resolva $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

Estratégia: Note que $4^x = (2^x)^2$ . Substitua $u = 2^x$ (com $u > 0$ ): a equação vira quadrática em $u$ .

Resolução:

Substitua $u = 2^x$ : $u^2 - 5u + 4 = 0$ .
Fatorar: $(u - 1)(u - 4) = 0 \Rightarrow u = 1$ ou $u = 4$ .
Volta à variável $x$ : $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ . $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ .
Verifique no original: $4^0 - 5 \cdot 2^0 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓. $4^2 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ ✓.
Resposta: $x = 0$ ou $x = 2$ .

Verificação: Ambas as soluções satisfazem a equação original. A substituição $u = 2^x$ é canônica: sempre que aparecer $a^{2x}$ junto com $a^x$ , substitua $u = a^x$ .

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §6.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Modelagem com função por partes (intermediário)

Problema: Uma piscina é enchida em duas etapas: nas primeiras 2 horas, com vazão constante de 500 L/h; depois, com vazão constante de 800 L/h. Modele o volume $V(t)$ . Em quanto tempo a piscina de 6.000 L fica cheia?

Estratégia: Função por partes (afim em cada parte). Calcular $V(2)$ no fim da primeira fase; depois resolver $V(t) = 6\,000$ na segunda fase.

Resolução:

Modelo:

$<Eq>{`V(t) =`}</Eq>, <Eq>{`500 t`}</Eq>, <Eq>{`1\\,000 + 800 (t - 2)`}</Eq>$

Em $t = 2$ : $V(2) = 1\,000$ L.
Faltam $6\,000 - 1\,000 = 5\,000$ L para encher.
Tempo na 2.ª fase: $5\,000 / 800 = 6{,}25$ h.
Tempo total: $2 + 6{,}25 = 8{,}25$ h.

Verificação: $V(8{,}25) = 1\,000 + 800 \cdot (8{,}25 - 2) = 1\,000 + 5\,000 = 6\,000$ L. ✓ Continuidade em $t = 2$ : ambas as expressões dão 1.000 L.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 2 — licença aberta.

Exemplo— 4· Lucro máximo com quadrática (avançado)

Problema: Uma empresa tem custo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e receita $R(q) = 60 q$ . O lucro é $L(q) = R(q) - C(q)$ . (a) Quando o lucro é zero? (b) Qual a quantidade que maximiza o lucro?

Estratégia: Calcular $L(q)$ , encontrar raízes para (a) e o vértice da parábola para (b). Usar Bhaskara e $x_v = -b/(2a)$ .

Resolução:

$L(q) = 60 q - (50 + 20 q + 0{,}5 q^2) = -0{,}5 q^2 + 40 q - 50$ .
(a) Lucro zero: $-0{,}5 q^2 + 40 q - 50 = 0$ . Multiplicando por $-2$ : $q^2 - 80 q + 100 = 0$ . Bhaskara: $q = (80 \pm \sqrt{6\,000})/2 \approx (80 \pm 77{,}46)/2$ . Raízes: $q \approx 1{,}27$ ou $q \approx 78{,}73$ .
(b) Lucro máximo: vértice em $q^* = -40/(2 \cdot (-0{,}5)) = 40$ . Lucro máximo: $L(40) = -800 + 1\,600 - 50 = 750$ .
Resposta: (a) break-even em $q approx 1{,}27$ e $q approx 78{,}73$ ; (b) lucro máximo R$ 750 em $q = 40$ unidades.

Verificação: Parábola com concavidade para baixo (coef. $-0{,}5 < 0$ ) — vértice é máximo ✓. Média das raízes: $(1{,}27 + 78{,}73)/2 = 40 = q^*$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §3.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Modelo logístico — ponto de inflexão (modelagem real)

Problema: $P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). (a) Calcule $P(0)$ . (b) Qual a capacidade de suporte? (c) Em que tempo $t$ a população atinge metade da capacidade?

Estratégia: Para (a) substituir $t = 0$ . Para (b) examinar $t \to \infty$ . Para (c) resolver $P(t) = 100$ .

Resolução:

(a) $P(0) = 200/(1 + 9) = 20$ . População inicial = 20.
(b) Quando $t \to \infty$ : $e^{-0{,}5 t} \to 0$ , então $P(t) \to 200$ . Capacidade = 200.
(c) $200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t}) = 100 \Rightarrow e^{-0{,}5 t} = 1/9 \Rightarrow t = 2 \ln 9 \approx 4{,}39$ .

Verificação: Em $t = 4{,}39$ : $P = 200/(1 + 9 \cdot 1/9) = 100$ ✓. Este é o ponto de inflexão da curva logística — onde a TVM é máxima.

Fonte. Lebl — Notes on Diffy Qs §1.5 — licença CC-BY-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 9Modelagem 3Desafio 2

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax — College Algebra 2e — Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §3–6. Fonte central deste workshop.
Stitz–Zeager Precalculus — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1, 4–6.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1–6. Fonte do bloco de modelagem.
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.3 (TVM).
OpenStax — Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1.
Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §1.4–1.5.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · cap. 4, 12.

Catálogo completo (80+ livros em 12 idiomas) em /livros.

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Mapa de pré-requisitos

Auto-avaliação sugerida

Exemplos resolvidos

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