v1 · padrão canônico

Lição 11 — Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno, cosseno e tangente como razões entre lados do triângulo retângulo. Da Babilônia (1800 a.C.) até o GPS do seu celular.

Usado em: 1.º ano EM · Física básica (vetores) · Topografia · Math I japonês · Klasse 10 alemã

\sin\theta = \frac{\text{op}}{\text{hip}},\quad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hip}},\quad \tan\theta = \frac{\text{op}}{\text{adj}}

Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Definidas para um ângulo agudo θ; só dependem do ângulo, nunca do tamanho do triângulo. É a base de toda a trigonometria.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Triângulo retângulo. Seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente. Mnemônico SOH-CAH-TOA.

Por que as razões só dependem do ângulo?

Semelhança de triângulos (Tales): triângulos com os mesmos três ângulos são semelhantes — todos os seus lados são proporcionais. Num triângulo retângulo com ângulo agudo $\theta$ , qualquer ampliação ou redução preserva os três ângulos (90°, $\theta$ e $90°-\theta$ ). A razão $a/c$ é portanto a mesma para todos esses triângulos — depende apenas de $\theta$ .

"If two right triangles have an acute angle of equal measure, the triangles are similar; therefore, the ratios of the corresponding sides will be equal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.2

Identidade fundamental

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

(1)

o que isso quer dizer · Vem de a² + b² = c² (Pitágoras), dividindo ambos os lados por c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, ou seja sin²θ + cos²θ = 1.

Valores notáveis — tabela e derivação

Os valores de 30°, 45° e 60° surgem de dois triângulos elementares:

Esquerda: metade de um triângulo equilátero de lado 2 gera o 30-60-90. Direita: diagonal do quadrado de lado 1 gera o 45-45-90.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Derivação 30-60-90: Pega um triângulo equilátero de lado 2 e traça a altura, bissectando a base. Obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2, base 1 e altura $\sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ . O ângulo menor é 30° (base), o maior é 60° (topo).

Derivação 45-45-90: Triângulo retângulo isósceles tem catetos iguais $a = b$ . Por Pitágoras: $c = a\sqrt{2}$ . Logo $\sin 45° = a/(a\sqrt{2}) = \sqrt{2}/2$ .

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Calcular sin, cos, tan num triângulo 3-4-5 (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo, o cateto oposto a $\theta$ mede 3 e o cateto adjacente mede 4. Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ .

Estratégia: Aplicar SOH-CAH-TOA diretamente. Antes, obter a hipotenusa por Pitágoras.

Resolução:

Hipotenusa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
Razões:

$\sin\theta = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}$

Verificação (identidade pitagórica): $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 — CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Lados de um triângulo 30-60-90 com hipotenusa dada (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo com ângulo agudo $30°$ e hipotenusa $20$ cm, calcule os dois catetos.

Estratégia: Usar os valores notáveis $\sin 30° = 1/2$ e $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ .

Resolução:

Cateto oposto a 30°: $\sin 30° = \text{op}/20 \Rightarrow \text{op} = 20 \times 1/2 = 10$ cm.
Cateto adjacente a 30°: $\cos 30° = \text{adj}/20 \Rightarrow \text{adj} = 20 \times \sqrt{3}/2 = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm.

Verificação (Pitágoras): $10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Altura de prédio por ângulo de elevação (intermediário)

Problema: Um observador está a 50 m da base de um prédio. O ângulo de elevação até o topo é $40°$ . Determine a altura do prédio. (Dado: $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O observador, a base do prédio e o topo formam um triângulo retângulo. A altura é o cateto oposto ao ângulo de $40°$ ; a distância horizontal é o cateto adjacente. A razão correta é a tangente.

Resolução:

$\tan 40° = h/50$
$h = 50 \times 0{,}839 \approx 41{,}95$ m.

Verificação: Linha de visada $\approx \sqrt{42^2 + 50^2} \approx 65{,}3$ m; $\sin 40° \approx 42/65{,}3 \approx 0{,}643$ . Bate com a tabela. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Applications) — CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Distância horizontal por ângulo de depressão (avançado)

Problema: Um drone voa a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob ângulo de depressão de $25°$ (medido para baixo a partir da horizontal). Qual a distância horizontal entre o drone e a pessoa? (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)

Estratégia: O ângulo de depressão no drone é alternos internos com o ângulo de elevação que a pessoa veria. Logo no triângulo retângulo "drone–projeção no chão–pessoa", o ângulo agudo em cima é $25°$ , oposto é a altura $100$ m e o adjacente é a distância $d$ .

Resolução:

$\tan 25° = 100/d$
$d = 100/0{,}466 \approx 214{,}6$ m.

Verificação: $\arctan(100/214{,}6) \approx 25°$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Elevation/Depression) — CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Altura de morro por dois ângulos de visada (modelagem real)

Problema: Um topógrafo em $A$ vê o topo de um morro sob ângulo de elevação $25°$ . Caminha $100$ m em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura $h$ . (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ e $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O pé do morro está a $x$ m de $B$ . Obtemos duas equações em $h$ e $x$ , que resolvemos por substituição.

Resolução:

Triângulo desde $B$ : $h = x\tan 40°$ .
Triângulo desde $A$ : $h = (x + 100)\tan 25°$ .
Igualando: $x(0{,}839 - 0{,}466) = 100 \times 0{,}466 \Rightarrow x \approx 46{,}6/0{,}373 \approx 124{,}9$ m.
$h = 124{,}9 \times 0{,}839 \approx 104{,}8$ m.

Verificação: $\tan(\text{ângulo em }A) \approx 104{,}8/224{,}9 \approx 0{,}466$ , correspondendo a $25°$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 6Modelagem 9Desafio 1

Ex. 11.1CompreensãoGabarito
Quando um triângulo retângulo com hipotenusa 1 é inscrito num círculo de raio 1, quais lados do triângulo correspondem às coordenadas $x$ e $y$ do ponto no círculo?
Selecione a alternativa correta
O cateto adjacente ao ângulo e o cateto oposto correspondem às coordenadas x e y, respectivamente.A hipotenusa e o cateto oposto correspondem às coordenadas x e y.Os dois catetos são iguais à hipotenusa no círculo unitário.Apenas a hipotenusa corresponde à coordenada x.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 2
Ver solução
Num círculo de raio 1, a coordenada x do ponto na circunferência é o cosseno (cateto adjacente) e a coordenada y é o seno (cateto oposto). Portanto, os lados do triângulo retângulo inscrito que correspondem às coordenadas x e y são o cateto adjacente e o cateto oposto, respectivamente.
Ex. 11.2CompreensãoGabarito
A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo retângulo?
Selecione a alternativa correta
O cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.O cateto oposto dividido pela hipotenusa.O cateto adjacente dividido pela hipotenusa.A hipotenusa dividida pelo cateto oposto.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 3
Ver solução
A tangente compara o cateto oposto ao ângulo com o cateto adjacente ao ângulo: $\tan\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$ . Mnemônico SOH-CAH-TOA: TOA = Tangente é Oposto sobre Adjacente.
Ex. 11.3Compreensão
Qual é a relação entre os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo?
Selecione a alternativa correta
Os dois ângulos agudos são complementares: somam 90°.Os dois ângulos agudos são suplementares: somam 180°.Os dois ângulos agudos são sempre iguais a 45°.Os dois ângulos agudos somam 60°.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
Ver solução
Num triângulo retângulo, um ângulo já mede 90°; como a soma dos três ângulos é 180°, os outros dois devem somar 90°, ou seja, são complementares. Isso explica por que $\cos\theta = \sin(90°-\theta)$ — daí o nome co-seno (complemento do seno).
Ex. 11.4CompreensãoGabarito
Explique a identidade de cofunção. O que ela afirma sobre seno e cosseno de ângulos complementares?
Selecione a alternativa correta
A função trigonométrica de um ângulo é igual à cofunção do ângulo complementar. Por exemplo, $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ .A função trigonométrica de um ângulo é igual à cofunção do ângulo suplementar.As cofunções são iguais apenas para ângulos de 45°.A identidade de cofunção afirma que $\sin\theta = \cos\theta$ para todo $\theta$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 5
Ver solução
A identidade de cofunção diz que seno e cosseno são cofunções: $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ e $\cos\theta = \sin(90°-\theta)$ . Da mesma forma, $\tan\theta = \cot(90°-\theta)$ e $\sec\theta = \csc(90°-\theta)$ . Todas as cofunções são iguais quando aplicadas a ângulos complementares.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. No triângulo retângulo com ângulos $\theta$ e $90°-\theta$ , o cateto oposto a $\theta$ é o adjacente a $90°-\theta$ .
2. Portanto $\sin\theta = \text{op}/\text{hip} = \cos(90°-\theta)$ .
3. O mesmo raciocínio dá todas as identidades de cofunção.
Ex. 11.5Aplicação
Complete usando a identidade de cofunção: $\cos(34°) = \sin(\text{\_\_\_}°)$ .
Selecione a alternativa correta
$56°$ $34°$ $124°$ $46°$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 6
Ver solução
Pela identidade de cofunção, $\cos(34°) = \sin(90°-34°) = \sin(56°)$ . Logo o ângulo faltante é 56°. (Resp: 56°)
Ex. 11.6Aplicação
Complete usando a identidade de cofunção: $\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\!(\text{___})$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 7
Ver solução
Pela identidade de cofunção em radianos: $\cos(\pi/3) = \sin(\pi/2 - \pi/3) = \sin(\pi/6)$ . O ângulo faltante é $\pi/6$ . (Resp: $\pi/6$ )
Ex. 11.7Aplicação
Complete usando a identidade de cofunção: $\csc(21°) = \sec(\text{\_\_\_}°)$ .
Selecione a alternativa correta
$69°$ $21°$ $111°$ $79°$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 8
Ver solução
A cofunção da cossecante é a secante: $\csc(21°) = \sec(90°-21°) = \sec(69°)$ . (Resp: 69°)
Ex. 11.8Aplicação
Complete usando a identidade de cofunção: $\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot\!(\text{___})$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 9
Ver solução
A cofunção da tangente é a cotangente: $\tan(\pi/4) = \cot(\pi/2 - \pi/4) = \cot(\pi/4)$ . O ângulo faltante é $\pi/4$ . (Resp: $\pi/4$ )
Ex. 11.9Aplicação
Num triângulo retângulo, $\cos B = \tfrac{4}{5}$ e $a = 10$ . Encontre os lados $b$ e $c$ (hipotenusa).
Selecione a alternativa correta
$b = 7{,}5,; c = 12{,}5$ $b = 6{,}0,; c = 11{,}5$ $b = 8{,}0,; c = 13{,}0$ $b = 10{,}0,; c = 12{,}5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 10
Ver solução
Dado $\cos B = 4/5$ e $a = 10$ (cateto adjacente a B): $\cos B = a/c \Rightarrow c = a/\cos B = 10/(4/5) = 12{,}5$ . Pela identidade pitagórica: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{156{,}25 - 100} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ . (Resp: $b = 7{,}5,; c = 12{,}5$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Use $\cos B = \text{adj}/\text{hip}$ : o lado adjacente a B é $a = 10$ , então $c = a/\cos B = 10/(4/5) = 12{,}5$ .
2. Pitágoras: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{12{,}5^2 - 10^2} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ .
Ex. 11.10AplicaçãoGabarito
Num triângulo retângulo, $\sin B = \tfrac{1}{2}$ e $a = 20$ (cateto oposto a A). Encontre os lados $b$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$a = 20\sqrt{3},\; c = 40$ $a = 10\sqrt{3},\; c = 30$ $a = 20,; c = 40$ $a = 10,; c = 20$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 11
Ver solução
Dado $\sin B = 1/2$ e o cateto adjacente $a = 20$ : como $\sin B = \text{op}/\text{hip}$ e B é o ângulo em questão, o cateto oposto é $b$ e o adjacente é $a$ . $\tan B = b/a \Rightarrow \sin B/\cos B = b/20$ . Com $\sin B = 1/2$ , temos $B = 30°$ , então $c = a/\cos 30° = 20/(\sqrt{3}/2) = 40/\sqrt{3} \approx 23{,}1$ ... Na interpretação padrão do livro, $a$ é o cateto oposto a A (adjacente a B): $\sin B = a/c \Rightarrow c = a/\sin B = 20/(1/2) = 40$ e $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{1600-400} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3}$ . (Resp: $b = 20\sqrt{3},\; c = 40$ )
Ex. 11.11Aplicação
Num triângulo retângulo, $\tan A = \tfrac{5}{12}$ e $b = 6$ . Encontre os lados $a$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$a = 2{,}5,\; c \approx 6{,}5$ $a = 5{,}0,\; c \approx 8{,}0$ $a = 3{,}0,\; c \approx 7{,}0$ $a = 1{,}5,\; c \approx 5{,}5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 12
Ver solução
Com $\tan A = 5/12$ e $b = 6$ (cateto adjacente a A): $\tan A = a/b \Rightarrow a = 6 \times 5/12 = 2{,}5$ . Hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6{,}25 + 36} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ . (Resp: $a = 2{,}5,; c = 6{,}5$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\tan A = a/b \Rightarrow a = b \cdot \tan A = 6 \times (5/12) = 2{,}5$ .
2. Pitágoras: $c = \sqrt{2{,}5^2 + 6^2} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ .
Ex. 11.12AplicaçãoGabarito
Num triângulo retângulo, $\tan A = 100$ e $b = 100$ . Encontre os lados $a$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$a = 10000,\; c \approx 10001$ $a = 100,\; c \approx 141$ $a = 1000,\; c \approx 1414$ $a = 100,\; c \approx 200$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 13
Ver solução
Com $\tan A = 100$ e $b = 100$ : $a = b \cdot \tan A = 100 \times 100 = 10000$ . Hipotenusa: $c = \sqrt{10000^2 + 100^2} = 100\sqrt{10001} \approx 10000{,}5$ . (Resp: $a = 10000,\; c \approx 10001$ )
Ex. 11.13Aplicação
Num triângulo retângulo, $\sin B = \tfrac{1}{3}$ e $a = 2$ . Encontre os lados $b$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$b = 3\sqrt{2}/2 \approx 0{,}47,\; c = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ $b = 2,\; c = 2\sqrt{2}$ $b = 1,\; c = \sqrt{5}$ $b = \sqrt{3},\; c = 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 14
Ver solução
Com $\sin B = 1/3$ e $a = 2$ : o ângulo B tem seno $1/3$ , então $\cos B = \sqrt{1 - 1/9} = \sqrt{8/9} = 2\sqrt{2}/3$ . Como $\sin B = a/c$ , temos $c = a/\sin B = 2/(1/3) = 6$ . E $b = c\cos B = 6 \times 2\sqrt{2}/3 = 4\sqrt{2}$ . (Resp: $b = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66,\; c = 6$ )
Ex. 11.14AplicaçãoGabarito
Num triângulo retângulo, $a = 5$ e o ângulo $A = 60°$ . Encontre os lados $b$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$b = 5\sqrt{3}/3,\; c = 10\sqrt{3}/3$ $b = 5,; c = 10$ $b = 5\sqrt{3},\; c = 10$ $b = 5\sqrt{2}/2,\; c = 5\sqrt{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
Ver solução
Com $a = 5$ e $A = 60°$ : $\sin 60° = a/c \Rightarrow c = 5/\sin 60° = 5/(\sqrt{3}/2) = 10/\sqrt{3} = 10\sqrt{3}/3 \approx 5{,}77$ . E $b = c\cos 60° = (10\sqrt{3}/3) \times (1/2) = 5\sqrt{3}/3 \approx 2{,}89$ . (Resp: $b = 5\sqrt{3}/3,\; c = 10\sqrt{3}/3$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\sin A = a/c \Rightarrow c = a/\sin A = 5/\sin 60° = 10\sqrt{3}/3$ .
2. $\cos A = b/c \Rightarrow b = c\cos 60° = (10\sqrt{3}/3) \cdot (1/2) = 5\sqrt{3}/3$ .
Ex. 11.15Aplicação
Num triângulo retângulo, a hipotenusa $c = 12$ e o ângulo $A = 45°$ . Encontre os catetos $a$ e $b$ .
Selecione a alternativa correta
$a = b = 6\sqrt{2}$ $a = b = 6$ $a = 6,; b = 12$ $a = b = 12$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 16
Ver solução
Com $c = 12$ e $A = 45°$ : $a = c\sin 45° = 12 \times \sqrt{2}/2 = 6\sqrt{2}$ . Como é triângulo isósceles (45-45-90), $b = a = 6\sqrt{2}$ . (Resp: $a = b = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ )
Ex. 11.16Aplicação
Num triângulo retângulo, $b = 15$ e o ângulo $B = 15°$ . Usando $\sin 15° \approx 0{,}259$ e $\tan 15° \approx 0{,}268$ , encontre $a$ e a hipotenusa $c$ .
Selecione a alternativa correta
$b \approx 26{,}13,\; c \approx 27{,}07$ $b \approx 15{,}00,\; c \approx 17{,}00$ $b \approx 30{,}00,\; c \approx 31{,}14$ $b \approx 20{,}00,\; c \approx 22{,}00$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 37
Ver solução
Com $b = 15$ e $B = 15°$ : $\tan B = b/a \Rightarrow a = b/\tan B = 15/\tan 15° \approx 15/0{,}2679 \approx 56{,}0$ . Hipotenusa: $c = b/\sin B = 15/\sin 15° \approx 15/0{,}2588 \approx 57{,}97$ . Nota: a opção correta aqui usa dados do exercício 37 do livro com $b=15,; B=15°$ : resultado padrão $a \approx 56{,}0,\; c \approx 57{,}97$ .
Ex. 11.17Aplicação
Num triângulo retângulo, hipotenusa $c = 200$ e o ângulo $B = 5°$ . Usando $\sin 5° \approx 0{,}0872$ e $\cos 5° \approx 0{,}9962$ , encontre os catetos $a$ e $b$ .
Selecione a alternativa correta
$a \approx 17{,}4,\; b \approx 199{,}2$ $a \approx 10{,}0,\; b \approx 150{,}0$ $a \approx 30{,}0,\; b \approx 190{,}0$ $a \approx 20{,}0,\; b \approx 195{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 38
Ver solução
Com $c = 200$ e $B = 5°$ : o cateto oposto a B é $b$ , o cateto adjacente a B é $a$ . $b = c\sin B = 200\sin 5° \approx 200 \times 0{,}0872 = 17{,}4$ e $a = c\cos B = 200\cos 5° \approx 200 \times 0{,}9962 = 199{,}2$ . (Resp: $b \approx 17{,}4,\; a \approx 199{,}2$ )
Ex. 11.18Aplicação
Num triângulo retângulo, hipotenusa $c = 50$ e o ângulo $B = 21°$ . Usando $\sin 21° \approx 0{,}358$ e $\cos 21° \approx 0{,}934$ , encontre os catetos $a$ e $b$ .
Selecione a alternativa correta
$a \approx 46{,}6,\; b \approx 18{,}0$ $a \approx 30{,}0,\; b \approx 25{,}0$ $a \approx 50{,}0,\; b \approx 20{,}0$ $a \approx 42{,}0,\; b \approx 15{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 39
Ver solução
Com $c = 50$ e $B = 21°$ : $b = c\sin 21° \approx 50 \times 0{,}3584 = 17{,}9 \approx 18{,}0$ e $a = c\cos 21° \approx 50 \times 0{,}9336 = 46{,}7$ . (Resp: $a \approx 46{,}7,\; b \approx 17{,}9$ )
Ex. 11.19Aplicação
Num triângulo retângulo, $a = 30$ e o ângulo $A = 27°$ . Usando $\sin 27° \approx 0{,}454$ e $\cos 27° \approx 0{,}891$ , encontre os lados $b$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$b \approx 58{,}9,\; c \approx 66{,}1$ $b \approx 40{,}0,\; c \approx 50{,}0$ $b \approx 70{,}0,\; c \approx 75{,}0$ $b \approx 35{,}0,\; c \approx 55{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 40
Ver solução
Com $a = 30$ e $A = 27°$ : $\sin A = a/c \Rightarrow c = 30/\sin 27° \approx 30/0{,}454 \approx 66{,}1$ . E $b = c\cos 27° \approx 66{,}1 \times 0{,}891 \approx 58{,}9$ . (Resp: $b \approx 58{,}9,\; c \approx 66{,}1$ )
Ex. 11.20Aplicação
Num triângulo retângulo, $b = 3{,}5$ e o ângulo $A = 78°$ . Usando $\tan 78° \approx 4{,}705$ e $\cos 78° \approx 0{,}208$ , encontre os lados $a$ e $c$ .
Selecione a alternativa correta
$a \approx 16{,}4,\; c \approx 16{,}8$ $a \approx 10{,}0,\; c \approx 12{,}0$ $a \approx 20{,}0,\; c \approx 21{,}0$ $a \approx 8{,}0,\; c \approx 9{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 41
Ver solução
Com $b = 3{,}5$ e $A = 78°$ : $\tan A = a/b \Rightarrow a = 3{,}5 \times \tan 78° \approx 3{,}5 \times 4{,}705 \approx 16{,}5$ . Hipotenusa: $c = b/\cos A = 3{,}5/\cos 78° \approx 3{,}5/0{,}208 \approx 16{,}8$ . (Resp: $a \approx 16{,}5,\; c \approx 16{,}8$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\tan 78° \approx 4{,}705$ : cateto oposto $a = b \cdot \tan A = 3{,}5 \times 4{,}705 \approx 16{,}5$ .
2. $\cos 78° \approx 0{,}208$ : hipotenusa $c = b/\cos A \approx 16{,}8$ .
Ex. 11.21Modelagem
Uma torre de rádio está a 400 pés de um edifício. De uma janela do edifício, o ângulo de elevação até o topo da torre é 36° e o ângulo de depressão até a base da torre é 23°. Qual é a altura da torre? Use $\tan 36° \approx 0{,}727$ e $\tan 23° \approx 0{,}4245$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 583 \text{ pés} \approx 178 \text{ m}$ $h \approx 290 \text{ pés}$ $h \approx 800 \text{ pés}$ $h \approx 400 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 46
Ver solução
A torre de rádio está a 400 pés do edifício. O ângulo de elevação até o topo da torre é 36° e o ângulo de depressão até a base é 23°. Altura acima da janela: $h_1 = 400\tan 36° \approx 400 \times 0{,}727 = 290{,}8$ pés. Altura abaixo da janela: $h_2 = 400\tan 23° \approx 400 \times 0{,}4245 = 169{,}8$ pés. Altura total: $h = h_1 + h_2 \approx 460{,}6$ pés. (Resp: $\approx 461 \text{ pés}$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Altura da torre acima da janela: $h_1 = 400\tan 36° \approx 290{,}8$ pés.
2. Altura da torre abaixo da janela (ângulo de depressão): $h_2 = 400\tan 23° \approx 169{,}8$ pés.
3. Altura total: $h = h_1 + h_2 \approx 460{,}6$ pés.
Ex. 11.22ModelagemGabarito
Uma torre de rádio está a 325 pés de um edifício. De uma janela, o ângulo de elevação até o topo da torre é 43° e o ângulo de depressão até a base é 31°. Qual é a altura da torre? Use $\tan 43° \approx 0{,}9325$ e $\tan 31° \approx 0{,}6009$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 492 \text{ pés}$ $h \approx 300 \text{ pés}$ $h \approx 600 \text{ pés}$ $h \approx 200 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 47
Ver solução
Torre a 325 pés do edifício. Elevação ao topo: 43°. Depressão à base: 31°. Altura acima da janela: $h_1 = 325\tan 43° \approx 325 \times 0{,}9325 = 303{,}1$ pés. Altura abaixo: $h_2 = 325\tan 31° \approx 325 \times 0{,}6009 = 195{,}3$ pés. Total: $h \approx 498{,}4$ pés. (Resp: $\approx 498 \text{ pés}$ )
Ex. 11.23Modelagem
Um monumento de 200 pés está a distância de um edifício. Da janela, o ângulo de elevação ao topo do monumento é 15° e o ângulo de depressão à base é 2°. Qual é a distância da janela ao monumento? Use $\tan 15° \approx 0{,}268$ e $\tan 2° \approx 0{,}035$ .
Selecione a alternativa correta
$d \approx 746 \text{ pés}$ $d \approx 1000 \text{ pés}$ $d \approx 500 \text{ pés}$ $d \approx 300 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 48
Ver solução
Monumento de 200 pés. Elevação ao topo: 15°. Depressão à base: 2°. Seja $d$ a distância horizontal e $h$ a altura da janela acima da base do monumento. Então: $\tan 15° = (200-h)/d$ e $\tan 2° = h/d$ . Somando: $d(\tan 15° + \tan 2°) = 200$ , logo $d = 200/(\tan 15° + \tan 2°) \approx 200/(0{,}2679 + 0{,}0349) \approx 200/0{,}3028 \approx 660 \text{ pés}$ . (Resp: $\approx 660 \text{ pés}$ )
Ex. 11.24Modelagem
Uma antena está no topo de um edifício. De um ponto a 300 pés da base do edifício, o ângulo de elevação ao topo do edifício é 40° e ao topo da antena é 43°. Qual é a altura da antena? Use $\tan 40° \approx 0{,}839$ e $\tan 43° \approx 0{,}9325$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 26 \text{ pés}$ $h \approx 50 \text{ pés}$ $h \approx 10 \text{ pés}$ $h \approx 100 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 50
Ver solução
Edifício a 300 pés. Elevação ao topo do edifício: 40°. Elevação ao topo da antena: 43°. Altura do edifício: $H = 300\tan 40° \approx 300 \times 0{,}839 = 251{,}7$ pés. Altura da antena + edifício: $H + h = 300\tan 43° \approx 300 \times 0{,}9325 = 279{,}8$ pés. Altura da antena: $h \approx 279{,}8 - 251{,}7 = 28{,}1 \approx 28$ pés. (Resp: $\approx 28 \text{ pés}$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Altura do edifício: $H = 300\tan 40° \approx 251{,}7$ pés.
2. Altura total (edifício + antena): $H + h = 300\tan 43° \approx 279{,}8$ pés.
3. Altura da antena: $h \approx 279{,}8 - 251{,}7 \approx 28$ pés.
Ex. 11.25Modelagem
Um para-raios está no topo de um edifício. De um ponto a 500 pés da base, o ângulo de elevação ao topo do edifício é 36° e ao topo do para-raios é 38°. Qual é a altura do para-raios? Use $\tan 36° \approx 0{,}727$ e $\tan 38° \approx 0{,}7813$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 25 \text{ pés}$ $h \approx 50 \text{ pés}$ $h \approx 15 \text{ pés}$ $h \approx 40 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 51
Ver solução
Para-raios no topo de um edifício. A 500 pés: elevação ao topo do edifício 36°, ao topo do para-raios 38°. Altura do edifício: $H = 500\tan 36° \approx 500 \times 0{,}727 = 363{,}5$ pés. Altura total: $H + h = 500\tan 38° \approx 500 \times 0{,}7813 = 390{,}6$ pés. Altura do para-raios: $h \approx 390{,}6 - 363{,}5 = 27{,}1 \approx 27$ pés. (Resp: $\approx 27 \text{ pés}$ )
Ex. 11.26Modelagem
Uma escada de 33 pés apoia-se num edifício formando ângulo de 80° com o chão. A que altura a escada toca o edifício? Use $\sin 80° \approx 0{,}985$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 32{,}5 \text{ pés}$ $h \approx 25{,}0 \text{ pés}$ $h \approx 40{,}0 \text{ pés}$ $h \approx 16{,}5 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 52
Ver solução
Uma escada de 33 pés encostada num edifício com ângulo de 80° entre a escada e o chão. A altura atingida é o cateto oposto: $h = 33\sin 80° \approx 33 \times 0{,}9848 \approx 32{,}5$ pés. (Resp: $\approx 32{,}5 \text{ pés}$ )
Ex. 11.27Modelagem
Uma escada de 23 pés apoia-se num edifício formando ângulo de 80° com o chão. A que altura a escada toca o edifício? Use $\sin 80° \approx 0{,}985$ .
Selecione a alternativa correta
$h \approx 22{,}7 \text{ pés}$ $h \approx 18{,}0 \text{ pés}$ $h \approx 30{,}0 \text{ pés}$ $h \approx 12{,}0 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 53
Ver solução
Escada de 23 pés a 80° com o chão: $h = 23\sin 80° \approx 23 \times 0{,}9848 \approx 22{,}7$ pés. (Resp: $\approx 22{,}7 \text{ pés}$ )
Ex. 11.28Modelagem
O ângulo de elevação ao topo de um edifício em Charlotte (EUA), medido a 1 milha de distância no nível do chão, é 9°. Qual é a altura aproximada do edifício? (1 milha = 5280 pés; use $\tan 9° \approx 0{,}158$ .)
Selecione a alternativa correta
$h \approx 836 \text{ pés}$ $h \approx 500 \text{ pés}$ $h \approx 1200 \text{ pés}$ $h \approx 600 \text{ pés}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 54
Ver solução
Distância de 1 milha = 5280 pés. Ângulo de elevação 9°. Altura: $h = 5280\tan 9° \approx 5280 \times 0{,}1584 \approx 836$ pés. (Resp: $\approx 836 \text{ pés}$ )
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Converter: 1 milha = 5280 pés (distância horizontal).
2. Usar a tangente: $h = 5280 \times \tan 9°$ .
3. $\tan 9° \approx 0{,}1584 \Rightarrow h \approx 836$ pés.
Ex. 11.29Modelagem
Uma sequoia de 370 pés cresce verticalmente. Se o ângulo de elevação ao topo da árvore, medido de um ponto no chão, é 60°, qual é a distância horizontal entre o observador e a base da árvore?
Selecione a alternativa correta
$h \approx 370 \text{ m}$ $h \approx 213 \text{ m}$ $h \approx 640 \text{ m}$ $h \approx 185 \text{ m}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 56
Ver solução
Árvore de 370 pés com ângulo de elevação 60° desde certa distância. O enunciado pede a distância $d$ , não a altura: $d = 370/\tan 60° = 370/\sqrt{3} \approx 213{,}6$ pés. (Resp: $d \approx 213{,}6 \text{ pés}$ )
Ex. 11.30Aplicação
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 12 polegadas subentendido por um ângulo central de $\pi/4$ radianos.
Selecione a alternativa correta
$s = 3\pi \approx 9{,}42 \text{ pol}$ $s = 6\pi \approx 18{,}85 \text{ pol}$ $s = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 \text{ pol}$ $s = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ pol}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 40
Ver solução
Comprimento de arco: $s = r\theta$ , com raio $r = 12$ pol e ângulo central $\theta = \pi/4$ rad. Logo $s = 12 \times \pi/4 = 3\pi \approx 9{,}42$ pol. (Resp: $3\pi$ pol)
Ex. 11.31Aplicação
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 5,02 milhas subentendido por um ângulo central de $\pi/3$ radianos.
Selecione a alternativa correta
$s = \frac{5{,}02\pi}{3} \approx 5{,}26 \text{ mi}$ $s = \frac{5{,}02\pi}{6} \approx 2{,}63 \text{ mi}$ $s = 5{,}02\pi \approx 15{,}77 \text{ mi}$ $s = 2 \times 5{,}02 \approx 10{,}04 \text{ mi}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 41
Ver solução
$s = r\theta = 5{,}02 \times \pi/3 \approx 5{,}02 \times 1{,}047 \approx 5{,}26$ milhas. (Resp: $5{,}02\pi/3 \approx 5{,}26$ mi)
Ex. 11.32AplicaçãoGabarito
Calcule o comprimento do arco de um círculo de raio 10 cm subentendido por um ângulo central de 50°.
Selecione a alternativa correta
$s \approx 8{,}73 \text{ cm}$ $s \approx 17{,}45 \text{ cm}$ $s \approx 4{,}36 \text{ cm}$ $s \approx 12{,}00 \text{ cm}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 43
Ver solução
Converter 50° em radianos: $\theta = 50 \times \pi/180 = 5\pi/18 \approx 0{,}873$ rad. Comprimento: $s = r\theta = 10 \times 0{,}873 \approx 8{,}73$ cm. (Resp: $\approx 8{,}73$ cm)
Ex. 11.33Aplicação
Um setor circular tem ângulo central 45° e raio 6 cm. Calcule a área do setor.
Selecione a alternativa correta
$A = 9\pi \approx 28{,}27 \text{ cm}^2$ $A = 18\pi \approx 56{,}55 \text{ cm}^2$ $A = 4{,}5\pi \approx 14{,}14 \text{ cm}^2$ $A = 36\pi \approx 113{,}10 \text{ cm}^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 46
Ver solução
Área do setor: $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ , com raio $r = 6$ cm e ângulo central $\theta = 45° = \pi/4$ rad. Logo $A = \frac{1}{2}\times 36 \times \pi/4 = 9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm²... Na fórmula correta: $A = \frac{1}{2}(6)^2(\pi/4) = 9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm². (Resp: $9\pi/2 \approx 14{,}14$ cm²)
Ex. 11.34Aplicação
Um setor circular tem ângulo central 30° e raio 20 cm. Calcule a área do setor.
Selecione a alternativa correta
$A = \frac{200\pi}{3} \approx 209{,}4 \text{ cm}^2$ $A = \frac{400\pi}{3} \approx 418{,}9 \text{ cm}^2$ $A = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$ $A = \frac{100\pi}{3} \approx 104{,}7 \text{ cm}^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.1 · ex. 47
Ver solução
$\theta = 30° = \pi/6$ rad, $r = 20$ cm. Área: $A = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}\times 400 \times \pi/6 = \frac{200\pi}{6} \cdot ... = \frac{200\pi}{3} \approx 209{,}4$ cm². (Resp: $200\pi/3 \approx 209{,}4$ cm²)
Ex. 11.35Compreensão
É possível ter um triângulo retângulo com um ângulo agudo $\theta = 30°$ tal que $\sin 30° = 1/2$ ? Justifique usando as razões trigonométricas.
Selecione a alternativa correta
Sim: $\sin 30° = 1/2 < 1$ , portanto o triângulo é valido e o ângulo de 30° é agudo.Não: o triângulo só existe se $\sin\theta > 1/2$ .Sim, mas apenas se os dois catetos forem iguais.Não: para um triângulo retângulo, $\sin\theta$ deve ser sempre menor que $\sqrt{2}/2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
Ver solução
Num triângulo retângulo, o seno de qualquer ângulo agudo está no intervalo $(0, 1)$ . Como $\sin 30° = 1/2$ está nesse intervalo, o triângulo existe e $\theta = 30°$ é geometricamente válido. Em particular, a hipotenusa é o dobro do cateto oposto a 30°.
Ex. 11.36CompreensãoGabarito
À medida que o ângulo agudo $\theta$ de um triângulo retângulo aumenta de 0° a 90°, o valor de $\sin\theta$ é crescente, decrescente ou constante? Justifique geometricamente.
Selecione a alternativa correta
Crescente: quando θ aumenta de 0° a 90°, o cateto oposto cresce enquanto a hipotenusa é fixa, logo sin θ aumenta.Decrescente: quando θ aumenta, sin θ diminui pois o ângulo fica maior.Constante: sin θ é o mesmo para todos os ângulos agudos.Crescente até 45°, depois decrescente.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 4
Ver solução
Num triângulo retângulo, fixando a hipotenusa, o cateto oposto ao ângulo $\theta$ cresce conforme $\theta$ aumenta. Logo $\sin\theta = \text{oposto}/\text{hip}$ é crescente em $(0°, 90°)$ . No limite: $\sin 0° = 0$ e $\sin 90° = 1$ (ângulo degenera). Paralelamente, o cosseno é decrescente no mesmo intervalo.
Ex. 11.37Aplicação
Usando a identidade de cofunção, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
Selecione a alternativa correta
$\sin 60° = \cos 30°$ $\sin 60° = \cos 60°$ $\sin 60° = \sin 30°$ $\cos 60° = \sin 60°$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 6
Ver solução
Pela identidade de cofunção, $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ . Aplicando com $\theta = 60°$ : $\sin 60° = \cos(90°-60°) = \cos 30°$ . De fato, $\sin 60° = \sqrt{3}/2 = \cos 30°$ . (Resp: $\sin 60° = \cos 30°$ )
Ex. 11.38AplicaçãoGabarito
Num triângulo retângulo 30-60-90 com hipotenusa 1, qual é o valor de $\cos 30°$ ?
Selecione a alternativa correta
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
Ver solução
Num triângulo 30-60-90 com hipotenusa 1: o cateto oposto a 30° mede 1/2 e o cateto adjacente a 30° (oposto a 60°) mede $\sqrt{3}/2$ . Portanto $\cos 30° = \text{adj}/\text{hip} = (\sqrt{3}/2)/1 = \sqrt{3}/2$ . (Resp: $\sqrt{3}/2$ )
Ex. 11.39Aplicação
Num triângulo retângulo 30-60-90 com hipotenusa 1, qual é o valor exato de $\tan 60°$ ?
Selecione a alternativa correta
$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{1}{2}$ $1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 15
Ver solução
No triângulo 30-60-90: cateto oposto a 60° mede $\sqrt{3}/2$ e cateto adjacente a 60° (oposto a 30°) mede 1/2 (com hipotenusa 1). Logo $\tan 60° = (\sqrt{3}/2)/(1/2) = \sqrt{3}$ . (Resp: $\sqrt{3}$ )
Ex. 11.40Desafio
A partir da identidade pitagórica fundamental $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , qual das seguintes identidades se obtém dividindo ambos os lados por $\cos^2\theta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\sec^2\theta = \tan^2\theta + 1$ $\sec^2\theta = \sin^2\theta + 1$ $\sec^2\theta = \cos^2\theta + 1$ $\sec^2\theta = \cot^2\theta + 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.2 · ex. 5
Ver solução
Partindo de $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , dividindo ambos os lados por $\cos^2\theta$ (para $\cos\theta \neq 0$ ): $\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$ , ou seja $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ . Essa identidade pitagórica auxiliar é fundamental em integração por substituição trigonométrica.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Início: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
2. Dividir por $\cos^2\theta$ : $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ .
3. Analogamente, dividindo por $\sin^2\theta$ : $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.2: razões trigonométricas, identidades pitagóricas, aplicações. Fonte primária dos blocos A, C e D.
Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.2–10.3: trigonometria de ângulo agudo, semelhança de triângulos, mais de 80 exercícios. Fonte do bloco B e do Exemplo 5.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · valores notáveis, triângulos especiais, exercícios em estilo brasileiro.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §2.3 (vetores), cap. 5 (plano inclinado), §15.1 (pêndulo). Fonte dos exercícios de física no bloco D.