v1 · padrão canônico

Lição 13 — Funções trigonométricas

Gráficos de sin, cos, tan. Periodicidade, amplitude, fase, frequência. Modelagem de fenômenos periódicos.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 3 (三角関数) · Equiv. Klasse 10 alemã Trigonometrie · Equiv. Additional Math Singapura cap. 9

y(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k

Função senoidal genérica. A é a amplitude, $\omega$ a frequência angular, $\varphi$ a fase inicial, k o deslocamento vertical. Cobre todo fenômeno periódico simples: ondas, oscilações, marés.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e parâmetros

Funções trigonométricas

"The sine and cosine functions are periodic functions with period $2\pi$ . That is, for every input $t$ , $\sin(t + 2\pi) = \sin t$ and $\cos(t + 2\pi) = \cos t$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §6.1

"The fundamental period of the sine and cosine functions is $2\pi$ . The domain of the sine function is all real numbers. The range is $[-1, 1]$ ." — Stitz–Zeager Precalculus, §10.5

Gráficos de sin x e cos x

Gráficos de sin x (azul-teal) e cos x (laranja). Defasados por π/2. Ambos têm amplitude 1 e período 2π.

Função senoidal generalizada

Definição· Parâmetros de y = A sin(ωt + φ) + k

Para $y(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k$ com $A > 0$ , $\omega > 0$ :

Parâmetro	Nome	Efeito
$A$	Amplitude	Distância do eixo médio aos picos; imagem $[k-A,\, k+A]$
$\omega$	Frequência angular (rad/s)	$T = 2\pi/\omega$ ; $f = \omega/(2\pi)$
$\varphi$	Fase inicial (rad)	Deslocamento horizontal: máximo em $\omega t + \varphi = \pi/2$
$k$	Deslocamento vertical	Eixo médio do gráfico

Gráfico de tan x

Funções recíprocas

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Identificar amplitude, período e imagem (aplicação)

Problema: Para $y = 3\sin(2x) + 1$ , identifique amplitude, período, frequência e imagem.

Estratégia: Comparar com $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ e aplicar as definições diretamente.

Resolução:

Parâmetros: $A = 3$ , $\omega = 2$ , $\varphi = 0$ , $k = 1$ .
Amplitude: $|A| = 3$ .
Período: $T = 2\pi/\omega = 2\pi/2 = \pi$ .
Frequência: $f = 1/T = 1/\pi$ ciclos por unidade de $x$ .
Imagem: $[k - A,\, k + A] = [-2,\, 4]$ .

Verificação: em $x = \pi/4$ : $y = 3\sin(\pi/2) + 1 = 3 + 1 = 4$ (máximo). Em $x = 3\pi/4$ : $y = 3\sin(3\pi/2) + 1 = -3 + 1 = -2$ (mínimo). Imagem $[-2, 4]$ confirmada. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §6.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Resolver equação trigonometrica basica (aplicação)

Problema: Resolva $\sin x = 1/2$ em $x \in [0, 2\pi)$ .

Estratégia: Usar o círculo unitário para identificar todos os ângulos no intervalo onde o seno vale $1/2$ .

Resolução:

Solução de referência: $\sin(\pi/6) = 1/2$ (quadrante I).
Simetria: o seno é positivo nos quadrantes I e II. No quadrante II: $\sin(\pi - \pi/6) = \sin(5\pi/6) = 1/2$ .
Conjunto solução: $\{\pi/6,\; 5\pi/6\}$ .

Verificação: $\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - \pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §7.5 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 3· Modelagem de mare senoidal (intermediario)

Problema: A maré em uma baía oscila entre $0{,}5$ m e $2{,}5$ m com período de $12$ h. Em $t = 0$ a maré está no nível médio e subindo. Modele $h(t)$ .

Estratégia: Identificar $k$ , $A$ , $\omega$ e $\varphi$ pela receita de modelagem senoidal.

Resolução:

Valor médio: $k = (0{,}5 + 2{,}5)/2 = 1{,}5$ m.
Amplitude: $A = (2{,}5 - 0{,}5)/2 = 1$ m.
Frequência angular: $\omega = 2\pi/12 = \pi/6$ rad/h.
Fase: em $t = 0$ , $h = 1{,}5$ (nível médio) e crescendo. $\sin 0 = 0$ e $(\sin)' = \cos > 0$ , logo $\varphi = 0$ .
Modelo: $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ , $t$ em horas.

Verificação: em $t = 3$ h, $h = 1{,}5 + \sin(\pi/2) = 2{,}5$ (máximo, preamar). Em $t = 9$ h, $h = 1{,}5 + \sin(3\pi/2) = 0{,}5$ (mínimo, baixamar). ✓

Fonte. Active Calculus §0.7 (Trigonometry) — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Tensao eficaz da rede AC (avancado)

Problema: A tensão da rede elétrica brasileira é $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Determine: (a) amplitude, (b) frequência em Hz, (c) período, (d) tensão eficaz $V_{ef} = V_0/\sqrt{2}$ .

Estratégia: Comparar com $A\sin(\omega t)$ e aplicar a definição de tensão eficaz.

Resolução:

Amplitude: $V_0 = 311$ V.
Frequência angular: $\omega = 120\pi$ rad/s.
Frequência: $f = \omega/(2\pi) = 60$ Hz.
Período: $T = 1/60$ s $\approx 16{,}67$ ms.
Tensão eficaz: $V_{ef} = 311/\sqrt{2} \approx 220$ V.

Verificação: 220 V eficazes é exatamente a especificação nominal da rede brasileira de 60 Hz. ✓

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2 §15.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Equação trigonometrica de 2.o grau (modelagem real)

Problema: Resolva $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ em $x \in [0, 2\pi)$ .

Estratégia: Substituir $u = \sin x$ , resolver a quadrática em $u$ , depois encontrar os $x$ correspondentes.

Resolução:

Substituir $u = \sin x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ .
Fatorar: $(2u - 1)(u + 1) = 0$ , logo $u_1 = 1/2$ e $u_2 = -1$ .
Voltar a $x$ :
- $\sin x = 1/2$ : $x \in \{\pi/6,\; 5\pi/6\}$ .
- $\sin x = -1$ : $x = 3\pi/2$ .
Conjunto solução: $\{\pi/6,\; 5\pi/6,\; 3\pi/2\}$ .

Verificação: $x = \pi/6$ : $2(1/4) + 1/2 - 1 = 0$ . ✓ $x = 3\pi/2$ : $2(1) + (-1) - 1 = 0$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 25Compreensão 12Modelagem 2Desafio 1

Ex. 13.1Compreensão
Por que as funções seno e cosseno são chamadas de funções periódicas?
Selecione a alternativa correta
Repetem-se a cada $2\pi$ : o valor retorna ao inicial após um ciclo completoCrescem sem limite quando o argumento cresceSão definidas apenas no intervalo $[0, 2\pi]$ Possuem período $\pi$ , pois o círculo tem meia-volta
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 1
Ver solução
Seno e cosseno são periódicos porque correspondem a coordenadas de um ponto que percorre o círculo unitário. Após uma volta completa ( $2\pi$ radianos), o ponto volta à posição original e os valores se repetem: $\sin(t+2\pi)=\sin t$ e $\cos(t+2\pi)=\cos t$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Associe $\sin t$ à coordenada $y$ e $\cos t$ à coordenada $x$ de um ponto no círculo unitário.
2. Após uma volta completa de $2\pi$ radianos, o ponto retorna à posição inicial.
3. Portanto os valores repetem-se: período fundamental $T=2\pi$ .
Ex. 13.2Compreensão
Compare o gráfico de $y = \sin x$ com o de $y = \cos x$ . Como você poderia transladar horizontalmente o gráfico de $\sin x$ para obter $\cos x$ ?
Selecione a alternativa correta
O gráfico de $\sin x$ deslocado $\pi/2$ à esquerda coincide com o de $\cos x$ Os dois gráficos são idênticos, sem qualquer deslocamentoO gráfico de $\cos x$ deslocado $\pi/2$ à esquerda coincide com $\sin x$ Os gráficos diferem apenas na amplitude: cos tem amplitude 2
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 2
Ver solução
Ambas as funções têm amplitude 1, período $2\pi$ e a mesma imagem $[-1,1]$ . A diferença é uma defasagem: $\cos x = \sin(x+\pi/2)$ . Logo, transladar o gráfico de $\sin x$ por $\pi/2$ à esquerda produz o gráfico de $\cos x$ .
Ex. 13.3Aplicação
Para $f(x) = 2\sin x$ , identifique amplitude, período e eixo médio. (Resp: amplitude 2, $T=2\pi$ , eixo médio $y=0$ )
Selecione a alternativa correta
Amplitude 2, período $2\pi$ , eixo médio $y=0$ Amplitude 1, período $2\pi$ , eixo médio $y=2$ Amplitude 2, período $\pi$ , eixo médio $y=0$ Amplitude 4, período $2\pi$ , eixo médio $y=0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 6
Ver solução
Para $f(x)=2\sin x$ : amplitude $|A|=2$ , $\omega=1$ implica período $T=2\pi$ , sem deslocamento vertical logo eixo médio $y=0$ . Imagem: $[-2,\,2]$ .
Ex. 13.4Aplicação
Para $f(x) = \dfrac{2}{3}\cos x$ , identifique amplitude, período e imagem. (Resp: amplitude $2/3$ , $T=2\pi$ )
Selecione a alternativa correta
Amplitude $2/3$ , período $2\pi$ , imagem $[-2/3,\,2/3]$ Amplitude $2$ , período $2\pi/3$ , imagem $[-2,\,2]$ Amplitude $1$ , período $2\pi$ , imagem $[-1,\,1]$ Amplitude $2/3$ , período $\pi$ , imagem $[-2/3,\,2/3]$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 7
Ver solução
Para $f(x)=\tfrac{2}{3}\cos x$ : amplitude $|A|=2/3$ , $\omega=1$ logo $T=2\pi$ , sem deslocamento vertical. Imagem: $[-2/3,\,2/3]$ .
Ex. 13.5Aplicação
Para $f(x) = 4\sin x$ , identifique amplitude, período e imagem.
Selecione a alternativa correta
Amplitude 4, período $2\pi$ , imagem $[-4,\,4]$ Amplitude 4, período $\pi$ , imagem $[-4,\,4]$ Amplitude 1, período $2\pi$ , imagem $[-1,\,1]$ Amplitude 4, período $4\pi$ , imagem $[-4,\,4]$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 9
Ver solução
Para $f(x)=4\sin x$ : o coeficiente 4 dilata verticalmente, logo amplitude $A=4$ . A frequência angular $\omega=1$ mantém o período $T=2\pi$ . Imagem: $[-4,\,4]$ .
Ex. 13.6Aplicação
Para $f(x) = 2\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)$ , identifique amplitude e imagem. Qual é o período correto?
Selecione a alternativa correta
Amplitude 2, período $\pi$ , imagem $[-2,\,2]$ Amplitude 2, período $2\pi$ , imagem $[-2,\,2]$ Amplitude 1, período $\pi$ , imagem $[-1,\,1]$ Amplitude 2, período $\pi/2$ , imagem $[-2,\,2]$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 12
Ver solução
Para $f(x)=2\sin(\tfrac{1}{2}x)$ : amplitude $A=2$ . A frequência angular $\omega=1/2$ implica $T=2\pi/(1/2)=4\pi$ . Imagem: $[-2,\,2]$ . (Atenção: o período é $4\pi$ , não $\pi$ .)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique $A=2$ e $\omega=1/2$ .
2. Calcule $T=2\pi/(1/2)=4\pi$ .
3. Sem deslocamento vertical: imagem $[-2,\,2]$ .
Ex. 13.7AplicaçãoGabarito
Para $f(x) = 4\cos(\pi x)$ , identifique amplitude, período e imagem. (Resp: $A=4$ , $T=2$ )
Selecione a alternativa correta
Amplitude 4, período $1$ , imagem $[-4,\,4]$ Amplitude 4, período $2\pi$ , imagem $[-4,\,4]$ Amplitude 4, período $2$ , imagem $[-4,\,4]$ Amplitude 1, período $1/\pi$ , imagem $[-1,\,1]$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 13
Ver solução
Para $f(x)=4\cos(\pi x)$ : amplitude $A=4$ , $\omega=\pi$ , logo $T=2\pi/\pi=2$ . Imagem: $[-4,\,4]$ . (Período $2$ , não 1.)
Ex. 13.8Compreensão
Para $y = 3\sin(8(x+4)) + 5$ , identifique amplitude, período e eixo médio. (Resp: $A=3$ , $T=\pi/4$ , eixo médio $y=5$ )
Selecione a alternativa correta
$A=3$ , período $\pi/4$ , fase $\pi/2$ à direita, eixo médio $y=5$ $A=3$ , período $\pi/4$ , fase $1/2$ à direita, eixo médio $y=5$ $A=8$ , período $\pi/4$ , fase $\pi/2$ à direita, eixo médio $y=5$ $A=3$ , período $2\pi$ , fase $\pi/2$ à direita, eixo médio $y=5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 15
Ver solução
Para $y=3\sin(8(x+4))+5$ : $A=3$ , $\omega=8$ , $T=2\pi/8=\pi/4$ . O fator $(x+4)=x-(-4)$ desloca $4$ à esquerda em $x$ , mas expresso em relação a $\sin(8u)$ a fase é $u=x+4$ , ou seja $x=-4$ (4 à esquerda). Eixo médio $y=5$ .
Ex. 13.9Aplicação
Para $y = 2\sin(3x - 21) + 4$ , identifique amplitude, período, fase e eixo médio. (Resp: $A=2$ , $T=2\pi/3$ , fase $h=7$ à direita)
Selecione a alternativa correta
$A=2$ , período $2\pi/3$ , fase $7$ à direita, eixo médio $y=4$ $A=2$ , período $2\pi$ , fase $7$ à direita, eixo médio $y=4$ $A=2$ , período $2\pi/3$ , fase $3$ à direita, eixo médio $y=4$ $A=4$ , período $2\pi/3$ , fase $7$ à direita, eixo médio $y=2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 16
Ver solução
Para $y=2\sin(3x-21)+4$ : fatore $3x-21=3(x-7)$ . Então $A=2$ , $\omega=3$ , $T=2\pi/3$ . Fase $h=7$ à direita. Eixo médio $y=4$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatore: $3x-21=3(x-7)$ , logo fase $h=7$ (deslocamento à direita).
2. $A=2$ , $\omega=3$ , $T=2\pi/3$ .
3. Eixo médio: $y=4$ .
Ex. 13.10AplicaçãoGabarito
Para $y = 5\sin(5x + 20) - 2$ , identifique amplitude, período, fase e eixo médio. (Resp: $A=5$ , $T=2\pi/5$ , fase 4 à esquerda)
Selecione a alternativa correta
$A=5$ , período $2\pi/5$ , fase $4$ à esquerda, eixo médio $y=-2$ $A=5$ , período $2\pi$ , fase $4$ à esquerda, eixo médio $y=-2$ $A=5$ , período $2\pi/5$ , fase $20$ à direita, eixo médio $y=-2$ $A=-2$ , período $2\pi/5$ , fase $4$ à esquerda, eixo médio $y=5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 17
Ver solução
Para $y=5\sin(5x+20)-2$ : fatore $5x+20=5(x+4)$ . Então $A=5$ , $\omega=5$ , $T=2\pi/5$ . Fase $h=-4$ (4 à esquerda). Eixo médio $y=-2$ .
Ex. 13.11Aplicação
Para $f(t) = 2\sin\!\left(t - \dfrac{5\pi}{6}\right)$ , identifique amplitude, período, fase e eixo médio.
Selecione a alternativa correta
$A=2$ , período $2\pi$ , fase $5\pi/6$ à direita, eixo médio $y=0$ $A=2$ , período $2\pi$ , fase $5\pi/6$ à esquerda, eixo médio $y=0$ $A=2$ , período $\pi$ , fase $5\pi/6$ à direita, eixo médio $y=0$ $A=1$ , período $2\pi$ , fase $5\pi/6$ à direita, eixo médio $y=0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 18
Ver solução
Para $f(t)=2\sin(t-5\pi/6)$ : $A=2$ , $\omega=1$ , $T=2\pi$ . O termo $t-5\pi/6$ indica fase $h=5\pi/6$ à direita. Eixo médio $y=0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique $A=2$ e $\omega=1$ .
2. O argumento $t-5\pi/6$ dá fase $h=5\pi/6$ à direita.
3. Período $T=2\pi$ , eixo médio $y=0$ .
Ex. 13.12Aplicação
Para $f(t) = -\cos\!\left(t + \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ , identifique amplitude, período, fase e eixo médio.
Selecione a alternativa correta
$A=1$ , período $2\pi$ , fase $\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=1$ $A=1$ , período $2\pi$ , fase $\pi/3$ à direita, eixo médio $y=1$ $A=1$ , período $\pi$ , fase $\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=1$ $A=-1$ , período $2\pi$ , fase $\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 19
Ver solução
Para $f(t)=-\cos(t+\pi/3)+1$ : amplitude $|A|=1$ (o sinal negativo indica reflexão, mas não altera a amplitude), $\omega=1$ , $T=2\pi$ . Fase $h=-\pi/3$ (à esquerda). Eixo médio $y=1$ .
Ex. 13.13Aplicação
Para $f(t) = 4\cos\!\left(2\!\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right) - 3$ , identifique amplitude, período, fase e eixo médio. (Resp: $A=4$ , $T=\pi$ , fase $\pi/4$ à esquerda)
Selecione a alternativa correta
$A=4$ , período $\pi$ , fase $\pi/4$ à esquerda, eixo médio $y=-3$ $A=4$ , período $2\pi$ , fase $\pi/4$ à esquerda, eixo médio $y=-3$ $A=4$ , período $\pi$ , fase $\pi/4$ à direita, eixo médio $y=-3$ $A=3$ , período $\pi$ , fase $\pi/4$ à esquerda, eixo médio $y=-4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 20
Ver solução
Para $f(t)=4\cos(2(t+\pi/4))-3$ : $A=4$ , $\omega=2$ , $T=2\pi/2=\pi$ . O argumento $t+\pi/4$ desloca $\pi/4$ à esquerda. Eixo médio $y=-3$ .
Ex. 13.14Aplicação
Para $f(t) = -\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t + \tfrac{5\pi}{3}\right)$ , identifique amplitude, período e eixo médio.
Selecione a alternativa correta
$A=1$ , período $4\pi$ , fase $10\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=0$ $A=1$ , período $2\pi$ , fase $5\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=0$ $A=-1$ , período $4\pi$ , fase $5\pi/3$ à esquerda, eixo médio $y=0$ $A=1$ , período $4\pi$ , fase $5\pi/3$ à direita, eixo médio $y=0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 21
Ver solução
Para $f(t)=-\sin(\tfrac{1}{2}t+\tfrac{5\pi}{3})$ : amplitude $|A|=1$ , $\omega=1/2$ , $T=2\pi/(1/2)=4\pi$ . Fatore: $\tfrac{1}{2}(t+\tfrac{10\pi}{3})$ , fase $10\pi/3$ à esquerda. Eixo médio $y=0$ .
Ex. 13.15Compreensão
Em $[0, 2\pi)$ , resolva $f(x) = \sin x = 0$ . Quais são os zeros da função?
Selecione a alternativa correta
Em $[0,2\pi)$ : $x=0$ e $x=\pi$ Em $[0,2\pi)$ : $x=\pi/2$ e $x=3\pi/2$ Não existem zeros de $\sin x$ em $[0,2\pi)$ Em $[0,2\pi)$ : $x=\pi/4$ e $x=5\pi/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 31
Ver solução
Os zeros de $f(x)=\sin x$ em $[0,2\pi)$ ocorrem quando $\sin x=0$ : nos ângulos $x=0$ e $x=\pi$ . O valor $2\pi$ está excluído do intervalo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Resolva $\sin x=0$ em $[0,2\pi)$ .
2. No círculo unitário, o seno é zero quando o ponto está no eixo $x$ : em $x=0$ e $x=\pi$ .
3. $x=2\pi$ não pertence ao intervalo aberto à direita.
Ex. 13.16Aplicação
Em $[0, 2\pi)$ , resolva $\sin x = \dfrac{1}{2}$ . (Resp: $x = \pi/6$ e $x = 5\pi/6$ )
Selecione a alternativa correta
Em $[0,2\pi)$ : $x=\pi/6$ e $x=5\pi/6$ Em $[0,2\pi)$ : $x=\pi/3$ e $x=2\pi/3$ Em $[0,2\pi)$ : $x=\pi/6$ somenteEm $[0,2\pi)$ : $x=\pi/2$ e $x=3\pi/2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 32
Ver solução
Resolva $\sin x=1/2$ . O ângulo de referência é $\pi/6$ . O seno é positivo nos quadrantes I e II, logo $x=\pi/6$ e $x=\pi-\pi/6=5\pi/6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Ângulo de referência: $\sin(\pi/6)=1/2$ .
2. Seno positivo nos quadrantes I e II.
3. Quadrante I: $x=\pi/6$ . Quadrante II: $x=\pi-\pi/6=5\pi/6$ .
Ex. 13.17CompreensãoGabarito
Avalie $f(\pi/2)$ para $f(x) = \sin x$ .
Selecione a alternativa correta
$\sin(\pi/2)=1$ $\sin(\pi/2)=0$ $\sin(\pi/2)=-1$ $\sin(\pi/2)=\sqrt{2}/2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 33
Ver solução
Pelo círculo unitário, o ângulo $\pi/2$ (90°) corresponde ao ponto $(0,1)$ . Logo a coordenada $y$ é 1, ou seja $\sin(\pi/2)=1$ .
Ex. 13.18Modelagem
Uma roda-gigante tem 25 m de diâmetro e os passageiros embarcam numa plataforma a 1 m do chão. A roda completa 1 volta em 10 minutos. A função $h(t)$ dá a altura (em metros) de uma pessoa acima do solo $t$ minutos após o início. Identifique amplitude, eixo médio e período de $h(t)$ .
Selecione a alternativa correta
Amplitude 12,5 m, eixo médio $y=13$ m, período 10 minAmplitude 25 m, eixo médio $y=1$ m, período 10 minAmplitude 12,5 m, eixo médio $y=1$ m, período 10 minAmplitude 13 m, eixo médio $y=12,5$ m, período 10 min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.1 · ex. 48
Ver solução
A roda-gigante tem diâmetro 25 m; assim o raio é 12,5 m (amplitude). A plataforma de embarque está a 1 m do chão; o centro da roda está a $1+12{,}5=13{,}5$ m. Eixo médio $y=13{,}5$ m (arredondado em alguns enunciados a 13 m). Período 10 min.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Amplitude = raio = diâmetro/2 = $25/2=12{,}5$ m.
2. Centro da roda = plataforma + raio = $1+12{,}5=13{,}5$ m → eixo médio.
3. Período = 1 revolução completa = 10 min.
Ex. 13.19Compreensão
Como o gráfico de $\sin x$ pode ser usado para esboçar o gráfico de $y = \csc x$ ?
Selecione a alternativa correta
O gráfico de $y=\csc x$ passa pelos valores máximos e mínimos de $\sin x$ e tem assíntotas onde $\sin x=0$ O gráfico de $y=\csc x$ é idêntico ao de $\sin x$ , mas refletidoO gráfico de $y=\csc x$ tem amplitude 1 e período $\pi$ O gráfico de $y=\csc x$ coincide com o de $\cos x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 1
Ver solução
Como $\csc x=1/\sin x$ , o gráfico de $\csc x$ tem valor $\pm 1$ onde $|\sin x|=1$ (nos máximos e mínimos de seno), e tende ao infinito onde $\sin x\to 0$ (assíntotas em $x=k\pi$ ). O período também é $2\pi$ .
Ex. 13.20CompreensãoGabarito
Explique por que o período de $\tan x$ é igual a $\pi$ (e não $2\pi$ ).
Selecione a alternativa correta
O período de $\tan x$ é $\pi$ porque $\sin(x+\pi)/\cos(x+\pi) = \sin x/\cos x$ O período é $2\pi$ porque os numerador e denominador têm período $2\pi$ O período é $\pi/2$ porque as assíntotas estão separadas por $\pi/2$ O período é $\pi$ por definição, sem justificativa algébrica
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 3
Ver solução
Usando que $\sin(x+\pi)=-\sin x$ e $\cos(x+\pi)=-\cos x$ : $\tan(x+\pi)=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$ . Portanto o período mínimo é $\pi$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $\sin(x+\pi)=-\sin x$ e $\cos(x+\pi)=-\cos x$ .
2. Logo $\tan(x+\pi)=(-\sin x)/(-\cos x)=\tan x$ .
3. Confirme que nenhum valor menor que $\pi$ satisfaz a mesma identidade.
Ex. 13.21Compreensão
Por que não existem interseções com o eixo $x$ no gráfico de $y = \csc x$ ?
Selecione a alternativa correta
$\csc x$ não tem interseções com o eixo $x$ porque $1/\sin x = 0$ não tem solução $\csc x$ não tem interseções porque é uma função par $\csc x$ tem interseções em $x=k\pi$ , mas essas são assíntotas $\csc x$ tem interseções em $x=\pi/2+k\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 4
Ver solução
Para que $\csc x=0$ , precisaríamos $1/\sin x=0$ , o que exige $\sin x\to\infty$ — impossível pois $|\sin x|\leq 1$ . Portanto $\csc x$ nunca é zero e não tem interseções com o eixo $x$ .
Ex. 13.22AplicaçãoGabarito
Se $\tan x = -1{,}5$ , determine $\tan(-x)$ .
Selecione a alternativa correta
Se $\tan x=-1{,}5$ , então $\tan(-x)=1{,}5$ Se $\tan x=-1{,}5$ , então $\tan(-x)=-1{,}5$ Se $\tan x=-1{,}5$ , então $\tan(-x)=0$ Não é possível determinar $\tan(-x)$ a partir de $\tan x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 13
Ver solução
A tangente é uma função ímpar: $\tan(-x)=-\tan x$ . Logo $\tan(-x)=-(-1{,}5)=1{,}5$ .
Ex. 13.23Aplicação
Se $\sec x = 2$ , determine $\sec(-x)$ .
Selecione a alternativa correta
Se $\sec x=2$ , então $\sec(-x)=2$ Se $\sec x=2$ , então $\sec(-x)=-2$ Se $\sec x=2$ , então $\sec(-x)=1/2$ Não é possível determinar $\sec(-x)$ sem conhecer $x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 14
Ver solução
A secante é uma função par: $\sec(-x)=1/\cos(-x)=1/\cos x=\sec x$ . Logo $\sec(-x)=2$ .
Ex. 13.24AplicaçãoGabarito
Se $\csc x = -5$ , determine $\csc(-x)$ .
Selecione a alternativa correta
Se $\csc x=-5$ , então $\csc(-x)=5$ Se $\csc x=-5$ , então $\csc(-x)=-5$ Se $\csc x=-5$ , então $\csc(-x)=1/5$ Se $\csc x=-5$ , então $\csc(-x)=0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 15
Ver solução
A cossecante é uma função ímpar (pois $\sin$ é ímpar): $\csc(-x)=1/\sin(-x)=1/(-\sin x)=-\csc x$ . Logo $\csc(-x)=-(-5)=5$ .
Ex. 13.25CompreensãoGabarito
Simplifique a expressão $\cot(-x)\cos(-x) + \sin(-x)$ usando as propriedades de paridade das funções trigonométricas. A qual função simples ela é igual?
Selecione a alternativa correta
A expressão simplifica para $\cos x$ , que assume todos os valores de $[-1,\,1]$ A expressão simplifica para $1$ , uma constanteA expressão simplifica para $\sin x$ A expressão é indefinida para todo $x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 17
Ver solução
Simplifique: $\cot(-x)\cos(-x)+\sin(-x)=(-\cot x)(\cos x)+(-\sin x)$ . Como $\cot x=\cos x/\sin x$ : $=-\cos^2 x/\sin x-\sin x=-\cos^2 x/\sin x-\sin^2 x/\sin x=-(\cos^2 x+\sin^2 x)/\sin x=-1/\sin x=-\csc x$ . A expressão simplifica para $-\csc x$ , não para $\cos x$ .
Ex. 13.26Aplicação
Simplifique $\cos(-x) + \tan(-x)\sin(-x)$ .
Selecione a alternativa correta
$\cos(-x)+\tan(-x)\sin(-x)=\cos x$ $\cos(-x)+\tan(-x)\sin(-x)=\sin x$ $\cos(-x)+\tan(-x)\sin(-x)=-\cos x$ $\cos(-x)+\tan(-x)\sin(-x)=0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 18
Ver solução
Usando paridade: $\cos(-x)=\cos x$ , $\tan(-x)=-\tan x$ , $\sin(-x)=-\sin x$ . Substituindo: $\cos x+(-\tan x)(-\sin x)=\cos x+\tan x\sin x=\cos x+(\sin x/\cos x)\sin x=\cos x+\sin^2x/\cos x=(\cos^2 x+\sin^2 x)/\cos x=1/\cos x=\sec x$ . Atenção: a resposta correta é $\sec x$ .
Ex. 13.27Aplicação
Para $f(x) = 4\tan(x)$ , identifique o período e as assíntotas verticais.
Selecione a alternativa correta
Período $\pi/2$ , assíntotas em $x=\pi/8+k\pi/4$ Período $\pi$ , assíntotas em $x=\pi/4+k\pi/2$ Período $\pi/4$ , assíntotas em $x=\pi/8+k\pi/4$ Período $2\pi$ , assíntotas em $x=\pi/2+k\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 24
Ver solução
Para $f(x)=4\tan(x)$ : o coeficiente 4 altera apenas a amplitude; período $\pi$ e assíntotas em $x=\pi/2+k\pi$ permanecem iguais à $\tan x$ .
Ex. 13.28Aplicação
Para $f(x) = \tan\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ , identifique o período e as assíntotas verticais.
Selecione a alternativa correta
Período $\pi$ , assíntotas em $x=-\pi/4+k\pi$ Período $\pi$ , assíntotas em $x=\pi/4+k\pi$ Período $2\pi$ , assíntotas em $x=\pi/4+k\pi$ Período $\pi/2$ , assíntotas em $x=\pi/4+k\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 25
Ver solução
Para $f(x)=\tan(x+\pi/4)$ : $\omega=1$ , período $\pi$ . Assíntotas onde $\cos(x+\pi/4)=0$ , i.e. $x+\pi/4=\pi/2+k\pi$ , logo $x=\pi/4+k\pi$ .
Ex. 13.29Aplicação
Para $f(x) = -3\cot(2x)$ , identifique o período e as assíntotas verticais.
Selecione a alternativa correta
Período $\pi/3$ , assíntotas em $x=k\pi/3$ Período $\pi/3$ , assíntotas em $x=\pi/6+k\pi/3$ Período $\pi$ , assíntotas em $x=k\pi$ Período $3\pi$ , assíntotas em $x=3k\pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 30
Ver solução
Para $f(x)=-3\cot(2x)$ : $\omega=2$ . A cotangente tem período $\pi$ , logo $f$ tem período $\pi/2$ . Assíntotas de $\cot(2x)$ onde $2x=k\pi$ , ou seja $x=k\pi/2$ .
Ex. 13.30Compreensão
Simplifique $f(x) = 1 + \sec^2(x) - \tan^2(x)$ . Qual função simples ela representa?
Selecione a alternativa correta
$1+\sec^2(x)-\tan^2(x)=2$ (função constante) $1+\sec^2(x)-\tan^2(x)=\sec^2(x)$ $1+\sec^2(x)-\tan^2(x)=0$ $1+\sec^2(x)-\tan^2(x)=\cos^2(x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.2 · ex. 50
Ver solução
Pela identidade fundamental $\sec^2 x-\tan^2 x=1$ (que decorre de $1+\tan^2 x=\sec^2 x$ ). Logo $1+\sec^2 x-\tan^2 x=1+1=2$ . A função é a constante 2.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identidade: $1+\tan^2 x=\sec^2 x$ , logo $\sec^2 x-\tan^2 x=1$ .
2. Portanto $1+\sec^2 x-\tan^2 x=1+1=2$ .
Ex. 13.31Compreensão
Por que $f(x) = \arcsin x$ e $g(x) = \arccos x$ têm imagens (contradomínios) diferentes?
Selecione a alternativa correta
$\arcsin$ tem imagem $[-\pi/2,\,\pi/2]$ ; $\arccos$ tem imagem $[0,\,\pi]$ Ambas têm imagem $[-\pi/2,\,\pi/2]$ $\arcsin$ tem imagem $[0,\,\pi]$ ; $\arccos$ tem imagem $[-\pi/2,\,\pi/2]$ Ambas têm imagem $[-\pi,\,\pi]$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 1
Ver solução
Para que $\sin$ seja injetiva, restringe-se ao intervalo $[-\pi/2,\,\pi/2]$ — daí a imagem de $\arcsin$ . Para $\cos$ , a restrição canônica é $[0,\,\pi]$ — daí a imagem de $\arccos$ . As duas funções têm ranges diferentes por razões de bijetividade em cada restrição de domínio.
Ex. 13.32CompreensãoGabarito
Como $y = \cos x$ e $y = \arccos x$ são funções inversas, por que $\arccos(\cos(-\pi/6))$ não é igual a $-\pi/6$ ? Qual é o valor correto?
Selecione a alternativa correta
$\arccos(\cos(-\pi/6))=\pi/6$ porque a imagem de $\arccos$ é $[0,\pi]$ e $-\pi/6\notin[0,\pi]$ $\arccos(\cos(-\pi/6))=-\pi/6$ por definição de função inversa $\arccos(\cos(-\pi/6))=\pi/3$ $\arccos(\cos(-\pi/6))=-\pi/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 2
Ver solução
Funções inversas satisfazem $\arccos(\cos x)=x$ SOMENTE quando $x\in[0,\pi]$ . Como $-\pi/6\notin[0,\pi]$ , devemos calcular: $\cos(-\pi/6)=\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ . Logo $\arccos(\sqrt{3}/2)=\pi/6$ .
Ex. 13.33Aplicação
Calcule $\sin^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ . (Resp: $\pi/4$ )
Selecione a alternativa correta
$\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi/4$ $\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi/3$ $\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi/6$ $\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)=3\pi/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 8
Ver solução
$\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)$ é o ângulo em $[-\pi/2,\pi/2]$ cujo seno é $\sqrt{2}/2$ . Sabe-se que $\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ . Logo $\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi/4$ .
Ex. 13.34AplicaçãoGabarito
Calcule $\sin^{-1}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ . (Resp: $-\pi/6$ )
Selecione a alternativa correta
$\sin^{-1}(-1/2)=-\pi/6$ $\sin^{-1}(-1/2)=-\pi/3$ $\sin^{-1}(-1/2)=7\pi/6$ $\sin^{-1}(-1/2)=5\pi/6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 9
Ver solução
$\sin^{-1}(-1/2)$ é o ângulo em $[-\pi/2,\pi/2]$ cujo seno é $-1/2$ . Como $\sin(-\pi/6)=-1/2$ e $-\pi/6\in[-\pi/2,\pi/2]$ , o resultado é $-\pi/6$ .
Ex. 13.35Aplicação
Calcule $\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$ . (Resp: $\pi/3$ )
Selecione a alternativa correta
$\cos^{-1}(1/2)=\pi/3$ $\cos^{-1}(1/2)=\pi/6$ $\cos^{-1}(1/2)=2\pi/3$ $\cos^{-1}(1/2)=-\pi/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 10
Ver solução
$\cos^{-1}(1/2)$ é o ângulo em $[0,\pi]$ cujo cosseno é $1/2$ . Como $\cos(\pi/3)=1/2$ , o resultado é $\pi/3$ .
Ex. 13.36Aplicação
Calcule $\tan^{-1}(1)$ . (Resp: $\pi/4$ )
Selecione a alternativa correta
$\tan^{-1}(1)=\pi/4$ $\tan^{-1}(1)=\pi/3$ $\tan^{-1}(1)=\pi/6$ $\tan^{-1}(1)=3\pi/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 12
Ver solução
$\tan^{-1}(1)$ é o ângulo em $(-\pi/2,\pi/2)$ cuja tangente é 1. Como $\tan(\pi/4)=1$ , o resultado é $\pi/4$ .
Ex. 13.37Aplicação
Calcule $\cos\!\left(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\right)$ . (Resp: $3/5$ )
Selecione a alternativa correta
$\cos(\sin^{-1}(4/5))=3/5$ $\cos(\sin^{-1}(4/5))=4/5$ $\cos(\sin^{-1}(4/5))=5/3$ $\cos(\sin^{-1}(4/5))=5/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 32
Ver solução
Seja $\theta=\sin^{-1}(4/5)$ . Então $\sin\theta=4/5$ . Use a identidade $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-16/25=9/25$ . Como $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ , temos $\cos\theta\geq 0$ , logo $\cos\theta=3/5$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $\theta=\sin^{-1}(4/5)$ , então $\sin\theta=4/5$ e $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ .
2. Calcule $\cos^2\theta=1-(4/5)^2=1-16/25=9/25$ .
3. Como $\cos\theta\geq 0$ nesse intervalo: $\cos\theta=3/5$ .
Ex. 13.38AplicaçãoGabarito
Calcule $\sin\!\left(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)$ . (Resp: $4/5$ )
Selecione a alternativa correta
$\sin(\cos^{-1}(3/5))=4/5$ $\sin(\cos^{-1}(3/5))=3/5$ $\sin(\cos^{-1}(3/5))=5/4$ $\sin(\cos^{-1}(3/5))=5/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 33
Ver solução
Seja $\theta=\cos^{-1}(3/5)$ . Então $\cos\theta=3/5$ com $\theta\in[0,\pi]$ . Pela identidade: $\sin^2\theta=1-(3/5)^2=1-9/25=16/25$ . Em $[0,\pi]$ o seno é não-negativo, logo $\sin\theta=4/5$ .
Ex. 13.39Desafio
Calcule $\sin\!\left(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\right)$ . (Resp: $4/5$ )
Selecione a alternativa correta
$\sin(\tan^{-1}(4/3))=4/5$ $\sin(\tan^{-1}(4/3))=3/5$ $\sin(\tan^{-1}(4/3))=4/3$ $\sin(\tan^{-1}(4/3))=3/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 34
Ver solução
Seja $\theta=\tan^{-1}(4/3)$ . Então $\tan\theta=4/3$ e $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ . Construa o triângulo: cateto oposto 4, cateto adjacente 3, hipotenusa $\sqrt{16+9}=5$ . Logo $\sin\theta=4/5$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $\tan\theta=4/3$ , com $\theta\in(0,\pi/2)$ .
2. Triângulo retângulo: cateto oposto 4, adjacente 3.
3. Hipotenusa: $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ .
4. $\sin\theta=4/5$ .
Ex. 13.40Modelagem
Sem calculadora, estime o valor de $\arctan(10\,000)$ . Justifique por que sua resposta é razoável.
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $\pi/2$ rad, pois $\arctan(10000)$ se aproxima de $\pi/2$ quando o argumento cresce sem limiteExatamente $\pi/2$ rad, pois a tangente de $\pi/2$ é 10000Exatamente $\pi$ radZero, pois 10000 está fora do domínio do arcotangente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.3 · ex. 56
Ver solução
A função $\arctan$ tem imagem $(-\pi/2,\,\pi/2)$ e nunca atinge $\pi/2$ . Contudo, $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\pi/2$ . Como 10000 é muito grande, $\arctan(10000)\approx\pi/2\approx 1{,}57$ rad, mas é estritamente menor que $\pi/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A imagem de $\arctan$ é o intervalo aberto $(-\pi/2,\pi/2)$ .
2. Para $x$ grande e positivo, $\arctan x\to\pi/2$ .
3. Logo $\arctan(10000)\approx\pi/2$ , mas nunca igual a $\pi/2$ .

Fontes

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §6.1-6.2 (gráficos de sin, cos, tan, sec, csc, cot), §6.4 (deslocamentos), §7.5 (equações). Fonte primária dos blocos A, B, C e D.
Precalculus (Stitz–Zeager) — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.5 (gráficos e transformações), §10.7 (equações trigonométricas). Fonte do bloco B (transformações) e desafios.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7-0.8: precálculo trigonométrico aplicado e modelagem de marés. Fonte do Exemplo 3.