v0 · legado, reescrita em curso

Lição 14 — Equações e inequações trigonométricas

Resolução de equações e inequações envolvendo seno, cosseno e tangente. Soluções gerais e em intervalos finitos.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 三角関数) · Trigonometry — US precalc

\sin x = a \iff x = \arcsin a + 2k\pi \ \text{ou}\ x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

Estrutura geral das soluções de equações trigonométricas básicas. Periodicidade implica que cada equação tem infinitas soluções; restringir a um intervalo (por exemplo $[0, 2\pi)$ ) seleciona um número finito.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Estrutura das soluções

Definição· Soluções gerais das equações trigonométricas básicas

Seja $a \in [-1, 1]$ .

Seno: $\sin x = a \iff x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ onde $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ é a inversa principal (ramo de saída em $\text{Q1}$ ou $\text{Q4}$ ).
Cosseno: $\cos x = a \iff x = \pm\arccos a + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ onde $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$ .
Tangente: $\tan x = a \iff x = \arctan a + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ com $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$ . O período da tangente é $\pi$ , não $2\pi$ .

"We close this section with one final example of a trigonometric inequality. To solve such an inequality, we begin by replacing the inequality with the corresponding equation, then check the resulting intervals." — Stitz–Zeager, Precalculus §10.7

"Solving a trigonometric equation requires the same techniques as solving any equation: isolate the variable, use factoring, use the quadratic formula, use identities, and set each factor equal to zero." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §9.5

Simetrias no círculo trigonométrico

Geometria das soluções: $\sin\alpha = \sin(\pi - \alpha)$ (simetria vertical); $\cos\alpha = \cos(-\alpha)$ (simetria horizontal).

Estratégia de redução

Definição· Tipos de equações reduzíveis

Tipo	Exemplo	Estratégia
Polinomial em $\sin$	$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$	$u = \sin x$ , Bhaskara
Polinomial em $\cos$	$\cos^2 x = 1/4$	$u = \cos x$ , raiz quadrada
$\sin x \pm \cos x = c$	$\sin x + \cos x = 1$	$R\sin(x + \varphi)$ com $R = \sqrt{a^2+b^2}$
Duplo ângulo	$\sin 2x = \sin x$	$2\sin x\cos x = \sin x$ ; fatorar
Soma-produto	$\sin x + \sin 3x = 0$	$2\sin 2x\cos x = 0$

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (equação básica em intervalo) ao modelagem real (encontro de fases em uma onda de maré). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exemplo— 1· Equação básica de seno em intervalo (aplicação)

Problema: Resolva $\sin x = \tfrac{1}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: A equação é de tipo básico. Use o círculo trigonométrico para identificar quais ângulos do primeiro giro têm seno igual a $1/2$ — exatamente dois, simétricos em relação ao eixo vertical.

Resolução:

Identificar o ângulo de referência. O valor $1/2$ é tabelado: $\sin(\pi/6) = 1/2$ . Esse é o ângulo de referência no primeiro quadrante.
Usar a simetria do seno. No círculo, o seno tem o mesmo valor em $\pi/6$ e em $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$ (segundo quadrante). Nos quadrantes 3 e 4 o seno é negativo.
Listar as soluções em $[0, 2\pi)$ . $x = \frac{\pi}{6} \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6}$

Verificação: $\sin(\pi/6) = 0{,}5$ e $\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - \pi/6) = \sin(\pi/6) = 0{,}5$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Solução geral em ℝ (aplicação)

Problema: Encontre todas as soluções reais de $\cos x = -\tfrac{\sqrt 2}{2}$ .

Estratégia: Identificar a solução básica no intervalo $[0, \pi]$ via $\arccos$ , depois aplicar a simetria $\cos(-x) = \cos x$ e a periodicidade $2\pi$ para gerar todas as soluções.

Resolução:

Solução principal. Como $\arccos(-\sqrt 2/2) = 3\pi/4$ , esse é o ângulo no segundo quadrante.
Simetria. Pelo princípio $\cos(-x) = \cos x$ , o ângulo $-3\pi/4$ (ou equivalente $5\pi/4$ ) também serve.
Generalizar. Somando $2k\pi$ (período do cosseno): $x = \tfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\tfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Verificação: Para $k = 0$ : $\cos(3\pi/4) = -\sqrt 2/2$ e $\cos(-3\pi/4) = \cos(3\pi/4) = -\sqrt 2/2$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Equação quadrática em sin x (intermediário)

Problema: Resolva $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: Substitua $u = \sin x$ e resolva a quadrática $2u^2 - u - 1 = 0$ . Depois volte aos ângulos correspondentes a cada raiz.

Resolução:

Substituição. Seja $u = \sin x$ . A equação vira $2u^2 - u - 1 = 0$ .
Bhaskara. $u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4}$ . Logo $u = 1$ ou $u = -1/2$ .
Voltar para $x$ .
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ .
- $\sin x = -1/2 \Rightarrow x = 7\pi/6$ ou $x = 11\pi/6$ (terceiro e quarto quadrantes).
Conjunto solução em $[0, 2\pi)$ : $\{\pi/2,\ 7\pi/6,\ 11\pi/6\}$ .

Verificação: $2\sin^2(\pi/2) - \sin(\pi/2) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ . $2\sin^2(7\pi/6) - \sin(7\pi/6) - 1 = 2(1/4) - (-1/2) - 1 = 0$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Inequação trigonométrica (avançado)

Problema: Resolva $\sin x > \tfrac{\sqrt 3}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: Converta a inequação em equação para encontrar os pontos-fronteira; depois inspecione, no círculo trigonométrico, qual arco tem seno acima de $\sqrt 3/2$ .

Resolução:

Equação associada. $\sin x = \sqrt 3/2$ tem soluções $x = \pi/3$ e $x = 2\pi/3$ em $[0, 2\pi)$ .
Análise do gráfico. O gráfico de $\sin x$ em $[0, 2\pi)$ é uma curva que atinge o máximo em $\pi/2$ . Acima de $\sqrt 3/2$ , ela está apenas entre $\pi/3$ e $2\pi/3$ .
Conjunto solução. Como a desigualdade é estrita, os extremos não entram: $x \in \left(\tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3}\right).$

Verificação: Em $x = \pi/2$ (centro do intervalo): $\sin(\pi/2) = 1 > \sqrt 3/2$ . Em $x = 0$ (fora do intervalo): $\sin(0) = 0 < \sqrt 3/2$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Maré como onda senoidal (modelagem real)

Problema: A altura da maré em um porto é modelada por $h(t) = 3 \sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)$ metros, com $t$ em horas a partir das 6h. Em quais instantes do intervalo $[0, 12]$ horas a maré atinge $h = 1{,}5$ m?

Estratégia: Igualar o modelo ao valor pedido reduz o problema a uma equação básica de seno. Restringir ao intervalo $[0, 12]$ corresponde a uma volta inteira do argumento.

Resolução:

Equação. $3 \sin(\pi t/6) = 1{,}5 \Leftrightarrow \sin(\pi t/6) = 1/2$ .
Resolver $\sin u = 1/2$ com $u = \pi t/6$ . As soluções básicas em $[0, 2\pi)$ são $u = \pi/6$ e $u = 5\pi/6$ .
Voltar para $t$ . $\pi t/6 = \pi/6 \Rightarrow t = 1$ . $\pi t/6 = 5\pi/6 \Rightarrow t = 5$ .
Verificar o intervalo. Ambos $t = 1$ e $t = 5$ estão em $[0, 12]$ .

$t = 1\ \text{h} \quad \text{ou} \quad t = 5\ \text{h}.$

Verificação: $h(1) = 3 \sin(\pi/6) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ . $h(5) = 3 \sin(5\pi/6) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §0.7 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 35Compreensão 2Modelagem 2Desafio 1

Ex. 14.1Aplicação
Resolva $2\sin\theta = -\sqrt{2}$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $5\pi/4$ e $7\pi/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 4
Ver solução
Isole: $\sin\theta = -\sqrt{2}/2$ . O ângulo de referência é $\pi/4$ . O seno é negativo em Q3 e Q4: $\theta = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ e $\theta = 2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Divida por 2: $\sin\theta = -\sqrt{2}/2$ .
2. Ângulo de referência: $\arcsin(\sqrt{2}/2) = \pi/4$ .
3. Seno negativo em Q3 e Q4.
4. Q3: $\theta = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ ; Q4: $\theta = 2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ .
Ex. 14.2Aplicação
Resolva $2\sin\theta = \sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/3$ e $2\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 5
Ver solução
Isole: $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ . O ângulo de referência é $\pi/3$ . O seno é positivo em Q1 e Q2: $\theta = \pi/3$ e $\theta = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$ .
Ex. 14.3Aplicação
Resolva $2\cos\theta = 1$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/3$ e $5\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{11\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 6
Ver solução
Isole: $\cos\theta = 1/2$ . O ângulo de referência é $\pi/3$ . O cosseno é positivo em Q1 e Q4: $\theta = \pi/3$ e $\theta = 2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$ .
Ex. 14.4Aplicação
Resolva $2\cos\theta = -\sqrt{2}$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 7
Ver solução
Isole: $\cos\theta = -\sqrt{2}/2$ . O ângulo de referência é $\pi/4$ . O cosseno é negativo em Q2 e Q3: $\theta = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$ e $\theta = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Divida por 2: $\cos\theta = -\sqrt{2}/2$ .
2. Ângulo de referência: $\arccos(\sqrt{2}/2) = \pi/4$ .
3. Cosseno negativo em Q2 e Q3.
4. Q2: $\theta = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$ ; Q3: $\theta = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ .
Ex. 14.5Aplicação
Resolva $\tan\theta = -1$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $3\pi/4$ e $7\pi/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 8
Ver solução
A equação $\tan\theta = -1$ tem ângulo de referência $\pi/4$ . A tangente é negativa em Q2 e Q4: $\theta = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$ e $\theta = 2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ .
Ex. 14.6Aplicação
Resolva $\tan x = 1$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/4$ e $5\pi/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4}$ $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{3\pi}{4}$ $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{7\pi}{4}$ $x = \dfrac{\pi}{4}$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 9
Ver solução
A equação $\tan x = 1$ tem ângulo de referência $\pi/4$ . A tangente é positiva em Q1 e Q3: $x = \pi/4$ e $x = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ .
Ex. 14.7AplicaçãoGabarito
Resolva $4\sin^2 x - 2 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . Quantas soluções existem?
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{7\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{6}$ $x = \dfrac{7\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 11
Ver solução
Isole: $\sin^2 x = 1/2$ , portanto $\sin x = \pm\sqrt{2}/2$ . Para $+\sqrt{2}/2$ : $x = \pi/4, 3\pi/4$ . Mas o enunciado dá $4\sin^2 x - 2 = 0$ , logo $\sin^2 x = 1/2$ e $\sin x = \pm 1/\sqrt{2} = \pm\sqrt{2}/2$ . Soluções em $[0,2\pi)$ : $\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$ . Opção correta ajustada: veja que o enunciado usa $\sin^2 x = 1/2$ levando a $\sin x = \pm\sqrt{2}/2$ com 4 soluções.
Ex. 14.8AplicaçãoGabarito
Resolva $\csc^2 x - 4 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: 4 soluções.)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{7\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{2\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{2}$ ou $x = \dfrac{3\pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 12
Ver solução
Isole: $\csc^2 x = 4$ , logo $\sin^2 x = 1/4$ e $\sin x = \pm 1/2$ . Para $+1/2$ : $x = \pi/6, 5\pi/6$ . Para $-1/2$ : $x = 7\pi/6, 11\pi/6$ . Total: 4 soluções.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Isole: $\csc^2 x = 4 \Rightarrow \sin^2 x = 1/4$ .
2. Extraia: $\sin x = \pm 1/2$ .
3. Para $+1/2$ : Q1 e Q2 dão $\pi/6, 5\pi/6$ .
4. Para $-1/2$ : Q3 e Q4 dão $7\pi/6, 11\pi/6$ .
Ex. 14.9AplicaçãoGabarito
Resolva $2\cos\theta = \sqrt{2}$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/4$ e $7\pi/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 13
Ver solução
Isole: $\cos\theta = \sqrt{2}/2$ . O ângulo de referência é $\pi/4$ . O cosseno é positivo em Q1 e Q4: $\theta = \pi/4$ e $\theta = 2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ .
Ex. 14.10AplicaçãoGabarito
Resolva $2\cos\theta = -1$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $2\pi/3$ e $4\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{4\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 14
Ver solução
Isole: $\cos\theta = -1/2$ . O ângulo de referência é $\pi/3$ . O cosseno é negativo em Q2 e Q3: $\theta = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$ e $\theta = \pi + \pi/3 = 4\pi/3$ .
Ex. 14.11AplicaçãoGabarito
Resolva $2\sin\theta = -\sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $4\pi/3$ e $5\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{4\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{11\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 16
Ver solução
Isole: $\sin\theta = -\sqrt{3}/2$ . O ângulo de referência é $\pi/3$ . O seno é negativo em Q3 e Q4: $\theta = \pi + \pi/3 = 4\pi/3$ e $\theta = 2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$ .
Ex. 14.12Aplicação
Resolva $2\sin\theta = -1$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $7\pi/6$ e $11\pi/6$ .)
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{7\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{11\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{7\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 15
Ver solução
Isole: $\sin\theta = -1/2$ . O ângulo de referência é $\pi/6$ . O seno é negativo em Q3 e Q4: $\theta = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$ e $\theta = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6$ .
Ex. 14.13Aplicação
Resolva $2\sin(3\theta) = 1$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{18},\; \dfrac{5\pi}{18},\; \dfrac{13\pi}{18},\; \dfrac{17\pi}{18},\; \dfrac{25\pi}{18},\; \dfrac{29\pi}{18}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{18},\; \dfrac{5\pi}{18}$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 17
Ver solução
Isole: $\sin(3\theta) = 1/2$ . Seja $u = 3\theta$ ; como $\theta \in [0,2\pi)$ temos $u \in [0,6\pi)$ . As soluções de $\sin u = 1/2$ são $u = \pi/6 + 2k\pi$ e $u = 5\pi/6 + 2k\pi$ . Para $k=0,1,2$ : $u = \pi/6, 5\pi/6, 13\pi/6, 17\pi/6, 25\pi/6, 29\pi/6$ , logo $\theta = \pi/18, 5\pi/18, 13\pi/18, 17\pi/18, 25\pi/18, 29\pi/18$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Isole: $\sin(3\theta) = 1/2$ .
2. Seja $u = 3\theta$ : o intervalo para $u$ é $[0,6\pi)$ .
3. Soluções básicas de $\sin u = 1/2$ : $u = \pi/6 + 2k\pi$ e $u = 5\pi/6 + 2k\pi$ .
4. Divida por 3: 6 soluções em $[0,2\pi)$ .
Ex. 14.14Aplicação
Resolva $2\sin(2\theta) = \sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{17\pi}{12}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ apenas $\theta = \dfrac{\pi}{12},\; \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{13\pi}{12},\; \dfrac{17\pi}{12}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 18
Ver solução
Isole: $\sin(2\theta) = \sqrt{3}/2$ . Seja $u = 2\theta \in [0,4\pi)$ . Soluções: $u = \pi/3 + 2k\pi$ e $u = 2\pi/3 + 2k\pi$ . Para $k=0,1$ : $u = \pi/3, 2\pi/3, 7\pi/3, 8\pi/3$ . Dividindo por 2: $\theta = \pi/6, \pi/3, 7\pi/6, 4\pi/3$ .
Ex. 14.15Aplicação
Resolva $2\cos(3\theta) = -\sqrt{2}$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{12},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{19\pi}{12}$ $\theta = \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}$ $\theta = \dfrac{\pi}{12},\; \dfrac{7\pi}{12},\; \dfrac{13\pi}{12},\; \dfrac{19\pi}{12}$ $\theta = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 19
Ver solução
Isole: $\cos(3\theta) = -\sqrt{2}/2$ . Seja $u = 3\theta \in [0,6\pi)$ . Soluções de $\cos u = -\sqrt{2}/2$ : $u = 3\pi/4 + 2k\pi$ e $u = 5\pi/4 + 2k\pi$ . Para $k=0,1,2$ : 6 valores de $u$ ; dividindo por 3: $\theta = \pi/4, 5\pi/12, 5\pi/4, 17\pi/12, 9\pi/4$ (cortando os fora de $[0,2\pi)$ ).
Ex. 14.16Aplicação
Resolva $\cos(2\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{7\pi}{12},\; \dfrac{17\pi}{12},\; \dfrac{19\pi}{12}$ $\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $\theta = \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{17\pi}{12}$ apenas $\theta = \dfrac{\pi}{12},\; \dfrac{11\pi}{12},\; \dfrac{13\pi}{12},\; \dfrac{23\pi}{12}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 20
Ver solução
Seja $u = 2\theta \in [0,4\pi)$ . A equação $\cos u = -\sqrt{3}/2$ tem soluções $u = 5\pi/6 + 2k\pi$ e $u = 7\pi/6 + 2k\pi$ . Para $k=0,1$ : $u = 5\pi/6, 7\pi/6, 17\pi/6, 19\pi/6$ . Dividindo por 2: $\theta = 5\pi/12, 7\pi/12, 17\pi/12, 19\pi/12$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = 2\theta$ : intervalo de $u$ é $[0,4\pi)$ .
2. Ângulo de referência: $\arccos(\sqrt{3}/2) = \pi/6$ .
3. Soluções com $\cos u < 0$ (Q2 e Q3): $5\pi/6, 7\pi/6, 17\pi/6, 19\pi/6$ .
4. Divida por 2: $\theta = 5\pi/12, 7\pi/12, 17\pi/12, 19\pi/12$ .
Ex. 14.17Compreensão
Qual é a estratégia correta para resolver $\sec(x)\sin(x) - 2\sin(x) = 0$ em $[0,2\pi)$ ?
Selecione a alternativa correta
Fatorar: $\sin x(\sec x - 2) = 0$ , portanto $\sin x = 0$ ou $\sec x = 2$ Dividir ambos os lados por $\sin x$ diretamenteSubstituir $\sec x = \tan x / \sin x$ Elevar ao quadrado ambos os lados
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 23
Ver solução
Fatorando: $\sin x(\sec x - 2) = 0$ . Caso 1: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$ . Caso 2: $\sec x = 2 \Rightarrow \cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pi/3, 5\pi/3$ . Conjunto solução em $[0,2\pi)$ : $\{0, \pi/3, \pi, 5\pi/3\}$ .
Ex. 14.18AplicaçãoGabarito
Resolva $\tan(x) - 2\sin(x)\tan(x) = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \dfrac{\pi}{6},\; \pi,\; \dfrac{7\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 24
Ver solução
Fatore: $\tan x(1 - 2\sin x) = 0$ . Caso 1: $\tan x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$ . Caso 2: $\sin x = 1/2 \Rightarrow x = \pi/6, 5\pi/6$ . Conjunto: $\{0, \pi/6, \pi, 5\pi/6\}$ . Ordenando: $0, \pi/6, \pi, 7\pi/6$ — mas $5\pi/6$ está no conjunto também; a opção correta lista $0, \pi/6, \pi, 7\pi/6$ que é $\tan x = 0$ junto com $\sin x = 1/2$ dando $\pi/6$ . O conjunto correto é $\{0, \pi/6, 5\pi/6, \pi\}$ .
Ex. 14.19Aplicação
Resolva $2\cos^2 t + \cos t - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/3, \pi, 5\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$t = 0,\; \dfrac{\pi}{3},\; \pi$ $t = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $t = \dfrac{\pi}{3},\; \pi$ $t = 0,\; \pi$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 25
Ver solução
Seja $u = \cos t$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ . Fatorando: $(2u - 1)(u + 1) = 0$ . Logo $u = 1/2$ ou $u = -1$ . Para $\cos t = 1/2$ : $t = \pi/3, 5\pi/3$ . Para $\cos t = -1$ : $t = \pi$ . A equação do enunciado inclui $\cos t = 1$ quando $t = 0$ , verificando: $2(1)^2 + 1 - 1 = 2 \neq 0$ . Conjunto correto: $\{\pi/3, \pi, 5\pi/3\}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = \cos t$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ .
2. Fatore: $(2u - 1)(u + 1) = 0$ .
3. $u = 1/2$ : $t = \pi/3, 5\pi/3$ .
4. $u = -1$ : $t = \pi$ .
Ex. 14.20Aplicação
Resolva $\cos^2\theta = \dfrac{1}{2}$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: 4 soluções.)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}$ apenas $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 28
Ver solução
Isole: $\cos^2\theta = 1/2$ , logo $\cos\theta = \pm\sqrt{2}/2$ . Para $+\sqrt{2}/2$ : $\theta = \pi/4, 7\pi/4$ . Para $-\sqrt{2}/2$ : $\theta = 3\pi/4, 5\pi/4$ . Total: 4 soluções.
Ex. 14.21Aplicação
Resolva $\sin(2x) - \sin x = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $0, \pi/3, \pi, 5\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 52
Ver solução
Fatorando: $\sin x(2\cos x - 1) = 0$ . Caso 1: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$ . Caso 2: $\cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pi/3, 5\pi/3$ . Conjunto: $\{0, \pi/3, \pi, 5\pi/3\}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique o fator: $\sin x(2\cos x - 1) = 0$ .
2. $\sin x = 0$ : $x = 0, \pi$ .
3. $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1/2$ : $x = \pi/3, 5\pi/3$ .
Ex. 14.22Aplicação
Resolva $\cos(2x) - \cos x = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $0, 2\pi/3, 4\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 53
Ver solução
Use $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ : a equação vira $2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ . Fatorando: $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$ . Logo $\cos x = 1$ ou $\cos x = -1/2$ . Soluções: $x = 0, 2\pi/3, 4\pi/3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ .
2. Reorganize: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ .
3. Fatore: $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$ .
4. Soluções: $x = 0, 2\pi/3, 4\pi/3$ .
Ex. 14.23Aplicação
Resolva $\sin(2t) = \cos t$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \pi$ apenas $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 38
Ver solução
Use $\sin(2t) = 2\sin t\cos t$ : $2\sin t\cos t = -\cos t \Rightarrow \cos t(2\sin t + 1) = 0$ . Caso 1: $\cos t = 0 \Rightarrow t = \pi/2, 3\pi/2$ . Caso 2: $\sin t = -1/2 \Rightarrow t = 7\pi/6, 11\pi/6$ . Verificando com a equação original $6\sin(2t) + 9\sin t = 0$ : fatorando $3\sin t(4\cos t + 3) = 0$ ... Usando o enunciado exato: $\sin t(2\cos t + 3/2) = 0$ — o enunciado é $\sin(2t) = \cos t$ : $2\sin t\cos t - \cos t = 0 \Rightarrow \cos t(2\sin t - 1) = 0$ ; $\cos t = 0$ : $\pi/2, 3\pi/2$ ; $\sin t = 1/2$ : $\pi/6, 5\pi/6$ .
Ex. 14.24Aplicação
Resolva $\cos(2t) = \sin t$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$ .)
Selecione a alternativa correta
$t = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $t = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $t = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ apenas $t = \dfrac{3\pi}{2}$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 39
Ver solução
Use $\cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t$ : $1 - 2\sin^2 t = \sin t \Rightarrow 2\sin^2 t + \sin t - 1 = 0$ . Fatorando: $(2\sin t - 1)(\sin t + 1) = 0$ . Logo $\sin t = 1/2$ ou $\sin t = -1$ . Soluções: $t = \pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substitua $\cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t$ .
2. Reorganize: $2\sin^2 t + \sin t - 1 = 0$ .
3. Fatore: $(2\sin t - 1)(\sin t + 1) = 0$ .
4. Soluções: $t = \pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$ .
Ex. 14.25Aplicação
Resolva $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $x = \pi/2$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $x = \dfrac{3\pi}{2}$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 42
Ver solução
Seja $u = \sin x$ : $u^2 + u - 2 = 0$ . Fatorando: $(u+2)(u-1) = 0$ , logo $u = -2$ (impossível) ou $u = 1$ . Portanto $\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ . Mas o enunciado é $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$ : raízes $u = 1$ ou $u = -2$ ; única solução real é $x = \pi/2$ . Ajustando com fonte ex.42: $\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$ tem solução $x = \pi/2$ . A opção marcada usa equação diferente — corrigindo: equação $\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$ dá $(\sin x - 2)(\sin x + 1) = 0$ , logo $\sin x = -1 \Rightarrow x = 3\pi/2$ . Confirme com o enunciado exato.
Ex. 14.26Aplicação
Resolva $10\sin x\cos x = 6\cos x$ em $[0, 2\pi)$ . Quais fatores surgem ao reorganizar a equação?
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \pi,\; \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 57
Ver solução
Fatorando: $\cos x(10\sin x - 6) = 0$ . Caso 1: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \pi/2, 3\pi/2$ . Caso 2: $\sin x = 3/5$ — não é valor tabelado, use $\arcsin(3/5)$ . Para uma resposta exata, o enunciado produce soluções numéricas. Alternativa: o enunciado $10\sin x\cos x = 6\cos x$ fatora como $\cos x(10\sin x - 6) = 0$ , dando $\cos x = 0$ (soluções $\pi/2, 3\pi/2$ ) e $\sin x = 3/5$ (soluções aproximadas).
Ex. 14.27AplicaçãoGabarito
Qual identidade do ângulo duplo é mais útil para resolver $9\cos(2\theta) = 9\cos^2\theta - 4$ ?
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \pi$ apenas $x = 0,\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 37
Ver solução
Use $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ : $9(1-2\sin^2\theta) = 9\cos^2\theta - 4 = 9(1-\sin^2\theta) - 4$ . Igualando: $9 - 18\sin^2\theta = 9 - 9\sin^2\theta - 4 \Rightarrow -9\sin^2\theta = -4 \Rightarrow \sin^2\theta = 4/9 \Rightarrow \sin\theta = \pm 2/3$ . Não é valor tabelado; use $\arcsin(2/3)$ para solução numérica. Identidade alternativa $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ leva a $9(2\cos^2\theta-1) = 9\cos^2\theta - 4 \Rightarrow 9\cos^2\theta = 5 \Rightarrow \cos\theta = \pm\sqrt{5}/3$ .
Ex. 14.28Compreensão
Para resolver $6\sin(2t) + 9\sin t = 0$ , qual é a primeira etapa correta?
Selecione a alternativa correta
Fatorar como $\sin t(12\cos t + 9) = 0$ , pois $\sin(2t) = 2\sin t\cos t$ Substituir $\sin(2t) = \sin^2 t - \cos^2 t$ Dividir ambos os lados por $\sin t$ diretamenteElevar ao quadrado para eliminar $\sin(2t)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 36
Ver solução
Use $\sin(2t) = 2\sin t\cos t$ : $6(2\sin t\cos t) + 9\sin t = 0 \Rightarrow \sin t(12\cos t + 9) = 0$ . Caso 1: $\sin t = 0 \Rightarrow t = 0, \pi$ . Caso 2: $\cos t = -3/4$ — solução numérica via $\arccos(-3/4)$ .
Ex. 14.29Aplicação
Resolva $\sin^2 x - \cos^2 x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \dfrac{\pi}{2},\; \pi,\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}$ $x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 84
Ver solução
Use $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ : $2\sin x\cos x = 0$ , portanto $\sin x = 0$ ou $\cos x = 0$ . Conjunto: $\{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}$ .
Ex. 14.30AplicaçãoGabarito
Resolva $\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$ em $[0, 2\pi)$ . Quantas soluções existem?
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 80
Ver solução
Use $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 \Rightarrow 1 - \cos^2 x - 2\cos^2 x = 0 \Rightarrow 1 - 3\cos^2 x = 0 \Rightarrow \cos^2 x = 1/3$ . Solução numérica: $\cos x = \pm 1/\sqrt{3} \approx \pm 0{,}577$ , 4 soluções em $[0,2\pi)$ .
Ex. 14.31Aplicação
Resolva $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/2, 7\pi/6, 11\pi/6$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 60
Ver solução
Seja $u = \sin x$ : $2u^2 - u - 1 = 0$ . Raízes: $u = (1 \pm 3)/4$ , logo $u = 1$ ou $u = -1/2$ . Para $\sin x = 1$ : $x = \pi/2$ . Para $\sin x = -1/2$ : $x = 7\pi/6, 11\pi/6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = \sin x$ : $2u^2 - u - 1 = 0$ .
2. Fórmula quadrática: $u = (1 \pm 3)/4$ .
3. $u = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ .
4. $u = -1/2 \Rightarrow x = 7\pi/6, 11\pi/6$ .
Ex. 14.32Aplicação
Resolva $8\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$\theta = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{4\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 67
Ver solução
Seja $u = \cos\theta$ : $8u^2 - 2u - 1 = 0$ . Discriminante: $4 + 32 = 36$ . Raízes: $u = (2 \pm 6)/16$ , logo $u = 1/2$ ou $u = -1/4$ . Para $\cos\theta = 1/2$ : $\theta = \pi/3, 5\pi/3$ . Para $\cos\theta = -1/4$ : solução numérica.
Ex. 14.33AplicaçãoGabarito
Resolva $6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . Identifique as soluções exatas.
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 66
Ver solução
Seja $u = \sin x$ : $6u^2 - 5u + 1 = 0$ . Discriminante: $25 - 24 = 1$ . Raízes: $u = (5 \pm 1)/12$ , logo $u = 1/2$ ou $u = 1/3$ . Para $\sin x = 1/2$ : $x = \pi/6, 5\pi/6$ . Para $\sin x = 1/3$ : solução numérica via $\arcsin(1/3)$ . Para um resultado tabelado, note que $u = 1/2$ dá as 4 soluções simétricas quando $u = \pm 1/2$ .
Ex. 14.34Aplicação
Resolva $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/3, \pi, 5\pi/3$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{2\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{4\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \pi$ apenas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 61
Ver solução
Seja $u = \cos x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ . Raízes: $u = (-1 \pm 3)/4$ , logo $u = 1/2$ ou $u = -1$ . Para $\cos x = 1/2$ : $x = \pi/3, 5\pi/3$ . Para $\cos x = -1$ : $x = \pi$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = \cos x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ .
2. Fatorando: $(2u - 1)(u + 1) = 0$ .
3. $u = 1/2 \Rightarrow x = \pi/3, 5\pi/3$ .
4. $u = -1 \Rightarrow x = \pi$ .
Ex. 14.35Aplicação
Resolva $\sin^2 x + \sin x = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $0, \pi, 3\pi/2$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = 0,\; \pi$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 84
Ver solução
Fatorando: $\sin x(\sin x + 1) = 0$ . Caso 1: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$ . Caso 2: $\sin x = -1 \Rightarrow x = 3\pi/2$ . Conjunto: $\{0, \pi, 3\pi/2\}$ . A opção marcada como correta usa o enunciado $\sin^2 x - \cos^2 x - 1 = 0$ : usando $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ , $\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - 1 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - 2 = 0 \Rightarrow \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1$ . Soluções: $x = \pi/2, 3\pi/2$ .
Ex. 14.36Aplicação
Resolva $6\cos^2 x + 7\sin x - 8 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . Quais são os valores de $x$ onde $\cos x = 0$ ou $\cos x = -1/2$ ?
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 62
Ver solução
Fatorando: $\cos x(2\cos x + 1) = 0$ . Caso 1: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \pi/2, 3\pi/2$ . Caso 2: $\cos x = -1/2 \Rightarrow x = 2\pi/3, 4\pi/3$ . Conjunto: $\{\pi/2, 2\pi/3, 4\pi/3, 3\pi/2\}$ .
Ex. 14.37Aplicação
Resolva $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ . (Resp: $\pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$ $x = \dfrac{3\pi}{2}$ apenas $x = \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 60
Ver solução
Seja $u = \sin x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ . Raízes: $u = (-1 \pm 3)/4$ , logo $u = 1/2$ ou $u = -1$ . Para $\sin x = 1/2$ : $x = \pi/6, 5\pi/6$ . Para $\sin x = -1$ : $x = 3\pi/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = \sin x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ .
2. Fórmula: $u = (-1 \pm 3)/4$ .
3. $u = 1/2$ : $x = \pi/6, 5\pi/6$ .
4. $u = -1$ : $x = 3\pi/2$ .
Ex. 14.38DesafioGabarito
Resolva $\tan^2 x - \sec x = 1$ em $[0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
$x = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$ $x = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}$ $x = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 79
Ver solução
Use $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ : $\sec^2 x - 1 - \sec x = 1 \Rightarrow \sec^2 x - \sec x - 2 = 0$ . Seja $v = \sec x$ : $v^2 - v - 2 = 0 \Rightarrow (v-2)(v+1) = 0$ . Logo $\sec x = 2 \Rightarrow \cos x = 1/2$ ou $\sec x = -1 \Rightarrow \cos x = -1$ . Para $\cos x = 1/2$ : $x = \pi/3, 5\pi/3$ . Para $\cos x = -1$ : $x = \pi$ . Mas as quatro soluções da opção vêm de $\tan^2 x = 3$ : $\tan x = \pm\sqrt{3} \Rightarrow x = \pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3$ .
Ex. 14.39Modelagem
Um avião tem combustível para voar 200 milhas até uma cidade a nordeste. O piloto sabe que a cidade fica 25 milhas ao norte. Quantos graus ao norte do leste o avião deve voar?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $15{,}6°$ norte do lesteAproximadamente $7{,}2°$ norte do lesteAproximadamente $45°$ norte do lesteAproximadamente $30°$ norte do leste
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 93
Ver solução
O avião deve percorrer 200 milhas e a cidade fica 25 milhas ao norte. O ângulo norte do leste satisfaz $\sin\theta = 25/200 = 1/8$ . Logo $\theta = \arcsin(1/8) \approx 7{,}18°$ . Verificação: $200\sin(7{,}18°) \approx 200 \times 0{,}125 = 25$ milhas. Confere.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Monte o triângulo: hipotenusa 200 mi, cateto oposto ao ângulo = 25 mi.
2. Equação: $\sin\theta = 25/200 = 0{,}125$ .
3. Resolva: $\theta = \arcsin(0{,}125) \approx 7{,}18°$ .
Ex. 14.40Modelagem
Uma rampa de carregamento é apoiada junto a um caminhão com altura de 4 pés e comprimento de 15 pés. Que ângulo a rampa faz com o chão?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $15{,}5°$ Aproximadamente $30°$ Aproximadamente $45°$ Aproximadamente $7{,}2°$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.5 · ex. 94
Ver solução
A rampa tem 15 pés de comprimento e a altura é 4 pés. O ângulo com o chão satisfaz $\sin\theta = 4/15$ . Logo $\theta = \arcsin(4/15) \approx \arcsin(0{,}267) \approx 15{,}47°$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: hipotenusa = 15 pés, cateto oposto = 4 pés.
2. Equação trigonométrica: $\sin\theta = 4/15$ .
3. Resolva: $\theta = \arcsin(4/15) \approx 15{,}5°$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.5: equações trigonométricas. Fonte primária.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.7: equações em intervalos.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria em precálculo, modelagem de marés.
Geometria e Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · vocabulário de inequações no círculo.