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Lição 15 — Lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução de triângulos quaisquer (não retângulos). Aplicações em topografia, navegação e física.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Lei dos senos (esquerda): em qualquer triângulo, a razão lado/seno do ângulo oposto é constante (igual a $2R$ , com $R$ = raio do círculo circunscrito). Lei dos cossenos (direita): generaliza Pitágoras para triângulos não-retângulos.

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Demonstrações e uso

"The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

"The Law of Cosines is a generalization of the Pythagorean Theorem. We can use it to find a missing side when two sides and the included angle are known." — Stitz–Zeager, Precalculus §11.3

Notação do triângulo e círculo circunscrito

Triângulo $ABC$ inscrito no círculo de raio $R$ . O lado oposto ao ângulo maior é sempre o maior.

Quando usar cada lei

Definição· Guia de escolha de lei

Dados conhecidos	Incógnita	Lei a usar
2 ângulos + 1 lado (AAS, ASA)	lados restantes	Senos
2 lados + ângulo oposto (SSA)	restantes (pode ser ambíguo)	Senos
2 lados + ângulo entre eles (SAS)	terceiro lado	Cossenos
3 lados (SSS)	algum ângulo	Cossenos invertida

Caso ambíguo SSA (dados $a$ , $b$ , $A$ com $A < 90°$ ): calcule $h = b\sin A$ .

$a < h$ : nenhum triângulo
$a = h$ ou $a \geq b$ : exatamente 1 triângulo
$h < a < b$ : 2 triângulos

Área de triângulo

\text{Área} = \tfrac{1}{2}ab\sin C

o que isso quer dizer · Área direta via dois lados e ângulo entre eles. Quando C = 90° recupera 'cateto × cateto / 2'.

\text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

o que isso quer dizer · Fórmula de Heron: área só com os três lados, sem precisar de ângulos. Semi-perímetro: s = (a+b+c)/2.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (lei dos senos AAS) ao modelagem real (cinemática inversa de braço robótico). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exemplo— 1· Lei dos senos AAS (aplicação)

Problema: Em um triângulo $ABC$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ e o lado $a = 8$ . Calcule o lado $b$ .

Estratégia: Temos dois ângulos e um lado oposto a um deles (caso AAS). A lei dos senos resolve diretamente: monta-se a razão e isola-se $b$ .

Resolução:

Aplicar a lei dos senos. $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ , ou seja, $\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$ .
Substituir valores notáveis. $\sin 30° = 1/2$ , $\sin 45° = \sqrt 2 / 2$ .
Isolar $b$ . $b = 8 \cdot \dfrac{\sin 45°}{\sin 30°} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt 2 / 2}{1/2} = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31$ .

$b = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31.$

Verificação: Como $B > A$ , devemos ter $b > a$ . De fato $11{,}31 > 8$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Lei dos cossenos SAS (aplicação)

Problema: Um triângulo tem lados $a = 5$ , $b = 7$ e o ângulo entre eles $C = 60°$ . Calcule o terceiro lado $c$ .

Estratégia: Temos dois lados e o ângulo entre eles (SAS). É exatamente o caso da lei dos cossenos para encontrar o lado oposto ao ângulo dado.

Resolução:

Aplicar a lei. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .
Substituir. $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .
Extrair raiz. $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ .

Verificação: $c$ deve estar entre $|a - b| = 2$ e $a + b = 12$ (desigualdade triangular). $6{,}24 \in (2, 12)$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §11.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Lei dos cossenos invertida — encontrar ângulo a partir de 3 lados (intermediário)

Problema: Um triângulo tem lados $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Calcule o ângulo $C$ .

Estratégia: SSS — três lados conhecidos. Use a lei dos cossenos isolada para $\cos C$ e aplique $\arccos$ .

Resolução:

Reescrever a lei dos cossenos. $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ .
Substituir. $\cos C = \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .
Aplicar arccos. $C = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°$ .

$C \approx 78{,}46°.$

Verificação: Como o triângulo é "quase" isósceles e $c$ é o maior lado, esperamos $C$ ser o maior ângulo. Pela lei dos cossenos: $A = \arccos((36+49-25)/(2\cdot 6 \cdot 7)) = \arccos(60/84) \approx 44{,}42°$ , $B \approx 57{,}12°$ . Soma: $44{,}42 + 57{,}12 + 78{,}46 \approx 180°$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Caso ambíguo SSA (avançado)

Problema: Um triângulo tem $a = 5$ , $b = 8$ , $A = 30°$ . Quantos triângulos satisfazem essas condições? Encontre todos.

Estratégia: SSA é o caso ambíguo. Calcule $h = b \sin A$ e compare com $a$ para decidir 0, 1 ou 2 triângulos. Depois, use a lei dos senos para cada possibilidade.

Resolução:

Calcular $h$ . $h = b \sin A = 8 \cdot \sin 30° = 8 \cdot 0{,}5 = 4$ .
Decidir o número de soluções. Como $h = 4 < a = 5 < b = 8$ , há dois triângulos.
Aplicar a lei dos senos. $\dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \dfrac{8 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$ .
Achar os dois ângulos $B$ . $B_1 = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13°$ e $B_2 = 180° - 53{,}13° \approx 126{,}87°$ .
Calcular $C$ em cada caso. $C_1 = 180° - 30° - 53{,}13° = 96{,}87°$ . $C_2 = 180° - 30° - 126{,}87° = 23{,}13°$ .
Calcular $c$ em cada caso. $c_1 = a \cdot \sin C_1 / \sin A = 5 \cdot \sin 96{,}87° / 0{,}5 \approx 9{,}93$ . $c_2 = 5 \cdot \sin 23{,}13° / 0{,}5 \approx 3{,}93$ .

Verificação: Em cada triângulo, $A + B + C = 180°$ e a desigualdade triangular vale (todos os lados positivos com $|a-b| < c < a+b$ ). Confere para ambos.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §11.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Topografia — distância pelo terceiro vértice (modelagem real)

Problema: Para medir a distância $AB$ entre dois pontos separados por um rio, um topógrafo escolhe um ponto $C$ na sua margem com $AC = 50$ m, $BC = 70$ m e mede o ângulo $\hat{ACB} = 60°$ . Calcule $AB$ .

Estratégia: Cenário SAS clássico — dois lados $AC$ e $BC$ conhecidos e o ângulo entre eles. Lei dos cossenos resolve diretamente para o lado oposto $AB$ .

Resolução:

Identificar a configuração. Triângulo $ABC$ com lados $b = AC = 50$ m, $a = BC = 70$ m e ângulo $C = 60°$ entre eles. Quero o terceiro lado $c = AB$ .
Aplicar a lei dos cossenos. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 70^2 + 50^2 - 2 \cdot 70 \cdot 50 \cdot \cos 60°$ .
Calcular. $c^2 = 4900 + 2500 - 7000 \cdot 0{,}5 = 7400 - 3500 = 3900$ .
Extrair raiz. $c = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} \approx 62{,}45$ m.

$AB \approx 62{,}45\ \text{m}.$

Verificação: Como o ângulo $C$ é agudo e os lados $a, b$ não são muito diferentes, o lado oposto deve ser comparável a eles. $62{,}45$ está entre $|70-50| = 20$ e $70+50 = 120$ , dentro da desigualdade triangular. Confere.

Fonte. OpenStax — University Physics Vol. 1, cap. 2 — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 23Compreensão 7Modelagem 7Desafio 3

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2: leis dos senos e cossenos. Fonte primária.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3: triângulos não-retângulos.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2: vetores e adição vetorial. Fonte primária do bloco C (modelagem).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria aplicada.