v1 · padrão canônico

Lição 17 — Progressões aritméticas (PA)

Sequência com diferença constante. Termo geral, soma de termos (Gauss), aplicações financeiras e físicas.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

a_n = a_1 + (n-1)\,r, \qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Progressão aritmética: cada termo difere do anterior por uma razão constante $r$ . À esquerda, o termo geral. À direita, a soma dos primeiros $n$ termos — fórmula descoberta por Gauss aos 8 anos.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e fórmulas

Termo geral

a_n = a_1 + (n-1)\,r

(1)

o que isso quer dizer · Termo geral da PA. Entre a₁ e aₙ existem exatamente n−1 saltos de tamanho r.

Demonstrável por indução em $n$ . Equivalente a $a_n = a_p + (n-p)\,r$ para qualquer índice $p$ .

"Uma sequência aritmética é uma sequência na qual a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante." — OpenStax College Algebra 2e, §9.2

Soma dos $n$ primeiros termos

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]}{2}

(2)

o que isso quer dizer · Soma de Gauss. Cada par de termos equidistantes dos extremos soma a₁ + aₙ. Com n/2 pares, a soma total é n(a₁ + aₙ)/2.

Demonstração (Gauss criança, $\sim$ 1789): escreva $S_n$ duas vezes — em ordem crescente e decrescente:

\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{aligned}

Somando termo a termo: $2 S_n = n\,(a_1 + a_n)$ , pois cada par soma $a_1 + a_n$ . ∎

Propriedades

Média aritmética: três termos consecutivos satisfazem $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$ .
Crescente se $r > 0$ , decrescente se $r < 0$ , constante se $r = 0$ .
Soma dos extremos = soma dos termos equidistantes: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots$

Soma de potências (preview)

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 2· Encontrar a₁ e r a partir de dois termos

Problema: Em uma PA, $a_5 = 17$ e $a_{10} = 32$ . Determine $a_1$ e $r$ .

Estratégia: monte sistema de duas equações com duas incógnitas usando o termo geral. Subtrair elimina $a_1$ .

Resolução:

Escreva o termo geral nos dois pontos.
- $a_5 = a_1 + 4r = 17$
- $a_{10} = a_1 + 9r = 32$
Subtraia a primeira da segunda. $5r = 15 \Rightarrow r = 3$ .
Substitua para encontrar $a_1$ . $a_1 + 4 \cdot 3 = 17 \Rightarrow a_1 = 5$ .

Verificação: PA $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$ — $a_5 = 17$ ✓ e $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$ ✓.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §9.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Soma com fórmula de Gauss

Problema: Calcule $S = 7 + 11 + 15 + 19 + \ldots + 99$ .

Estratégia: identifique a PA, encontre $n$ (número de termos) usando o termo geral, depois aplique a fórmula de Gauss.

Resolução:

Identifique $a_1$ e $r$ . $a_1 = 7$ , $r = 11 - 7 = 4$ .
Encontre $n$ usando $a_n = 99$ . $99 = 7 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow 92 = 4(n-1) \Rightarrow n = 24$ .
Aplique a fórmula de Gauss. $S_{24} = \dfrac{24 \cdot (7 + 99)}{2} = \dfrac{24 \cdot 106}{2} = 12 \cdot 106 = 1\,272$ .

Verificação: par dos extremos $7 + 99 = 106$ ; $12$ pares dão $12 \cdot 106 = 1\,272$ . ✓ Alternativa: média $= 106/2 = 53$ , total $= 53 \cdot 24 = 1\,272$ . ✓

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §9.4 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Quantos termos somar para superar 1000?

Problema: Quantos termos da PA $1, 4, 7, 10, \ldots$ devem ser somados para que $S_n \geq 1\,000$ ?

Estratégia: $a_1 = 1$ , $r = 3$ , então $S_n = n(2 + (n-1) \cdot 3)/2 = n(3n - 1)/2$ . Resolva $n(3n-1)/2 \geq 1\,000$ .

Resolução:

Monte a inequação. $\dfrac{n(3n - 1)}{2} \geq 1\,000 \iff 3n^2 - n - 2\,000 \geq 0$ .
Resolva a equação $3n^2 - n - 2\,000 = 0$ . Pelo Bhaskara: $n = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24\,000}}{6} = \dfrac{1 \pm \sqrt{24\,001}}{6}$ .
Aproxime $\sqrt{24\,001} \approx 154{,}92$ . Raiz positiva: $n \approx (1 + 154{,}92)/6 \approx 25{,}99$ .
Como $n$ é inteiro, tome $n = 26$ . Confirme: $S_{26} = 26 \cdot (3 \cdot 26 - 1)/2 = 26 \cdot 77/2 = 1\,001 \geq 1\,000$ . ✓ Já $S_{25} = 25 \cdot 74/2 = 925 < 1\,000$ .

Verificação: $a_{26} = 1 + 25 \cdot 3 = 76$ e $S_{26} = 26 \cdot (1 + 76)/2 = 26 \cdot 38{,}5 = 1\,001$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §9.2, exercícios 9.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Queda livre — distância no n-ésimo segundo (modelagem real)

Problema: Em queda livre a partir do repouso, a distância percorrida no $n$ -ésimo segundo é $d_n = g(2n - 1)/2$ , com $g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$ . (a) Mostre que $(d_n)$ é PA. (b) Calcule a distância total percorrida em 5 segundos.

Estratégia: verifique que $d_{n+1} - d_n$ é constante (definição de PA). Depois some os 5 primeiros termos.

Resolução:

Calcule a diferença $d_{n+1} - d_n$ . $d_{n+1} - d_n = \dfrac{g[2(n+1) - 1]}{2} - \dfrac{g(2n - 1)}{2} = \dfrac{g \cdot 2}{2} = g$ . Constante $= g$ , logo PA com razão $r = g$ . ✓
Identifique $a_1 = d_1$ . $d_1 = g \cdot 1/2 = 4{,}905$ m.
Calcule $a_5 = d_5$ . $d_5 = g \cdot 9/2 = 44{,}145$ m.
Soma pela fórmula de Gauss. $S_5 = 5 \cdot (d_1 + d_5)/2 = 5 \cdot (4{,}905 + 44{,}145)/2 = 5 \cdot 24{,}525 = 122{,}625$ m.

Verificação física: em queda livre, $S(t) = g t^2/2$ . Com $t = 5$ : $S(5) = 9{,}81 \cdot 25/2 = 122{,}625$ m. ✓ Coincide com a soma via regra dos números ímpares de Galileo (distâncias por segundo formam $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ vezes $g/2$ ).

Fonte. OpenStax College Physics 2e §2.7 (Falling Objects) — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 2Modelagem 7Desafio 6Demonstração 1

Fontes

OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.2 (Arithmetic Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Fonte primária dos exercícios e Exemplos 1, 3 e 5.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.1–9.2 (Sequences and Summation Notation). Fonte do Exemplo 2 e exercícios estruturais.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3.ª ed · EN · livre · cap. 10 (Mathematical Induction). Fonte das demonstrações 17.31, 17.32, 17.34.
OpenStax — College Physics 2e — Paul Peter Urone et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.7 (Falling Objects). Fonte do Exemplo 5 e do exercício 17.23 (queda livre).
Wikilivros — Matemática elementar (Progressões aritméticas) — vivo · PT-BR · CC-BY-SA. Referência em português para meios aritméticos e exercícios práticos.

Definição e fórmulas

Termo geral

Soma dos nnn primeiros termos

Propriedades

Soma de potências (preview)

Exemplos resolvidos

Fontes

Soma dos $n$ primeiros termos