v1 · padrão canônico

Lição 18 — Progressões geométricas (PG)

Sequência com razão multiplicativa constante. Termo geral, soma finita e infinita. Juros compostos, decaimento radioativo, série geométrica.

Usado em: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

a_n = a_1\,q^{n-1}, \quad S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}\ (|q|<1)

Progressão geométrica: cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa $q$ . Da esquerda para a direita: termo geral, soma de $n$ termos, soma infinita (só converge se $|q| < 1$ ). A soma infinita é a primeira série que você vê — ponte direta com séries de Taylor no Trim 9.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e fórmulas

"A geometric sequence is one in which any term divided by the previous term is a constant. This constant is called the common ratio of the sequence." — OpenStax College Algebra 2e, §9.3

Termo geral

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

(1)

o que isso quer dizer · Fórmula do termo geral: o n-ésimo termo é o primeiro multiplicado pela razão elevada à (n-1). Note que o expoente é n-1, não n — pois o primeiro termo já é a_1 = a_1 · q^0.

Derivação: por recorrência, $a_2 = a_1 q$ , $a_3 = a_2 q = a_1 q^2$ , e por indução $a_n = a_1 q^{n-1}$ .

Soma dos $n$ primeiros termos

Para $q \neq 1$ :

S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

(2)

o que isso quer dizer · Soma finita da PG. Derivada pelo truque: multiplicar S_n por q e subtrair de S_n cancela todos os termos do meio, deixando apenas o primeiro de S_n e o último de q·S_n.

Demonstração ("truque $qS - S$ "): Seja $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$ . Multiplique por $q$ : $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n.$ Subtraindo: $qS_n - S_n = a_1 q^n - a_1$ , logo $S_n(q-1) = a_1(q^n - 1)$ . Dividindo por $(q-1)$ : $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}. \quad \square$

Para $q = 1$ : todos os termos valem $a_1$ , logo $S_n = n a_1$ .

"Notice that the sum of a finite geometric sequence can be found using the formula $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §9.4

Soma infinita (série geométrica)

Prova: $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1) = a_1(1 - q^n)/(1 - q)$ . Como $|q| < 1$ , $q^n \to 0$ , logo $S_n \to a_1/(1-q)$ . $\square$

Comportamento segundo a razão

Comportamento qualitativo de $(a_n)$ segundo o valor de $q$ . Tamanho do círculo proporcional a $|a_n|$ .

Propriedades

Média geométrica: $a, b, c$ em PG $\iff b^2 = ac$ (para termos positivos: $b = \sqrt{ac}$ ).
Produto dos extremos = produto dos meios: $a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = \ldots = a_k \cdot a_{n-k+1}$ .

Exemplos resolvidos

Exemplo— 2· Encontrar a₁ e q a partir de dois termos (intermediário)

Problema: Em uma PG de termos positivos, $a_3 = 12$ e $a_5 = 48$ . Encontre $a_1$ e $q$ .

Estratégia: Divida $a_5/a_3 = q^2$ — isso elimina $a_1$ e dá $q$ direto. Depois substitua para encontrar $a_1$ .

Resolução:

Use a razão entre termos. $\dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{a_1 q^4}{a_1 q^2} = q^2 = \dfrac{48}{12} = 4$ .
Resolva. $q = \pm 2$ . Como a PG tem termos positivos, $q = 2$ .
Encontre $a_1$ . $a_3 = a_1 q^2 = 4 a_1 = 12 \Rightarrow a_1 = 3$ .

Verificação: PG $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ — confere $a_3 = 12$ , $a_5 = 48$ . $\checkmark$

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §9.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Soma finita de PG (intermediário)

Problema: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG $1, 3, 9, 27, \ldots$

Estratégia: Aplique $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$ com $a_1 = 1$ , $q = 3$ , $n = 10$ .

Resolução:

Identifique parâmetros. $a_1 = 1$ , $q = 3$ , $n = 10$ .
Aplique a fórmula. $S_{10} = 1 \cdot \dfrac{3^{10} - 1}{3 - 1} = \dfrac{59\,049 - 1}{2} = \dfrac{59\,048}{2} = 29\,524$ .

Verificação: Somando explicitamente: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2\,187 + 6\,561 + 19\,683 = 29\,524$ . $\checkmark$

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §9.4 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Dízima periódica como soma de PG infinita (avançado)

Problema: Mostre que $0{,}212121\ldots = 7/33$ usando PG infinita.

Estratégia: Decomponha a dízima em soma de blocos repetidos: $0{,}21 + 0{,}0021 + 0{,}000021 + \ldots$ — PG com $a_1 = 0{,}21$ e $q = 0{,}01$ .

Resolução:

Identifique a PG. $0{,}21\overline{21} = 0{,}21 + 0{,}0021 + 0{,}000021 + \ldots$ Cada parcela é a anterior dividida por 100: $a_1 = 0{,}21$ , $q = 1/100$ .
Verifique convergência. $|q| = 0{,}01 < 1$ $\checkmark$ .
Aplique $S_\infty = a_1/(1-q)$ . $S_\infty = \dfrac{0{,}21}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}21}{0{,}99} = \dfrac{21}{99} = \dfrac{7}{33}$ .

Verificação: Divisão direta $7/33 = 0{,}2121\ldots$ $\checkmark$

Fonte. Active Calculus §8.3 — licença CC-BY-NC-SA. Aplicação clássica também em Stitz–Zeager §9.4.

Exemplo— 5· Juros compostos e regra do 72 (modelagem)

Problema: Você aplica R$ 1.000 a 6% ao ano com capitalização anual. (a) Saldo após 12 anos? (b) Em quantos anos o saldo dobra? Compare com a regra do 72.

Estratégia: Modele saldo como PG: $S_n = S_0(1 + i)^n$ . Para dobrar, resolva $(1 + i)^n = 2$ .

Resolução:

Modele a PG dos saldos. $S_n = 1\,000 \cdot (1{,}06)^n$ .
(a) Calcule $S_{12}$ . $(1{,}06)^{12} \approx 2{,}012$ . Logo $S_{12} \approx 2\,012$ reais.
(b) Tempo para dobrar. $(1{,}06)^n = 2 \Rightarrow n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}06} = \dfrac{0{,}6931}{0{,}0583} \approx 11{,}90$ anos.
Regra do 72. $n \approx 72/6 = 12$ anos — excelente aproximação.

Verificação: Após 12 anos, saldo $\approx 2\,012$ $\approx 2 \times$ capital inicial. $\checkmark$ Consistente com "dobra em $\approx 12$ anos".

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §9.4 — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

42 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 6Modelagem 6Desafio 3Demonstração 1

Fontes

OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.3 (Geometric Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Fonte primária dos exercícios e Exemplos 1, 3, 5.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.3, §9.4. Fonte do Exemplo 2 e demonstrações 18.38, 18.42, 18.45.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.3 (Geometric Series). Fonte do Exemplo 4 e desafios 18.40, 18.41.
Wikilivros — Cálculo (Vol. 1) — colaborativo · PT-BR · CC-BY-SA · §3 (séries). Referência em português.

Definição e fórmulas

Termo geral

Soma dos nnn primeiros termos

Soma infinita (série geométrica)

Comportamento segundo a razão

Propriedades

Exemplos resolvidos

Fontes

Soma dos $n$ primeiros termos