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Lição 21 — Plano cartesiano: distância, ponto médio

Coordenadas cartesianas, fórmula da distância, ponto médio, divisão de segmento. Linguagem geométrica de Descartes (1637).

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 2 · Equiv. Algebra & Trigonometry §10

d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vem direto do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas projeções nos eixos. Descartes (1637) introduziu este sistema de coordenadas, fundindo álgebra e geometria. Generaliza para $\mathbb{R}^n$ como norma euclidiana $\|P - Q\|_2$ .

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Geometria analítica em ℝ²

"O plano cartesiano consiste em dois eixos numéricos perpendiculares, chamados eixo $x$ e eixo $y$ . O ponto onde se interceptam é a origem. Cada par ordenado $(x, y)$ corresponde a exatamente um ponto do plano e vice-versa." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Distância entre dois pontos

A distância d(P, Q) é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos |x₂ − x₁| e |y₂ − y₁|.

Ponto médio

"O ponto médio de um segmento de reta unindo dois pontos é o ponto cujas coordenadas são as médias aritméticas das coordenadas dos extremos." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Divisão de segmento na razão $k$

Para dividir $\overline{PQ}$ em razão $\overline{PR}/\overline{RQ} = k$ (interna):

R = \left(\frac{x_1 + k\,x_2}{1 + k},\ \frac{y_1 + k\,y_2}{1 + k}\right)

o que isso quer dizer · Generalização do ponto médio (caso k = 1). Para dividir em razão arbitrária k.

Área do triângulo

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do cálculo direto da distância à classificação de quadriláteros via coordenadas. Cada exemplo cita sua fonte: o problema vem sempre de um livro aberto.

Exemplo— 1· Distância entre dois pontos (aplicação)

Problema: Calcule a distância entre $P = (-2, 3)$ e $Q = (4, -5)$ .

Estratégia: Aplicar diretamente a fórmula $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Não importa qual ponto é $P$ e qual é $Q$ — os termos vão ao quadrado.

Resolução:

Identifique as coordenadas: $x_1 = -2$ , $y_1 = 3$ , $x_2 = 4$ , $y_2 = -5$ .
Calcule as diferenças: $x_2 - x_1 = 4 - (-2) = 6$ e $y_2 - y_1 = -5 - 3 = -8$ .
Eleve ao quadrado: $6^2 = 36$ e $(-8)^2 = 64$ .
Some e tire a raiz: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

Verificação: Os catetos do triângulo retângulo são 6 e 8, hipotenusa 10 — clássico terno pitagórico $(6, 8, 10) = 2 \cdot (3, 4, 5)$ . Confere.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Ponto médio de um segmento (aplicação)

Problema: Encontre o ponto médio do segmento de extremos $A = (-3, 7)$ e $B = (5, -1)$ .

Estratégia: A fórmula do ponto médio é a média aritmética coordenada por coordenada.

Resolução:

Coordenada $x$ do ponto médio: $\dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ .
Coordenada $y$ do ponto médio: $\dfrac{7 + (-1)}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ .
Logo, $M = (1, 3)$ .

Verificação: $M$ deve ser equidistante de $A$ e $B$ . $d(A, M) = \sqrt{(1-(-3))^2 + (3-7)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$ . $d(B, M) = \sqrt{(1-5)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$ . Iguais — confere.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 3· Determinar coordenada faltante (intermediário)

Problema: Encontre $y$ tal que o ponto $P = (3, y)$ esteja a uma distância de $5$ unidades de $Q = (-1, 2)$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula da distância e resolver a equação resultante para $y$ . Vai aparecer uma equação quadrática em $y$ — esperar duas soluções (acima e abaixo do alinhamento horizontal de $Q$ ).

Resolução:

Pela fórmula da distância: $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (y - 2)^2} = 5$ .
Simplifique: $\sqrt{16 + (y-2)^2} = 5$ .
Eleve ao quadrado: $16 + (y - 2)^2 = 25$ .
Isole o quadrado: $(y - 2)^2 = 9$ .
Extraia a raiz quadrada (com $\pm$ ): $y - 2 = \pm 3$ .
Resolva: $y = 5$ ou $y = -1$ .

Verificação: Para $y = 5$ : $d = \sqrt{16 + 9} = 5$ . OK. Para $y = -1$ : $d = \sqrt{16 + 9} = 5$ . OK. Geometricamente, o conjunto dos pontos a distância 5 de $Q$ é um círculo de raio 5; a reta vertical $x = 3$ corta esse círculo em dois pontos — exatamente $(3, 5)$ e $(3, -1)$ .

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §1.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Identificar tipo de triângulo (avançado)

Problema: Mostre que o triângulo de vértices $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (8, 2)$ é isósceles e não é equilátero.

Estratégia: Calcular os comprimentos dos três lados via fórmula da distância e comparar. Isósceles $\Leftrightarrow$ pelo menos dois lados iguais; equilátero $\Leftrightarrow$ os três iguais.

Resolução:

Lado $AB$ : $\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Lado $BC$ : $\sqrt{(8-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ .
Lado $CA$ : $\sqrt{(1-8)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ .
Como $AB = BC = 5$ e $CA = \sqrt{50} \neq 5$ , o triângulo é isósceles com base $\overline{CA}$ e lados iguais $\overline{AB} = \overline{BC}$ . Não é equilátero porque um lado é distinto.

Verificação: Pela desigualdade triangular: $AB + BC = 10 > 7{,}07 = CA$ . OK. O vértice $B$ está à mesma distância dos outros dois — confere "ápice isósceles".

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 5· Logística de entrega (modelagem real)

Problema: Uma transportadora tem um centro de distribuição em $C = (0, 0)$ . Há três clientes nos pontos $A = (3, 4)$ , $B = (-6, 8)$ e $D = (5, -12)$ , com coordenadas em quilômetros. (a) Determine qual cliente é o mais próximo do centro. (b) Calcule a distância média percorrida do centro a cada cliente.

Estratégia: Calcular as três distâncias, identificar a menor (item a) e tirar a média aritmética (item b).

Resolução:

$d(C, A) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ km. (Terno pitagórico clássico.)
$d(C, B) = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
$d(C, D) = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ km. (Outro terno: $5{-}12{-}13$ .)
(a) O cliente $A$ é o mais próximo, com $5$ km.
(b) Distância média: $\dfrac{5 + 10 + 13}{3} = \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$ km.

Verificação: Todas as distâncias são positivas (faz sentido). A ordem $5 < 10 < 13$ está consistente com a posição visual no plano: $A$ está mais perto da origem que $B$ e $D$ . A média 9,33 km está entre o mínimo 5 e o máximo 13 — sanidade.

Observação prática. Em logística real (problema do caixeiro viajante), a métrica relevante muitas vezes não é euclidiana e sim a distância pelas ruas — que pode ser estimada como euclidiana multiplicada por um fator de tortuosidade ( $\approx 1{,}3$ a $1{,}5$ em cidades médias).

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Geometria analítica — licença CC-BY-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 21Compreensão 10Modelagem 6Desafio 3

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

College Algebra 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §2.1: plano cartesiano, fórmula da distância, ponto médio. Fonte primária.
Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §2.1.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1.
Matemática elementar — Geometria analítica — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.

Geometria analítica em ℝ²

Distância entre dois pontos

Ponto médio

Divisão de segmento na razão kkk

Área do triângulo

Exemplos resolvidos

Fontes

Divisão de segmento na razão $k$