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Lição 24 — Equação da circunferência

Forma reduzida (x-a)² + (y-b)² = r². Forma geral. Posição relativa entre reta e circunferência. Tangentes e potência de ponto.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Equação reduzida da circunferência de centro $(a, b)$ e raio $r > 0$ . Vem direto da definição: o conjunto de todos os pontos do plano a distância exata $r$ do centro. Elevar ao quadrado a fórmula da distância elimina a raiz quadrada e produz esta forma polinomial.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e propriedades

"Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa, chamada raio, de um ponto fixo, chamado centro da circunferência." — Stitz–Zeager Precalculus §7.2

Elevando ambos os lados ao quadrado (ambos não-negativos, portanto equivalente):

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

o que isso quer dizer · Equação reduzida da circunferência. Cada ponto (x, y) da curva satisfaz esta igualdade.

Forma geral

Expandindo a forma reduzida:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

o que isso quer dizer · Forma geral da equação de circunferência. D = -2a, E = -2b, F = a² + b² - r².

Recuperação dos parâmetros (sem completar quadrado):

Centro: $(a, b) = (-D/2,\ -E/2)$
Raio: $r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}$ — existe real somente se $D^2 + E^2 - 4F > 0$ .

Circunferência de centro $C = (a, b)$ e raio $r$ . Todo ponto da curva está à distância $r$ de $C$ .

Posição relativa — reta e circunferência

Seja $d$ a distância do centro $C$ à reta $\ell$ .

Definição· Posição relativa reta–circunferência

Posição	Critério	Pontos comuns
Exterior	$d > r$	0
Tangente	$d = r$	1
Secante	$d < r$	2

Para reta $Ax + By + C_0 = 0$ : $\displaystyle d = \frac{\lvert Aa + Bb + C_0 \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .

Posição relativa — dois círculos

Sejam $C_1, C_2$ de raios $r_1, r_2$ com distância $d = |C_1 C_2|$ .

Posição	Critério
Externos disjuntos	$d > r_1 + r_2$
Tangentes externamente	$d = r_1 + r_2$
Secantes	$\lvert r_1 - r_2 \rvert < d < r_1 + r_2$
Tangentes internamente	$d = \lvert r_1 - r_2 \rvert$
Um dentro do outro	$d < \lvert r_1 - r_2 \rvert$

Tangente em ponto da curva

Potência de ponto

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Equação reduzida a partir de centro e raio

Problema: Escreva a equação da circunferência de centro $C = (-1, 4)$ e raio $r = 3$ .

Estratégia: Substituir diretamente em $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ com $(a, b) = (-1, 4)$ e $r = 3$ .

Resolução:

Identifique os parâmetros: $a = -1$ , $b = 4$ , $r = 3$ .
Substitua: $(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 9$ .
Simplifique: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ .

Verificação: Um ponto candidato na borda: $(-1 + 3, 4) = (2, 4)$ . Substituindo: $(2+1)^2 + (4-4)^2 = 9 + 0 = 9$ . ✓ O centro $(-1, 4)$ dá $(0)^2 + (0)^2 = 0 < 9$ — está dentro. ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Forma geral para forma reduzida via completamento de quadrado

Problema: Determine centro e raio de $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ .

Estratégia: Reagrupar termos em $x$ e em $y$ e completar o quadrado em cada variável separadamente.

Resolução:

Agrupe: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11$ .
Complete em $x$ : metade de $-6$ é $-3$ , quadrado é $9$ . Adicione 9 em ambos os lados.
Complete em $y$ : metade de $8$ é $4$ , quadrado é $16$ . Adicione 16.
Resultado: $(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 11$ , logo $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$ .
Centro $C = (3, -4)$ , raio $r = 6$ .

Verificação: Pelo atalho da forma geral: $D = -6$ , $E = 8$ , $F = -11$ . $a = 3$ , $b = -4$ , $r^2 = 9 + 16 + 11 = 36$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Posição relativa entre reta e circunferência

Problema: Determine se a reta $y = x + 1$ é exterior, tangente ou secante ao círculo $x^2 + y^2 = 9$ .

Estratégia: Calcular a distância $d$ do centro $(0, 0)$ à reta e comparar com $r = 3$ .

Resolução:

Escreva a reta na forma geral: $x - y + 1 = 0$ . Então $A = 1$ , $B = -1$ , $C_0 = 1$ .
Distância: $d = |1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 1| / \sqrt{1 + 1} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}71$ .
Como $d \approx 0{,}71 < 3 = r$ , a reta é secante (corta em 2 pontos).

Verificação: Substitua $y = x + 1$ em $x^2 + y^2 = 9$ : $2x^2 + 2x - 8 = 0$ , discriminante $\Delta = 4 + 64 = 68 > 0$ — duas raízes reais distintas. ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Tangente ao círculo num ponto da curva

Problema: Encontre a equação da reta tangente ao círculo $x^2 + y^2 = 25$ no ponto $P_0 = (3, 4)$ .

Estratégia: Verificar que $P_0$ está no círculo e aplicar a fórmula da tangente.

Resolução:

Verifique: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . $P_0$ está sobre o círculo. ✓
Aplique a fórmula com $a = b = 0$ , $r^2 = 25$ : $x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2$ , logo $3x + 4y = 25$ .
Forma explícita: $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$ .

Verificação: Vetor radial $\vec{CP_0} = (3, 4)$ . Vetor diretor da tangente: $(4, -3)$ (coeficiente de $x$ vira $y$ com sinal trocado). Produto escalar: $3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 0$ . Perpendiculares. ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Trilateração 2D — localização por 3 antenas

Problema: Três antenas de celular medem distâncias até um celular: $A_1 = (0, 0)$ mede $d_1 = 5$ km; $A_2 = (8, 0)$ mede $d_2 = 5$ km; $A_3 = (4, 7)$ mede $d_3 = 4$ km. Localize o celular.

Estratégia: Cada antena define um círculo. Subtrair pares de equações cancela os termos quadráticos, produzindo equações lineares.

Resolução:

Três círculos:
- $C_1$ : $x^2 + y^2 = 25$
- $C_2$ : $(x-8)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 - 16x + 64 + y^2 = 25$
- $C_3$ : $(x-4)^2 + (y-7)^2 = 16 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 14y + 49 = 16$
$C_2 - C_1$ : $-16x + 64 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
$C_3 - C_1$ : $-8(4) + 16 - 14y + 49 = -9 \Rightarrow -32 + 16 - 14y + 49 = -9 \Rightarrow 33 - 14y = -9 \Rightarrow y = 3$ .
Posição: $(4, 3)$ .

Verificação: $d((4,3), A_1) = 5$ ✓; $d((4,3), A_2) = \sqrt{16 + 9} = 5$ ✓; $d((4,3), A_3) = \sqrt{0 + 16} = 4$ ✓.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §7.2 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

42 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 27Compreensão 7Modelagem 7Desafio 1

Fontes

Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · v3 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §7.2 Circles. Fonte primária para forma padrão, forma geral, posição relativa, tangentes e demonstrações.
OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §8.3. Exercícios de modelagem e forma reduzida.
Wikilivros — Matemática elementar — comunidade · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · seção Geometria analítica. Exercícios no padrão vestibular/ENEM e modelagem brasileira (cobertura de antenas, trilateração).