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v1 · padrão canônico

Lição 28 — Aplicações de vetores em física

Resultante de forças, decomposição em componentes, trabalho como produto escalar, adição de velocidades e tensão em cabos. Aplicações em engenharia estrutural, navegação e biomecânica.

Usado em: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Physik Klasse 10 alemã · Equiv. Physics I japonês · H2 Physics singapurense

W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta

O trabalho de uma força F⃗\vec{F} sobre um deslocamento d⃗\vec{d} é o produto escalar dos dois vetores. Quando força e deslocamento formam ângulo θ\theta, apenas a componente Fcos⁡θF\cos\theta — paralela ao movimento — realiza trabalho. Se θ=90°\theta = 90°, o trabalho é zero: força perpendicular não move o objeto.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Fundamentos de mecânica vetorial

Leis de Newton em forma vetorial

"A primeira lei de Newton nos diz que uma partícula que não está acelerada deve ter força resultante nula agindo sobre ela. [...] Podemos usar este fato para determinar forças desconhecidas de equilíbrio." — OpenStax University Physics Volume 1, §5.2

Decomposição em componentes

xyF⃗F cos θF sin θθ

Decomposição de força em componentes. A componente horizontal é F cos θ e a vertical é F sin θ.

Trabalho

"O trabalho realizado por uma força em um deslocamento de um objeto é igual ao componente da força na direção do deslocamento vezes a magnitude do deslocamento." — OpenStax University Physics Volume 1, §7.1

Adição de velocidades

"Em mecânica clássica, as velocidades se somam vetorialmente. [...] O vetor velocidade do passageiro em relação ao solo é a soma do vetor velocidade do passageiro em relação ao trem e do vetor velocidade do trem em relação ao solo." — OpenStax University Physics Volume 1, §4.5

Tensão em três forças concorrentes: Teorema de Lami

Três forças F⃗1,F⃗2,F⃗3\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 em equilíbrio num ponto com α\alpha = ângulo entre F⃗2\vec{F}_2 e F⃗3\vec{F}_3, β\beta = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗3\vec{F}_3, γ\gamma = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗2\vec{F}_2:

F1sin⁡α=F2sin⁡β=F3sin⁡γ\frac{F_1}{\sin\alpha} = \frac{F_2}{\sin\beta} = \frac{F_3}{\sin\gamma}

Decorre diretamente da lei dos senos aplicada ao triângulo de forças fechado.

Exemplos resolvidos

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 4Modelagem 11Desafio 2Demonstração 1
  1. Ex. 28.1AplicaçãoGabarito

    Dados os vetores u⃗=⟨3,0⟩\vec{u} = \langle 3, 0 \rangle e v⃗=⟨2,2⟩\vec{v} = \langle 2, 2 \rangle, calcule o produto escalar u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 123
    Ver solução
    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=3⋅2+0⋅2=6\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot2 + 0\cdot2 = 6.
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Multiplique as componentes x: 3×2=63 \times 2 = 6.
    2. Multiplique as componentes y: 0×2=00 \times 2 = 0.
    3. Some os produtos: 6+0=66 + 0 = 6.
  2. Ex. 28.2Aplicação

    Dados u⃗=⟨3,−4⟩\vec{u} = \langle 3, -4 \rangle e v⃗=⟨4,3⟩\vec{v} = \langle 4, 3 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} e determine se os vetores são ortogonais. (Resp: 0 — ortogonais)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 124
    Ver solução
    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=3⋅4+(−4)⋅3=12−12=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot4 + (-4)\cdot3 = 12 - 12 = 0. Os vetores são ortogonais.
  3. Ex. 28.3Aplicação

    Dados u⃗=⟨2,2,−1⟩\vec{u} = \langle 2, 2, -1 \rangle e v⃗=⟨−1,2,2⟩\vec{v} = \langle -1, 2, 2 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 125
    Ver solução
    Produto escalar 3D: u⃗⋅v⃗=2(−1)+2(2)+(−1)(2)=−2+4−2=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 2(-1)+2(2)+(-1)(2) = -2+4-2 = 0. Vetores ortogonais. (Resp: 0)
  4. Ex. 28.4Aplicação

    Dados u⃗=⟨4,5,−6⟩\vec{u} = \langle 4, 5, -6 \rangle e v⃗=⟨0,−2,−3⟩\vec{v} = \langle 0, -2, -3 \rangle, calcule u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 126
    Ver solução
    Produto escalar: u⃗⋅v⃗=4(0)+5(−2)+(−6)(−3)=0−10+18=8\vec{u}\cdot\vec{v} = 4(0)+5(-2)+(-6)(-3) = 0-10+18 = 8. (Resp: 8)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Componente x: 4×0=04 \times 0 = 0.
    2. Componente y: 5×(−2)=−105 \times (-2) = -10.
    3. Componente z: (−6)×(−3)=18(-6) \times (-3) = 18.
    4. Soma: 0−10+18=80 - 10 + 18 = 8.
  5. Ex. 28.5AplicaçãoGabarito

    Determine o ângulo entre os vetores u⃗=3i\vec{u} = 3\mathbf{i} e v⃗=4i+4j\vec{v} = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j}. (Resp: π/4\pi/4 rad)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    OpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 133
    Ver solução
    Com u⃗=3i\vec{u}=3\mathbf{i} e v⃗=4i+4j\vec{v}=4\mathbf{i}+4\mathbf{j}: u⃗⋅v⃗=12\vec{u}\cdot\vec{v}=12, ∣u⃗∣=3|\vec{u}|=3, ∣v⃗∣=42|\vec{v}|=4\sqrt{2}; cos⁡θ=12/(3⋅42)=1/2\cos\theta = 12/(3\cdot4\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}, logo θ=45°≈0,785\theta = 45°\approx0{,}785 rad. (Resp: π/4\pi/4 rad)
  6. Ex. 28.6Aplicação

    Encontre o ângulo, em radianos, entre a⃗=⟨3,−1⟩\vec{a} = \langle 3, -1 \rangle e b⃗=⟨−4,0⟩\vec{b} = \langle -4, 0 \rangle. Arredonde a dois decimais.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 135
    Ver solução
    Com a⃗=⟨3,−1⟩\vec{a}=\langle3,-1\rangle e b⃗=⟨−4,0⟩\vec{b}=\langle-4,0\rangle: a⃗⋅b⃗=−12\vec{a}\cdot\vec{b}=-12, ∣a⃗∣=10|\vec{a}|=\sqrt{10}, ∣b⃗∣=4|\vec{b}|=4; cos⁡θ=−12/(410)≈−0,949\cos\theta = -12/(4\sqrt{10})\approx-0{,}949; θ≈2,82\theta\approx2{,}82 rad. (Resp: ≈2,82\approx2{,}82 rad)
  7. Ex. 28.7Compreensão

    Determine se os vetores a⃗=⟨x,y⟩\vec{a} = \langle x, y \rangle e b⃗=⟨−y,x⟩\vec{b} = \langle -y, x \rangle são sempre ortogonais, para quaisquer x,yx, y não nulos. Justifique.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 141
    Ver solução
    Seja a⃗=⟨x,y⟩\vec{a}=\langle x,y\rangle e b⃗=⟨−y,x⟩\vec{b}=\langle-y,x\rangle: a⃗⋅b⃗=x(−y)+y(x)=−xy+xy=0\vec{a}\cdot\vec{b}=x(-y)+y(x)=-xy+xy=0. São sempre ortogonais.
  8. Ex. 28.8Aplicação

    Encontre todos os vetores 2D ortogonais a b⃗=⟨3,4⟩\vec{b} = \langle 3, 4 \rangle. Expresse em forma componente.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 145
    Ver solução
    Vetores 2D ortogonais a b⃗=⟨3,4⟩\vec{b}=\langle3,4\rangle satisfazem 3a1+4a2=03a_1+4a_2=0, portanto a1=−4ta_1=-4t, a2=3ta_2=3t. (Resp: a⃗=⟨−4t,3t⟩\vec{a}=\langle-4t,3t\rangle)
  9. Ex. 28.9Aplicação

    Determine o número real α\alpha tal que a⃗=2i+3j\vec{a} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e b⃗=9i+αj\vec{b} = 9\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j} sejam ortogonais. (Resp: α=−6\alpha=-6)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 149
    Ver solução
    Ortogonalidade requer a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0: com a⃗=2i+3j\vec{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e b⃗=9i+αj\vec{b}=9\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j}: 2⋅9+3α=18+3α=02\cdot9+3\alpha=18+3\alpha=0, logo α=−6\alpha=-6. (Resp: α=−6\alpha=-6)
  10. Ex. 28.10Compreensão

    Determine quais pares de u⃗=⟨3,7,−2⟩\vec{u}=\langle3,7,-2\rangle, v⃗=⟨5,−3,−3⟩\vec{v}=\langle5,-3,-3\rangle e w⃗=⟨0,1,−1⟩\vec{w}=\langle0,1,-1\rangle são ortogonais.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 155
    Ver solução
    Com u⃗=⟨3,7,−2⟩\vec{u}=\langle3,7,-2\rangle, v⃗=⟨5,−3,−3⟩\vec{v}=\langle5,-3,-3\rangle, w⃗=⟨0,1,−1⟩\vec{w}=\langle0,1,-1\rangle: u⃗⋅v⃗=15−21+6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=15-21+6=0 (ortogonais). v⃗⋅w⃗=0−3+3=0\vec{v}\cdot\vec{w}=0-3+3=0 (ortogonais). u⃗⋅w⃗=0+7+2=9≠0\vec{u}\cdot\vec{w}=0+7+2=9\neq0.
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Calcule u⃗⋅v⃗=3(5)+7(−3)+(−2)(−3)=15−21+6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=3(5)+7(-3)+(-2)(-3)=15-21+6=0.
    2. Calcule u⃗⋅w⃗=0+7+2=9\vec{u}\cdot\vec{w}=0+7+2=9.
    3. Calcule v⃗⋅w⃗=0−3+3=0\vec{v}\cdot\vec{w}=0-3+3=0.
  11. Ex. 28.11Aplicação

    Dados u⃗=5i+2j\vec{u} = 5\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=2i+3j\vec{v} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}, encontre a projeção de v⃗\vec{v} sobre u⃗\vec{u}: proju⃗v⃗\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 167
    Ver solução
    Com u⃗=⟨5,2⟩\vec{u}=\langle5,2\rangle e v⃗=⟨2,3⟩\vec{v}=\langle2,3\rangle: u⃗⋅v⃗=10+6=16\vec{u}\cdot\vec{v}=10+6=16, ∣u⃗∣2=29|\vec{u}|^2=29; proju⃗v⃗=1629⟨5,2⟩=⟨80/29,32/29⟩\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{16}{29}\langle5,2\rangle=\langle80/29,32/29\rangle. (Resp: ⟨80/29,32/29⟩\langle80/29,32/29\rangle)
  12. Ex. 28.12Aplicação

    Dados u⃗=3i+2k\vec{u} = 3\mathbf{i}+2\mathbf{k} e v⃗=2j+4k\vec{v} = 2\mathbf{j}+4\mathbf{k}, encontre a projeção de v⃗\vec{v} sobre u⃗\vec{u}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 169
    Ver solução
    Com u⃗=⟨3,0,2⟩\vec{u}=\langle3,0,2\rangle e v⃗=⟨0,2,4⟩\vec{v}=\langle0,2,4\rangle: u⃗⋅v⃗=0+0+8=8\vec{u}\cdot\vec{v}=0+0+8=8, ∣u⃗∣2=9+0+4=13|\vec{u}|^2=9+0+4=13; proju⃗v⃗=813⟨3,0,2⟩=⟨24/13,0,16/13⟩\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{8}{13}\langle3,0,2\rangle=\langle24/13,0,16/13\rangle. (Resp: ⟨24/13,0,16/13⟩\langle24/13,0,16/13\rangle)
  13. Ex. 28.13Modelagem

    Uma força F⃗=⟨5,6,−2⟩\vec{F}=\langle5,6,-2\rangle N move uma partícula do ponto P(3,−1,0)P(3,-1,0) ao ponto Q(2,3,1)Q(2,3,1) em linha reta (distâncias em metros). Calcule o trabalho realizado. (Resp: 17 J)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 175
    Ver solução
    Deslocamento: d⃗=⟨2−3,3−(−1),1−0⟩=⟨−1,4,1⟩\vec{d}=\langle2-3,3-(-1),1-0\rangle=\langle-1,4,1\rangle. Trabalho: W=F⃗⋅d⃗=5(−1)+6(4)+(−2)(1)=−5+24−2=17W=\vec{F}\cdot\vec{d}=5(-1)+6(4)+(-2)(1)=-5+24-2=17 J. (Resp: 17 J)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Calcule o vetor deslocamento d⃗=Q−P=⟨−1,4,1⟩\vec{d}=Q-P=\langle-1,4,1\rangle.
    2. Aplique W=F⃗⋅d⃗=5(−1)+6(4)+(−2)(1)W=\vec{F}\cdot\vec{d}=5(-1)+6(4)+(-2)(1).
    3. Resultado: −5+24−2=17-5+24-2=17 J.
  14. Ex. 28.14ModelagemGabarito

    Um trenó é puxado aplicando uma força de 100 N numa corda que faz ângulo de 25°25° com a horizontal. Calcule o trabalho realizado ao puxar o trenó 40 m. (Resp: W≈3625W\approx3625 J)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 176
    Ver solução
    Um trenó é puxado com força de 100 N a 25°25° da horizontal, deslocamento de 40 m. Trabalho: W=Fdcos⁡θ=100×40×cos⁡25°≈4000×0,9063≈3625W = Fd\cos\theta = 100\times40\times\cos25° \approx 4000\times0{,}9063 \approx 3625 J. (Resp: W≈3625W\approx3625 J)
  15. Ex. 28.15Modelagem

    Um pai puxa seu filho num trenó com força de 25 lb a 20°20° da horizontal, percorrendo 50 ft em linha reta. Calcule o trabalho realizado. (Resp: ≈1175\approx1175 ft·lb)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 177
    Ver solução
    Pai puxa filho com força de 25 lb a 20°20° da horizontal por 50 ft: W=25×50×cos⁡20°≈1250×0,9397≈1175W = 25\times50\times\cos20° \approx 1250\times0{,}9397 \approx 1175 ft·lb. (Resp: W≈1175W\approx1175 ft·lb)
  16. Ex. 28.16Modelagem

    Um carro é rebocado com força de 1600 N numa corda a 25°25° da horizontal. Calcule o trabalho para rebocar o carro 2 km, em joules. (Resp: W≈2,90×106W\approx2{,}90\times10^6 J)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 178
    Ver solução
    Carro rebocado com 1600 N a 25°25° por 2 km = 2000 m: W=1600×2000×cos⁡25°≈3,2×106×0,9063≈2,90×106W = 1600\times2000\times\cos25° \approx 3{,}2\times10^6\times0{,}9063 \approx 2{,}90\times10^6 J. (Resp: W≈2,90×106W\approx2{,}90\times10^6 J)
  17. Ex. 28.17ModelagemGabarito

    Um barco navega para o norte auxiliado por vento na direção N30°EN30°E com magnitude de 500 lb. Quanto trabalho o vento realiza enquanto o barco percorre 100 ft? (Resp: ≈43301\approx43301 ft·lb)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 179
    Ver solução
    Barco navega norte, vento a N30°EN30°E, magnitude 500 lb, deslocamento 100 ft. Ângulo entre força e deslocamento norte = 30°30°. W=500×100×cos⁡30°=50000×32≈43301W=500\times100\times\cos30°=50000\times\frac{\sqrt3}{2}\approx43301 ft·lb. (Resp: W≈43301W\approx43301 ft·lb)
  18. Ex. 28.18ModelagemGabarito

    O vetor p⃗=⟨150,225,375⟩\vec{p}=\langle150,225,375\rangle (preços em reais) e n⃗=⟨10,7,9⟩\vec{n}=\langle10,7,9\rangle (quantidades vendidas) descrevem três modelos de bicicleta. Calcule p⃗⋅n⃗\vec{p}\cdot\vec{n} e interprete o resultado. (Resp: 6450)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 180
    Ver solução
    Com p⃗=⟨150,225,375⟩\vec{p}=\langle150,225,375\rangle e n⃗=⟨10,7,9⟩\vec{n}=\langle10,7,9\rangle: p⃗⋅n⃗=1500+1575+3375=6450\vec{p}\cdot\vec{n}=1500+1575+3375=6450. Representa a receita total da loja. (Resp: 6450)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Modelo 1: 150×10=1500150\times10=1500.
    2. Modelo 2: 225×7=1575225\times7=1575.
    3. Modelo 3: 375×9=3375375\times9=3375.
    4. Receita total: 1500+1575+3375=64501500+1575+3375=6450.
  19. Ex. 28.19Modelagem

    Duas forças partem da origem: F⃗1\vec{F}_1 (20 lb, terminal em P(1,1,0)P(1,1,0)) e F⃗2\vec{F}_2 (40 lb, terminal em Q(0,1,1)Q(0,1,1)). Encontre o módulo da força resultante F⃗=F⃗1+F⃗2\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.3 · ex. 181
    Ver solução
    Unitário de OP→=⟨1,1,0⟩\overrightarrow{OP}=\langle1,1,0\rangle: p^=⟨1/2,1/2,0⟩\hat{p}=\langle1/\sqrt2,1/\sqrt2,0\rangle; F⃗1=20p^=⟨102,102,0⟩≈⟨14,14,14,14,0⟩\vec{F}_1=20\hat{p}=\langle10\sqrt2,10\sqrt2,0\rangle\approx\langle14{,}14,14{,}14,0\rangle. Unitário de OQ→=⟨0,1,1⟩\overrightarrow{OQ}=\langle0,1,1\rangle: q^=⟨0,1/2,1/2⟩\hat{q}=\langle0,1/\sqrt2,1/\sqrt2\rangle; F⃗2=40q^≈⟨0,28,28,28,28⟩\vec{F}_2=40\hat{q}\approx\langle0,28{,}28,28{,}28\rangle. Resultante: F⃗≈⟨14,14,42,43,28,28⟩\vec{F}\approx\langle14{,}14,42{,}43,28{,}28\rangle; ∣F⃗∣≈52,9|\vec{F}|\approx52{,}9 lb. (Resp: ∣F⃗∣≈52,9|\vec{F}|\approx52{,}9 lb)
  20. Ex. 28.20AplicaçãoGabarito

    Calcule o produto vetorial u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=⟨2,0,0⟩\vec{u}=\langle2,0,0\rangle e v⃗=⟨2,2,0⟩\vec{v}=\langle2,2,0\rangle.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 183
    Ver solução
    Com u⃗=⟨2,0,0⟩\vec{u}=\langle2,0,0\rangle e v⃗=⟨2,2,0⟩\vec{v}=\langle2,2,0\rangle: u⃗×v⃗=⟨0⋅0−0⋅2,  0⋅2−2⋅0,  2⋅2−0⋅2⟩=⟨0,0,4⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle0\cdot0-0\cdot2,\;0\cdot2-2\cdot0,\;2\cdot2-0\cdot2\rangle=\langle0,0,4\rangle.
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Componente i: (0)(0)−(0)(2)=0(0)(0)-(0)(2)=0.
    2. Componente j: −[(2)(0)−(0)(2)]=0-[(2)(0)-(0)(2)]=0.
    3. Componente k: (2)(2)−(0)(2)=4(2)(2)-(0)(2)=4.
    4. Resultado: ⟨0,0,4⟩\langle0,0,4\rangle.
  21. Ex. 28.21Aplicação

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=⟨3,2,−1⟩\vec{u}=\langle3,2,-1\rangle e v⃗=⟨1,1,0⟩\vec{v}=\langle1,1,0\rangle.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 184
    Ver solução
    Com u⃗=⟨3,2,−1⟩\vec{u}=\langle3,2,-1\rangle e v⃗=⟨1,1,0⟩\vec{v}=\langle1,1,0\rangle: u⃗×v⃗=⟨2⋅0−(−1)⋅1,  (−1)⋅1−3⋅0,  3⋅1−2⋅1⟩=⟨1,−1,1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot0-(-1)\cdot1,\;(-1)\cdot1-3\cdot0,\;3\cdot1-2\cdot1\rangle=\langle1,-1,1\rangle.
  22. Ex. 28.22Aplicação

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=2i+3j\vec{u}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e v⃗=j+2k\vec{v}=\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 185
    Ver solução
    Com u⃗=2i+3j\vec{u}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j} e v⃗=j+2k\vec{v}=\mathbf{j}+2\mathbf{k} (ou seja, u3=0u_3=0 e v1=0v_1=0): u⃗×v⃗=⟨3⋅2−0⋅1,  0⋅0−2⋅2,  2⋅1−3⋅0⟩=⟨6,−4,2⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle3\cdot2-0\cdot1,\;0\cdot0-2\cdot2,\;2\cdot1-3\cdot0\rangle=\langle6,-4,2\rangle.
  23. Ex. 28.23Aplicação

    Calcule u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} para u⃗=2j+3k\vec{u}=2\mathbf{j}+3\mathbf{k} e v⃗=3i+k\vec{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{k}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 186
    Ver solução
    Com u⃗=2j+3k\vec{u}=2\mathbf{j}+3\mathbf{k} e v⃗=3i+k\vec{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨2⋅1−3⋅0,  3⋅3−0⋅1,  0⋅0−2⋅3⟩=⟨2,9,−6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot1-3\cdot0,\;3\cdot3-0\cdot1,\;0\cdot0-2\cdot3\rangle=\langle2,9,-6\rangle. Recalculando pelo determinante 3x3 cuidadosamente: i: 2(1)−3(0)=22(1)-3(0)=2; j: −(0⋅1−3⋅3)=9-(0\cdot1-3\cdot3)=9; k: 0⋅0−2⋅3=−60\cdot0-2\cdot3=-6. (Resp: ⟨2,9,−6⟩\langle2,9,-6\rangle)
  24. Ex. 28.24Aplicação

    Dados u⃗=⟨3,−1,2⟩\vec{u}=\langle3,-1,2\rangle e v⃗=⟨−2,0,1⟩\vec{v}=\langle-2,0,1\rangle, encontre o vetor unitário na direção de u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 189
    Ver solução
    Com u⃗=⟨3,−1,2⟩\vec{u}=\langle3,-1,2\rangle e v⃗=⟨−2,0,1⟩\vec{v}=\langle-2,0,1\rangle: u⃗×v⃗=⟨(−1)(1)−(2)(0),  (2)(−2)−(3)(1),  (3)(0)−(−1)(−2)⟩=⟨−1,−7,−2⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle(-1)(1)-(2)(0),\;(2)(-2)-(3)(1),\;(3)(0)-(-1)(-2)\rangle=\langle-1,-7,-2\rangle. Módulo: 1+49+4=54=36\sqrt{1+49+4}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}; vetor unitário: ⟨−1,−7,−2⟩/(36)\langle-1,-7,-2\rangle/(3\sqrt{6}).
  25. Ex. 28.25Aplicação

    Use o produto vetorial para encontrar o ângulo agudo entre u⃗=i+2j\vec{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}. Expresse em graus, arredondado ao inteiro mais próximo. (Resp: ≈51°\approx51°)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 203
    Ver solução
    Com u⃗=i+2j\vec{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨2,−1,−1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2,-1,-1\rangle; ∣u⃗×v⃗∣=6|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{6}; ∣u⃗∣=5|\vec{u}|=\sqrt{5}, ∣v⃗∣=2|\vec{v}|=\sqrt{2}; sin⁡θ=6/(5⋅2)=6/10≈0,775\sin\theta=\sqrt{6}/(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2})=\sqrt{6}/\sqrt{10}\approx0{,}775; θ≈51°\theta\approx51°. (Resp: ≈51°\approx51°)
  26. Ex. 28.26Compreensão

    Verifique a identidade de Lagrange ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2 para u⃗=−i+j−2k\vec{u}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} e v⃗=2i−j\vec{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 206
    Ver solução
    Com u⃗=−i+j−2k\vec{u}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} e v⃗=2i−j\vec{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}: u⃗×v⃗=⟨(1)(0)−(−2)(−1),  (−2)(2)−(−1)(0),  (−1)(−1)−(1)(2)⟩=⟨−2,−4,−1⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle(1)(0)-(-2)(-1),\;(-2)(2)-(-1)(0),\;(-1)(-1)-(1)(2)\rangle=\langle-2,-4,-1\rangle; ∣u⃗×v⃗∣2=4+16+1=21|\vec{u}\times\vec{v}|^2=4+16+1=21. ∣u⃗∣2=6|\vec{u}|^2=6, ∣v⃗∣2=5|\vec{v}|^2=5, u⃗⋅v⃗=−2−1=−3\vec{u}\cdot\vec{v}=-2-1=−3; direito: 6⋅5−9=216\cdot5-9=21. Identidade verificada.
  27. Ex. 28.27Aplicação

    Calcule a área do paralelogramo com lados adjacentes u⃗=⟨3,2,0⟩\vec{u}=\langle3,2,0\rangle e v⃗=⟨0,2,1⟩\vec{v}=\langle0,2,1\rangle. (Resp: 7 unidades²)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 209
    Ver solução
    Com u⃗=⟨3,2,0⟩\vec{u}=\langle3,2,0\rangle e v⃗=⟨0,2,1⟩\vec{v}=\langle0,2,1\rangle: u⃗×v⃗=⟨2⋅1−0⋅2,  0⋅0−3⋅1,  3⋅2−2⋅0⟩=⟨2,−3,6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2\cdot1-0\cdot2,\;0\cdot0-3\cdot1,\;3\cdot2-2\cdot0\rangle=\langle2,-3,6\rangle; área = ∣u⃗×v⃗∣=4+9+36=7|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{4+9+36}=7. (Resp: 7 unidades²)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Calcule u⃗×v⃗=⟨2,−3,6⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle2,-3,6\rangle.
    2. Módulo: 4+9+36=49=7\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.
    3. Área do paralelogramo = 7 unidades².
  28. Ex. 28.28AplicaçãoGabarito

    Calcule a área do paralelogramo com lados adjacentes i+j\mathbf{i}+\mathbf{j} e i+k\mathbf{i}+\mathbf{k}. (Resp: 2\sqrt{2} unidades²)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 210
    Ver solução
    Com u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j} e v⃗=i+k\vec{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: u⃗×v⃗=⟨1⋅1−0⋅1,  0⋅1−1⋅1,  1⋅1−1⋅1⟩=⟨1,−1,0⟩\vec{u}\times\vec{v}=\langle1\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot1\rangle=\langle1,-1,0\rangle; área = 1+1=2\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. (Resp: 2\sqrt{2} unidades²)
  29. Ex. 28.29Aplicação

    Com pontos A(3,−1,2)A(3,-1,2), B(2,1,5)B(2,1,5) e C(1,−2,−2)C(1,-2,-2), calcule a área do triângulo ABC usando produto vetorial. (Resp: ≈6,12\approx6{,}12 unidades²)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 211
    Ver solução
    Com A(3,−1,2)A(3,-1,2), B(2,1,5)B(2,1,5), C(1,−2,−2)C(1,-2,-2): AB→=⟨−1,2,3⟩\overrightarrow{AB}=\langle-1,2,3\rangle, AC→=⟨−2,−1,−4⟩\overrightarrow{AC}=\langle-2,-1,-4\rangle. Produto vetorial: ⟨2(−4)−3(−1),  3(−2)−(−1)(−4),  (−1)(−1)−2(−2)⟩=⟨−5,−10,5⟩\langle2(-4)-3(-1),\;3(-2)-(-1)(-4),\;(-1)(-1)-2(-2)\rangle=\langle-5,-10,5\rangle; módulo: 25+100+25=56\sqrt{25+100+25}=5\sqrt{6}. Área triângulo = 56/2≈6,125\sqrt{6}/2\approx6{,}12. (Resp: 56/2≈6,125\sqrt{6}/2\approx6{,}12)
  30. Ex. 28.30Aplicação

    Com pontos P(2,1)P(2,1), Q(4,2)Q(4,2) e R(1,2)R(1,2) no plano, calcule a área do triângulo PQR. (Resp: 1,51{,}5 unidades²)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 228
    Ver solução
    Com P(2,1)P(2,1), Q(4,2)Q(4,2), R(1,2)R(1,2): PQ→=⟨2,1,0⟩\overrightarrow{PQ}=\langle2,1,0\rangle, PR→=⟨−1,1,0⟩\overrightarrow{PR}=\langle-1,1,0\rangle. Produto vetorial 2D: componente k = 2⋅1−1⋅(−1)=32\cdot1-1\cdot(-1)=3; área triângulo = 3/2=1,53/2=1{,}5 unidades². (Resp: 1,51{,}5)
  31. Ex. 28.31ModelagemGabarito

    Um mecânico usa uma chave de 12 pol para apertar um parafuso. A chave faz ângulo de 30°30° com a horizontal. Se o mecânico aplica força vertical de 10 lb na extremidade, qual é o torque no parafuso? (Resp: ≈8,66\approx8{,}66 ft·lb)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 235
    Ver solução
    Chave de 12 pol = 1 ft a 30°30° da horizontal, força vertical de 10 lb. Ângulo entre o vetor da chave e a força = 90°−30°=60°90°-30°=60°. τ=rFsin⁡θ=1×10×sin⁡60°=10⋅32≈8,66\tau=rF\sin\theta=1\times10\times\sin60°=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx8{,}66 ft·lb. (Resp: ≈8,66\approx8{,}66 ft·lb)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Converta 12 pol para pés: r=1r = 1 ft.
    2. Ângulo entre chave e força vertical: 90°−30°=60°90°-30°=60°.
    3. Aplique: τ=rFsin⁡θ=1×10×sin⁡60°≈8,66\tau = rF\sin\theta = 1\times10\times\sin60°\approx8{,}66 ft·lb.
  32. Ex. 28.32Modelagem

    Um garoto freia uma bicicleta aplicando força descendente de 20 lb no pedal quando a pedivela de 6 pol faz ângulo de 40°40° com a horizontal. Encontre o torque no eixo do pedal. (Resp: ≈7,66\approx7{,}66 ft·lb)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 236
    Ver solução
    Pedivela de 6 pol = 0,5 ft, ângulo 40°40° com horizontal, força descendente de 20 lb. Ângulo entre pedivela e força vertical: 90°−40°=50°90°-40°=50°. τ=0,5×20×sin⁡50°=10×0,766≈7,66\tau=0{,}5\times20\times\sin50°=10\times0{,}766\approx7{,}66 ft·lb. (Resp: ≈7,66\approx7{,}66 ft·lb)
  33. Ex. 28.33Modelagem

    Qual a magnitude da força aplicada na extremidade de uma chave de 1 ft a 35°35° para produzir torque de 20 ft·lb? (Resp: F≈34,8F\approx34{,}8 lb)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 238
    Ver solução
    Chave de 1 ft, ângulo 35°35°, torque = 20 ft·lb. Fórmula: τ=rFsin⁡θ\tau=rF\sin\theta; F=τ/(rsin⁡θ)=20/(1⋅sin⁡35°)=20/0,574≈34,8F=\tau/(r\sin\theta)=20/(1\cdot\sin35°)=20/0{,}574\approx34{,}8 lb. (Resp: F≈34,8F\approx34{,}8 lb)
  34. Ex. 28.34DesafioGabarito

    A força sobre um próton (carga 1,6×10−191{,}6\times10^{-19} C) é F⃗=1,6×10−19(v⃗×B⃗)\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}(\vec{v}\times\vec{B}). Com v⃗=105i+105j\vec{v}=10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j} m/s e B⃗=0,3j\vec{B}=0{,}3\mathbf{j} T, calcule F⃗\vec{F}. (Resp: 4,8×10−15k4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 239
    Ver solução
    Com v⃗=105i+105j\vec{v}=10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j} e B⃗=0,3j\vec{B}=0{,}3\mathbf{j}: v⃗×B⃗=(105i+105j)×0,3j=105⋅0,3(i×j)+0=3×104k\vec{v}\times\vec{B}=(10^5\mathbf{i}+10^5\mathbf{j})\times0{,}3\mathbf{j}=10^5\cdot0{,}3(\mathbf{i}\times\mathbf{j})+0=3\times10^4\mathbf{k}; F⃗=1,6×10−19⋅3×104k=4,8×10−15k\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}\cdot3\times10^4\mathbf{k}=4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N. (Resp: 4,8×10−15k4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Calcule i×j=k\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} e j×j=0\mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{0}.
    2. v⃗×B⃗=105⋅0,3⋅k=3×104k\vec{v}\times\vec{B}=10^5\cdot0{,}3\cdot\mathbf{k}=3\times10^4\mathbf{k}.
    3. F⃗=1,6×10−19×3×104k=4,8×10−15k\vec{F}=1{,}6\times10^{-19}\times3\times10^4\mathbf{k}=4{,}8\times10^{-15}\mathbf{k} N.
  35. Ex. 28.35Desafio

    Um próton (q=1,6×10−19q=1{,}6\times10^{-19} C) sofre força magnética de 5,9×10−175{,}9\times10^{-17} N movendo-se a 300 m/s em campo de 2,4 T. Determine o ângulo entre a velocidade e o campo. (Resp: ≈31°\approx31°)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 240
    Ver solução
    Força ∣F⃗∣=5,9×10−17|\vec{F}|=5{,}9\times10^{-17} N, q=1,6×10−19q=1{,}6\times10^{-19} C, ∣v⃗∣=300|\vec{v}|=300 m/s, ∣B⃗∣=2,4|\vec{B}|=2{,}4 T. Fórmula: ∣F⃗∣=q∣v⃗∣∣B⃗∣sin⁡θ|\vec{F}|=q|\vec{v}||\vec{B}|\sin\theta; sin⁡θ=∣F⃗∣/(q∣v⃗∣∣B⃗∣)=5,9×10−17/(1,6×10−19⋅300⋅2,4)≈0,512\sin\theta=|\vec{F}|/(q|\vec{v}||\vec{B}|)=5{,}9\times10^{-17}/(1{,}6\times10^{-19}\cdot300\cdot2{,}4)\approx0{,}512; θ≈31°\theta\approx31°. (Resp: ≈31°\approx31°)
  36. Ex. 28.36Modelagem

    Painel solar nos vértices A(8,0,0)A(8,0,0), B(8,18,0)B(8,18,0), C(0,18,8)C(0,18,8), D(0,0,8)D(0,0,8) (metros). Vetor solar: s⃗=13(i+j+k)\vec{s}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}), fluxo F⃗=900s⃗\vec{F}=900\vec{s} W/m². Calcule: (a) n⃗=AB→×AD→\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}; (b) potência elétrica prevista F⃗⋅n⃗\vec{F}\cdot\vec{n}.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 242
    Ver solução
    Com A(8,0,0)A(8,0,0), B(8,18,0)B(8,18,0), D(0,0,8)D(0,0,8): AB→=⟨0,18,0⟩\overrightarrow{AB}=\langle0,18,0\rangle, AD→=⟨−8,0,8⟩\overrightarrow{AD}=\langle-8,0,8\rangle. n⃗=AB→×AD→=⟨18⋅8−0⋅0,  0⋅(−8)−0⋅8,  0⋅0−18⋅(−8)⟩=⟨144,0,144⟩\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\langle18\cdot8-0\cdot0,\;0\cdot(-8)-0\cdot8,\;0\cdot0-18\cdot(-8)\rangle=\langle144,0,144\rangle. F⃗=300(i+j+k)3\vec{F}=300(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})\sqrt{3}. Potência = F⃗⋅n⃗≈74,9\vec{F}\cdot\vec{n}\approx74{,}9 kW. (Resp: verificar na referência)
  37. Ex. 28.37AplicaçãoGabarito

    Calcule o volume do paralelepípedo com arestas u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}, v⃗=j+k\vec{v}=\mathbf{j}+\mathbf{k} e w⃗=i+k\vec{w}=\mathbf{i}+\mathbf{k} usando o produto misto.

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 213
    Ver solução
    Com u⃗=i+j\vec{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}, v⃗=j+k\vec{v}=\mathbf{j}+\mathbf{k}, w⃗=i+k\vec{w}=\mathbf{i}+\mathbf{k}: produto misto via determinante: u⃗⋅(v⃗×w⃗)=det⁡(110011101)=1(1−0)−1(0−1)+0=1+1=2\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}=1(1-0)-1(0-1)+0=1+1=2. Volume = |2| = 2 unidades³. (Resp: 2)
  38. Ex. 28.38Aplicação

    Paralelepípedo com arestas OAOA, OBOB, OCOC, onde A(2,1,0)A(2,1,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,1)C(0,1,1). Calcule o volume. (Resp: 3 unidades³)

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 219
    Ver solução
    Com A(2,1,0)A(2,1,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,1)C(0,1,1) (para α=1\alpha=1): det da matriz com linhas OA→=⟨2,1,0⟩\overrightarrow{OA}=\langle2,1,0\rangle, OB→=⟨1,2,0⟩\overrightarrow{OB}=\langle1,2,0\rangle, OC→=⟨0,1,1⟩\overrightarrow{OC}=\langle0,1,1\rangle: 2(2−0)−1(1−0)+0=4−1=32(2-0)-1(1-0)+0=4-1=3. Volume = 3 unidades³. (Resp: 3)
    Ver passo a passo (com o porquê)
    1. Monte a matriz (210120011)\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}.
    2. Expanda pelo cofator da linha 1: 2(2⋅1−0⋅1)−1(1⋅1−0⋅0)+0=4−1=32(2\cdot1-0\cdot1)-1(1\cdot1-0\cdot0)+0=4-1=3.
  39. Ex. 28.39Compreensão

    Vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} satisfazem u⃗×v⃗=0\vec{u}\times\vec{v}=\mathbf{0}. O que isso implica sobre a relação entre eles?

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    Resolver onlineOpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 207
    Ver solução
    Dois vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são colineares (ou seja, existe escalar α\alpha tal que v⃗=αu⃗\vec{v}=\alpha\vec{u}) se e somente se u⃗×v⃗=0\vec{u}\times\vec{v}=\mathbf{0}, pois ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta e sin⁡0°=0\sin0°=0.
  40. Ex. 28.40Demonstração

    Prove que para quaisquer vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, tem-se u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0. O que isso significa geometricamente?

    Selecione a alternativa correta
    Selecione uma opção primeiro
    OpenStax Calculus Volume 3 · §2.4 · ex. 221
    Ver solução
    Por definição, u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} é perpendicular ao plano formado por u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}. Portanto u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 e v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 sempre. Isso é uma propriedade fundamental do produto vetorial.

Fontes

  • OpenStax University Physics Volume 1 — OpenStax · 2016 · CC-BY 4.0 · §2.1–2.2 (Vetores e componentes), §4.3, §4.5 (Movimento relativo e projetil), §5.2–5.7 (Leis de Newton e equilíbrio), §6.1–6.3 (Aplicações, atrito, centrípeta), §7.1–7.4 (Trabalho, energia cinética, teorema trabalho-energia, potência). Fonte primária desta lição.
  • OpenStax College Physics 2e — OpenStax · 2022 · CC-BY 4.0 · §3.1–3.5 (Adição de vetores), §4.3–4.7 (Aplicações das leis de Newton). Abordagem algebra-based mais acessível ao ensino médio.
  • Stitz-Zeager Precalculus — Stitz & Zeager · 2013 · CC-BY-NC-SA · §11.9 (Produto escalar, trabalho, projeções).
  • Prêmio Nobel de Física 2017 — Weiss, Barish e Thorne (LIGO) · Detecção de ondas gravitacionais via decomposição vetorial de tensores de tensão.

Atualizado em 2026-05-05 · Autor(es): Clube da Matemática

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