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Lição 31 — Introdução a matrizes

Matriz como tabela retangular de números — um objeto algébrico novo. Notação, dimensões, igualdade, tipos especiais e lei de formação.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã · Pré-cálculo norte-americano §11.5

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Matriz: arranjo retangular de números organizados em m linhas e n colunas. A notação $a_{ij}$ localiza o elemento da linha i e coluna j. É um objeto algébrico novo — não é apenas uma lista de números, e suas operações (em especial a multiplicação) não comutam: em geral $AB \neq BA$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e tipos especiais

Definição· Matriz

Uma matriz $m \times n$ sobre $\mathbb{R}$ é uma função $A: \{1, \ldots, m\} \times \{1, \ldots, n\} \to \mathbb{R}$ , representada pelo arranjo retangular

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

onde $a_{ij} = A(i, j) \in \mathbb{R}$ . Escreve-se $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ ou simplesmente $A_{m \times n}$ .

Igualdade: $A = B \iff$ mesma dimensão ( $m_A = m_B$ e $n_A = n_B$ ) e $a_{ij} = b_{ij}$ para todos $i, j$ .

"Uma matriz é um arranjo retangular de números. As matrizes são usadas para listar os coeficientes das variáveis em sistemas lineares." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.5

"Fixada a representação matricial, operações sobre sistemas se traduzem em operações sobre matrizes — e estas têm uma álgebra própria." — Hefferon, Linear Algebra, cap. 1, §I.1

Tipos especiais

Tipo	Condição
Quadrada	$m = n$
Linha	$m = 1$ (vetor linha)
Coluna	$n = 1$ (vetor coluna)
Nula $O$	$a_{ij} = 0$ para todo $i, j$
Diagonal	quadrada com $a_{ij} = 0$ para $i \neq j$
Identidade $I_n$	diagonal com $a_{ii} = 1$
Escalar	diagonal com $a_{ii} = k$ constante
Triangular superior	$a_{ij} = 0$ para $i > j$
Triangular inferior	$a_{ij} = 0$ para $i < j$
Simétrica	$A^T = A$ , i.e., $a_{ij} = a_{ji}$
Antissimétrica	$A^T = -A$ , i.e., $a_{ij} = -a_{ji}$

Diagonal principal e traço

Elementos destacados formam a diagonal principal (posições i = j). Traço = 5 + (−4) + 9 = 10.

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}

(Tr)

o que isso quer dizer · O traço de uma matriz quadrada é a soma de seus elementos diagonais. Aparece em mecânica quântica, teoria espectral e aprendizado de máquina.

Lei de formação

Uma matriz pode ser definida por uma fórmula $a_{ij} = f(i, j)$ . Exemplos clássicos:

$a_{ij} = i + j$ — entradas crescem ao longo de linhas e colunas.
$a_{ij} = (-1)^{i+j}$ — padrão "tabuleiro de xadrez" (aparece nos cofatores de Laplace).
$a_{ij} = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker: 1 se $i = j$ , 0 caso contrário) — gera $I_n$ .

Teorema· Decomposição simétrica-antissimétrica

Toda matriz quadrada $A \in M_n(\mathbb{R})$ se escreve de forma única como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica:

$A = \underbrace{\frac{A + A^T}{2}}_{S, \text{ simétrica}} + \underbrace{\frac{A - A^T}{2}}_{K, \text{ antissimétrica}}$

Prova. Basta verificar $(A + A^T)^T = A^T + A = A + A^T$ (simétrica) e $(A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$ (antissimétrica). A soma $S + K = A$ é imediata. Unicidade: se $A = S' + K'$ com $S'^T = S'$ e $K'^T = -K'$ , então transpor dá $A^T = S' - K'$ ; somando e subtraindo obtém-se $S' = (A+A^T)/2 = S$ e $K' = K$ . $\square$

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da identificação direta de elementos à modelagem com dados reais. Cada exemplo indica sua fonte.

Exemplo— 1· Identificação de elementos e dimensão

Problema. Considere a matriz $A = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix}.$ Determine a dimensão de $A$ , o valor de $a_{23}$ e o traço (se definido).

Estratégia. A dimensão é "linhas × colunas". O elemento $a_{ij}$ está na linha $i$ e coluna $j$ (índice de linha vem sempre primeiro). Traço exige matriz quadrada.

Resolução.

Contagem: 2 linhas, 3 colunas. Dimensão: $2 \times 3$ .
$a_{23}$ : linha 2, coluna 3 — terceiro elemento da segunda linha.
Segunda linha: $(4, 3, -1)$ . Logo $a_{23} = -1$ .
Traço: não está definido pois $A$ não é quadrada ( $m \neq n$ ).

Verificação. $a_{32}$ não existe ( $A$ tem apenas 2 linhas). Ler $a_{ij}$ corretamente — linha primeiro, coluna depois — é o primeiro hábito a consolidar.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §11.5 · CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Construção por lei de formação

Problema. Construa a matriz $A_{2 \times 3}$ tal que $a_{ij} = i + 2j$ .

Estratégia. Para cada par $(i, j)$ com $i \in \{1, 2\}$ e $j \in \{1, 2, 3\}$ , calcule $i + 2j$ e posicione na entrada correspondente.

Resolução.

$a_{11} = 1 + 2 = 3$ . $\quad a_{12} = 1 + 4 = 5$ . $\quad a_{13} = 1 + 6 = 7$ .
$a_{21} = 2 + 2 = 4$ . $\quad a_{22} = 2 + 4 = 6$ . $\quad a_{23} = 2 + 6 = 8$ .

$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}.$

Verificação. Cada linha cresce de 2 em 2 (coeficiente de $j$ é 2) e cada coluna cresce de 1 em 1 (coeficiente de $i$ é 1). Coerente com a fórmula.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §8.3 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Igualdade de matrizes resolvendo um sistema

Problema. Determine $x$ e $y$ reais tais que $\begin{pmatrix} 2x & y+1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.$

Estratégia. Igualdade de matrizes exige mesma dimensão (ambas $2 \times 2$ , ok) e entradas correspondentes iguais. Cada par de posições gera uma equação.

Resolução.

Posição $(1,1)$ : $2x = 8 \Rightarrow x = 4$ .
Posição $(1,2)$ : $y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3$ .
Posição $(2,1)$ : $3 = 3$ — identidade verdadeira.
Posição $(2,2)$ : $5 = 5$ — identidade verdadeira.

Verificação. Substituindo $x = 4$ e $y = 3$ , a matriz da esquerda se torna $\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ — coincide com a da direita.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §11.5 · CC-BY 4.0.

Exemplo— 4· Simetria, traço e decomposição

Problema. Dada $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix},$ (a) verifique se $A$ é simétrica; (b) calcule $\operatorname{tr}(A)$ ; (c) escreva a decomposição $A = S + K$ para uma segunda matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. Simétrica: $a_{ij} = a_{ji}$ . Traço: soma da diagonal. Decomposição: $S = (B+B^T)/2$ , $K = (B-B^T)/2$ .

Resolução.

Compare $a_{12} = -1 = a_{21}$ ; $a_{13} = 3 = a_{31}$ ; $a_{23} = 0 = a_{32}$ . Todas as entradas fora da diagonal coincidem com seus espelhos, logo $A^T = A$ — simétrica.
$\operatorname{tr}(A) = 2 + 5 + 7 = 14$ .
Para $B$ : $B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ . Então $S = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ (simétrica) e $K = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ (antissimétrica).

Verificação. $S + K = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = B$ ✓.

Fonte. Wikilivros — Álgebra linear / Matrizes · CC-BY-SA; decomposição: Hefferon, Linear Algebra, cap. 1 · CC-BY-SA.

Exemplo— 5· Modelagem: tabela de custos por fábrica

Problema. Uma empresa tem 3 fábricas (linhas) e produz 4 componentes (colunas). O custo unitário de produção (em R$) está na matriz

$C = \begin{pmatrix} 50 & 80 & 120 & 30 \\ 60 & 70 & 110 & 40 \\ 50 & 90 & 130 & 30 \end{pmatrix}.$

(a) Qual o significado de $c_{23}$ ? (b) Em qual fábrica o componente 4 tem o menor custo? (c) Qual a soma dos custos do componente 1 nas três fábricas?

Estratégia. Linha = fábrica, coluna = componente. $c_{ij}$ é custo do componente $j$ na fábrica $i$ . Para (b), olhe a coluna 4; para (c), some a coluna 1.

Resolução.

(a) $c_{23}$ : custo do componente 3 na fábrica 2. Pelos dados: $c_{23} = 110$ reais.
(b) Coluna 4: $(30, 40, 30)^T$ . O menor é R$ 30, empatado nas fábricas 1 e 3.
(c) Coluna 1: $50 + 60 + 50 = 160$ reais no total.

Verificação. Todas as unidades estão em R$ por unidade do componente — coerente com o enunciado.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §11.5 · CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 19Compreensão 6Modelagem 5Desafio 3Demonstração 7

Fontes

Livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios desta lição.

OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e — 2024 · EN · CC-BY 4.0 · §11.5 (Matrices and Matrix Operations) e §11.6 (Gaussian elimination). Fonte primária para exemplos e exercícios de identificação, igualdade e modelagem.
Hefferon — Linear Algebra — 4.ª ed. · EN · CC-BY-SA · cap. 1, §I.1–I.2. Fonte para lei de formação, decomposição e exercícios de compreensão sobre tipos especiais.
Wikilivros — Álgebra linear / Matrizes — vivo · PT-BR · CC-BY-SA. Fonte para definições, tipos especiais, exercícios de simetria e antissimetria.
Stitz–Zeager Precalculus — 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.3 (Matrix Arithmetic). Fonte para exercícios de construção por lei de formação.