v1 · padrão canônico

Lição 37 — Permutações e arranjos

Permutação total Pn = n!. Arranjo A(n,p). Quando a ordem importa.

Usado em: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math A japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

Permutação de n objetos: $n!$ formas de ordená-los. Arranjo: ordenar p objetos selecionados de n totais — $n!/(n-p)!$ . Em ambos, a ordem importa.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definições e demonstrações

Fatorial

"Definimos o fatorial de $n$ como $n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1$ para $n \geq 1$ , e $0! = 1$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Crescimento de fatorial:

Crescimento superexponencial de n!. Aproximação de Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Permutação com repetição

Para $n$ objetos com $n_1$ do tipo 1, $n_2$ do tipo 2, ..., $n_k$ do tipo $k$ (com $n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$ ):

P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}

o que isso quer dizer · Divide-se por n_i! porque trocar elementos iguais do tipo i entre si não gera nova configuração.

Anagramas de "ARARA" (3 A's, 2 R's): $5!/(3! \cdot 2!) = 10$ .

"O número de permutações distinguíveis de $n$ objetos onde existem $n_1$ objetos idênticos do tipo 1, $n_2$ do tipo 2, ..., e $n_r$ do tipo $r$ , é $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

$n$ objetos em círculo: $(n-1)!$ . Razão: a "primeira posição" é arbitrária — girar todos juntos não gera nova configuração. Formalmente: fixe um objeto em uma posição; os outros $n-1$ permutam livremente.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Cálculo direto de arranjo

Problema: Calcule $A_8^3$ — quantas formas de escolher e ordenar 3 objetos entre 8 disponíveis.

Estratégia: Aplicar a fórmula $A_n^p = n!/(n-p)!$ , ou equivalentemente $A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1)$ ( $p$ fatores descendentes a partir de $n$ ).

Resolução:

Forma fatorial: $A_8^3 = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6$ .
Multiplicação: $8 \cdot 7 = 56$ e $56 \cdot 6 = 336$ .
Resultado: $A_8^3 = 336$ .

Verificação: Pela contagem direta via PFC (1ª posição: 8 opções; 2ª: 7; 3ª: 6) obtemos $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licença CC-BY 4.0.

Exemplo— 2· Anagramas com letras repetidas

Problema: Quantos anagramas distintos pode-se formar com a palavra "BANANA"?

Estratégia: A palavra tem 6 letras com repetições: 3 letras A, 2 letras N e 1 letra B. Aplicar a fórmula da permutação com repetição.

Resolução:

Identificar multiplicidades: $n = 6$ , $n_A = 3$ , $n_N = 2$ , $n_B = 1$ .
Aplicar a fórmula: $P_6^{3,2,1} = \dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!}$ .
Calcular: $6! = 720$ , $3! = 6$ , $2! = 2$ , $1! = 1$ . Logo $720/(6 \cdot 2 \cdot 1) = 720/12 = 60$ .

Verificação: Sem dividir pelas repetições, teríamos $6! = 720$ permutações, mas trocas entre os 3 A's iguais não geram novo anagrama ( $3! = 6$ permutações idênticas), e trocas entre os 2 N's geram $2! = 2$ permutações idênticas. $720/(6 \cdot 2) = 60$ .

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — licença CC-BY-SA.

Exemplo— 3· Permutação circular com restrição

Problema: 8 pessoas vão sentar ao redor de uma mesa redonda. Duas delas, Ana e Bruno, querem ficar juntas. Quantas configurações distintas?

Estratégia: Trate Ana e Bruno como um único bloco. Restam então 7 "objetos" para distribuir em mesa redonda: $(7-1)! = 6!$ . Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de lugar: $2!$ formas.

Resolução:

Bloco "AB" + 6 outras pessoas = 7 objetos em mesa redonda: $(7-1)! = 6! = 720$ .
Permutação interna do bloco: $2! = 2$ (AB ou BA).
Total: $720 \cdot 2 = 1\,440$ .

Verificação: Sem a restrição, 8 pessoas em mesa redonda dão $7! = 5\,040$ configurações. Dado o lugar de Ana, Bruno tem 2 vizinhos possíveis em 7 lugares restantes — fração $2/7$ . $5\,040 \cdot 2/7 = 1\,440$ . Consistente.

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — licença CC-BY-SA.

Exemplo— 4· Resolução de equação fatorial

Problema: Determine o valor de $n \in \mathbb{N}$ que satisfaz $\dfrac{(n+2)!}{n!} = 56$ .

Estratégia: Simplificar o quociente fatorial usando $(n+2)! = (n+2)(n+1) \cdot n!$ , reduzindo a uma equação polinomial em $n$ .

Resolução:

Simplificar: $\dfrac{(n+2)!}{n!} = \dfrac{(n+2)(n+1) \cdot n!}{n!} = (n+2)(n+1)$ .
Equação: $(n+2)(n+1) = 56$ , ou seja, $n^2 + 3n + 2 = 56 \Rightarrow n^2 + 3n - 54 = 0$ .
Fórmula de Bhaskara: $n = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \dfrac{-3 \pm 15}{2}$ . Soluções: $n = 6$ ou $n = -9$ .
Como $n \in \mathbb{N}$ , descartamos $n = -9$ . Resposta: $n = 6$ .

Verificação: $(6+2)!/6! = 8!/6! = 8 \cdot 7 = 56$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §9.5 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Senhas com restrição posicional

Problema: Uma senha tem 5 caracteres, todos diferentes, escolhidos do alfabeto $\{A, B, C, \ldots, Z\}$ (26 letras). Por exigência, o primeiro caractere deve ser uma vogal ( $A, E, I, O, U$ ). Quantas senhas distintas existem?

Estratégia: Pelo PFC: contar a primeira posição (vogal) e em seguida o arranjo das 4 posições restantes entre as 25 letras que sobraram.

Resolução:

Primeiro caractere: 5 opções (vogais).
Próximas 4 posições: arranjo $A_{25}^4 = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22$ , pois sem repetição.
Cálculo: $25 \cdot 24 = 600$ , $600 \cdot 23 = 13\,800$ , $13\,800 \cdot 22 = 303\,600$ .
Total: $5 \cdot 303\,600 = 1\,518\,000$ .

Verificação: Sem restrição, $A_{26}^5 = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7\,893\,600$ . A fração de senhas começando por vogal é $5/26$ . $7\,893\,600 \cdot 5/26 = 1\,518\,000$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licença CC-BY 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 28Compreensão 6Modelagem 1Desafio 4Demonstração 1

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §11.7 Counting Principles. Fonte primária.
Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — colaborativo · PT-BR · CC-BY-SA · permutações, arranjos, anagramas. Fonte nativa em português.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.5 Counting.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3rd ed · EN · CC-BY-ND · cap. 3.

Lição 37 — Permutações e arranjos

Definições e demonstrações

Fatorial

Permutação simples

Permutação com repetição

Arranjo simples

Permutação circular

Exemplos resolvidos

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