v1 · padrão canônico

Lição 41 — Limite formal: definição ε-δ

A definição ε-δ de limite. Cauchy 1821, Weierstrass 1872. O ponto onde o cálculo se torna rigoroso.

Usado em: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis) · A-Level Further Maths — Limits

\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

A definição ε-δ de limite: dizemos que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ quando, para toda tolerância $\varepsilon>0$ escolhida por você, conseguimos exibir uma distância $\delta>0$ tal que todo $x$ dentro da faixa $0<|x-a|<\delta$ produz $f(x)$ dentro da faixa $|f(x)-L|<\varepsilon$ . É a fundação rigorosa do cálculo: sem ela não há derivada, sem derivada não há cálculo.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Definição ε-δ de limite

"We say that the limit of $f(x)$ , as $x$ approaches $a$ , equals $L$ , …if we can make the values of $f(x)$ arbitrarily close to $L$ …by restricting $x$ to be sufficiently close to $a$ (on either side of $a$ ) but not equal to $a$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2

Método ε-δ: como construir a demonstração

Escreva $|f(x) - L|$ e manipule algebricamente até aparecer um múltiplo de $|x - a|$ .
Restrinja $|x - a| < 1$ (ou outra constante) para controlar fatores adicionais.
Escolha $\delta = \min\bigl(1,\; \varepsilon / C\bigr)$ onde $C$ é o coeficiente obtido.
Verifique que a cadeia $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ se fecha.

Demonstração modelo: $\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7$

Rascunho: $|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$ . Para que $3|x-2| < \varepsilon$ , basta $|x-2| < \varepsilon/3$ .

Prova formal: Dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \varepsilon/3$ . Se $0 < |x - 2| < \delta$ , então $|f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

Limites laterais

Limite no infinito e infinito como limite

Definição· Quatro tipos de limite

Tipo	Definição
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow f(x)>M$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow f(x)>M$

Propriedades algébricas dos limites

Sejam $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ . Então:

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M, \qquad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M

o que isso quer dizer · Adição e multiplicação de limites. Demonstrável diretamente via ε-δ usando a desigualdade triangular.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M\neq 0

o que isso quer dizer · Quociente de limites: válido quando o limite do denominador é não-nulo.

Limites notáveis

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\!x}=e

o que isso quer dizer · Os quatro limites fundamentais do cálculo, usados em toda simplificação de indeterminações.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Cálculo intuitivo via tabela numérica (aplicação)

Problema. Estime numericamente $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ e confirme algebricamente.

Estratégia. Quando a substituição direta gera $0/0$ , a tabela numérica sugere o valor e a fatoração confirma.

Resolução:

Tabela de valores perto de $x = 2$ (com $x \neq 2$ ):

$x$	$(x^2-4)/(x-2)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

A tabela sugere $\lim = 4$ .

Confirmação algébrica: Para $x \neq 2$ , $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$ Logo $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$ .

Verificação: a fatoração cancela o fator $(x-2)$ que causava a indeterminação. O valor $f(2)$ está indefinido, mas o limite existe e vale 4.

Fonte. Active Calculus §1.2, Preview Activity 1.2.1 — licença CC-BY-SA.

Exemplo— 2· Demonstração formal ε-δ para função linear (formal)

Problema. Demonstre rigorosamente via $\varepsilon$ - $\delta$ que $\displaystyle\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ .

Estratégia. Expressamos $|f(x) - L|$ em termos de $|x - a|$ , identificamos a relação linear e escolhemos $\delta = \varepsilon / C$ .

Resolução:

Rascunho (para orientar a escolha de $\delta$ ): $|f(x) - 13| = |5x - 2 - 13| = |5x - 15| = 5|x - 3|.$ Para que $5|x-3| < \varepsilon$ , precisamos $|x - 3| < \varepsilon/5$ .

Prova formal: Seja $\varepsilon > 0$ dado. Tome $\delta = \varepsilon/5$ . Suponha $0 < |x - 3| < \delta$ . Então: $|(5x - 2) - 13| = 5|x - 3| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.$ Portanto, por definição, $\displaystyle\lim_{x\to 3}(5x - 2) = 13$ . $\square$

Observação: para funções lineares $f(x) = mx + b$ , a relação $|f(x) - (ma+b)| = |m|\cdot|x-a|$ é sempre direta. O $\delta = \varepsilon/|m|$ funciona sem restrições adicionais.

Verificação: Tomando $\varepsilon = 0{,}1$ : $\delta = 0{,}02$ . Para $|x - 3| < 0{,}02$ , tem-se $|5x - 15| = 5|x-3| < 5(0{,}02) = 0{,}1 = \varepsilon$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.5, Example 2.39 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Limites laterais e existência do limite (compreensão)

Problema. Considere a função $f(x) = |x|/x$ para $x \neq 0$ . Calcule os limites laterais em $x = 0$ e determine se $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe.

Estratégia. Calcular separadamente o limite à direita e à esquerda. O limite bilateral existe somente se ambos coincidem.

Resolução:

Observe que:

f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}

Limite à direita ( $x \to 0^+$ , isto é, $x > 0$ ): $f(x) = 1$ para todo $x > 0$ , portanto $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .

Limite à esquerda ( $x \to 0^-$ , isto é, $x < 0$ ): $f(x) = -1$ para todo $x < 0$ , portanto $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

Como $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ , os limites laterais são diferentes.

Conclusão: $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ não existe.

Verificação: o gráfico de $f$ é uma "escada" com degrau em $x = 0$ . É a descontinuidade de salto mais simples possível.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2, Example 2.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Limite no infinito de função racional (aplicação)

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7}$ .

Estratégia. Dividir numerador e denominador pela maior potência de $x$ presente ( $x^2$ ) e usar o fato de que $k/x^n \to 0$ quando $x \to \infty$ para qualquer constante $k$ e $n > 0$ .

Resolução:

Divida tudo por $x^2$ : $\frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7} = \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2}.$

Quando $x \to +\infty$ : $5/x \to 0$ , $1/x^2 \to 0$ , $7/x^2 \to 0$ . Portanto: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}.$

Regra geral: para $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ , o resultado depende de $n$ vs. $m$ :

$n < m$ : limite $= 0$ .
$n = m$ : limite $= a_n/b_m$ .
$n > m$ : limite $= \pm\infty$ (depende dos sinais).

Verificação: Em $x = 1000$ : $(3 \cdot 10^6 + 5000 - 1)/(2 \cdot 10^6 - 7) \approx 3005000/1999993 \approx 1{,}5025$ — converge para $3/2$ . ✓

Fonte. APEX Calculus §1.6, Example 1.6.1 — licença CC-BY-NC.

Exemplo— 5· Limite que não existe — oscilação (desafio)

Problema. Mostre que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ não existe.

Estratégia. Usar a caracterização sequencial de Heine: se o limite existisse, toda sequência $x_n \to 0$ com $x_n \neq 0$ produziria $f(x_n) \to L$ . Exibimos duas sequências com imagens convergindo a valores distintos.

Resolução:

Considere as duas sequências: $x_n = \frac{1}{2n\pi} \quad \text{e} \quad y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$

Ambas satisfazem $x_n \to 0$ e $y_n \to 0$ (denominadores crescem sem limite).

Para $x_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin(2n\pi) = 0 \quad \text{para todo } n.$ Logo $f(x_n) \to 0$ .

Para $y_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\!\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \sin\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{para todo } n.$ Logo $f(y_n) \to 1$ .

Como duas sequências em $x_n \to 0$ produzem limites diferentes ( $0$ e $1$ ), pela caracterização de Heine o limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ não existe. $\square$

Nota: o gráfico oscila infinitamente entre $-1$ e $1$ conforme $x \to 0$ — nenhum valor específico é privilegiado.

Fonte. Active Calculus §1.2, Activity 1.2.3 — licença CC-BY-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 7Compreensão 13Modelagem 2Desafio 6Demonstração 12

Ex. 41.1Compreensão
Escreva a definição ε-δ correta para a afirmação $\lim_{x\to a}f(x)=N$ .
Selecione a alternativa correta
$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-N|<\varepsilon$ $\exists\delta>0,\,\forall\varepsilon>0: 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-N|<\varepsilon$ $\forall\delta>0,\,\exists\varepsilon>0: 0<|f(x)-N|<\varepsilon\Rightarrow|x-a|<\delta$ $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-N|<\varepsilon$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 176
Ver solução
A definição ε-δ de $\lim_{x\to a}f(x)=N$ : para todo $\varepsilon>0$ (tolerância em $f$ ), existe $\delta>0$ (resposta em $x$ ) tal que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-N|<\varepsilon$ . A condição $0<|x-a|$ exclui o próprio ponto $a$ — o valor $f(a)$ é irrelevante para o limite.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Ordem dos quantificadores. $\forall\varepsilon$ vem antes de $\exists\delta$ : o desafiante escolhe $\varepsilon$ , o matemático responde com $\delta$ . Inverter destrói o sentido.
2. Condição no domínio. $0<|x-a|<\delta$ (vizinhança perfurada): exige $x\neq a$ .
3. Condição no contradomínio. $|f(x)-N|<\varepsilon$ : $f(x)$ deve estar a distância menor que $\varepsilon$ do valor limite $N$ .
4. Opção D está errada: omite $0<$ , que é essencial para excluir $x=a$ .
Ex. 41.2Compreensão
Escreva a definição ε-δ correta para a afirmação $\lim_{t\to b}g(t)=M$ .
Selecione a alternativa correta
$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|t-b|<\delta\Rightarrow|g(t)-M|<\varepsilon$ $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|t-M|<\delta\Rightarrow|g(t)-b|<\varepsilon$ $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|g(t)-b|<\delta\Rightarrow|t-M|<\varepsilon$ $\exists\varepsilon>0,\,\forall\delta>0: 0<|t-b|<\delta\Rightarrow|g(t)-M|<\varepsilon$
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OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 177
Ver solução
Para $\lim_{t\to b}g(t)=M$ : a variável independente é $t$ (approximando $b$ ) e o valor do limite é $M$ . A definição ε-δ é $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|t-b|<\delta\Rightarrow|g(t)-M|<\varepsilon$ .
Ex. 41.3Compreensão
Escreva a definição ε-δ correta para a afirmação $\lim_{x\to c}h(x)=L$ .
Selecione a alternativa correta
$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-c|<\delta\Rightarrow|h(x)-L|<\varepsilon$ $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-L|<\delta\Rightarrow|h(x)-c|<\varepsilon$ $\forall L>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-c|<\delta\Rightarrow|h(x)-\varepsilon|<L$ $\forall\delta>0,\,\exists\varepsilon>0: 0<|x-c|<\varepsilon\Rightarrow|h(x)-L|<\delta$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 178
Ver solução
Para $\lim_{x\to c}h(x)=L$ : o ponto de acumulação é $c$ , o valor limite é $L$ . A definição correta é $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-c|<\delta\Rightarrow|h(x)-L|<\varepsilon$ . Observe que $c$ e $L$ ocupam papéis distintos e não intercambiáveis.
Ex. 41.4Compreensão
Escreva a definição ε-δ correta para a afirmação $\lim_{x\to a}\varphi(x)=A$ .
Selecione a alternativa correta
$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|\varphi(x)-A|<\varepsilon$ $\forall A>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|\varphi(x)|<\varepsilon$ $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: |x-a|<\delta\Rightarrow\varphi(x)=A$ $\exists\delta>0,\,\forall\varepsilon>0: 0<|\varphi(x)-A|<\varepsilon\Rightarrow|x-a|<\delta$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 179
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Para $\lim_{x\to a}\varphi(x)=A$ : mesma estrutura universal — $\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|\varphi(x)-A|<\varepsilon$ . Os nomes das funções e letras para o limite mudam; a estrutura lógica com quantificadores permanece idêntica.
Ex. 41.5Compreensão
A afirmação "se $0<|x-2|<\delta$ , então $|f(x)-2|<1$ " descreve qual limite com qual tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 2}f(x)=2$ com $\varepsilon=1$ e $\delta$ a encontrar $\lim_{x\to 1}f(x)=2$ com $\varepsilon=2$ e $\delta$ a encontrar $\lim_{x\to 2}f(x)=1$ com $\varepsilon=2$ e $\delta$ a encontrar $\lim_{x\to 0}f(x)=2$ com $\varepsilon=1$ e $\delta$ a encontrar
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 180
Ver solução
A frase "se $0<|x-2|<\delta$ , então $|f(x)-2|<1$ " é precisamente a definição ε-δ com ponto de acumulação $a=2$ , valor limite $L=2$ e tolerância $\varepsilon=1$ . O $\delta$ é o valor que precisa ser encontrado ou exibido.
Ex. 41.6Compreensão
A afirmação "se $0<|x-2|<\delta$ , então $|f(x)-2|<0{,}5$ " descreve qual limite com qual tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 2}f(x)=2$ com $\varepsilon=0{,}5$ $\lim_{x\to 2}f(x)=0{,}5$ com $\varepsilon=2$ $\lim_{x\to 0{,}5}f(x)=2$ com $\varepsilon=2$ $\lim_{x\to 2}f(x)=2$ com $\varepsilon=1$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 181
Ver solução
A frase "se $0<|x-2|<\delta$ , então $|f(x)-2|<0{,}5$ " tem $a=2$ (ponto de acumulação), $L=2$ (valor limite) e $\varepsilon=0{,}5$ (tolerância em $f$ ). É o mesmo limite de 41.5 mas com exigência mais estrita ( $\varepsilon$ menor).
Ex. 41.7Compreensão
A afirmação "se $0<|x-3|<\delta$ , então $|f(x)+1|<1$ " descreve qual limite e qual tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 3}f(x)=-1$ com $\varepsilon=1$ $\lim_{x\to -1}f(x)=3$ com $\varepsilon=1$ $\lim_{x\to 3}f(x)=1$ com $\varepsilon=1$ $\lim_{x\to -1}f(x)=-3$ com $\varepsilon=3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 182
Ver solução
A frase "se $0<|x-3|<\delta$ , então $|f(x)+1|<1$ " tem $a=3$ (ponto) e $|f(x)-(-1)|<1$ , ou seja, $L=-1$ e $\varepsilon=1$ . Atenção: $|f(x)+1|=|f(x)-(-1)|$ , o limite é $-1$ , não $+1$ .
Ex. 41.8CompreensãoGabarito
A afirmação "se $0<|x-3|<\delta$ , então $|f(x)+1|<2$ " descreve qual limite e qual tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 3}f(x)=-1$ com $\varepsilon=2$ $\lim_{x\to 3}f(x)=-1$ com $\varepsilon=1$ $\lim_{x\to -1}f(x)=3$ com $\varepsilon=2$ $\lim_{x\to 2}f(x)=-1$ com $\varepsilon=3$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 183
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A frase "se $0<|x-3|<\delta$ , então $|f(x)+1|<2$ " tem $a=3$ , $L=-1$ (pois $|f(x)-(-1)|<2$ ) e $\varepsilon=2$ . Comparando com 41.7: mesmo limite, tolerância mais larga ( $\varepsilon=2$ em vez de 1) — portanto um $\delta$ maior basta.
Ex. 41.9CompreensãoGabarito
A afirmação " $|\sin(2x)-\tfrac{1}{2}|<0{,}1$ sempre que $|x-\pi/12|<\delta$ " corresponde a qual limite com qual tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 2}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}$ com $\varepsilon=0{,}1$ e ponto $a=\pi/12$ $\lim_{x\to \pi/12}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}$ com $\varepsilon=0{,}1$ e ponto $a=\pi/12$ $\lim_{x\to 1/2}\sin(2x)=\pi/12$ com $\varepsilon=0{,}1$ $\lim_{x\to 0}\sin(x)=\pi/12$ com $\varepsilon=2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 186
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A frase " $|\sin(2x)-\tfrac{1}{2}|<0{,}1$ sempre que $|x-\pi/12|<\delta$ " afirma que $\sin(2x)$ fica a menos de $0{,}1$ de $\tfrac{1}{2}$ quando $x$ está próximo de $\pi/12$ . Portanto o limite é $\lim_{x\to\pi/12}\sin(2x)=\tfrac{1}{2}$ com $\varepsilon=0{,}1$ . Verificação: $\sin(2\cdot\pi/12)=\sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2}$ . Correto.
Ex. 41.10Compreensão
A afirmação " $|\sqrt{x-4}-2|<0{,}1$ sempre que $|x-8|<\delta$ " corresponde a qual limite e tolerância?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 8}\sqrt{x-4}=2$ com $\varepsilon=0{,}1$ $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2$ com $\varepsilon=0{,}1$ $\lim_{x\to 8}\sqrt{x-4}=0{,}1$ com $\varepsilon=2$ $\lim_{x\to 2}\sqrt{x-4}=8$ com $\varepsilon=0{,}1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 187
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A frase " $|\sqrt{x-4}-2|<0{,}1$ sempre que $|x-8|<\delta$ " tem $a=8$ (ponto de acumulação), $L=2$ (valor limite) e $\varepsilon=0{,}1$ . Verificação: $\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2$ . O limite existe e é 2.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique o ponto. A condição " $|x-8|<\delta$ " mostra que $x$ se aproxima de $a=8$ .
2. Identifique o limite. " $|\sqrt{x-4}-2|<0{,}1$ " mostra que $f(x)=\sqrt{x-4}$ se aproxima de $L=2$ .
3. Identifique a tolerância. $\varepsilon=0{,}1$ .
4. Verificação. $f(8)=\sqrt{8-4}=2$ . Faz sentido — o limite é o valor da função, pois $\sqrt{x-4}$ é contínua em $x=8$ .
Ex. 41.11Demonstração
Use a definição ε-δ precisa para provar que $\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\varepsilon/5$ $\delta=5\varepsilon$ $\delta=\varepsilon$ $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 188
Ver solução
Rascunho: $|(5x+8)-18|=|5x-10|=5|x-2|$ . Para $5|x-2|<\varepsilon$ , basta $|x-2|<\varepsilon/5$ . Prova: dado $\varepsilon>0$ , tome $\delta=\varepsilon/5$ . Se $0<|x-2|<\delta$ , então $|(5x+8)-18|=5|x-2|<5\cdot(\varepsilon/5)=\varepsilon$ . $\square$
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Rascunho (encontrar $\delta$ ). $|(5x+8)-18|=|5x-10|=5|x-2|$ . Queremos $5|x-2|<\varepsilon$ , ou seja, $|x-2|<\varepsilon/5$ .
2. Escolha. $\delta=\varepsilon/5$ .
3. Prova formal. Dado $\varepsilon>0$ , tome $\delta=\varepsilon/5$ . Se $0<|x-2|<\delta$ , então $|(5x+8)-18|=5|x-2|<5(\varepsilon/5)=\varepsilon$ .
4. Conclusão. Por definição, $\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$ . $\square$
Para funções lineares $f(x)=mx+b$ , o delta é sempre $\varepsilon/|m|$ sem restrições adicionais.
Ex. 41.12DemonstraçãoGabarito
Use a definição ε-δ para provar que $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=6$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\varepsilon$ (após fatorar $x^2-9=(x-3)(x+3)$ ) $\delta=\varepsilon/6$ $\delta=\min(1,\varepsilon/7)$ $\delta=\varepsilon/3$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 189
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Para $x\neq 3$ : $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ . Portanto $|\frac{x^2-9}{x-3}-6|=|x+3-6|=|x-3|$ . Basta $\delta=\varepsilon$ : se $0<|x-3|<\delta$ , então $|f(x)-6|=|x-3|<\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.13Demonstração
Use a definição ε-δ para provar que $\lim_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=5$ . Qual a estratégia e a escolha de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\varepsilon$ (após simplificar a fração) $\delta=\varepsilon/5$ $\delta=\varepsilon/2$ $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 190
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Fatoração: $2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$ . Para $x\neq 2$ : $\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}=2x+1$ . Portanto $|f(x)-5|=|2x+1-5|=|2x-4|=2|x-2|$ . Para $2|x-2|<\varepsilon$ : tome $\delta=\varepsilon/2$ . (A opção "após simplificar, $\delta=\varepsilon$ " é aceitável para a forma simplificada mas a resposta exata é $\delta=\varepsilon/2$ .)
Ex. 41.14Demonstração
Use a definição ε-δ para provar que $\lim_{x\to 0}x^4=0$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\varepsilon^{1/4}$ $\delta=\varepsilon^4$ $\delta=\varepsilon/4$ $\delta=\min(1,\varepsilon/4)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 191
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Rascunho: $|x^4-0|=|x|^4$ . Para $|x|^4<\varepsilon$ , basta $|x|<\varepsilon^{1/4}$ . Prova: dado $\varepsilon>0$ , tome $\delta=\varepsilon^{1/4}$ . Se $0<|x-0|=|x|<\delta$ , então $|x^4|=(|x|)^4<(\varepsilon^{1/4})^4=\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.15Demonstração
Use a definição ε-δ para provar que $\lim_{x\to 2}(x^2+2x)=8$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\min(1,\varepsilon/7)$ $\delta=\varepsilon/7$ $\delta=\min(1,\varepsilon/8)$ $\delta=\varepsilon/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 192
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Rascunho: $|(x^2+2x)-8|=|x^2+2x-8|=|(x-2)(x+4)|=|x-2|\cdot|x+4|$ . Restringindo $|x-2|<1$ : $1<x<3$ , logo $5<x+4<7$ , portanto $|x+4|<7$ . Então $|(x^2+2x)-8|<7|x-2|$ . Para $7|x-2|<\varepsilon$ : tome $\delta=\min(1,\varepsilon/7)$ . $\square$
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatore. $|(x^2+2x)-8|=|(x-2)(x+4)|=|x-2|\cdot|x+4|$ .
2. Restrinja. Impondo $|x-2|<1$ : $1<x<3$ , logo $|x+4|<7$ .
3. Estime. $|(x^2+2x)-8|<7|x-2|$ .
4. Escolha $\delta$ . Para $7|x-2|<\varepsilon$ : $|x-2|<\varepsilon/7$ . Tome $\delta=\min(1,\varepsilon/7)$ .
O $\min(1,\cdot)$ é a marca das demonstrações para polinômios grau 2+: o "1" restringe o fator variável.
Ex. 41.16Demonstração
Use a definição precisa de limite lateral para provar que $\lim_{x\to 5^-}\sqrt{5-x}=0$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\varepsilon^2$ $\delta=\varepsilon$ $\delta=\sqrt{\varepsilon}$ $\delta=\min(1,\varepsilon)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 193
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Para o limite à esquerda $\lim_{x\to 5^-}\sqrt{5-x}=0$ : para $x<5$ , $|\sqrt{5-x}-0|=\sqrt{5-x}$ . Queremos $\sqrt{5-x}<\varepsilon$ , ou seja, $5-x<\varepsilon^2$ , ou $x>5-\varepsilon^2$ , ou seja, $5-x<\varepsilon^2$ . Tome $\delta=\varepsilon^2$ : se $0<5-x<\delta=\varepsilon^2$ , então $\sqrt{5-x}<\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.17Demonstração
Para $f(x)=\begin{cases}8x-3 & x<0 \\ 4x-2 & x\geq 0\end{cases}$ , prove que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-2$ . Qual fórmula se usa e qual é $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $x \geq 0$ : $f(x)=4x-2$ , portanto $\lim_{x\to 0^+}f(x)=4(0)-2=-2$ e $\delta=\varepsilon/4$ .Para $x < 0$ : $f(x)=8x-3$ , portanto $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-3$ e $\delta=\varepsilon/8$ .O limite à direita é $0$ pois $f(0)$ não está definida. $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ não existe porque $f$ é definida por partes.
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 194
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Para o limite à direita, usamos a fórmula válida para $x\geq 0$ : $f(x)=4x-2$ . Então $|f(x)-(-2)|=|4x-2+2|=|4x|=4x$ (pois $x>0$ ). Para $4x<\varepsilon$ : tome $\delta=\varepsilon/4$ . Se $0<x<\delta$ , então $|f(x)+2|=4x<4(\varepsilon/4)=\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.18Demonstração
Para $f(x)=\begin{cases}5x-2 & x<1 \\ 7x-1 & x\geq 1\end{cases}$ , prove que $\lim_{x\to 1^-}f(x)=3$ . Qual fórmula se usa e qual é $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $x < 1$ : $f(x)=5x-2$ , portanto $\lim_{x\to 1^-}f(x)=3$ e $\delta=\varepsilon/5$ .Para $x \geq 1$ : $f(x)=7x-1$ , portanto $\lim_{x\to 1^-}f(x)=6$ e $\delta=\varepsilon/7$ . $\lim_{x\to 1^-}f(x)$ não existe pois $f$ tem salto em $x=1$ .O limite lateral esquerdo usa a média das duas fórmulas: $(3+6)/2=4{,}5$ .
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 195
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Para o limite à esquerda, usamos a fórmula válida para $x<1$ : $f(x)=5x-2$ . Então $|f(x)-3|=|5x-2-3|=|5x-5|=5|x-1|$ . Para $5|x-1|<\varepsilon$ : tome $\delta=\varepsilon/5$ . Se $0<1-x<\delta$ (i.e., $x\to 1^-$ ), então $|f(x)-3|=5|x-1|<5(\varepsilon/5)=\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.19DemonstraçãoGabarito
Use a definição precisa de limite infinito para provar que $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=1/\sqrt{M}$ (dado $M>0$ qualquer) $\delta=M$ $\delta=1/M$ $\delta=\sqrt{M}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 196
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Queremos provar $\lim_{x\to 0}1/x^2=+\infty$ : dado $M>0$ , encontrar $\delta>0$ tal que $0<|x|<\delta\Rightarrow 1/x^2>M$ . $1/x^2>M\Leftrightarrow x^2<1/M\Leftrightarrow |x|<1/\sqrt{M}$ . Tome $\delta=1/\sqrt{M}$ . $\square$
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Definição de limite infinito. $\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty$ significa: para todo $M>0$ , existe $\delta>0$ tal que $0<|x|<\delta\Rightarrow f(x)>M$ .
2. Rascunho. $1/x^2>M\Leftrightarrow x^2<1/M\Leftrightarrow |x|<1/\sqrt{M}$ .
3. Escolha. $\delta=1/\sqrt{M}$ .
4. Prova. Se $0<|x|<1/\sqrt{M}$ , então $x^2<1/M$ , portanto $1/x^2>M$ . $\square$
Ex. 41.20Demonstração
Use a definição precisa de limite infinito para provar que $\lim_{x\to -1}\frac{3}{(x+1)^2}=+\infty$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\sqrt{3/M}$ (dado $M>0$ ) $\delta=3/M$ $\delta=\sqrt{M/3}$ $\delta=M/3$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 197
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Queremos $\lim_{x\to -1}\frac{3}{(x+1)^2}=+\infty$ . Dado $M>0$ : $\frac{3}{(x+1)^2}>M\Leftrightarrow (x+1)^2<3/M\Leftrightarrow |x+1|<\sqrt{3/M}$ . Tome $\delta=\sqrt{3/M}$ . Se $0<|x-(-1)|=|x+1|<\delta$ , então $(x+1)^2<3/M$ , portanto $3/(x+1)^2>M$ . $\square$
Ex. 41.21Demonstração
Use a definição precisa de limite infinito para provar que $\lim_{x\to 2}-\frac{1}{(x-2)^2}=-\infty$ . Qual é a escolha correta de $\delta$ ?
Selecione a alternativa correta
$\delta=\sqrt{1/M}$ (dado $M>0$ ), pois o limite é $-\infty$ $\delta=1/M$ $\delta=\sqrt{M}$ O limite é $+\infty$ , não $-\infty$ .
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 198
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Queremos $\lim_{x\to 2}-\frac{1}{(x-2)^2}=-\infty$ : dado $M>0$ , encontrar $\delta>0$ tal que $0<|x-2|<\delta\Rightarrow -1/(x-2)^2<-M$ . A condição $-1/(x-2)^2<-M$ equivale a $1/(x-2)^2>M$ , ou seja, $(x-2)^2<1/M$ , ou seja, $|x-2|<1/\sqrt{M}$ . Tome $\delta=1/\sqrt{M}$ . $\square$
Ex. 41.22ModelagemGabarito
Um engenheiro corta uma placa quadrada de Aerogel com área alvo de 144 cm². A tolerância máxima de erro em área é 8 cm². Com que precisão (em cm) deve o lado ser cortado? Relacione com os parâmetros ε, δ, $a$ e $L$ da definição ε-δ.
Selecione a alternativa correta
O lado deve ser cortado com precisão de $\delta \approx 0{,}33$ cm para garantir área dentro de 8 cm² do alvo.O lado deve ser cortado com precisão de $\delta = 8$ cm.A precisão necessária é $\delta = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ cm.Qualquer precisão serve, pois a área é quadrática.
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 199
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A área alvo é $L=144$ cm², erro máximo $\varepsilon=8$ cm². O lado é $a=\sqrt{144}=12$ cm. A área como função do lado é $A(s)=s^2$ . Queremos $|A(s)-144|<8$ , ou seja, $|s^2-144|<8$ . Para $|s-12|<\delta$ : $|s^2-144|=|s-12||s+12|$ . Com $|s-12|<1$ : $|s+12|<25$ . Então $|s^2-144|<25|s-12|<8$ exige $|s-12|<8/25=0{,}32$ . Portanto $\delta\approx 0{,}33$ cm.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique os papéis ε-δ. $a=12$ cm (valor alvo do lado), $L=144$ cm² (área alvo), $\varepsilon=8$ cm² (tolerância em área), $\delta$ = precisão necessária no corte do lado.
2. Estime. $|A(s)-144|=|s^2-144|=|s-12||s+12|$ . Com $|s-12|<1$ : $11<s<13$ , logo $|s+12|<25$ .
3. Escolha $\delta$ . $25|s-12|<8\Rightarrow |s-12|<8/25=0{,}32$ . Logo $\delta=\min(1,0{,}32)=0{,}32$ cm.
Ex. 41.23Demonstração
Use a definição precisa de limite para provar que $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ não existe. Qual é a estratégia?
Selecione a alternativa correta
Os limites laterais diferem: $+1$ à direita e $-1$ à esquerda, portanto o limite não existe.O limite existe e é $0$ (média dos laterais).O limite existe e é $1$ .O limite não existe pois $f(1)$ não está definida.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 200
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Para $x\to 1^+$ : $|x-1|=x-1$ , logo $\frac{|x-1|}{x-1}=1$ . Para $x\to 1^-$ : $|x-1|=-(x-1)$ , logo $\frac{|x-1|}{x-1}=-1$ . Como os limites laterais são $+1\neq -1$ , o limite bilateral $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ não existe. Para confirmar via ε-δ: suponha $L$ fosse o limite; tome $\varepsilon=1/2$ e derive contradição.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Simplifique por casos. Para $x>1$ : $|x-1|/(x-1)=1$ . Para $x<1$ : $|x-1|/(x-1)=-1$ .
2. Limites laterais. $\lim_{x\to 1^+}=1$ e $\lim_{x\to 1^-}=-1$ .
3. Conclusão. $1\neq -1$ , portanto o limite bilateral não existe.
4. Via ε-δ. Suponha $L$ fosse o limite. Para $\varepsilon=1/2$ , qualquer $\delta$ -vizinhança de 1 contém pontos onde $f=1$ e pontos onde $f=-1$ . Ambos não podem estar a distância $<1/2$ de um único $L$ : contradição.
Ex. 41.24DesafioGabarito
Prove rigorosamente que $\lim_{x\to 0}\lceil x\rceil$ (função teto) não existe. Dica: tente qualquer $\delta<1$ e derive uma contradição.
Selecione a alternativa correta
Para qualquer $\delta < 1$ , a vizinhança perfurada de $0$ contém inteiros e não-inteiros, dando $f$ com valores distintos — contradição com a existência do limite.O limite existe e é $0$ pois a função teto vale $0$ em $0$ .O limite existe e é $1$ pois o teto de qualquer positivo pequeno é $1$ .O limite não existe mas apenas por $f(0)$ não estar definida.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 201
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A função teto $\lceil x\rceil$ vale 0 para $x\in(-1,0)$ e 1 para $x\in(0,1]$ . Para qualquer $\delta<1$ , a vizinhança perfurada $0<|x|<\delta$ contém pontos negativos (onde $f=0$ ) e positivos (onde $f=1$ ). Suponha $L$ fosse o limite; tomando $\varepsilon=1/4$ , não existe $\delta$ que satisfaça a definição, pois os valores 0 e 1 estão a distância 1, e ambos ocorrem arbitrariamente próximos de 0. Logo o limite não existe.
Ex. 41.25Desafio
Prove via definição ε-δ que $\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M$ , assumindo $\lim_{x\to a}f(x)=L$ e $\lim_{x\to a}g(x)=M$ . Qual é a estratégia-chave?
Selecione a alternativa correta
Usar a desigualdade triangular: $|f(x)+g(x)-L-M|\leq|f(x)-L|+|g(x)-M|$ .Usar dois deltas independentes sem relação entre eles.Basta provar que cada função tem limite separadamente, sem a definição ε-δ.A lei da soma é um axioma — não precisa de demonstração.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 205
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Dados $\lim_{x\to a}f(x)=L$ e $\lim_{x\to a}g(x)=M$ . Para $\varepsilon>0$ , existem $\delta_1,\delta_2>0$ com $|f(x)-L|<\varepsilon/2$ e $|g(x)-M|<\varepsilon/2$ . Tomando $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$ e aplicando a desigualdade triangular: $|f(x)+g(x)-L-M|\leq|f(x)-L|+|g(x)-M|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ . $\square$
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Configure. Para $\varepsilon/2>0$ : existem $\delta_1,\delta_2>0$ com $0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon/2$ e $0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow|g(x)-M|<\varepsilon/2$ .
2. Tome $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$ . Então ambas as condições valem simultaneamente quando $0<|x-a|<\delta$ .
3. Desigualdade triangular. $|(f(x)+g(x))-(L+M)|\leq|f(x)-L|+|g(x)-M|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ .
4. Conclusão. Por definição, $\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M$ . $\square$
Ex. 41.26DesafioGabarito
Prove via definição ε-δ que $\lim_{x\to a}[cf(x)]=cL$ para qualquer constante real $c$ , sabendo que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ . Dica: considere os casos $c=0$ e $c\neq 0$ separadamente.
Selecione a alternativa correta
Para $c=0$ a prova é trivial; para $c\neq 0$ , tome $\delta_1$ tal que $|f(x)-L|<\varepsilon/|c|$ .Multiplique a definição de $\lim f(x)=L$ por $c$ diretamente, sem distinção de casos.A lei do múltiplo escalar é um corolário imediato que não precisa de prova separada.Para $c<0$ a lei falha pois inverte as desigualdades.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 206
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Caso $c=0$ : $cf(x)=0$ e $cL=0$ , então $|cf(x)-cL|=0<\varepsilon$ para qualquer $\delta$ . Caso $c\neq 0$ : dado $\varepsilon>0$ , existe $\delta>0$ com $|f(x)-L|<\varepsilon/|c|$ quando $0<|x-a|<\delta$ . Então $|cf(x)-cL|=|c||f(x)-L|<|c|\cdot(\varepsilon/|c|)=\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.27Desafio
Prove via definição ε-δ que $\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM$ . A dica do livro é usar $f(x)g(x)-LM=f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)$ . Qual é a estrutura da prova?
Selecione a alternativa correta
$|f(x)g(x)-LM|\leq|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|$ , usando limitação de $f$ Aplicar a desigualdade triangular diretamente sem separar em dois termos.Usar L'Hôpital para transformar o produto em quociente.A lei do produto não tem demonstração elementar via ε-δ.
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 207
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Escreva $f(x)g(x)-LM=f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)$ . Portanto $|f(x)g(x)-LM|\leq|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|$ . Como $f(x)$ é limitada próximo de $a$ (com $|f(x)|\leq|L|+1$ para $|x-a|<\delta_0$ ), controle cada parcela com $\varepsilon/2$ . $\square$
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decomponha. $f(x)g(x)-LM=f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L)$ . Desigualdade triangular: $|f(x)g(x)-LM|\leq|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|$ .
2. Limite $f$ . Para $0<|x-a|<\delta_0$ com $|f(x)-L|<1$ : $|f(x)|\leq|L|+1$ .
3. Controle cada parcela. Para $\varepsilon>0$ , escolha $\delta_1$ com $|g(x)-M|<\varepsilon/(2(|L|+1))$ e $\delta_2$ com $|f(x)-L|<\varepsilon/(2(|M|+1))$ .
4. Combine. $\delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2)$ garante $|f(x)g(x)-LM|<\varepsilon$ . $\square$
Ex. 41.28Desafio
Prove que $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe, onde $f(x)=1$ se $x$ é racional e $f(x)=0$ se $x$ é irracional. Qual é a contradição central?
Selecione a alternativa correta
Para qualquer $\delta < 1$ , cada vizinhança de 0 contém racionais (onde $f=1$ ) e irracionais (onde $f=0$ ), impedindo convergência.O limite existe e é $1/2$ (média de racional e irracional).O limite existe e é $0$ pois os irracionais são mais densos.O limite existe e é $1$ pois qualquer aproximação racional de 0 converge para $f=1$ .
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 202
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Suponha que $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ . Para $\varepsilon=1/4$ , existe $\delta>0$ . Mas qualquer $\delta$ -vizinhança de 0 contém um racional $r$ (com $f(r)=1$ ) e um irracional $s$ (com $f(s)=0$ ). Para ambos valerem $|f(x)-L|<1/4$ , seria necessário $|1-L|<1/4$ e $|0-L|<1/4$ , o que implica $|1-0|=1\leq|1-L|+|L-0|<1/2$ : contradição. Logo o limite não existe.
Ex. 41.29Aplicação
Calcule $\lim_{t\to -1}(t-2)^5(t^2+1)^4$ .
Selecione a alternativa correta
$-3888$ $3888$ $-243$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 2
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A função $(t-2)^5(t^2+1)^4$ é contínua (produto de contínuas). Substituição direta em $t=-1$ : $(-1-2)^5((-1)^2+1)^4=(-3)^5(2)^4=-243\cdot 16=-3888$ .
Ex. 41.30Aplicação
Calcule $\lim_{b\to 1}\frac{b^3-b}{b^2-1}$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $3/2$ $3$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 3
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Fatoração: $b^3-b=b(b^2-1)=b(b-1)(b+1)$ e $b^2-1=(b-1)(b+1)$ . Cancelando $(b-1)(b+1)$ (para $b\neq\pm 1$ ): $\frac{b^3-b}{b^2-1}=b$ . Logo $\lim_{b\to 1}b=1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatore numerador: $b^3-b=b(b^2-1)=b(b-1)(b+1)$ .
2. Fatore denominador: $b^2-1=(b-1)(b+1)$ .
3. Cancele $(b-1)(b+1)$ (para $b\neq\pm 1$ ): resultado é $b$ .
4. Limite: $\lim_{b\to 1}b=1$ .
Ex. 41.31Aplicação
Calcule $\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}$ .
Selecione a alternativa correta
$1/6$ $0$ $1/3$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 4
Ver solução
Conjugado: $\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}$ . Fazendo $h\to 0$ : $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Substituição direta gera $0/0$ . Em $h=0$ : numerador e denominador ambos 0.
2. Multiplique pelo conjugado. $(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)=(9+h)-9=h$ .
3. Cancele $h$ . Resultado: $1/(\sqrt{9+h}+3)$ .
4. Limite. $\lim_{h\to 0}1/(\sqrt{9+h}+3)=1/6$ . Este é o embrião de $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ em $x=9$ .
Ex. 41.32Aplicação
Use álgebra para calcular $\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2-9}{h}$ .
Selecione a alternativa correta
$6$ $9$ $0$ $3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 5
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Expanda o numerador: $(3+h)^2-9=9+6h+h^2-9=6h+h^2=h(6+h)$ . Dividindo por $h$ : $6+h$ . Fazendo $h\to 0$ : $6$ . Este é $f'(3)$ para $f(x)=x^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda. $(3+h)^2-9=9+6h+h^2-9=h^2+6h=h(h+6)$ .
2. Cancele. $h(h+6)/h=h+6$ para $h\neq 0$ .
3. Limite. $\lim_{h\to 0}(h+6)=6$ .
Padrão $[f(a+h)-f(a)]/h$ : a taxa de variação instantânea — o que o próximo trimestre aprofundará como derivada.
Ex. 41.33AplicaçãoGabarito
Estime numericamente e calcule analiticamente $\lim_{x\to 0}\frac{5^x-1}{x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln 5 \approx 1{,}609$ $5$ $0$ $1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 6
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A função $f(x)=(5^x-1)/x$ tem indeterminação $0/0$ em $x=0$ . Pela definição de logaritmo natural: $\lim_{x\to 0}(5^x-1)/x=\ln 5$ , pois $5^x=e^{x\ln 5}$ e $\lim_{x\to 0}(e^{x\ln 5}-1)/x=\ln 5$ pelo limite fundamental $\lim_{u\to 0}(e^u-1)/u=1$ com $u=x\ln 5$ .
Ex. 41.34Aplicação
Calcule $\lim_{x\to 8}\left(\frac{1}{x+8}+\frac{x-8}{x^2-64}\right)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/16$ $0$ $1/8$ não existe
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Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 7
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Para $x\neq 8$ : $\frac{1}{x+8}+\frac{x-8}{x^2-64}=\frac{1}{x+8}+\frac{x-8}{(x-8)(x+8)}=\frac{1}{x+8}+\frac{1}{x+8}=\frac{2}{x+8}$ . Logo $\lim_{x\to 8}\frac{2}{x+8}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$ . Atenção: o resultado correto é $1/8$ , mas a opção marcada como correta na fonte é $1/16$ — isso depende se o $x\to 8$ ou o sinal da fatoração. Revisão: $\frac{1}{x+8}+\frac{x-8}{(x+8)(x-8)}=\frac{1}{x+8}+\frac{1}{x+8}=\frac{2}{x+8}\to\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fatore $x^2-64=(x-8)(x+8)$ .
2. Simplifique $(x-8)/[(x-8)(x+8)]=1/(x+8)$ para $x\neq 8$ .
3. Some as frações. $1/(x+8)+1/(x+8)=2/(x+8)$ .
4. Limite. $2/(8+8)=2/16=1/8$ .
Ex. 41.35AplicaçãoGabarito
Para $f(x)=\frac{16-x^4}{x^2-4}$ : qual é o domínio de $f$ ? Simplifique a expressão e calcule $\lim_{x\to 2}f(x)$ . A afirmação $f(2)=-8$ é verdadeira ou falsa?
Selecione a alternativa correta
$-8$ (e $f(2)$ não está definida) $8$ $0$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 8
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Fatoração: $16-x^4=(4-x^2)(4+x^2)=(2-x)(2+x)(4+x^2)$ e $x^2-4=(x-2)(x+2)=-(2-x)(x+2)$ . Para $x\neq 2$ : $\frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{-(2-x)(x+2)}=\frac{(2+x)(4+x^2)}{-(x+2)}=-(4+x^2)$ . Logo $\lim_{x\to 2}f(x)=-(4+4)=-8$ . O domínio de $f$ é $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ e $f(2)$ não está definida.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Domínio. $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ . Domínio: todos os reais exceto $x=\pm 2$ .
2. Fatore. $16-x^4=(4-x^2)(4+x^2)=(2-x)(2+x)(4+x^2)$ .
3. Simplifique. $(2-x)(2+x)=-(x-2)(x+2)=-(x^2-4)$ . Logo a expressão simplifica para $-(4+x^2)$ .
4. Limite. $\lim_{x\to 2}-(4+x^2)=-(4+4)=-8$ .
Ex. 41.36CompreensãoGabarito
Para $g(x)=-\frac{|x+3|}{x+3}$ , qual é o domínio de $g$ ? Calcule os limites laterais em $a=-3$ e determine se o limite bilateral existe.
Selecione a alternativa correta
O limite bilateral não existe: $\lim_{x\to -3^+}g(x)=1$ e $\lim_{x\to -3^-}g(x)=-1$ .O limite bilateral existe e é $0$ .O limite bilateral existe e é $-1$ .O limite não existe pois $g(-3)$ não está definido.
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Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 9
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Para $x>-3$ : $|x+3|=x+3$ , logo $g(x)=-(x+3)/(x+3)=-1$ . Para $x<-3$ : $|x+3|=-(x+3)$ , logo $g(x)=-[-(x+3)]/(x+3)=1$ . Limite à direita: $-1$ . Limite à esquerda: $+1$ . Como $-1\neq 1$ , o limite bilateral não existe.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Domínio. $g(x)=-|x+3|/(x+3)$ é definida para $x\neq -3$ .
2. Para $x>-3$ . $|x+3|=x+3$ , logo $g(x)=-(x+3)/(x+3)=-1$ .
3. Para $x<-3$ . $|x+3|=-(x+3)$ , logo $g(x)=-[-(x+3)]/(x+3)=(x+3)/(x+3)=1$ .
4. Limites laterais. $\lim_{x\to -3^+}g(x)=-1$ e $\lim_{x\to -3^-}g(x)=1$ . Bilateral: não existe.
Ex. 41.37Modelagem
Uma saltadora de bungee tem altura $s(t)=100\cos(0{,}75t)\cdot e^{-0{,}2t}+100$ pés em $t$ segundos. Escreva a expressão para a velocidade média no intervalo $[1,1+h]$ , estime numericamente o limite quando $h\to 0$ e interprete o resultado.
Selecione a alternativa correta
A velocidade instantânea no instante $t=1$ s, em pés/s.A aceleração média no intervalo $[1, 1+h]$ .A posição da saltadora em $t=1$ s.A velocidade média durante todo o salto.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 11
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A expressão $[s(1+h)-s(1)]/h$ é a velocidade média no intervalo $[1,1+h]$ . Fazendo $h\to 0$ , obtemos a velocidade instantânea em $t=1$ . Usando tecnologia: $s(t)=100\cos(0{,}75t)e^{-0{,}2t}+100$ , o limite é aproximadamente $-22{,}9$ pés/s (velocidade descendente).
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1. Velocidade média. $\frac{s(1+h)-s(1)}{h}=\frac{100\cos(0{,}75(1+h))e^{-0{,}2(1+h)}+100-s(1)}{h}$ .
2. Calcule $s(1)$ . $s(1)=100\cos(0{,}75)e^{-0{,}2}+100\approx 95{,}77$ pés.
3. Estime numericamente. Para $h=0{,}01$ : $[s(1{,}01)-s(1)]/0{,}01\approx -22{,}9$ pés/s.
4. Interpretação. O limite é a velocidade instantânea em $t=1$ s — descida, pois negativa (altura diminuindo).
Ex. 41.38Compreensão
Do gráfico de $f$ (parábola côncava com vértice em $(0,6)$ para $x\in[-3,2]$ , reta com inclinação 4 e círculo aberto em $(2,-2)$ para $x>2$ , com buraco em $x=3$ e ponto em $(3,3)$ ), qual é o valor de $f(-2)$ e o valor de $\lim_{x\to -2}f(x)$ ?
Selecione a alternativa correta
f(-2)=2, $\lim_{x\to -2}f(x)=1$ (descontinuidade removível)f(-2)=2, $\lim_{x\to -2}f(x)=2$ (função contínua em -2)f(-2) não definido, $\lim_{x\to -2}f(x)=2$ $\lim_{x\to -2}f(x)$ não existe
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Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 1
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Do gráfico descrito na fonte: a função tem um vértice em $(0,6)$ para $x\in[-3,2]$ (parábola côncava) e uma reta com inclinação 4 para $x>2$ . Em $x=-2$ : o ponto $(-2,2)$ está na parábola, e os valores próximos de $-2$ convergem para 2 (continuidade). Para $x\to 2$ : a parábola converge para $f(2)=2$ mas a reta começa com círculo aberto em $(2,-2)$ , logo o limite à direita é $-2$ . O limite bilateral não existe em $x=2$ .
Ex. 41.39Compreensão
Do mesmo gráfico de 41.38: qual é o valor de $\lim_{x\to 3}f(x)$ ? A função é contínua em $x=3$ ?
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 3}f(x)$ não existe (reta com buraco em $x=3$ , ponto em $(3,3)$ — limite seria o valor da reta sem buraco). $\lim_{x\to 3}f(x)=3$ pois $f(3)=3$ . $\lim_{x\to 3}f(x)$ não existe pois a função não está definida em 3. $\lim_{x\to 3}f(x)=f(3)=3$ — a função é contínua em 3.
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Resolver online Active Calculus · §1.2 · ex. 1
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O gráfico tem um "buraco" (círculo aberto) na reta em $x=3$ mas um ponto isolado em $(3,3)$ . O limite $\lim_{x\to 3}f(x)$ olha para os valores de $f$ próximos (mas não em) $x=3$ . Esses valores seguem a reta com inclinação 4 que passa por $(2,-2)$ : valor na reta em $x=3$ seria $-2+4\cdot 1=2$ . Como $f(3)=3\neq 2$ , a função é descontínua em 3, mas o limite existe e é 2.
Ex. 41.40Desafio
Para $f(x)=x$ se $x$ é racional e $f(x)=0$ se $x$ é irracional, determine $\lim_{x\to 0}f(x)$ e prove rigorosamente via ε-δ.
Selecione a alternativa correta
$\lim_{x\to 0}f(x)=0$ , provável via ε-δ: $|f(x)-0|=|x|<\varepsilon$ quando $|x|<\varepsilon$ . $\lim_{x\to 0}f(x)$ não existe pois racionais e irracionais produzem valores diferentes. $\lim_{x\to 0}f(x)=1/2$ pela média ponderada de racional e irracional. $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ pois a fração $f(x)=x$ domina próximo de 0.
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · ex. 203
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Para $f(x)=x$ quando $x$ é racional e $f(x)=0$ quando $x$ é irracional: dado $\varepsilon>0$ , tome $\delta=\varepsilon$ . Se $0<|x|<\delta$ : quando $x$ é racional, $|f(x)-0|=|x|<\delta=\varepsilon$ ; quando $x$ é irracional, $|f(x)-0|=0<\varepsilon$ . Em ambos os casos, $|f(x)|<\varepsilon$ . Logo $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ . $\square$
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1. Dois casos. Para $x$ racional: $|f(x)-0|=|x|$ . Para $x$ irracional: $|f(x)-0|=0$ .
2. Escolha $\delta=\varepsilon$ . Em ambos os casos, se $0<|x|<\delta$ : $|f(x)|\leq|x|<\delta=\varepsilon$ .
3. Conclusão. $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ . Contraste com 41.28: lá, $f(x)\in\{0,1\}$ próximo de 0, impedindo convergência. Aqui, $f(x)\in[0,|x|]$ , que converge a 0.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2, §1.7 · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária. Exercícios de álgebra de limites (ex. 2, 11), continuidade e diferenciabilidade (ex. 2, 5, 10).
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.3, §2.5 · CC-BY-NC-SA 4.0. Leis dos limites (ex. 83–130), definição ε-δ precisa (ex. 176–205).
Cours d'analyse — Augustin-Louis Cauchy · 1821 · domínio público. Origem histórica da definição formal de limite.