v1 · padrão canônico

Lição 52 — Regras de derivação

As regras algébricas de derivação — potência, constante múltipla, soma, produto, quociente — e as derivadas das funções elementares. Nunca mais limite na prática.

Usado em: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

A regra do produto: a derivada do produto de duas funções tem dois termos. O primeiro diferencia $f$ e mantém $g$ ; o segundo mantém $f$ e diferencia $g$ . Esse padrão se repete nas regras do quociente e da cadeia — dominá-lo é a chave para derivar qualquer função elementar.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definições e teoremas formais

Tabela de derivadas elementares

Definição· Derivadas das funções elementares

Seja $f$ derivável em $x$ . As derivadas abaixo são consequências diretas da definição por limite e são consideradas resultados fundamentais:

Função $f(x)$	Derivada $f'(x)$	Condição
$c$ (constante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Regras operatórias

Teorema· Regras de derivação (Leibniz e Cauchy)

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em $x$ , e $c \in \mathbb{R}$ constante. Então:

(c)' = 0

(R1)

o que isso quer dizer · Constante: a derivada de qualquer número constante é zero, pois não há variação.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

o que isso quer dizer · Regra da potência: o expoente desce como coeficiente e diminui em 1. Válida para qualquer expoente real.

(c f)' = c f'

(R3)

o que isso quer dizer · Múltiplo constante: constantes atravessam a derivada sem alteração.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

o que isso quer dizer · Soma e diferença: a derivada distribui sobre somas e diferenças.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

o que isso quer dizer · Regra do produto (Leibniz): o produto gera dois termos. Cada um diferencia um dos fatores, mantendo o outro intacto.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

o que isso quer dizer · Regra do quociente: numerador é f linha g menos f g linha; denominador é g ao quadrado. O sinal de menos no numerador é crítico — não inverta a ordem.

"Se $f$ e $g$ são funções deriváveis, então a derivada do produto $(fg)'$ existe e é dada por $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Demonstração da regra do produto

Teorema· Prova da regra do produto a partir da definição

Seja $h(x) = f(x) g(x)$ . Por definição:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Some e subtraia $f(x+\Delta x)\,g(x)$ no numerador:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Separando os limites e usando a continuidade de $g$ (toda função derivável é contínua, logo $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Reta tangente

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Derivada de polinômio (aplicação direta das regras R2–R4)

Problema: Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Estratégia: Polinômio = soma de monômios. Aplique R4 (linearidade), R2 (potência) e R1 (constante) termo a termo.

Resolução:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Aplicando R3 (múltiplo constante) e R2 (potência):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Verificação: Cada expoente reduziu em 1; cada coeficiente multiplicou pelo expoente original. Constante $-2$ sumiu (R1). Correto.

Fonte. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Regra do produto — polinomial vezes trigonométrica

Problema: Calcule $h'(x)$ para $h(x) = x^3 \sin x$ .

Estratégia: $h = f \cdot g$ com $f(x) = x^3$ e $g(x) = \sin x$ . Aplique R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Resolução:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Aplicando R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma fatorada (opcional): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Verificação: Dois termos (correto para produto). Primeiro: derivou $x^3$ , manteve $\sin x$ . Segundo: manteve $x^3$ , derivou $\sin x$ . Ambas as regras elementares aplicadas corretamente.

Fonte. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Regra do quociente — função racional

Problema: Calcule $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Estratégia: $k = f/g$ com $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x - 3$ . Aplique R6.

Resolução:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Aplicando R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Atenção: O numerador é $f'g - fg'$ , não $fg' - f'g$ . O sinal de menos não é comutativo — inverter cria o erro mais frequente nesta regra.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Produto de exponencial com trigonométrica

Problema: Calcule $p'(x)$ para $p(x) = e^x \cos x$ .

Estratégia: Produto de $f(x) = e^x$ e $g(x) = \cos x$ . Aplique R5 com as derivadas da tabela.

Resolução:

$f'(x) = e^x$ (notável: $e^x$ deriva para si mesmo)
$g'(x) = -\sin x$

Aplicando R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Verificação: Em $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ e $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . A tangente em $(0, 1)$ tem inclinação 1, o que faz sentido geometricamente (a função cresce com inclinação 1 na origem).

Fonte. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Equação da reta tangente com ponto crítico

Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ no ponto onde $x = 1$ .

Estratégia: (a) Calcule $y(1)$ para obter o ponto de tangência. (b) Calcule $y'(x)$ pela regra do quociente. (c) Avalie $y'(1)$ . (d) Escreva na forma ponto-declive.

Resolução:

(a) Ponto de tangência:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Ponto: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Derivada por quociente com $f = x$ e $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Coeficiente angular em $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Equação da tangente:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

A tangente em $x = 1$ é horizontal — faz sentido, pois $y = x/(x^2+1)$ tem máximo local nesse ponto (a função cresce de $x=0$ até $x=1$ e depois decresce).

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 4Modelagem 8Desafio 2

Ex. 52.1Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^7 + 10$ .
Selecione a alternativa correta
$7x^6$ $7x^7$ $6x^6$ $x^6$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
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Pela regra da potência R2: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$ . O termo constante 10 tem derivada zero pela regra R1. Logo $f'(x) = 7x^6$ .
Ex. 52.2Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 5x^3 - x + 1$ .
Selecione a alternativa correta
$15x^2 - 1$ $15x^2 + 1$ $5x^2 - 1$ $15x^3 - x$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
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Pela linearidade R4 e regra da potência R2: $(5x^3)' = 15x^2$ , $(-x)' = -1$ , $(1)' = 0$ . Logo $f'(x) = 15x^2 - 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique os termos. $f(x) = 5x^3 - x + 1$ é polinômio; derive cada termo separadamente (R4).
2. Derive $5x^3$ . Pelo múltiplo constante R3 e potência R2: $(5x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$ .
3. Derive $-x$ . $(-x)' = -1$ .
4. Derive a constante 1. $(1)' = 0$ pela regra R1.
5. Reúna. $f'(x) = 15x^2 - 1$ .
Ex. 52.3AplicaçãoGabarito
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 4x^2 - 7x$ .
Selecione a alternativa correta
$8x - 7$ $8x + 7$ $4x - 7$ $8x$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 108
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$(4x^2)' = 8x$ e $(-7x)' = -7$ . Portanto $f'(x) = 8x - 7$ .
Ex. 52.4Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 8x^4 + 9x^2 - 1$ .
Selecione a alternativa correta
$32x^3 + 18x$ $32x^3 - 18x$ $24x^3 + 18x$ $32x^3$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
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Termine a termo: $(8x^4)' = 32x^3$ , $(9x^2)' = 18x$ , $(-1)' = 0$ . Logo $f'(x) = 32x^3 + 18x$ .
Ex. 52.5AplicaçãoGabarito
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^4 + 2x$ .
Selecione a alternativa correta
$4x^3 + 2$ $4x^3$ $3x^3 + 2$ $4x^2 + 2$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 110
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$(x^4)' = 4x^3$ e $(2x)' = 2$ . Portanto $f'(x) = 4x^3 + 2$ .
Ex. 52.6Aplicação
Calcule $dy/dx$ para $y = \sqrt[9]{x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{9} x^{-8/9}$ $9x^{8}$ $\dfrac{1}{9} x^{1/9}$ $-\dfrac{1}{9} x^{-8/9}$
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Resolver online Active Calculus · §2.1 · ex. 1
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Reescreva $\sqrt[9]{x} = x^{1/9}$ . Pela regra da potência: $(x^{1/9})' = \tfrac{1}{9} x^{1/9 - 1} = \tfrac{1}{9} x^{-8/9}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Converta a raiz em potência fracionária. $\sqrt[9]{x} = x^{1/9}$ .
2. Aplique a regra da potência R2. O expoente $1/9$ desce como coeficiente e o novo expoente é $1/9 - 1 = -8/9$ .
3. Escreva o resultado. $\dfrac{dy}{dx} = \tfrac{1}{9} x^{-8/9}$ .
Ex. 52.7Aplicação
Para $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 24$ , encontre analiticamente todos os valores de $x$ para os quais $f'(x) = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$x = 2$ e $x = -6$ $x = 0$ somente $x = 1$ e $x = -5$ não existem tais valores
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Resolver online Active Calculus · §2.1 · ex. 2
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Calcule $f'(x) = 3x^2 + 12x - 36$ . Fazendo $f'(x) = 0$ : $3(x^2 + 4x - 12) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+6) = 0$ . Logo $x = 2$ e $x = -6$ .
Ex. 52.8Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 9e^x + x^3$ .
Selecione a alternativa correta
$9e^x + 3x^2$ $9e^x + x^2$ $e^x + 3x^2$ $9xe^{x-1} + 3x^2$
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Resolver online Active Calculus · §2.1 · ex. 6
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Pela linearidade R4, pela tabela $(e^x)' = e^x$ e pela regra da potência: $f'(x) = 9e^x + 3x^2$ . Atenção: a derivada de $e^x$ é ela própria, não $xe^{x-1}$ .
Ex. 52.9Aplicação
Calcule $f'(t)$ para $\displaystyle f(t) = \frac{t^3 + t^4 - 1}{t^5}$ . Simplifique antes de derivar.
Selecione a alternativa correta
$-2t^{-3} - 3t^{-4} + 5t^{-6}$ $-2t^{-3} + 3t^{-4} - 5t^{-6}$ $t^{-3} - t^{-4}$ $2t^{-2} - 3t^{-3} + 5t^{-5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.1 · ex. 3
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Reescreva: $f(t) = (t^3 + t^4 - 1)/t^5 = t^{-2} + t^{-1} - t^{-5}$ . Derivando: $f'(t) = -2t^{-3} - t^{-2} + 5t^{-6}$ . Aguarde — relendo a expressão original: $f(t) = t^3/t^5 + t^4/t^5 - 1/t^5 = t^{-2} + t^{-1} - t^{-5}$ . Portanto $f'(t) = -2t^{-3} - t^{-2} + 5t^{-6}$ . (Resp: $-2t^{-3} - t^{-2} + 5t^{-6}$ )
Ex. 52.10AplicaçãoGabarito
Calcule $y'(x)$ para $y(x) = m^x + x^m$ , onde $m$ é uma constante positiva. (Atenção: $m^x$ e $x^m$ exigem regras diferentes!)
Selecione a alternativa correta
$m^x \ln m + mx^{m-1}$ $m \cdot m^{x-1} + mx^{m-1}$ $m^x + mx^{m-1}$ $m^x \ln m + x^{m-1}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.1 · ex. 7
Ver solução
Para $m^x$ (exponencial de base constante), da tabela: $(m^x)' = m^x \ln m$ . Para $x^m$ (potência com expoente constante): $(x^m)' = m x^{m-1}$ pela regra R2. Portanto $y'(x) = m^x \ln m + m x^{m-1}$ .
Ex. 52.11Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1)$ . (Resp: $270x^4 + 78x + 3$ )
Selecione a alternativa correta
$270x^4 + 39x^2 + 3$ $54x^5 + 39x^2$ $270x^5 + 39x^2 + 3$ $54x^4 + 39x + 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 111
Ver solução
Expanda: $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1) = 54x^5 + 39x^2 + 3x$ . Derivando: $f'(x) = 270x^4 + 78x + 3$ . (Alternativamente pela regra do produto: $f' = 3(18x^4 + 13x + 1) + 3x(72x^3 + 13) = 54x^4 + 39x + 3 + 216x^4 + 39x = 270x^4 + 78x + 3$ .)
Ex. 52.12AplicaçãoGabarito
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = (x+2)(2x^2 - 3)$ . (Resp: $6x^2 + 8x - 3$ )
Selecione a alternativa correta
$6x^2 + 4x - 3$ $4x^2 + 4x - 3$ $6x^2 - 3$ $2x^2 + 4x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 112
Ver solução
Expanda: $f(x) = (x+2)(2x^2-3) = 2x^3 - 3x + 4x^2 - 6 = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ . Derivando: $f'(x) = 6x^2 + 8x - 3$ . (Alternativamente pela regra do produto: $f' = 1 \cdot (2x^2-3) + (x+2) \cdot 4x = 2x^2 - 3 + 4x^2 + 8x = 6x^2 + 8x - 3$ .)
Ex. 52.13Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^2(2x^2 + 5x^3)$ . (Resp: $8x^3 + 25x^4$ )
Selecione a alternativa correta
$4x^3 + 5x^4$ $4x^4 + 5x^5$ $2x^3 + 5x^4$ $4x^3 + 7x^4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 113
Ver solução
Expanda: $f(x) = x^2(2x^2 + 5x^3) = 2x^4 + 5x^5$ . Derivando: $f'(x) = 8x^3 + 25x^4$ . (Pela regra do produto: $f' = 2x(2x^2+5x^3) + x^2(4x+15x^2) = 4x^3 + 10x^4 + 4x^3 + 15x^4 = 8x^3 + 25x^4$ .)
Ex. 52.14Aplicação
Usando a regra do produto, calcule $y'$ para $y = 2x^4(x^7 - 9)$ . (Resp: $22x^{10} - 72x^3$ )
Selecione a alternativa correta
$18x^{11} \cdot (x^7 - 9) + 2x^4 \cdot 7x^6$ $18x^{11} + 14x^{10}$ $8x^3 \cdot 7x^6$ $2x^4(x^7 - 9)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 1
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Identifique $f(x) = 2x^4$ e $g(x) = x^7 - 9$ . Então $f'(x) = 8x^3$ e $g'(x) = 7x^6$ . Pela regra do produto: $y' = 8x^3(x^7-9) + 2x^4 \cdot 7x^6 = 8x^{10} - 72x^3 + 14x^{10} = 22x^{10} - 72x^3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique os fatores. $f(x) = 2x^4$ , $g(x) = x^7 - 9$ .
2. Calcule as derivadas individuais. $f'(x) = 8x^3$ , $g'(x) = 7x^6$ .
3. Aplique R5. $y' = f'g + fg' = 8x^3(x^7-9) + 2x^4 \cdot 7x^6$ .
4. Expanda e simplifique. $= 8x^{10} - 72x^3 + 14x^{10} = 22x^{10} - 72x^3$ .
Ex. 52.15AplicaçãoGabarito
Calcule $s'(q)$ para $s(q) = 15\cos q \sin q$ .
Selecione a alternativa correta
$15(\cos^2 q - \sin^2 q)$ $-15\sin^2 q$ $15\cos^2 q$ $15\cos q \sin q$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 7
Ver solução
Regra do produto com $f = 15\cos q$ e $g = \sin q$ : $s'(q) = -15\sin q \cdot \sin q + 15\cos q \cdot \cos q = 15(\cos^2 q - \sin^2 q)$ . Pela identidade do duplo ângulo, isso equivale a $15\cos(2q)$ .
Ex. 52.16Aplicação
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = -7xe^x$ no ponto $(a, f(a))$ para $a = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$-7e^2(3) = -7e^2 \cdot 3$ $y = -7e^x(x+1)$ $y = -7e^2 x + 14e^2$ $y = -7e^2(x - 2) - 14e^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 8
Ver solução
Calcule $f'(x) = -7e^x - 7xe^x = -7e^x(1+x)$ . Em $a = 2$ : ponto $(2, -14e^2)$ e inclinação $f'(2) = -7e^2 \cdot 3 = -21e^2$ . Equação da tangente: $y = -21e^2(x - 2) - 14e^2 = -21e^2 x + 42e^2 - 14e^2 = -21e^2 x + 28e^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique. $f(x) = -7xe^x$ . Produto de $f_1 = -7x$ e $f_2 = e^x$ .
2. Derivada. $f'(x) = -7e^x + (-7x)e^x = -7e^x(1 + x)$ .
3. Avalie em $a = 2$ . $f(2) = -14e^2$ ; $f'(2) = -7e^2 \cdot 3 = -21e^2$ .
4. Equação da tangente. $y - (-14e^2) = -21e^2(x - 2)$ , ou seja $y = -21e^2 x + 28e^2$ .
Ex. 52.17AplicaçãoGabarito
Dados $F(3) = 1$ , $F'(3) = 2$ , $H(3) = 5$ , $H'(3) = 4$ . Se $G(z) = F(z) \cdot H(z)$ , calcule $G'(3)$ .
Selecione a alternativa correta
$G'(3) = 14$ $G'(3) = 22$ $G'(3) = 10$ $G'(3) = 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 5
Ver solução
Dados: $F(3) = 1$ , $F'(3) = 2$ , $H(3) = 5$ , $H'(3) = 4$ . Para $G(z) = F(z) \cdot H(z)$ : $G'(z) = F'(z)H(z) + F(z)H'(z)$ . Em $z = 3$ : $G'(3) = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 = 10 + 4 = 14$ .
Ex. 52.18Aplicação
Com os mesmos dados do exercício anterior ( $F(3)=1$ , $F'(3)=2$ , $H(3)=5$ , $H'(3)=4$ ), calcule $G'(3)$ para $G(w) = F(w)/H(w)$ .
Selecione a alternativa correta
$G'(3) = \tfrac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 4}{25} = \tfrac{6}{25}$ $G'(3) = \tfrac{4}{5}$ $G'(3) = \tfrac{14}{25}$ $G'(3) = \tfrac{2}{5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 5
Ver solução
Para $G(w) = F(w)/H(w)$ , pela regra do quociente: $G'(w) = \frac{F'(w)H(w) - F(w)H'(w)}{[H(w)]^2}$ . Em $w = 3$ : $G'(3) = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 4}{5^2} = \frac{10 - 4}{25} = \frac{6}{25}$ .
Ex. 52.19Compreensão
Dados $f(1) = 1$ , $f'(1) = -2$ , $g(1) = -5$ , $g'(1) = 5$ . Calcule $(f \cdot g)'(1)$ e $(f/g)'(1)$ .
Selecione a alternativa correta
$(f \cdot g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = -15$ $(f \cdot g)'(1) = -10$ $(f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g'(1) = 10$ $(f \cdot g)'(1) = -2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 10
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Dados: $f(1) = 1$ , $f'(1) = -2$ , $g(1) = -5$ , $g'(1) = 5$ . Pela regra do produto: $(f \cdot g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = (-2)(-5) + (1)(5) = 10 + 5 = 15$ . (Resp: 15) Pela regra do quociente: $(f/g)'(1) = \frac{f'(1)g(1) - f(1)g'(1)}{[g(1)]^2} = \frac{(-2)(-5) - (1)(5)}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ .
Ex. 52.20Compreensão
Suponha que $f(x)$ e $g(x)$ são funções deriváveis. Encontre $h'(x)$ para $h(x) = x^3 f(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ $h'(x) = f'(x) \cdot g'(x)$ $h'(x) = 3x^2 f(x)$ $h'(x) = 3x^2 f(x) + x^3 f'(x) + g'(x)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 123
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Para $h(x) = x^3 f(x)$ , identifique os dois fatores: $u = x^3$ e $v = f(x)$ . Pela regra do produto: $h'(x) = 3x^2 f(x) + x^3 f'(x)$ . Esta é a forma correta — não se multiplica $3x^2$ por $f'(x)$ .
Ex. 52.21Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{4x^3 - 2x + 1}{x^2}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{8x^3 \cdot x^2 - (4x^3-2x+1) \cdot 2x}{x^4}$ $12x^2 - 2$ $\dfrac{4x^4 - 2x^2 + x}{x^4}$ $4x - 2x^{-1}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 115
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Reescreva: $f(x) = (4x^3 - 2x + 1)/x^2 = 4x - 2x^{-1} + x^{-2}$ . Derivando: $f'(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3}$ . (Pela regra do quociente: numerador $= (12x^2-2)x^2 - (4x^3-2x+1)(2x) = 12x^4 - 2x^2 - 8x^4 + 4x^2 - 2x = 4x^4 + 2x^2 - 2x$ ; denominador $x^4$ . Simplifica para o mesmo resultado.)
Ex. 52.22Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ , $x \neq \pm 2$ . (Resp: $-16x/(x^2-4)^2$ )
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{2x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{-2x}{(x^2-4)^2}$ $\dfrac{8x}{(x^2-4)^2}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
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Quociente com $f = x^2 + 4$ e $g = x^2 - 4$ . $f' = 2x$ , $g' = 2x$ . Numerador: $2x(x^2-4) - (x^2+4)(2x) = 2x^3 - 8x - 2x^3 - 8x = -16x$ . Denominador: $(x^2-4)^2$ . Logo $f'(x) = \dfrac{-16x}{(x^2-4)^2}$ .
Ex. 52.23Aplicação
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{x + 9}{x^2 - 7x + 1}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{x^2 - 7x - 8}{(x^2 - 7x + 1)^2}$ $\dfrac{1}{x^2 - 7x + 1}$ $\dfrac{2x - 7}{(x^2-7x+1)^2}$ $\dfrac{-x^2 + 7x - 8}{(x^2-7x+1)^2}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 117
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Quociente com $f = x + 9$ e $g = x^2 - 7x + 1$ . $f' = 1$ , $g' = 2x - 7$ . Numerador: $1 \cdot (x^2-7x+1) - (x+9)(2x-7) = x^2 - 7x + 1 - (2x^2 - 7x + 18x - 63) = x^2 - 7x + 1 - 2x^2 - 11x + 63 = -x^2 - 18x + 64$ . Denominador: $(x^2-7x+1)^2$ .
Ex. 52.24Aplicação
Calcule a derivada de $y = \dfrac{4x}{8x+9}$ usando a regra do quociente.
Selecione a alternativa correta
$y'\big|_{x=0} = 4$ $y'\big|_{x=0} = 0$ $y'\big|_{x=0} = 2$ $y'\big|_{x=0} = -4$
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Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 3
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Quociente com $f = 4x$ e $g = 8x + 9$ . $f' = 4$ , $g' = 8$ . Numerador: $4(8x+9) - 4x \cdot 8 = 32x + 36 - 32x = 36$ . Denominador: $(8x+9)^2$ . Logo $y' = 36/(8x+9)^2$ . Em $x = 0$ : $y'(0) = 36/81 = 4/9$ .
Ex. 52.25Aplicação
Suponha que $f$ e $g$ são funções deriváveis. Encontre $h'(x)$ para $h(x) = \dfrac{f(x)}{[g(x)]^2}$ .
Selecione a alternativa correta
$h'(x) = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ $h'(x) = \dfrac{f(x)g'(x) - f'(x)g(x)}{[g(x)]^2}$ $h'(x) = f'(x)/g'(x)$ $h'(x) = \dfrac{f'(x)g'(x)}{g(x)^2}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 124
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Para $h(x) = f(x)/g(x)^2$ , identifique numerador $u = f(x)$ e denominador $v = [g(x)]^2$ . $u' = f'(x)$ , $v' = 2g(x)g'(x)$ . Logo: $h'(x) = \frac{f'(x)[g(x)]^2 - f(x) \cdot 2g(x)g'(x)}{[g(x)]^4} = \frac{f'(x)g(x) - 2f(x)g'(x)}{[g(x)]^3}$ .
Ex. 52.26AplicaçãoGabarito
Dados $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ . Para $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ , calcule $h'(2)$ . (Resp: $23/2$ )
Selecione a alternativa correta
$h'(2) = -13$ $h'(2) = 13$ $h'(2) = -15$ $h'(2) = 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 11
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Dados: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ . Para $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ : $h'(x) = g'(x)f(x) + g(x)f'(x)$ . Em $x = 2$ : $h'(2) = 2 \cdot 5 + (-3)(-1/2) = 10 + 3/2 = 23/2$ .
Ex. 52.27Compreensão
Suponha que $f$ e $g$ são funções deriváveis. Encontre $h'(x)$ para $h(x) = 3f(x)g(x) + 2$ .
Selecione a alternativa correta
$h'(x) = 3f'(x)g(x) + 3f(x)g'(x)$ $h'(x) = 3f'(x)g'(x)$ $h'(x) = 3f'(x)g(x)$ $h'(x) = 3f(x)g'(x)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 125
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Para $h(x) = 3f(x)g(x)$ , pela regra do múltiplo constante R3 combinada com a regra do produto R5: $h'(x) = 3[f'(x)g(x) + f(x)g'(x)] = 3f'(x)g(x) + 3f(x)g'(x)$ .
Ex. 52.28Compreensão
Com os mesmos dados ( $f(2)=5$ , $f'(2)=-1/2$ , $g(2)=-3$ , $g'(2)=2$ ): seja $r(x) = g(x)/f(x)$ . $r$ é crescente, decrescente ou nenhum em $a = 2$ ?
Selecione a alternativa correta
$r$ é decrescente em $a = 2$ $r$ é crescente em $a = 2$ $r'(2) = 0$ não é possível determinar
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 11
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Para $r(x) = g(x)/f(x)$ : $r'(x) = [g'(x)f(x) - g(x)f'(x)] / [f(x)]^2$ . Em $x = 2$ : numerador $= 2 \cdot 5 - (-3)(-1/2) = 10 - 3/2 = 17/2$ ; denominador $= 25$ . Logo $r'(2) = 17/50 > 0$ — $r$ é crescente. (Resp: crescente, pois $r'(2) = 17/50$ )
Ex. 52.29AplicaçãoGabarito
Calcule $y'$ para $y = \sqrt{x}(x^2 + x^2)$ usando a regra do produto. Depois verifique expandindo e usando a regra da potência.
Selecione a alternativa correta
$f'(x) = 2x^{1/2} \cdot 2x + x^{1/2} \cdot 2x$ $f'(x) = 2x^{3/2}$ $f'(x) = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}(2x^2)$ $f'(x) = 5x^{3/2}$
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Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 2
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Identifique $f_1 = \sqrt{x} = x^{1/2}$ e $f_2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ (a expressão do candidato). Pela regra do produto: $y' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} \cdot 2x^2 + x^{1/2} \cdot 4x = x^{3/2} + 4x^{3/2} = 5x^{3/2}$ . (Resp: $5x^{3/2}$ )
Ex. 52.30AplicaçãoGabarito
Calcule $y'$ para $y = \dfrac{x^5}{\sqrt{x} + 5x^{10}}$ usando a regra do quociente.
Selecione a alternativa correta
$y' = \dfrac{4x^4 \cdot (\sqrt{x} + 5x^{10}) - x^5 \cdot (\tfrac{1}{2}x^{-1/2} + 50x^9)}{(\sqrt{x}+5x^{10})^2}$ $y' = 5x^4$ $y' = \dfrac{5x^4}{\sqrt{x}+5x^{10}}$ $y' = \dfrac{4x^4}{5x^{10}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.3 · ex. 4
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Quociente com $f = x^5$ e $g = \sqrt{x} + 5x^{10}$ . $f' = 5x^4$ , $g' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} + 50x^9$ . Pela regra do quociente: numerador $= 5x^4(\sqrt{x}+5x^{10}) - x^5(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+50x^9)$ , denominador $= (\sqrt{x}+5x^{10})^2$ .
Ex. 52.31Modelagem
Encontre a equação da reta tangente $T(x)$ ao gráfico de $y = 3x^2 + 4x + 1$ no ponto $(0, 1)$ .
Selecione a alternativa correta
$T(x) = 4x + 1$ $T(x) = 4x$ $T(x) = 3x + 1$ $T(x) = 4$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 118
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Em $x = 0$ : $y(0) = 1$ . Derivada: $y' = 6x + 4$ . Coeficiente angular: $y'(0) = 4$ . Equação da tangente: $T(x) = 4x + 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Ponto de tangência. $y(0) = 3(0)^2 + 4(0) + 1 = 1$ . Ponto: $(0, 1)$ .
2. Derivada. $y' = 6x + 4$ .
3. Inclinação no ponto. $y'(0) = 4$ .
4. Equação da tangente. $y - 1 = 4(x - 0) \Rightarrow T(x) = 4x + 1$ .
Ex. 52.32Modelagem
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x^2 + 1$ no ponto $(1, 3)$ .
Selecione a alternativa correta
$T(x) = 4x - 1$ $T(x) = 2x + 1$ $T(x) = 4x + 1$ $T(x) = 4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 119
Ver solução
Em $x = 1$ : $y(1) = 2 + 1 = 3$ . Derivada: $y' = 4x$ . Inclinação em $x = 1$ : $y'(1) = 4$ . Tangente: $y - 3 = 4(x - 1) \Rightarrow y = 4x - 1$ .
Ex. 52.33Modelagem
Encontre a equação da reta tangente a $y = \dfrac{2x}{x-1}$ no ponto $(-1, 1)$ .
Selecione a alternativa correta
$T(x) = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}$ $T(x) = 2x + 3$ $T(x) = -x + 1$ $T(x) = \tfrac{1}{2}x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 120
Ver solução
Quociente com $f = 2x$ e $g = x - 1$ . $f' = 2$ , $g' = 1$ . Derivada: $y' = [2(x-1) - 2x \cdot 1]/(x-1)^2 = -2/(x-1)^2$ . Em $x = -1$ : $y(-1) = -2/(-2) = 1$ e $y'(-1) = -2/4 = -1/2$ . Tangente: $y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x+1) \Rightarrow y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}$ .
Ex. 52.34Modelagem
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x - 3$ em $x = -1$ . (Resp: $y = -7x - 3$ )
Selecione a alternativa correta
$y = -x - 2$ $y = x - 2$ $y = -x + 2$ $y = 3x - 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 137
Ver solução
Derivada: $f'(x) = 6x^2 + 8x - 5$ . Em $x = -1$ : $f(-1) = -2 + 4 + 5 - 3 = 4$ e $f'(-1) = 6 - 8 - 5 = -7$ . Tangente: $y - 4 = -7(x+1) \Rightarrow y = -7x - 3$ .
Ex. 52.35Modelagem
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = x^2 + 4x - 10$ em $x = 8$ .
Selecione a alternativa correta
$y = 20x - 86$ $y = 20x + 86$ $y = 16x - 86$ $y = 20x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 138
Ver solução
Derivada: $f'(x) = 2x + 4$ . Em $x = 8$ : $f(8) = 64 + 32 - 10 = 86$ e $f'(8) = 16 + 4 = 20$ . Tangente: $y - 86 = 20(x - 8) \Rightarrow y = 20x - 74$ . (Resp: $y = 20x - 74$ )
Ex. 52.36ModelagemGabarito
Um carro tem posição $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros ( $t$ em segundos). Determine os instantes em que a velocidade é zero e calcule a aceleração nesses instantes.
Selecione a alternativa correta
$t = 1$ s e $t = 3$ s $t = 2$ s somente $t = 0$ s somente $t = 6$ s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
Ver solução
Posição: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ . Velocidade: $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ . Fazendo $v(t) = 0$ : $3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3) = 0$ . O carro para em $t = 1$ s e $t = 3$ s. Aceleração em esses instantes: $a(t) = 6t - 12$ ; $a(1) = -6$ m/s² e $a(3) = 6$ m/s².
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule a velocidade. $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ .
2. Encontre quando $v = 0$ . $3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-3) = 0$ .
3. Calcule a aceleração. $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ .
4. Avalie. $a(1) = -6$ m/s² (desacelerando), $a(3) = 6$ m/s² (acelerando).
Ex. 52.37Modelagem
Um arenque nada em linha reta com posição $s(t) = \dfrac{t^2}{t^2 + 2}$ pés em $t$ segundos. Determine a velocidade do arenque em $t = 3$ s. (Resp: $12/121$ ft/s)
Selecione a alternativa correta
$v(3) = 9/11$ ft/s $v(3) = 1$ ft/s $v(3) = 6/11$ ft/s $v(3) = 0$ ft/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 145
Ver solução
Posição: $s(t) = t^2/(t^2+2)$ . Pela regra do quociente: $v(t) = s'(t) = [2t(t^2+2) - t^2 \cdot 2t]/(t^2+2)^2 = 4t/(t^2+2)^2$ . Em $t = 3$ : $v(3) = 12/(9+2)^2 = 12/121$ ft/s.
Ex. 52.38Modelagem
A população de solha ártica (em milhões) é modelada por $P(t) = \dfrac{8t+3}{0{,}2t^2+1}$ , onde $t$ é medido em anos. Calcule $P'(10)$ e interprete brevemente o resultado.
Selecione a alternativa correta
$P'(10) < 0$ ; a população está diminuindo $P'(10) > 0$ ; a população está crescendo $P'(10) = 0$ ; população estávelnão é possível calcular sem mais dados
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 146
Ver solução
Pela regra do quociente com $f = 8t+3$ e $g = 0{,}2t^2+1$ : numerador $= 8(0{,}2t^2+1) - (8t+3)(0{,}4t) = 1{,}6t^2 + 8 - 3{,}2t^2 - 1{,}2t = -1{,}6t^2 - 1{,}2t + 8$ . Em $t = 10$ : numerador $= -160 - 12 + 8 = -164$ ; denominador $= (0{,}2 \cdot 100 + 1)^2 = 21^2 = 441$ . Logo $P'(10) = -164/441 < 0$ : a população está diminuindo.
Ex. 52.39Desafio
Encontre um polinômio quadrático $f(x)$ tal que $f(1) = 5$ , $f'(1) = 3$ e $f''(1) = -6$ . (Resp: $f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ )
Selecione a alternativa correta
$f(x) = -3x^2 + 6x + 2$ $f(x) = -3x^2 + 3x + 5$ $f(x) = -3x^2 + 6x$ $f(x) = x^2 + 3x + 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 143
Ver solução
Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Então $f'(x) = 2ax + b$ e $f''(x) = 2a$ . Das condições: $f''(1) = -6 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$ . $f'(1) = 3 \Rightarrow 2(-3)(1) + b = 3 \Rightarrow b = 9$ . $f(1) = 5 \Rightarrow -3 + 9 + c = 5 \Rightarrow c = -1$ . Portanto $f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Forma geral. Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
2. Calcule as derivadas. $f'(x) = 2ax + b$ , $f''(x) = 2a$ .
3. Use $f''(1) = -6$ . $2a = -6 \Rightarrow a = -3$ .
4. Use $f'(1) = 3$ . $2(-3)(1) + b = 3 \Rightarrow b = 9$ .
5. Use $f(1) = 5$ . $-3 + 9 + c = 5 \Rightarrow c = -1$ . Logo $f(x) = -3x^2 + 9x - 1$ .
Ex. 52.40Desafio
Pela lei de gravitação universal de Newton, a força entre dois corpos é $F = \dfrac{Gm_1 m_2}{d^2}$ . Supondo $G$ , $m_1$ e $m_2$ constantes: (a) encontre $dF/dd$ ; (b) calcule numericamente com $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ Nm²/kg², $m_1 = m_2 = 1000$ kg e $d = 10$ m.
Selecione a alternativa correta
$F = -Gm_1 m_2 / d^2$ implica $dF/dd = -2Gm_1 m_2 / d^3$ $dF/dd = Gm_1 m_2 / d^2$ $dF/dd = 2Gm_1 m_2 / d^3$ $dF/dd = -Gm_1 m_2 / d^3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 149
Ver solução
Pela lei de Newton: $F = Gm_1 m_2 d^{-2}$ . Derivando em relação a $d$ : $dF/dd = -2Gm_1 m_2 d^{-3} = -2Gm_1 m_2 / d^3$ . Com $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ Nm²/kg², $m_1 = m_2 = 1000$ kg, $d = 10$ m: $dF/dd = -2(6{,}67 \times 10^{-11})(10^6)/10^3 = -1{,}334 \times 10^{-8}$ N/m. O sinal negativo indica que a força diminui à medida que a distância aumenta.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva como potência. $F = Gm_1 m_2 \cdot d^{-2}$ .
2. Derive em relação a $d$ . $dF/dd = Gm_1 m_2 \cdot (-2d^{-3}) = -2Gm_1 m_2 / d^3$ .
3. Substitua os valores. $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ , $m_1 = m_2 = 10^3$ kg, $d = 10$ m.
4. Calcule. $dF/dd = -2(6{,}67 \times 10^{-11})(10^6)/(10^3) \approx -1{,}334 \times 10^{-8}$ N/m.
5. Interprete. O sinal negativo confirma que a força gravitacional é uma função decrescente da distância — quanto maior $d$ , menor $F$ .

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Regras elementares), §2.2 (Seno e cosseno), §2.3 (Produto e quociente). Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Regras de derivação), §3.4 (Derivadas como taxas de variação), §3.5 (Derivadas de trigonométricas). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Regras básicas), §2.4 (Produto e quociente). CC-BY-NC.