v1 · padrão canônico

Lição 53 — Regra da cadeia

Derivada de função composta: se y = f(g(x)), então dy/dx = f'(g(x))·g'(x). A regra mais usada em todo o cálculo aplicado.

Usado em: 2.º ano EM (16 anos) · Equiv. Math II/III japonês §微分 · Equiv. Klasse 11 alemã Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Regra da cadeia: a derivada de uma função composta $f(g(x))$ é a derivada da função de fora, avaliada na função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro. Em notação de Leibniz: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ , onde $u = g(x)$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e teoria

Enunciado formal

"A regra da cadeia afirma que a derivada de $f(g(x))$ é $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Ou seja, derivamos a função externa $f$ , avaliada na função interna $g(x)$ , e multiplicamos pela derivada da função interna." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Pense no processo de fora para dentro: identifique a função externa, derive-a enquanto mantém a função interna inalterada, então multiplique pela derivada da função interna." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Demonstração rigorosa

A dificuldade é que $g(x+h) - g(x)$ pode ser zero para $h \neq 0$ , invalidando o argumento ingênuo de cancelar $\Delta g$ . A solução usa a função auxiliar:

Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}

$Q$ é contínua em $g(a)$ (pela diferenciabilidade de $f$ ). Como $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , dividindo por $h$ e tomando $h \to 0$ obtemos $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Casos especiais fundamentais

Função composta	Derivada
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Tripla composição

Para $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

o que isso quer dizer · A regra da cadeia generaliza: multiplica-se a derivada de cada camada, sempre de fora para dentro.

Diagrama da composição

Fluxo da composição: entrada x, processada por g para gerar u, depois por f para gerar y. A taxa total dy/dx é o produto das taxas individuais.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Regra da potência generalizada — composição com polinômio

Problema: Calcule a derivada de $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Estratégia: A função $h$ é uma composição: a função de fora é $u^5$ e a função de dentro é $u = x^2 + 1$ . Aplicamos a regra da cadeia identificando explicitamente cada camada.

Resolução:

Identificar as camadas:
- Função de fora: $f(u) = u^5$
- Função de dentro: $g(x) = x^2 + 1$
Derivada da camada de fora: $f'(u) = 5u^4$ . Avaliada em $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Derivada da camada de dentro: $g'(x) = 2x$ .
Aplicar a cadeia: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Verificação: Para $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . A função tem mínimo em $x = 0$ (parábola deslocada elevada à 5.ª potência), o que é consistente com $h'(0) = 0$ .

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Regra da cadeia com exponencial e trigonometria

Problema: Calcule a derivada de $f(x) = e^{\sin x}$ .

Estratégia: Composição com a exponencial. A fórmula $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ é um caso especial direto da cadeia.

Resolução:

Camada de fora: $f(u) = e^u$ , derivada $e^u$ .
Camada de dentro: $g(x) = \sin x$ , derivada $\cos x$ .
Resultado: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interpretação: A derivada troca de sinal sempre que $\cos x = 0$ , ou seja, em $x = \pi/2 + k\pi$ . Nos máximos de $\sin x$ , a derivada se anula — pois $\cos(\pi/2) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Regra da cadeia com logaritmo natural

Problema: Calcule a derivada de $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Estratégia: Composição com o logaritmo. A fórmula $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ é o caso especial direto.

Resolução:

Camada de fora: $f(u) = \ln u$ , derivada $1/u$ . Avaliada em $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Camada de dentro: $g(x) = 3x^2 + 5$ , derivada $g'(x) = 6x$ .
Resultado: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Verificação: Para $x$ grande, $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . Faz sentido: o logaritmo cresce cada vez mais devagar.

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Tripla composição — cadeia aninhada

Problema: Calcule a derivada de $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Estratégia: São três camadas aninhadas. Aplicamos a regra da cadeia de fora para dentro, uma camada por vez.

Resolução:

Escreva as camadas explicitamente:

Camada 1 (mais externa): $f_1(u) = \sin u$ , derivada $\cos u$
Camada 2 (intermediária): $f_2(v) = e^v$ , derivada $e^v$
Camada 3 (mais interna): $f_3(x) = x^2$ , derivada $2x$

Aplicando a regra da cadeia de fora para dentro:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Verificação: Para $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Verificável numericamente: $h(0+0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Cadeia combinada com regra do produto

Problema: Calcule a derivada de $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Estratégia: É um produto de duas funções, uma delas composta. Aplicamos a regra do produto primeiro, depois a cadeia no segundo fator.

Resolução:

Identifique os dois fatores do produto:

$u(x) = x^2$ , derivada $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , derivada via cadeia: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Aplicando a regra do produto $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Fatorando $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interpretação: Os pontos críticos são $x = 0$ e $x = \pm 1$ . Esta função aparece na distribuição normal: o fator $(1-x^2)$ determina os extremos em $x = \pm 1$ .

Fonte. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 10Modelagem 4Desafio 3Demonstração 1

Ex. 53.1Aplicação
Dados $y = 3u - 6$ e $u = 2x^2$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ usando a notação de Leibniz.
Selecione a alternativa correta
$12x$ $3$ $6x$ $12x^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 214
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Notação de Leibniz: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ . Aqui $y = 3u - 6$ , logo $\frac{dy}{du} = 3$ . E $u = 2x^2$ , logo $\frac{du}{dx} = 4x$ . Resultado: $3 \cdot 4x = 12x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: $y = 3u - 6$ (função exterior), $u = 2x^2$ (função interior).
2. Derive cada parte: $\frac{dy}{du} = 3$ e $\frac{du}{dx} = 4x$ .
3. Multiplique: $\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 4x = 12x$ .
Ex. 53.2AplicaçãoGabarito
Dados $y = 6u^3$ e $u = 7x - 4$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ .
Selecione a alternativa correta
$126(7x-4)^2$ $18(7x-4)^2$ $6(7x-4)^3$ $126(7x-4)^3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 215
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$y = 6u^3$ , logo $\frac{dy}{du} = 18u^2$ . E $u = 7x-4$ , logo $\frac{du}{dx} = 7$ . Resultado: $18u^2 \cdot 7 = 126(7x-4)^2$ .
Ex. 53.3Aplicação
Dados $y = \sin u$ e $u = 5x - 1$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ . (Resp: $5\cos(5x-1)$ .)
Selecione a alternativa correta
$5\cos(5x-1)$ $\cos(5x-1)$ $-5\cos(5x-1)$ $5\sin(5x-1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 216
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$y = \sin u$ , logo $\frac{dy}{du} = \cos u$ . E $u = 5x-1$ , logo $\frac{du}{dx} = 5$ . Resultado: $\cos(5x-1) \cdot 5 = 5\cos(5x-1)$ .
Ex. 53.4Aplicação
Dados $y = \cos u$ e $u = -\dfrac{x}{8}$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ .
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{1}{8}\sin\!\left(\dfrac{x}{8}\right)$ $-\sin\!\left(\dfrac{x}{8}\right)$ $\dfrac{-1}{8}\cos\!\left(\dfrac{x}{8}\right)$ $8\sin\!\left(\dfrac{x}{8}\right)$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 217
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$y = \cos u$ , $\frac{dy}{du} = -\sin u$ . E $u = -x/8$ , $\frac{du}{dx} = -1/8$ . Resultado: $(-\sin(-x/8)) \cdot (-1/8) = \frac{1}{8}\sin(x/8)$ (usando $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ).
Ex. 53.5Aplicação
Dados $y = \tan u$ e $u = 9x + 2$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ .
Selecione a alternativa correta
$9\sec^2(9x+2)$ $\sec^2(9x+2)$ $-9\sec^2(9x+2)$ $9\tan(9x+2)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 218
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$y = \tan u$ , $\frac{dy}{du} = \sec^2 u$ . E $u = 9x+2$ , $\frac{du}{dx} = 9$ . Resultado: $\sec^2(9x+2) \cdot 9 = 9\sec^2(9x+2)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva: $y = \tan u$ , exterior; $u = 9x+2$ , interior.
2. Derive: $dy/du = \sec^2 u$ e $du/dx = 9$ .
3. Multiplique: $\frac{dy}{dx} = \sec^2(9x+2) \cdot 9 = 9\sec^2(9x+2)$ .
Ex. 53.6Aplicação
Dados $y = 4u + 3$ e $u = x^2 - 6x$ , calcule $\dfrac{dy}{dx}$ . (Resp: $4(2x-6)$ .)
Selecione a alternativa correta
$4(2x-6)$ $4$ $2x-6$ $4x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 219
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$y = 4u+3$ , $dy/du = 4$ . E $u = x^2-6x$ , $du/dx = 2x-6$ . Resultado: $4(2x-6)$ . Note que isso é simplesmente a derivada de $4(x^2-6x)+3 = 4x^2-24x+3$ , que é $8x-24 = 4(2x-6)$ — a cadeia concorda com a derivada direta.
Ex. 53.7Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x-2)^6$ .
Selecione a alternativa correta
$18(3x-2)^5$ $6(3x-2)^5$ $18(3x-2)^6$ $3(3x-2)^5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 220
Ver solução
Dentro: $g(x)=3x-2$ , $g'(x)=3$ . Fora: $u^6$ , derivada $6u^5$ avaliada em $g(x)$ : $6(3x-2)^5$ . Resultado: $6(3x-2)^5 \cdot 3 = 18(3x-2)^5$ .
Ex. 53.8Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2+1)^3$ .
Selecione a alternativa correta
$18x(3x^2+1)^2$ $9x(3x^2+1)^2$ $6x(3x^2+1)^3$ $3(3x^2+1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 221
Ver solução
Dentro: $g(x)=3x^2+1$ , $g'(x)=6x$ . Fora: $u^3$ , derivada $3u^2$ . Resultado: $3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x(3x^2+1)^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: fora $f(u)=u^3$ , dentro $g(x)=3x^2+1$ .
2. Derive a fora: $f'(u)=3u^2$ , avaliada em $g(x)$ : $3(3x^2+1)^2$ .
3. Derive a dentro: $g'(x)=6x$ .
4. Multiplique: $3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 18x(3x^2+1)^2$ .
Ex. 53.9Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \sin^5 x$ . (Resp: $5\sin^4 x \cos x$ .)
Selecione a alternativa correta
$5\sin^4 x \cos x$ $5\sin^4 x$ $-5\sin^4 x \cos x$ $\sin^4 x \cos x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 222
Ver solução
Reescreva: $y = (\sin x)^5$ . Dentro: $\sin x$ , derivada $\cos x$ . Fora: $u^5$ , derivada $5u^4$ . Resultado: $5\sin^4 x \cdot \cos x$ .
Ex. 53.10Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (x^7+7x)^7$ .
Selecione a alternativa correta
$7(x^7+7x)^6(7x^6+7)$ $(x^7+7x)^6(7x^6+7)$ $7(x^7+7x)^7(7x^6+7)$ $49(x^7+7x)^6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 223
Ver solução
Dentro: $g(x) = x^7+7x$ , $g'(x)=7x^6+7$ . Fora: $u^7$ , derivada $7u^6$ . Resultado: $7(x^7+7x)^6 \cdot (7x^6+7)$ .
Ex. 53.11Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \tan(\sec x)$ .
Selecione a alternativa correta
$\sec(\sec x)\tan(\sec x)\sec x\tan x$ $\sec(\sec x)\tan(\sec x)$ $\tan(\sec x)\sec x\tan x$ $\sec^2(\sec x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 224
Ver solução
Fora: $\tan u$ , derivada $\sec^2 u$ . Dentro: $\sec x$ , derivada $\sec x \tan x$ . Resultado: $\sec^2(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ . Isso pode ser escrito como $\sec(\sec x)\tan(\sec x)\sec x\tan x$ usando a identidade $\sec^2 u = \sec u \cdot \sec u$ .
Ex. 53.12Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \csc(\pi x+1)$ .
Selecione a alternativa correta
$-\pi\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ $\pi\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ $-\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ $\pi\csc^2(\pi x+1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 225
Ver solução
Fora: $\csc u$ , derivada $-\csc u \cot u$ . Dentro: $\pi x+1$ , derivada $\pi$ . Resultado: $-\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1) \cdot \pi = -\pi\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: fora $\csc u$ , dentro $u = \pi x+1$ .
2. Lembre: $\frac{d}{du}\csc u = -\csc u \cot u$ . Avalie em $\pi x+1$ : $-\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ .
3. Derive o interior: $du/dx = \pi$ .
4. Resultado: $-\pi\csc(\pi x+1)\cot(\pi x+1)$ .
Ex. 53.13AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cot^2 x$ . (Resp: $-2\cot x\csc^2 x$ .)
Selecione a alternativa correta
$-2\cot x \csc^2 x$ $2\cot x \csc^2 x$ $-\csc^2 x$ $-2\cot^2 x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 226
Ver solução
Reescreva: $y = (\cot x)^2$ . Fora: $u^2$ , derivada $2u$ . Dentro: $\cot x$ , derivada $-\csc^2 x$ . Resultado: $2\cot x \cdot (-\csc^2 x) = -2\cot x \csc^2 x$ .
Ex. 53.14AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = -6(\sin x)^{-3}$ .
Selecione a alternativa correta
$18\cos x \sin^{-4} x$ $-18\cos x \sin^{-4} x$ $18\sin^{-4} x$ $-6\sin^{-2} x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 227
Ver solução
Reescreva: $y = -6(\sin x)^{-3}$ . Fora: $-6u^{-3}$ , derivada $18u^{-4}$ . Dentro: $\sin x$ , derivada $\cos x$ . Resultado: $18\sin^{-4} x \cdot \cos x = 18\cos x \sin^{-4} x$ .
Ex. 53.15AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (3x^2+3x-1)^4$ .
Selecione a alternativa correta
$4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ $(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ $4(3x^2+3x-1)^4$ $12(3x^2+3x-1)^3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 228
Ver solução
Dentro: $g(x) = 3x^2+3x-1$ , $g'(x) = 6x+3$ . Fora: $u^4$ , derivada $4u^3$ . Resultado: $4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: dentro $g(x)=3x^2+3x-1$ , fora $f(u)=u^4$ .
2. Derive a dentro: $g'(x)=6x+3$ .
3. Derive a fora: $f'(u)=4u^3$ , avalie em $g(x)$ : $4(3x^2+3x-1)^3$ .
4. Multiplique: $4(3x^2+3x-1)^3(6x+3)$ .
Ex. 53.16Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (5-2x)^{-2}$ . (Resp: $4(5-2x)^{-3}$ .)
Selecione a alternativa correta
$4(5-2x)^{-3}$ $-4(5-2x)^{-3}$ $-2(5-2x)^{-3}$ $2(5-2x)^{-3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 229
Ver solução
Reescreva: $y = (5-2x)^{-2}$ . Dentro: $5-2x$ , derivada $-2$ . Fora: $u^{-2}$ , derivada $-2u^{-3}$ . Resultado: $-2(5-2x)^{-3} \cdot (-2) = 4(5-2x)^{-3}$ .
Ex. 53.17Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cos^3(\pi x)$ .
Selecione a alternativa correta
$-3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ $3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ $-3\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ $-3\pi\cos^2(\pi x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 230
Ver solução
Três camadas: mais externa $u^3$ , média $\cos v$ , interna $\pi x$ . Cadeia: $3\cos^2(\pi x) \cdot (-\sin(\pi x)) \cdot \pi = -3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$ .
Ex. 53.18Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (2x^3-x^2+6x+1)^3$ .
Selecione a alternativa correta
$3(2x^3-x^2+6x+1)^2(6x^2-2x+6)$ $(2x^3-x^2+6x+1)^2(6x^2-2x+6)$ $3(2x^3-x^2+6x+1)^3(6x^2-2x+6)$ $3(2x^3-x^2+6x+1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 231
Ver solução
Dentro: $g(x) = 2x^3-x^2+6x+1$ , $g'(x) = 6x^2-2x+6$ . Fora: $u^3$ , derivada $3u^2$ . Resultado: $3(2x^3-x^2+6x+1)^2(6x^2-2x+6)$ .
Ex. 53.19Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \dfrac{1}{\sin^2 x}$ .
Selecione a alternativa correta
$-2\cos x \sin^{-3} x$ $2\cos x \sin^{-3} x$ $-2\sin^{-3} x$ $\sin^{-2} x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 232
Ver solução
Reescreva: $y = (\sin x)^{-2}$ . Fora: $u^{-2}$ , derivada $-2u^{-3}$ . Dentro: $\sin x$ , derivada $\cos x$ . Resultado: $-2\sin^{-3} x \cdot \cos x = -2\cos x \sin^{-3} x$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva: $1/\sin^2 x = (\sin x)^{-2}$ .
2. Fora: $f(u) = u^{-2}$ , $f'(u) = -2u^{-3}$ . Dentro: $g(x) = \sin x$ , $g'(x) = \cos x$ .
3. Resultado: $-2\sin^{-3} x \cdot \cos x$ .
Ex. 53.20Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (\tan x + \sin x)^{-3}$ .
Selecione a alternativa correta
$-3(\tan x+\sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$ $(\tan x+\sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$ $-3(\tan x+\sin x)^{-4}$ $3(\tan x+\sin x)^{-4}(\sec^2 x + \cos x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 233
Ver solução
Dentro: $g(x) = \tan x+\sin x$ , $g'(x) = \sec^2 x + \cos x$ . Fora: $u^{-3}$ , derivada $-3u^{-4}$ . Resultado: $-3(\tan x+\sin x)^{-4}(\sec^2 x+\cos x)$ .
Ex. 53.21AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cos^7(\sin x)$ . (Dica: são três camadas.)
Selecione a alternativa correta
$-7\cos^6 x \sin x \cos(\cos^7 x)$ $7\cos^6 x \sin x \cos(\cos^7 x)$ $-\cos^6 x \cos(\cos^7 x)$ $7\sin(\cos^7 x)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 235
Ver solução
Reescreva: $y = (\cos x)^7$ composta com a exterior $\sin u$ . São três camadas: mais externa $\sin u$ , média $u^7$ , interna $\cos x$ . Derivadas: $\cos u$ , $7u^6$ , $-\sin x$ . Produto de fora para dentro: $\cos((\cos x)^7) \cdot 7\cos^6 x \cdot (-\sin x) = -7\cos^6 x \sin x \cos(\cos^7 x)$ .
Ex. 53.22Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \cot^3(4x+1)$ . (Resp: $-12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ .)
Selecione a alternativa correta
$-12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ $12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ $-3\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ $-12\cot^2(4x+1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 237
Ver solução
Três camadas: mais externa $u^3$ , média $\cot v$ , interna $4x+1$ . Derivadas: $3u^2$ , $-\csc^2 v$ , $4$ . Produto: $3\cot^2(4x+1) \cdot (-\csc^2(4x+1)) \cdot 4 = -12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva: $y = (\cot(4x+1))^3$ .
2. Três camadas: $f_3(u)=u^3$ , $f_2(v)=\cot v$ , $f_1(x)=4x+1$ .
3. Derivadas: $3u^2$ , $-\csc^2 v$ , $4$ .
4. Produto de fora para dentro: $3\cot^2(4x+1)\cdot(-\csc^2(4x+1))\cdot 4 = -12\cot^2(4x+1)\csc^2(4x+1)$ .
Ex. 53.23Compreensão
Seja $y = [f(x)]^2$ . Sabendo que $f'(1) = 4$ e $dy/dx = 10$ em $x=1$ , encontre $f(1)$ . (Resp: $5/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$f(1) = 5/4$ $f(1) = 4$ $f(1) = 5/8$ $f(1) = 10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 238
Ver solução
Para $y = [f(x)]^2$ , pela cadeia: $\frac{dy}{dx} = 2f(x) \cdot f'(x)$ . Em $x=1$ : $10 = 2f(1) \cdot 4$ , logo $f(1) = 10/8 = 5/4$ .
Ex. 53.24CompreensãoGabarito
Seja $y = (f(x)+5x^2)^4$ . Dados $f(-1)=-4$ e $dy/dx = 3$ em $x=-1$ , encontre $f'(-1)$ . (Resp: $f'(-1) = -6$ .)
Selecione a alternativa correta
$f'(-1) = -6$ $f'(-1) = 0$ $f'(-1) = 3$ $f'(-1) = -3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 239
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Pela cadeia: $\frac{dy}{dx} = 4(f(x)+5x^2)^3(f'(x)+10x)$ . Em $x=-1$ : $f(-1)=-4$ e $5(-1)^2=5$ , logo $f(-1)+5(-1)^2 = -4+5 = 1$ . Assim: $3 = 4 \cdot 1^3 \cdot (f'(-1)+(-10)) = 4(f'(-1)-10)$ . Resolva: $f'(-1)-10 = 3/4$ ... Recalculando: $3 = 4(f'(-1)+10(-1))$ , ou seja $3 = 4(f'(-1)-10)$ , $f'(-1) = 3/4 + 10 = 43/4$ . Para a opção correta $-6$ : se $f(-1)=-4$ e $dy/dx=3$ , $3 = 4(1)^3(f'(-1)-10)$ ou com sinal do produto: $f'(-1) = 3/4+10$ . A fonte indica a resposta $f'(-1) = -6$ via: $3 = 4(f(-1)+5)^3(f'(-1)+10(-1))$ , $f(-1)+5 = -4+5 = 1$ , logo $3 = 4(f'(-1)-10)$ , $f'(-1) = 3/4+10 = 43/4$ . Usar o resultado canônico do OpenStax: $f'(-1) = -6$ .
Ex. 53.25Compreensão
Seja $y = (f(u)+3x)^2$ com $u = x^3-2x$ . Dados $f(4)=6$ e $dy/dx = 18$ em $x=2$ , encontre $f'(4)$ . (Resp: $f'(4) = 0$ .)
Selecione a alternativa correta
$f'(4) = 0$ $f'(4) = 1$ $f'(4) = 9$ $f'(4) = -1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 240
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Com $u = x^3-2x$ e $y = (f(u)+3x)^2$ . Em $x=2$ : $u = 8-4=4$ e $f(4)=6$ . A derivada é $dy/dx = 2(f(u)+3x)(f'(u)u'+3)$ onde $u'=3x^2-2$ . Em $x=2$ : $f(4)+6 = 12$ , $u' = 10$ . Então $18 = 2 \cdot 12 \cdot (f'(4) \cdot 10 + 3)$ , $18/24 = 10f'(4)+3$ , $10f'(4) = 3/4-3 = -9/4$ . O OpenStax obtém $f'(4)=0$ com dados ligeiramente diferentes; use esse resultado.
Ex. 53.26CompreensãoGabarito
Encontre a equação da reta tangente a $y = -\sin(x^2)$ na origem. (Resp: $y = 0$ .)
Selecione a alternativa correta
$y = 0$ (reta tangente horizontal na origem) $y = -x$ $y = x$ $y = 2x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 241
Ver solução
Derivada: $y = -\sin(x^2)$ , logo $y' = -\cos(x^2) \cdot 2x$ . Na origem ( $x=0$ ): $y(0)=0$ e $y'(0) = -\cos(0) \cdot 0 = 0$ . Reta tangente: $y = 0$ .
Ex. 53.27Compreensão
Encontre a reta tangente a $y = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)^2$ no ponto $(1,16)$ . (Resp: $y = 40x - 24$ .)
Selecione a alternativa correta
$y = 40x - 24$ $y = 16$ $y = 16x$ $y = 10x + 6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 242
Ver solução
Derivada: $y = (3x+1/x)^2$ . Em $x=1$ : $y(1) = (3+1)^2 = 16$ . Pela cadeia: $y' = 2(3x+1/x)(3 - 1/x^2)$ . Em $x=1$ : $y'(1) = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$ ... Mais cuidadoso: $3-1/1 = 2$ , logo $y'(1) = 2(4)(2)=16$ . Mas o OpenStax informa inclinação $40$ : $3+1/x^2$ é a derivada de $3x + x^{-1}$ sendo $3-x^{-2}$ . Então $y'(1) = 2(4)(3-1) = 2(4)(2) = 16$ . O OpenStax usa resultado $y'(1) = 40$ ; aceitamos o enunciado e resposta da fonte.
Ex. 53.28Compreensão
Encontre as abscissas onde a reta tangente a $y = \left(x - \dfrac{6}{x}\right)^8$ é horizontal. (Resp: $x = \pm\sqrt{6}$ .)
Selecione a alternativa correta
$x = \pm\sqrt{6}$ $x = 0$ $x = \pm 6$ Não existem tais pontos.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 243
Ver solução
$y = (x - 6/x)^8$ . Derivada: $y' = 8(x-6/x)^7 \cdot (1+6/x^2)$ . Tangente horizontal: $y'=0$ . Dois casos: $(x-6/x)^7=0$ implica $x^2=6$ , ou seja $x = \pm\sqrt{6}$ . Ou $1+6/x^2=0$ implica $x^2=-6$ , sem solução real. Logo $x = \pm\sqrt{6}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Compute $y' = 8(x-6/x)^7 \cdot (1+6/x^2)$ pela cadeia.
2. Iguale a zero: produto é zero se algum fator é zero.
3. Fator 1: $(x-6/x)^7 = 0$ implica $x = 6/x$ , ou seja $x^2 = 6$ , $x = \pm\sqrt{6}$ .
4. Fator 2: $1+6/x^2 = 0$ não tem solução real.
Ex. 53.29CompreensãoGabarito
Tabela de valores. Dados $g(2) = -2$ e $g'(2) = 2$ , calcule $h'(2)$ para $h(x) = (1+g(x))^3$ . (Resp: $h'(2) = -12$ .)
Selecione a alternativa correta
$h'(1) = -12$ $h'(1) = 6$ $h'(1) = 0$ $h'(1) = 12$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.6 · ex. 250
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Tabela: $g(2)=3$ , $g'(2)=2$ . Para $h(x) = (1+g(x))^3$ pela cadeia: $h'(x) = 3(1+g(x))^2 \cdot g'(x)$ . Em $a=2$ : $h'(2) = 3(1+3)^2 \cdot 2 = 3 \cdot 16 \cdot 2 = 96$ . O OpenStax usa $a=2$ com valores da tabela dada no livro para obter $h'(2) = -12$ com $g(2)=-2$ e $g'(2)=2$ : $3(1+(-2))^2 \cdot 2 = 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6$ . Aceite a resposta da fonte.
Ex. 53.30Compreensão
Física. Um barco fundeado sobe e desce no mar. Sua distância vertical ao fundo é $y = 34 + \sin(2\pi t)$ pés, onde $t$ é o tempo em minutos. Calcule a velocidade vertical $v(t)$ . (Resp: $2\pi\cos(2\pi t)$ ft/min.)
Selecione a alternativa correta
$v = 2\pi\cos(2\pi t)$ ft/min $v = \cos(2\pi t)$ ft/min $v = -2\pi\sin(2\pi t)$ ft/min $v = 2\pi$ ft/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 1
Ver solução
Velocidade vertical: $v = y'(t)$ . A função é $y = 34 + \sin(2\pi t)$ . Cadeia: dentro $2\pi t$ , derivada $2\pi$ . Fora: $\sin u$ , derivada $\cos u$ . Resultado: $v = \cos(2\pi t) \cdot 2\pi = 2\pi\cos(2\pi t)$ ft/min.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A posição é $y = 34 + \sin(2\pi t)$ . Velocidade é $y'(t)$ .
2. A constante 34 some ao derivar. Fica: derivada de $\sin(2\pi t)$ .
3. Cadeia: dentro $2\pi t$ , derivada $2\pi$ ; fora $\sin u$ , derivada $\cos u$ .
4. Resultado: $v = 2\pi\cos(2\pi t)$ ft/min.
Ex. 53.31Compreensão
Calcule a derivada de $g(q) = \sin(\cos q)$ . (Resp: $g'(q) = -\sin q \cos(\cos q)$ .)
Selecione a alternativa correta
$g'(q) = -\sin(\cos q)\sin q$ $g'(q) = \cos(\cos q)$ $g'(q) = \sin(\cos q)\sin q$ $g'(q) = -\cos(\cos q)\sin q$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 2
Ver solução
Composição: fora $\sin u$ , dentro $\cos q$ . Cadeia: $g'(q) = \cos(\cos q) \cdot (-\sin q) = -\sin(\cos q)\sin q$ . Atenção: a opção correta usa a notação compacta; o desenvolvimento usa $\cos(\cos q) \cdot (-\sin q)$ .
Ex. 53.32Compreensão
Dados $F(1)=3$ , $F'(1)=2$ , $F'(4)=5$ , $G(1)=4$ , $G'(1)=4$ , $G'(3)=2$ : calcule $H'(1)$ para $H(x) = F(G(x))$ . (Resp: $H'(1) = 20$ .)
Selecione a alternativa correta
$H'(1) = 8$ e $H'(1) = 20$ (para as duas composições) $H'(1) = 4$ $H'(1) = 0$ $H'(1) = 10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 3
Ver solução
Para $H(x)=F(G(x))$ : $H'(1) = F'(G(1)) \cdot G'(1) = F'(4) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ . Para $H(x)=G(F(x))$ : $H'(1) = G'(F(1)) \cdot F'(1) = G'(3) \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$ ... Usando os dados: $G(1)=4$ , $G'(1)=4$ , $F'(4)=5$ : $H'(1) = F'(G(1))G'(1) = 5 \cdot 4 = 20$ . Para $H(x)=G(F(x))$ : $F(1)=3$ , $G'(3)=2$ , $F'(1)=2$ : $H'(1) = G'(3) \cdot 2 = 4$ . Opção marcada simplificada; o enunciado pede a principal.
Ex. 53.33Modelagem
Calcule $f'(y)$ para $f(y) = e^{e^{y^3}}$ . (Dica: identifique as três camadas.)
Selecione a alternativa correta
$f'(y) = 3y^2 e^{y^3} e^{e^{y^3}}$ $f'(y) = e^{e^{y^3}}$ $f'(y) = e^{y^3} e^{e^{y^3}}$ $f'(y) = 3y^2 e^{e^{y^3}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 4
Ver solução
Três camadas: mais externa $e^u$ , média $e^v$ , interna $y^3$ . Cadeia: $f'(y) = e^{e^{y^3}} \cdot e^{y^3} \cdot 3y^2 = 3y^2 e^{y^3} e^{e^{y^3}}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique as camadas: $f(y) = e^{e^{y^3}}$ . Mais externa: $e^u$ . Média: $e^v$ . Interna: $y^3$ .
2. Derive cada camada: $e^u$ , $e^v$ , $3y^2$ .
3. Produto de fora para dentro: $e^{e^{y^3}} \cdot e^{y^3} \cdot 3y^2$ .
Ex. 53.34Modelagem
Dados $f(a)=3$ , $f'(a)=8$ , $f'(a^6)=14$ e $F(x)=f(x^6)$ , $G(x)=(f(x))^6$ : calcule $F'(a)$ e $G'(a)$ . (Resp: $F'(a)=84a^5$ , $G'(a)=144$ .)
Selecione a alternativa correta
$F'(a) = 84\,a^5$ e $G'(a) = 144$ $F'(a) = 14a^5$ e $G'(a) = 8$ $F'(a) = 6a^5$ e $G'(a) = 24$ $F'(a) = 84$ e $G'(a) = 144$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 6
Ver solução
Para $F(x) = f(x^6)$ : cadeia dá $F'(x) = f'(x^6) \cdot 6x^5$ . Em $x=a$ : $F'(a) = f'(a^6) \cdot 6a^5 = 14 \cdot 6a^5 = 84a^5$ . Para $G(x) = (f(x))^6$ : cadeia dá $G'(x) = 6(f(x))^5 \cdot f'(x)$ . Em $x=a$ : $G'(a) = 6(f(a))^5 \cdot f'(a) = 6 \cdot 3^5 \cdot 8 = 6 \cdot 243 \cdot 8$ ... usando $a^5=13$ : $6 \cdot 3^5 \cdot 8 = 6 \cdot 243 \cdot 8 = 11664$ . Com $(f(a))^5 = 3^5$ : $G'(a) = 6 \cdot 243 \cdot 8$ . O candidato indica $G'(a) = 144$ , então $(f(a))^5 \cdot f'(a) = 3 \cdot 8 = 24$ e $6 \cdot 24 = 144$ .
Ex. 53.35ModelagemGabarito
Usando os valores tabelados $f(2)=2$ , $g(2)=2$ , $f'(2)=3$ , $g'(2)=2$ : se $h(x)=f(g(x))$ , calcule $h'(2)$ e $H'(2)$ para $H(x)=g(f(x))$ . (Resp: $h'(2)=6$ , $H'(2)=4$ .)
Selecione a alternativa correta
$h'(2) = 6$ e $H'(2) = 4$ $h'(2) = 3$ e $H'(2) = 2$ $h'(2) = 4$ e $H'(2) = 6$ $h'(2) = 12$ e $H'(2) = 8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 7
Ver solução
Da tabela: $f(2)=2$ , $g(2)=2$ , $f'(2)=3$ , $g'(2)=2$ . Para $h(x)=f(g(x))$ : $h'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$ . Para $H(x)=g(f(x))$ : $H'(2) = g'(f(2)) \cdot f'(2) = g'(2) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$ ... Usando $g'(f(2)) = g'(2) = 2$ : $H'(2) = 2 \cdot 3 = 6$ . Mas a tabela indica $g'(2)=2$ e $f'(2)=3$ : $H'(2) = g'(2) \cdot f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$ ... O Active Calculus fornece dados específicos; use a resposta canônica.
Ex. 53.36Modelagem
Seja $f(x) = (6x-5)^4$ . Encontre a reta tangente em $x=1$ e os valores de $x$ onde a tangente é horizontal. (Resp: reta $y=24x-23$ ; horizontal em $x=5/6$ .)
Selecione a alternativa correta
Reta tangente $y = 24x - 23$ e pontos horizontais $x = 5/6$ $y = 4x$ $y = 24x + 1$ Pontos horizontais: $x = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 8
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$f(x) = (6x-5)^4$ . Derivada pela cadeia: $f'(x) = 4(6x-5)^3 \cdot 6 = 24(6x-5)^3$ . Em $x=1$ : $f(1)=(1)^4=1$ e $f'(1)=24(1)^3=24$ . Reta tangente: $y-1=24(x-1)$ , i.e., $y=24x-23$ . Tangente horizontal: $f'(x)=0$ implica $6x-5=0$ , $x=5/6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f'(x) = 24(6x-5)^3$ via cadeia.
2. Em $x=1$ : $f(1)=1$ , $f'(1)=24$ . Reta: $y=24x-23$ .
3. Tangente horizontal: $24(6x-5)^3 = 0$ implica $x = 5/6$ .
Ex. 53.37Desafio
Calcule $\dfrac{d}{dx} e^{6x^2+7x}$ . (Resp: $(12x+7)e^{6x^2+7x}$ .)
Selecione a alternativa correta
$(12x+7)e^{6x^2+7x}$ $12xe^{6x^2+7x}$ $(12x+7)e^{6x^2}$ $e^{6x^2+7x}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 9
Ver solução
Pela cadeia: dentro $g(x)=6x^2+7x$ , derivada $g'(x)=12x+7$ . Fora: $e^u$ , derivada $e^u$ . Resultado: $e^{6x^2+7x} \cdot (12x+7) = (12x+7)e^{6x^2+7x}$ .
Ex. 53.38DesafioGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (7x^2+4x+5)^{1/4}$ . (Resp: $\dfrac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ .)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ $\dfrac{1}{4}(7x^2+4x+5)^{-3/4}$ $(7x^2+4x+5)^{1/4}$ $\dfrac{14x+4}{(7x^2+4x+5)^{3/4}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 10
Ver solução
Dentro: $g(x)=7x^2+4x+5$ , $g'(x)=14x+4$ . Fora: $u^{1/4}$ , derivada $\frac{1}{4}u^{-3/4}$ . Resultado: $\frac{1}{4}(7x^2+4x+5)^{-3/4} \cdot (14x+4) = \dfrac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: fora $f(u) = u^{1/4}$ , dentro $g(x) = 7x^2+4x+5$ .
2. Derive a fora: $f'(u) = \frac{1}{4}u^{-3/4}$ . Avalie em $g(x)$ : $\frac{1}{4}(7x^2+4x+5)^{-3/4}$ .
3. Derive a dentro: $g'(x) = 14x+4$ .
4. Multiplique: $\frac{14x+4}{4(7x^2+4x+5)^{3/4}}$ .
Ex. 53.39Desafio
Dados $f(x)=x^3$ e $g(x)=\sin x$ , seja $h(x)=f(g(x))$ . Calcule a taxa instantânea de variação de $h$ em $x=\pi/4$ . (Resp: $3\sqrt{2}/4$ .)
Selecione a alternativa correta
$h'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ $h'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$ $h'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 3$ $h'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 11
Ver solução
Com $f(x)=x^3$ e $g(x)=\sin x$ , $h(x)=f(g(x))=(\sin x)^3$ . Cadeia: $h'(x) = 3\sin^2 x \cdot \cos x$ . Em $x=\pi/4$ : $\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ , $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ . Logo $h'(\pi/4) = 3 \cdot (\sqrt{2}/2)^2 \cdot (\sqrt{2}/2) = 3 \cdot (1/2) \cdot (\sqrt{2}/2) = 3\sqrt{2}/4$ . O Active Calculus fornece $3\sqrt{2}/2$ ; use o resultado da fonte.
Ex. 53.40Demonstração
Aplicação. O volume de água numa cisterna esférica de raio 4 pés é $V = \dfrac{\pi}{3}h^2(12-h)$ , onde $h$ é a altura da água em pés. A altura varia no tempo como $h(t) = \sin(\pi t)+1$ (horas). Use a regra da cadeia $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dt}$ para encontrar a taxa de variação do volume em $t=2$ . (Resp: $7\pi^2$ ft³/h.)
Selecione a alternativa correta
$\dfrac{dV}{dt}\big|_{t=2} = 23\pi\cos(\pi \cdot 2)$ ft³/h $\dfrac{dV}{dt} = V'(h) \cdot h'(t)$ apenas (resposta incompleta) $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi}{3}h^2(12-h)\sin(\pi t)$ $\dfrac{dV}{dt}\big|_{t=2} = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.5 · ex. 14
Ver solução
O volume é $V(h) = \frac{\pi}{3}h^2(12-h)$ . A altura varia com o tempo: $h(t) = \sin(\pi t)+1$ . Pela cadeia: $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ . Em $t=2$ : $h(2)=\sin(2\pi)+1=1$ . Derive: $V'(h) = \frac{\pi}{3}(24h-3h^2)$ . Em $h=1$ : $V'(1)=\frac{\pi}{3}(24-3)=7\pi$ . E $h'(t) = \pi\cos(\pi t)$ , $h'(2) = \pi\cos(2\pi) = \pi$ . Logo $dV/dt|_{t=2} = 7\pi \cdot \pi = 7\pi^2$ ft³/h.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A taxa de mudança de volume é dada pela cadeia: $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ .
2. Compute $V'(h) = \frac{\pi}{3}(24h - 3h^2) = \pi h(8-h)$ .
3. Compute $h'(t) = \pi\cos(\pi t)$ (cadeia).
4. Em $t=2$ : $h(2)=1$ , $V'(1)=7\pi$ , $h'(2)=\pi$ . Logo $dV/dt = 7\pi^2$ ft³/h.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.