v1 · padrão canônico

Lição 54 — Derivada implícita

Derivar y definido implicitamente por equação F(x, y) = 0. Regra da cadeia, tangente a curvas implícitas, segunda derivada implícita.

Usado em: Equiv. Math III japonês (implícita + funções inversas) · Equiv. Klasse 11 LK alemão · H2 Math singapurense (derivadas de curvas)

\frac{d}{dx}\bigl[F(x,y)\bigr] = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}

A derivada implícita de $F(x, y) = 0$ : diferencia ambos os lados em relação a $x$ , trate $y$ como função de $x$ (regra da cadeia), e isole $dy/dx$ . A fórmula $-F_x/F_y$ vale onde $F_y \neq 0$ .

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Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição e Teorema da Função Implícita

Motivação

Uma curva plana pode ser dada por $F(x, y) = 0$ sem que seja possível, ou conveniente, isolar $y$ explicitamente. O círculo $x^2 + y^2 = r^2$ e o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3axy$ são exemplos canônicos. A derivada implícita contorna o obstáculo.

Receita formal

Seja $F(x, y) = 0$ uma equação que define $y$ como função de $x$ numa vizinhança de um ponto $(a, b)$ .

Exemplo canônico: círculo

$x^2 + y^2 = r^2$

Derivando: $2x + 2y\,y' = 0$ , donde $y' = -\dfrac{x}{y}$ (válido para $y \neq 0$ ).

Tabela de curvas clássicas

Curva	Equação $F(x,y)=0$	$dy/dx$
Círculo	$x^2 + y^2 - r^2 = 0$	$-x/y$
Elipse	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$	$-(b^2 x)/(a^2 y)$
Hipérbole	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - 1 = 0$	$(b^2 x)/(a^2 y)$
Folium de Descartes	$x^3 + y^3 - 3axy = 0$	$(ay - x^2)/(y^2 - ax)$

"Se a equação que une $x$ e $y$ não pode ser resolvida para $y$ de forma explícita, ainda podemos encontrar $y'$ diferenciando a equação implicitamente." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.8

Teorema da função implícita (versão 1D)

Quando falha. Se $F_y(a, b) = 0$ , a curva pode ter tangente vertical naquele ponto, ou pode não definir localmente uma função. Exemplo: círculo nos pontos $(\pm r, 0)$ — $F_y = 2y = 0$ ali.

Segunda derivada implícita

Aplica-se $\tfrac{d}{dx}$ novamente a $y' = -F_x/F_y$ , usando a regra do quociente e lembrando que $y$ depende de $x$ .

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Derivada implícita de um círculo (fundamento)

Problema. Encontre $dy/dx$ para o círculo $x^2 + y^2 = 25$ .

Estratégia. Este é o exemplo-padrão de derivação implícita. Diferenciar diretamente em relação a $x$ , lembrando que $y$ é função de $x$ .

Resolução.

Diferencie ambos os lados em relação a $x$ :

$\frac{d}{dx}\bigl[x^2 + y^2\bigr] = \frac{d}{dx}[25]$

Aplique a regra da cadeia em $y^2$ :

$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0$

Isole $dy/dx$ :

$2y\,\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Verificação no ponto $(3, 4)$ : O ponto está na curva ( $9 + 16 = 25$ ). A inclinação é $dy/dx = -3/4$ . A reta tangente é $y - 4 = -\tfrac{3}{4}(x - 3)$ , ou $3x + 4y = 25$ . Geometricamente: o raio até $(3,4)$ tem inclinação $4/3$ , e $(-3/4)(4/3) = -1$ , confirmando que tangente e raio são perpendiculares.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.8, exemplo 3.68, p. 318 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exemplo— 2· Derivada implícita da elipse — tangente em ponto específico

Problema. Para a elipse $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ , encontre $dy/dx$ e a equação da reta tangente em $\left(2, \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Estratégia. Aplicar derivação implícita, depois avaliar no ponto dado.

Resolução.

Diferenciando:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}\right] = 0 \implies \frac{2x}{16} + \frac{2y}{9}\,y' = 0$

Simplificando:

$\frac{x}{8} + \frac{2y}{9}\,y' = 0 \implies y' = -\frac{9x}{16y}$

No ponto $\left(2, \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ :

$y' = -\frac{9 \cdot 2}{16 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{18}{24\sqrt{3}} = -\frac{3}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

Equação da tangente:

$y - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}\left(x - 2\right) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{4}\,x + 2\sqrt{3}$

Verificação: Substituindo $x = 2$ : $y = -\sqrt{3}/2 + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}/2$ . Correto.

Fonte. Active Calculus 2.0 §2.7, Preview Activity 2.7.1, p. 154 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exemplo— 3· Folium de Descartes — derivada implícita com regra do produto

Problema. Encontre $dy/dx$ para o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$ .

Estratégia. O lado direito $3xy$ exige regra do produto ao derivar. Depois, agrupar e isolar $y'$ .

Resolução.

Diferenciando ambos os lados em relação a $x$ :

$3x^2 + 3y^2\,y' = 3\,(y + x\,y')$

(No lado direito: $\dfrac{d}{dx}[3xy] = 3\left[(1)\cdot y + x \cdot y'\right] = 3y + 3x\,y'$ .)

Expanda e agrupe termos com $y'$ :

$3x^2 + 3y^2\,y' = 3y + 3x\,y'$

$3y^2\,y' - 3x\,y' = 3y - 3x^2$

$y'(3y^2 - 3x) = 3(y - x^2)$

Isole $y'$ :

$y' = \frac{3(y - x^2)}{3(y^2 - x)} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

Verificação: No ponto $\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}\right)$ (que pertence ao Folium com $a=1$ ):

$y' = \frac{3/2 - 9/4}{9/4 - 3/2} = \frac{-3/4}{3/4} = -1$

A tangente tem inclinação $-1$ , o que faz sentido pela simetria da curva em relação à bissetriz $y = x$ naquele ponto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.8, exercício 175, p. 325 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exemplo— 4· Segunda derivada implicitamente

Problema. Para $x^2 + y^2 = r^2$ , encontre $d^2y/dx^2$ em termos de $x$ , $y$ e $r$ .

Estratégia. Já sabemos $y' = -x/y$ . Derivar mais uma vez em relação a $x$ , aplicando a regra do quociente e substituindo $y'$ na expressão resultante.

Resolução.

Parta de $y' = -\dfrac{x}{y}$ .
Aplique $\dfrac{d}{dx}$ usando a regra do quociente:

$y'' = -\frac{(x)'\,y - x\,(y)'}{y^2} = -\frac{y - x\,y'}{y^2}$

Substitua $y' = -x/y$ :

$y'' = -\frac{y - x \cdot (-x/y)}{y^2} = -\frac{y + x^2/y}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$

Use $x^2 + y^2 = r^2$ :

$y'' = -\frac{r^2}{y^3}$

Interpretação. Para $y > 0$ (parte superior do círculo), $y'' = -r^2/y^3 < 0$ — a curva é côncava para baixo, o que é geometricamente correto para o semicírculo superior.

Fonte. Active Calculus 2.0 §2.7, Activity 2.7.3, p. 158 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exemplo— 5· Derivada logarítmica e curva implícita trigonométrica

Problema (duas partes). (a) Use derivada logarítmica para encontrar $y'$ se $y = x^{\sin x}$ (com $x > 0$ ). (b) Encontre $dy/dx$ para $\sin(xy) = x - y$ . Avalie em $(0, 0)$ .

Estratégia. (a) Logaritmizar antes de derivar elimina o expoente variável. (b) Derivação implícita com regra da cadeia em $\sin(xy)$ exigindo regra do produto no argumento.

Resolução — parte (a).

Tome $\ln$ de ambos os lados: $\ln y = \sin x \cdot \ln x$ .
Derive em relação a $x$ :

$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

Multiplique por $y = x^{\sin x}$ :

$y' = x^{\sin x}\!\left(\cos x\,\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

Resolução — parte (b).

Diferenciando $\sin(xy) = x - y$ :

$\cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}[xy] = 1 - y'$

$\cos(xy) \cdot (y + x\,y') = 1 - y'$

Expanda e agrupe:

$y\cos(xy) + x\cos(xy)\,y' = 1 - y'$

$y' \bigl(x\cos(xy) + 1\bigr) = 1 - y\cos(xy)$

$y' = \frac{1 - y\cos(xy)}{1 + x\cos(xy)}$

Em $(0, 0)$ : $\cos(0 \cdot 0) = \cos 0 = 1$ .

$y'(0,0) = \frac{1 - 0 \cdot 1}{1 + 0 \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1$

Verificação: $(0,0)$ satisfaz $\sin(0 \cdot 0) = 0 - 0$ ? $\sin(0) = 0$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §2.6, exemplos 2.6.4 e 2.6.5, p. 117 — licença CC-BY-NC 4.0.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 25Compreensão 6Modelagem 5Desafio 3Demonstração 1

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.7 (Derivatives of Functions Given Implicitly). Fonte primária. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.8 (Implicit Differentiation). Licença CC-BY-NC-SA 4.0.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.6 (Implicit Differentiation). Licença CC-BY-NC 4.0.