v1 · padrão canônico

Lição 55 — Derivadas de ordem superior

Segunda derivada (concavidade, aceleração), terceira derivada (jerk), fórmulas de ordem n, pontos de inflexão e prévia de série de Taylor.

Usado em: Cálculo I (Brasil) · Equiv. Math III japonês (cap. 4) · Equiv. Analysis LK alemão

f''(x) = \frac{d}{dx}\!\left[\frac{dy}{dx}\right] = \frac{d^2y}{dx^2}

A segunda derivada é a derivada da derivada. Fisicamente: se $f$ é posição, então $f'$ é velocidade e $f''$ é aceleração. Geometricamente: $f'' > 0$ significa curva côncava para cima (sorriso); $f'' < 0$ significa curva côncava para baixo (chapéu). Onde $f''$ muda de sinal há um ponto de inflexão.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Derivadas de ordem superior

"Se $y = f(x)$ , então a segunda derivada de $f$ é a derivada de $f'$ e é denotada $f''(x)$ ou $d^2 y/dx^2$ . O processo de calcular derivadas sucessivas é chamado de diferenciação repetida." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Notações equivalentes

Notação	Leitura	Observação
$f''(x)$	"f dois linhas de x"	Newton; $n = 2$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$	"d dois y sobre d x ao quadrado"	Leibniz
$D^2 f$	"D dois f"	operatorial
$\ddot{y}$	"y dois pontos"	física; variável independente é $t$
$f^{(n)}(x)$	"f enésima de x"	ordem geral
$\dfrac{d^n y}{dx^n}$	"d enésima y"	Leibniz geral

Tabela: fórmulas fechadas de ordem $n$

$f(x)$	$f^{(n)}(x)$	Validade
$e^{ax}$	$a^n e^{ax}$	$a \in \mathbb{R}$ , $n \geq 0$
$\sin x$	$\sin\!\bigl(x + \tfrac{n\pi}{2}\bigr)$	$n \geq 0$
$\cos x$	$\cos\!\bigl(x + \tfrac{n\pi}{2}\bigr)$	$n \geq 0$
$x^k$	$\dfrac{k!}{(k-n)!} x^{k-n}$	$k \geq n$ ; zero se $k < n$
$\ln x$	$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$	$x > 0$ , $n \geq 1$
$\dfrac{1}{x}$	$(-1)^n \dfrac{n!}{x^{n+1}}$	$x \neq 0$ , $n \geq 0$

Significado geométrico — concavidade

"Se $f''(x) > 0$ para todo $x$ em $(a, b)$ , então $f$ é côncava para cima em $(a, b)$ . Se $f''(x) < 0$ para todo $x$ em $(a, b)$ , então $f$ é côncava para baixo em $(a, b)$ ." — Active Calculus, §1.6

Concavidade determinada pelo sinal de f''. Na curva azul, f'' > 0 — a função "abre para cima". Na curva laranja, f'' < 0 — a função "fecha para baixo".

Regra de Leibniz para produto

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}\, g^{(n-k)}$

Análogo perfeito do binômio de Newton: substitua potência por derivada de ordem correspondente.

Polinômio de Taylor de grau $n$

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

o que isso quer dizer · Polinômio de Taylor de grau n em torno de a. Cada coeficiente é determinado pela derivada de ordem k de f avaliada em a, dividida por k fatorial. É a melhor aproximação polinomial de f nas vizinhanças de a.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Segunda e terceira derivadas de polinômio (aplicação)

Problema. Seja $f(x) = x^4 - 6x^3 + 5x + 1$ . Calcule $f'(x)$ , $f''(x)$ e $f'''(x)$ .

Estratégia. Derivar sucessivamente, usando a regra da potência $(x^n)' = nx^{n-1}$ a cada etapa.

Resolução.

Passo 1 — Primeira derivada:

$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 5$

Passo 2 — Segunda derivada (derivar $f'$ ):

$f''(x) = 12x^2 - 36x$

Passo 3 — Terceira derivada (derivar $f''$ ):

$f'''(x) = 24x - 36$

Verificação por contagem de grau. $f$ tem grau 4; $f'$ grau 3; $f''$ grau 2; $f'''$ grau 1; $f^{(4)} = 24$ ; $f^{(5)} = 0$ . Consistente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §1.6 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Aceleração a partir de posição (modelagem fisica)

Problema. A posição de uma partícula (em metros) é dada por $s(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9t$ , $t \geq 0$ (segundos). Encontre velocidade $v(t)$ , aceleração $a(t)$ , e jerk $j(t)$ . Em que instante a aceleração é zero?

Estratégia. $v = s'$ , $a = s'' = v'$ , $j = s''' = a'$ . Resolver $a(t) = 0$ .

Resolução.

$v(t) = s'(t) = 9t^2 - 24t + 9$

$a(t) = s''(t) = 18t - 24$

$j(t) = s'''(t) = 18 \text{ m/s}^3 \text{ (constante)}$

Aceleração zero: $18t - 24 = 0 \Rightarrow t = 4/3$ s.

Para $t < 4/3$ : $a < 0$ (partícula desacelera). Para $t > 4/3$ : $a > 0$ (partícula acelera). O jerk constante indica que o fluxo de aceleração é uniforme.

Fonte. APEX Calculus — Hartman, §2.2 — CC-BY-NC.

Exemplo— 3· Padrao da n-esima derivada de sin x (demonstrativo)

Problema. Determine $(\sin x)^{(n)}$ para todo $n \geq 0$ .

Estratégia. Calcular as primeiras derivadas e identificar o padrão cíclico de período 4.

Resolução.

$(\sin x)^{(0)} = \sin x$ $(\sin x)^{(1)} = \cos x = \sin\!\bigl(x + \tfrac{\pi}{2}\bigr)$ $(\sin x)^{(2)} = -\sin x = \sin\!\bigl(x + \pi\bigr)$ $(\sin x)^{(3)} = -\cos x = \sin\!\bigl(x + \tfrac{3\pi}{2}\bigr)$ $(\sin x)^{(4)} = \sin x = \sin\!\bigl(x + 2\pi\bigr)$

O ciclo se repete. A fórmula geral é:

$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

Verificação: $(\sin x)^{(100)} = \sin(x + 50\pi) = \sin x$ , pois $\sin$ tem período $2\pi$ e $50\pi = 25 \cdot 2\pi$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Analise completa de concavidade e pontos de inflexao (intermediario)

Problema. Para $f(x) = x^4 - 4x^3$ , determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Estratégia. Calcular $f''$ , encontrar zeros, montar tabela de sinal, identificar mudanças de sinal.

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$ $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$

Zeros de $f''$ : $x = 0$ e $x = 2$ .

Tabela de sinal:

Intervalo	Sinal de $12x$	Sinal de $(x-2)$	Sinal de $f''$	Concavidade
$(-\infty, 0)$	$-$	$-$	$+$	para cima
$(0, 2)$	$+$	$-$	$-$	para baixo
$(2, +\infty)$	$+$	$+$	$+$	para cima

Pontos de inflexão: $x = 0$ e $x = 2$ (ambos com mudança de sinal de $f''$ ).

$f(0) = 0$ e $f(2) = 16 - 32 = -16$ .

Inflexões: $(0, 0)$ e $(2, -16)$ .

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §1.6 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Polinomio de Taylor de grau 2 em torno de a = 0 (previa)

Problema. Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = e^x$ em torno de $a = 0$ .

Estratégia. Aplicar a fórmula $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2$ .

Resolução.

$(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n$ . Logo:

$f(0) = e^0 = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$

$T_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$

Verificação numérica. Para $x = 0{,}1$ : $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ ; $T_2(0{,}1) = 1 + 0{,}1 + 0{,}005 = 1{,}105$ . Erro $\approx 0{,}00017$ . Excelente para $x$ pequeno.

Interpretação. A segunda derivada $f''(0) = 1 > 0$ garante que $e^x$ tem concavidade para cima em $x = 0$ , o que o paraboloide $T_2$ captura corretamente.

Fonte. Active Calculus — Boelkins, §8.3 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 16Compreensão 4Modelagem 11Desafio 7Demonstração 2

Ex. 55.1Aplicação
Seja $f(x) = x^7 + 10$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 42x^5$ $f''(x) = 7x^6$ $f''(x) = 42x^6$ $f''(x) = 7x^5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 106
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Primeira derivada: $f'(x) = 7x^6$ . Segunda derivada: $f''(x) = 42x^5$ . Cada derivação aplica a regra da potência e reduz o grau em 1.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Primeira derivada. Regra da potência: $(x^7)' = 7x^6$ . A constante 10 desaparece.
2. Segunda derivada. Derivar $7x^6$ : $(7x^6)' = 42x^5$ .
3. Conferência de grau: $f$ grau 7, $f'$ grau 6, $f''$ grau 5. Correto.
Ex. 55.2Aplicação
Seja $f(x) = 5x^3 - x + 1$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 30x$ $f''(x) = 15x^2 - 1$ $f''(x) = 15x^2$ $f''(x) = 30$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 107
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Primeira derivada: $f'(x) = 15x^2 - 1$ . Segunda derivada: $f''(x) = 30x$ . A constante desaparece na segunda derivação.
Ex. 55.3Aplicação
Seja $f(x) = 8x^4 + 9x^2 - 1$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 96x^2 + 18$ $f''(x) = 32x^3 + 18x$ $f''(x) = 8x^4 + 9x^2$ $f''(x) = 192x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 109
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Primeira derivada: $f'(x) = 32x^3 + 18x$ . Segunda derivada: $f''(x) = 96x^2 + 18$ . A constante desaparece.
Ex. 55.4Aplicação
Seja $f(x) = x^4 + 2x$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 8x$ $f''(x) = 4x^2$ $f''(x) = 2$ $f''(x) = 4x + 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 110
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Primeira derivada: $f'(x) = 4x^2 + 2$ . Segunda derivada: $f''(x) = 8x$ .
Ex. 55.5Aplicação
Seja $f(x) = 3x(18x^4 + 13x + 1)$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 1080x^3 + 78$ $f''(x) = 270x^4 + 78x + 3$ $f''(x) = 270x^3 + 39$ $f''(x) = 108x^2$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 111
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Primeiro expanda: $f(x) = 54x^5 + 39x^2 + 3x$ . Primeira derivada: $f'(x) = 270x^4 + 78x + 3$ . Segunda derivada: $f''(x) = 1080x^3 + 78$ . Aguarda — calculando diretamente: $(54x^5)'' = 54 \cdot 20x^3 = 1080x^3$ , $(39x^2)'' = 78$ , $(3x)'' = 0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Expanda. $3x(18x^4 + 13x + 1) = 54x^5 + 39x^2 + 3x$ .
2. Primeira derivada. $f'(x) = 270x^4 + 78x + 3$ .
3. Segunda derivada. $f''(x) = 1080x^3 + 78$ .
Ex. 55.6AplicaçãoGabarito
Seja $f(x) = (x+2)(2x^2 - 3)$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 12x + 8$ $f''(x) = 6x^2 + 8x - 3$ $f''(x) = 12x - 4$ $f''(x) = 4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 112
Ver solução
Expanda: $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 6$ . Primeira derivada: $f'(x) = 6x^2 + 8x - 3$ . Segunda derivada: $f''(x) = 12x + 8$ .
Ex. 55.7Aplicação
Seja $f(x) = x^2(2x^2 + 5x^3)$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 24x^2 + 100x^3$ $f''(x) = 8x^3 + 25x^4$ $f''(x) = 2x^4 + 5x^5$ $f''(x) = 12x^2$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 113
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Expanda: $f(x) = 2x^4 + 5x^5$ . Primeira derivada: $f'(x) = 8x^3 + 25x^4$ . Segunda derivada: $f''(x) = 24x^2 + 100x^3$ .
Ex. 55.8Aplicação
Seja $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 4}{3}$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 2x + 4/3$ $f''(x) = x^2 + 4x/3$ $f''(x) = 2x$ $f''(x) = 0$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 114
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Reescreva: $f(x) = x^3/3 + 2x^2/3 - 4/3$ . Primeira derivada: $f'(x) = x^2 + 4x/3$ . Segunda derivada: $f''(x) = 2x + 4/3$ .
Ex. 55.9AplicaçãoGabarito
Seja $f(x) = \frac{4x^3 - 2x + 1}{x^2}$ . Calcule $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 6x^{-4} - 4x^{-3}$ $f''(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3}$ $f''(x) = 12x^{-3}$ $f''(x) = -8x^{-3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 115
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Reescreva: $f(x) = (4x^3 - 2x + 1)/x^2 = 4x - 2x^{-1} + x^{-2}$ . Primeira derivada: $f'(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3}$ . Segunda derivada: $f''(x) = -4x^{-3} + 6x^{-4}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Reescreva dividindo termo a termo. $f(x) = 4x - 2x^{-1} + x^{-2}$ .
2. Primeira derivada. $f'(x) = 4 + 2x^{-2} - 2x^{-3}$ .
3. Segunda derivada. $f''(x) = -4x^{-3} + 6x^{-4}$ .
Ex. 55.10Aplicação
Seja $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ . Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = \dfrac{40}{(x^2-4)^3}$ $f''(x) = \dfrac{2}{(x^2-4)^2}$ $f''(x) = 0$ $f''(x) = \dfrac{-4x}{(x^2-4)^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
Ver solução
Pela regra do quociente: $f'(x) = \frac{(x^2-4)\cdot 2x - (x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{-16x}{(x^2-4)^2}$ . Derivando novamente (regra do quociente): numerador $-16(x^2-4)^2 + 16x \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x = -16(x^2-4)^2 + 64x^2(x^2-4)$ , simplificando: $f''(x) = \frac{-16(x^2-4) + 64x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{48x^2 + 64}{(x^2-4)^3}$ .
Ex. 55.11AplicaçãoGabarito
A posição de uma partícula sobre o eixo $x$ é $s(t) = 8t^2 + 5$ . Determine a velocidade $v(t)$ e a aceleração $a(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$s''(t) = 16$ $s''(t) = 16t$ $s''(t) = 0$ $s''(t) = 8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 3
Ver solução
$s(t) = 8t^2 + 5$ . Primeira derivada (velocidade): $v(t) = s'(t) = 16t$ . Segunda derivada (aceleração): $a(t) = s''(t) = 16$ . A aceleração é constante — movimento uniformemente acelerado.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Velocidade. $s'(t) = 16t$ .
2. Aceleração. $s''(t) = 16$ (constante).
3. Interpretação: aceleração constante significa que a velocidade aumenta linearmente com o tempo.
Ex. 55.12Compreensão
O preço de uma ação está caindo cada vez mais devagar. Quais são os sinais de $P'(t)$ e $P''(t)$ ?
Selecione a alternativa correta
$f'(x)$ negativa e decrescente; $f''(x)$ negativa $f'(x)$ negativa e crescente; $f''(x)$ positiva $f'(x)$ positiva e crescente; $f''(x)$ positiva $f'(x)$ positiva e decrescente; $f''(x)$ negativa
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
Ver solução
Se o preço cai cada vez mais devagar, a taxa de variação $P'(t)$ é negativa (caindo) mas está se tornando menos negativa — portanto $P'$ é crescente. Uma taxa crescente implica $P''(t) > 0$ . Resposta: $P'(t) < 0$ (queda) e $P''(t) > 0$ (queda desacelerando).
Ex. 55.13Aplicação
Seja $f(x) = 4x^2 - 7x$ . Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 8$ $f''(x) = 8x - 7$ $f''(x) = 4x - 7$ $f''(x) = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 108
Ver solução
Primeira derivada: $f'(x) = 8x - 7$ . Segunda derivada: $f''(x) = 8$ (constante). Polinômio de grau 2 tem segunda derivada constante.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Primeira derivada. $f'(x) = 8x - 7$ .
2. Segunda derivada. $f''(x) = 8$ (constante).
3. Grau: $f$ grau 2, $f'$ grau 1, $f''$ grau 0 (constante). Correto.
Ex. 55.14AplicaçãoGabarito
Seja $f(x) = \frac{x+9}{x^2-7x+1}$ . Calcule $f'(x)$ (não é preciso simplificar completamente $f''$ ).
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = 2(x+2)$ $f''(x) = (x+9)$ $f''(x) = 2x - 7$ $f''(x) = 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 117
Ver solução
Use a regra do quociente para $f'$ , depois derive de novo. Alternativamente expanda para verificar: $f(x) = \frac{x+9}{x^2-7x+1}$ . Pela regra do quociente: $f'(x) = \frac{(x^2-7x+1) - (x+9)(2x-7)}{(x^2-7x+1)^2}$ . A segunda derivada exige nova aplicação da regra do quociente.
Ex. 55.15Compreensão
Sabe-se que $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1{,}5$ e $f''(2) = -0{,}25$ . A função $f$ é crescente ou decrescente em $x = 2$ ? Côncava para cima ou para baixo?
Selecione a alternativa correta
crescente em $(2{,}1)$ ; côncava para baixo perto de $x=2$ decrescente em $(2{,}1)$ ; côncava para cima perto de $x=2$ crescente em $(2{,}1)$ ; côncava para cima perto de $x=2$ decrescente em $(2{,}1)$ ; côncava para baixo perto de $x=2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
Ver solução
Sabemos que $f'(2) = 1{,}5 > 0$ , portanto $f$ é crescente perto de $x = 2$ . Também $f''(2) = -0{,}25 < 0$ , portanto a concavidade é para baixo (curvatura de "chapéu"). Logo $f(2{,}1)$ será ligeiramente menor que o valor previsto pela tangente — ainda maior que $f(2) = -3$ (pois ainda subindo), mas "menos do que a tangente diria".
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Sinal de $f'(2)$ . $f'(2) = 1{,}5 > 0$ — função crescente.
2. Sinal de $f''(2)$ . $f''(2) = -0{,}25 < 0$ — côncava para baixo.
3. Comportamento de $f'$ perto de $x=2$ . Como $f'' < 0$ , a derivada $f'$ está decrescendo — a função está subindo, mas cada vez mais devagar.
Ex. 55.16Aplicação
Para $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ , determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Selecione a alternativa correta
inflexões em $x=0$ e $x=2$ ; côncava para baixo em $(0,2)$ inflexão só em $x=0$ sem pontos de inflexãocôncava para cima em todo o domínio
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 1
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$f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ . $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ . $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Zeros em $x=0$ e $x=2$ . Tabela: $f'' > 0$ em $(-\infty,0)$ , $f'' < 0$ em $(0,2)$ , $f'' > 0$ em $(2,+\infty)$ . Inflexões em ambos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f''$ . $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ .
2. Zeros. $x = 0$ e $x = 2$ .
3. Tabela de sinal. Teste em $x = -1$ : $f'' = 36 > 0$ ; em $x = 1$ : $f'' = -12 < 0$ ; em $x = 3$ : $f'' = 36 > 0$ .
4. Conclusão. Mudança de sinal em ambos os pontos: dois pontos de inflexão.
Ex. 55.17Aplicação
Determine a concavidade de $f(x) = -e^x$ em todo o domínio.
Selecione a alternativa correta
côncava para baixo; $f''(x) < 0$ côncava para cima; $f''(x) > 0$ nenhuma concavidade definidadepende do valor de $x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 5
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$f(x) = e^x$ tem $f''(x) = e^x > 0$ para todo $x$ . Portanto $e^x$ é côncava para **cima** em todo o domínio — é uma função estritamente convexa. A questão pedia a concavidade de $-e^x$ , que tem $f'' = -e^x < 0$ , logo côncava para baixo.
Ex. 55.18AplicaçãoGabarito
Analise a concavidade de $f(x) = x^3$ e identifique o ponto de inflexão.
Selecione a alternativa correta
inflexão em $(0,0)$ ; côncava para baixo em $(-\infty,0)$ sem ponto de inflexãocôncava para cima em todo o domínioinflexão em $(1,1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 6
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$f(x) = x^3$ . $f''(x) = 6x$ . Para $x < 0$ : $f'' < 0$ (côncava para baixo). Para $x > 0$ : $f'' > 0$ (côncava para cima). Inflexão em $x = 0$ , onde $f(0) = 0$ — ponto $(0,0)$ .
Ex. 55.19Compreensão
Se $f''(c) = 0$ , podemos concluir que $c$ é ponto de inflexão de $f$ ? Explique com contraexemplo se necessário.
Selecione a alternativa correta
Não — $f''(c)=0$ é necessário mas não suficienteSim — $f''(c)=0$ garante inflexãoSim, mas só se $f'(c) \neq 0$ Não — inflexão exige $f''(c) \neq 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 5
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Contraexemplo: $f(x) = x^4$ . $f''(0) = 0$ , mas $f'' = 12x^2 \geq 0$ em todo $\mathbb{R}$ — não muda de sinal em $x = 0$ , portanto não há inflexão. Para confirmar inflexão é necessário que $f''$ mude de sinal ao passar por $c$ .
Ex. 55.20Compreensão
Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$ , o que se pode concluir sobre $c$ ?
Selecione a alternativa correta
$c$ é mínimo local de $f$ $c$ é máximo local de $f$ $c$ é ponto de inflexão de $f$ O teste é inconclusivo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
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Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$ , pela aproximação de Taylor: $f(c+h) \approx f(c) + \frac{f''(c)}{2}h^2 > f(c)$ para $h \neq 0$ pequeno. Portanto $c$ é mínimo local.
Ex. 55.21Modelagem
A posição de uma partícula no eixo $x$ é $s(t) = 8t^2 + 5$ (metros, $t$ em segundos). Calcule a velocidade $v(t)$ e a aceleração $a(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$v(t) = 16t$ ; $a(t) = 16$ m/s² $v(t) = 8t$ ; $a(t) = 8$ m/s² $v(t) = 16$ ; $a(t) = 0$ $v(t) = 8t^2$ ; $a(t) = 16t$
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$s(t) = 8t^2 + 5$ . Velocidade: $v(t) = s'(t) = 16t$ . Aceleração: $a(t) = s''(t) = 16$ m/s² (constante). Movimento uniformemente acelerado.
Ex. 55.22Modelagem
O preço de uma ação está caindo, mas cada vez mais devagar. Quais são os sinais de $P'(t)$ e $P''(t)$ ?
Selecione a alternativa correta
$P'(t) < 0$ e $P''(t) > 0$ $P'(t) > 0$ e $P''(t) > 0$ $P'(t) < 0$ e $P''(t) < 0$ $P'(t) > 0$ e $P''(t) < 0$
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Preço caindo significa $P'(t) < 0$ . Caindo cada vez mais devagar significa que $P'$ está aumentando (tornando-se menos negativo), portanto $P''(t) > 0$ . O preço está se aproximando de um piso.
Ex. 55.23ModelagemGabarito
Um carro acelera de 0 a 86 ft/s em 5 s. Sua velocidade (ft/s) é: $t=0$ : 0; $t=1$ : 29,32; $t=2$ : 50,82. Calcule a aceleração média no primeiro segundo.
Selecione a alternativa correta
$29{,}32$ ft/s² $21{,}50$ ft/s² $50{,}82$ ft/s² $0$ ft/s²
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Aceleração média no primeiro segundo: $\frac{v(1) - v(0)}{1 - 0} = \frac{29{,}32 - 0}{1} = 29{,}32$ ft/s². Isso é a segunda derivada de posição aproximada numericamente via diferença finita de primeira ordem na tabela de velocidades.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Leia a tabela. $v(0) = 0$ ft/s; $v(1) = 29{,}32$ ft/s.
2. Aceleração média. $\bar{a} = \Delta v / \Delta t = (29{,}32 - 0)/1 = 29{,}32$ ft/s².
3. Interpretação: este é um valor de $s''$ aproximado por diferença finita — a segunda derivada discreta.
Ex. 55.24Modelagem
Um saltador de bungee tem altura $h(t)$ (pés) com $h(4) = 55{,}5$ , $h(4{,}5) = 60{,}4$ , $h(5) = 69{,}8$ , $h(5{,}5) = 81{,}6$ , $h(6) = 93{,}7$ . Estime $h''(5)$ usando diferenças finitas e interprete fisicamente.
Selecione a alternativa correta
$h''(5) \approx -4{,}8$ ft/s²; aceleração em direção ao chão $h''(5) \approx 4{,}8$ ft/s²; aceleração para cima $h''(5) = 0$ ; movimento uniforme $h''(5) \approx -14{,}4$ ft/s²
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Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 12
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Estima-se $h'$ por diferenças centrais: $h'(4{,}5) \approx (h(5) - h(4))/(0{,}5 + 0{,}5) = (69{,}8 - 55{,}5)/1{,}0 = 14{,}3$ ft/s; $h'(5) \approx (h(5{,}5) - h(4{,}5))/1 = (81{,}6 - 60{,}4)/1 = 21{,}2$ ft/s. Então $h''(5) \approx (h'(5{,}5) - h'(4{,}5))/1 \approx (h(6) - h(5))/(0{,}5) ...$ Usando a tabela: $h'(5{,}5) \approx (93{,}7 - 69{,}8)/1 = 23{,}9$ ; $h''(5) \approx (23{,}9 - 14{,}3)/1 \approx 9{,}6$ — o sinal indica que a velocidade está aumentando (bungee subindo de volta). O valor exato depende do esquema de diferenças usado.
Ex. 55.25Modelagem
Custo de produção: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (reais). Calcule $C''(q)$ e interprete o ponto de inflexão economicamente.
Selecione a alternativa correta
$C''(q) = 6q - 12$ ; inflexão em $q = 2$ $C''(q) = 3q^2 - 12q$ ; inflexão em $q = 4$ $C''(q) = 6$ ; sem inflexão $C''(q) = 0$ sempre
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Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
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$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ . $C'(q) = 3q^2 - 12q + 15$ (custo marginal). $C''(q) = 6q - 12 = 6(q-2)$ . Zero em $q = 2$ — mudança de sinal confirmada. Para $q < 2$ : custo marginal decrescente (ganho de escala). Para $q > 2$ : custo marginal crescente (perda de escala).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Custo marginal. $C'(q) = 3q^2 - 12q + 15$ .
2. Segunda derivada. $C''(q) = 6q - 12$ .
3. Zero. $6q - 12 = 0 \Rightarrow q = 2$ . Mudança de sinal confirmada: inflexão.
4. Interpretação: $q = 2$ é o ponto de custo marginal mínimo — máxima eficiência de escala.
Ex. 55.26ModelagemGabarito
Altura de projétil: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$ . Calcule $h''(t)$ e identifique seu significado físico.
Selecione a alternativa correta
$h''(t) = -9{,}8$ m/s² (constante) $h''(t) = -9{,}8t$ $h''(t) = v_0$ $h''(t) = 0$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
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$h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$ . $h'(t) = -9{,}8t + v_0$ . $h''(t) = -9{,}8$ m/s². A segunda derivada de posição é a aceleração gravitacional — constante e negativa (aponta para baixo), independente das condições iniciais.
Ex. 55.27Modelagem
Posição de partícula: $s(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9t$ (metros). Calcule $a(t) = s''(t)$ e determine em que instante a aceleração é zero.
Selecione a alternativa correta
$a(t) = 18t - 24$ ; zero em $t = 4/3$ s $a(t) = 9t^2 - 24t + 9$ ; zero em $t = 1$ s $a(t) = 18$ ; nunca zero $a(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9$ ; zero em $t = 3$ s
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
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$s(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9t$ . Velocidade: $v(t) = 9t^2 - 24t + 9$ . Aceleração: $a(t) = 18t - 24$ . Aceleração zero: $18t - 24 = 0 \Rightarrow t = 4/3$ s.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Velocidade. $v(t) = s'(t) = 9t^2 - 24t + 9$ .
2. Aceleração. $a(t) = v'(t) = 18t - 24$ .
3. Zero de $a$ . $18t = 24 \Rightarrow t = 4/3$ s.
Ex. 55.28Modelagem
Para qualquer projétil com $h(t) = -\frac{g}{2}t^2 + v_0 t + h_0$ , calcule $h''(t)$ . O que a constância de $h''$ implica fisicamente?
Selecione a alternativa correta
$a = -9{,}8$ m/s² (constante gravitacional) $a = 0$ $a = 9{,}8t$ $a = v_0$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 144
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Para qualquer projétil: $h(t) = -\frac{1}{2}g t^2 + v_0 t + h_0$ . A segunda derivada $h''(t) = -g = -9{,}8$ m/s² é constante e independe de $v_0$ ou $h_0$ . Isso mostra que a força gravitacional é a única força atuando (desconsiderando ar).
Ex. 55.29Modelagem
O preço de uma ação está perto de atingir seu valor mínimo — ainda caindo, mas cada vez mais devagar. Quais são os sinais de $P'(t)$ e $P''(t)$ ? Descreva a concavidade do gráfico de $P$ .
Selecione a alternativa correta
$P(t)$ crescente e côncava para cima perto de $t$ $P(t)$ decrescente e côncava para baixo $P(t)$ constante $P(t)$ crescente e côncava para baixo
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Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
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Se o preço de uma ação está "perto de tocar o fundo" mas ainda caindo, $P'(t) < 0$ (queda). Mas a queda está desacelerando, ou seja, $P'$ está aumentando — portanto $P''(t) > 0$ . Geometricamente: $P$ é côncava para cima (concavidade de "tigela") perto do piso.
Ex. 55.30Modelagem
Seja $f(x) = 2x^3 + 3x - x^2$ . Calcule $f''(2)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(t) = 2t^3 + 3t - t^2$ ; $f''(2) = 22$ $f'(2) = 19$ ; $f''(2) = 0$ $f''(2) = 6$ $f''(2) = 12$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 133
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$f(x) = 2x^3 + 3x - x^2$ . $f'(x) = 6x^2 + 3 - 2x$ . $f''(x) = 12x - 2$ . Em $x = 2$ : $f''(2) = 24 - 2 = 22$ .
Ex. 55.31ModelagemGabarito
Seja $f(x) = \frac{x^2 - x}{12} + 3x + 2$ . Calcule $f''(x)$ e determine a concavidade em $x = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$f''(0) = 2$ ; côncava para cima em $x=0$ $f''(0) = 0$ $f''(0) = -2$ $f''(0) = 1$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 135
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$f(x) = \frac{x^2 - x}{12} + 3x + 2$ . Simplifique: $f(x) = x^2/12 - x/12 + 3x + 2$ . Primeira derivada: $f'(x) = x/6 - 1/12 + 3$ . Segunda derivada: $f''(x) = 1/6$ (constante). Em $x = 0$ : $f''(0) = 1/6 \approx 0{,}167$ . Côncava para cima.
Ex. 55.32Desafio
Para $f(x) = x^x$ ( $x > 0$ ), calcule $f''(x)$ usando derivada logarítmica.
Selecione a alternativa correta
$f''(x) = x^x[(1+\ln x)^2 + x^{-1}]$ $f''(x) = x^x \ln x$ $f''(x) = x^{x-1}$ $f''(x) = x^x(1 + \ln x)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 138
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Por derivada logarítmica: seja $y = x^x$ . $\ln y = x \ln x$ . Derivando: $y'/y = \ln x + 1$ , logo $f'(x) = x^x(1 + \ln x)$ . Derivando pela regra do produto: $f''(x) = x^x(1+\ln x)^2 + x^x \cdot x^{-1} = x^x[(1+\ln x)^2 + 1/x]$ .
Ex. 55.33Desafio
Seja $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$ . Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(2{,}3) = 2{,}57 + 2{,}3 \cdot f'(2{,}3)$ ; usar regra do produto diretamente $f'(x) = -8/(x^2+1)^2$ ; $f''(x) = 32x/(x^2+1)^3$ $f'(x) = 8x/(x^2+1)^2$ $f''(x) = -2/(x^2+1)^2$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 116
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Pela regra do quociente: $f'(x) = \frac{2x(x^2+4) - x^2 \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{8x}{(x^2+4)^2}$ . Segunda derivada (regra do quociente novamente): $f''(x) = \frac{8(x^2+4)^2 - 8x \cdot 2(x^2+4)(2x)}{(x^2+4)^4} = \frac{8(x^2+4) - 32x^2}{(x^2+4)^3} = \frac{32 - 24x^2}{(x^2+4)^3}$ .
Ex. 55.34Desafio
Calcule $f^{(n)}(x)$ para $f(x) = \ln(1+x)$ e determine $T_3(x)$ (polinômio de Taylor de grau 3 em torno de $a = 0$ ).
Selecione a alternativa correta
$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ e $T_3(x) = x - x^2/2 + x^3/3$ $f^{(n)}(x) = (n-1)!/(1+x)^n$ $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$ $T_3(x) = x + x^2/2 + x^3/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 11
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Para $f(x) = \ln(1+x)$ : $f^{(1)} = (1+x)^{-1}$ , $f^{(2)} = -(1+x)^{-2}$ , $f^{(3)} = 2(1+x)^{-3}$ . Padrão: $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ . Em $x=0$ : $f^{(n)}(0)/n! = (-1)^{n-1}/n$ . Logo $T_3(x) = x - x^2/2 + x^3/3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Derivadas sucessivas. $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=-1$ , $f'''(0)=2$ .
2. Fórmula de Taylor. $T_3(x) = 0 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ .
3. Padrão geral. $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ .
Ex. 55.35DesafioGabarito
Determine um polinômio quadrático $f(x) = ax^2 + bx + c$ tal que $f(1) = 5$ , $f'(1) = 3$ e $f''(1) = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$f'(x) = 2x + 4$ e $f''(1) = 2$ ; $f$ tem mínimo em $x=1$ $f(1) = 5$ mas $f''(1) = 0$ ; teste inconclusivo $f'(1) = 3$ e $f''(1) > 0$ ; mínimo confirmado $f(1) = 5$ e $f'(1) = 0$ ; máximo em $x=1$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 143
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Queremos $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $f(1) = 5$ e $f'(1) = 3$ . $f'(x) = 2ax + b$ . Sistema: $a + b + c = 5$ e $2a + b = 3$ . Com uma terceira condição (ex.: $f''(1) = 2$ , ou seja, $2a = 2 \Rightarrow a = 1$ ), obtemos $b = 1$ e $c = 3$ : $f(x) = x^2 + x + 3$ .
Ex. 55.36Desafio
Escreva o polinômio de Taylor $T_2(x)$ de $f(x) = e^x$ em torno de $a = 0$ e estime o erro para $x = 0{,}1$ .
Selecione a alternativa correta
$T_2(x) = 1 + x + x^2/2$ ; erro $\approx 0{,}00017$ para $x=0{,}1$ $T_2(x) = 1 - x + x^2/2$ $T_2(x) = x + x^2$ $T_2(x) = 1 + x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
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$f(x) = e^x$ : $f(0)=1$ , $f'(0)=1$ , $f''(0)=1$ . $T_2(x) = 1 + x + x^2/2$ . Para $x=0{,}1$ : $T_2 = 1{,}105$ ; $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ ; erro $\approx 0{,}00017$ .
Ex. 55.37Desafio
Para $f(x) = x^5 - 5x^4$ , determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Selecione a alternativa correta
côncavas para cima em $(-\infty,0)$ e $(0,3)$ ; ponto de inflexão em $x=0$ e $x=3$ côncava para cima em todo o domínioinflexão apenas em $x=3$ sem pontos de inflexão
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.3 · ex. 140
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$f(x) = x^5 - 5x^4$ . $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ . $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x-3)$ . Zeros: $x = 0$ (zero duplo) e $x = 3$ . Tabela: $f'' < 0$ em $(0,3)$ , $f'' > 0$ em $(3,+\infty)$ . Mudança de sinal em $x=0$ e $x=3$ : dois inflexões.
Ex. 55.38Desafio
Derive a fórmula de $(fg)''$ a partir da regra do produto e identifique a analogia com o binômio de Newton.
Selecione a alternativa correta
$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$ ; análogo ao binômio $(a+b)^2$ $(fg)'' = f''g + fg''$ $(fg)'' = (f'g)'$ $(fg)'' = f''g''$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 11
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Pela regra do produto: $(fg)' = f'g + fg'$ . Derivando novamente: $(fg)'' = (f'g)' + (fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg'' = f''g + 2f'g' + fg''$ . O coeficiente binomial 2 no termo misto é análogo a $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Ex. 55.39DemonstraçãoGabarito
Seja $f$ duas vezes diferenciável em $[0,1]$ , com $f(0) = f(1) = 0$ e $f' \not\equiv 0$ . Existe $c \in (0,1)$ com $f''(c) = 0$ ? Justifique usando o Teorema de Rolle.
Selecione a alternativa correta
Sim — pelo Teorema de Rolle aplicado duas vezesNão — $f''(c)=0$ exige $f'\equiv 0$ Sim, mas só se $f$ for polinômioNão — não há informação suficiente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 13
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Dado $f(0) = f(1) = 0$ e $f$ diferenciável, pelo Teorema de Rolle existe $c_1 \in (0,1)$ com $f'(c_1) = 0$ . Como $f' \not\equiv 0$ , existe ponto $c_2$ com $f'(c_2) \neq 0 = f'(c_1)$ . Aplicando Rolle a $f'$ no intervalo entre $c_1$ e algum zero de $f'$ , obtém-se $c \in (0,1)$ com $f''(c) = 0$ .
Ex. 55.40Demonstração
Prove que se $f$ é duas vezes diferenciável e $f''(x) \geq 0$ em $(a,b)$ , então $f$ é convexa em $(a,b)$ . (Dica: use que $f''\ \geq 0$ implica $f'$ não-decrescente.)
Selecione a alternativa correta
$f'' \geq 0$ implica $f'$ não-decrescente, o que implica convexidade via TVM $f'' \geq 0$ implica $f' = 0$ $f'' \geq 0$ implica $f$ constante $f'' \geq 0$ implica $f' \geq 0$
Selecione uma opção primeiro
Active Calculus · §1.6 · ex. 13
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Se $f'' \geq 0$ , então $f'$ é não-decrescente. Para $x_1 < x_2$ em $(a,b)$ e $\lambda \in (0,1)$ , seja $x = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ . Pelo TVM em $[x_1,x]$ e $[x,x_2]$ , e usando que $f'$ é crescente, obtém-se $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$ — definição de convexidade.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §1.6 (The Second Derivative), §8.3 (Taylor Polynomials). Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.2 (The Derivative as a Function), §4.5 (Derivatives and the Shape of a Graph). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.2 (Interpretations of the Derivative), §3.4 (Concavity and the Second Derivative). CC-BY-NC.