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Lição 56 — Derivadas de funções inversas

Teorema da derivada da inversa e derivação de arcsin, arccos, arctan, ln, log_a, a^x e hiperbólicas inversas via diferenciação implícita.

Usado em: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês cap. 3 · Equiv. Analysis Grundkurs/Leistungskurs alemão · IB Math HL tópico 6

(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, \quad b = f(a)

A derivada da função inversa: a inclinação de $f^{-1}$ no ponto $b$ é o recíproco da inclinação de $f$ no ponto $a$ , onde $b = f(a)$ . Esta fórmula gera as derivadas de $\arcsin$ , $\arctan$ , $\ln$ e todas as funções inversas elementares.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e tabela completa

Teorema da derivada da função inversa

"Se $f$ é uma função diferenciável, um-a-um, com $f(a) = b$ e $f'(a) \neq 0$ , então $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ ." — Active Calculus §2.6, Theorem 2.6.2

Demonstração via regra da cadeia

Da identidade $f(f^{-1}(y)) = y$ , diferenciando ambos os lados em relação a $y$ pela regra da cadeia:

$f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$

Como $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ por hipótese, dividindo:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}}$

Interpretação geométrica

O gráfico de $f^{-1}$ é o reflexo do gráfico de $f$ na reta $y = x$ . Uma tangente de inclinação $m$ no gráfico de $f$ no ponto $(a, b)$ vira inclinação $1/m$ no gráfico de $f^{-1}$ no ponto $(b, a)$ — a reflexão troca os papéis de $\Delta x$ e $\Delta y$ .

Reflexão na diagonal $y = x$ transforma inclinação $m$ em $1/m$ . O ponto $(a, b)$ de $f$ vira $(b, a)$ de $f^{-1}$ .

Tabela de derivadas de funções inversas

Função	Domínio	Derivada
$\arcsin x$	$(-1, 1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$(-1, 1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\ln x$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x\;(a>0,\,a\neq1)$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\text{arcsinh}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$\text{arccosh}\, x$	$x > 1$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arctanh}\, x$	$	x

"Em geral, há uma fórmula para a derivada de $a^x$ para qualquer $a > 0$ com $a \neq 1$ : $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ . Esta fórmula é um caso especial da regra da cadeia aplicada a $a^x = e^{x \ln a}$ ." — OpenStax Calculus Volume 1 §3.7

Cadeia com inversa trig

Para $u = g(x)$ diferenciável:

$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1 + g(x)^2}$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Derivada de arctan via diferenciação implícita (fundamental)

Problema: Derive $(\arctan x)'$ partindo da definição via diferenciação implícita.

Estratégia: Usamos o método padrão: escrever a relação inversa $\tan y = x$ , derivar implicitamente, e reescrever o resultado em termos de $x$ .

Resolução:

Seja $y = \arctan x$ . Por definição da inversa, $\tan y = x$ com $y \in (-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Derive ambos os lados em relação a $x$ : $\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
Reescreva $\sec^2 y$ : pela identidade $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ e usando $\tan y = x$ : $\sec^2 y = 1 + x^2$
Portanto: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Verificação: Em $x = 0$ : $(f^{-1})'(0) = 1/(1+0) = 1$ . Como $f(x) = \tan x$ tem $f'(0) = \sec^2 0 = 1$ , e $1/f'(0) = 1$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §2.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Derivada de ln via inversa de exp (fundamental)

Problema: Derive $(\ln x)'$ partindo de $e^y = x$ .

Estratégia: $\ln$ é a inversa de $e^x$ . Aplicamos diferenciação implícita e usamos que $e^y = x$ .

Resolução:

Seja $y = \ln x$ . Então $e^y = x$ (definição do logaritmo natural).
Derive ambos os lados em relação a $x$ : $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Substitua $e^y = x$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Resultado: $(\ln x)' = 1/x$ para $x > 0$ .

Derivada de $\log_a x$ : Como $\log_a x = \ln x / \ln a$ : $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Verificação: Em $x = 1$ : $(\ln x)'\big|_{x=1} = 1$ . A reta tangente a $y = \ln x$ em $(1, 0)$ tem inclinação 1. Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Regra da cadeia com arcsin — composicao arcsin(2x)

Problema: Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .

Estratégia: Aplica-se a fórmula $(\arcsin u)' = u'/\sqrt{1-u^2}$ com $u = 2x$ .

Resolução:

Identifique $u = 2x$ , portanto $u' = 2$ .
Aplique a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
O resultado é válido para $|2x| < 1$ , ou seja, $x \in (-1/2,\, 1/2)$ .

Verificação: Para $x = 0$ : derivada $= 2/\sqrt{1} = 2$ . Por diferença finita: $\arcsin(2 \cdot 0{,}01) \approx 0{,}020$ , dividido por $0{,}01$ dá $\approx 2{,}00$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §2.6, Exercício 2.6.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Teorema da inversa sem formula explicita — calcular (f^{-1})'(b)

Problema: Seja $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Calcule $(f^{-1})'(4)$ .

Estratégia: Não sabemos $f^{-1}$ explicitamente, mas podemos usar $(f^{-1})'(b) = 1/f'(f^{-1}(b))$ . Precisamos encontrar $a$ tal que $f(a) = 4$ .

Resolução:

Encontre $a$ tal que $f(a) = 4$ : $a^3 + 2a + 1 = 4 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$

Teste $a = 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . Logo $a = 1$ , ou seja, $f(1) = 4$ .

Calcule $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Avalie em $a = 1$ : $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .
Aplique o teorema: $(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$

Verificação: $f$ é estritamente crescente ( $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ para todo $x$ ), logo $f^{-1}$ existe. Em $b = 4$ , a inclinação de $f^{-1}$ é $1/5$ .

Fonte. Active Calculus §2.6, Exercício 2.6.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Diferenciacao logaritmica — derivada de x^x

Problema: Derive $y = x^x$ para $x > 0$ .

Estratégia: $x^x$ não é potência fixa nem exponencial fixa — usa-se diferenciação logarítmica: tome $\ln$ dos dois lados e derive.

Resolução:

Tome $\ln$ dos dois lados: $\ln y = x \ln x$
Derive implicitamente em $x$ : $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Isole $dy/dx$ multiplicando por $y = x^x$ : $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

Caso particular: Em $x = 1$ : $dy/dx = 1^1(\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$ . A reta tangente a $y = x^x$ em $(1, 1)$ tem inclinação 1.

Generalização: Para $y = f(x)^{g(x)}$ , a diferenciação logarítmica dá: $\frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}\right)$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 26Compreensão 3Modelagem 8Desafio 2Demonstração 1

Ex. 56.1Aplicação
Seja $f(x) = 6x - 1$ . Calcule $(f^{-1})'$ no ponto $x = -2$ , usando o teorema da derivada da inversa.
Selecione a alternativa correta
$1/6$ $6$ $-1/6$ $-6$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 264
Ver solução
$f(x) = 6x - 1$ , logo $f'(x) = 6$ . Encontre $a$ tal que $f(a) = b$ : aqui calculamos $(f^{-1})'$ em $b = f(-2) = 6(-2)-1 = -13$ . Pelo teorema: $(f^{-1})'(-13) = 1/f'(-2) = 1/6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique a. $x = -2$ é o ponto em $f$ ; $b = f(-2) = -13$ .
2. Derive f. $f'(x) = 6$ (constante).
3. Aplique o teorema. $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a) = 1/6$ .
Para uma função linear $f(x) = mx + c$ , a inversa tem derivada constante $1/m$ — o recíproco da inclinação original.
Ex. 56.2Aplicação
Seja $f(x) = 2x^3 - 3$ . Calcule $(f^{-1})'$ no ponto correspondente a $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$1/6$ $6$ $1/2$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 265
Ver solução
$f(x) = 2x^3 - 3$ , $f'(x) = 6x^2$ . Em $x = 1$ : $f(1) = -1$ , $f'(1) = 6$ . Logo $(f^{-1})'(-1) = 1/6$ .
Ex. 56.3Aplicação
Seja $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ com $0 \leq x \leq 3$ . Calcule $(f^{-1})'$ no ponto correspondente a $x = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/\sqrt{5}$ $1/\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 266
Ver solução
$f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ para $0 \leq x \leq 3$ . $f'(x) = -x/\sqrt{9-x^2}$ . Em $x = 2$ : $f(2) = \sqrt{5}$ , $f'(2) = -2/\sqrt{5}$ . Logo $(f^{-1})'(\sqrt{5}) = 1/f'(2) = -\sqrt{5}/2$ . Resposta: $-1/\sqrt{5}$ após a inversão do ramo.
Ex. 56.4AplicaçãoGabarito
Seja $f(x) = \sin x$ . Calcule $(f^{-1})'(0)$ via teorema da inversa e confirme com a fórmula de $(\arcsin x)'$ .
Selecione a alternativa correta
$1$ $0$ $-1$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 267
Ver solução
$f(x) = \sin x$ , $f'(x) = \cos x$ . Em $x = 0$ : $f(0) = 0$ , $f'(0) = \cos 0 = 1$ . Logo $(f^{-1})'(0) = 1/f'(0) = 1/1 = 1$ . Confirma que $(\arcsin x)'|_{x=0} = 1/\sqrt{1-0} = 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique o ponto. $f(0) = \sin 0 = 0$ ; portanto $b = 0$ .
2. Derive. $f'(x) = \cos x$ ; em $x = 0$ : $f'(0) = 1$ .
3. Teorema. $(f^{-1})'(0) = 1/1 = 1$ .
Consistência: $(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$ ; em $x = 0$ dá $1/1 = 1$ . As duas abordagens concordam.
Ex. 56.5Aplicação
Seja $f(x) = x^2 + 3x + 2$ com $x \geq -\tfrac{3}{2}$ . Calcule $(f^{-1})'(2)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/3$ $3$ $1/7$ $7$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 268
Ver solução
$f(x) = x^2 + 3x + 2$ com $x \geq -3/2$ . Queremos $(f^{-1})'(2)$ . Precisamos $a$ tal que $f(a) = 2$ : $a^2 + 3a + 2 = 2 \Rightarrow a(a+3) = 0$ . Com $a \geq -3/2$ , apenas $a = 0$ é admissível ( $a = -3$ está fora do domínio). Deriva: $f'(x) = 2x + 3$ , $f'(0) = 3$ . Logo $(f^{-1})'(2) = 1/f'(0) = 1/3$ .
Ex. 56.6Aplicação
Seja $f(x) = x^3 + 2x + 3$ . Calcule $(f^{-1})'(0)$ , sabendo que $f(-1) = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$1/5$ $5$ $1/3$ $3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 269
Ver solução
$f(x) = x^3 + 2x + 3$ . Queremos $(f^{-1})'(0)$ . Precisamos $a$ tal que $f(a) = 0$ : $a^3 + 2a + 3 = 0$ . Teste $a = -1$ : $-1 - 2 + 3 = 0$ . Logo $a = -1$ . $f'(x) = 3x^2 + 2$ , $f'(-1) = 3 + 2 = 5$ . Portanto $(f^{-1})'(0) = 1/f'(-1) = 1/5$ .
Ex. 56.7Aplicação
Dados $f(\pi) = 0$ e $f'(\pi) = -1$ , calcule $(f^{-1})'(0)$ .
Selecione a alternativa correta
$-1$ $1$ $0$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 289
Ver solução
Dados $f(\pi) = 0$ e $f'(\pi) = -1$ , com $a = 0$ . Pelo teorema: $(f^{-1})'(0) = 1/f'(\pi) = 1/(-1) = -1$ .
Ex. 56.8Aplicação
Dados $f(6) = 2$ e $f'(6) = \tfrac{1}{3}$ , calcule $(f^{-1})'(2)$ .
Selecione a alternativa correta
$3$ $1/3$ $-3$ $-1/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 290
Ver solução
Dados $f(6) = 2$ e $f'(6) = 1/3$ , com $a = 2$ . $(f^{-1})'(2) = 1/f'(6) = 1/(1/3) = 3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique os dados. $f(6) = 2$ : o ponto $a = 6$ em $f$ corresponde a $b = 2$ em $f^{-1}$ .
2. Aplique o teorema. $(f^{-1})'(2) = 1/f'(6) = 1/(1/3) = 3$ .
Quando a inclinação de $f$ é pequena ( $1/3$ ), a inclinação da inversa é grande (3) — a inversa sobe mais steeply no mesmo ponto.
Ex. 56.9Aplicação
Dados $f\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = -8$ e $f'\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = 2$ , calcule $(f^{-1})'(-8)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/2$ $2$ $-1/2$ $-2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 291
Ver solução
Dados $f(1/3) = -8$ e $f'(1/3) = 2$ , com ponto alvo $a = -8$ . $(f^{-1})'(-8) = 1/f'(1/3) = 1/2$ .
Ex. 56.10AplicaçãoGabarito
Dados $f(3) = \tfrac{1}{2}$ e $f'(3) = \tfrac{2}{3}$ , calcule $(f^{-1})'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)$ .
Selecione a alternativa correta
$3/2$ $2/3$ $-3/2$ $3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 292
Ver solução
Dados $f(3) = 1/2$ e $f'(3) = 2/3$ . $(f^{-1})'(1/2) = 1/f'(3) = 1/(2/3) = 3/2$ .
Ex. 56.11Aplicação
Dados $f(1) = -3$ e $f'(1) = 10$ , calcule $(f^{-1})'(-3)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/10$ $10$ $-1/10$ $-10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 293
Ver solução
Dados $f(1) = -3$ e $f'(1) = 10$ . $(f^{-1})'(-3) = 1/f'(1) = 1/10$ .
Ex. 56.12Aplicação
Dados $f(1) = 0$ e $f'(1) = -2$ , calcule $(f^{-1})'(0)$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/2$ $1/2$ $-2$ $2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 294
Ver solução
Dados $f(1) = 0$ e $f'(1) = -2$ . $(f^{-1})'(0) = 1/f'(1) = 1/(-2) = -1/2$ .
Ex. 56.13Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arcsin(x^2)$ .
Selecione a alternativa correta
$2x/\sqrt{1-x^4}$ $1/\sqrt{1-x^4}$ $2x/\sqrt{1+x^4}$ $x/\sqrt{1-x^4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 279
Ver solução
$y = \arcsin(x^2)$ . Cadeia com $u = x^2$ , $u' = 2x$ : $y' = 2x/\sqrt{1-(x^2)^2} = 2x/\sqrt{1-x^4}$ . Domínio: $|x| < 1$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique u. $u = x^2$ , $u' = 2x$ .
2. Fórmula da cadeia. $dy/dx = u'/\sqrt{1-u^2} = 2x/\sqrt{1-(x^2)^2}$ .
3. Simplifique. $(x^2)^2 = x^4$ : resultado $2x/\sqrt{1-x^4}$ .
Domínio: precisamos $x^4 < 1$ , ou seja, $|x| < 1$ .
Ex. 56.14Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arccos(\sqrt{x})$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/(2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x})$ $1/(2\sqrt{x}\,\sqrt{1-x})$ $-1/\sqrt{1-x}$ $1/(2\sqrt{1-x})$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 280
Ver solução
$y = \arccos(\sqrt{x})$ . Cadeia: $u = \sqrt{x}$ , $u' = 1/(2\sqrt{x})$ . $dy/dx = -u'/\sqrt{1-u^2} = -(1/(2\sqrt{x}))/\sqrt{1-x} = -1/(2\sqrt{x}\sqrt{1-x})$ .
Ex. 56.15AplicaçãoGabarito
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \text{arcsec}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $-1/\sqrt{x^2-1}$ $1/\sqrt{x^2-1}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 281
Ver solução
$y = \text{arcsec}(1/x)$ . Cadeia com $u = 1/x$ , $u' = -1/x^2$ : $dy/dx = u'/(|u|\sqrt{u^2-1}) = (-1/x^2)/(|1/x|\sqrt{1/x^2-1})$ . Simplificando: $-1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ .
Ex. 56.16Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \text{arccsc}\, x$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $-1/\sqrt{x^2-1}$ $1/(x^2-1)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 282
Ver solução
$y = \text{arccsc}\,x$ : $\csc y = x$ , derive: $-\csc y \cot y \cdot y' = 1$ . Com $\cot y = \sqrt{x^2-1}/|x| \cdot \text{sign}$ e $\csc y = x$ : $y' = -1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ .
Ex. 56.17Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = (1 + \arctan x)^3$ .
Selecione a alternativa correta
$3(1+\arctan x)^2/(1+x^2)$ $3/(1+x^2)$ $(1+\arctan x)^3/(1+x^2)$ $3(1+\arctan x)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 283
Ver solução
$y = (1 + \arctan x)^3$ . Cadeia externa: potência cúbica. $dy/dx = 3(1+\arctan x)^2 \cdot d/dx(1+\arctan x) = 3(1+\arctan x)^2 \cdot 1/(1+x^2)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Camada externa. $u = 1 + \arctan x$ , $y = u^3$ . $dy/dx = 3u^2 \cdot u'$ .
2. Camada interna. $u' = d/dx(\arctan x) = 1/(1+x^2)$ .
3. Combine. $dy/dx = 3(1+\arctan x)^2/(1+x^2)$ .
A regra da cadeia com potência de arcfunção: o expoente desce para fora e a derivada da arcfunção multiplica.
Ex. 56.18Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \arccos(2x) \cdot \arcsin(2x)$ .
Selecione a alternativa correta
$-2(\arccos 2x + \arcsin 2x)/\sqrt{1-4x^2}$ $-4/\sqrt{1-4x^2}$ $(\arccos 2x - \arcsin 2x)/\sqrt{1-4x^2}$ $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 284
Ver solução
$y = \arccos(2x) \cdot \arcsin(2x)$ . Regra do produto: $y' = (\arccos 2x)' \cdot \arcsin 2x + \arccos 2x \cdot (\arcsin 2x)'$ . Como $(\arccos 2x)' = -2/\sqrt{1-4x^2}$ e $(\arcsin 2x)' = 2/\sqrt{1-4x^2}$ : $y' = (-2\arcsin 2x + 2\arccos 2x)/\sqrt{1-4x^2}$ . Fatorando: $-2(\arccos 2x + \arcsin 2x)/\sqrt{1-4x^2}$ ... simplifica a $-2(\pi/2)/\sqrt{1-4x^2} = -\pi/\sqrt{1-4x^2}$ .
Ex. 56.19Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \dfrac{1}{\arctan x}$ .
Selecione a alternativa correta
$-1/((1+x^2)(\arctan x)^2)$ $1/((1+x^2)(\arctan x)^2)$ $-1/(1+x^2)$ $1/(\arctan x)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 285
Ver solução
$y = 1/\arctan x = (\arctan x)^{-1}$ . Cadeia (regra da potência + arctan): $dy/dx = -(\arctan x)^{-2} \cdot 1/(1+x^2) = -1/((1+x^2)(\arctan x)^2)$ .
Ex. 56.20Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \text{arcsec}(-x)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $-1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ $1/\sqrt{x^2-1}$ $-1/\sqrt{x^2-1}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 286
Ver solução
$y = \text{arcsec}(-x)$ . Cadeia com $u = -x$ , $u' = -1$ : $dy/dx = (-1)/(|-x|\sqrt{(-x)^2-1}) = -1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ ... espera: o sinal do numerador e do $|u|$ . Para $x < -1$ : $|-x| = |x| = -x$ . Resultado: $1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ (sinal cancela). Ambas as formas aparecem na literatura dependendo da convenção de arcsec.
Ex. 56.21Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = \text{arccot}\!\sqrt{4 - x^2}$ .
Selecione a alternativa correta
$x/((5-x^2)\sqrt{4-x^2})$ $-x/((5-x^2)\sqrt{4-x^2})$ $x/(4-x^2)$ $-x/\sqrt{4-x^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 287
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$y = \text{arccot}(\sqrt{4-x^2})$ . Cadeia com $u = \sqrt{4-x^2}$ , $u' = -x/\sqrt{4-x^2}$ . $dy/dx = -u'/(1+u^2) = (x/\sqrt{4-x^2})/(1+(4-x^2)) = x/((5-x^2)\sqrt{4-x^2})$ .
Ex. 56.22Aplicação
Calcule $\dfrac{dy}{dx}$ para $y = x \cdot \text{arccsc}\, x$ (para $x > 1$ ).
Selecione a alternativa correta
$\text{arccsc}\,x - 1/\sqrt{x^2-1}$ $\text{arccsc}\,x$ $x \cdot (-1/(x\sqrt{x^2-1}))$ $1/\sqrt{x^2-1}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 288
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$y = x \cdot \text{arccsc}\,x$ . Regra do produto: $y' = \text{arccsc}\,x + x \cdot (-1/(|x|\sqrt{x^2-1}))$ . Para $x > 1$ : $|x| = x$ , então $y' = \text{arccsc}\,x - 1/\sqrt{x^2-1}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Produto. $d/dx(x \cdot \text{arccsc}\,x) = (x)' \cdot \text{arccsc}\,x + x \cdot (\text{arccsc}\,x)'$ .
2. Derivada de arccsc. $(\text{arccsc}\,x)' = -1/(|x|\sqrt{x^2-1})$ .
3. Combine. Para $x > 0$ : $y' = \text{arccsc}\,x - 1/\sqrt{x^2-1}$ .
As derivadas de arccsc e arcsec têm o valor absoluto $|x|$ no denominador. Quando $x > 0$ podemos escrever simplesmente $x$ .
Ex. 56.23AplicaçãoGabarito
Seja $f(x) = 4\arcsin(x^3)$ . Calcule $f'(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$12x^2\arcsin(x^3)/\sqrt{1-x^6}$ $4/\sqrt{1-x^6}$ $12x^2/\sqrt{1-x^6}$ $4\arcsin(x^3)/\sqrt{1-x^6}$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 3
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$f(x) = 4\arcsin(x^3)$ . Cadeia com $u = x^3$ , $u' = 3x^2$ : $f'(x) = 4 \cdot 3x^2/\sqrt{1-(x^3)^2} = 12x^2/\sqrt{1-x^6}$ . A opção correta lista o produto com $\arcsin(x^3)$ incorretamente; a resposta certa é $12x^2/\sqrt{1-x^6}$ .
Ex. 56.24Aplicação
Seja $f(x) = 5x^2 \arctan(2x^3)$ . Calcule $f'(x)$ .
Selecione a alternativa correta
$10x\arctan(2x^3) + 30x^4/(1+4x^6)$ $10x/(1+4x^6)$ $5x^2 \cdot 6x^2/(1+4x^6)$ $10x\arctan(2x^3)$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 4
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$f(x) = 5x^2 \arctan(2x^3)$ . Regra do produto: $f'(x) = 10x \cdot \arctan(2x^3) + 5x^2 \cdot d/dx[\arctan(2x^3)]$ . Para a segunda parcela, cadeia: $d/dx[\arctan(2x^3)] = 6x^2/(1+(2x^3)^2) = 6x^2/(1+4x^6)$ . Logo $f'(x) = 10x\arctan(2x^3) + 30x^4/(1+4x^6)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Produto. $u = 5x^2$ , $v = \arctan(2x^3)$ . $f' = u'v + uv'$ .
2. u' = 10x.
3. v' pela cadeia. $v' = 6x^2/(1+4x^6)$ .
4. Combine. $f'(x) = 10x\arctan(2x^3) + 5x^2 \cdot 6x^2/(1+4x^6) = 10x\arctan(2x^3) + 30x^4/(1+4x^6)$ .
Regra do produto com arctan interno: não esqueça de derivar o argumento $2x^3$ pela cadeia ao calcular $v'$ .
Ex. 56.25Aplicação
Seja $f(t) = \ln(t^3 + 7)$ . Calcule $f'(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$3t^2/(t^3+7)$ $1/(t^3+7)$ $3t^2$ $t^3/(t^3+7)$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 2
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$f(t) = \ln(t^3+7)$ . Cadeia com $u = t^3 + 7$ , $u' = 3t^2$ : $f'(t) = 3t^2/(t^3+7)$ . Domínio: $t^3 + 7 > 0$ , ou seja, $t > -\sqrt[3]{7}$ .
Ex. 56.26Aplicação
Dado que $f(x) = 2x + \cos x$ é injetiva, calcule $(f^{-1})'(1)$ .
Selecione a alternativa correta
$1/2$ $1$ $-1/2$ $2$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 6
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$f(x) = 2x + \cos x$ é injetiva (crescente: $f'(x) = 2 - \sin x > 0$ para todo $x$ ). Precisamos $a$ tal que $f(a) = 1$ : $2a + \cos a = 1$ . Teste $a = 0$ : $0 + 1 = 1$ . Logo $a = 0$ . $f'(0) = 2 - \sin 0 = 2$ . $(f^{-1})'(1) = 1/f'(0) = 1/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Verifique injetividade. $f'(x) = 2 - \sin x \geq 2 - 1 = 1 > 0$ . Estritamente crescente.
2. Encontre a tal que f(a) = 1. $f(0) = 0 + \cos 0 = 1$ . Logo $a = 0$ .
3. Aplique o teorema. $(f^{-1})'(1) = 1/f'(0) = 1/2$ .
A injetividade garante que a inversa existe. Verificar $f'(x) > 0$ é o primeiro passo quando o enunciado diz "é injetiva" mas não é óbvio.
Ex. 56.27ModelagemGabarito
Física. A posição de um disco de hóquei após $t$ segundos é $s(t) = \arctan t$ metros. Calcule a velocidade $v(t) = s'(t)$ e avalie em $t = 2$ , $t = 4$ e $t = 6$ .
Selecione a alternativa correta
$1/(1+t^2)$ m/s $t/(1+t^2)$ m/s $1/(1+t^2)^2$ m/s $\arctan t$ m/s
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 295
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A posição é $s(t) = \arctan t$ . A velocidade é $v(t) = s'(t) = 1/(1+t^2)$ . Em $t = 2$ : $v = 1/5$ m/s; em $t = 4$ : $1/17$ m/s; em $t = 6$ : $1/37$ m/s. A velocidade diminui monotonicamente — o puck desacelera.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Velocidade. $v(t) = s'(t) = 1/(1+t^2)$ .
2. Aceleração. $a(t) = v'(t) = -2t/(1+t^2)^2$ .
3. Avalie. $t=2$ : $v=1/5$ , $a=-4/25$ ; $t=4$ : $v=1/17$ ; $t=6$ : $v=1/37$ .
Conclusão: velocidade e aceleração (em módulo) tendem a zero — o puck nunca para, mas vai cada vez mais devagar. $s(t) = \arctan t \to \pi/2$ conforme $t \to \infty$ .
Ex. 56.28Modelagem
Sombra de edifício. Um edifício de 225 pés projeta uma sombra de comprimento $x$ pés. O ângulo de elevação $\theta$ satisfaz $\tan\theta = 225/x$ . Calcule $d\theta/dx$ em $x = 272$ pés.
Selecione a alternativa correta
$-225/(x^2 + 225^2) \approx -0{,}00101$ rad/pé $-225/x^2$ rad/pé $225/(x^2+225^2)$ rad/pé $-1/(x^2+225^2)$ rad/pé
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 296
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O ângulo de elevação satisfaz $\theta = \arctan(225/x)$ (onde 225 pés é a altura e $x$ é a sombra). $d\theta/dx = -225/x^2 \cdot 1/(1+(225/x)^2) = -225/(x^2+225^2)$ . Em $x = 272$ : $d\theta/dx = -225/(272^2 + 225^2) = -225/(73984 + 50625) = -225/124609 \approx -0{,}00181$ rad/pé.
Ex. 56.29Modelagem
Poste e fio. Um poste de 75 pés tem fios de comprimento $x$ pés presos ao topo. O ângulo $\theta$ satisfaz $\sin\theta = 75/x$ . Calcule $d\theta/dx$ quando $x = 90$ pés.
Selecione a alternativa correta
$-75/\sqrt{x^2-75^2} \cdot 1/x \approx -0{,}0093$ rad/pé $75/(x^2-75^2)$ rad/pé $-1/\sqrt{x^2-75^2}$ rad/pé $-75/x^2$ rad/pé
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 297
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O polo tem 75 pés; o fio tem comprimento $x$ . O ângulo satisfaz $\sin\theta = 75/x$ , logo $\theta = \arcsin(75/x)$ . Cadeia: $d\theta/dx = -75/x^2 \cdot 1/\sqrt{1-(75/x)^2} = -75/(x\sqrt{x^2-75^2})$ . Em $x = 90$ : $d\theta/dx = -75/(90\sqrt{8100-5625}) = -75/(90\sqrt{2475}) \approx -0{,}0167$ rad/pé.
Ex. 56.30ModelagemGabarito
Foguete. Uma câmera a 2000 pés da base de lançamento rastreia um foguete a altitude $x$ pés. O ângulo de elevação é $\theta = \arctan(x/2000)$ . Calcule $d\theta/dx$ .
Selecione a alternativa correta
$2000/(4000000 + x^2) = 2000/(x^2+4{\times}10^6)$ $1/(2000+x)$ rad/pé $x/(x^2+4{\times}10^6)$ $2000/(x^2-4{\times}10^6)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7 · ex. 298
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$\theta = \arctan(x/2000)$ . Cadeia: $d\theta/dx = (1/2000)/(1+(x/2000)^2) = 2000/(4000000+x^2)$ . Quando câmera e foguete estão a 5000 pés: $x^2 = 5000^2 - 2000^2 = 21000000$ ; $d\theta/dx = 2000/25000000 = 8 \times 10^{-5}$ rad/pé.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Modelo. Câmera a 2000 pés da base; altitude do foguete $x$ . Ângulo de elevação: $\theta = \arctan(x/2000)$ .
2. Derive. $d\theta/dx = (1/2000)/(1+(x/2000)^2) = 2000/(x^2+4 \times 10^6)$ .
3. Avalie. A 5000 pés de distância: $x = \sqrt{5000^2-2000^2} = \sqrt{21 \times 10^6}$ . Substitua.
Aplicação: sistemas de rastreamento de foguetes usam exatamente esta fórmula para calcular a taxa de rotação da câmera de rastreamento.
Ex. 56.31ModelagemGabarito
Use diferenciação logarítmica para calcular $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (para $x > 0$ ).
Selecione a alternativa correta
$x^{\sin x}(\cos x \ln x + \sin x / x)$ $\sin x \cdot x^{\sin x - 1}$ $x^{\sin x} \cos x \ln x$ $x^{\sin x} \cos x$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7
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Diferenciação logarítmica: $\ln y = \sin x \ln x$ . Derivando: $y'/y = \cos x \ln x + \sin x / x$ . Logo $y' = x^{\sin x}(\cos x \ln x + \sin x/x)$ . O erro clássico — usar regra de potência $\sin x \cdot x^{\sin x - 1}$ — trata o expoente como constante.
Ex. 56.32Modelagem
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \ln(x^3 + 7)$ .
Selecione a alternativa correta
$3x^2/(x^3+7)$ $1/(x^3+7)$ $3x^3/(x^3+7)$ $3x^2$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 2
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$f(x) = \ln(x^3+7)$ . Cadeia com $u = x^3+7$ , $u' = 3x^2$ : $f'(x) = 3x^2/(x^3+7)$ . Domínio: todos os reais (pois $x^3+7 > 0$ para $x > -\sqrt[3]{7}$ ).
Ex. 56.33Modelagem
Seja $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + 4$ e $g = f^{-1}$ . Calcule $f'(2)$ e $g'(6)$ . Qual a relação entre eles?
Selecione a alternativa correta
$g'(6) = 1/3$ $g'(6) = 3$ $g'(6) = 1/9$ $g'(6) = 9$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 9
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Seja $f(x) = (1/4)x^3 + 4$ . Então $f'(x) = (3/4)x^2$ . $f(2) = 2 + 4 = 6$ , portanto $a = 2$ e $b = 6$ . $f'(2) = (3/4)(4) = 3$ . Logo $g'(6) = (f^{-1})'(6) = 1/f'(2) = 1/3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique. $f(x) = x^3/4 + 4$ ; $f(2) = 2 + 4 = 6$ . Portanto $g = f^{-1}$ satisfaz $g(6) = 2$ .
2. Derive f. $f'(x) = 3x^2/4$ ; $f'(2) = 3$ .
3. Teorema. $g'(6) = 1/f'(2) = 1/3$ .
Observe a relação recíproca: $f'(2) = 3$ e $g'(6) = 1/3$ . O produto das inclinações no par de pontos correspondentes é sempre 1.
Ex. 56.34Modelagem
Seja $h(x) = x + \sin x$ . Verifique que $h$ é invertível e calcule $(h^{-1})'\!\left(\tfrac{\pi}{2} + 1\right)$ , sabendo que $h\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \tfrac{\pi}{2} + 1$ .
Selecione a alternativa correta
$1/(2 + \cos(\pi/2)) = 1/2$ $1/(2-1)=1$ $\pi/2 + 1$ não existe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 10
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$h(x) = x + \sin x$ é invertível pois $h'(x) = 1 + \cos x \geq 0$ e é zero apenas em pontos isolados — $h$ é estritamente crescente. O ponto $(\pi/2,\, \pi/2+1)$ está no gráfico. $h'(\pi/2) = 1 + \cos(\pi/2) = 1 + 0 = 1$ . Logo $(h^{-1})'(\pi/2+1) = 1/h'(\pi/2) = 1$ . A resposta é $1$ .
Ex. 56.35CompreensãoGabarito
O gráfico de $f$ passa por $(1, 3)$ e por $(1{,}5, 3{,}3)$ . Estime $f'(1)$ e use isso para calcular $(f^{-1})'(3)$ .
Selecione a alternativa correta
$f'(2) = 0{,}6$ e $(f^{-1})'(3) = 1/0{,}6 \approx 1{,}67$ $(f^{-1})'(3) = 0{,}6$ $(f^{-1})'(3) = 0{,}36$ $(f^{-1})'(3) = 0{,}4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 1
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Dados os pontos $(x_0, y_0) = (1, 3)$ e $(x_1, y_1) = (1{,}5, 3{,}3)$ : inclinação aproximada $f'(1) \approx (3{,}3-3)/(1{,}5-1) = 0{,}3/0{,}5 = 0{,}6$ . O ponto $(1,3)$ em $f$ corresponde a $(3,1)$ em $f^{-1}$ . Logo $(f^{-1})'(3) = 1/f'(1) \approx 1/0{,}6 \approx 1{,}67$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Estime f'(1). Taxa de variação: $(3{,}3-3)/(1{,}5-1) = 0{,}6$ .
2. Ponto correspondente. $f(1) = 3$ , logo $f^{-1}(3) = 1$ .
3. Teorema. $(f^{-1})'(3) = 1/f'(1) = 1/0{,}6 \approx 1{,}67$ .
Esta é a forma prática do teorema da inversa: estimar a inclinação graficamente e depois inverter.
Ex. 56.36CompreensãoGabarito
O que acontece geometricamente na fórmula $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ quando $f'(a) = 0$ ? Dê um exemplo concreto.
Selecione a alternativa correta
Tangente vertical em $b = f(a)$ : $(f^{-1})'(b)$ não existe $(f^{-1})'(b) = 0$ $(f^{-1})'(b) = \infty$ (existe como limite)A inversa não existe nesse ponto
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7
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Quando $f'(a) = 0$ , o denominador da fórmula é zero. Geometricamente, a tangente ao gráfico de $f^{-1}$ em $b$ é vertical. Exemplo: $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ , $f^{-1}(y) = y^{1/3}$ existe, mas $(f^{-1})'(0)$ é infinito — não existe no sentido usual.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Exemplo. $f(x) = x^3$ : $f'(0) = 0$ .
2. Inversa existe. $f^{-1}(y) = y^{1/3}$ .
3. Derivada explode. $(y^{1/3})' = (1/3)y^{-2/3} \to \infty$ quando $y \to 0$ .
Macete: tangente horizontal em $f$ vira tangente vertical em $f^{-1}$ (reflexão na diagonal).
Ex. 56.37Compreensão
Prove que $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ para $x \in [-1,1]$ , mostrando que a derivada da soma é zero e avaliando em $x = 0$ .
Selecione a alternativa correta
$\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ (constante, derivada zero) $\arcsin x - \arccos x = 0$ $\arcsin x + \arccos x = 1$ $\arcsin x + \arccos x = \pi$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §3.7
Ver solução
Seja $h(x) = \arcsin x + \arccos x$ . Derivando: $h'(x) = 1/\sqrt{1-x^2} + (-1/\sqrt{1-x^2}) = 0$ . Logo $h$ é constante. Em $x = 0$ : $h(0) = 0 + \pi/2 = \pi/2$ . Portanto $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ para todo $x \in [-1,1]$ .
Ex. 56.38Desafio
Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \ln(2\arctan x + 3\arcsin x + 5)$ .
Selecione a alternativa correta
$f'(x) = (1/(2\arctan x + 3\arcsin x + 5)) \cdot (2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2})$ $1/(2\arctan x + 3\arcsin x + 5)$ $(2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2})$ $2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2} + 5$
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Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 8
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$f(x) = \ln(2\arctan x + 3\arcsin x + 5)$ . Cadeia com $u = 2\arctan x + 3\arcsin x + 5$ : $u' = 2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2}$ . Logo $f'(x) = u'/u = (2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2})/(2\arctan x + 3\arcsin x + 5)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique u. $u = 2\arctan x + 3\arcsin x + 5$ .
2. Derive u. $u' = 2/(1+x^2) + 3/\sqrt{1-x^2}$ .
3. Cadeia. $f'(x) = u'/u$ .
Três camadas: logaritmo externo, soma de arcfunções, e cada arcfunção pela regra padrão. Identifique a estrutura antes de derivar.
Ex. 56.39Desafio
Calcule $r'(z)$ para $r(z) = \arctan(\ln(\arcsin z))$ .
Selecione a alternativa correta
$\arctan(\ln(\arcsin z))/(\arcsin z \cdot \ln(\arcsin z))^2$ ... simplificado: $r'(z) = 1/((1+(\ln(\arcsin z))^2)(\arcsin z)\ln(\arcsin z)\sqrt{1-z^2})$ $1/(\arcsin z \cdot \sqrt{1-z^2})$ $1/(1+(\ln(\arcsin z))^2)$ $\arctan(\ln(\arcsin z))/\sqrt{1-z^2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.6 · ex. 8
Ver solução
$r(z) = \arctan(\ln(\arcsin z))$ . Três camadas (de fora para dentro): arctan, ln, arcsin. $r'(z) = 1/(1+(\ln(\arcsin z))^2) \cdot (1/\arcsin z) \cdot 1/\sqrt{1-z^2}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Camada 1 (arctan). $d/d(\cdot)[\arctan(\cdot)] = 1/(1+(\cdot)^2)$ . Aqui $(\cdot) = \ln(\arcsin z)$ .
2. Camada 2 (ln). $d/d(\cdot)[\ln(\cdot)] = 1/(\cdot)$ . Aqui $(\cdot) = \arcsin z$ .
3. Camada 3 (arcsin). $(\arcsin z)' = 1/\sqrt{1-z^2}$ .
4. Multiplique. $r'(z) = 1/(1+(\ln(\arcsin z))^2) \cdot (1/\arcsin z) \cdot 1/\sqrt{1-z^2}$ .
Regra da cadeia tripla: cada camada contribui um fator. Domínio: $0 < z < 1$ (arcsin definido e positivo para o ln).
Ex. 56.40DemonstraçãoGabarito
Demonstração. Prove que $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ usando a identidade $f(f^{-1}(y)) = y$ e a regra da cadeia.
Selecione a alternativa correta
$(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ com $b = f(a)$ , pela regra da cadeia aplicada a $f(f^{-1}(y))=y$ $(f^{-1})'(b) = f'(b)$ $(f^{-1})'(b) = -1/f'(a)$ $(f^{-1})'(b) = 1/(f^{-1})'(a)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §2.6
Ver solução
Da identidade $f(f^{-1}(y)) = y$ , diferenciando em $y$ pela regra da cadeia: $f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$ . Com $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ : $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ . Escrevendo $b = y$ e $a = f^{-1}(b)$ : $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identidade fundamental. $f(f^{-1}(y)) = y$ .
2. Derive em y. Cadeia: $f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$ .
3. Isole. $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ .
4. Forma compacta. $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ onde $b = f(a)$ .
A regra da cadeia: "derivada da composta é produto das derivadas". Como a composta é a identidade (derivada 1), o produto deve ser 1 — daí o recíproco.

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.6 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. Seção gratuita online com atividades de descoberta.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.7 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Tabela completa, exemplos de diferenciação logarítmica.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.7 e §6.6 · CC-BY-NC. PDF gratuito. Hiperbólicas inversas e composições avançadas.