v1 · padrão canônico

Lição 57 — Aproximação linear e diferencial

Reta tangente como aproximação local. Diferencial dy. Estimativa de erro via segunda derivada. Newton-Raphson como linearização iterada.

Usado em: 2.º ano do programa (Cálculo I) · Equiv. Math III japonês §4 · Equiv. Leistungskurs Differentialrechnung alemão · H2 Math singapurense §4.3

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Linearização de f no ponto a: a reta tangente ao gráfico em $(a,\,f(a))$ é a melhor aproximação linear de f perto de a. O erro é $O((x-a)^2)$ — encolhe muito mais rápido que a distância ao ponto base.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e teoria do erro

Linearização

"Se $f$ é diferenciável em $a$ , então $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ é chamada a linearização de $f$ em $a$ . A aproximação $f(x) \approx L(x)$ é chamada a aproximação linear ou aproximação tangente de $f$ em $a$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §4.2

Diferencial

"Definimos $dx$ e $dy$ como variáveis reais de modo que a seguinte equação vale: $dy = f'(x)\,dx$ . O diferencial $dy$ é uma aproximação linear da variação real $\Delta y$ ." — OpenStax Calculus Vol.1 §4.2

Estimativa de erro via Taylor

Figura: reta tangente como aproximação local

A reta tangente $L(x)$ toca o gráfico de $f$ em $(a, f(a))$ . O erro (segmento laranja) entre a curva e a reta cresce com o quadrado da distância $|x-a|$ .

Aproximações clássicas em $a = 0$ (Maclaurin lineares)

$f(x)$	$L(x)$ em $a = 0$	Válida para
$e^x$	$1 + x$	$x$ pequeno
$\sin x$	$x$	$x$ em radianos, pequeno
$\cos x$	$1$	$x$ pequeno
$\ln(1 + x)$	$x$	$x$ pequeno
$(1 + x)^n$	$1 + nx$	$x$ pequeno
$\sqrt{1 + x}$	$1 + x/2$	$x$ pequeno
$\tan x$	$x$	$x$ pequeno
$\arctan x$	$x$	$x$ pequeno

Propagação de erro

Para $y = f(x)$ com incerteza $\sigma_x$ em $x$ :

$\sigma_y \approx |f'(x)|\,\sigma_x.$

Para funções de várias variáveis $y = f(x_1, \ldots, x_n)$ com erros independentes $\sigma_i$ :

$\sigma_y^2 \approx \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_i^2.$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Aproximação linear de uma raiz quadrada (aplicação direta)

Problema: Usando linearização, aproxime $\sqrt{9{,}2}$ sem calculadora. Estime o erro máximo.

Estratégia: Identificamos $f(x) = \sqrt{x}$ e escolhemos $a = 9$ porque $\sqrt{9} = 3$ é exato e $9{,}2$ está próximo de $9$ .

Resolução:

$f(x) = \sqrt{x}$ , $f(9) = 3$ .
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $f'(9) = \dfrac{1}{6}$ .
Linearização: $L(x) = 3 + \dfrac{1}{6}(x - 9)$ .
Em $x = 9{,}2$ : $L(9{,}2) = 3 + \dfrac{0{,}2}{6} = 3 + 0{,}0\overline{3} \approx 3{,}0333$ .

Estimativa de erro:

$f''(x) = -\dfrac{1}{4x^{3/2}}$ . Em $[9, 9{,}2]$ : $|f''(t)| \leq \dfrac{1}{4 \cdot 9^{3/2}} = \dfrac{1}{108}$ .

$|\text{erro}| \leq \frac{1/108}{2}(0{,}2)^2 = \frac{0{,}04}{216} \approx 0{,}000185.$

Verificação: $\sqrt{9{,}2} \approx 3{,}03315$ . Erro efetivo: $|3{,}0333 - 3{,}03315| \approx 0{,}00015 < 0{,}000185$ . Estimativa confirmada.

Fonte. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Diferencial e propagação de erro em volume de esfera (intermediário)

Problema: O raio de uma esfera é medido como $r = 6{,}0$ cm com erro máximo de $0{,}05$ cm. Estime o erro máximo no volume $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

Estratégia: Usamos o diferencial $dV = V'(r)\,dr$ para linearizar o erro. O diferencial é a aproximação linear da variação de $V$ .

Resolução:

$V(r) = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ , $V'(r) = 4\pi r^2$ .
Com $r = 6$ e $dr = 0{,}05$ :

$dV = 4\pi(6)^2 (0{,}05) = 4\pi \cdot 36 \cdot 0{,}05 = 7{,}2\pi \approx 22{,}62 \text{ cm}^3.$

Volume nominal: $V(6) = \dfrac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³.
Erro relativo: $\dfrac{dV}{V} = \dfrac{7{,}2\pi}{288\pi} = \dfrac{7{,}2}{288} = 0{,}025 = 2{,}5\%$ .

Verificação: Uma incerteza de $0{,}8\%$ no raio propaga para $2{,}5\%$ no volume — fator 3, porque $V \propto r^3$ (expoente 3). Regra geral: para $f(x) = x^n$ , o erro relativo em $f$ é $n$ vezes o erro relativo em $x$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol.1 §4.2 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Aproximação de função trigonometrica e estimativa de erro (intermediario)

Problema: Use a linearização para aproximar $\sin(32°)$ em termos de $\sin(30°)$ e $\cos(30°)$ . Compare com o valor exato.

Estratégia: Convertemos para radianos (obrigatório em cálculo diferencial) e linearizamos $\sin$ em $a = \pi/6$ .

Resolução:

$f(x) = \sin x$ , $a = \pi/6$ (correspondente a $30°$ ).
$f(a) = \sin(\pi/6) = 1/2$ , $f'(a) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ .
$x = 32° = 32\pi/180$ radianos. $x - a = 2\pi/180 = \pi/90$ .

$L(x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{90} = 0{,}5 + 0{,}866 \cdot 0{,}03491 \approx 0{,}5 + 0{,}03023 = 0{,}53023.$

Comparação: $\sin(32°) = 0{,}52992$ . Erro: $|0{,}53023 - 0{,}52992| = 0{,}00031$ .

Verificação: $|f''(t)| = |\sin(t)| \leq \sin(32°) < 0{,}530$ . Cota: $\dfrac{0{,}530}{2}\left(\dfrac{\pi}{90}\right)^2 \approx 0{,}265 \cdot 0{,}001218 \approx 0{,}000323 > 0{,}000310$ . A cota é cumprida.

Fonte. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Newton-Raphson como linearizacao iterada (avancado)

Problema: Use Newton-Raphson para encontrar $\sqrt[3]{2}$ com três casas decimais, partindo de $x_0 = 1{,}5$ .

Estratégia: Reformulamos como $f(x) = x^3 - 2 = 0$ e aplicamos $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ , que vem de zerar a reta tangente a $f$ em $x_n$ .

Resolução:

$f(x) = x^3 - 2$ , $f'(x) = 3x^2$ .

Iteração	$x_n$	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$
0	$1{,}5$	$1{,}375$	$6{,}75$	$1{,}2963$
1	$1{,}2963$	$0{,}1786$	$5{,}040$	$1{,}2609$
2	$1{,}2609$	$0{,}00595$	$4{,}771$	$1{,}2599$
3	$1{,}2599$	$0{,}0000064$	$4{,}763$	$1{,}25992$

Verificação: Após 3 iterações: $x_3 = 1{,}25992$ , coincide com $\sqrt[3]{2} = 1{,}25992105\ldots$ nas seis casas mostradas. A convergência é quadrática: o número de casas corretas aproximadamente dobra a cada iteração.

Fonte. Active Calculus §1.8 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Linearizacao multivariavel — lei de Ohm com duas incertezas (desafio)

Problema: A resistência elétrica é calculada por $R = V/I$ . Medições fornecem $V = 12{,}0 \pm 0{,}3$ V e $I = 2{,}00 \pm 0{,}05$ A. Estime a incerteza em $R$ usando propagação linear de erro.

Estratégia: Usamos a fórmula de propagação de erro baseada no diferencial total para funções de duas variáveis: $\sigma_R^2 \approx (\partial R/\partial V)^2 \sigma_V^2 + (\partial R/\partial I)^2 \sigma_I^2$ .

Resolução:

$R(V, I) = V/I$ . Derivadas parciais:

$\frac{\partial R}{\partial V} = \frac{1}{I} = \frac{1}{2{,}00} = 0{,}5 \text{ Ω/V}, \quad \frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{V}{I^2} = -\frac{12{,}0}{4{,}00} = -3{,}0 \text{ Ω/A}.$

Variância propagada:

$\sigma_R^2 \approx (0{,}5)^2(0{,}3)^2 + (-3{,}0)^2(0{,}05)^2 = 0{,}0225 + 0{,}0225 = 0{,}045 \text{ Ω}^2.$

$\sigma_R \approx \sqrt{0{,}045} \approx 0{,}212 \text{ Ω}.$

Resultado: $R = 6{,}00 \pm 0{,}21$ Ω.

Verificação: As incertezas em $V$ e em $I$ contribuem igualmente para a incerteza total em $R$ — característica desta combinação específica de valores.

Fonte. APEX Calculus §4.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 23Compreensão 6Modelagem 7Desafio 4

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.8 "The tangent line approximation" · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. Exercícios 57.1–57.2, 57.5, 57.7, 57.11–57.12, 57.15, 57.20–57.21, 57.27, 57.29, 57.31, 57.35, 57.37, 57.39–57.40.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §4.2 "Linear Approximations and Differentials" · CC-BY-NC-SA. Exercícios 57.3–57.4, 57.6, 57.13–57.14, 57.17–57.19, 57.23, 57.25, 57.28, 57.30, 57.33.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §4.4 "Differentials" · CC-BY-NC. Exercícios 57.8–57.10, 57.16, 57.22, 57.24, 57.26, 57.31, 57.34, 57.36, 57.38.