v1 · padrão canônico

Lição 58 — Taxas relacionadas

Quando duas grandezas variáveis são ligadas por uma equação, suas taxas de variação no tempo também são ligadas. Balão esférico, escada deslizante, tanque cônico, sombra e ângulo de elevação.

Usado em: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Klasse 11–12 alemã

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

A regra da cadeia no tempo é o motor de toda taxa relacionada. Se $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ e $r$ varia com $t$ , derivar em $t$ ambos os lados entrega a relação entre $dV/dt$ (taxa de inflação de volume) e $dr/dt$ (taxa de crescimento do raio).

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Método formal e modelos canônicos

Estratégia geral para taxas relacionadas

Identifique as variáveis dinâmicas (dependem de $t$ ) e as constantes do problema.
Escreva a equação geométrica ou física que relaciona as variáveis — válida para todo $t$ .
Derive ambos os lados em relação a $t$ , usando a regra da cadeia em cada variável dinâmica.
Substitua os valores numéricos do instante de interesse (nunca antes de derivar).
Isole a taxa desejada e verifique a unidade e o sinal.

"Uma taxa relacionada é a taxa de variação de uma quantidade em termos da taxa de variação de outra quantidade. Podemos encontrar essa taxa de variação usando uma equação que relaciona as duas quantidades e diferenciando ambos os lados em relação ao tempo." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.1

Modelos canônicos

Cenário	Equação fundamental	Variáveis dinâmicas
Balão esférico	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$V(t),\; r(t)$
Escada deslizante	$x^2 + y^2 = L^2$	$x(t),\; y(t)$
Tanque cônico	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$	$V(t),\; r(t),\; h(t)$
Dois carros divergindo	$D^2 = x^2 + y^2$	$x(t),\; y(t),\; D(t)$
Sombra (semelhança)	razão proporcional	distância, sombra
Ângulo de elevação	$\tan\theta = h/x$	$\theta(t),\; x(t)$

Regra da cadeia — forma geral

Se $F(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = C$ (constante), então:

$\frac{d}{dt}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\dot x_i = 0$

Diferenciação implícita em $t$ . O resultado é uma equação linear nas taxas $\dot x_i$ , da qual se isola a desejada.

Erro clássico: substituir antes de derivar

Se $r = 5$ é o valor no instante de interesse, substituir $r = 5$ antes de derivar reduz $r$ a constante e faz $dr/dt$ desaparecer. O erro elimina a informação que se quer calcular.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Balão esférico — taxa de crescimento do raio (aplicação direta)

Problema: Um balão esférico é inflado de modo que seu volume aumenta à taxa de 100 cm³/s. Encontre a taxa de variação do raio quando $r = 5$ cm.

Estratégia: As grandezas dinâmicas são $V(t)$ e $r(t)$ , ligadas pela equação do volume da esfera. Derivamos essa equação em relação a $t$ pela regra da cadeia e isolamos $dr/dt$ .

Resolução:

Equação fundamental: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}$
Dados: $dV/dt = 100$ cm³/s, $r = 5$ cm. Substituir: $100 = 4\pi(5)^2\,\frac{dr}{dt} = 100\pi\,\frac{dr}{dt}$
Isolar: $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}318 \text{ cm/s.}$

Verificação: Unidade correta (cm/s). Sinal positivo: raio cresce, consistente com inflagem.

Fonte. Active Calculus §3.5, Activity 3.5.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Escada deslizante — taxa de descida do topo (intermediário)

Problema: Uma escada de 10 m apoia-se verticalmente em uma parede. O pé da escada escorrega para fora a 0,8 m/s. Encontre a taxa de descida do topo da escada quando o pé está a 6 m da parede.

Estratégia: As variáveis dinâmicas são $x(t)$ (distância do pé à parede) e $y(t)$ (altura do topo). A restrição é o Teorema de Pitágoras com $L = 10$ (constante).

Resolução:

Equação fundamental: $x^2 + y^2 = 100$ .
Derivar em $t$ : $2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0$
Dados: $dx/dt = 0{,}8$ m/s, $x = 6$ m. Calculamos $y$ : $y = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ m.}$
Substituir: $2(6)(0{,}8) + 2(8)\,\frac{dy}{dt} = 0 \implies 9{,}6 + 16\,\frac{dy}{dt} = 0$
Isolar: $\frac{dy}{dt} = -\frac{9{,}6}{16} = -0{,}6 \text{ m/s.}$

O topo da escada desce a 0,6 m/s. O sinal negativo é esperado: $y$ decresce quando $x$ cresce.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.3 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Tanque cônico enchendo — taxa de elevação do nível (intermediário)

Problema: Água é bombeada para um tanque cônico invertido (vértice para baixo) à taxa de 3 m³/min. O tanque tem altura total 6 m e raio do topo 2 m. Quão rápido o nível de água sobe quando a profundidade é $h = 4$ m?

Estratégia: O volume do cone depende de $r$ e $h$ , ambos dinâmicos. A geometria de semelhança permite expressar $r$ em função de $h$ , reduzindo o problema a uma única variável.

Resolução:

Semelhança: No cone, $r/h = 2/6 = 1/3$ , logo $r = h/3$ .
Expressar $V$ só em $h$ : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$
Derivar em $t$ : $\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi h^2}{27}\,\frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\,\frac{dh}{dt}$
Dados: $dV/dt = 3$ m³/min, $h = 4$ m: $3 = \frac{\pi(16)}{9}\,\frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = \frac{27}{16\pi} \approx 0{,}537 \text{ m/min.}$

Verificação: Conforme esperado, quanto maior $h$ , mais lenta a subida (área da seção cresce com $h^2$ ).

Fonte. Active Calculus §3.5, Example 3.5.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Dois carros afastando-se — distância crescendo (modelagem)

Problema: O carro A parte de uma interseção em direção ao norte a 60 km/h e o carro B parte da mesma interseção em direção ao leste a 80 km/h. Quão rápido a distância entre eles aumenta após 30 min de viagem?

Estratégia: Após 30 min, $x = 40$ km (B) e $y = 30$ km (A). A distância $D$ satisfaz Pitágoras. As três variáveis $x$ , $y$ , $D$ são dinâmicas.

Resolução:

Equação fundamental: $D^2 = x^2 + y^2$ .
Derivar em $t$ : $2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt}$
Após $t = 0{,}5$ h: $x = 80 \times 0{,}5 = 40$ km; $y = 60 \times 0{,}5 = 30$ km. $D = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 \text{ km.}$
Dados: $dx/dt = 80$ km/h, $dy/dt = 60$ km/h. Substituir: $2(50)\,\frac{dD}{dt} = 2(40)(80) + 2(30)(60) = 6400 + 3600 = 10000$
Isolar: $\frac{dD}{dt} = \frac{10000}{100} = 100 \text{ km/h.}$

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.1, Example 4.5 — OpenStax · CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Angulo de elevacao de um aviao — taxa angular (avancado)

Problema: Um observador no solo vê um avião que voa horizontalmente a 800 m de altitude e a 200 m/s. Qual a taxa de variação do ângulo de elevação quando o avião está diretamente a 600 m (horizontalmente) do observador?

Estratégia: $\theta$ e $x$ (distância horizontal) são dinâmicos, com $h = 800$ m constante. A relação trigonométrica $\tan\theta = h/x$ é a equação fundamental.

Resolução:

Equação fundamental: $\tan\theta = \dfrac{800}{x}$ .
Derivar em $t$ (lado esquerdo via regra da cadeia): $\sec^2\!\theta\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{x^2}\,\frac{dx}{dt}$
Dados: $x = 600$ m; o avião se aproxima, então $dx/dt = -200$ m/s. Calcule $\theta$ : $\tan\theta = \frac{800}{600} = \frac{4}{3} \implies \sec^2\!\theta = 1 + \tan^2\!\theta = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$
Substituir: $\frac{25}{9}\,\frac{d\theta}{dt} = -\frac{800}{360000}\,(-200) = \frac{160000}{360000} = \frac{4}{9}$
Isolar: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{25} = \frac{4}{25} = 0{,}16 \text{ rad/s.}$

O ângulo de elevação cresce a 0,16 rad/s nesse instante.

Fonte. APEX Calculus §4.2, Example 4.2.4 — Hartman et al. · CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 20Compreensão 8Modelagem 9Desafio 2Demonstração 1

Ex. 58.1Aplicação
Dada $y = x^2 + 3$ , encontre $dy/dt$ em $x = 1$ sabendo que $dx/dt = 4$ .
Selecione a alternativa correta
$dy/dt = 8$ $dy/dt = 4$ $dy/dt = 2$ $dy/dt = 16$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 1
Ver solução
Com $y = x^2 + 3$ , derivando em $t$ : $dy/dt = 2x\,dx/dt$ . Em $x = 1$ com $dx/dt = 4$ : $dy/dt = 2(1)(4) = 8$ .
Ex. 58.2Aplicação
Dada $y = 2x^2 + 1$ , encontre $dx/dt$ em $x = -2$ sabendo que $dy/dt = -1$ .
Selecione a alternativa correta
$dx/dt = 1/8$ $dx/dt = -1/8$ $dx/dt = 1/4$ $dx/dt = -1/4$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 2
Ver solução
Com $y = 2x^2 + 1$ , derivando em $t$ : $dy/dt = 4x\,dx/dt$ . Em $x = -2$ com $dy/dt = -1$ : $-1 = 4(-2)\,dx/dt = -8\,dx/dt$ . Logo $dx/dt = 1/8$ .
Ex. 58.3Aplicação
Dada $z^2 = x^2 + y^2$ , encontre $dz/dt$ em $(x,y) = (1,3)$ sabendo que $dx/dt = 4$ e $dy/dt = 3$ .
Selecione a alternativa correta
$dz/dt = 10/\sqrt{10}$ $dz/dt = 8/\sqrt{10}$ $dz/dt = 4$ $dz/dt = 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 3
Ver solução
Com $z^2 = x^2 + y^2$ , derivando em $t$ : $2z\,dz/dt = 2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt$ . Em $(x,y) = (1,3)$ : $z = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ . Com $dx/dt = 4$ e $dy/dt = -3$ : $2\sqrt{10}\,dz/dt = 2(1)(4) + 2(3)(-3) = 8 - 18 = -10$ , logo $dz/dt = -10/(2\sqrt{10}) = -\sqrt{10}/2$ . A resposta correta para $dy/dt = 3$ (positivo) seria $dz/dt = (4+9)/\sqrt{10} = 13/\sqrt{10}$ ; para os dados originais do livro com $dx/dt = 4$ , $dy/dt = 3$ : $dz/dt = 10/\sqrt{10} = \sqrt{10}$ .
Ex. 58.4Aplicação
O raio de uma esfera aumenta a razão de 1 m/s. Encontre a taxa de variação do volume quando o raio mede 1 m.
Selecione a alternativa correta
O raio da esfera cresce a $\sqrt{1/(3\pi)}$ m/sO raio cresce a 1 m/sO raio cresce a $3\pi$ m/sO raio decresce a $1/(3\pi)$ m/s
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 20
Ver solução
Volume da esfera: $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Derivando: $dV/dt = 4\pi r^2\,dr/dt$ . Com $dV/dt = 1$ m³/s e $r = 1$ m: $1 = 4\pi(1)^2\,dr/dt$ , logo $dr/dt = 1/(4\pi)$ m/s. Para raio crescendo a 1 m/s: $dV/dt = 4\pi$ m³/s. O enunciado pede quando $dV/dt = 1$ e $r = 1$ : $dr/dt = 1/(4\pi)$ m/s.
Ex. 58.5Aplicação
O topo de uma escada de 10 pés desliza para baixo pela parede a 4 pés/s. Quão rápido o pé da escada se afasta da parede quando o topo está a 6 pés do chão?
Selecione a alternativa correta
$3/4$ m/s $4/3$ m/s $3/8$ m/s $8/3$ m/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 5
Ver solução
Escada de 10 pés: $x^2 + y^2 = 100$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Topo desce a 4 pés/s, $dy/dt = -4$ . Quando $y = 6$ : $x = \sqrt{100-36} = 8$ . Logo $2(8)\,dx/dt + 2(6)(-4) = 0 \implies dx/dt = 48/16 = 3$ pés/s.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Equação de vínculo. $x^2 + y^2 = 100$ , escada de 10 pés.
2. Derivar em t. $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ .
3. Calcular x. Com $y = 6$ : $x = \sqrt{100-36} = 8$ pés.
4. Substituir. $dy/dt = -4$ (topo desce): $16\,dx/dt - 48 = 0 \implies dx/dt = 3$ pés/s.
Ex. 58.6Aplicação
Uma escada de 25 pés encostada na parede tem o pé empurrado em direção à parede a 2 pés/s. Encontre a taxa de subida do topo quando o pé está a 7 pés da parede.
Selecione a alternativa correta
Empurrar a pé a 2 pés/s faz o topo subir a $7\sqrt{3}/12$ pés/sO topo sobe a 2 pés/sO topo sobe a $2\sqrt{3}$ pés/sO topo sobe a $1/\sqrt{3}$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 6
Ver solução
Escada de 25 pés: $x^2 + y^2 = 625$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Pé se move para a parede a 2 pés/s: $dx/dt = -2$ . Quando o pé está a 7 pés da parede ( $x = 7$ ): $y = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24$ . Logo $2(7)(-2) + 2(24)\,dy/dt = 0 \implies dy/dt = 28/48 = 7/12$ pés/s.
Ex. 58.7Aplicação
O volume de um cubo diminui a 10 m³/s. Encontre a taxa de variação da aresta quando o volume é 8 m³.
Selecione a alternativa correta
A aresta diminui a $10/(3 \cdot 2^{2/3})$ m/sA aresta diminui a $10/3$ m/sA aresta diminui a $10$ m/sA aresta diminui a $10/9$ m/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 17
Ver solução
Volume do cubo: $V = s^3$ . Derivando: $dV/dt = 3s^2\,ds/dt$ . Com $dV/dt = -10$ m³/s e $s = 2$ m (pois $V = 8$ m³): $-10 = 3(4)\,ds/dt \implies ds/dt = -10/12 = -5/6$ m/s.
Ex. 58.8Aplicação
O raio de um círculo aumenta a 2 m/s. Encontre a taxa de variação da área quando o raio mede 1 m.
Selecione a alternativa correta
$dA/dt = 4\pi$ m²/s, onde A é a área $dA/dt = 2\pi$ m²/s $dA/dt = 8\pi$ m²/s $dA/dt = \pi$ m²/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 18
Ver solução
Área do círculo: $A = \pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 2\pi r\,dr/dt$ . Com $dr/dt = 2$ m/s e $r = 1$ m: $dA/dt = 2\pi(1)(2) = 4\pi$ m²/s.
Ex. 58.9AplicaçãoGabarito
O raio de uma esfera diminui a 3 m/s. Encontre a taxa de variação da área superficial quando o raio mede 3 m.
Selecione a alternativa correta
A área superficial diminui a $72\pi$ m²/sA área superficial diminui a $36\pi$ m²/sA área superficial diminui a $12\pi$ m²/sA área superficial diminui a $144\pi$ m²/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 19
Ver solução
Área superficial da esfera: $A = 4\pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 8\pi r\,dr/dt$ . Com $dr/dt = -3$ m/s e $r = 3$ m: $dA/dt = 8\pi(3)(-3) = -72\pi$ m²/s. A área superficial diminui a $72\pi$ m²/s.
Ex. 58.10Aplicação
A aresta de um cubo aumenta a $1/2$ m/s. Encontre a taxa de variação do volume quando a aresta mede 2 m.
Selecione a alternativa correta
A aresta do cubo cresce a $1/12$ m/sA aresta cresce a $1/6$ m/sA aresta cresce a $1/4$ m/sA aresta cresce a $1/3$ m/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 16
Ver solução
Volume do cubo: $V = s^3$ . Derivando: $dV/dt = 3s^2\,ds/dt$ . Com $dV/dt = 1/2$ m³/s: $1/2 = 3s^2\,ds/dt$ . Quando $s = 2$ m: $1/2 = 3(4)\,ds/dt \implies ds/dt = 1/24$ m/s. Para $s = 1$ : $ds/dt = 1/6$ . O enunciado pede $s$ tal que $ds/dt = 1/12$ ; com $s = 2$ : $ds/dt = 1/2 \div 12 = 1/24$ . Com $s$ genérico e $dV/dt = 1/2$ : $ds/dt = 1/(6s^2)$ .
Ex. 58.11Aplicação
Água é despejada em uma piscina cilíndrica de raio 7 pés e altura 8 pés à taxa de 3 ft³/min. Qual é a taxa de subida do nível da água?
Selecione a alternativa correta
O raio cresce a $1/(18\pi)$ pés/minO raio cresce a $1/(9\pi)$ pés/minO raio cresce a $1/(6\pi)$ pés/minO raio cresce a $9\pi$ pés/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 2
Ver solução
Piscina cilíndrica de raio 7 pés: $V = \pi r^2 h = 49\pi h$ . Derivando: $dV/dt = 49\pi\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 3$ ft³/min: $dh/dt = 3/(49\pi)$ pés/min. A taxa de subida do nível é $3/(49\pi)$ pés/min.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Equação fundamental. Cilindro de raio fixo $r = 7$ : $V = \pi(49)h = 49\pi h$ .
2. Derivar em t. $dV/dt = 49\pi\,dh/dt$ .
3. Substituir. $3 = 49\pi\,dh/dt \implies dh/dt = 3/(49\pi)$ pés/min.
Ex. 58.12Aplicação
Dois amigos partem de um cruzamento: um vai para o Norte a velocidade constante $v$ e o outro para o Oeste a velocidade constante $w$ . Encontre a taxa de variação da distância entre eles.
Selecione a alternativa correta
A distância aumenta a $\sqrt{v^2 + w^2}$ por unidade de tempoA distância aumenta a $v + w$ por unidade de tempoA distância aumenta a $|v - w|$ por unidade de tempoA distância aumenta a $vw/\sqrt{v^2+w^2}$ por unidade de tempo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 3
Ver solução
Dois amigos partem de um cruzamento: um vai para o Norte a velocidade $v$ , outro para o Oeste a velocidade $w$ . Após tempo $t$ : distâncias $vt$ e $wt$ . Distância entre eles: $L = \sqrt{(vt)^2 + (wt)^2} = t\sqrt{v^2+w^2}$ . Derivando: $dL/dt = \sqrt{v^2+w^2}$ . A taxa é constante.
Ex. 58.13AplicaçãoGabarito
Óleo derramado de um navio espalhase em um círculo cuja área aumenta à taxa constante de 6 mi²/hora. Quão rapidamente o raio do derramamento cresce quando a área é 5 mi²?
Selecione a alternativa correta
O raio do derramamento cresce a $3/(\pi\sqrt{5/\pi})$ milhas/horaO raio cresce a $6/\pi$ milhas/horaO raio cresce a $3/\pi$ milhas/horaO raio cresce a $6$ milhas/hora
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 4
Ver solução
Área do círculo: $A = \pi r^2$ . Derivando: $dA/dt = 2\pi r\,dr/dt$ . Com $dA/dt = 6$ mi²/h e $A = 5$ mi²: $r = \sqrt{5/\pi}$ . Logo $6 = 2\pi\sqrt{5/\pi}\,dr/dt \implies dr/dt = 6/(2\pi\sqrt{5/\pi}) = 3/(\pi\sqrt{5/\pi})$ mi/h.
Ex. 58.14Aplicação
Uma escada de 14 pés encostada na parede tem o topo deslizando para baixo a 4 pés/s. Quão rápido o pé se afasta da parede quando o topo está a 10 pés do chão?
Selecione a alternativa correta
O pé se afasta a $4\sqrt{10}/9$ pés/sO pé se afasta a $4/9$ pés/sO pé se afasta a $\sqrt{10}$ pés/sO pé se afasta a $40/9$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 5
Ver solução
Escada de 14 pés: $x^2 + y^2 = 196$ . Derivando: $2x\,dx/dt + 2y\,dy/dt = 0$ . Topo desce a 4 pés/s: $dy/dt = -4$ . Com $y = 10$ : $x = \sqrt{196-100} = \sqrt{96}$ . Logo $2\sqrt{96}\,dx/dt - 80 = 0 \implies dx/dt = 80/(2\sqrt{96}) = 40/\sqrt{96} = 40/(4\sqrt{6}) = 10/\sqrt{6}$ pés/s.
Ex. 58.15AplicaçãoGabarito
Uma tensão constante de 13 volts é aplicada a uma resistência que aumenta a 0,4 ohms/s quando a resistência é 90 ohms. Encontre a taxa de variação da corrente.
Selecione a alternativa correta
A corrente diminui a $13/180$ A/sA corrente diminui a $13/90$ A/sA corrente aumenta a $13/180$ A/sA corrente diminui a $13/18$ A/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 6
Ver solução
Lei de Ohm: $I = V/R$ . Derivando em $t$ : $dI/dt = (R\,dV/dt - V\,dR/dt)/R^2$ . Com $V = 13$ V (constante, $dV/dt = 0$ ), $R = 90$ ohms e $dR/dt = 0{,}4$ ohms/s: $dI/dt = -13(0{,}4)/90^2 = -5{,}2/8100 = -13/20250$ A/s. Simplificando: $dI/dt = -(13 \times 0{,}4)/(90^2) = -5{,}2/8100$ A/s.
Ex. 58.16Aplicação
Um tanque cônico (vértice para baixo) tem altura 16 pés e raio 5 pés. Água vaza a 2 ft³/min. Quão rápido cai o nível quando a profundidade é 16 pés?
Selecione a alternativa correta
A profundidade cai a $-25/(16\pi)$ pés/min quando $h = 16$ A profundidade cai a $-5/(16\pi)$ pés/minA profundidade cai a $-5/\pi$ pés/minA profundidade cai a $-25\pi/16$ pés/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 25
Ver solução
Tanque cônico: altura 16 pés, raio 5 pés. Por semelhança: $r/h = 5/16$ , logo $r = 5h/16$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(5h/16)^2 h = 25\pi h^3/768$ . Derivando: $dV/dt = 25\pi h^2/256\,dh/dt$ . Com $dV/dt = -2$ e $h = 16$ : $-2 = 25\pi(256)/256\,dh/dt = 25\pi\,dh/dt$ . Logo $dh/dt = -2/(25\pi)$ .
Ex. 58.17Aplicação
Um cilindro vertical de raio 2 cm vaza água. Se a vazão de saída é $10\pi$ cm³/min, encontre a taxa de queda do nível.
Selecione a alternativa correta
O nível cai a $5/(2\pi)$ cm/minO nível cai a $1/\pi$ cm/minO nível cai a $5\pi/2$ cm/minO nível cai a $2/(5\pi)$ cm/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 28
Ver solução
Cilindro vertical que vaza: $V = \pi r^2 h$ . Com raio fixo $r = 2$ cm: $dV/dt = 4\pi\,dh/dt$ . Vazão de saída $dV/dt = -10\pi$ cm³/min: $-10\pi = 4\pi\,dh/dt \implies dh/dt = -10\pi/(4\pi) = -5/2$ cm/min. O nível cai a $5/2$ cm/min.
Ex. 58.18AplicaçãoGabarito
Água vaza de um tanque cônico invertido (altura 600 cm, raio 200 cm) a 12500 cm³/min, enquanto é bombeada. Se o nível sobe a 20 cm/min quando a profundidade é 200 cm, qual é a taxa de bombeamento?
Selecione a alternativa correta
O nível sobe a $500/(\pi \cdot 25^2)$ cm/minO nível sobe a $12500/(\pi)$ cm/minO nível sobe a $1/\pi$ cm/minO nível sobe a $500\pi$ cm/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 8
Ver solução
Tanque cônico invertido: altura 600 cm, raio 200 cm. Por semelhança: $r/h = 200/600 = 1/3$ , logo $r = h/3$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi(h/3)^2 h = \pi h^3/27$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2/9\,dh/dt$ . Com água sendo bombeada a taxa constante e vazando $12500$ cm³/min, o balanço líquido fornece $dV/dt$ ; com $h = 200$ cm e nível subindo a 20 cm/min: taxa de bombeamento $= \pi(200)^2/9 \cdot 20 + 12500 = 800000\pi/9 + 12500$ cm³/min.
Ex. 58.19AplicaçãoGabarito
Um barco a vela é puxado por corda em uma polia a 5 pés acima da proa. A corda é recolhida a 1 pé/s quando o comprimento da corda é 13 pés. Quão rápido o barco se aproxima do cais?
Selecione a alternativa correta
O barco se aproxima a $5/4$ pés/sO barco se aproxima a $4/5$ pés/sO barco se aproxima a $5/8$ pés/sO barco se aproxima a $5$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 9
Ver solução
Polia a 5 pés acima do arco da proa. Cabo de comprimento $L$ ; distância horizontal do barco à doca $d$ . Pitágoras: $L^2 = d^2 + 25$ . Derivando: $2L\,dL/dt = 2d\,dd/dt$ . Cabo recolhido a 1 pé/s: $dL/dt = -1$ . Com $L = 13$ pés: $d = \sqrt{169-25} = 12$ . Logo $2(13)(-1) = 2(12)\,dd/dt \implies dd/dt = -13/12$ pés/s. Velocidade de aproximação: $13/12$ pés/s.
Ex. 58.20Aplicação
Um campo de beisebol tem um quadrado de 90 pés de lado. Uma jogadora avança da segunda para a terceira base a 24 pés/s. O árbitro está em home plate. Qual é a taxa de variação da distância entre o árbitro e a jogadora quando ela está a meio caminho entre segunda e terceira?
Selecione a alternativa correta
A distância muda a $-7/5$ pés/s (se aproximam)A distância muda a $7/5$ pés/s (se afastam)A distância muda a $-5/7$ pés/sA distância não muda
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 11
Ver solução
Jogadora corre da segunda para a terceira base a 24 pés/s. Diamante com lados de 90 pés. Coloque terceira base na origem; segunda base a 90 pés. Distância do árbitro (home plate) ao jogador: use coordenadas — home plate está a 90 pés de terceira, segundo de terceira. Seja $x(t)$ a posição da jogadora ao longo da linha da segunda à terceira base (começa em 90, termina em 0). Distância do árbitro em home plate: $D = \sqrt{x^2 + 90^2}$ . Derivando: $\dot D = x\dot x/D$ . Com $x = 45$ , $\dot x = -24$ , $D = \sqrt{2025+8100} = \sqrt{10125} = 45\sqrt{5}$ : $\dot D = 45(-24)/(45\sqrt{5}) = -24/\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.21Compreensão
Dois aviões voam na mesma altitude: o avião A voa para leste a 500 km/h e o avião B voa para norte a 300 km/h, partindo do mesmo ponto. Qual é a taxa de afastamento após 2 horas?
Selecione a alternativa correta
Dois aviões partem simultaneamente, A para leste a 500 km/h e B para norte a 300 km/h. Após 2 h, a taxa de afastamento é 583 km/hApós 2 h, a taxa de afastamento é 800 km/h (soma das velocidades)Após 2 h, a taxa de afastamento é 200 km/h (diferença das velocidades)A taxa de afastamento é sempre 500 km/h
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 7
Ver solução
Após 2 h: $x = 1000$ km, $y = 600$ km. $D = \sqrt{1000^2+600^2} = \sqrt{1360000} = 200\sqrt{34}$ km. Derivando $D^2 = x^2+y^2$ : $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y$ . $\dot D = (1000\cdot500 + 600\cdot300)/(200\sqrt{34}) = 680000/(200\sqrt{34}) \approx 583$ km/h.
Ex. 58.22Compreensão
Uma pessoa de 6 pés caminha a 3 pés/s se afastando de um poste de 10 pés. Qual é a taxa de crescimento do comprimento da sombra?
Selecione a alternativa correta
A sombra cresce a $3/2$ pés/sA sombra cresce a $3$ pés/sA sombra cresce a $1/2$ pés/sA sombra cresce a $9/4$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 10
Ver solução
Poste de 10 pés; pessoa de 6 pés caminhando a 3 pés/s. Seja $x$ a distância da pessoa ao poste e $s$ o comprimento da sombra. Por semelhança: $10/(x+s) = 6/s \implies 10s = 6x+6s \implies 4s = 6x \implies s = 3x/2$ . Derivando: $ds/dt = (3/2)\,dx/dt = (3/2)(3) = 9/2$ pés/s. O comprimento da sombra cresce a $9/2$ pés/s.
Ex. 58.23CompreensãoGabarito
Usando o mesmo cenário do exercício 58.22: qual é a taxa a que a ponta da sombra se move (em relação ao poste)?
Selecione a alternativa correta
A ponta da sombra se move a $5$ pés/sA ponta se move a $3$ pés/sA ponta se move a $3/2$ pés/sA ponta se move a $10/3$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 11
Ver solução
Do exercício anterior: ponta da sombra está a distância $x + s = x + 3x/2 = 5x/2$ do poste. Derivando: taxa da ponta $= (5/2)\,dx/dt = (5/2)(3) = 15/2$ pés/s. Alternativa: a taxa da ponta = taxa da pessoa + taxa do comprimento da sombra $= 3 + 9/2 = 15/2$ pés/s.
Ex. 58.24CompreensãoGabarito
Um helicóptero decola do chão subindo verticalmente a 25 pés/s. Um observador está a 400 pés de distância horizontal. Qual é a taxa de variação da distância entre o helicóptero e o observador quando a altitude é 200 pés?
Selecione a alternativa correta
O helicóptero sobe a 25 pés/s; a taxa de variação da distância é $25 \cdot 200/\sqrt{200^2 + 100^2}$ A taxa de variação da distância é sempre 25 pés/sA taxa de variação da distância é 0 quando o helicóptero está acima do observadorA taxa de variação da distância é 25/2 pés/s quando a altitude é 100 pés
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 14
Ver solução
Helicóptero decola verticalmente a 25 pés/s; observador a 400 pés de distância horizontal. Seja $h$ a altitude e $D$ a distância ao observador. $D^2 = h^2 + 400^2$ . Derivando: $2D\dot D = 2h\dot h$ . Com $h = 200$ : $D = \sqrt{40000+160000} = \sqrt{200000} = 200\sqrt{5}$ . $\dot D = 200 \cdot 25/(200\sqrt{5}) = 25/\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.25CompreensãoGabarito
A área de um triângulo aumenta a 3 cm²/min e a altura aumenta a 2 cm/min. Encontre a taxa de variação da base quando a altura é 10 cm e a base é 1 cm.
Selecione a alternativa correta
A base diminui a $20$ cm/min quando altura é 10 cm e base é 1 cmA base e a altura variam independentementeA área é constante somente se base e altura variam na mesma razãoA taxa de variação da base é sempre negativa
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 24
Ver solução
Área do triângulo: $A = \tfrac{1}{2}bh$ . Derivando: $dA/dt = \tfrac{1}{2}(b\,dh/dt + h\,db/dt)$ . Com $dh/dt = 2$ cm/min, $dA/dt = 3$ cm²/min, $b = 1$ cm e $h = 10$ cm: $3 = \tfrac{1}{2}(1\cdot2 + 10\,db/dt) = 1 + 5\,db/dt \implies db/dt = 2/5$ cm/min.
Ex. 58.26Compreensão
Um triângulo tem dois lados constantes de 3 e 5 pés. O ângulo entre eles cresce a $\pi/6$ rad/min. Qual é a taxa de variação da área quando o ângulo é $\pi/3$ ?
Selecione a alternativa correta
A área do triângulo cresce a $15\cos(\pi/6)/2 = 15\sqrt{3}/4$ ft²/sA área cresce a $15/2$ ft²/sA área cresce a $15\pi/6$ ft²/sA área cresce a $15$ ft²/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 23
Ver solução
Triângulo com dois lados constantes de 3 e 5 pés e ângulo entre eles $\theta$ crescendo. Área: $A = \tfrac{1}{2}(3)(5)\sin\theta = \tfrac{15}{2}\sin\theta$ . Derivando: $dA/dt = \tfrac{15}{2}\cos\theta\,d\theta/dt$ . Com $d\theta/dt = \pi/6$ rad/min e $\theta = \pi/3$ : $dA/dt = \tfrac{15}{2}\cos(\pi/3)(\pi/6) = \tfrac{15}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{6} = 5\pi/8$ ft²/min.
Ex. 58.27CompreensãoGabarito
Areia é descarregada de uma esteira e forma um cone cuja base é sempre igual à altura. A areia é despejada a 30 ft³/min. Quão rápido a altura cresce quando a altura é 10 pés?
Selecione a alternativa correta
A areia sobe a $\sqrt{3}/(180\pi)$ pés/s quando altura é 1 péA areia sobe a $1/(180\pi)$ pés/sA areia sobe a $\sqrt{3}\pi/180$ pés/sA taxa é constante independente da altura
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 12
Ver solução
Areia forma cone com $r = h$ (raio igual à altura). Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi h^3$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 30$ ft³/min e $h = 10$ pés: $30 = \pi(100)\,dh/dt \implies dh/dt = 30/(100\pi) = 3/(10\pi)$ pés/min.
Ex. 58.28Compreensão
Uma piscina tem 60 pés de comprimento, 25 pés de largura e profundidade que varia uniformemente de 3 pés no raso a 15 pés no fundo. Se a água entra a 40 ft³/min, qual é o volume total da piscina?
Selecione a alternativa correta
A piscina enche completamente em $(1/3)(25)(60)(12)/(40)$ horasA água sobe a taxa constante em toda a piscinaA taxa de subida é maior na parte fundaA piscina nunca enche pois a largura aumenta
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 10
Ver solução
Piscina de 60 pés de comprimento e 25 pés de largura, profundidade de 3 pés (raso) a 15 pés (fundo). Seção transversal é trapézio com comprimento variando de 3 a 15 pés ao longo de 60 pés. Volume como função da profundidade $h$ no ponto mais fundo: a piscina é preenchida linearmente. Para $h$ medido desde o fundo, a largura do trapézio no nível $h$ é proporcional; o volume total é $(1/2)(3+15)(60)(25) = 16200$ ft³. Com enchimento a 40 ft³/min: tempo total $= 16200/40 = 405$ min.
Ex. 58.29Modelagem
Você está a 40 pés de um foguete de garrafa no chão que sobe a 25 pés/s. Qual é a taxa de variação do ângulo de elevação quando o foguete está a 200 pés de altitude?
Selecione a alternativa correta
O ângulo de elevação varia a $-1/425$ rad/s quando o foguete está a 200 pés de altitudeO ângulo de elevação é constanteO ângulo varia a $-25/400$ rad/sO ângulo varia a $25/600$ rad/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 38
Ver solução
Observador a 40 pés do foguete (horizontal); foguete sobe a 25 pés/s. $\tan\theta = h/40$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/40)\,dh/dt$ . Com $h = 200$ : $\tan\theta = 200/40 = 5$ , $\sec^2\theta = 1 + 25 = 26$ . Logo $26\,d\theta/dt = 25/40 \implies d\theta/dt = 25/(40\cdot26) = 5/208$ rad/s.
Ex. 58.30Modelagem
Um farol está em uma ilha a 4 km da costa (linha reta). O farol gira a 3 rotações por minuto. Quão rápido o feixe de luz se move ao longo da costa quando é perpendicular à costa?
Selecione a alternativa correta
O farol ilumina a costa a $3\pi$ km/min quando perpendicular à praiaA velocidade é sempre constante ao longo da costaA velocidade é $3$ km/min independente da posiçãoA velocidade é $12\pi$ km/min quando perpendicular
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 39
Ver solução
Farol na ilha a 4 km da costa; gira a 3 rotações por minuto, ou seja, $d\theta/dt = 6\pi$ rad/min. Seja $x$ a posição do feixe na costa. $\tan\theta = x/4$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/4)\,dx/dt$ . Quando perpendicular ( $\theta = 0$ , $\sec^2\theta = 1$ ): $dx/dt = 4 \cdot 6\pi = 24\pi$ km/min.
Ex. 58.31Modelagem
Dois resistores em paralelo satisfazem $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$ . Se $R_1$ aumenta a 0,3 ohm/s e $R_2$ aumenta a 0,2 ohm/s, encontre a taxa de variação de $R$ quando $R_1 = R_2 = 10$ ohms.
Selecione a alternativa correta
A resistência total diminui a $1/225$ ohm/s quando ambas estão a 10 ohmsA resistência total aumenta à mesma taxa que cada resistênciaA resistência total muda a $0{,}2$ ohm/sA resistência total não muda
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 4
Ver solução
Resistores em paralelo: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$ . Derivando em $t$ : $-dR/dt/R^2 = -dR_1/dt/R_1^2 - dR_2/dt/R_2^2$ . Com $R_1 = R_2 = 10$ : $R = 5$ . Com $dR_1/dt = 0{,}3$ e $dR_2/dt = 0{,}2$ : $dR/dt/25 = 0{,}3/100 + 0{,}2/100 = 0{,}005 \implies dR/dt = 0{,}125$ ohm/s.
Ex. 58.32Modelagem
No mesmo tanque cônico (altura 16 pés, raio 5 pés), se o nível de água cai a 3 ft³/min, encontre a taxa de queda do nível quando a profundidade é 5 pés.
Selecione a alternativa correta
O nível sobe a $-3/(25\pi)$ pés/min (cai) quando a profundidade é 5 pésO nível sobe independente da profundidadeO nível sobe a $3/(25\pi)$ pés/minO nível não muda quando vaza e enche simultaneamente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 27
Ver solução
Tanque cônico: altura 16 pés, raio 5 pés. Por semelhança: $r = 5h/16$ . Volume: $V = 25\pi h^3/768$ . Derivando: $dV/dt = 75\pi h^2/768\,dh/dt = 25\pi h^2/256\,dh/dt$ . Com nível caindo a 3 ft³/min ( $dV/dt = -3$ ) e $h = 5$ : $-3 = 25\pi(25)/256\,dh/dt \implies dh/dt = -3 \times 256/(625\pi) = -768/(625\pi)$ .
Ex. 58.33Modelagem
Uma calha tem extremidades em forma de triângulos isósceles com base 3 pés e altura 3 pés, e comprimento 10 pés. Água é adicionada a 2 ft³/min. Quão rápido o nível sobe quando a profundidade é 3 pés?
Selecione a alternativa correta
O nível sobe a $2/(9\pi)$ pés/min quando a profundidade é 3 pésO nível sobe a $2/\pi$ pés/minO nível sobe a $9\pi/2$ pés/minO nível sobe a $2/(3\pi)$ pés/min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 30
Ver solução
Calha com extremidades triangulares isósceles: base 3 pés, altura 3 pés, comprimento 10 pés. Seção transversal triangular com $b = h$ (isósceles e simétrica). Área da seção: $A_{sec} = h^2/2$ . Volume: $V = 10 \cdot h^2/2 = 5h^2$ . Derivando: $dV/dt = 10h\,dh/dt$ . Com $dV/dt = 2$ ft³/min e $h = 3$ : $2 = 30\,dh/dt \implies dh/dt = 1/15$ pés/min.
Ex. 58.34Modelagem
Um rebatedor acerta a bola em direção à terceira base a 75 pés/s e corre para a primeira base a 24 pés/s. O campo de beisebol tem lados de 90 pés. Descreva a abordagem para encontrar a taxa de variação da distância entre o rebatedor e a segunda base quando o rebatedor está a 45 pés de home.
Selecione a alternativa correta
A distância ao segundo base muda a $(-75 \cdot 90 + 24 \cdot x_B)/D$ A distância sempre decresce quando o rebatedor correA distância permanece constante pois as velocidades se cancelamA distância muda a 75 pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 42
Ver solução
Diamante de beisebol: lados de 90 pés. Rebatedor corre para a primeira base a 24 pés/s; bola vai para a terceira base a 75 pés/s. Seja $x_R$ a distância percorrida pelo rebatedor (de home para primeira) e $x_B$ a distância percorrida pela bola (de home para terceira). Distância ao segundo base: depende da geometria do quadrado. Com o segundo base no vértice oposto ao home (diagonal = $90\sqrt{2}$ ), a distância varia com o tempo. A taxa de variação da distância entre rebatedor e segundo base envolve a posição relativa.
Ex. 58.35Modelagem
Um tanque em forma de pirâmide invertida quadrada tem base $4 \times 4$ m e profundidade 5 m. Água vaza a 1 ft³/s. Encontre a taxa de queda do nível quando a profundidade é 2 m.
Selecione a alternativa correta
A profundidade cai a $-1/(1\pi)$ in/s quando a altura é 1 péA profundidade cai a constante independente da alturaA profundidade cai mais devagar conforme o tanque esvaziaA profundidade não muda pois o tanque é quadrado
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 31
Ver solução
Tanque em forma de pirâmide invertida quadrada: base $4 \times 4$ m, profundidade 5 m. Por semelhança: quando a profundidade é $h$ , o comprimento do lado da base é $4h/5$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}(4h/5)^2 h = 16h^3/75$ . Derivando: $dV/dt = 48h^2/75\,dh/dt = 16h^2/25\,dh/dt$ . Com $dV/dt = -1$ ft³/s e $h = 2$ : $-1 = 16(4)/25\,dh/dt \implies dh/dt = -25/64$ .
Ex. 58.36Modelagem
Cascalho é descarregado de um caminhão e forma um cone cujo ângulo de repouso é $60°$ com a horizontal. O volume aumenta a $\pi/3$ m³/min. Encontre a taxa de crescimento da altura quando esta é 3 m.
Selecione a alternativa correta
A areia sobe a $1/(6\pi)$ m/min quando a altura é 3 mA areia sobe a $1/(2\pi)$ m/minA areia sobe a $6\pi$ m/minA areia sobe mais rápido conforme o cone cresce
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 35
Ver solução
Cone de areia com ângulo de $60°$ no vértice implica $r = h\tan(30°) = h/\sqrt{3}$ . Volume: $V = \tfrac{1}{3}\pi(h/\sqrt{3})^2 h = \pi h^3/9$ . Derivando: $dV/dt = \pi h^2/3\,dh/dt$ . Com $dV/dt = \pi/3$ m³/min e $h = 1$ : $\pi/3 = \pi/3\,dh/dt \implies dh/dt = 1$ m/min. Com $h = 3$ : $dh/dt = 1/(9)$ m/min.
Ex. 58.37ModelagemGabarito
Em expansão adiabática, $PV^{1{,}4} = C$ . Se $P = 25$ kPa, $V = 200$ m³ e o volume aumenta a 10 m³/s, encontre a taxa de variação da pressão.
Selecione a alternativa correta
A pressão cai a $-3/2$ kPa/s quando o volume é 400 m³A pressão aumenta quando o volume aumentaA pressão cai a $1{,}4$ kPa/s sempreA pressão e o volume variam à mesma taxa
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 7
Ver solução
Expansão adiabática: $PV^{1{,}4} = C$ (constante). Derivando em $t$ : $\dot P V^{1{,}4} + P \cdot 1{,}4 V^{0{,}4}\dot V = 0$ . Com $P = 25$ kPa, $V = 200$ m³ e $\dot V = 10$ m³/s: $\dot P (200)^{1{,}4} + 25 \cdot 1{,}4 (200)^{0{,}4}(10) = 0$ . Logo $\dot P = -25 \cdot 14/(200) = -7/4 = -1{,}75$ kPa/s.
Ex. 58.38Desafio
Você está estacionado no chão e observa um balão de ar quente subindo verticalmente a 25 pés/s. O balão decolou a 500 pés de você. Qual é a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está a 500 pés de altitude?
Selecione a alternativa correta
O ângulo de elevação varia a $25/\sqrt{1+625/1600}$ rad/sO ângulo varia a taxa constanteO ângulo varia a $1/25$ rad/sO ângulo é constante quando o balão sobe verticalmente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.1 · ex. 37
Ver solução
Balão sobe verticalmente a 25 ft/s; observador a 500 pés. $\tan\theta = h/500$ . Derivando: $\sec^2\theta\,d\theta/dt = (1/500)\,dh/dt = 25/500 = 1/20$ . Com $h = 500$ : $\tan\theta = 1$ , $\sec^2\theta = 2$ . Logo $d\theta/dt = 1/(20 \cdot 2) = 1/40$ rad/s.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Definir variáveis. $h(t)$ = altitude do balão; observador a 500 pés; $\theta$ = ângulo de elevação.
2. Equação fundamental. $\tan\theta = h/500$ .
3. Derivar em t. $\sec^2\theta\,d\theta/dt = dh/dt/500 = 25/500 = 1/20$ .
4. Com h = 500. $\tan\theta = 1 \implies \theta = 45° \implies \sec^2(45°) = 2$ .
5. Isolar. $d\theta/dt = 1/(20 \times 2) = 1/40$ rad/s.
Ex. 58.39Desafio
Um corredor de beisebol avança da segunda para a terceira base a 24 pés/s em um campo com lados de 90 pés. Um árbitro está em home plate. Qual é a taxa de variação da distância entre o corredor e o árbitro quando o corredor está a meio caminho entre segunda e terceira?
Selecione a alternativa correta
A taxa de afastamento é $(-24/\sqrt{5})$ pés/s quando o corredor está a 45 pés de segundaA taxa é 24 pés/s (mesma velocidade do corredor)A taxa é 0 pois o árbitro está fixoA taxa é $24\sqrt{2}$ pés/s
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 11
Ver solução
Corredor avança da segunda para a terceira base a 30 pés/s; árbitro em home plate. Coloque home em origem, primeira em (90, 0), segunda em (90, 90), terceira em (0, 90). Corredor em segunda: posição (90, 90). Ao correr para terceira, sua posição é $(90-90t/\tau, 90)$ . Mais simples: distância do corredor ao home plate. Quando corredor está a 45 pés de segunda (ou seja, em (45, 90) se correr para terceira... use AC §3.1 ex. 11 direito): com o corredor na posição $(90, s)$ onde $s$ vai de 90 a 0 ao correr para terceira. Distância ao home: $D = \sqrt{90^2 + s^2}$ . Derivando: $\dot D = s\dot s/D$ . Com $s = 45$ , $\dot s = -24$ : $D = \sqrt{8100+2025} = \sqrt{10125} = 45\sqrt{5}$ ; $\dot D = 45(-24)/(45\sqrt{5}) = -24/\sqrt{5}$ pés/s.
Ex. 58.40Demonstração
Demonstração. Dois ciclistas partem de um cruzamento: você vai para leste a velocidade constante $v$ e seu amigo para o norte a velocidade constante $w$ . Prove que a taxa de afastamento entre vocês é constante e igual a $\sqrt{v^2+w^2}$ para todo $t > 0$ .
Selecione a alternativa correta
A distância entre os dois ciclistas cresce a $\sqrt{v^2+w^2}$ a partir de $t = 0$ A taxa de afastamento aumenta com o tempoA taxa de afastamento é zero quando os dois vão na mesma direçãoA taxa de afastamento é $v + w$ quando v e w são positivos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.1 · ex. 3
Ver solução
Dois ciclistas partem do mesmo ponto: você vai para leste a velocidade $v$ , amigo vai para o norte a velocidade $w$ . Distância: $D = \sqrt{(vt)^2+(wt)^2} = t\sqrt{v^2+w^2}$ . Derivando: $dD/dt = \sqrt{v^2+w^2}$ . Taxa constante (independe de t). Verificação via taxa relacionada: $D^2 = x^2 + y^2$ , $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y$ , com $x = vt$ , $y = wt$ : $\dot D = (vt\cdot v + wt\cdot w)/(t\sqrt{v^2+w^2}) = (v^2+w^2)\sqrt{v^2+w^2}/(v^2+w^2) = \sqrt{v^2+w^2}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Definir variáveis. $x(t) = vt$ (você, leste), $y(t) = wt$ (amigo, norte), distância $D(t)$ .
2. Equação fundamental. $D^2 = x^2 + y^2$ .
3. Derivar em t. $2D\dot D = 2x\dot x + 2y\dot y = 2(vt)v + 2(wt)w = 2t(v^2+w^2)$ .
4. Isolar. $\dot D = t(v^2+w^2)/D = t(v^2+w^2)/(t\sqrt{v^2+w^2}) = \sqrt{v^2+w^2}$ .
5. Conclusão. A taxa de afastamento é constante em todo $t$ . Ela é a norma do vetor velocidade relativa.

Fontes

Active Calculus — Matthew Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §3.5 "Related rates". Fonte primária.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1 "Related rates".
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · §4.2 "Related rates".