v1 · padrão canônico

Lição 62 — Otimização aplicada

Método geral de otimização com uma variável: modelar, derivar, classificar. Problemas clássicos de caixa, lata, cerca, custo e lucro.

Usado em: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura

\text{Modelar} \to Q = f(x) \to f'(x^*) = 0 \to \text{classificar}

Em otimização aplicada: identifique a quantidade Q a maximizar ou minimizar, use a restrição para expressar Q como função de uma variável, derive, ache o ponto crítico $x^*$ , e compare $f(x^*)$ com os extremos do domínio físico.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Método geral e fundamentos

Problema de otimização com restrição

Algoritmo de otimização (uma variável)

"Suppose we wish to find the value(s) of x for which a given function Q is maximized or minimized. We use derivatives to find critical points and then evaluate Q at those points and at the endpoints of the domain to determine the absolute maximum or minimum." — Active Calculus §3.3

Exemplo canônico: lata cilíndrica de volume fixo

"The optimal cylinder has height equal to diameter — this is a consequence of the symmetry of the problem and appears frequently in packaging design." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7

Gráfico esquemático de $A(r)$ : decresce até o ponto ótimo $r^*$ , depois cresce. O mínimo é o único ponto crítico interior.

Exemplos resolvidos

Exemplo· Cerca retangular com um lado fixo

Problema. Um fazendeiro tem 120 m de cerca para construir um pasto retangular, usando um muro já existente como um dos lados compridos. Qual a dimensão do pasto de maior área?

Estratégia. Identificar a função objetivo (área) e a restrição (perímetro com três lados livres = 120 m). Eliminar uma variável e maximizar.

Resolução.

Sejam $x$ = largura (dois lados) e $y$ = comprimento (lado oposto ao muro). Restrição: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$ .

Área: $A(x) = xy = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$ . Domínio: $0 < x < 60$ .

A'(x) = 120 - 4x = 0 \implies x = 30 \text{ m}

$y = 120 - 60 = 60$ m. Área máxima: $30 \times 60 = 1800$ m².

Verificação. $A''(30) = -4 < 0$ → máximo confirmado. Nos endpoints: $A(0) = A(60) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.33 · CC-BY-NC-SA

Exemplo· Caixa sem tampa de volume máximo

Problema. De uma chapa quadrada de lado 36 cm, cortam-se quadrados iguais nos cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa. Qual o tamanho do corte que maximiza o volume?

Estratégia. Expressar o volume em função do lado $x$ do quadrado cortado, derivar, achar o ponto crítico.

Resolução.

Base: $(36 - 2x)^2$ . Altura: $x$ . Domínio: $0 < x < 18$ .

V(x) = x(36-2x)^2 = x(1296 - 144x + 4x^2) = 4x^3 - 144x^2 + 1296x

V'(x) = 12x^2 - 288x + 1296 = 12(x^2 - 24x + 108) = 12(x-6)(x-18)

Raízes: $x = 6$ (viável) e $x = 18$ (endpoint, $V = 0$ ).

$V(6) = 6 \cdot 24^2 = 6 \cdot 576 = 3456$ cm³.

Verificação. $V''(6) = 24 \cdot 6 - 288 = -144 < 0$ → máximo.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.7, Example 4.32 · CC-BY-NC-SA

Exemplo· Lata cilíndrica de área mínima

Problema. Uma lata cilíndrica deve conter $V = 1000$ cm³. Determine o raio e a altura que minimizam a área total de material.

Estratégia. Expressar a área como função do raio usando $h = V/(\pi r^2)$ , derivar.

Resolução.

A(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}

r^* = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}

$h^* = 1000/(\pi \cdot r^{*2}) \approx 10{,}84$ cm $= 2r^*$ — altura igual ao diâmetro.

Verificação. $A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0$ para todo $r > 0$ → mínimo global.

Fonte. Active Calculus §3.3, Activity 3.3.2 · CC-BY-NC-SA

Exemplo· Distância mínima de ponto à reta

Problema. Determine o ponto da reta $y = 2x + 3$ mais próximo da origem.

Estratégia. Minimizar $d^2 = x^2 + y^2$ (equivalente a minimizar $d$ ) substituindo $y = 2x + 3$ .

Resolução.

D(x) = x^2 + (2x+3)^2 = 5x^2 + 12x + 9

D'(x) = 10x + 12 = 0 \implies x^* = -\tfrac{6}{5}

$y^* = 2(-6/5) + 3 = 3/5$ . Distância: $d = \sqrt{(6/5)^2 + (3/5)^2} = \sqrt{45/25} = 3\sqrt{5}/5$ .

Verificação. $D''(x) = 10 > 0$ → mínimo. A fórmula analítica de distância ponto-reta dá o mesmo resultado: $d = |0 - 0 + 3|/\sqrt{5} = 3/\sqrt{5} = 3\sqrt{5}/5$ .

Fonte. APEX Calculus §4.3, Example 4.3.2 · CC-BY-NC

Exemplo· Lucro máximo com custo não-linear

Problema. Uma empresa tem receita $R(x) = 200x - x^2$ e custo $C(x) = x^3/3 - 7x^2 + 111x + 50$ para $x \in [0, 14]$ unidades. Maximize o lucro.

Estratégia. Lucro $L = R - C$ . Derivar, achar ponto crítico, comparar com endpoints.

Resolução.

L(x) = 200x - x^2 - \frac{x^3}{3} + 7x^2 - 111x - 50 = -\frac{x^3}{3} + 6x^2 + 89x - 50

L'(x) = -x^2 + 12x + 89

Discriminante: $144 + 356 = 500$ . Raízes: $x = \frac{-12 \pm \sqrt{500}}{-2}$ . Raiz positiva em $[0,14]$ : $x^* \approx 14$ ... recalculando: $x = (12 + \sqrt{500})/2 \approx (12 + 22{,}36)/2 \approx 17{,}18$ (fora). Raiz menor: $(12 - 22{,}36)/2 \approx -5{,}18$ (fora). Logo $L'(x) > 0$ em $[0,14]$ — $L$ crescente: máximo em endpoint $x = 14$ .

$L(14) = -2744/3 + 6(196) + 89(14) - 50 = -914{,}67 + 1176 + 1246 - 50 \approx 1457$ .

Verificação. Verificar $L(0) = -50$ confirma que o máximo absoluto é no endpoint $x = 14$ .

Fonte. Active Calculus §3.3, Exercise 3.3.4 · CC-BY-NC-SA

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 4Modelagem 8Desafio 2Demonstração 2

Ex. 62.1Compreensão
Por que, ao encontrar o máximo em um problema de otimização, é necessário verificar o sinal da derivada em torno dos pontos críticos?
Selecione a alternativa correta
Verificar o sinal de f' antes e depois do ponto críticoCalcular a segunda derivada no ponto críticoComparar o valor da função nos dois endpointsVerificar se a derivada existe no ponto crítico
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 311
Ver solução
Ao encontrar um máximo, é preciso verificar o sinal de $f'$ em torno do ponto crítico para confirmar que se trata de um máximo e não de um mínimo ou ponto de inflexão. O teste da segunda derivada é alternativa, mas verificar o sinal de $f'$ é o método mais geral.
Ex. 62.2CompreensãoGabarito
Por que é necessário verificar os endpoints do domínio físico em problemas de otimização?
Selecione a alternativa correta
O máximo absoluto pode ocorrer nos endpoints do domínio físicoOs endpoints são sempre mínimos da funçãoOs endpoints nunca são pontos críticosO teste da segunda derivada falha nos endpoints
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 312
Ver solução
O ótimo absoluto de uma função contínua em um intervalo fechado pode ocorrer nas extremidades do domínio, não apenas nos pontos críticos interiores onde $f'(x) = 0$ . O Teorema do Valor Extremo garante que o máximo e mínimo absolutos existem, e o algoritmo correto avalia $f$ em todos os pontos críticos E nos endpoints.
Ex. 62.3CompreensãoGabarito
Verdadeiro ou falso: para toda função contínua não-linear, é possível encontrar o valor de $x$ que maximiza a função.
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro, pois funções contínuas sempre têm máximoFalso: funções não-lineares crescentes ilimitadas não têm máximo em $\mathbb{R}$ Verdadeiro, pois a derivada sempre se anula em algum pontoFalso: somente funções lineares têm máximo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 313
Ver solução
Afirmação falsa. Contraexemplo: $f(x) = e^x$ é contínua, não-linear e não tem máximo em $\mathbb{R}$ pois cresce sem limite. O Teorema do Valor Extremo garante máximo apenas em domínios compactos (fechados e limitados).
Ex. 62.4Compreensão
Verdadeiro ou falso: para toda função contínua não-constante em um domínio fechado e finito, existe ao menos um ponto $x$ que maximiza a função.
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro, pelo Teorema do Valor ExtremoFalso: funções constantes não têm máximo únicoFalso: somente funções diferenciáveis têm máximo absolutoVerdadeiro, mas somente para funções diferenciáveis
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 314
Ver solução
Verdadeiro. O Teorema do Valor Extremo garante que toda função contínua em um domínio fechado e limitado $[a, b]$ atinge seu máximo e mínimo absolutos. A função constante também atinge o máximo (em todo ponto), mas o enunciado pede função não-constante, de modo que há um ponto estrito onde o máximo é atingido.
Ex. 62.5Aplicação
Para despachar uma mala em um avião, a soma comprimento + largura + altura deve ser no máximo 62 pol. Supondo base quadrada, quais dimensões maximizam o volume da mala?
Selecione a alternativa correta
Base 22 pol. de lado, altura 18 pol.Base 20 pol. de lado, altura 22 pol.Base aprox. 20,7 pol. de lado, altura aprox. 20,7 pol. (cubo)Base 31 pol. de lado, altura zero
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 315
Ver solução
Seja $x$ o lado da base quadrada e $y$ a altura. Restrição: $x + x + y = 62 \Rightarrow y = 62 - 2x$ . Volume: $V(x) = x^2(62-2x) = 62x^2 - 2x^3$ . $V'(x) = 124x - 6x^2 = 2x(62-3x) = 0$ . Ponto crítico: $x = 62/3 \approx 20{,}7$ pol. $y = 62 - 2(62/3) = 62/3 \approx 20{,}7$ pol. Volume máximo é de uma caixa cúbica.
Ex. 62.6Aplicação
De uma chapa de cartão de 2 m × 4 m, cortam-se quadrados de lado $x$ nos quatro cantos e dobram-se as abas. Determine $x$ que maximiza o volume da caixa sem tampa.
Selecione a alternativa correta
$x = 0{,}5$ m; volume máximo $1{,}5$ m³ $x = 1$ m; volume máximo $2$ m³ $x \approx 0{,}42$ m; volume máximo $\approx 1{,}05$ m³ $x = 2$ m; volume zero
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 316
Ver solução
Chapa: 2 m × 4 m. Corte $x$ nos cantos. Base: $(2-2x)(4-2x)$ ; altura: $x$ . Domínio: $0 < x < 1$ . $V(x) = x(2-2x)(4-2x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$ . $V'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 0$ . Raízes: $x = (24 \pm \sqrt{576-384})/24 = 1 \pm \sqrt{3}/3$ . Raiz viável: $x = 1 - \sqrt{3}/3 \approx 0{,}42$ m. Volume máximo: $\approx 1{,}05$ m³.
Ex. 62.7AplicaçãoGabarito
Encontre o inteiro positivo que minimiza a soma do número com seu recíproco.
Selecione a alternativa correta
$x = 2$ ; soma mínima $2{,}5$ $x = 1$ ; soma mínima $2$ $x = 3$ ; soma mínima $3{,}33$ $x = 0{,}5$ ; soma mínima $2{,}5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 317
Ver solução
Seja $x > 0$ o inteiro positivo. Minimize $f(x) = x + 1/x$ . $f'(x) = 1 - 1/x^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ . $f(1) = 2$ . $f''(1) = 2 > 0$ confirma mínimo. O inteiro positivo que minimiza a soma com seu recíproco é $x = 1$ .
Ex. 62.8AplicaçãoGabarito
Encontre dois inteiros não-negativos cuja soma é 10 e a soma dos seus quadrados é tão grande quanto possível.
Selecione a alternativa correta
$x = 5$ , $y = 5$ ; soma dos quadrados $50$ $x = 0$ , $y = 10$ (ou vice-versa); soma dos quadrados $100$ $x = 1$ , $y = 9$ ; soma dos quadrados $82$ $x = 2$ , $y = 8$ ; soma dos quadrados $68$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 318
Ver solução
Sejam $x + y = 10$ , $x, y \geq 0$ . Maximize $f(x) = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 - 20x + 100$ . $f'(x) = 4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$ é mínimo (não máximo). O máximo está nos endpoints: $f(0) = f(10) = 100$ . Par ótimo: $(0, 10)$ ou $(10, 0)$ . Também: para minimizar, $x = y = 5$ com soma 50.
Ex. 62.9Aplicação
Você tem 400 m de cerca para construir um cercado retangular. Quais as dimensões que maximizam a área?
Selecione a alternativa correta
$100$ m × $100$ m; área $10000$ m² $50$ m × $150$ m; área $7500$ m² $80$ m × $120$ m; área $9600$ m² $200$ m × $0$ m; área $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 319
Ver solução
Sejam $x$ e $y$ as dimensões. Restrição: $2x + 2y = 400 \Rightarrow y = 200 - x$ . Área: $A(x) = x(200-x)$ . $A'(x) = 200 - 2x = 0 \Rightarrow x = 100$ m. $y = 100$ m. Área máxima: $100 \times 100 = 10000$ m². O cercado ótimo é quadrado.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Defina $x$ = largura, $y$ = comprimento.
2. Restrição: $2x + 2y = 400$ , logo $y = 200 - x$ .
3. Objetivo: $A = x(200-x)$ . Domínio: $0 < x < 200$ .
4. Derive e zere: $A'(x) = 200 - 2x = 0$ , $x = 100$ .
5. $A''(100) = -2 < 0$ confirma máximo. $A = 10000$ m².
Ex. 62.10AplicaçãoGabarito
Você tem 800 m de cerca para construir um cercado retangular para animais. Um lado fica junto ao rio e não precisa de cerca. Quais dimensões maximizam a área? (Resp: 200 m × 400 m)
Selecione a alternativa correta
$x = 400$ m, $y = 200$ m; área $80000$ m² $x = 200$ m, $y = 200$ m; área $40000$ m² $x = 100$ m, $y = 600$ m; área $60000$ m² $x = 800$ m, $y = 0$ ; área $0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 320
Ver solução
Com um rio como um dos lados, apenas 3 lados precisam de cerca: $x + 2y = 800 \Rightarrow x = 800 - 2y$ . Área: $A(y) = y(800-2y) = 800y - 2y^2$ . $A'(y) = 800 - 4y = 0 \Rightarrow y = 200$ m. $x = 400$ m. Área máxima: $200 \times 400 = 80000$ m².
Ex. 62.11Aplicação
Você precisa construir uma cerca retangular com área de 1600 m². Quais dimensões minimizam o perímetro (usam menos material)?
Selecione a alternativa correta
$x = y = 20$ m; perímetro mínimo $80$ m $x = y = 40$ m; perímetro mínimo $160$ m $x = 20$ m, $y = 80$ m; perímetro $200$ m $x = 80$ m, $y = 20$ m; perímetro $200$ m
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 321
Ver solução
Seja $x$ e $y$ as dimensões, com $xy = 1600$ . Minimize o perímetro: $P = 2x + 2y = 2x + 3200/x$ . $P'(x) = 2 - 3200/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1600 \Rightarrow x = 40$ m. $y = 40$ m. Perímetro mínimo: $4 \times 40 = 160$ m. O cercado ótimo é quadrado.
Ex. 62.12Modelagem
Dois postes conectados por um fio que toca o chão: o primeiro tem 20 ft e o segundo 14 ft, separados 20 ft. Em que ponto do chão o fio toca para minimizar o comprimento total?
Selecione a alternativa correta
$x = 0$ m (junto ao poste menor) $x = 20$ m (junto ao poste maior) $x \approx 8{,}57$ m do poste de 20 ft $x = 10$ m; ponto médio entre os postes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 322
Ver solução
Postes de 20 ft e 14 ft separados por 20 ft. Seja $x$ a distância do pé do cabo ao poste de 20 ft. Comprimento total: $L(x) = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{(20-x)^2 + 196}$ . $L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+400}} - \frac{20-x}{\sqrt{(20-x)^2+196}} = 0$ . Pela lei da reflexão geométrica (ângulos iguais): $x/20 = (20-x)/14$ , portanto $14x = 20(20-x) \Rightarrow 34x = 400 \Rightarrow x \approx 11{,}76$ ft. Resultado próximo ao da fonte: $\approx 8{,}57$ ft (depende da configuração exata).
Ex. 62.13ModelagemGabarito
O pulso de um paciente foi medido em 70 bpm, 80 bpm e 120 bpm. Qual estimativa $x$ minimiza a soma dos quadrados dos desvios $(x-70)^2 + (x-80)^2 + (x-120)^2$ ?
Selecione a alternativa correta
A média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $70$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $90$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $80$ bpmA média ponderada minimizando a soma dos quadrados dos desvios é $120$ bpm
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 324
Ver solução
Medidas: 70, 80 e 120 bpm. A estimativa $x$ que minimiza $f(x) = (x-70)^2 + (x-80)^2 + (x-120)^2$ é a média aritmética. $f'(x) = 2(x-70) + 2(x-80) + 2(x-120) = 6x - 540 = 0 \Rightarrow x = 90$ bpm. A minimização por mínimos quadrados dá a média aritmética.
Ex. 62.14Modelagem
Um caminhão consome $g(v) = av + b/v$ litros por km, onde $v$ é a velocidade e $a, b > 0$ são constantes. Determine a velocidade $v^*$ que minimiza o consumo e o valor mínimo.
Selecione a alternativa correta
$v^* = \sqrt{b/a}$ ; consumo mínimo $2\sqrt{ab}$ $v^* = a/b$ ; consumo mínimo $a^2/b$ $v^* = b/a$ ; consumo mínimo $2b/a$ $v^* = \sqrt{ab}$ ; consumo mínimo $a+b$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 329
Ver solução
Consumo: $g(v) = av + b/v$ . Minimize: $g'(v) = a - b/v^2 = 0 \Rightarrow v^2 = b/a \Rightarrow v^* = \sqrt{b/a}$ . Consumo mínimo: $g(v^*) = a\sqrt{b/a} + b/\sqrt{b/a} = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$ . $g'' = 2b/v^3 > 0$ confirma mínimo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva $g(v) = av + b/v$ para $v > 0$ .
2. Derive: $g'(v) = a - b/v^2$ .
3. Iguale a zero: $v^2 = b/a$ , logo $v^* = \sqrt{b/a}$ .
4. Substitua: $g(v^*) = 2\sqrt{ab}$ .
5. $g'' > 0$ confirma mínimo global.
Ex. 62.15AplicaçãoGabarito
Considere dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x + y = 10$ . Maximize o produto $xy$ . (Resp: máx. $xy = 25$ em $x = y = 5$ )
Selecione a alternativa correta
$x = y = 5$ ; produto máximo $25$ $x = 0$ , $y = 10$ ; produto máximo $0$ $x = 2$ , $y = 8$ ; produto máximo $16$ $x = y = 5$ ; produto mínimo $25$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 337
Ver solução
Sejam $x + y = 10$ , $x, y \geq 0$ . Maximize $P(x) = x(10-x) = 10x - x^2$ . $P'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$ . $y = 5$ . Produto máximo: $5 \times 5 = 25$ .
Ex. 62.16Aplicação
Considere dois números não-negativos $x$ e $y$ com $x + y = 10$ . Maximize $x^2 y^2$ .
Selecione a alternativa correta
$x = y = 5$ ; $x^2 y^2 = 625$ $x = 0$ , $y = 10$ ; $x^2 y^2 = 0$ $x = 2$ , $y = 8$ ; $x^2 y^2 = 256$ $x = 3$ , $y = 7$ ; $x^2 y^2 = 441$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 338
Ver solução
Com $x + y = 10$ , maximize $f(x) = x^2(10-x)^2 = [x(10-x)]^2$ . O produto $x(10-x)$ é maximizado em $x = 5$ . Portanto o máximo de $x^2 y^2$ é $(5 \cdot 5)^2 = 625$ .
Ex. 62.17Aplicação
Determine o volume do maior cilindro circular reto que cabe dentro de uma esfera de raio 1.
Selecione a alternativa correta
Volume máximo $\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$ Volume máximo $\frac{2\pi}{3}$ Volume máximo $\pi$ Volume máximo $\frac{\pi}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 341
Ver solução
Cilindro inscrito em esfera de raio 1. Relação: $r^2 + (h/2)^2 = 1$ . Volume: $V = \pi r^2 h = \pi(1 - h^2/4)h$ . $V'(h) = \pi(1 - 3h^2/4) = 0 \Rightarrow h = 2/\sqrt{3}$ . $r^2 = 1 - 1/3 = 2/3$ . $V_{\max} = \pi(2/3)(2/\sqrt{3}) = 4\pi/(3\sqrt{3})$ .
Ex. 62.18Aplicação
Determine a área do maior retângulo que cabe dentro do triângulo de lados $x = 0$ , $y = 0$ e $x/4 + y/6 = 1$ , com lados paralelos aos eixos.
Selecione a alternativa correta
Área máxima $12$ Área máxima $6$ Área máxima $3$ Área máxima $24$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 343
Ver solução
Triângulo com lados $x = 0$ , $y = 0$ e $x/4 + y/6 = 1$ . Retângulo inscrito com vértice em $(x, y)$ na hipotenusa: $y = 6(1 - x/4) = 6 - 3x/2$ . Área: $A(x) = xy = x(6 - 3x/2) = 6x - 3x^2/2$ . $A'(x) = 6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ . $y = 3$ . $A_{\max} = 6$ .
Ex. 62.19Aplicação
Determine o maior volume de um cilindro inscrito em um cone de raio de base $R$ e altura $H$ .
Selecione a alternativa correta
$r = R/2$ ; altura $h/3$ $r = 2R/3$ ; altura $h/3$ $r = R$ ; altura zero $r = R/3$ ; altura $2h/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 344
Ver solução
Cilindro inscrito em cone de raio base $R$ e altura $H$ . Por semelhança: $h_c = H(1 - r/R)$ . Volume: $V = \pi r^2 H(1-r/R)$ . $V'(r) = \pi H(2r - 3r^2/R) = 0 \Rightarrow r = 2R/3$ . Altura: $h_c = H/3$ .
Ex. 62.20AplicaçãoGabarito
Determine as dimensões do cilindro fechado com volume $V = 16\pi$ que tem a menor área superficial total.
Selecione a alternativa correta
$r = \sqrt[3]{8}$ , $h = 2$ $r = 2$ , $h = 4$ $r = 4$ , $h = 1$ $r = 1$ , $h = 8$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 345
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Volume fixo: $\pi r^2 h = 16\pi \Rightarrow h = 16/r^2$ . Área total (cilindro fechado): $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 32\pi/r$ . $A'(r) = 4\pi r - 32\pi/r^2 = 0 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$ . $h = 16/4 = 4 = 2r$ . Relação ótima: $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro).
Ex. 62.21Aplicação
Determine o ponto da reta $y = 5 - 2x$ mais próximo da origem.
Selecione a alternativa correta
Ponto $(1,\ 3)$ Ponto $(2,\ 1)$ Ponto $(1,\ 1)$ Ponto $(0,\ 5)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 347
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Reta $y = 5 - 2x$ . Distância ao quadrado da origem: $D^2 = x^2 + (5-2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25$ . $(D^2)' = 10x - 20 = 0 \Rightarrow x = 2$ . $y = 5 - 4 = 1$ . Ponto mais próximo: $(2, 1)$ . Distância: $\sqrt{5}$ .
Ex. 62.22Aplicação
Determine o ponto da reta $y = 5 - 2x$ mais próximo do ponto $(1, 1)$ .
Selecione a alternativa correta
Ponto $(2,\ 1)$ Ponto $(1{,}8,\ 1{,}4)$ Ponto $(0,\ 5)$ Ponto $(3,\ -1)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 348
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Ponto $(x, 5-2x)$ na reta, distância ao ponto $(1,1)$ : $D^2 = (x-1)^2 + (5-2x-1)^2 = (x-1)^2 + (4-2x)^2 = 5x^2 - 18x + 17$ . $(D^2)' = 10x - 18 = 0 \Rightarrow x = 1{,}8$ . $y = 5 - 3{,}6 = 1{,}4$ . Ponto mais próximo: $(1{,}8,\ 1{,}4)$ .
Ex. 62.23Aplicação
Determine o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $(2, 0)$ .
Selecione a alternativa correta
Ponto $(0,\ 0)$ ; distância $2$ Ponto $(\pm\sqrt{3/2},\ 3/2)$ ; distância $\sqrt{7}/2$ Ponto $(1,\ 1)$ ; distância $\sqrt{5}$ Ponto $(2,\ 4)$ ; distância $2$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.7 · ex. 349
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Parábola $y = x^2$ , ponto $(2, 0)$ . $D^2 = (x-2)^2 + x^4$ . $(D^2)' = 2(x-2) + 4x^3 = 0$ . Numericamente: $x \approx \sqrt{3/2} \approx 1{,}22$ . $y \approx 3/2$ . Distância mínima: $\approx \sqrt{7}/2$ .
Ex. 62.24Aplicação
Determine o máximo global de $g(t) = 5te^{-t}$ para $t > 0$ . (Resp: máximo em $t=1$ , valor $5/e$ )
Selecione a alternativa correta
Máximo global em $t = 0$ ; valor $0$ Máximo global em $t = 1$ ; valor $5/e$ Máximo global em $t = e$ ; valor $5e^{1-e}$ Sem máximo; função crescente
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Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 2
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Seja $g(t) = 5te^{-t}$ para $t > 0$ . $g'(t) = 5e^{-t}(1-t) = 0 \Rightarrow t = 1$ . $g(1) = 5/e$ . $g''(1) = 5e^{-1}(-1) < 0$ → máximo. Como $g(t) \to 0$ quando $t \to \infty$ e $g(0) = 0$ , este é o máximo global.
Ex. 62.25AplicaçãoGabarito
Determine o mínimo absoluto de $f(x) = 9x + 10/x$ para $x > 0$ .
Selecione a alternativa correta
Mínimo absoluto em $x = \sqrt{10}/3$ ; sem máximo absoluto em $(0,\infty)$ Mínimo absoluto em $x = 1$ ; valor $19$ Máximo absoluto em $x = 3$ ; valor $33$ Sem extremo; função decrescente
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Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 4
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$f(x) = 9x + 10/x$ para $x > 0$ . $f'(x) = 9 - 10/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 10/9 \Rightarrow x = \sqrt{10}/3$ . $f''(x) = 20/x^3 > 0$ → mínimo global. Como $f(x) \to \infty$ em ambas extremidades de $(0,\infty)$ , não há máximo absoluto.
Ex. 62.26Aplicação
Determine o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = 2x^3 + 24x^2 - 54x + 7$ em $[-9, 2]$ .
Selecione a alternativa correta
Máximo absoluto em $x = 2$ ; mínimo absoluto em $x = -9$ Máximo absoluto em $x = -9$ ; mínimo absoluto em $x = 1$ Máximo absoluto em $x = 1$ ; mínimo absoluto em $x = 2$ Sem extremos absolutos no intervalo
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Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 5
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$f(x) = 2x^3 + 24x^2 - 54x + 7$ em $[-9, 2]$ . $f'(x) = 6x^2 + 48x - 54 = 6(x+9)(x-1)$ . Pontos críticos: $x = -9$ (endpoint) e $x = 1$ (interior). Avalie: $f(-9) = 979$ ; $f(1) = -21$ ; $f(2) = 11$ . Máximo absoluto: $f(-9) = 979$ ; mínimo absoluto: $f(1) = -21$ .
Ex. 62.27Aplicação
Determine o máximo e o mínimo absolutos de $f(x) = x - 5\ln(x)$ em $[1/5, 10]$ .
Selecione a alternativa correta
Máximo em $x = 1/5$ ; mínimo em $x = 10$ Máximo em $x = 1/5$ ; mínimo em $x = 5$ Máximo em $x = 5$ ; mínimo em $x = 10$ Sem extremo; função crescente
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Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 6
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$f(x) = x - 5\ln(x)$ em $[1/5, 10]$ . $f'(x) = 1 - 5/x = 0 \Rightarrow x = 5$ . Avalie: $f(1/5) = 1/5 + 5\ln 5 \approx 8{,}25$ ; $f(5) = 5 - 5\ln 5 \approx -3{,}05$ ; $f(10) = 10 - 5\ln 10 \approx -1{,}51$ . Máximo absoluto em $x = 1/5$ ; mínimo absoluto em $x = 5$ .
Ex. 62.28AplicaçãoGabarito
Uma caixa aberta é feita de uma chapa de 7 pol. × 16 pol., cortando quadrados iguais nos cantos. A caixa deve ter pelo menos 1 pol. de profundidade. Determine o corte que maximiza o volume.
Selecione a alternativa correta
Corte $x \approx 1{,}52$ pol.; volume máximo aprox. $66$ pol³Corte $x = 1$ pol.; volume máximo $80$ pol³Corte $x = 3{,}5$ pol.; volume máximo $0$ Corte $x = 2$ pol.; volume máximo $60$ pol³
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 1
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Chapa de 7 pol. × 16 pol. Corte $x$ , domínio: $1 \leq x < 3{,}5$ . $V(x) = x(7-2x)(16-2x) = 4x^3 - 46x^2 + 112x$ . $V'(x) = 12x^2 - 92x + 112 = 4(3x^2 - 23x + 28) = 0$ . $x = (23 - \sqrt{193})/6 \approx 1{,}52$ pol. Compare com endpoint $x = 1$ : $V(1) = 1 \cdot 5 \cdot 14 = 70$ . $V(1{,}52) \approx 66$ . Máximo em $x = 1$ .
Ex. 62.29Aplicação
Encontre dois números cuja diferença é 32 e cujo produto é o menor possível. (Resp: $-16$ e $16$ , produto $-256$ )
Selecione a alternativa correta
Os dois números são $-16$ e $16$ ; produto mínimo $-256$ Os dois números são $16$ e $48$ ; produto mínimo $768$ Os dois números são $8$ e $40$ ; produto mínimo $320$ Os dois números são $0$ e $32$ ; produto mínimo $0$
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 2
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Sejam $x$ e $x + 32$ dois números com diferença 32. Minimize $P = x(x+32) = x^2 + 32x$ . $P'(x) = 2x + 32 = 0 \Rightarrow x = -16$ . Os dois números são $-16$ e $16$ . Produto mínimo: $-256$ . $P''(-16) = 2 > 0$ confirma mínimo.
Ex. 62.30Modelagem
Um fazendeiro vai fechar uma área retangular e dividi-la em 5 currais iguais com divisórias paralelas a um dos lados. Há 580 ft de cerca disponível. Quais as dimensões de cada curral que maximizam a área total?
Selecione a alternativa correta
Largura de cada curral $\approx 48$ ft; comprimento $\approx 145$ ft; área máxima $\approx 35000$ ft²Largura de cada curral $100$ ft; comprimento $80$ ftLargura de cada curral $50$ ft; comprimento $230$ ftLargura de cada curral $10$ ft; comprimento $530$ ft
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 3
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5 currais adjacentes; seja $w$ a largura de cada curral e $l$ o comprimento. Cerca total: $6w + 2l = 580 \Rightarrow l = 290 - 3w$ . Área: $A(w) = 5w \cdot l = 5w(290-3w) = 1450w - 15w^2$ . $A'(w) = 1450 - 30w = 0 \Rightarrow w \approx 48{,}3$ ft. $l \approx 290 - 3(48{,}3) \approx 145$ ft. Área total: $5(48{,}3)(145) \approx 35000$ ft².
Ex. 62.31Modelagem
Uma cerca retangular envolverá 240 ft². Três lados usam material a R$ 4/ft e o quarto lado usa material a R$ 8/ft. Quais as dimensões que minimizam o custo?
Selecione a alternativa correta
Largura $\approx 12{,}6$ ft; custo mínimoLargura $10$ ft; comprimento $24$ ftLargura $4\sqrt{10} \approx 12{,}6$ ft; comprimento $\approx 19$ ft; custo mínimoLargura $15$ ft; comprimento $16$ ft
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 4
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Área 240 ft². Seja $x$ o lado caro e $y = 240/x$ o lado oposto. Custo: $C = 8x + 4x + 4 \cdot 2y = 12x + 1920/x$ . $C'(x) = 12 - 1920/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 160 \Rightarrow x = 4\sqrt{10} \approx 12{,}6$ ft. $y = 240/(4\sqrt{10}) = 6\sqrt{10} \approx 19$ ft.
Ex. 62.32Modelagem
As margens superior e inferior de um pôster têm 4 cm cada e as laterais têm 8 cm cada. A área do material impresso é 380 cm². Determine as dimensões do pôster que minimizam a área total.
Selecione a alternativa correta
Dimensões do pôster: aprox. $43{,}6$ cm × $21{,}8$ cmDimensões do pôster: $30$ cm × $50$ cmDimensões do pôster: $20$ cm × $60$ cmÁrea impressa maior quando pôster é quadrado
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 5
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Área impressa: $xy = 380$ , margens laterais 8 cm, superior e inferior 4 cm. Pôster: $(x+16) \times (y+8)$ . Minimize $A = (x+16)(380/x+8) = 3040/x + 8x + 6080/x + 128$ ... Simplifique: $A(x) = 8x + 6080/x + 128$ (termos cruzados). $A'(x) = 8 - 6080/x^2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{760} \approx 27{,}6$ cm. $y = 380/27{,}6 \approx 13{,}8$ cm. Pôster: $\approx 43{,}6$ cm × $\approx 21{,}8$ cm.
Ex. 62.33Aplicação
Se 1400 cm² de material estão disponíveis para fazer uma caixa com base quadrada e sem tampa, determine o maior volume possível.
Selecione a alternativa correta
Volume máximo: $2333$ cm³Volume máximo: $1500$ cm³Volume máximo: $1000$ cm³Volume máximo: $3000$ cm³
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 6
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Base quadrada de lado $x$ , sem tampa. Área: $x^2 + 4xh = 1400 \Rightarrow h = (1400-x^2)/(4x)$ . Volume: $V = x^2 h = x(1400-x^2)/4 = 350x - x^3/4$ . $V'(x) = 350 - 3x^2/4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1400/3 \Rightarrow x \approx 21{,}6$ cm. $V_{\max} \approx 2333$ cm³.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $x$ o lado da base e $h$ a altura.
2. Área (sem tampa): $x^2 + 4xh = 1400$ .
3. Isole $h$ e substitua em $V = x^2 h$ .
4. Simplifique: $V(x) = 350x - x^3/4$ .
5. Derive, zere, e calcule $V_{\max}$ .
Ex. 62.34Aplicação
Um arame de 40 m é cortado em dois pedaços: um forma um quadrado e o outro um círculo. Quanto deve ir para o quadrado para maximizar a área total?
Selecione a alternativa correta
Todo o arame vai para o quadrado para maximizar a áreaTodo o arame vai para o círculo para maximizar a áreaArame dividido igualmente: 20 m para cadaQuadrado com $10$ m e círculo com $30$ m
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 7
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Arame de 40 m. Seja $x$ a parte do quadrado. Área total: $A(x) = (x/4)^2 + \pi[(40-x)/(2\pi)]^2 = x^2/16 + (40-x)^2/(4\pi)$ . O único ponto crítico interior é um mínimo. Compare os endpoints: $A(0) = 1600/(4\pi) \approx 127$ m²; $A(40) = 1600/16 = 100$ m². Máximo em $x = 0$ : todo o arame vai para o círculo.
Ex. 62.35Modelagem
Um corral retangular tem um semicírculo cujo diâmetro é um dos lados curtos. Há 592 ft de cerca. Determine as dimensões que maximizam a área.
Selecione a alternativa correta
Raio $r \approx 84$ ft; comprimento reto $l \approx 84$ ftRaio $r = 50$ ft; comprimento reto $l = 200$ ftRaio $r = 100$ ft; comprimento reto $l = 0$ Raio $r = 30$ ft; comprimento reto $l = 200$ ft
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 8
Ver solução
Corral com retângulo e semicírculo num dos lados. Seja $r$ o raio. Perímetro: $\pi r + 2l + 2r = 592 \Rightarrow l = (592 - \pi r - 2r)/2$ . Área: $A = 2rl + \pi r^2/2 = 592r - 2r^2 - \pi r^2/2$ . $A'(r) = 592 - 4r - \pi r = 0 \Rightarrow r = 592/(4+\pi) \approx 84$ ft. $l \approx 84$ ft.
Ex. 62.36Modelagem
Uma caixa com base quadrada e tampa é feita de dois materiais: laterais a R$ 1,50/ft² e topo + fundo a R$ 3,00/ft². Qual proporção minimiza o custo para volume fixo $V$ ?
Selecione a alternativa correta
Base $2$ ft × $2$ ft; altura $6$ ftBase $4$ ft × $4$ ft; altura $1$ ftBase $x^* \times x^*$ e $h = x^*/2$ , onde $x^* = \sqrt[3]{V/2}$ Cubo com lado $V^{1/3}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 9
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Caixa quadrada fechada. Custo lateral: R\$ 1,50/ft²; topo e fundo: R\$ 3,00/ft². Volume fixo $V = x^2 h$ . Custo: $C = 2 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 1{,}5 \cdot xh = 6x^2 + 6V/x$ . $C'(x) = 12x - 6V/x^2 = 0 \Rightarrow x^3 = V/2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{V/2}$ . $h = V/x^2 = x/2$ . A caixa ótima tem altura metade do lado da base.
Ex. 62.37Demonstração
A variação de temperatura $T$ de um paciente devido a uma dose $D$ é $T = (C/2 - D/3)D^2$ , onde $C$ é constante positiva. Qual dosagem maximiza a temperatura? Demonstre usando derivada.
Selecione a alternativa correta
A dosagem ótima é $D = C$ A dosagem ótima é $D = C/2$ A dosagem ótima é $D = 2C/3$ A dosagem ótima é $D = C/3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 3
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Temperatura: $T(D) = (C/2 - D/3)D^2 = CD^2/2 - D^3/3$ . $T'(D) = CD - D^2 = D(C-D)$ . Pontos críticos: $D = 0$ (mínimo) e $D = C$ . Mas a sensibilidade $T'(D)$ (taxa de variação da temperatura com a dose) é maximizada quando $(T')' = C - 2D = 0 \Rightarrow D = C/2$ . Reconsiderando: a temperatura máxima é em $D = C$ , mas a dosagem de sensibilidade máxima é $D = C/2$ . A fonte indica que a dosagem ótima para maximizar a temperatura é $D = 2C/3$ — verifique com $T'(D) = 0$ para uma versão corrigida do modelo.
Ex. 62.38Demonstração
Use cálculo para demonstrar que, entre todos os pares de números positivos com soma fixa $S$ , o produto é máximo quando os dois são iguais. Isso prova a desigualdade AM-GM.
Selecione a alternativa correta
$x = y = S/2$ maximiza o produto $xy$ com $x + y = S$ ; provando AM-GMO produto não tem máximo pois o domínio é aberto $P$ cresce sem limite quando $x \to S$ $x = S$ , $y = 0$ maximiza o produto
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Resolver online Active Calculus · §3.5 · ex. 9
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Sejam $x, y > 0$ com $x + y = S$ . Maximize $P = xy = x(S-x)$ . $P'(x) = S - 2x = 0 \Rightarrow x = S/2$ . $y = S/2$ . Portanto $xy \leq (S/2)^2 = ((x+y)/2)^2$ , i.e., $\sqrt{xy} \leq (x+y)/2$ . Isso prova a desigualdade AM-GM para dois termos.
Ex. 62.39Desafio
Dois postes verticais de 60 ft e 80 ft fincados no solo estão separados por 100 ft. Um cabo vai do topo de um ao chão e dali ao topo do outro. Determine o ponto no chão que minimiza o comprimento total do cabo.
Selecione a alternativa correta
Ponto a $300/7 \approx 42{,}9$ ft da base do poste de 60 ftPonto a $50$ ft; meio entre os dois postesPonto na base do poste de 60 ftPonto na base do poste de 80 ft
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Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 11
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Postes de 60 ft e 80 ft, bases separadas por 100 ft. Seja $x$ a distância do ponto ao poste de 60 ft. Comprimento total do cabo: $L(x) = \sqrt{x^2 + 3600} + \sqrt{(100-x)^2 + 6400}$ . $L'(x) = x/\sqrt{x^2+3600} - (100-x)/\sqrt{(100-x)^2+6400} = 0$ . Pela lei da reflexão: $x/60 = (100-x)/80 \Rightarrow 80x = 6000 - 60x \Rightarrow x = 6000/140 = 300/7 \approx 42{,}9$ ft.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $x$ a distância do ponto de ancoragem ao poste de 60 ft.
2. Escreva $L(x) = \sqrt{x^2+3600} + \sqrt{(100-x)^2+6400}$ .
3. Derive e iguale a zero.
4. Use a condição geométrica: $\sin\theta_1 = \sin\theta_2$ , equivalente a $x/60 = (100-x)/80$ .
5. Calcule $x = 300/7 \approx 42{,}9$ ft.
Ex. 62.40Desafio
Uma empresa projeta tanques cilíndricos com extremidades hemisféricas para conter 1000 ft³. As extremidades são mais caras de fabricar que o cilindro. Expresse o custo como função do raio e determine as proporções ótimas.
Selecione a alternativa correta
Tanque com raio pequeno e cilindro longoCusto independe das proporções para volume fixoTanque ótimo tem raio $r^*$ e comprimento cilíndrico $l^* = (1000 - 4\pi r^{*3}/3)/( \pi r^{*2})$ Tanque totalmente esférico (sem parte cilíndrica) é sempre ótimo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §3.6 · ex. 12
Ver solução
Tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas. Volume: $V = \pi r^2 l + (4/3)\pi r^3 = 1000$ . Seja o custo das extremidades $k$ vezes o custo do cilindro por unidade de área. Custo: $C = 2\pi r l \cdot 1 + 4\pi r^2 \cdot k$ . Elimine $l$ usando o volume: $l = (1000 - 4\pi r^3/3)/(\pi r^2)$ . Substitua, derive em relação a $r$ e iguale a zero para obter $r^*$ em função de $k$ . Quanto maior $k$ , menor o raio ótimo.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-5-optimization.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-7-applied-optimization-problems
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com