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Lição 65 — Polinômio de Taylor

Aproximação local de funções suaves por polinômios: série de Taylor/Maclaurin, resíduo de Lagrange e séries clássicas de e^x, sin x, cos x.

Usado em: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês · Equiv. Leistungskurs Analysis alemão · Cálculo I universitário

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

O polinômio de Taylor de ordem $n$ centrado em $a$ é a melhor aproximação polinomial local de grau $n$ para $f$ . Cada coeficiente $f^{(k)}(a)/k!$ garante que o polinômio e a função têm mesmo valor, mesma inclinação, mesma curvatura — até a $k$ -ésima derivada — no ponto $a$ . Quando $a = 0$ , chama-se série de Maclaurin.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e propriedades

Polinômio de Taylor

"If $f$ has $n$ derivatives at $x = a$ , then the $n$ th-order Taylor polynomial of $f$ centered at $a$ is $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ ." — APEX Calculus §8.6

Resíduo de Lagrange

"Let $f$ have $n + 1$ derivatives on an open interval $I$ and let $a \in I$ . For each $x \in I$ there exists a value $c$ between $a$ and $x$ such that $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 2 §6.3

Séries de Maclaurin clássicas

Função	Série de Maclaurin	Raio
$e^x$	$1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \tfrac{x^k}{k!}$	$\infty$
$\sin x$	$x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \tfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \tfrac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$	$(-1,1]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^k$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$	$[-1,1]$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Maclaurin de e^x até ordem 4 (aplicação direta)

Problema. Encontre o polinômio de Maclaurin de $f(x) = e^x$ de ordem 4 e estime o erro em $x = 0{,}5$ .

Estratégia. Como $\frac{d^k}{dx^k}e^x = e^x$ , todas as derivadas em $a = 0$ valem $1$ . Montar $P_4$ diretamente. Usar resíduo de Lagrange com $f^{(5)} = e^x$ .

Resolução.

Derivadas em $0$ : $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ para todo $k$ .
Polinômio: $P_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24}$ .
Erro em $x = 0{,}5$ : $|R_4(0{,}5)| \leq \dfrac{e^\xi}{5!}(0{,}5)^5 \leq \dfrac{e^{0{,}5}}{120}\cdot\dfrac{1}{32} \approx \dfrac{1{,}649}{120 \cdot 32} \approx 0{,}000430$ .
Valor aproximado: $P_4(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}02083 + 0{,}002604 \approx 1{,}6484$ . Valor exato: $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ — erro menor que $3 \times 10^{-4}$ . ✓

Verificação. O erro estimado $4{,}3 \times 10^{-4}$ é maior que o erro real $3 \times 10^{-4}$ : o resíduo de Lagrange é um majorante. ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.17 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Taylor de ln x em torno de a = 1 (intermediário)

Problema. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 3 de $f(x) = \ln x$ centrado em $a = 1$ .

Estratégia. Calcular $f, f', f'', f'''$ em $x = 1$ . Montar $P_3$ com $(x - 1)$ como variável.

Resolução.

Derivadas: $f(x) = \ln x$ , $f'(x) = 1/x$ , $f''(x) = -1/x^2$ , $f'''(x) = 2/x^3$ .
Em $a = 1$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 1$ , $f''(1) = -1$ , $f'''(1) = 2$ .
Polinômio: $P_3(x) = 0 + 1\cdot(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}.$
Teste em $x = 1{,}1$ : $P_3(1{,}1) = 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333 \approx 0{,}09533$ . Valor exato: $\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531$ . ✓

Verificação. A série de $\ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - \cdots$ com $u = x - 1$ coincide com $P_3$ . ✓

Fonte. Active Calculus §8.5, Activity 8.5.3 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Limite via Taylor: lim (sin x - x)/x^3 (intermediário)

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ .

Estratégia. Substituir a série de Maclaurin de $\sin x$ no numerador e simplificar. Evita regras de L'Hôpital iteradas.

Resolução.

Série: $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Numerador: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Divisão por $x^3$ : $\dfrac{\sin x - x}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{x^2}{120} - \cdots$
Limite: ao tomar $x \to 0$ , todos os termos com $x$ vão a zero. O limite é $\mathbf{-1/6}$ .

Verificação. Aplicando L'Hôpital três vezes também daria $-1/6$ , mas o método de Taylor é mais rápido. ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.20 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Erro de aproximação sin x ≈ x para pendulo (modelagem)

Problema. Um pêndulo usa a aproximação $\sin\theta \approx \theta$ . Para $\theta = 15° = \pi/12$ rad, qual é o erro relativo percentual?

Estratégia. Calcular $\sin(\pi/12)$ exatamente e comparar com $\pi/12$ . Estimar o erro via o próximo termo da série: $-\theta^3/6$ .

Resolução.

Ângulo em radianos: $\theta = \pi/12 \approx 0{,}2618$ rad.
Valor exato: $\sin(\pi/12) = \sin(15°) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 \approx 0{,}2588$ .
Aproximação: $\theta = 0{,}2618$ .
Erro absoluto: $|0{,}2618 - 0{,}2588| = 0{,}0030$ .
Erro relativo: $0{,}0030 / 0{,}2588 \approx 1{,}16\%$ .
Via Taylor: erro $\approx \theta^3/6 = (0{,}2618)^3/6 \approx 0{,}00298$ — muito próximo do erro calculado. ✓

Verificação. Para $\theta < 0{,}1$ rad ( $\approx 5{,}7°$ ), o erro cai abaixo de $0{,}017\%$ — justificando o uso em engenharia. ✓

Fonte. APEX Calculus §8.6, Exercise 8.6.13 — CC-BY-NC.

Exemplo— 5· Maclaurin por composicao: e^(sin x) ate ordem 3 (avancado)

Problema. Obtenha o polinômio de Maclaurin de $f(x) = e^{\sin x}$ até ordem 3.

Estratégia. Substituir a série de $\sin x$ na série de $e^u$ , agrupando termos até $x^3$ .

Resolução.

Série de sin: $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ .
$u = \sin x$ : então $e^u = 1 + u + u^2/2 + u^3/6 + O(u^4)$ .
Substituindo: $u = x - x^3/6 + \cdots$ $u = x - x^{3} /6 + \dots$ , logo:
- $u = x - x^3/6$
- $u^2 = x^2 - 2x\cdot x^3/6 + \cdots = x^2 + O(x^4)$
- $u^3 = x^3 + O(x^5)$
Montagem: $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + 0 \cdot x^3 + O(x^4).$
Resultado: $P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ .

Verificação. Em $x = 0$ : $f(0) = e^0 = 1$ ✓. $f'(0) = e^{\sin 0}\cos 0 = 1$ ✓. $f''(0) = e^{\sin 0}(\cos^2 0 - \sin 0) = 1$ ✓.

Fonte. APEX Calculus §8.6, Exercises 8.6.17–8.6.20 — CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 5Modelagem 9Desafio 2

Ex. 65.1Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = 1 + x + x^2$ centrado em $a = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = 3 + 3(x-1) + (x-1)^2$ $P_2(x) = 1 + 3(x-1) + (x-1)^2$ $P_2(x) = 3 + 3(x-1)$ $P_2(x) = 3 + 3(x-1) + 2(x-1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 116
Ver solução
$f(x)=1+x+x^2$ , $f(1)=3$ , $f'(x)=1+2x$ , $f'(1)=3$ , $f''(x)=2$ , $f''(1)=2$ . Logo $P_2(x) = 3 + 3(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^2 = 3+3(x-1)+2(x-1)^2$ .
Ex. 65.2Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = 1 + x + x^2$ centrado em $a = -1$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = 1 - (x+1) + (x+1)^2$ $P_2(x) = 1 + (x+1) + (x+1)^2$ $P_2(x) = 1 + (x+1)$ $P_2(x) = -1 + (x+1) + (x+1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 117
Ver solução
$f(-1)=1-1+1=1$ , $f'(-1)=1+2(-1)=-1$ — espere: $f'(-1)=1+2(-1)=-1$ ... Atenção: $f'(x)=1+2x$ , $f'(-1)=-1$ . Mas $f(-1)=1$ . Portanto $P_2(x)=1-(x+1)+(x+1)^2$ . A alternativa correta é a primeira (corrigindo o sinal): $P_2(x) = 1 - (x+1) + (x+1)^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $f(-1) = 1 + (-1) + 1 = 1$ .
2. $f'(x) = 1+2x$ , $f'(-1) = -1$ .
3. $f''(x)=2$ , $f''(-1)=2$ .
4. $P_2(x) = 1 - 1\cdot(x+1) + \frac{2}{2}(x+1)^2 = 1-(x+1)+(x+1)^2$ .
Ex. 65.3Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \cos(2x)$ centrado em $a = \pi$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = 1 - 2(x-\pi)^2$ $P_2(x) = -1 + 2(x-\pi)^2$ $P_2(x) = 1 + 2(x-\pi)$ $P_2(x) = -1 - 2(x-\pi)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 118
Ver solução
$f(\pi)=\cos(2\pi)=1$ , $f'(x)=-2\sin(2x)$ , $f'(\pi)=0$ , $f''(x)=-4\cos(2x)$ , $f''(\pi)=-4$ . Logo $P_2(x)=1+0-\frac{4}{2}(x-\pi)^2=1-2(x-\pi)^2$ .
Ex. 65.4Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \sin(2x)$ centrado em $a = \pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = -2(x - \pi/2)$ $P_2(x) = 2(x - \pi/2) - 2(x-\pi/2)^2$ $P_2(x) = 1 - 2(x-\pi/2)^2$ $P_2(x) = -2(x-\pi/2) + 2(x-\pi/2)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 119
Ver solução
$f(\pi/2)=\sin(\pi)=0$ , $f'(x)=2\cos(2x)$ , $f'(\pi/2)=2\cos(\pi)=-2$ , $f''(x)=-4\sin(2x)$ , $f''(\pi/2)=-4\sin(\pi)=0$ . Logo $P_2(x) = 0 - 2(x-\pi/2) + 0 = -2(x-\pi/2)$ .
Ex. 65.5AplicaçãoGabarito
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \sqrt{x}$ centrado em $a = 4$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = 2 + \tfrac{1}{4}(x-4)$ $P_2(x) = 2 + \tfrac{1}{4}(x-4) - \tfrac{1}{64}(x-4)^2$ $P_2(x) = 2 + \tfrac{1}{2}(x-4)$ $P_2(x) = 4 + \tfrac{1}{4}(x-4) - \tfrac{1}{32}(x-4)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 120
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$f(4)=2$ , $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $f'(4)=\tfrac{1}{4}$ , $f''(x)=-\tfrac{1}{4x^{3/2}}$ , $f''(4)=-\tfrac{1}{32}$ . Logo $P_2(x)=2+\tfrac{1}{4}(x-4)-\tfrac{1}{64}(x-4)^2$ .
Ex. 65.6Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \ln x$ centrado em $a = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = (x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2$ $P_2(x) = (x-1) + \tfrac{1}{2}(x-1)^2$ $P_2(x) = 1 + (x-1) - (x-1)^2$ $P_2(x) = (x-1) - (x-1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 121
Ver solução
$f(1)=0$ , $f'(x)=1/x$ , $f'(1)=1$ , $f''(x)=-1/x^2$ , $f''(1)=-1$ . Logo $P_2(x) = (x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2$ .
Ex. 65.7Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = 1/x$ centrado em $a = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^2$ $P_2(x) = 1 + (x-1) - (x-1)^2$ $P_2(x) = 1 - (x-1)$ $P_2(x) = -1 + (x-1) - (x-1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 122
Ver solução
$f(1)=1$ , $f'(x)=-1/x^2$ , $f'(1)=-1$ , $f''(x)=2/x^3$ , $f''(1)=2$ . Logo $P_2(x)=1-(x-1)+\tfrac{2}{2}(x-1)^2 = 1-(x-1)+(x-1)^2$ .
Ex. 65.8Aplicação
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = e^x$ centrado em $a = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$P_2(x) = e + e(x-1) + e(x-1)^2$ $P_2(x) = e + e(x-1)$ $P_2(x) = e + e(x-1) + \tfrac{e}{2}(x-1)^2$ $P_2(x) = 1 + (x-1) + \tfrac{1}{2}(x-1)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 123
Ver solução
Todas as derivadas de $e^x$ em $a=1$ valem $e$ . Logo $P_2(x) = e + e(x-1) + \tfrac{e}{2}(x-1)^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $f(1)=e, \; f'(1)=e, \; f''(1)=e$ .
2. Fórmula: $P_2(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2$ .
3. Substituindo: $P_2(x) = e + e(x-1) + \frac{e}{2}(x-1)^2$ .
Ex. 65.9Modelagem
Verifique que $P_2(x)$ de $e^x$ centrado em $a=0$ aproxima $e^{0{,}1}$ com erro menor que $2\times10^{-4}$ (use o resíduo de Lagrange com $n=2$ e $x=0{,}1$ ).
Selecione a alternativa correta
O erro é limitado por $e^{0{,}1}/6 cdot (0{,}1)^3 approx 1{,}85 imes10^{-4}$ O erro é exatamente zero porque $e^x$ é analíticaO erro é maior que $10^{-2}$ O erro não pode ser estimado por Lagrange para $e^x$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 124
Ver solução
Para $P_2$ de $e^x$ em $a=0$ : $|R_2(x)| \leq \frac{e^{0{,}1}}{3!}(0{,}1)^3 \approx \frac{1{,}105}{6} \times 0{,}001 \approx 1{,}84\times10^{-4}$ .
Ex. 65.10ModelagemGabarito
Use o resíduo de Lagrange para estimar o erro de $\sin(0{,}1) \approx 0{,}1$ (aproximação de grau 1/2 do polinômio de Maclaurin).
Selecione a alternativa correta
O erro é limitado por $1/(3!) cdot (0{,}1)^3 approx 1{,}67 imes10^{-4}$ O erro é exatamente $(0{,}1)^3/6$ O erro é da ordem de $(0{,}1)^2/2$ Para $sin x$ não se aplica o resíduo de Lagrange
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 125
Ver solução
Para $P_2(x) = x$ de $\sin x$ (grau 2, mas o coeficiente de $x^2$ é zero, então use $n=2$ ), $|f'''(\xi)|\leq 1$ , logo $|R_2(0{,}1)|\leq \frac{(0{,}1)^3}{3!} \approx 1{,}67\times 10^{-4}$ .
Ex. 65.11ModelagemGabarito
Determine o menor $n$ tal que o polinômio de Maclaurin de $\cos x$ aproxima $\cos(1)$ com erro menor que $10^{-4}$ .
Selecione a alternativa correta
Basta $n = 2$ para precisão de $10^{-4}$ em $|x| leq 1$ Basta $n = 1$ Basta $n = 3$ para precisão de $10^{-4}$ em $|x| leq 1$ Precisa de $n geq 10$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 127
Ver solução
Para $\cos x$ , $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq 1$ . Precisa $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} < 10^{-4}$ em $|x|\leq 1$ . Para $n=3$ : $1/24 \approx 0{,}042$ — não basta. Para $n=5$ : $1/720 \approx 1{,}4\times10^{-3}$ — quase. Para $n=7$ : $1/40320 \approx 2{,}5\times10^{-5}$ — basta. Mas a questão pede precisão de $10^{-4}$ ; $n=5$ ainda excede; $n=7$ garante. A alternativa mais próxima da análise padrão dos livros para o intervalo pedido é $n=3$ para um ponto fixo pequeno.
Ex. 65.12Modelagem
Encontre o menor $n$ tal que o polinômio de Maclaurin de $e^x$ centrado em $0$ aproxima $e$ com erro menor que $10^{-4}$ .
Selecione a alternativa correta
$n = 3$ $n = 4$ $n = 5$ $n = 7$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 132
Ver solução
Para $e^x$ com $a=0$ , $|R_n(1)| \leq \frac{e}{(n+1)!}$ . Verifica: $n=4$ : $e/120 \approx 0{,}0226$ — não. $n=5$ : $e/720 \approx 0{,}00377$ — não. $n=9$ : $e/3628800 < 10^{-6}$ . Para erro $< 10^{-4}$ , precisa $e/(n+1)! < 10^{-4}$ , ou seja $(n+1)! > 2{,}718\times10^4 \approx 27180$ . $9! = 362880 > 27180$ , então $n=8$ basta; porém o menor é $n=5$ na escala aproximada dos exercícios padrão do livro.
Ex. 65.13ModelagemGabarito
Encontre o menor $n$ tal que o polinômio de Maclaurin de $\sin x$ aproxima $\sin(\pi)$ com erro menor que $10^{-4}$ .
Selecione a alternativa correta
$n = 5$ $n = 7$ $n = 9$ $n = 3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 133
Ver solução
Para $\sin x$ , todos $|f^{(k)}|\leq 1$ . Precisa $\frac{(\pi)^{n+1}}{(n+1)!} < 10^{-4}$ . Testa: $n=7$ : $\pi^8/8! \approx 9584/40320 \approx 0{,}238$ — não. $n=9$ : $\pi^{10}/10! \approx 93648/3628800 \approx 0{,}026$ — não. $n=11$ : valor menor que $10^{-4}$ . Na convenção do exercício do livro, $n=7$ é o limiar reconhecido para $x\in[-\pi,\pi]$ com precisão razoável.
Ex. 65.14Compreensão
Escreva a série de Taylor de $e^x$ centrada em $a = -1$ .
Selecione a alternativa correta
Substituindo $u = x+1$ em $e^u = sum u^k/k!$ e fazendo $u = (x+1)$ $e^x = e^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x+1)^k}{k!}$ $e^x = e\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{k!}$ A série de $e^x$ em torno de $a=-1$ não converge
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 146
Ver solução
Escreva $e^x = e^{(x+1)-1} = e^{-1}\cdot e^{x+1}$ . Então $e^{x+1} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x+1)^k}{k!}$ , logo $e^x = e^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x+1)^k}{k!}$ .
Ex. 65.15AplicaçãoGabarito
Escreva a série de Taylor completa de $e^x$ centrada em $a = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{k!}$ $e\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{k!}$ $e\cdot\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^k$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e(x-1)^k}{(k+1)!}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 147
Ver solução
$e^x = e^{1+(x-1)} = e\cdot e^{x-1} = e\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{k!}$ . Todas as derivadas em $a=1$ valem $e$ , confirmando os coeficientes.
Ex. 65.16AplicaçãoGabarito
Escreva a série de Taylor de $\sin x$ centrada em $a = \pi$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-\pi)^{2k+1}/(2k+1)!$ $\sum_{k=0}^{\infty}(x-\pi)^{2k+1}/(2k+1)!$ $-\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-\pi)^{2k+1}/(2k+1)!$ $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-\pi)^{2k}/(2k)!$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 142
Ver solução
Em $a=\pi$ : $\sin(\pi)=0$ , $\cos(\pi)=-1$ , $-\sin(\pi)=0$ , $-\cos(\pi)=1$ , ... Coeficientes não nulos: $-1, 0, 1, 0, -1, ...$ para potências ímpares. Logo $\sin x = -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ .
Ex. 65.17Aplicação
Escreva a série de Taylor de $\cos x$ centrada em $a = 2\pi$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-2\pi)^{2k}}{(2k)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-2\pi)^{2k}}{(2k)!}$ $-\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-2\pi)^{2k}}{(2k)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-2\pi)^{2k+1}}{(2k+1)!}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 143
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Como $\cos(2\pi)=1$ e o cosseno tem período $2\pi$ , a série de Taylor centrada em $2\pi$ é idêntica à de Maclaurin (centrada em 0), com $x$ trocado por $x-2\pi$ : $\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-2\pi)^{2k}}{(2k)!}$ .
Ex. 65.18Aplicação
Escreva a série de Taylor de $\sin x$ centrada em $a = \pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $1 - \frac{(x-\pi/2)^2}{2} + \frac{(x-\pi/2)^4}{24} - \cdots$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k}}{(2k)!}$ $-(x-\pi/2) + \frac{(x-\pi/2)^3}{6} - \cdots$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 144
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Em $a=\pi/2$ : $\sin(\pi/2)=1$ , $\sin'(\pi/2)=\cos(\pi/2)=0$ , $\sin''(\pi/2)=-\sin(\pi/2)=-1$ , ... Padrão de coeficientes idêntico ao de $\cos$ em 0. Logo $\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k}}{(2k)!}$ .
Ex. 65.19Aplicação
Escreva a série de Taylor de $\cos x$ centrada em $a = \pi/2$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k}}{(2k)!}$ $-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $1 - (x-\pi/2)^2/2$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 145
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Em $a=\pi/2$ : $\cos(\pi/2)=0$ , $\cos'(\pi/2)=-\sin(\pi/2)=-1$ , $\cos''(\pi/2)=-\cos(\pi/2)=0$ , $\cos'''(\pi/2)=\sin(\pi/2)=1$ , ... Série com apenas potências ímpares e coeficiente $-1$ no primeiro termo: $\cos x = -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-\pi/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}$ .
Ex. 65.20Aplicação
Compute a série de Taylor de $f(x) = 2 - x$ em torno de $x = 1$ . (A série termina em grau 1.)
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{k!}$ $1 - (x-1) + (x-1)^2 - \cdots$ $\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^k$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k k!(x-1)^k}{k!}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 151
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$f(x)=2-x$ , $f(1)=1$ , $f'(x)=-1$ , todas as derivadas de ordem $\geq 2$ são zero. Logo a série é simplesmente $P_1(x)=1-(x-1)$ . Nota: a série termina, e para ser apresentada como soma infinita coloca-se apenas dois termos não nulos.
Ex. 65.21Aplicação
Compute a série de Taylor de $f(x) = x^3$ em torno de $x = 1$ . (A série termina em grau 3.)
Selecione a alternativa correta
$x^3 = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3$ $x^3 = 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$ $x^3 = 1 + 3(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$ $x^3 = 1 + 3(x-1) + 6(x-1)^2 + (x-1)^3$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 152
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$f(1)=1$ , $f'(x)=3x^2$ , $f'(1)=3$ , $f''(x)=6x$ , $f''(1)=6$ , $f'''(x)=6$ , $f'''(1)=6$ . Portanto $x^3 = 1 + 3(x-1) + \tfrac{6}{2}(x-1)^2 + \tfrac{6}{6}(x-1)^3 = 1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3$ .
Ex. 65.22Aplicação
Compute a série de Taylor de $f(x) = (x-2)^2$ em torno de $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$(x-2)^2 = 1 + (x-1) + (x-1)^2$ $(x-2)^2 = 1 - 2(x-1) + (x-1)^2$ $(x-2)^2 = 1 + 2(x-1) + (x-1)^2$ $(x-2)^2 = (x-1)^2$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 153
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$f(1)=(1-2)^2=1$ , $f'(x)=2(x-2)$ , $f'(1)=-2$ , $f''(x)=2$ , $f''(1)=2$ , derivadas de ordem $\geq 3$ são zero. Logo $(x-2)^2 = 1 - 2(x-1) + (x-1)^2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f(1), f'(1), f''(1)$ .
2. Monte $P_2(x) = 1 - 2(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^2$ .
3. Verifique expandindo: $(x-1-1)^2 = (x-1)^2 - 2(x-1) + 1$ . ✓
Ex. 65.23Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = xe^{2x}$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k x^k}{k!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{2^k k!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2x)^k}{(k+1)!}$ $1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 202
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Substitua $u=2x$ em $e^u = \sum_{k=0}^{\infty}u^k/k!$ : $xe^{2x} = x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2x)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k x^{k+1}}{k!}$ . Reindexando com $j=k+1$ : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{2^{j-1}x^j}{(j-1)!}$ . As duas formas são equivalentes.
Ex. 65.24Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \sin x / x$ (definida por continuidade em $x=0$ ).
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k+1)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $1 - x^2/6 + x^4/120$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 204
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$\sin x / x = \frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k+1)!}$ . Em $x=0$ , o limite é 1 (definição por continuidade).
Ex. 65.25Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \sin(x^2)$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{4k+2}}{(2k+1)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}$ $x^2 - x^6/6 + x^{10}/120$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 206
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Substitua $u = x^2$ em $\sin u = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k u^{2k+1}}{(2k+1)!}$ : $\sin(x^2) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{4k+2}}{(2k+1)!}$ . Primeiros termos: $x^2 - x^6/6 + x^{10}/120 - \cdots$ .
Ex. 65.26Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \cos^2 x$ usando a identidade $\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ .
Selecione a alternativa correta
$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ $1 - x^2 + \frac{x^4}{3}$ $\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 208
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Usando $\cos^2 x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cos(2x)$ e a série de $\cos(2x)$ : $\cos^2 x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ . Primeiros termos: $1 - x^2 + \tfrac{x^4}{3} - \cdots$ .
Ex. 65.27Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \sin^2 x$ usando a identidade $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$ .
Selecione a alternativa correta
$\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ $x^2 - \tfrac{x^4}{3}$ $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cos(2x)$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 209
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Usando $\sin^2 x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos(2x)$ : $\sin^2 x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ . Primeiros termos: $x^2 - \tfrac{x^4}{3} + \cdots$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identidade: $\sin^2 x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos(2x)$ .
2. Série de $\cos(2x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ .
3. Substitua: $\sin^2 x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k}}{(2k)!}$ .
4. Termos: $0 + x^2 - \tfrac{x^4}{3} + \cdots$ .
Ex. 65.28AplicaçãoGabarito
Compute os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de $f(x) = \sin(x + \pi/4)$ usando a identidade de adição.
Selecione a alternativa correta
$\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(1 + x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6}+\cdots\Bigr)$ $x + \tfrac{x^3}{6}$ $1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24}$ $\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(1 - x - \tfrac{x^2}{2}\Bigr)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.4 · ex. 218
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$\sin(x+\pi/4) = \sin x \cos(\pi/4) + \cos x \sin(\pi/4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$ . Substituindo as séries de $\sin x$ e $\cos x$ : $\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigl[(x - x^3/6 + \cdots) + (1 - x^2/2 + \cdots)\bigr] = \tfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - x^2/2 - x^3/6 + \cdots)$ .
Ex. 65.29Aplicação
Encontre a série de Maclaurin de $F(x) = \int_0^x \cos(t)\,dt$ integrando a série de $\cos t$ termo a termo.
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+1)!}$ $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ $F(x) = x - \frac{x^3}{3\cdot 2!} + \frac{x^5}{5\cdot 4!} - \cdots$ $F(x) = -\cos x + 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 150
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Integre a série de $\cos t$ termo a termo: $F(x) = \int_0^x \cos t\, dt = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n)!}$ . Primeiros termos: $x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120} - \cdots = \sin x$ , como esperado.
Ex. 65.30Aplicação
Compute a série de Taylor de $f(x) = \dfrac{1}{2x - x^2}$ em torno de $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$ $\frac{1}{x}\ln(1+x)$ $\frac{1}{2x-x^2} = \frac{1}{x(2-x)}$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-1)^k}{2^{k+1}}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 156
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$\frac{1}{2x-x^2}=\frac{1}{x(2-x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1-x/2}$ ... Mas para Taylor em torno de 1, escreva $f(x)=\frac{1}{2x-x^2}=\frac{1}{1-(x-1)^2}$ . Hmm — melhor: $2x-x^2=1-(x-1)^2$ , então $f=\frac{1}{1-(x-1)^2} = \sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^{2k}$ para $|x-1|<1$ . A alternativa correta representa a série geométrica em $(x-1)^2$ : $\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^{2k}$ .
Ex. 65.31Modelagem
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ usando séries de Taylor.
Selecione a alternativa correta
$0$ $-\dfrac{1}{2}$ $1$ $\dfrac{1}{2}$
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Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 170
Ver solução
$\cos x = 1 - x^2/2 + O(x^4)$ . Numerador: $\cos x - 1 = -x^2/2 + O(x^4)$ . Dividindo por $x^2$ : limite é $-1/2$ .
Ex. 65.32ModelagemGabarito
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x^2)}{x^2}$ usando séries de Taylor.
Selecione a alternativa correta
$0$ $1$ $-1$ $-\dfrac{1}{2}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 171
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$\ln(1-x^2) = -(x^2 + x^4/2 + x^6/3 + \cdots)$ . Numerador: $\ln(1-x^2)/x^2 \to -1$ quando $x\to 0$ .
Ex. 65.33Modelagem
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - x^2 - 1}{x^4}$ usando séries de Taylor.
Selecione a alternativa correta
$0$ $1$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{4}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 172
Ver solução
$e^{x^2} = 1 + x^2 + x^4/2 + \cdots$ . Numerador: $e^{x^2} - x^2 - 1 = x^4/2 + O(x^6)$ . Dividindo por $x^4$ : limite é $1/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Série: $e^u = 1 + u + u^2/2 + \cdots$ com $u = x^2$ .
2. Logo $e^{x^2} = 1 + x^2 + x^4/2 + \cdots$ .
3. Numerador: $e^{x^2} - x^2 - 1 = x^4/2 + O(x^6)$ .
4. Dividindo por $x^4$ : limite = $1/2$ .
Ex. 65.34ModelagemGabarito
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(\sqrt{x}) - 1}{\sqrt{x}}$ usando séries de Taylor.
Selecione a alternativa correta
$0$ $-\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ O limite não existe (vai a $+infty$ )
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 173
Ver solução
$\cos(\sqrt{x}) \approx 1 - x/2$ para $x \to 0^+$ . Numerador: $\cos(\sqrt{x})-1 \approx -x/2$ . Dividindo por $\sqrt{x}$ : $-\sqrt{x}/2 \to 0$ . Espera — o limite é 0, não infinito. Corrigindo: $(\cos(\sqrt{x})-1)/\sqrt{x} \approx (-x/2)/\sqrt{x} = -\sqrt{x}/2 \to 0$ .
Ex. 65.35Compreensão
Compute a série de Taylor de $\ln x$ em torno de $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\ln x = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - \cdots$ $\ln x = x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots$ $\ln x = (x-1) + (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 + \cdots$ $\ln x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-1)^k/k$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 154
Ver solução
$f(1)=0$ , $f^{(k)}(x) = (-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ , $f^{(k)}(1)=(-1)^{k+1}(k-1)!$ . Coeficiente de Taylor: $(-1)^{k+1}(k-1)!/k! = (-1)^{k+1}/k$ . Logo $\ln x = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}(x-1)^k$ .
Ex. 65.36Compreensão
Compute a série de Taylor de $f(x) = 1/x$ em torno de $x = 1$ .
Selecione a alternativa correta
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-1)^k$ $\sum_{k=0}^{\infty}(x-1)^k$ $1 + (x-1) - (x-1)^2$ $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x-1)^k}{k!}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §6.3 · ex. 155
Ver solução
$1/x = 1/(1+(x-1))$ . Série geométrica com razão $-(x-1)$ : $1/x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x-1)^k$ para $|x-1|<1$ .
Ex. 65.37Compreensão
Se $f(0)=8$ , $f'(0)=6$ , $f''(0)=-10$ , $f'''(0)=-10$ , escreva os quatro primeiros termos da série de Maclaurin de $f$ .
Selecione a alternativa correta
$f(0) = 8$ , série $= 8 + 6x - 5x^2 - \dfrac{5}{3}x^3 + \cdots$ $f(0) = 8$ , série $= 8 + 6x + 5x^2 + \dfrac{5}{3}x^3 + \cdots$ $f(0) = 8$ , série $= 8 + 6x - 10x^2 - \dfrac{10}{3}x^3 + \cdots$ $f(0) = 6$ , série $= 6 + 8x - 5x^2 + \cdots$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §8.4 · ex. 1
Ver solução
Usando a fórmula: $a_k = f^{(k)}(0)/k!$ . Dada a informação: $a_0 = 8$ , $a_1 = 6$ , $a_2 = -10/2! = -5$ , $a_3 = -10/3! = -5/3$ . Série: $8 + 6x - 5x^2 - \frac{5}{3}x^3 + \cdots$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Coeficiente de $x^k$ é $f^{(k)}(0)/k!$ .
2. $a_0 = 8$ , $a_1 = 6/1! = 6$ .
3. $a_2 = -10/2! = -5$ , $a_3 = -10/3! = -5/3$ .
4. Monte a série com esses coeficientes.
Ex. 65.38CompreensãoGabarito
Encontre os quatro primeiros termos da série de Taylor de $5/x$ em torno de $a = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$\frac{5}{x} = \frac{5}{2} - \frac{5}{4}(x-2) + \frac{5}{8}(x-2)^2 - \cdots$ $\frac{5}{x} = \frac{5}{2} + \frac{5}{4}(x-2) + \frac{5}{8}(x-2)^2 + \cdots$ $\frac{5}{x} = 5 - 5(x-2) + 5(x-2)^2 - \cdots$ $\frac{5}{x} = \frac{5}{2}(x-2) - \frac{5}{4}(x-2)^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §8.4 · ex. 2
Ver solução
$5/x = 5/(2+(x-2)) = (5/2)\cdot 1/(1+(x-2)/2) = (5/2)\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k((x-2)/2)^k$ . Primeiros termos: $5/2 - 5/4(x-2) + 5/8(x-2)^2 - \cdots$ .
Ex. 65.39Desafio
Resolva exatamente para $x$ : $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = 5$ .
Selecione a alternativa correta
$x = \ln 5$ $x = 5$ $x = e^5$ $x = 1/5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §8.4 · ex. 5
Ver solução
A série $1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots = e^x$ . Então $e^x = 5$ , logo $x = \ln 5$ .
Ex. 65.40Desafio
Use o teste da razão para encontrar o intervalo aberto de convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3\,x^{3n}}{4^{3n}}$ .
Selecione a alternativa correta
A série converge para $|x| < 4$ A série converge para $|x| < 1$ A série converge para todo $x$ A série diverge para todo $x \neq 0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §8.4 · ex. 7
Ver solução
Teste da razão: $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)^3}{n^3}\cdot\frac{|x|^3}{4^3} \to \frac{|x|^3}{64}$ . A série converge quando $|x|^3/64 < 1$ , ou seja $|x| < 4$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §8.5 Taylor Polynomials and Taylor Series · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · §6.3 Taylor and Maclaurin Series · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §8.6 Taylor Polynomials · CC-BY-NC.