v1 · padrão canônico

Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Sinal de f'': côncava para cima quando f'' > 0, para baixo quando f'' < 0. Inflexão onde f'' muda de sinal. Teste da segunda derivada para extremos.

Usado em: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math I/II japonês · Equiv. Leistungskurs Analysis alemão · Cálculo I universitário

f''(x) > 0 \implies f \text{ côncava}\uparrow, \quad f''(x) < 0 \implies f \text{ côncava}\downarrow, \quad f'' \text{ muda sinal} \implies \text{inflexão}

A concavidade de uma curva é determinada pelo sinal da segunda derivada: $f'' > 0$ significa côncava para cima (formato de tigela), $f'' < 0$ côncava para baixo (formato de chapéu). Um ponto de inflexão ocorre onde $f''$ muda de sinal — não basta ser zero.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa e critérios

Concavidade e convexidade

"The function $f$ is concave up on an interval $I$ if $f''(x) \geq 0$ for all $x \in I$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.5

Critério via segunda derivada: se $f$ é duas vezes derivável em $I$ :

$f''(x) \geq 0$ em $I$ $\iff$ $f$ convexa (côncava para cima).
$f''(x) \leq 0$ em $I$ $\iff$ $f$ côncava (para baixo).
$f''(x) > 0$ estritamente $\Rightarrow$ convexidade estrita.

Côncava para cima (f'' > 0): corda fica acima do arco. Côncava para baixo (f'' < 0): corda fica abaixo do arco.

Ponto de inflexão

Atenção: $f''(x_0) = 0$ é condição necessária mas NÃO suficiente. Contraexemplo canônico: $f(x) = x^4$ tem $f''(0) = 0$ mas $f'' \geq 0$ em vizinhança de $0$ — sem mudança de sinal, portanto $0$ não é inflexão.

"If the concavity changes at a point $(x_0, f(x_0))$ , we call this a point of inflection. It must be the case that $f''(x_0)$ changes sign." — APEX Calculus §3.4

Teste da segunda derivada para extremos locais

Prova para mínimo: se $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) > 0$ , pela continuidade de $f''$ existe vizinhança onde $f''(x) > 0$ , logo $f'$ é crescente nessa vizinhança. Como $f'(x_0) = 0$ , temos $f' < 0$ à esquerda e $f' > 0$ à direita de $x_0$ — pelo teste da derivada primeira, $x_0$ é mínimo local. ∎

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Concavidade e inflexao de f(x) = x^3 - 3x (basico)

Problema. Para $f(x) = x^3 - 3x$ , determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Estratégia. Calcular $f''$ , determinar onde é positivo/negativo, e verificar mudança de sinal nos zeros.

Resolução.

Derivadas: $f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f''(x) = 6x$ .
Zero de $f''$ : $6x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
Sinal: $f''(x) < 0$ para $x < 0$ (côncava para baixo); $f''(x) > 0$ para $x > 0$ (côncava para cima).
Inflexão: $f''$ muda de sinal em $x = 0$ . Logo $(0, f(0)) = (0, 0)$ é ponto de inflexão.

Verificação. No esboço: $f(-2) = -8 + 6 = -2$ ; $f(0) = 0$ ; $f(2) = 8 - 6 = 2$ . Curva sobe de $-2$ para $0$ com concavidade para baixo, depois continua de $0$ para $2$ com concavidade para cima — consistente. ✓

Fonte. APEX Calculus §3.4, Example 3.4.1 — CC-BY-NC.

Exemplo— 2· Teste da segunda derivada para extremos de f(x) = x^4 - 4x^2 (intermediario)

Problema. Classifique os pontos críticos de $f(x) = x^4 - 4x^2$ usando o teste da segunda derivada.

Estratégia. Encontrar pontos críticos via $f' = 0$ , calcular $f''$ em cada um e aplicar o critério.

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\, x = \pm\sqrt{2}$ .
$f''(x) = 12x^2 - 8$ .
Avaliando:
- $f''(0) = -8 < 0$ $\Rightarrow$ máximo local em $x = 0$ . $f(0) = 0$ .
- $f''(\sqrt{2}) = 24 - 8 = 16 > 0$ $\Rightarrow$ mínimo local em $x = \sqrt{2}$ . $f(\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4$ .
- $f''(-\sqrt{2}) = 16 > 0$ $\Rightarrow$ mínimo local em $x = -\sqrt{2}$ . $f(-\sqrt{2}) = -4$ .

Verificação. Como $f(x) \to +\infty$ para $x \to \pm\infty$ , os mínimos em $\pm\sqrt{2}$ são globais e o máximo em $0$ é local (mas não global). ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.5, Example 4.38 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Inflexoes da gaussiana (intermediario)

Problema. Encontre os pontos de inflexão de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (núcleo da distribuição normal).

Estratégia. Derivar duas vezes, igualar $f'' = 0$ e verificar mudança de sinal.

Resolução.

$f'(x) = -x\,e^{-x^2/2}$ .
$f''(x) = -e^{-x^2/2} + x^2 e^{-x^2/2} = (x^2 - 1)e^{-x^2/2}$ .
Zero de $f''$ : $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ .
Sinal:
- $|x| > 1$ : $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow f'' > 0$ (côncava para cima).
- $|x| < 1$ : $x^2 - 1 < 0 \Rightarrow f'' < 0$ (côncava para baixo).
Inflexões: em $x = \pm 1$ , $f''$ muda de sinal. Pontos: $(\pm 1, e^{-1/2}) = (\pm 1, \approx 0{,}607)$ .

Verificação. Para $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , as inflexões estão em $\mu \pm \sigma$ . Aqui $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ — consistente. ✓

Fonte. Active Calculus §3.1, Activity 3.1.3 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Caso inconclusivo: f'' = 0 em critico não é inflexao (avancado)

Problema. Para $f(x) = x^4$ , verifique que $f''(0) = 0$ mas $x = 0$ é mínimo local (não inflexão).

Estratégia. Mostrar que $f''$ não muda de sinal em $x = 0$ .

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$ (ponto crítico).
$f''(x) = 12x^2 \geq 0$ para todo $x$ . Em particular $f''(0) = 0$ — teste inconclusivo.
Mas $f''(x) \geq 0$ em vizinhança de $0$ : não muda de sinal.
Conclusão: $x = 0$ NÃO é inflexão. É mínimo global ( $f(x) = x^4 \geq 0$ para todo $x$ , com igualdade só em $0$ ).
Confirmação pelo teste de sinal de $f'$ : $f'(x) = 4x^3 < 0$ para $x < 0$ e $f'(x) > 0$ para $x > 0$ — mínimo confirmado.

Verificação. O gráfico de $x^4$ é uma parábola "achatada" com o fundo em $0$ — visualmente um mínimo. ✓

Fonte. APEX Calculus §3.4, Note após Example 3.4.2 — CC-BY-NC.

Exemplo— 5· Custo com rendimentos decrescentes — inflexao economica (modelagem)

Problema. Uma empresa tem custo de produção $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$ (em reais). Encontre o ponto de inflexão e interprete economicamente.

Estratégia. Calcular $C''$ , achar a inflexão e analisar o comportamento do custo marginal $MC = C'$ .

Resolução.

$C'(q) = 3q^2 - 12q + 15 = MC(q)$ (custo marginal).
$C''(q) = 6q - 12$ .
Inflexão: $C''(q) = 0 \Rightarrow q = 2$ .
Sinal de $C''$ : para $q < 2$ , $C'' < 0$ (custo marginal decrescente — ganhos de escala). Para $q > 2$ , $C'' > 0$ (custo marginal crescente — pressão de capacidade).
Ponto de inflexão: $C(2) = 8 - 24 + 30 + 100 = 114$ . Ponto $(2, 114)$ .

Verificação. $MC(0) = 15$ , $MC(2) = 12 - 24 + 15 = 3$ , $MC(4) = 48 - 48 + 15 = 15$ . Mínimo de $MC$ em $q = 2$ — consistente com inflexão de $C$ . ✓

Fonte. Active Calculus §3.1, Exercise 3.1.5 — CC-BY-NC-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 19Compreensão 9Modelagem 7Desafio 5

Ex. 66.1CompreensãoGabarito
Se $c$ é ponto crítico de $f(x)$ , quando não há máximo nem mínimo local em $c$ ? Explique.
Selecione a alternativa correta
Não: quando $f'(c)=0$ e $f''$ muda de sinal em $c$ , o ponto é inflexão — sem ser máximo nem mínimo.Sim: todo ponto crítico com $f'(c)=0$ é sempre mínimo ou máximo local.Somente quando $f$ não é diferenciável em $c$ .Sim, desde que $f''(c) eq 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 194
Ver solução
Quando $f'(c)=0$ e $f''$ muda de sinal em $c$ , o ponto é inflexão e não há extremo local. Exemplo canônico: $f(x)=x^3$ em $x=0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. O teste da segunda derivada: se $f'(c)=0$ e $f''(c)>0$ , então $c$ é mínimo local; se $f''(c) lt 0$ , máximo local.
2. Se $f''(c)=0$ , o teste é inconclusivo — pode ser extremo ou inflexão.
3. Para $f(x)=x^3$ : $f'(0)=0$ , $f''(0)=0$ . Mas $f''(x)=6x$ muda de sinal em $x=0$ : inflexão, sem extremo.
4. Logo um ponto crítico pode não ser máximo nem mínimo — é possível ser inflexão.
Ex. 66.2CompreensãoGabarito
Para $y = x^3$ , é $x = 0$ ao mesmo tempo ponto de inflexão e máximo/mínimo local?
Selecione a alternativa correta
Sim: $x=0$ é inflexão de $y=x^3$ pois $f''(0)=0$ e $f''$ muda de sinal; mas $x=0$ não é máximo nem mínimo.Não: $x=0$ é máximo local de $y=x^3$ .Não: inflexão e extremo local nunca ocorrem no mesmo ponto.Sim: $x=0$ é ao mesmo tempo inflexão e mínimo local de $y=x^3$ .
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 195
Ver solução
Para $y=x^3$ : $f'(0)=0$ e $f''(0)=0$ . Como $f''(x)=6x$ muda de sinal em $x=0$ , há inflexão. Não há extremo pois $f'$ não muda de sinal: $f'(x)=3x^2 geq 0$ para todo $x$ .
Ex. 66.3Compreensão
Para $y = x^3$ , é $x = 0$ um ponto de inflexão?
Selecione a alternativa correta
Sim: $f''(0)=0$ e $f''(x)=6x$ muda de sinal em $x=0$ — portanto $x=0$ é inflexão de $y=x^3$ .Não: $f''(0)=0$ não é suficiente para inflexão.Não: inflexão exige $f'(0) eq 0$ .Sim, mas somente porque $f'(0)=0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 196
Ver solução
$f''(x)=6x$ . Em $x=0$ : $f''(0)=0$ . Para $x lt 0$ : $f'' lt 0$ ; para $x gt 0$ : $f'' gt 0$ . Mudança de sinal confirma: $x=0$ é inflexão de $y=x^3$ .
Ex. 66.4Compreensão
Para função duas vezes diferenciável, é possível que $c$ seja ao mesmo tempo ponto de inflexão e extremo local?
Selecione a alternativa correta
Não: se $f$ é duas vezes diferenciável, $f''$ não muda de sinal em extremo local — logo inflexão e extremo local não coincidem.Sim: qualquer ponto com $f'=0$ pode ser ambos.Sim: $f(x)=x^4$ tem inflexão e mínimo em $x=0$ .Não: inflexão exige que $f'$ mude de sinal.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 197
Ver solução
Em extremo local com $f'(c)=0$ , $f'$ muda de sinal — portanto $f''$ não muda de sinal em $c$ (não é inflexão). Para $f$ duas vezes diferenciável, inflexão e extremo local são eventos excludentes num mesmo ponto.
Ex. 66.5Compreensão
Um polinômio de grau 2 pode ter ponto de inflexão?
Selecione a alternativa correta
Não: polinômio de grau 2 tem $f''$ constante — nunca muda de sinal, logo nunca tem inflexão.Sim: qualquer polinômio de grau 2 pode ter inflexão.Sim: se o vértice coincidir com $f''=0$ .Depende dos coeficientes do polinômio.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 200
Ver solução
Para $f(x)=ax^2+bx+c$ : $f''(x)=2a$ , constante. Uma constante nunca muda de sinal, logo não há ponto de inflexão em nenhum polinômio de grau 2.
Ex. 66.6Compreensão
Toda função côncava para baixo necessariamente cruza $y = 0$ para algum valor de $x$ ?
Selecione a alternativa correta
Não necessariamente: $f(x)=-e^{-x}$ é côncava para baixo em toda a reta e nunca cruza $y=0$ .Sim: toda côncava para baixo cruza $y=0$ em algum ponto.Sim: pelo Teorema do Valor Intermediário.Somente se $f$ for limitada inferiormente.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 199
Ver solução
Contraexemplo: $f(x)=-e^{-x}$ . Tem $f''(x)=-e^{-x} lt 0$ (côncava para baixo). Mas $f(x) lt 0$ para todo $x$ — nunca cruza $y=0$ .
Ex. 66.7Aplicação
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 2$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em $(-\infty, 4/3)$ ; côncava para baixo em $(4/3, \infty)$ ; PI em $x = 4/3$ .PI em $x = 0$ ; côncava para cima em toda reta.PI em $x = 2$ ; côncava para baixo para $x < 2$ .Sem PI; sempre côncava para cima.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 223
Ver solução
$f''(x) = 6x - 8$ . Zero: $x = 4/3$ . Para $x lt 4/3$ : $f'' lt 0$ ; para $x gt 4/3$ : $f'' gt 0$ . Mudança de sinal: PI em $x = 4/3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f'(x) = 3x^2 - 8x + 1$ e $f''(x) = 6x - 8$ .
2. Zero de $f''$ : $6x - 8 = 0 Rightarrow x = 4/3$ .
3. Sinal: $x lt 4/3 Rightarrow f'' lt 0$ (chapéu); $x gt 4/3 Rightarrow f'' gt 0$ (tigela).
4. Ponto: $f(4/3) = (4/3)^3 - 4(4/3)^2 + (4/3) + 2$ . PI em $x = 4/3$ .
Ex. 66.8Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^2 - 6x$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em toda a reta; sem PI.PI em $x = 3$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 3)$ .PI em $x = 0$ .Côncava para baixo em toda a reta.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 224
Ver solução
$f(x)=x^2-6x$ : $f''(x)=2 gt 0$ em toda reta. Côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ ; sem PI.
Ex. 66.9AplicaçãoGabarito
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 - 6x^2$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em $(2, \infty)$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 2)$ ; PI em $x = 2$ .PI em $x = 0$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI em $x = 3$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 225
Ver solução
$f(x)=x^3-6x^2$ : $f''(x)=6x-12=0 Rightarrow x=2$ . Para $x lt 2$ : $f'' lt 0$ ; para $x gt 2$ : $f'' gt 0$ . PI em $x=2$ .
Ex. 66.10AplicaçãoGabarito
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^4 - 6x^3$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em $(-\infty, 0)$ e $(9/2, \infty)$ ; côncava para baixo em $(0, 9/2)$ ; PIs em $x = 0$ e $x = 9/2$ .PI somente em $x = 0$ .Sem PI; sempre côncava para cima.PI em $x = 9/4$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 9/4)$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 226
Ver solução
$f(x)=x^4-6x^3$ : $f''(x)=12x^2-36x=12x(x-3)$ . Zeros: $x=0$ e $x=3$ . Sinal: positivo em $(-\infty,0)$ , negativo em $(0,3)$ , positivo em $(3,\infty)$ . PIs em $x=0$ e $x=3$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f'(x)=4x^3-18x^2$ e $f''(x)=12x^2-36x=12x(x-3)$ .
2. Zeros de $f''$ : $x=0$ e $x=3$ .
3. Sinal em três intervalos: $(-\infty,0)$ : $(-)(-) = +$ ; $(0,3)$ : $(+)(-) = -$ ; $(3,\infty)$ : $(+)(+) = +$ .
4. Mudança de sinal em $x=0$ e $x=3$ : dois PIs.
Ex. 66.11Aplicação
Determine os pontos de inflexão de $f(x) = x^{11} - 6x^{10}$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = 60/11$ ; côncava para cima em $(60/11, \infty)$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 60/11)$ .PI em $x = 5$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI em $x = 0$ e $x = 6$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 227
Ver solução
$f(x)=x^{11}-6x^{10}$ : $f''(x)=110x^9-540x^8=10x^8(11x-54)$ . Zeros: $x=0$ (par — não muda sinal) e $x=54/11$ . PI apenas em $x=54/11$ .
Ex. 66.12Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x + x^2 - x^3$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = 1/3$ ; côncava para baixo em $(-\infty, 1/3)$ ; côncava para cima em $(1/3, \infty)$ .PI em $x = 0$ .Sem PI.PI em $x = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 228
Ver solução
$f(x)=x+x^2-x^3$ : $f''(x)=2-6x=0 Rightarrow x=1/3$ . Para $x lt 1/3$ : $f'' gt 0$ (cima); para $x gt 1/3$ : $f'' lt 0$ (baixo). PI em $x=1/3$ .
Ex. 66.13Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^2 + x + 1$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em toda reta; sem PI.PI em $x = -1/2$ .Côncava para baixo em toda reta.PI em $x = 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 229
Ver solução
$f(x)=x^2+x+1$ : $f''(x)=2 gt 0$ sempre. Côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ ; sem PI. Parábola voltada para cima — sempre convexa.
Ex. 66.14AplicaçãoGabarito
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3 + x^4$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para baixo em $(-\infty, -1/2)$ ; côncava para cima em $(-1/2, \infty)$ ; PI em $x = -1/2$ .PI em $x = 0$ e $x = -1$ .PI somente em $x = 0$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 230
Ver solução
$f(x)=x^3+x^4$ : $f''(x)=6x+12x^2=6x(1+2x)$ . Zeros: $x=0$ e $x=-1/2$ . Sinal: positivo em $(-\infty,-1/2)$ ... Verificar: teste em $x=-1$ : $6(-1)(1-2)=6(-1)(-1)=6 gt 0$ — côncava cima. Teste em $x=-1/4$ : $6(-1/4)(1-1/2)=6(-1/4)(1/2) lt 0$ — côncava baixo. Teste em $x=1$ : $6(1)(3) gt 0$ — cima. PIs em $x=0$ e $x=-1/2$ .
Ex. 66.15Aplicação
Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = \sin(\pi x) - \cos(\pi x)$ em $[-1, 1]$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em $(1, \infty)$ e $(-\infty, -1)$ ; côncava para baixo em $(-1, 1)$ ; PIs em $x = \pm 1$ .PI em $x = 0$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI em $x = \pi/4$ e $x = 5\pi/4$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 231
Ver solução
$f(x)=\sin(\pi x)-\cos(\pi x)$ : $f''(x)=-\pi^2\sin(\pi x)+\pi^2\cos(\pi x)=\pi^2(\cos(\pi x)-\sin(\pi x))$ . Zero quando $\tan(\pi x)=1$ , ou seja $x=1/4+k$ para inteiro $k$ . Em $[-1,1]$ : $x=-3/4$ e $x=1/4$ são PIs com mudança de sinal.
Ex. 66.16Aplicação
Determine os pontos de inflexão de $f(x) = x + \sin(2x)$ em $[-\pi/2,\, \pi/2]$ .
Selecione a alternativa correta
PIs onde $\sin(2x)=0$ , ou seja, $x=0$ e $x=\pm\pi/2$ no intervalo dado.Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI somente em $x=0$ .PI em $x=\pi/4$ e $x=3\pi/4$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 232
Ver solução
$f(x)=x+\sin(2x)$ : $f''(x)=-4\sin(2x)=0$ quando $2x=k\pi$ , i.e. $x=k\pi/2$ . Em $[-\pi/2, \pi/2]$ : PIs em $x=-\pi/2, 0, \pi/2$ com mudança de sinal de $f''$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule $f'(x)=1+2\cos(2x)$ e $f''(x)=-4\sin(2x)$ .
2. Zeros de $f''$ : $\sin(2x)=0 \Rightarrow x=k\pi/2$ .
3. Em $[-\pi/2,\pi/2]$ : candidatos $x=-\pi/2, 0, \pi/2$ .
4. Verificar mudança de sinal em cada candidato: todos são PIs.
Ex. 66.17Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = \sin x + \tan x$ em $(-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = 0$ ; côncava para baixo em $(-\pi/2, 0)$ ; côncava para cima em $(0, \pi/2)$ .Sem PI.PI em $x = \pi/4$ .Côncava para cima em toda reta.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 233
Ver solução
$f(x)=\sin x+\tan x$ em $(-\pi/2,\pi/2)$ : $f''(x)=-\sin x+2\sec^2 x \tan x$ . Em $x=0$ : $f''(0)=0$ . Para $x lt 0$ : $f'' lt 0$ ; para $x gt 0$ : $f'' gt 0$ . PI em $x=0$ .
Ex. 66.18Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = (x-2)^2(x-4)^2$ .
Selecione a alternativa correta
PIs em $x = 2$ e $x = 4$ ; côncava para cima fora do intervalo $(2,4)$ e para baixo dentro.PI em $x = 3$ .Sem PI.PI somente em $x = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 234
Ver solução
$f(x)=(x-2)^2(x-4)^2$ . Expandindo: $f''(x)=12x^2-72x+104$ . Zeros: $x=3 \pm 1/\sqrt{3}$ , i.e. $x approx 2{,}42$ e $x approx 3{,}58$ . PIs em ambos com mudança de sinal confirmada.
Ex. 66.19AplicaçãoGabarito
Determine a concavidade de $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ , $x \neq 1$ .
Selecione a alternativa correta
Côncava para cima em $(-\infty,1)$ e $(1,\infty)$ ; sem PI (descontinuidade em $x=1$ não é inflexão).PI em $x = 1$ .Côncava para baixo em $(-\infty, 1)$ .Sem concavidade definida.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 235
Ver solução
$f(x)=1/(1-x)$ , $x eq 1$ . $f''(x)=2/(1-x)^3$ . Para $x lt 1$ : $f'' gt 0$ (cima). Para $x gt 1$ : $f'' lt 0$ (baixo). Mas $x=1$ não está no domínio — não é PI, é assíntota.
Ex. 66.20Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ em $(-2\pi, 0) \cup (0, 2\pi)$ .
Selecione a alternativa correta
PIs onde $f''(x)=0$ muda de sinal — ocorre em múltiplos de $\pi$ no domínio dado.Sem PI.PI somente em $x = \pi$ .PI somente em $x = -\pi$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 236
Ver solução
$f(x)=\sin x/x$ . $f''(x)=(2/x^3)((x^2-2)\sin x + 2x\cos x)$ . Zeros ocorrem em $x \approx \pm 4{,}49$ (raízes transcendentais); verificar numericamente.
Ex. 66.21Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = \sin(x)\,e^x$ em $[-\pi, \pi]$ .
Selecione a alternativa correta
PIs em $x = (-\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 2})/2$ ; concavidade oscila a cada meio período.Sem PI.PI somente em $x = 0$ .PI em $x = \pm\pi/2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 237
Ver solução
$f(x)=\sin(x)e^x$ . $f''(x)=2e^x\cos x$ . Zero quando $\cos x=0$ , i.e. $x=\pi/2+k\pi$ . Em $[-\pi,\pi]$ : PIs em $x=-\pi/2$ e $x=\pi/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $f'(x)=e^x(\sin x+\cos x)$ pela regra do produto.
2. $f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x$ .
3. Zeros: $e^x gt 0$ sempre; $\cos x=0 \Rightarrow x=\pi/2+k\pi$ .
4. Em $[-\pi,\pi]$ : $x=-\pi/2$ e $x=\pi/2$ com mudança de sinal confirmada.
Ex. 66.22Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = (\ln x)\cdot x$ , $x > 0$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = e^{3/2}$ ; côncava para baixo em $(0, e^{3/2})$ ; côncava para cima em $(e^{3/2}, \infty)$ .PI em $x = e$ .Sem PI; côncava para baixo em todo $(0,\infty)$ .PI em $x = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 238
Ver solução
$f(x)=(\ln x)\cdot x$ : $f'(x)=\ln x+1$ ; $f''(x)=1/x gt 0$ para todo $x gt 0$ . Côncava para cima; sem PI em $(0,\infty)$ .
Ex. 66.23Aplicação
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x}$ , $x > 0$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = (2)^{1/3}$ ; côncava para cima em $(0, (2)^{1/3})$ ; côncava para baixo em $((2)^{1/3}, \infty)$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI em $x = 1$ .PI em $x = 2$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 239
Ver solução
$f(x)=x/4+1/x$ : $f''(x)=2/x^3$ . Para $x gt 0$ : $f'' gt 0$ (cima). Para $x lt 0$ : $f'' lt 0$ (baixo). Sem PI no interior de cada componente do domínio.
Ex. 66.24Aplicação
Determine a concavidade de $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ , $x \neq 0$ .
Selecione a alternativa correta
PI em $x = -1$ (onde $f''$ muda de sinal); côncava para cima em $(-1, 0) \cup (0, \infty)$ .Sem PI; côncava para cima em toda reta.PI em $x = 0$ .PI em $x = 1$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 240
Ver solução
$f(x)=e^x/x$ : $f''(x)=e^x(x^2-2x+2)/x^3$ . Numerador $e^x(x^2-2x+2) gt 0$ sempre (discriminante negativo). Sinal de $f''$ = sinal de $1/x^3$ . Para $x gt 0$ : $f'' gt 0$ ; para $x lt 0$ : $f'' lt 0$ . Sem PI no interior de cada componente.
Ex. 66.25ModelagemGabarito
"A população está crescendo mais lentamente." Se $f$ é a população, quais são os sinais de $f'$ e $f''$ ?
Selecione a alternativa correta
$f'(t) gt 0$ (população cresce) e $f''(t) lt 0$ (taxa de crescimento decresce). $f'(t) lt 0$ e $f''(t) lt 0$ . $f'(t) gt 0$ e $f''(t) gt 0$ . $f'(t) lt 0$ e $f''(t) gt 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 241
Ver solução
"Crescendo mais lentamente": $f'(t) gt 0$ (ainda crescendo) e $f''(t) lt 0$ (taxa de crescimento diminuindo — côncava para baixo).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. "Crescendo" significa $f'(t) gt 0$ .
2. "Mais lentamente" significa que $f'$ está diminuindo, ou seja $f''(t) lt 0$ .
3. Interpretação: a população ainda aumenta, mas a velocidade de aumento está desacelerando.
Ex. 66.26Modelagem
"A bicicleta acelera mais rápido, mas o carro vai mais rápido." Com $f =$ posição da bicicleta menos posição do carro, quais são os sinais de $f'$ e $f''$ ?
Selecione a alternativa correta
$f' lt 0$ e $f'' gt 0$ (bicicleta desacelera — velocidade negativa crescendo em módulo é côncava para cima em posição). $f' gt 0$ e $f'' gt 0$ . $f' lt 0$ e $f'' lt 0$ . $f' gt 0$ e $f'' lt 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 242
Ver solução
Seja $f =$ posição da bicicleta menos posição do carro. "Bicicleta acelera mais rápido": $f''(t) gt 0$ . "Carro vai mais rápido": $f'(t) lt 0$ (diferença de posição diminui).
Ex. 66.27Modelagem
"O avião pousa suavemente." Se $f$ é a altitude, quais são os sinais de $f'$ e $f''$ durante o pouso?
Selecione a alternativa correta
$f'(t) lt 0$ (altitude diminuindo) e $f''(t) gt 0$ (taxa de descida desacelerando — pouso suave). $f'(t) lt 0$ e $f''(t) lt 0$ . $f'(t) gt 0$ e $f''(t) lt 0$ . $f'(t) gt 0$ e $f''(t) gt 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 243
Ver solução
"Pouso suave": $f'(t) lt 0$ (descendo) e $f''(t) gt 0$ (a taxa de descida está diminuindo em valor absoluto — suaviza). Se $f'' lt 0$ , o avião aceleraria a descida — pouso brusco.
Ex. 66.28Modelagem
"Em 1.º de julho, os custos trabalhistas estão no pico." Se $f$ é o custo de mão-de-obra, quais são os sinais de $f'$ e $f''$ nessa data?
Selecione a alternativa correta
$f'(\text{1 jul}) = 0$ e $f''(\text{1 jul}) lt 0$ (máximo local de custo — teste da 2.ª derivada). $f'(\text{1 jul}) = 0$ e $f''(\text{1 jul}) gt 0$ (mínimo local). $f'(\text{1 jul}) gt 0$ (pico ainda não atingido). $f''(\text{1 jul}) = 0$ (ponto de inflexão, não máximo).
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 244
Ver solução
No pico de custos trabalhistas em 1.º de julho: $f'( ext{1 jul})=0$ (derivada zero no máximo) e $f''( ext{1 jul}) \lt 0$ (côncava para baixo — teste da 2.ª derivada confirma máximo local).
Ex. 66.29Modelagem
"A economia está ganhando velocidade." Se $f$ é o PIB, quais são os sinais de $f'$ e $f''$ ?
Selecione a alternativa correta
$f'(t) gt 0$ (PIB cresce) e $f''(t) gt 0$ (taxa de crescimento aumenta — côncava para cima). $f'(t) gt 0$ e $f''(t) lt 0$ . $f'(t) lt 0$ e $f''(t) gt 0$ . $f'(t) = 0$ e $f''(t) gt 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 245
Ver solução
"Economia acelerando": $f'(t) gt 0$ (PIB crescendo) e $f''(t) gt 0$ (taxa de crescimento do PIB está aumentando — côncava para cima, expansão acelerada).
Ex. 66.30Compreensão
Polinômio cúbico $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . É verdade que $f(x) = 0$ para algum $1 \leq x \leq 3$ ?
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: pelo Teorema do Valor Intermediário — $f$ cúbica com $f'(1)=f'(3)=0$ tem pelo menos um zero em $[1,3]$ se $f(1)$ e $f(3)$ têm sinais opostos; mas não necessariamente verdadeiro em geral.Verdadeiro sem condições adicionais.Falso: $f$ pode ser sempre positiva em $[1,3]$ .Verdadeiro somente se $f$ for par.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 246
Ver solução
Falso em geral: por exemplo $f(x)=(x-1)^2(x-3)^2+1$ tem $f'(1)=f'(3)=0$ e $f(x) geq 1 gt 0$ — sem zero em $[1,3]$ . A afirmação é falsa: não se pode garantir zero sem informação adicional sobre os valores de $f$ .
Ex. 66.31Compreensão
Polinômio cúbico $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . É verdade que $f''(x) = 0$ para algum $1 \leq x \leq 3$ ?
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: pelo Teorema de Rolle aplicado a $f'$ — $f'(1)=f'(3)=0$ implica $f''(c)=0$ para algum $c in (1,3)$ .Falso: $f''$ pode não ter zeros em $(1,3)$ .Depende dos coeficientes de $f$ .Verdadeiro somente se $f$ for convexa.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 247
Ver solução
Pelo Teorema de Rolle aplicado a $f'$ no intervalo $[1,3]$ : como $f'(1)=f'(3)=0$ , existe $c in (1,3)$ com $f''(c)=0$ . Portanto a afirmação é verdadeira.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Hipóteses: $f'$ é contínua e diferenciável em $[1,3]$ .
2. $f'(1)=0=f'(3)$ satisfaz as condições do Teorema de Rolle para $f'$ .
3. Conclusão: existe $c in (1,3)$ com $(f')'(c)=f''(c)=0$ . Verdadeiro.
Ex. 66.32DesafioGabarito
Polinômio cúbico $f(x)$ com $f'(1) = 0$ e $f'(3) = 0$ . É verdade que não há máximo absoluto em $x = 3$ ?
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: cúbica tem $f(x) o \pm\infty$ — o máximo local em $x=3$ não pode ser absoluto.Falso: $x=3$ pode ser máximo absoluto de uma cúbica em $\mathbb{R}$ .Depende do domínio restrito.Verdadeiro somente se $f$ tiver três raízes reais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 248
Ver solução
Cúbica com coeficiente dominante positivo: $f(x) o +\infty$ quando $x o +\infty$ . Logo $f$ ultrapassa qualquer valor finito — nenhum ponto pode ser máximo absoluto. Se o coeficiente dominante for negativo: $f(x) o -\infty$ à direita, mas $f(x) o +\infty$ à esquerda. Em ambos os casos, nenhum máximo absoluto existe em $\mathbb{R}$ .
Ex. 66.33Desafio
Se $f(x)$ é um polinômio cúbico com três raízes reais, é verdade que tem exatamente 1 ponto de inflexão?
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: cúbica com três raízes reais tem exatamente um PI (onde $f''$ muda de sinal, entre os dois extremos locais).Falso: pode ter mais de um PI.Falso: pode não ter PI.Verdadeiro somente se as três raízes forem distintas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 249
Ver solução
Cúbica $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ tem $f''(x)=6ax+2b$ (linear) — exatamente um zero, logo exatamente um candidato a PI. Como cúbica muda de concavidade: esse zero é PI. Verdadeiro.
Ex. 66.34DesafioGabarito
Se $f(x)$ é um polinômio cúbico com um ponto de inflexão, ele necessariamente tem três raízes reais?
Selecione a alternativa correta
Falso: $f(x)=x^3+x$ tem PI em $x=0$ mas apenas uma raiz real ( $x=0$ ), não três.Verdadeiro: todo PI de cúbica implica três raízes reais.Verdadeiro somente se as raízes forem positivas.Falso: cúbica com PI nunca tem raízes reais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.5 · ex. 250
Ver solução
Contraexemplo: $f(x)=x^3+x$ . $f''(x)=6x=0$ em $x=0$ , com mudança de sinal: PI. Mas $f(x)=x(x^2+1)=0$ tem apenas $x=0$ como raiz real. Logo PI não implica três raízes reais.
Ex. 66.35Aplicação
A posição de uma partícula é $s(t) = 8t^2 + 5$ . Use quocientes de diferença para encontrar a velocidade $v(t)$ e a aceleração $a(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$s(t) = 8t^2 + 5$ ; $v(t) = 16t$ ; $a(t) = 16$ . $v(t) = 16t + 5$ ; $a(t) = 16t$ . $v(t) = 8t$ ; $a(t) = 8$ . $v(t) = 16t^2$ ; $a(t) = 32t$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 3
Ver solução
$v(t) = \lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{8(t+h)^2+5-(8t^2+5)}{h} = \lim_{h\to0}(16t+8h) = 16t$ . $a(t)=v'(t)=16$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcule o quociente de diferença: $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} = \frac{8(t+h)^2+5-8t^2-5}{h} = \frac{16th+8h^2}{h} = 16t+8h$ .
2. Tome o limite: $v(t)=\lim_{h\to0}(16t+8h)=16t$ .
3. Aceleração: $a(t)=v'(t)=16$ (constante — movimento uniformemente acelerado).
Ex. 66.36Modelagem
O preço de uma ação $P(t)$ . (a) "O preço está caindo cada vez mais lentamente." (b) "O preço está próximo do fundo." Determine os sinais de $P'$ e $P''$ em cada situação.
Selecione a alternativa correta
(a) $P'(t) lt 0$ e $P''(t) gt 0$ ; (b) $P'(t) lt 0$ e $P''(t) gt 0$ (próximo do fundo, queda desacelerando).(a) $P'(t) gt 0$ e $P''(t) lt 0$ ; (b) $P'(t) gt 0$ e $P''(t) gt 0$ .(a) $P'(t) lt 0$ e $P''(t) lt 0$ ; (b) $P'(t) = 0$ e $P''(t) gt 0$ .(a) $P'(t) gt 0$ e $P''(t) gt 0$ ; (b) $P'(t) lt 0$ e $P''(t) lt 0$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 4
Ver solução
(a) "Caindo mais lentamente": $P'(t) lt 0$ (queda) e $P''(t) gt 0$ (queda desacelerando). (b) "Próximo do fundo": mesmos sinais — ainda caindo, mas cada vez mais devagar antes de se recuperar.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Parte (a): "preço caindo" = $P' lt 0$ ; "mais lentamente" = variação da queda diminui = $P'' gt 0$ .
2. Parte (b): "próximo do fundo" = preço quase parou de cair = $P'$ próximo de 0 por baixo ( $P' lt 0$ mas pequeno); $P'' gt 0$ (concavidade para cima, prestes a subir).
Ex. 66.37Modelagem
Um carro parte do repouso e atinge 58,6 mph em 5 segundos. Velocidades: $v(0)=0$ , $v(1)=29{,}32$ , $v(2)=50{,}82$ ft/s. Calcule a aceleração média no 1.º e no 2.º segundo.
Selecione a alternativa correta
Aceleração média no 1.º segundo $\approx 29{,}32$ ft/s²; no 2.º segundo $\approx 21{,}50$ ft/s².Aceleração média no 1.º segundo $= 50{,}82$ ft/s².Aceleração constante $= 17{,}20$ ft/s².Aceleração no 1.º segundo $= 29{,}32$ ft/s; no 2.º $= 50{,}82$ ft/s.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 7
Ver solução
Aceleração média no 1.º segundo: $\Delta v/\Delta t = (v(1)-v(0))/(1-0) = (29{,}32-0)/1 = 29{,}32$ ft/s². No 2.º segundo: $(v(2)-v(1))/(2-1) = (50{,}82-29{,}32)/1 = 21{,}50$ ft/s². A aceleração diminui — $f'' lt 0$ na velocidade.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Aceleração média = variação da velocidade / variação do tempo.
2. 1.º segundo: $a_1 = (29{,}32-0)/(1-0) = 29{,}32$ ft/s².
3. 2.º segundo: $a_2 = (50{,}82-29{,}32)/(2-1) = 21{,}50$ ft/s².
4. Interpretação: $a_2 lt a_1$ — a aceleração está diminuindo, o que implica que a função velocidade é côncava para baixo ( $v'' lt 0$ ).
Ex. 66.38Compreensão
$f$ duas vezes diferenciável com $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1{,}5$ , $f''(2) = -0{,}25$ . $f$ é crescente ou decrescente perto de $x=2$ ? $f$ é côncava para cima ou para baixo? Estime $f(2{,}1)$ e $f'(2{,}1)$ .
Selecione a alternativa correta
$f(2{,}1) gt -3$ , pois $f'(2)=1{,}5 gt 0$ indica crescimento; $f'(2{,}1) lt 1{,}5$ , pois $f''(2)=-0{,}25 lt 0$ indica $f'$ decrescente. $f(2{,}1) lt -3$ e $f'(2{,}1) gt 1{,}5$ . $f(2{,}1) = -3$ e $f'(2{,}1) = 1{,}5$ . $f(2{,}1) gt -3$ e $f'(2{,}1) gt 1{,}5$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 10
Ver solução
Como $f'(2)=1{,}5 gt 0$ : $f$ crescente perto de $x=2$ — espera-se $f(2{,}1) gt f(2) = -3$ . Como $f''(2)=-0{,}25 lt 0$ : $f'$ decrescente perto de $x=2$ — espera-se $f'(2{,}1) lt f'(2) = 1{,}5$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $f'(2)=1{,}5 gt 0$ : $f$ crescente em $x=2$ . Portanto $f(2{,}1) approx f(2)+f'(2)(0{,}1) = -3+0{,}15 = -2{,}85 gt -3$ .
2. $f''(2)=-0{,}25 lt 0$ : $f'$ decrescente em $x=2$ . Portanto $f'(2{,}1) approx 1{,}5+(-0{,}25)(0{,}1) = 1{,}475 lt 1{,}5$ .
Ex. 66.39DesafioGabarito
Saltador de bungee: altura $h(t)$ em pés. Dados: $h(4)=55{,}5$ ; $h(4{,}5)=60{,}4$ ; $h(5)=69{,}8$ ; $h(5{,}5)=81{,}6$ ; $h(6)=93{,}7$ . Estime $h'(4{,}5)$ , $h'(5)$ e $h'(5{,}5)$ . Em qual desses instantes o saltador sobe mais rápido? Estime $h''(5)$ .
Selecione a alternativa correta
$h'(4{,}5) \approx 21{,}7$ ft/s; $h'(5) \approx 11{,}0$ ft/s; $h'(5{,}5) \approx 5{,}9$ ft/s. Mais rápido em $t=4{,}5$ . $h''(5) \approx -15{,}8$ ft/s². $h'(4{,}5) \approx 11{,}0$ ; $h'(5) \approx 21{,}7$ ; o pico é em $t=5$ . $h''(5) gt 0$ — velocidade aumentando em $t=5$ . $h'(5) = 0$ — velocidade zero em $t=5$ .
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 12
Ver solução
Usando diferenças centrais: $h'(4{,}5) \approx (h(5)-h(4))/(1) = (69{,}8-55{,}5)/1 = 14{,}3$ . Refinando com $h(5) - h(4)$ e $h(5{,}5)-h(4{,}5)$ : velocidade maior em $t=4{,}5$ . $h''(5) \approx (h'(5{,}5)-h'(4{,}5))/1$ — aceleração negativa (subindo desacelerando).
Ex. 66.40Desafio
Usando os dados de altura $h(t)$ do saltador de bungee (mesma tabela do exercício anterior): em quais intervalos aproximados $h(t)$ é côncava para baixo? O que isso diz sobre a velocidade do saltador nesses intervalos?
Selecione a alternativa correta
Côncava para baixo em $[0, 4]$ aproximadamente — velocidade ainda positiva mas decrescendo; $h'' lt 0$ nesse trecho.Côncava para cima em $[0, 4]$ ; velocidade crescente.Côncava para cima em todo o intervalo observado. $h$ é linear em $[0, 4]$ ; sem concavidade definida.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §1.6 · ex. 12
Ver solução
Nos dados de $h(t)$ do saltador: altitude cai de $t=0$ até $t\approx 4$ , com quedas cada vez menores por segmento — isso indica $h' lt 0$ e crescendo (menos negativo), portanto $h'' gt 0$ (côncava para cima) enquanto desacelera a queda. Após o mínimo, $h$ sobe.

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.6 The Second Derivative · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §4.5 Derivatives and the Shape of a Graph · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §3.4 Concavity and the Second Derivative Test · CC-BY-NC.