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Lição 70 — Consolidação Trim 7: máximos, L'Hôpital, Taylor, Newton

Workshop integrado de Cálculo Diferencial aplicado: otimização, esboço de gráficos, L'Hôpital, Taylor, concavidade, análise marginal, cinemática e Newton-Raphson. Todas as técnicas derivam da linearização local.

Usado em: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês cap. 6–7 · Equiv. Leistungskurs Differentialrechnung alemão

f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

A série de Taylor é a espinha dorsal do Trimestre 7: ela unifica otimização ( $f'(a)=0$ ), L'Hôpital (razão de aproximações lineares), esboço (sinal de $f''$ ), Newton-Raphson (iteração da tangente) e análise marginal (derivada como taxa de variação instantânea). Toda ferramenta deste trimestre é um caso especial desta fórmula.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Teoria unificada: linearização e suas aplicações

O conceito-mãe: aproximação de Taylor

"The Taylor polynomial of degree $n$ centered at $x=a$ is the unique polynomial of degree $n$ that agrees with $f$ in value and in all its first $n$ derivatives at $x=a$ ." — Active Calculus §8.4

Otimização: pontos críticos e teste de segunda derivada

"Finding the maximum and minimum values of a function also has practical significance because we can use this method to solve optimization problems, such as increasing profit, minimizing cost, and maximizing área." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.3

Concavidade e pontos de inflexão

L'Hôpital: razão de linearizações

"L'Hôpital's Rule applies whenever both $f(x) \to 0$ and $g(x) \to 0$ as $x \to a$ , or whenever $f(x) \to \pm\infty$ and $g(x) \to \pm\infty$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.8

Ideia via Taylor de ordem 1. Para $a = 0$ : $f(x) \approx f'(0) x$ e $g(x) \approx g'(0) x$ , logo $f(x)/g(x) \approx f'(0)/g'(0)$ . L'Hôpital formaliza exatamente essa ideia de razão de linearizações.

Newton-Raphson: iteração da tangente

Newton-Raphson: a tangente à curva no ponto x₀ cruza o eixo em x₁, convergindo para a raiz real.

Pipeline unificado de análise de função

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Otimização de caixa sem tampa (aplicação)

Problema: De uma folha de papelão de $24 \times 24$ cm, cortam-se quadrados de lado $x$ nos quatro cantos e dobram-se as abas para formar uma caixa sem tampa. Determine $x$ que maximiza o volume.

Estratégia: Expressar o volume em função de $x$ , encontrar o ponto crítico via $V'(x) = 0$ , confirmar máximo pelo teste da segunda derivada, e verificar que $x$ está no domínio físico $0 < x < 12$ .

Resolução:

Volume: $V(x) = x(24 - 2x)^2$ , domínio: $x \in (0, 12)$ .
Expandir: $V(x) = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$ .
Derivar: $V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x-4)(x-12)$ .
Pontos críticos em $(0,12)$ : $x = 4$ (o $x = 12$ está na borda, dá volume zero).
Teste: $V''(x) = 24x - 192$ ; $V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0 \Rightarrow$ máximo local.
Volume máximo: $V(4) = 4(24 - 8)^2 = 4 \cdot 256 = 1024\ \text{cm}^3$ .

Verificação: $V(0) = 0$ , $V(12) = 0$ , $V(4) = 1024 > 0$ . O máximo é interior ao domínio. Checagem: $V(4) = 4 \cdot 16^2 = 4 \cdot 256 = 1024$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.7, ex. 4.41 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 2· Limite indeterminado por L'Hôpital (aplicação)

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Estratégia: A forma é $0/0$ em $x = 0$ . Aplicar L'Hôpital uma vez e verificar se a nova forma ainda é $0/0$ ; se sim, aplicar novamente. Alternativamente, usar Maclaurin de $e^x$ para derivar o resultado mais rapidamente.

Resolução:

Verificar forma: $e^0 - 1 - 0 = 0$ e $0^2 = 0$ — indeterminação $0/0$ .
1.ª aplicação de L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$ Ainda $0/0$ (numerador $\to 0$ , denominador $\to 0$ ).
2.ª aplicação: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}.$
Verificação via Taylor: $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$ , logo $e^x - 1 - x = x^2/2 + O(x^3)$ . Então $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \to \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$ . Consistente.

Verificação: Para $x = 0{,}1$ : numerador $= e^{0{,}1} - 1{,}1 \approx 1{,}10517 - 1{,}1 = 0{,}00517$ ; denominador $= 0{,}01$ ; razão $\approx 0{,}517 \approx 1/2$ .

Fonte. Active Calculus §2.6, exercício sobre formas indeterminadas — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Expansão de Maclaurin e limite (intermediário)

Problema: Use a série de Maclaurin de $\sin x$ para calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + x^3/6}{x^5}$ .

Estratégia: Expandir $\sin x$ em Maclaurin até ordem 5, substituir no numerador e simplificar — a técnica de Taylor é mais elegante do que aplicar L'Hôpital cinco vezes.

Resolução:

Maclaurin de $\sin x$ : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots$
Numerador: $\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) - x + \frac{x^3}{6} = \frac{x^5}{120} + O(x^7).$
Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{x^5/120 + O(x^7)}{x^5} = \frac{1}{120}.$

Verificação: Para $x = 0{,}1$ : $\sin(0{,}1) \approx 0{,}099833417$ ; $\sin x - x + x^3/6 = 0{,}099833417 - 0{,}1 + 0{,}000166667 = 0{,}000000083$ ; $x^5 = 10^{-5}$ ; razão $\approx 0{,}0083 \approx 1/120 = 0{,}00833$ .

Fonte. Active Calculus §8.4 — licença CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Esboço completo de função racional (intermediário)

Problema: Esboce $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$ , identificando domínio, assíntotas, extremos e concavidade.

Estratégia: Seguir o pipeline de análise de função em 7 passos. A função é racional com zeros do denominador facilmente identificáveis.

Resolução:

Domínio: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$ . Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Interceptos/simetria: $f(0) = 0$ (intercepto). Zeros: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ . $f(-x) = f(x)$ : função par (simétrica em relação ao eixo $y$ ).
Assíntotas: verticais em $x = \pm 1$ ; horizontal: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1$ (assíntota $y = 1$ ).
$f'$ : $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}$ . Crítico: $x = 0$ . Sinais: $f' > 0$ para $x < 0$ ; $f' < 0$ para $x > 0$ — máximo local em $x = 0$ .
$f''$ : $f''(x) = \dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$ . Para $x \in (-1,1)$ : denominador $< 0$ , numerador $> 0$ , logo $f'' < 0$ (côncava). Para $|x| > 1$ : $f'' > 0$ (convexa). Sem pontos de inflexão no domínio (mudança de sinal de $f''$ ocorre nos pontos fora do domínio $x = \pm 1$ ).
Extremo: $f(0) = 0$ — máximo local (e absoluto) em $(-1,1)$ .

Verificação: $f(0) = 0 < 1 = \lim_{x\to\infty} f(x)$ faz sentido: no intervalo $(-1,1)$ a função varia de $0$ a $-\infty$ nas bordas e volta; máximo é $f(0)=0$ nesse intervalo.

Fonte. APEX Calculus §3.5, ex. 42 — licença CC-BY-NC.

Exemplo— 5· Newton-Raphson para equação transcendental (modelagem real)

Problema: Um investimento de R$ 10.000 cresce a uma taxa mensal $r$ a ser determinada. Após 12 meses, o montante é R$ 11.268. Resolva $f(r) = (1+r)^{12} - 1{,}1268 = 0$ pelo método de Newton-Raphson, com $x_0 = 0{,}01$ (1% ao mês).

Estratégia: $f'(r) = 12(1+r)^{11}$ . Iterar $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ até estabilizar.

Resolução:

Iteração 1: $f(0{,}01) = (1{,}01)^{12} - 1{,}1268 = 1{,}12683 - 1{,}1268 = 0{,}00003$ . $f'(0{,}01) = 12 \cdot (1{,}01)^{11} = 12 \cdot 1{,}11567 = 13{,}388$ . $x_1 = 0{,}01 - 0{,}00003/13{,}388 \approx 0{,}009998$ .

Após 2 iterações, $r^* \approx 1{,}00\%$ ao mês (taxa nominal anual $\approx 12{,}68\%$ a.a.).

Verificação: $(1{,}01)^{12} = 1{,}12683 \approx 1{,}1268$ . Consistente com o enunciado.

Fonte. APEX Calculus §6.1, aplicação de Newton-Raphson — licença CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 24Compreensão 10Modelagem 5Desafio 1

Fontes

Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Seções §2.6 (L'Hôpital), §3.1–3.4 (otimização), §8.4–8.5 (Taylor e séries).
APEX Calculus — Gregory Hartman et al. · Virginia Military Institute · 2024 · CC-BY-NC. Capítulos 3 (análise de funções), 4 (aplicações), 6 (Newton e aplicações), 8 (séries de Taylor).
Calculus Volume 1 — OpenStax (Strang, Herman et al.) · 2023 · CC-BY-NC-SA. Seções §4.3 (max-mín), §4.7 (otimização aplicada), §4.8 (L'Hôpital), §4.9 (Newton).