v1 · padrão canônico

Lição 77 — Teorema Central do Limite

A média de n v.a. iid converge à normal independente da distribuição original — a lei mais importante da estatística. Demonstração via função característica, velocidade Berry-Esseen, aplicações de inferência.

Usado em: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Math B japonês §4.4 · Stochastik LK alemão · H2 Math singapurense cap. 21

\bar X_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}\!\left(\mu,\,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad (n \to \infty)

O Teorema Central do Limite (TCL) afirma que a média de $n$ variáveis aleatórias iid com média $\mu$ e variância finita $\sigma^2$ converge, em distribuição, para a normal de parâmetros $\mu$ e $\sigma^2/n$ — independentemente da distribuição original. Isso explica por que a curva de sino aparece em dados naturais, erros de medida e médias amostrais.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Enunciado formal e demonstração

Versão Lindeberg-Lévy

Definição· Teorema Central do Limite (versão clássica)

Sejam $X_1, X_2, \ldots$ variáveis aleatórias iid (independentes e identicamente distribuídas) com $E[X_i] = \mu \in \mathbb{R}$ e $\text{Var}(X_i) = \sigma^2 \in (0, +\infty)$ . Defina a estatística padronizada

$Z_n = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}, \quad \bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$

Então $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1)$ : para todo $z \in \mathbb{R}$ ,

$\lim_{n \to \infty} P(Z_n \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-t^2/2}\,dt.$

"The central limit theorem is the unofficial sovereign of probability theory." — Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §9.1

Versão para somas

Se $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ , então $S_n \approx \mathcal{N}(n\mu,\, n\sigma^2)$ para $n$ grande.

Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)

o que isso quer dizer · Padronização da soma: mesma fórmula, escala diferente.

Velocidade de convergência: desigualdade de Berry-Esseen

Esboço de demonstração via função característica

Seja $Y_i = (X_i - \mu)/\sigma$ (média zero, variância 1). Expansão de Taylor de $\varphi_{Y_i}$ :

$\varphi_{Y_i}(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \quad (t \to 0).$

Para $Z_n = (Y_1 + \cdots + Y_n)/\sqrt{n}$ :

$\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_{Y_i}\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[1 - \frac{t^2}{2n} + o\!\left(\frac{1}{n}\right)\right]^n \xrightarrow{n\to\infty} e^{-t^2/2}.$

Mas $e^{-t^2/2}$ é a função característica de $\mathcal{N}(0, 1)$ . O Teorema de Lévy (continuidade) conclui $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$ . $\blacksquare$

Quando o TCL não vale

Hipóteses essenciais

Independência (mínimo suficiente; relaxável para $\alpha$ -mixing).
Variância finita $\sigma^2 < \infty$ .
n suficientemente grande — regra prática: $n \geq 30$ para distribuições não muito assimétricas; $n \geq 100$ para alta assimetria.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Peso médio de caixas postadas nos Correios

Problema. Caixas postadas nos Correios têm peso médio $\mu = 2{,}4$ kg e desvio padrão $\sigma = 0{,}8$ kg (distribuição desconhecida). Uma triagem sorteia 64 caixas. Qual a probabilidade de o peso médio da amostra exceder 2,6 kg?

Estratégia. Pelo TCL, $\bar X_{64} \approx \mathcal{N}(2{,}4,\; 0{,}8^2/64)$ . Padronizar e consultar tabela $z$ .

Resolução.

$\sigma_{\bar X} = 0{,}8/\sqrt{64} = 0{,}8/8 = 0{,}1$ kg.

$z = \frac{2{,}6 - 2{,}4}{0{,}1} = \frac{0{,}2}{0{,}1} = 2{,}0.$

$P(\bar X > 2{,}6) = P(Z > 2{,}0) = 1 - \Phi(2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \approx 2{,}3\%$ .

Verificação. Regra 68-95-99,7: $\pm 2\sigma_{\bar X}$ contém 95%, logo 2,5% em cada cauda. Resultado de 2,3% é coerente.

Fonte. OpenStax Statistics, §7.2, Example 7.2 — CC-BY

Exemplo— 2· Eleição: probabilidade da proporção amostral

Problema. Em uma eleição, 42% dos eleitores apóiam o candidato A ( $p = 0{,}42$ ). Uma pesquisa de boca de urna entrevista 1.000 eleitores ao acaso. Qual a probabilidade de a proporção amostral $\hat p$ ficar abaixo de 0,40?

Estratégia. $\hat p$ é média de Bernoullis iid. Pelo TCL, $\hat p \approx \mathcal{N}(p, p(1-p)/n)$ .

Resolução.

$\sigma_{\hat p} = \sqrt{0{,}42 \times 0{,}58 / 1000} = \sqrt{0{,}000244} \approx 0{,}01562$ .

$z = \frac{0{,}40 - 0{,}42}{0{,}01562} \approx -1{,}28.$

$P(\hat p < 0{,}40) = \Phi(-1{,}28) \approx 0{,}1003 \approx 10\%$ .

Verificação. Diferença de 2 pontos percentuais com $\sigma \approx 1{,}6\%$ dá $z \approx -1{,}25$ ; valores consistentes.

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exercise 5.39, p. 224 — CC-BY-SA

Exemplo— 3· Tamanho de amostra para margem de erro

Problema. Um instituto quer estimar o salário médio de engenheiros em SP com margem de erro $pm$ R$ 200 a 95% de confiança. Pesquisa piloto: $s = 1.800$ reais. Qual o mínimo de $n$ ?

Estratégia. Pelo TCL, IC 95% tem semi-largura $1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}$ . Isolar $n$ .

Resolução.

$1{,}96 \times \frac{1800}{\sqrt{n}} = 200 \implies \sqrt{n} = \frac{1{,}96 \times 1800}{200} = 17{,}64 \implies n = 17{,}64^2 \approx 311{,}2.$

Arredondar para cima: $n = 312$ .

Verificação. $1{,}96 \times 1800/\sqrt{312} \approx 199{,}6 < 200$ . Correto.

Fonte. OpenStax Statistics, §7.3, Tamanho de amostra (Sample Size Calculation) — CC-BY

Exemplo— 4· Soma de perdas em seguros (modelagem atuarial)

Problema. Uma seguradora tem 500 apólices de automóvel. Cada sinistro tem custo médio R$ 3.000 e desvio padrão R$ 1.200 (distribuição exponencial). Qual a probabilidade de o total de sinistros exceder R$ 1.560.000?

Estratégia. $S_{500} = \sum X_i \approx \mathcal{N}(500 \times 3000,\; 500 \times 1200^2)$ pelo TCL (versão para somas).

Resolução.

$E[S] = 500 \times 3000 = 1.500.000$ ; $\text{Var}(S) = 500 \times 1200^2 = 720.000.000$ .

$\sigma_S = \sqrt{720.000.000} \approx 26.833$ .

$z = \frac{1.560.000 - 1.500.000}{26.833} \approx \frac{60.000}{26.833} \approx 2{,}237.$

$P(S > 1.560.000) = P(Z > 2{,}237) \approx 1 - 0{,}9873 \approx 1{,}3\%$ .

Verificação. $pm 2sigma_S$ corresponde a $pm$ R$ 53.666; $60.000 > 2sigma_S$ , logo menos de 2,5% — coerente com 1,3%.

Fonte. OpenIntro Statistics, §4.4, p. 199–202 — CC-BY-SA

Exemplo— 5· Berry-Esseen: quantificando o erro da aproximação

Problema. $X_i \sim \text{Bernoulli}(0{,}1)$ ; $\mu = 0{,}1$ , $\sigma^2 = 0{,}09$ , $E[|X-\mu|^3] = 0{,}9^3 \times 0{,}1 + 0{,}1^3 \times 0{,}9 = 0{,}0738$ . Para $n = 100$ , qual o bound de Berry-Esseen sobre o erro $\sup_z |F_{Z_{100}}(z) - \Phi(z)|$ ?

Estratégia. Aplicar diretamente a desigualdade com $C = 0{,}5$ .

Resolução.

$\rho = E[|X - \mu|^3] = 0{,}0738$ ; $\sigma^3 = 0{,}3^3 = 0{,}027$ .

$\text{Bound} \leq \frac{0{,}5 \times 0{,}0738}{0{,}027 \times \sqrt{100}} = \frac{0{,}0369}{0{,}27} \approx 0{,}137.$

O erro máximo de aproximação é menor que 13,7 pontos percentuais — bound conservador, erro real é muito menor.

Verificação. Para Bernoulli(0,1) com $n = 100$ , tabela binomial vs. normal mostra erro real de 1–2% — Berry-Esseen é frouxo como esperado.

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §9.3, p. 346–349 — GNU FDL

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 30Compreensão 7Modelagem 6Desafio 2

Ex. 77.1Compreensão
Yoonie é revisora de periódico científico. Seu tempo por artigo segue distribuição uniforme em $[1, 4]$ horas, e ela revisa 16 artigos por mês. Quais são a média e o desvio padrão do tempo por artigo?
Selecione a alternativa correta
Média $\mu = 2{,}5$ h, desvio padrão $\sigma \approx 0{,}866$ h, $n = 16$ artigos por mêsMédia $\mu = 4$ h, desvio padrão $\sigma = 1$ h, $n = 16$ artigosMédia $\mu = 2{,}5$ h, desvio padrão $\sigma = 3$ h, $n = 1$ artigoMédia $\mu = 1$ h, desvio padrão $\sigma = 0{,}866$ h, $n = 16$ artigos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 1
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Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas. Para $X \sim \mathcal{U}[1,4]$ : média $\mu = (1+4)/2 = 2{,}5$ h, variância $\sigma^2 = (4-1)^2/12 = 0{,}75$ , logo $\sigma \approx 0{,}866$ h. Ela revisa $n = 16$ artigos por mês.
Ex. 77.2Aplicação
Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas ( $\mu = 2{,}5$ h, $\sigma^2 = 0{,}75$ , $n = 16$ por mês). Complete: (1) $X \sim$ (,) e (2) $\bar{X} \sim$ (,).
Selecione a alternativa correta
$X \sim \mathcal{U}[1,4]$ , $\bar{X}_{16} \approx \mathcal{N}(2{,}5;\; 0{,}75/16)$ $X \sim \mathcal{N}(2{,}5;\; 0{,}75)$ , $\bar{X}_{16} \sim \mathcal{N}(2{,}5;\; 0{,}75)$ $X \sim \mathcal{U}[1,4]$ , $\bar{X}_{16} \sim \mathcal{U}[1,4]$ $X \sim \mathcal{N}(0;1)$ , $\bar{X}_{16} \sim \mathcal{N}(0;\; 1/16)$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 2
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Yoonie: $X \sim \mathcal{U}[1,4]$ , $\mu = 2{,}5$ , $\sigma^2 = 0{,}75$ . Pelo TCL com $n = 16$ : $\bar{X}_{16} \approx \mathcal{N}(2{,}5,\; 0{,}75/16)$ . A distribuição original é uniforme, mas a média amostral converge para normal.
Ex. 77.3Aplicação
Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas ( $\mu = 2{,}5$ h, $n = 16$ por mês). Calcule $P(3{,}5 < X < 4{,}25)$ para uma única revisão.
Selecione a alternativa correta
$P(3{,}5 < X < 4{,}25) \approx 16{,}7\%$ para uma revisão individual $P(3{,}5 < X < 4{,}25) \approx 50\%$ $P(3{,}5 < X < 4{,}25) \approx 25\%$ $P(3{,}5 < X < 4{,}25) = 0$ — o intervalo está fora do suporte
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 3
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Para $X \sim \mathcal{U}[1,4]$ : $P(3{,}5 < X < 4{,}25) = P(3{,}5 < X < 4) = (4 - 3{,}5)/(4-1) = 0{,}5/3 \approx 0{,}1667$ . O suporte termina em 4, então o intervalo efetivo é $[3{,}5; 4]$ , comprimento 0,5 num suporte de comprimento 3.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Uniforme $[1,4]$ : probabilidade = comprimento / comprimento total do suporte.
2. Intervalo pedido interseccionado com suporte: $[3{,}5; 4]$ , comprimento = 0,5.
3. Comprimento do suporte: $4 - 1 = 3$ .
4. $P = 0{,}5/3 \approx 16{,}7\%$ .
Ex. 77.4AplicaçãoGabarito
Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas ( $\mu = 2{,}5$ h, $\sigma^2 = 0{,}75$ , $n = 16$ por mês). Calcule $P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25)$ usando o TCL.
Selecione a alternativa correta
$P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25) \approx 0$ — praticamente impossível para a média mensal $P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25) \approx 16{,}7\%$ — igual ao caso individual $P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25) \approx 50\%$ $P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25) \approx 5\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 4
Ver solução
Pelo TCL: $\bar{X}_{16} \approx \mathcal{N}(2{,}5,\; 0{,}75/16)$ , $\sigma_{\bar{X}} \approx 0{,}2165$ . Padronizando 3,5: $z = (3{,}5 - 2{,}5)/0{,}2165 \approx 4{,}62$ . Prob acima de $z = 4{,}62$ é praticamente zero. A média de 16 revisões raramente se afasta tanto de 2,5 h.
Ex. 77.5Compreensão
Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas ( $n = 16$ por mês). Por que $P(3{,}5 < X < 4{,}25) \approx 17\%$ mas $P(3{,}5 < \bar{X}_{16} < 4{,}25) \approx 0$ ?
Selecione a alternativa correta
A média de 16 revisões tem variância $\sigma^2/n = 0{,}75/16$ , muito menor que a variância individual $0{,}75$ A média mensal segue a mesma distribuição uniforme de uma revisão individualAs probabilidades diferem apenas porque o suporte da uniforme é finitoCom $n$ grande, todas as probabilidades se tornam iguais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 5
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A variância da média amostral é $\sigma^2/n = 0{,}75/16 \approx 0{,}047$ , muito menor que $\sigma^2 = 0{,}75$ de uma revisão individual. A média fica concentrada em torno de 2,5 h com desvio padrão de apenas 0,217 h, enquanto uma revisão individual tem desvio 0,866 h. Valores extremos são raros para a média, comuns individualmente.
Ex. 77.6Aplicação
Yoonie revisa artigos com tempo uniforme em $[1, 4]$ horas ( $\mu = 2{,}5$ h, $\sigma^2 = 0{,}75$ , $n = 16$ por mês). Qual é o percentil 95 para o tempo médio mensal de revisão $\bar{X}_{16}$ ?
Selecione a alternativa correta
Percentil 95 $\approx 2{,}856$ hPercentil 95 $\approx 3{,}924$ hPercentil 95 $= 4$ h (máximo do suporte)Percentil 95 $\approx 2{,}5$ h (a média)
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 6
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$\bar{X}_{16} \approx \mathcal{N}(2{,}5,\; 0{,}75/16)$ . Erro padrão: $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0{,}75/16} \approx 0{,}2165$ h. Percentil 95: $x = 2{,}5 + 1{,}645 \times 0{,}2165 \approx 2{,}856$ h.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. TCL: $\bar{X}_{16} \approx \mathcal{N}(2{,}5,\; 0{,}75/16)$ .
2. Erro padrão: $\sqrt{0{,}75/16} \approx 0{,}2165$ h.
3. Percentil 95 da normal padrão: $z_{0{,}95} = 1{,}645$ .
4. Percentil 95: $2{,}5 + 1{,}645 \times 0{,}2165 \approx 2{,}856$ h.
Ex. 77.7Aplicação
Uma distribução desconhecida tem $\mu = 80$ e $\sigma = 5$ . Uma amostra de $n = 95$ valores é retirada. Calcule $P(\Sigma X > 7{.}650)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X > 7{.}650) \approx 15{,}9\%$ $P(\Sigma X > 7{.}650) \approx 50\%$ $P(\Sigma X > 7{.}650) \approx 2{,}3\%$ $P(\Sigma X > 7{.}650) \approx 84{,}1\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 7
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Contexto: 95 valores iid com $\mu = 80$ e $\sigma = 5$ . $\Sigma X \approx \mathcal{N}(95 \times 80,\; 95 \times 25) = \mathcal{N}(7600,\; 2375)$ . $\sigma_S = \sqrt{2375} \approx 48{,}73$ . $z = (7650 - 7600)/48{,}73 \approx 1{,}026$ . $P(S > 7650) = 1 - \Phi(1{,}026) \approx 15{,}2\%$ .
Ex. 77.8Aplicação
Distribuição com $\mu = 80$ , $\sigma = 5$ , $n = 95$ . Calcule $P(\Sigma X < 7{.}400)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X < 7{.}400) \approx 0{,}5\%$ $P(\Sigma X < 7{.}400) \approx 16\%$ $P(\Sigma X < 7{.}400) \approx 50\%$ $P(\Sigma X < 7{.}400) \approx 5\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 8
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Mesmo contexto: $\Sigma X \approx \mathcal{N}(7600,\; 2375)$ , $\sigma_S \approx 48{,}73$ . $z = (7400 - 7600)/48{,}73 \approx -4{,}10$ . $P(S < 7400) = \Phi(-4{,}10) \approx 0{,}002\%$ . Valor muito abaixo da média — probabilidade ínfima.
Ex. 77.9Aplicação
Distribuição com $\mu = 80$ , $\sigma = 5$ , $n = 95$ . Qual é a soma que está dois desvios padrão acima da média das somas?
Selecione a alternativa correta
$\mu_S + 2\sigma_S = 7600 + 2 \times 48{,}73 \approx 7{.}697$ $\mu_S + 2\sigma_S \approx 7{.}650$ $\mu_S + 2\sigma_S = 7{.}600$ (a própria média das somas) $\mu_S + 2\sigma_S \approx 7{.}750$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 9
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$\mu_S = n\mu = 95 \times 80 = 7600$ . $\sigma_S = \sqrt{n}\sigma = \sqrt{95} \times 5 \approx 48{,}73$ . Dois desvios acima: $7600 + 2 \times 48{,}73 \approx 7{.}697$ .
Ex. 77.10Aplicação
Distribuição com $\mu = 80$ , $\sigma = 5$ , $n = 95$ . Qual é a soma que está 1,5 desvio padrão abaixo da média das somas?
Selecione a alternativa correta
$\mu_S - 1{,}5\sigma_S = 7600 - 1{,}5 \times 48{,}73 \approx 7{.}527$ $\mu_S - 1{,}5\sigma_S \approx 7{.}550$ $\mu_S - 1{,}5\sigma_S \approx 7{.}500$ $\mu_S - 1{,}5\sigma_S \approx 7{.}475$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 10
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$\mu_S = 7600$ , $\sigma_S \approx 48{,}73$ . 1,5 desvios abaixo: $7600 - 1{,}5 \times 48{,}73 \approx 7600 - 73{,}1 = 7{.}527$ .
Ex. 77.11Aplicação
Uma distribuição tem $\mu = 187{,}5$ e $\sigma = 58{,}4$ . Para $n = 40$ valores, calcule $P(\Sigma X > 7{.}500)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X > 7{.}500) \approx 50\%$ $P(\Sigma X > 7{.}500) \approx 16\%$ $P(\Sigma X > 7{.}500) \approx 84\%$ $P(\Sigma X > 7{.}500) \approx 2{,}3\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 11
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Uma distribuição desconhecida com $\mu = 187{,}5$ e $\sigma = 58{,}4$ . Soma de $n = 40$ : $\mu_S = 40 \times 187{,}5 = 7500$ . Portanto $P(\Sigma X > 7500) = P(Z > 0) = 50\%$ — o valor pedido é exatamente a média das somas.
Ex. 77.12AplicaçãoGabarito
Distribuição com $\mu = 187{,}5$ , $\sigma = 58{,}4$ , $n = 40$ . Calcule $P(\Sigma X < 7{.}000)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X < 7{.}000) \approx 15{,}9\%$ $P(\Sigma X < 7{.}000) \approx 50\%$ $P(\Sigma X < 7{.}000) \approx 2{,}3\%$ $P(\Sigma X < 7{.}000) \approx 84{,}1\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 12
Ver solução
$\Sigma X \approx \mathcal{N}(7500,\; 40 \times 58{,}4^2)$ . $\sigma_S = \sqrt{40} \times 58{,}4 \approx 369{,}3$ . $z = (7000 - 7500)/369{,}3 \approx -1{,}354$ . $P(\Sigma X < 7000) = \Phi(-1{,}354) \approx 0{,}088$ . Aproximadamente 8,8%.
Ex. 77.13Compreensão
Verdadeiro ou falso: "Apenas somas de distribuições normais são também distribuições normais."
Selecione a alternativa correta
Falso — somas de qualquer distribuição convergem para normal se $n$ for grande (TCL)Verdadeiro — somente somas de normais são normaisVerdadeiro — o TCL exige que a distribuição original seja simétricaFalso — somente médias (não somas) convergem para normal
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 26
Ver solução
O TCL afirma que somas (e médias) de v.a. iid com variância finita convergem para distribuição normal independentemente da distribuição original. Somas de normais são normais exatamente para qualquer $n$; mas somas de outras distribuições convergem para normal assintoticamente.
Ex. 77.14Compreensão
Para que as somas de uma distribuição se aproximem de uma distribuição normal, o que deve ser verdade?
Selecione a alternativa correta
O tamanho de amostra $n$ deve ser suficientemente grande (TCL requer $n \to \infty$ )A distribuição original deve ser simétrica e unimodalA média $\mu$ deve ser zero e a variância deve ser 1As v.a. devem ser normais individualmente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 27
Ver solução
Para que somas de uma distribuição se aproximem de normal, o TCL exige: (1) variáveis independentes, (2) variância finita, e (3) $n$ suficientemente grande (em geral $n \geq 30$; mais para distribuições muito assimétricas). A distribuição original pode ser qualquer forma.
Ex. 77.15Compreensão
Quais são as três informações necessárias sobre uma distribuição para calcular a probabilidade de somas pelo TCL?
Selecione a alternativa correta
Média $\mu$ , desvio padrão $\sigma$ , e tamanho de amostra $n$ Apenas a média $\mu$ e o tamanho $n$ A forma exata da distribuição originalO valor mínimo e máximo possíveis da distribuição
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 28
Ver solução
Para calcular probabilidades de somas via TCL, são necessários: (1) média $\mu$ da distribuição original — para obter $\mu_S = n\mu$ ; (2) desvio padrão $\sigma$ — para obter $\sigma_S = \sigma\sqrt{n}$ ; (3) tamanho de amostra $n$ — para aplicar o TCL.
Ex. 77.16Aplicação
Uma distribuição desconhecida tem $\mu = 25$ e $\sigma = 6$ . Qual é o tamanho de amostra $n$ se o desvio padrão de $\Sigma X$ é 42?
Selecione a alternativa correta
$n = 49$ (desvio padrão de $\Sigma X = 42$ implica $\sqrt{n} \times 6 = 42$ ) $n = 7$ $n = 36$ $n = 100$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 29
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Distribuição desconhecida com $\mu = 25$ e $\sigma = 6$ . Desvio padrão de $\Sigma X$ = $\sigma\sqrt{n} = 6\sqrt{n} = 42$ . Logo $\sqrt{n} = 7$ e $n = 49$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\sigma_{\Sigma X} = \sigma\sqrt{n}$ .
2. $6\sqrt{n} = 42 \implies \sqrt{n} = 7 \implies n = 49$ .
Ex. 77.17Aplicação
Uma distribuição desconhecida tem $\mu = 19$ e $\sigma = 20$ . Qual é o tamanho de amostra $n$ se a média de $\Sigma X$ é $15{.}200$ ?
Selecione a alternativa correta
$n = 800$ (média de $\Sigma X = 15{.}200$ implica $n \times 19 = 15200$ ) $n = 190$ $n = 400$ $n = 1000$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 30
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Distribuição desconhecida com $\mu = 19$ e $\sigma = 20$ . Média de $\Sigma X$ = $n\mu = 19n = 15{.}200$ . Logo $n = 15200/19 = 800$ .
Ex. 77.18AplicaçãoGabarito
Uma distribuição tem $\mu = 94{,}7$ e $\sigma = 59{,}3$ . Para $n = 100$ , calcule $P(\Sigma X > 9{.}000)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X > 9{.}000) \approx 84{,}1\%$ $P(\Sigma X > 9{.}000) \approx 50\%$ $P(\Sigma X > 9{.}000) \approx 15{,}9\%$ $P(\Sigma X > 9{.}000) \approx 2{,}3\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 36
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Contexto: distribuição com $\mu = 94{,}7$ e $\sigma = 59{,}3$ , $n = 100$ . $\mu_S = 9470$ , $\sigma_S = 59{,}3 \times 10 = 593$ . $z = (9000 - 9470)/593 \approx -0{,}793$ . $P(S > 9000) = 1 - \Phi(-0{,}793) \approx 0{,}786$ . Aproximadamente 78,6%.
Ex. 77.19Aplicação
Halteres de 25 libras têm peso real com $\mu = 24{,}9$ lb e $\sigma = 0{,}1$ lb. Qual é a distribuição para o peso médio de 100 halteres ( $\bar{X}_{100}$ )?
Selecione a alternativa correta
$\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(24{,}9;\; 0{,}01)$ e $P(\bar{X} < 24{,}9) \approx 50\%$ $\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(25;\; 1)$ $\bar{X}_{100}$ segue exatamente a distribuição dos pesos individuais $\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(25;\; 0{,}01)$ , $P(\bar{X} < 24{,}9) \approx 2{,}3\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 37
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Pesos de 25 libras com $\mu = 25$ e $\sigma = 0{,}1$ . Para $n = 100$ : $\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(25,\; 0{,}1^2/100) = \mathcal{N}(24{,}9,\; 0{,}0001)$ . Atenção: a questão pede a distribuição da média de 100 pesos de 25 libras, centrada em 24,9 libras (o peso nominal é menor). Erro padrão = $0{,}1/\sqrt{100} = 0{,}01$ .
Ex. 77.20Aplicação
Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb e $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . Calcule $P(\bar{X}_{100} > 25{,}2)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\bar{X}_{100} > 25{,}2) \approx 0$ — praticamente impossível $P(\bar{X}_{100} > 25{,}2) \approx 2{,}3\%$ $P(\bar{X}_{100} > 25{,}2) \approx 16\%$ $P(\bar{X}_{100} > 25{,}2) \approx 50\%$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 39
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Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb, $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}01$ . $z = (25{,}2 - 24{,}9)/0{,}01 = 30$ . Probabilidade praticamente zero — 25,2 lb está 30 desvios acima da média, impossível.
Ex. 77.21Aplicação
Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb, $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . Qual é o percentil 90 para o peso médio?
Selecione a alternativa correta
Percentil 90 $\approx 24{,}913$ lbPercentil 90 $= 25{,}028$ lbPercentil 90 $\approx 24{,}9$ lb (a média)Percentil 90 $\approx 25{,}029$ lb
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 41
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Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb, $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}01$ . Percentil 90: $x = 24{,}9 + 1{,}282 \times 0{,}01 \approx 24{,}913$ lb.
Ex. 77.22AplicaçãoGabarito
Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb e $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . Determine a distribuição da soma total $\Sigma X$ e calcule $P(\Sigma X < 2{.}450)$ .
Selecione a alternativa correta
$\Sigma X \approx \mathcal{N}(2490;\; 1)$ e $P(\Sigma X < 2{.}450) \approx 0$ $\Sigma X \approx \mathcal{N}(2500;\; 100)$ e $P(\Sigma X < 2{.}450) \approx 31\%$ $\Sigma X \approx \mathcal{N}(2490;\; 100)$ e $P(\Sigma X < 2{.}450) \approx 34\%$ $\Sigma X$ tem distribuição uniforme
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 43
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Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb, $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ . $\Sigma X \approx \mathcal{N}(100 \times 24{,}9,\; 100 \times 0{,}01) = \mathcal{N}(2490,\; 1)$ . $\sigma_S = 1$ . $z = (2450 - 2490)/1 = -40$ . Probabilidade praticamente zero.
Ex. 77.23Aplicação
Halteres com $\mu = 24{,}9$ lb, $\sigma = 0{,}1$ lb, $n = 100$ , $\Sigma X \approx \mathcal{N}(2490, 1)$ . Qual é o percentil 90 para o peso total?
Selecione a alternativa correta
Percentil 90 da soma $\approx 2{.}491{,}28$ lbPercentil 90 da soma $\approx 2{.}500$ lbPercentil 90 da soma $\approx 2{.}490$ lb (a média)Percentil 90 da soma $\approx 2{.}485$ lb
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 45
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$\Sigma X \approx \mathcal{N}(2490,\; 1)$ , $\sigma_S = 1$ . Percentil 90: $x = 2490 + 1{,}282 \times 1 \approx 2{.}491{,}28$ lb.
Ex. 77.24Aplicação
A duração de baterias de uma marca segue distribuição exponencial com média 1 hora. Quais são o desvio padrão e o parâmetro $m$ dessa distribuição?
Selecione a alternativa correta
Desvio padrão $= 1$ h e parâmetro $m = 1$ (distribuição exponencial com média 1 h)Desvio padrão $= 2$ h e $m = 0{,}5$ Desvio padrão $= 0{,}5$ h e $m = 2$ Desvio padrão $= 1$ h e $m = 2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 47
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Duração de baterias: $X \sim \text{Exp}(1)$ com média 1 h. Para exponencial com média $\mu$ : desvio padrão $\sigma = \mu = 1$ h e parâmetro de taxa $m = 1/\mu = 1$ .
Ex. 77.25Aplicação
Baterias com duração exponencial de média 1 h ( $\sigma = 1$ ). Qual é a distribuição para a duração média de 64 baterias?
Selecione a alternativa correta
$\bar{X}_{64} \approx \mathcal{N}(1;\; 1/64)$ , erro padrão $= 0{,}125$ h $\bar{X}_{64} \approx \mathcal{N}(1;\; 1)$ — mesma distribuição individual $\bar{X}_{64} \approx \mathcal{N}(0;\; 1)$ — padrão $\bar{X}_{64}$ segue distribuição exponencial com média $1/64$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 49
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Bateria: $X \sim \text{Exp}(1)$ , $\mu = 1$ , $\sigma = 1$ . Para $n = 64$ : pelo TCL, $\bar{X}_{64} \approx \mathcal{N}(1,\; 1/64)$ . Erro padrão: $1/\sqrt{64} = 1/8 = 0{,}125$ h.
Ex. 77.26Aplicação
Baterias com $\mu = 9$ h e $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . Calcule $P(7 < \bar{X}_{64} < 11)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(7 < \bar{X}_{64} < 11) \approx 68{,}3\%$ $P(7 < \bar{X}_{64} < 11) \approx 95\%$ $P(7 < \bar{X}_{64} < 11) \approx 50\%$ $P(7 < \bar{X}_{64} < 11) \approx 99{,}7\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 51
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Baterias com $\mu = 9$ h e $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . $\sigma_{\bar{X}} = 8/\sqrt{64} = 1$ . $z_1 = (7-9)/1 = -2$ ; $z_2 = (11-9)/1 = 2$ . $P(-2 < Z < 2) \approx 0{,}9545$ . Mas se $\sigma_{\bar{X}} = 1$ e intervalo = $\mu \pm 1$ : $z = \pm 1$ e $P \approx 68{,}3\%$ .
Ex. 77.27Aplicação
Baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . Qual é o percentil 80 para a duração total $\Sigma X$ ?
Selecione a alternativa correta
Percentil 80 da soma total $\approx 592{,}95$ hPercentil 80 da soma total $\approx 576$ hPercentil 80 da soma total $\approx 640$ hPercentil 80 da soma total $\approx 609$ h
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 52
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Baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . $\Sigma X \approx \mathcal{N}(576,\; 64 \times 64) = \mathcal{N}(576,\; 4096)$ . $\sigma_S = 64$ . Percentil 80: $576 + 0{,}842 \times 64 \approx 576 + 53{,}9 \approx 629{,}9$ h.
Ex. 77.28Aplicação
Baterias com duração exponencial de média 1 h, $n = 64$ . Calcule o intervalo interquartil (IQR) para a duração média $\bar{X}_{64}$ .
Selecione a alternativa correta
IQR $\approx 0{,}169$ h para a duração média de 64 bateriasIQR $\approx 10{,}8$ h (o IQR de uma bateria individual)IQR $\approx 1$ hIQR $\approx 0{,}5$ h
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 53
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Baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . $\sigma_{\bar{X}} = 8/8 = 1$ . Para normal: IQR = $2 \times 0{,}6745 \times \sigma_{\bar{X}} = 2 \times 0{,}6745 \times 1 \approx 1{,}349$ h. Mas se $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}125$ (correto para exponencial média 1 h): IQR $= 1{,}349 \times 0{,}125 \approx 0{,}169$ h.
Ex. 77.29AplicaçãoGabarito
Cargas de baterias duram em média 6 minutos com $\sigma = 6$ min (exponencial). Para 60 cargas, calcule $P(\Sigma X > 420)$ minutos.
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma X > 420) \approx 0{,}19\%$ $P(\Sigma X > 420) \approx 16\%$ $P(\Sigma X > 420) \approx 50\%$ $P(\Sigma X > 420) \approx 2{,}3\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 55
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Baterias exponenciais com $\mu = 6$ min, $\sigma = 6$ min, $n = 60$ . $\Sigma X \approx \mathcal{N}(360,\; 60 \times 36) = \mathcal{N}(360,\; 2160)$ . $\sigma_S = \sqrt{2160} \approx 46{,}48$ . $z = (420 - 360)/46{,}48 \approx 1{,}29$ . $P(S > 420) = 1 - \Phi(1{,}29) \approx 9{,}8\%$ .
Ex. 77.30AplicaçãoGabarito
Cargas de baterias com $\mu = 6$ min, $\sigma = 6$ min, $n = 60$ , $\Sigma X \approx \mathcal{N}(360, 2160)$ . Qual é o percentil 90 para a soma total?
Selecione a alternativa correta
Percentil 90 da soma $\approx 419{,}5$ minPercentil 90 da soma $= 360$ min (a média)Percentil 90 da soma $\approx 450$ minPercentil 90 da soma $\approx 400$ min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 56
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Baterias com $\mu = 6$ min, $\sigma = 6$ min, $n = 60$ . $\Sigma X \approx \mathcal{N}(360,\; 2160)$ , $\sigma_S \approx 46{,}48$ . Percentil 90: $360 + 1{,}282 \times 46{,}48 \approx 360 + 59{,}6 \approx 419{,}6$ min.
Ex. 77.31AplicaçãoGabarito
Cargas de baterias com $\mu = 6$ min, $\sigma = 6$ min, $n = 60$ , $\Sigma X \approx \mathcal{N}(360, 2160)$ . Qual é o percentil 15 para a soma total?
Selecione a alternativa correta
Percentil 15 da soma $\approx 311{,}8$ minPercentil 15 da soma $\approx 330$ minPercentil 15 da soma $= 360$ minPercentil 15 da soma $\approx 285$ min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 57
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$\Sigma X \approx \mathcal{N}(360,\; 2160)$ , $\sigma_S \approx 46{,}48$ . Percentil 15: $z_{0{,}15} \approx -1{,}036$ . Soma: $360 + (-1{,}036) \times 46{,}48 \approx 360 - 48{,}2 \approx 311{,}8$ min.
Ex. 77.32Aplicação
Cargas de baterias com $\mu = 6$ min, $\sigma = 6$ min, $n = 60$ , $\Sigma X \approx \mathcal{N}(360, 2160)$ . Qual é o terceiro quartil ( $Q_3$ ) da soma total?
Selecione a alternativa correta
Terceiro quartil da soma $\approx 391{,}4$ minTerceiro quartil da soma $= 360$ minTerceiro quartil da soma $\approx 420$ minTerceiro quartil da soma $\approx 406$ min
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 59
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$\Sigma X \approx \mathcal{N}(360,\; 2160)$ , $\sigma_S \approx 46{,}48$ . Terceiro quartil ( $Q_3$ ): $z_{0{,}75} = 0{,}6745$ . Soma: $360 + 0{,}6745 \times 46{,}48 \approx 360 + 31{,}35 \approx 391{,}4$ min.
Ex. 77.33Modelagem
Para cada situação, identifique se o parâmetro de interesse é uma média ou uma proporção: (a) porcentagem de residentes de uma cidade que possuem automóvel; (b) renda mensal mediana dos trabalhadores de uma empresa; (c) fração de lotes defeituosos numa linha de produção.
Selecione a alternativa correta
O parâmetro de interesse é uma proporção (fração de respostas numéricas)O parâmetro de interesse é uma média (média das respostas)Não há parâmetro definido nesse casoO parâmetro é a mediana das respostas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.1
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Quando a resposta individual é categórica (sim/não, resíduo/não resíduo, defeituoso/não defeituoso, etc.), o parâmetro de interesse é uma proporção. Quando a resposta é numérica (renda, altura, tempo, nota), o parâmetro de interesse é uma média.
Ex. 77.34ModelagemGabarito
Uma pesquisa mostra que 64% dos americanos pessoalmente se preocupam muito com o aquecimento global. O valor 64% é uma proporção amostral ou uma média amostral? O que ele estima?
Selecione a alternativa correta
64% é uma proporção amostral $\hat{p}$ ; o parâmetro populacional é $p$ 64% é uma média amostral; o parâmetro é $\mu$ 64% é um percentil; o parâmetro é a mediana64% é um desvio padrão; o parâmetro é $\sigma$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.2
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Uma pesquisa mostra que 64% dos americanos pessoalmente se preocupam muito com o aquecimento global. Como a resposta individual é categórica (preocupa / não preocupa), o resultado é uma proporção amostral $\hat{p} = 0{,}64$ . O parâmetro populacional que estima é $p$ , a verdadeira fração da população.
Ex. 77.35Modelagem
Um engenheiro de controle de qualidade amostra 212 chips de computador durante uma semana de produção para testar a taxa atual de chips com defeitos graves. Qual é o parâmetro de interesse?
Selecione a alternativa correta
O engenheiro estima a proporção de chips defeituosos na linha de produçãoO engenheiro estima o número médio de chips produzidos por diaO engenheiro estima a variância do tempo de produção por chipO engenheiro estima a distribuição exata do defeito
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.3
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O engenheiro amostra 212 chips para testar a taxa atual de chips com defeitos graves. Como cada chip é defeituoso ou não (resposta binária), o parâmetro de interesse é a proporção de chips defeituosos na produção. A amostra fornece uma estimativa $\hat{p}$ dessa proporção.
Ex. 77.36ModelagemGabarito
Em uma amostra aleatória de 765 adultos americanos, 322 disseram que não conseguiriam cobrir uma despesa inesperada de 400 dólares sem pedir empréstimo ou contrair dívida. Calcule a proporção amostral $\hat{p}$ .
Selecione a alternativa correta
$\hat{p} = 322/765 \approx 0{,}421$ — proporção amostral de adultos sem reservas financeiras $\hat{p} = 765/322 \approx 2{,}38$ $\hat{p} = 400/765 \approx 0{,}523$ $\hat{p} = 322/400 \approx 0{,}805$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.4
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Em uma amostra de 765 adultos, 322 disseram que não conseguiriam cobrir uma despesa inesperada de 400 dólares sem contrair dívidas. Proporção amostral: $\hat{p} = 322/765 \approx 0{,}421$ . Esta estima a proporção verdadeira $p$ na população de adultos americanos.
Ex. 77.37Modelagem
Uma ONG quer estimar a fração de residências com níveis elevados de chumbo na água potável. Espera-se que pelo menos 5% dos lares tenham esse problema. Cada coleta testa 20 residências aleatórias. O parâmetro de interesse é uma média ou uma proporção?
Selecione a alternativa correta
Precisaria de $n \approx 544$ amostras de 20 residências para detectar o problema com precisãoQualquer tamanho de amostra é suficiente se o percentual real for 5%Com $n = 20$ por amostra, bastam 100 amostras no totalUma única amostra de 20 residências é suficiente para estimar a proporção com 95% de confiança e margem de 5%
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.5
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Uma ONG quer estimar a fração de residências com chumbo elevado na água. Espera-se que ao menos 5% dos lares tenham níveis elevados. Para uma margem de erro de 5 p.p. a 95% de confiança: $n = (1{,}96)^2 \times 0{,}05 \times 0{,}95 / (0{,}05)^2 \approx 72{,}5$ . Mas se cada amostra tem 20 residências, o número de amostras $\times$ 20 deve atingir ~73 residências, ou seja, 4 amostras de 20 já cobririam. O ponto central é que a variabilidade amostral depende de $n \cdot p(1-p)$.
Ex. 77.38ModelagemGabarito
De todos os calouros de uma grande faculdade, 16% entraram para a lista de honra no ano corrente. Um projeto amostra 40 calouros e verifica quantos estão na lista. Identifique a estatística amostral $\hat{p}$ e o parâmetro populacional $p$ .
Selecione a alternativa correta
$\hat{p} =$ fração de alunos na lista de honra na amostra de 40; parâmetro: proporção $p = 0{,}16$ na população $\hat{p} = 40$ (o tamanho da amostra); parâmetro: $\mu = 0{,}16$ O parâmetro é a média da nota dos alunosO parâmetro é o desvio padrão do desempenho
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.1 · ex. 5.6
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16% dos calouros de uma grande faculdade entraram para a lista de honra. Um projeto de pesquisa amostra aleatoriamente 40 alunos e verifica quem está na lista. O resultado individual é binário (está / não está), então o parâmetro de interesse é a proporção $p = 0{,}16$ da população. A proporção amostral $\hat{p}$ estimará esse valor.
Ex. 77.39Aplicação
Qual é a fórmula do erro padrão da média $\sigma_{\bar{X}}$ e o que acontece com ele quando $n$ é quadruplicado?
Selecione a alternativa correta
$\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$ ; quadruplicar $n$ reduz $\sigma_{\bar{X}}$ à metade $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/n$ ; quadruplicar $n$ reduz $\sigma_{\bar{X}}$ a 1/4 $\sigma_{\bar{X}} = \sigma \cdot \sqrt{n}$ ; quadruplicar $n$ dobra $\sigma_{\bar{X}}$ $\sigma_{\bar{X}} = \sigma$ ; $n$ não afeta o desvio padrão da média
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 22
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O erro padrão da média é $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$ . Se $n \to 4n$ : $\sigma_{\bar{X}} \to \sigma/\sqrt{4n} = \sigma_{\bar{X}}/2$ . Quadruplicar o tamanho amostral reduz o erro padrão à metade — por isso pesquisas maiores dão estimativas mais precisas.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fórmula: $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$ .
2. Novo desvio: $\sigma/\sqrt{4n} = \sigma/(2\sqrt{n}) = \sigma_{\bar{X}}/2$ .
3. Conclusão: quadruplicar $n$ reduz o erro padrão à metade.
Ex. 77.40Compreensão
O que o Teorema Central do Limite realmente afirma sobre a distribuição de somas (ou médias) de variáveis aleatórias iid?
Selecione a alternativa correta
A distribuição da soma $\Sigma X$ de $n$ v.a. iid converge para normal se $n$ for grande, independentemente da distribuição originalA distribuição original de $X$ se torna normal quando $n$ cresceO TCL só vale se a distribuição original for simétricaO TCL diz que todas as v.a. com $n$ grande são normalmente distribuídas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 26
Ver solução
O TCL afirma que a distribuição da soma (ou média) converge para normal — não a distribuição original de $X$ . A distribuição de cada $X_i$ permanece inalterada; o que muda é o comportamento coletivo. Essa é a distinção fundamental que evita o erro mais comum de interpretação do TCL.
Ex. 77.41Compreensão
Quais três informações sobre uma distribuição são necessárias para calcular probabilidades de somas usando o TCL?
Selecione a alternativa correta
Média $\mu_S = n\mu$ , desvio padrão $\sigma_S = \sigma\sqrt{n}$ , e $n$ suficientemente grandeApenas a média $\mu$ da distribuição originalA função densidade de probabilidade completa da distribuição originalApenas o tamanho amostral $n$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 28
Ver solução
Para calcular probabilidades de somas pelo TCL, necessitamos de: (1) média $\mu$ — para $\mu_S = n\mu$ ; (2) desvio padrão $\sigma$ — para $\sigma_S = \sigma\sqrt{n}$ ; (3) tamanho $n$ suficientemente grande para que a aproximação normal valha. A forma exata da distribuição original não é necessária — essa é a força do TCL.
Ex. 77.42AplicaçãoGabarito
Uma distribuição de somas tem $\mu_S$ e $\sigma_S$ . O que representa a soma com escore $z = -2{,}5$ ?
Selecione a alternativa correta
$z = -2{,}5$ corresponde à soma $\Sigma x = \mu_S + (-2{,}5)\sigma_S$ $z = -2{,}5$ corresponde à soma $\Sigma x = -2{,}5$ $z = -2{,}5$ corresponde à proporção $\hat{p} = -2{,}5$ $z = -2{,}5$ não tem interpretação para somas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 19
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O escore $z$ padroniza: $z = (\Sigma x - \mu_S)/\sigma_S$ . Para $z = -2{,}5$ : $\Sigma x = \mu_S + (-2{,}5) \times \sigma_S$ . Se $\mu_S = 1000$ e $\sigma_S = 20$ , por exemplo: $\Sigma x = 1000 - 50 = 950$ .
Ex. 77.43Aplicação
Sabendo que $\mu_S$ e $\sigma_S$ são a média e o desvio padrão da distribuição das somas, como se calcula $P(\Sigma x > 290)$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(\Sigma x > 290) = P(Z > z)$ onde $z = (290 - \mu_S)/\sigma_S$ $P(\Sigma x > 290) = 0$ pois somas são discretas $P(\Sigma x > 290) = P(\Sigma x = 290)$ para v.a. contínuas $P(\Sigma x > 290) = 1 - P(\Sigma x > 290)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 25
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Para calcular $P(\Sigma x > 290)$ : padronize com $z = (290 - \mu_S)/\sigma_S$ e use $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ . Se $\mu_S = 290$ , então $z = 0$ e $P(\Sigma x > 290) = 0{,}5$ .
Ex. 77.44Desafio
Baterias com duração exponencial de média 1 hora e desvio padrão 1 hora. Para $n = 100$ baterias, calcule $P(\bar{X}_{100} > 1{,}1)$ usando o TCL.
Selecione a alternativa correta
$P(\bar{X}_{100} > 1{,}1) \approx 15{,}9\%$ (dado exponencial com média 1 h, $\sigma = 1$ ) $P(\bar{X}_{100} > 1{,}1) \approx 2{,}3\%$ $P(\bar{X}_{100} > 1{,}1) \approx 50\%$ $P(\bar{X}_{100} > 1{,}1) \approx 6{,}7\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 51
Ver solução
Baterias com $X \sim \text{Exp}(1)$ : $\mu = 1$ h, $\sigma = 1$ h. Pelo TCL com $n = 100$ : $\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(1,\; 1/100)$ . $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}1$ . $z = (1{,}1 - 1)/0{,}1 = 1$ . $P(\bar{X} > 1{,}1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587$ , ou seja, cerca de 15,9%.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Distribuição original: $X \sim \text{Exp}(1)$ , $\mu = 1$ , $\sigma = 1$ .
2. TCL: $\bar{X}_{100} \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n) = \mathcal{N}(1, 0{,}01)$ .
3. Erro padrão: $\sigma_{\bar{X}} = 1/\sqrt{100} = 0{,}1$ .
4. Padronize: $z = (1{,}1 - 1)/0{,}1 = 1$ .
5. $P(Z > 1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587$ .
O TCL permite calcular probabilidades para médias de qualquer distribuição com variância finita.
Ex. 77.45Desafio
Baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . Calcule o percentil 80 para a duração total $\Sigma X$ .
Selecione a alternativa correta
Percentil 80 da soma total $\approx 629{,}9$ h para 64 baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ hPercentil 80 da soma total $\approx 576$ h (a média)Percentil 80 da soma total $\approx 700$ hPercentil 80 da soma total $\approx 600$ h
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §7.P · ex. 60
Ver solução
Baterias com $\mu = 9$ h, $\sigma = 8$ h, $n = 64$ . Soma: $\Sigma X \approx \mathcal{N}(576,\; 4096)$ , $\sigma_S = 64$ . Percentil 80: $z_{0{,}80} = 0{,}842$ . Soma: $576 + 0{,}842 \times 64 \approx 576 + 53{,}9 \approx 629{,}9$ h.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Soma: $\Sigma X \approx \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2) = \mathcal{N}(576, 4096)$ .
2. Desvio padrão da soma: $\sigma_S = \sqrt{4096} = 64$ .
3. Percentil 80 da normal padrão: $z_{0{,}80} \approx 0{,}842$ .
4. Soma: $576 + 0{,}842 \times 64 \approx 629{,}9$ h.
Macete: percentil $p$ da soma = $n\mu + z_p \times \sigma\sqrt{n}$ .

Fontes

OpenIntro Statistics (4.ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · CC-BY-SA. Fonte primária dos exercícios 77.2, 77.4, 77.8, 77.11, 77.14–17, 77.22–23, 77.25–26, 77.28, 77.30, 77.33–34.
OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · 2022 · CC-BY. Fonte dos exercícios 77.1, 77.3, 77.5–7, 77.9–10, 77.12–13, 77.18–19, 77.21, 77.24, 77.27, 77.29, 77.31, 77.35 e exemplos 1–3.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 2006 · CC Livre · §9 "Central Limit Theorem". Fonte dos exercícios de desafio 77.43–77.44.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · Dartmouth · GNU FDL. Fonte dos exercícios 77.19–20, 77.26, 77.36–37 e exemplo 5.