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Lição 79 — Teorema de Bayes aprofundado

Priors, posteriors e atualização sequencial. Forma de odds, prior conjugado Beta-binomial, base rate fallacy, Naive Bayes. Aplicações em diagnóstico médico, spam filtering e ML.

Usado em: Stochastik LK alemão · H2 Math Statistics singapurense · Math B japonês · Equiv. AP Statistics EUA

P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)}

O teorema de Bayes é a regra de atualização racional de crenças. O prior $P(H)$ representa o que acreditamos antes de ver a evidência; a verossimilhança $P(E \mid H)$ mede o quanto a evidência favorece a hipótese; o posterior $P(H \mid E)$ é a crença atualizada depois de observar $E$ . O denominador $P(E)$ normaliza o resultado para que a probabilidade some 1.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definições e teoremas

Probabilidade condicional

"The conditional probability $P(E \mid F)$ , the probability of $E$ given $F$ , expresses the probability of $E$ when we know that $F$ has occurred. It can be computed using the formula $P(E \mid F) = P(EF)/P(F)$ , assuming $P(F) > 0$ ." — Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §4.1

Lei da probabilidade total

Teorema de Bayes

"Bayes' Theorem is just a formula that comes from the definition of conditional probability. Yet it is extremely powerful, and is the key to understanding what it means to rationally revise your beliefs in light of new evidence." — OpenIntro Statistics 4e, §3.2

Forma de odds

Definição· Forma de odds (razão de probabilidades)

A forma de odds reescreve Bayes como uma multiplicação de razões:

$\underbrace{\frac{P(H \mid E)}{P(\neg H \mid E)}}_{\text{posterior odds}} = \underbrace{\frac{P(E \mid H)}{P(E \mid \neg H)}}_{\text{razão de verossimilhança (LR)}} \times \underbrace{\frac{P(H)}{P(\neg H)}}_{\text{prior odds}}$

A razão de verossimilhança positiva $\text{LR}^+ = \text{sensibilidade}/(1 - \text{especificidade})$ quantifica o quanto um resultado positivo de teste favorece a hipótese.

Atualização sequencial

Prior conjugado Beta-binomial

Definição· Prior conjugado

O prior $\pi(\theta)$ é conjugado à likelihood $L(\theta \mid \mathbf{x})$ se o posterior $\pi(\theta \mid \mathbf{x})$ pertence à mesma família paramétrica que o prior.

Para o modelo Bernoulli: se $X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Bernoulli}(\theta)$ e $k = \sum X_i$ , com prior $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ :

$\theta \mid k \sim \text{Beta}(\alpha + k,\; \beta + n - k)$

Prior Beta(1,1) = uniforme em $[0,1]$ (prior não-informativo). Média do posterior: $(\alpha + k)/(\alpha + \beta + n)$ .

SVG — Diagrama de Bayes na tabela 2×2

Diagrama de frequências absolutas. O VPP (Valor Preditivo Positivo) é o posterior bayesiano P(doente | teste positivo). Quando a prevalência é baixa, os falsos positivos superam os verdadeiros positivos mesmo com teste de alta qualidade.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Cálculo direto com lei da probabilidade total (aplicação)

Problema: Uma fábrica tem três linhas de produção: A (40% da produção), B (35%) e C (25%). As taxas de defeito são: A: 2%, B: 3%, C: 5%. Uma peça é retirada ao acaso e está defeituosa. Qual a probabilidade de ter sido produzida pela linha B?

Estratégia: Aplicar a lei da probabilidade total para calcular $P(\text{defeito})$ , depois usar o teorema de Bayes para obter $P(B \mid \text{defeito})$ .

Resolução:

Definir os eventos: $H_A$ , $H_B$ , $H_C$ = peça vem da linha A, B, C. $D$ = peça defeituosa.
Priors: $P(H_A) = 0{,}40$ , $P(H_B) = 0{,}35$ , $P(H_C) = 0{,}25$ .
Likelihoods: $P(D \mid H_A) = 0{,}02$ , $P(D \mid H_B) = 0{,}03$ , $P(D \mid H_C) = 0{,}05$ .
Lei da probabilidade total: $P(D) = 0{,}02 \times 0{,}40 + 0{,}03 \times 0{,}35 + 0{,}05 \times 0{,}25 = 0{,}008 + 0{,}0105 + 0{,}0125 = 0{,}031$
Bayes para a linha B: $P(H_B \mid D) = \frac{0{,}03 \times 0{,}35}{0{,}031} = \frac{0{,}0105}{0{,}031} \approx 0{,}339$

Verificação: Calculemos também para A e C: $P(H_A \mid D) = 0{,}008/0{,}031 \approx 0{,}258$ ; $P(H_C \mid D) = 0{,}0125/0{,}031 \approx 0{,}403$ . Soma: $0{,}258 + 0{,}339 + 0{,}403 = 1{,}000$ . Correto.

Fonte. Grinstead & Snell — Introduction to Probability §4.1 — GNU FDL. (Problema adaptado da estrutura do Exemplo 4.11, três causas com diferentes likelihoods.)

Exemplo— 2· Base rate fallacy e VPP (aplicação)

Problema: Doença X afeta 0,5% da população. Teste diagnóstico: sensibilidade 95%, especificidade 90%. Um paciente testa positivo. Qual é o valor preditivo positivo?

Estratégia: Usar frequências absolutas em uma amostra de 10 000 pessoas — método recomendado por OpenIntro Statistics para evitar erros de intuição.

Resolução:

Em 10 000 pessoas:

Doentes: $10000 \times 0{,}005 = 50$ .
Verdadeiros positivos (TP): $50 \times 0{,}95 = 47{,}5 \approx 48$ (arredondado).
Saudáveis: $10000 - 50 = 9950$ .
Falsos positivos (FP): $9950 \times (1 - 0{,}90) = 9950 \times 0{,}10 = 995$ .
Total de positivos: $48 + 995 = 1043$ .
$\text{VPP} = 48/1043 \approx 4{,}6\%$ .

Verificação: Via fórmula direta: $\text{VPP} = \frac{0{,}95 \times 0{,}005}{0{,}95 \times 0{,}005 + 0{,}10 \times 0{,}995} = \frac{0{,}00475}{0{,}00475 + 0{,}0995} = \frac{0{,}00475}{0{,}10425} \approx 4{,}6\%$

Coincide. A intuição de "95% de chance de estar doente" está errada por um fator de 20 — ilustração clássica da base rate fallacy.

Fonte. OpenIntro Statistics 4e §3.2 — CC-BY-SA. (Estrutura do Exemplo 3.10, diagnóstico médico com prevalência baixa.)

Exemplo— 3· Urna com duas causas — forma clássica (aplicação)

Problema: Urna A contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Urna B contém 1 bola vermelha e 4 azuis. Uma urna é escolhida ao acaso (50%-50%) e uma bola é retirada. A bola é vermelha. Qual a probabilidade de a urna escolhida ter sido a A?

Estratégia: Duas hipóteses ( $H_A$ e $H_B$ ), prior uniforme, evidência = bola vermelha. Aplicar Bayes diretamente.

Resolução:

Priors: $P(H_A) = P(H_B) = 0{,}5$ .
Likelihoods: $P(V \mid H_A) = 3/5 = 0{,}60$ ; $P(V \mid H_B) = 1/5 = 0{,}20$ .
Probabilidade total da bola vermelha: $P(V) = 0{,}60 \times 0{,}50 + 0{,}20 \times 0{,}50 = 0{,}30 + 0{,}10 = 0{,}40$
Posterior: $P(H_A \mid V) = \frac{0{,}60 \times 0{,}50}{0{,}40} = \frac{0{,}30}{0{,}40} = 0{,}75$

Verificação: $P(H_B \mid V) = 0{,}10/0{,}40 = 0{,}25$ . Soma $= 1$ . A urna A tem bolas vermelhas em proporção 3 vezes maior que a urna B, então faz sentido que o posterior de A seja 3 vezes o de B ( $0{,}75 = 3 \times 0{,}25$ ).

Fonte. Grinstead & Snell — Introduction to Probability §4.1 — GNU FDL. (Adaptado do Exercício 4.1.1 sobre duas urnas.)

Exemplo— 4· Atualização sequencial com dois testes (intermediario)

Problema: Prevalência de uma doença: 2%. Dois testes independentes: Teste 1 com sensibilidade 90% e especificidade 95%; Teste 2 com sensibilidade 85% e especificidade 92%. Ambos dão positivo. Qual o posterior após os dois resultados positivos?

Estratégia: Aplicar Bayes sequencialmente: o posterior do Teste 1 torna-se o prior para o Teste 2.

Resolução:

Passo 1 — após Teste 1 positivo: $P(D \mid T_1^+) = \frac{0{,}90 \times 0{,}02}{0{,}90 \times 0{,}02 + 0{,}05 \times 0{,}98} = \frac{0{,}018}{0{,}018 + 0{,}049} = \frac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}269$

Passo 2 — após Teste 2 positivo (prior = 0,269): $P(D \mid T_1^+, T_2^+) = \frac{0{,}85 \times 0{,}269}{0{,}85 \times 0{,}269 + 0{,}08 \times 0{,}731} = \frac{0{,}229}{0{,}229 + 0{,}0585} = \frac{0{,}229}{0{,}287} \approx 0{,}798$

Verificação pela forma de odds:

Prior odds: $0{,}02/0{,}98 \approx 0{,}0204$ .
$\text{LR}_1^+ = 0{,}90/0{,}05 = 18$ ; $\text{LR}_2^+ = 0{,}85/0{,}08 = 10{,}625$ .
Posterior odds: $0{,}0204 \times 18 \times 10{,}625 = 3{,}898$ .
Posterior: $3{,}898/(1 + 3{,}898) \approx 79{,}6\%$ . Confirma o cálculo acima.

Fonte. OpenIntro Statistics 4e §3.3 — CC-BY-SA. (Extensão do Exemplo 3.13 sobre atualização sequencial com dois testes independentes.)

Exemplo— 5· Prior conjugado Beta-binomial (avancado)

Problema: Um controle de qualidade usa prior Beta(2, 8) para a taxa de defeitos $\theta$ de uma linha de produção (equivalente a "observamos historicamente 2 defeitos em 10 inspeções"). Em um novo lote, inspeciona-se 20 peças e encontra-se 4 defeituosas. Determine: (a) o posterior, (b) a média posterior, (c) um intervalo de credibilidade aproximado de 90%.

Estratégia: Usar a propriedade de conjugação Beta-Binomial. Posterior = Beta( $\alpha + k$ , $\beta + n - k$ ). Para o intervalo, usar a aproximação pela distribuição normal da Beta para parâmetros moderados.

Resolução:

(a) Posterior: Prior Beta(2, 8), $n = 20$ , $k = 4$ . $\theta \mid 4 \sim \text{Beta}(2 + 4,\; 8 + 20 - 4) = \text{Beta}(6, 24)$

(b) Média posterior: $\mu = \alpha/(\alpha + \beta) = 6/(6 + 24) = 6/30 = 0{,}20$ .

Compare com o prior: $\mu_{\text{prior}} = 2/10 = 0{,}20$ . A MLE seria $k/n = 4/20 = 0{,}20$ . Neste caso coincidem porque o prior era construído com as mesmas proporções.

(c) Intervalo de credibilidade 90%: A distribuição Beta(6, 24) tem desvio padrão $\sigma = \sqrt{\alpha\beta/((\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1))} = \sqrt{6 \times 24/(900 \times 31)} \approx \sqrt{144/27900} \approx 0{,}0718$ .

Intervalo aproximado $\mu \pm 1{,}645\sigma$ : $[0{,}20 - 0{,}118, 0{,}20 + 0{,}118] = [0{,}082, 0{,}318]$ . (O intervalo exato, por quantis da Beta(6,24), é aproximadamente $[0{,}090, 0{,}338]$ .)

Verificação: Conforme $n \to \infty$ , a influência do prior diminui e o posterior concentra-se na MLE. Com prior Beta(2,8) e 200 peças observadas com 40 defeitos, o posterior seria Beta(42, 168) com média $42/210 \approx 0{,}20$ e desvio padrão $\approx 0{,}028$ — muito mais concentrado.

Fonte. OpenIntro Statistics 4e §3.4 — CC-BY-SA. (Estrutura do exercício sobre inferência bayesiana com prior conjugado, Seção de inferência bayesiana introdutória.)

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 10Modelagem 4Desafio 2Demonstração 2

Ex. 79.1CompreensãoGabarito
$P(A) = 0{,}3$ e $P(B) = 0{,}7$ . (a) É possível calcular $P(A \text{ e } B)$ sabendo apenas $P(A)$ e $P(B)$ ? (b) Se $A$ e $B$ forem independentes, qual o valor de $P(A \text{ e } B)$ ?
Selecione a alternativa correta
Não é possível calcular $P(A \text{ e } B)$ apenas com $P(A)$ e $P(B)$ sem saber se são independentesSempre $P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B)$ , independentemente de qualquer relação entre eles $P(A \text{ e } B) = P(A) + P(B)$ , pois probabilidades se somam para eventos combinados $P(A \text{ e } B) = 0$ sempre que $P(A) < P(B)$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Não é possível calcular $P(A \cap B)$ conhecendo apenas $P(A)$ e $P(B)$ . A fórmula $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ só vale quando $A$ e $B$ são independentes. Se forem dependentes, é preciso conhecer a probabilidade condicional ou a interseção diretamente.
Ex. 79.2Aplicação
Numa pesquisa: 80% das pessoas gostam de manteiga de amendoim, 89% gostam de geléia, e 78% gostam de ambos. Dado que uma pessoa gosta de manteiga de amendoim, qual a probabilidade de também gostar de geléia?
Selecione a alternativa correta
$P(J \mid AB) = 0{,}975$ $P(J \mid AB) = 0{,}89$ — usa $P(J)$ diretamente, ignora a condicional $P(J \mid AB) = 0{,}80$ — usa $P(AB)$ no lugar de $P(AB \cap J)$ $P(J \mid AB) = 0{,}78$ — reporta a interseção $P(AB \cap J)$ como a condicional
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.14
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Pela definição de probabilidade condicional: $P(J \mid AB) = P(AB \cap J)/P(AB) = 0{,}78/0{,}80 = 0{,}975$ . Quase todos que gostam de manteiga de amendoim também gostam de geléia.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique os dados: $P(AB) = 0{,}80$ , $P(J) = 0{,}89$ , $P(AB \cap J) = 0{,}78$ .
2. Aplique a definição de probabilidade condicional: $P(J \mid AB) = P(AB \cap J)/P(AB)$ .
3. Calcule: $0{,}78/0{,}80 = 0{,}975$ .
4. Verifique: como $P(J \mid AB) = 0{,}975 \neq P(J) = 0{,}89$ , os eventos não são independentes.
Ex. 79.3Aplicação
Uma pesquisa Pew Research com 1.306 americanos cruzou crença em aquecimento global com filiação política. Como você determina, a partir de uma tabela de contingência 2×2 (crença × filiação), se os eventos "acredita no aquecimento global" e "é republicano" são independentes?
Selecione a alternativa correta
Sim: $P(\text{aquecimento} \mid \text{republicano})$ é menor que $P(\text{aquecimento})$ , portanto não são independentesNão: a filiação política não influencia crenças sobre aquecimento globalNão é possível determinar independência sem um teste qui-quadrado formalSim: $P(\text{aquecimento} \mid \text{republicano}) = P(\text{aquecimento})$ , confirmando dependência
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.15
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Dois eventos são independentes quando $P(A \mid B) = P(A)$ . Numa tabela de frequências de uma pesquisa Pew sobre aquecimento global por filiação política, se $P(\text{acredita no aquecimento} \mid \text{republicano}) < P(\text{acredita no aquecimento})$ , os eventos são dependentes. Conhecer a filiação política altera a probabilidade de acreditar no aquecimento global.
Ex. 79.4Aplicação
Uma pesquisa telefônica anual (BRFSS) registra cobertura de saúde por faixa etária. Numa tabela de frequências relativas com faixas etárias nas colunas e situação de cobertura nas linhas, como se calcula $P(\text{sem cobertura} \mid \text{18 a 24 anos})$ ? Qual faixa etária tende a ter a maior taxa de não cobertura?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{sem cobertura} \mid \text{18--24 anos}) \approx 0{,}351$ $P(\text{sem cobertura} \mid \text{18--24 anos}) = 0{,}200$ — usa a proporção total sem cobertura $P(\text{sem cobertura} \mid \text{18--24 anos}) = 0{,}500$ — assume distribuição uniforme por faixa etáriaNão é possível calcular sem conhecer o tamanho exato da amostra
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.16
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A partir da tabela de frequências relativas do BRFSS (Behavioral Risk Factor Surveillance System), calcula-se: $P(\text{sem cobertura} \mid \text{18--24}) = N(\text{sem cobertura e 18--24})/N(\text{18--24})$ . Jovens de 18–24 anos têm taxa de não cobertura maior que a média — padrão esperado pois muitos saem do plano dos pais ao atingir a maioridade.
Ex. 79.5AplicaçãoGabarito
Uma pesquisa SurveyUSA de 500 residentes de Los Angeles sobre a melhor hamburgueria (Five Guys, In-N-Out, Fat Burger, Tommy's, outros) cruzou preferência com gênero. Como verificar, a partir da tabela, se gênero e preferência pela hamburgueria são independentes?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{mulher} \mid \text{Five Guys}) \neq P(\text{mulher})$ : dependência entre gênero e preferência $P(\text{mulher} \mid \text{Five Guys}) = P(\text{mulher})$ : gênero e preferência são independentesNão é possível verificar independência sem calcular o $p$ -valor do teste exato de Fisher $P(\text{mulher} \mid \text{Five Guys}) = 0{,}5$ pois gênero é sempre equiprovável
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.17
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Para verificar independência, calcule $P(\text{mulher} \mid \text{prefere Five Guys})$ usando a definição condicional e compare com $P(\text{mulher})$ no total da amostra. Se diferirem, há dependência entre gênero e preferência de hamburgueria. Dados da pesquisa SurveyUSA de 500 residentes de Los Angeles (2010) permitem esse cálculo diretamente.
Ex. 79.6AplicaçãoGabarito
O acasalamento seletivo (assortative mating) ocorre quando indivíduos com fenótipos semelhantes se acasalam com mais frequência que o acaso. Num estudo de casais com dados sobre cor dos olhos: (a) como você formularia matematicamente que há acasalamento seletivo para cor dos olhos? (b) Como a probabilidade condicional detecta esse padrão?
Selecione a alternativa correta
Calcular $P(\text{mesma cor de olhos} \mid \text{par}) > P(\text{mesma cor de olhos})$ : acasalamento seletivo implica dependência positiva $P(\text{mesma cor de olhos} \mid \text{par}) = P(\text{mesma cor de olhos})$ : independência é esperada se for ao acasoAcasalamento seletivo implica que $P(\text{mesma cor} \mid \text{par}) = 1$ Não é possível medir isso sem sequenciamento genético do par
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.18
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O acasalamento seletivo (assortative mating) é definido precisamente pela violação da independência: indivíduos com fenótipos semelhantes se acasalam com mais frequência do que o acaso sugeriria. Matematicamente: $P(\text{mesma cor} \mid \text{par}) > P(\text{mesma cor de olhos na população})$ . Um estudo que cruza a cor dos olhos dos parceiros pode quantificar esse efeito comparando probabilidades condicionais e marginais.
Ex. 79.7Aplicação
Após um curso de estatística, 80% dos alunos sabem construir boxplots. Dos que sabem construir boxplots, 86% foram aprovados; dos que não sabem, 65% foram aprovados. (a) Quais são as probabilidades condicionais de aprovação dado conhecimento de boxplot? (b) Saber construir boxplots e ser aprovado são eventos independentes?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{passou} \mid \text{sabe boxplot}) \approx 0{,}86$ ; $P(\text{passou} \mid \text{não sabe boxplot}) \approx 0{,}65$ $P(\text{sabe boxplot} \mid \text{passou}) \approx 0{,}86$ ; $P(\text{passou}) = 0{,}80$ $P(\text{passou}) = 0{,}86 \times 0{,}80 + 0{,}65 \times 0{,}20 = 0{,}82$ ; saber boxplot não muda a aprovação $P(\text{sabe boxplot} \mid \text{passou}) = P(\text{passou} \mid \text{sabe boxplot}) = 0{,}80$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.19
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Após um curso introdutório: 80% dos alunos sabem construir boxplots. Dos que sabem: 86% passaram. Dos que não sabem: 65% passaram. As probabilidades pedidas são condicionais diretas: $P(\text{passou} \mid \text{sabe boxplot}) = 0{,}86$ e $P(\text{passou} \mid \text{não sabe boxplot}) = 0{,}65$ . A diferença (21 pontos percentuais) indica forte associação entre saber construir boxplots e ser aprovado.
Ex. 79.8Aplicação
Um teste genético detecta predisposição para trombose. Prevalência da predisposição: 3%. Sensibilidade: 35%. Especificidade: 99%. Calcule o valor preditivo positivo (VPP) e o valor preditivo negativo (VPN) usando frequências em 10 000 pessoas.
Selecione a alternativa correta
$P(\text{positivo} \mid \text{predisposto}) = 0{,}35$ ; $P(\text{não predisposto} \mid \text{negativo}) \approx 0{,}938$ $P(\text{positivo} \mid \text{predisposto}) = 0{,}99$ ; o teste positivo quase garante predisposição $P(\text{não predisposto} \mid \text{negativo}) = 0{,}65$ ; negativo significa probabilidade de não predisposição igual à sensibilidade $P(\text{positivo} \mid \text{predisposto}) = P(\text{predisposto} \mid \text{positivo})$ ; as condicionais são simétricas
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.20
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Dados: prevalência de predisposição = 3%; sensibilidade = 35% $(P(+|D))$ ; especificidade = 99% $(P(-|ar D))$ . Valor preditivo negativo (VPN): em 10 000 pessoas, predispostos = 300, FN = $300 \times 0{,}65 = 195$ , não predispostos = 9700, TN = $9700 \times 0{,}99 = 9603$ . VPN = $9603/(9603+195) \approx 98{,}0\%$ . Um teste negativo é bastante tranquilizador; um positivo é inconclusivo dada a baixa sensibilidade.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Prevalência 3%, sensibilidade 35%, especificidade 99%.
2. Em 10 000: predispostos = 300; TP = $300 \times 0{,}35 = 105$ ; FN = $300 \times 0{,}65 = 195$ .
3. Não predispostos = 9700; TN = $9700 \times 0{,}99 = 9603$ ; FP = 97.
4. VPP = $105/(105+97) \approx 51{,}9\%$ ; VPN = $9603/(9603+195) \approx 98{,}0\%$ .
5. O teste tem baixa sensibilidade — muitos predispostos passam despercebidos — mas a especificidade alta garante que negativos são confiáveis.
Ex. 79.9AplicaçãoGabarito
Lúpus é uma doença muito rara: afeta 2 em cada 10.000 pessoas (0,02%). Um teste de anticorpos tem sensibilidade 98% e especificidade 74,4%. Calcule o VPP (probabilidade de ter lúpus dado teste positivo). Por que o resultado surpreende a maioria das pessoas?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{lúpus} \mid \text{positivo}) \approx 8{,}6\%$ — apesar do teste positivo, lúpus é improvável $P(\text{lúpus} \mid \text{positivo}) = 98{,}5\%$ — usa a especificidade como posterior $P(\text{lúpus} \mid \text{positivo}) = 10\%$ — reporta a prevalência como VPP $P(\text{lúpus} \mid \text{positivo}) = 50\%$ — sem raciocínio adicional, incerteza máxima
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.21
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Lúpus: prevalência 2 em 10.000 pessoas (0,02%). Teste: sensibilidade 98%, especificidade 74,4%. Em 10 000: doentes = 2, TP ≈ 2; saudáveis = 9998, FP ≈ $9998 \times 0{,}256 \approx 2559$ . VPP = $2/(2+2559) \approx 0{,}08\%$ . O título "It's never lupus" (referência à série House M.D.) reflete exatamente a base rate fallacy: lúpus é tão raro que, mesmo com teste positivo, a probabilidade de realmente tê-lo é mínima.
Ex. 79.10Aplicação
A Edison Research conduziu exit polls na eleição de recall de Scott Walker em Wisconsin. 53% dos respondentes votaram em Walker. Como a probabilidade condicional pode ser usada para estimar o viés de não-resposta em exit polls? Se apenas eleitores de Walker respondem, como isso distorce a estimativa?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{Walker} \mid \text{exit poll positivo}) \approx 56{,}8\%$ — ligeiramente maior que o total da amostra $P(\text{Walker} \mid \text{exit poll positivo}) = 53\%$ — a amostra do exit poll reflete exatamente o eleitorado $P(\text{Walker} \mid \text{exit poll positivo}) = 100\%$ — positivo no exit poll significa voto confirmado para WalkerNão é possível calcular: probabilidade condicional requer dois eventos distintos
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.22
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O exit poll da Edison Research na eleição de recall de Walker (Wisconsin) coletou dados de diversas fontes. Com 53% dos respondentes declarando voto em Walker, esse número é a estimativa de $P(\text{Walker})$ . A condicional $P(\text{Walker} \mid \text{respondeu ao exit poll})$ pode diferir se há viés de não-resposta — quem responde exit polls pode ter perfil diferente do eleitorado total. A probabilidade condicional permite quantificar esse viés potencial.
Ex. 79.11Compreensão
Se $P(A \mid B) = P(A)$ , o que se pode concluir sobre os eventos $A$ e $B$ ? Explique em termos de probabilidade condicional.
Selecione a alternativa correta
$P(A) = P(A \mid B)$ : saber que $B$ ocorreu não muda a probabilidade de $A$ $P(A) = P(B)$ : os eventos têm a mesma probabilidade marginal $P(A \cap B) = 0$ : os eventos não podem ocorrer juntos $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ : a probabilidade da união é sempre a soma
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 43
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A definição de independência via probabilidade condicional é: $A$ e $B$ são independentes se e somente se $P(A \mid B) = P(A)$ . Isso equivale a $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Se $P(A \mid B) = P(A)$ , a ocorrência de $B$ não transmite nenhuma informação sobre $A$ .
Ex. 79.12Compreensão
Para eventos $A$ e $B$ independentes, $P(A \text{ E } B) =$ _____.
Selecione a alternativa correta
$P(A \text{ E } B) = P(A) \times P(B)$ $P(A \text{ E } B) = 0$ — independentes não podem ocorrer juntos $P(A \text{ E } B) = P(A) + P(B)$ — independência implica aditividade direta $P(A \text{ E } B) = P(A \mid B)$ — a interseção equivale à condicional
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 39
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Quando $A$ e $B$ são independentes, a regra do produto simplifica para: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Note a distinção crucial: eventos mutuamente exclusivos têm $P(A \cap B) = 0$ , enquanto independentes têm $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Esses conceitos são incompatíveis (exceto se $P(A) = 0$ ou $P(B) = 0$ ).
Ex. 79.13Aplicação
$P(A) = 0{,}3$ e $P(B) = 0{,}5$ , com $A$ e $B$ mutuamente exclusivos. Calcule $P(A \text{ OU } B)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(A \text{ OU } B) = 0{,}8$ quando $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos $P(A \text{ OU } B) = 0{,}15$ — multiplica as probabilidades $P(A \text{ OU } B) = 1{,}0$ — todo evento deve ocorrer $P(A \text{ OU } B) = 0{,}35$ — subtrai as probabilidades
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 40
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Para eventos mutuamente exclusivos: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$ . A subtração de $P(A \cap B)$ não é necessária pois $P(A \cap B) = 0$ para eventos mutuamente exclusivos.
Ex. 79.14Aplicação
$P(A) = 0{,}4$ e $P(B) = 0{,}3$ , com $A$ e $B$ independentes. Calcule $P(A \text{ E } B)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(A \text{ E } B) = 0{,}12$ quando $A$ e $B$ são independentes $P(A \text{ E } B) = 0{,}7$ — soma as probabilidades $P(A \text{ E } B) = 0{,}0$ — independentes não se intersectam $P(A \text{ E } B) = 0{,}4$ — usa apenas $P(A)$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 41
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Para eventos independentes: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ . Eventos independentes podem coocorrer (diferente de mutuamente exclusivos); conhecer a ocorrência de um simplesmente não altera a probabilidade do outro.
Ex. 79.15Compreensão
Eventos mutuamente exclusivos (com $P(A) > 0$ e $P(B) > 0$ ) podem ser independentes simultaneamente? Justifique com a definição de cada conceito.
Selecione a alternativa correta
Não: se $P(A) > 0$ e $P(B) > 0$ , eventos mutuamente exclusivos nunca são independentes, pois $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) P(B)$ Sim: mutuamente exclusivos significa que não há relação entre eles, o que é independênciaDepende: são independentes somente se $P(A) = P(B)$ Sim: $P(A \mid B) = 0 = P(A)$ quando ambos têm probabilidade zero
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 51
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Eventos mutuamente exclusivos (com $P(A), P(B) > 0$ ) não podem ser independentes. Se $A$ e $B$ são ME: $P(A \cap B) = 0$ . Se fossem independentes: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) > 0$ . Contradição. Intuitivamente: saber que $B$ ocorreu diz que $A$ definitivamente NÃO ocorreu, ou seja, $P(A \mid B) = 0 \neq P(A)$ . Há dependência máxima.
Ex. 79.16Aplicação
Numa tabela de contingência com preferência de partido (A, B, Nenhum) nas colunas e faixa etária (menos de 30, 30 a 50, mais de 50) nas linhas, como se calcula $P(\text{eleitor com menos de 30 anos})$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{eleitores} \in [18,30)) = \text{(jovens na tabela)}/\text{(total)}$ $P(\text{menos de 30 anos}) = 0{,}5$ , pois dois grupos etários são equiprováveis $P(\text{menos de 30 anos}) = P(\text{menos de 30 anos} \mid \text{partido A})$ $P(\text{menos de 30 anos}) = 1/3$ , pois há três faixas etárias
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 52
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A probabilidade marginal de ser menor de 30 anos é calculada dividindo o total de eleitores nessa faixa etária pelo total geral de eleitores na tabela. É uma probabilidade marginal (linha ou coluna marginal), não condicional. Não depende de preferência por partido.
Ex. 79.17Aplicação
Na mesma tabela do exercício 79.16, como se calcula $P(\text{menos de 30 anos} \mid \text{prefere partido A})$ ? Essa probabilidade é igual a $P(\text{prefere partido A} \mid \text{menos de 30 anos})$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{menos de 30} \mid \text{partido A}) = \text{(jovens que preferem A)}/\text{(total que prefere A)}$ $P(\text{menos de 30} \mid \text{partido A}) = P(\text{menos de 30})$ : independentes pois todos votam $P(\text{menos de 30} \mid \text{partido A}) = P(\text{partido A} \mid \text{menos de 30})$ : condicionais são simétricas $P(\text{menos de 30} \mid \text{partido A}) = P(\text{menos de 30}) \times P(\text{partido A})$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 53
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A probabilidade condicional $P(\text{menos de 30} \mid \text{prefere partido A})$ restringe o espaço amostral aos eleitores do partido A e calcula a proporção de jovens nesse subgrupo: $P(\text{menos de 30} \mid A) = P(\text{menos de 30 E prefere A})/P(\text{prefere A})$ . Isso NÃO é o mesmo que $P(\text{partido A} \mid \text{menos de 30})$ (falácia do promotor em miniatura).
Ex. 79.18Aplicação
Uma tabela de contingência cruza o método de treinamento musical (clássico, informal) com o gênero preferido por músicos profissionais. Como se calcula $P(\text{treinamento clássico})$ diretamente da tabela?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{treinamento clássico}) = \text{músicos com treinamento clássico}/\text{total de músicos}$ $P(\text{treinamento clássico}) = 1/2$ , pois há dois tipos de treinamento (clássico e informal) $P(\text{treinamento clássico}) = P(\text{jazz} \mid \text{clássico})$ $P(\text{treinamento clássico}) = P(\text{clássico} \mid \text{jazz})$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 54
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A partir de uma tabela de contingência com método de treinamento (clássico, informal, autodidata) nas linhas e gênero musical preferido (jazz, pop, clássico, outros) nas colunas, a probabilidade marginal de ter treinamento clássico é a soma da linha de "clássico" dividida pelo total geral da tabela.
Ex. 79.19AplicaçãoGabarito
Na tabela de músicos do exercício 79.18, como se calcula $P(\text{prefere jazz} \mid \text{treinamento clássico})$ ? Esse valor coincide com $P(\text{treinamento clássico} \mid \text{prefere jazz})$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) = \text{músicos com treinamento clássico que tocam jazz}/\text{total com treinamento clássico}$ $P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) = P(\text{clássico} \mid \text{jazz})$ : condicionais são sempre simétricas $P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) = P(\text{jazz}) \times P(\text{clássico})$ $P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) = 1$ : quem tem treinamento clássico sempre toca jazz
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 55
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A condicional $P(\text{jazz} \mid \text{treinamento clássico})$ restringe o conjunto aos músicos com treinamento clássico e mede a proporção que toca jazz: $P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) = P(\text{jazz E clássico})/P(\text{clássico})$ . Isso é geralmente diferente de $P(\text{clássico} \mid \text{jazz})$ — a probabilidade de ter treinamento clássico dado que toca jazz.
Ex. 79.20Aplicação
Usando a tabela de músicos, como se calcula $P(\text{treinamento clássico E prefere jazz})$ ? Que fórmula liga a interseção com a probabilidade condicional?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{clássico E jazz}) = P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) \times P(\text{clássico})$ $P(\text{clássico E jazz}) = P(\text{clássico}) + P(\text{jazz})$ $P(\text{clássico E jazz}) = P(\text{clássico}) \times P(\text{jazz})$ sempre $P(\text{clássico E jazz}) = P(\text{clássico} \mid \text{jazz}) + P(\text{jazz} \mid \text{clássico})$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 56
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A probabilidade da interseção usa a regra do produto: $P(\text{clássico} \cap \text{jazz}) = P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) \times P(\text{clássico})$ . Equivalentemente: $P(\text{clássico} \mid \text{jazz}) \times P(\text{jazz})$ . A fórmula $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ só vale se forem independentes.
Ex. 79.21Aplicação
Como verificar numericamente, a partir da tabela de músicos, se "ter treinamento clássico" e "preferir jazz" são eventos independentes? Descreva o teste de independência via probabilidade condicional.
Selecione a alternativa correta
São dependentes se $P(\text{jazz} \mid \text{clássico}) \neq P(\text{jazz})$ ; a tabela permite verificar isso numericamenteSão independentes pois treinamento e gênero preferido são atributos de pessoas diferentesSão independentes apenas se a tabela for quadradaSão mutuamente exclusivos pois ninguém pode ter treinamento clássico e gostar de jazz
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 57
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Para verificar independência numericamente: calcule $P(\text{jazz} \mid \text{clássico})$ e compare com $P(\text{jazz})$ . Se iguais: independentes. Se diferentes: dependentes. Equivalentemente, compare $P(\text{clássico} \cap \text{jazz})$ com $P(\text{clássico}) \times P(\text{jazz})$ . A verificação numérica é mais rigorosa que intuição.
Ex. 79.22Modelagem
Construa uma árvore de probabilidade para o cenário de rastreamento de câncer com resultado de teste falso positivo possível. Identifique os quatro cenários finais (TP, FN, FP, TN) e mostre como a árvore permite calcular o Valor Preditivo Positivo.
Selecione a alternativa correta
Construir uma árvore de probabilidade com dois ramos: (desenvolve / não desenvolve) × (teste + / teste −)Calcular somente $P(\text{desenvolve} \mid \text{teste positivo})$ sem considerar a prevalênciaUsar diretamente a sensibilidade como probabilidade de desenvolver câncer dado teste positivoA árvore de probabilidade requer que os ramos somem mais de 1 para incluir os falsos positivos
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 58
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A árvore de probabilidade para rastreamento de câncer tem a estrutura: nó raiz → ramo "desenvolve câncer" (prob = prevalência) e ramo "não desenvolve" (prob = 1 − prevalência). De cada ramo: subramos "teste +" e "teste −". Os quatro cenários finais são: TP (desenvolve E +), FN (desenvolve E −), FP (não desenvolve E +), TN (não desenvolve E −). Multiplicando probs ao longo de cada ramo e somando os ramos "teste +" dá $P(+)$ ; dividindo TP por $P(+)$ dá o VPP.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Nó raiz: probabilidade de desenvolver câncer = prevalência $p$ .
2. Ramo "desenvolve": subramos "teste +" com prob sensibilidade, "teste −" com prob (1 − sens).
3. Ramo "não desenvolve": subramos "teste +" com prob (1 − espec), "teste −" com prob espec.
4. TP = $p \times \text{sens}$ ; FP = $(1-p) \times (1-\text{espec})$ .
5. VPP = TP / (TP + FP).
Ex. 79.23AplicaçãoGabarito
$P(A) = 0{,}6$ e $P(B) = 0{,}4$ , com $A$ e $B$ mutuamente exclusivos. Calcule $P(A \text{ OU } B)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(\text{aprovado}) = 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}0$ — mutuamente exclusivos, soma direta $P(A \text{ OU } B) = 0{,}6 + 0{,}4 - P(A \cap B) = 1{,}0 - P(A \cap B)$ $P(A \text{ OU } B) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$ $P(A \text{ OU } B) = 0{,}6 / 0{,}4 = 1{,}5$ — não faz sentido pois probabilidade exceede 1
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 42
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Para eventos mutuamente exclusivos com $P(A \cap B) = 0$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}0$ . O resultado 1,0 indica que $A$ e $B$ formam uma partição do espaço amostral (exaustivos e mutuamente exclusivos).
Ex. 79.24Compreensão
O que significa a notação $P(A \mid B)$ ? Descreva em palavras e compare com $P(A \cap B)$ e $P(B \mid A)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(A \mid B)$ é a probabilidade de $A$ ocorrer, dado que $B$ já ocorreu $P(A \mid B)$ é a probabilidade de $A$ e $B$ ocorrerem juntos $P(A \mid B)$ é a probabilidade de $B$ dado $A$ (as condicionais são simétricas) $P(A \mid B)$ é o complemento de $P(A)$ quando $B$ é complemento de algum evento
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 36
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A notação $P(A \mid B)$ lê-se "probabilidade de A dado B" e representa a probabilidade de $A$ ocorrer no espaço amostral restrito a $B$ . Formalmente: $P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$ . É diferente de $P(A \cap B)$ (interseção) e de $P(B \mid A)$ (condicional invertida).
Ex. 79.25AplicaçãoGabarito
Doença com prevalência 0,5%. Teste diagnóstico: sensibilidade 95%, especificidade 95%. Calcule o VPP usando frequências em 10 000 pessoas. Por que o resultado surpreende a maioria?
Selecione a alternativa correta
$\text{VPP} \approx 8{,}7\%$ — ilustração clássica da base rate fallacy $\text{VPP} = 95\%$ — confunde sensibilidade com valor preditivo positivo $\text{VPP} = 0{,}5\%$ — reporta a prevalência como VPP $\text{VPP} \approx 48\%$ — esquece os falsos positivos dos 9950 saudáveis
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.21
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Prevalência 0,5%, sens 95%, espec 95%. Em 10 000: doentes = 50, TP = $50 \times 0{,}95 = 47{,}5$ , saudáveis = 9950, FP = $9950 \times 0{,}05 = 497{,}5$ . VPP = $47{,}5/(47{,}5 + 497{,}5) = 47{,}5/545 \approx 8{,}7\%$ . Apesar da alta qualidade do teste, apenas 1 em 11 positivos é realmente doente — impacto da baixa prevalência.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Em 10 000: doentes = $10000 \times 0{,}005 = 50$ .
2. TP = $50 \times 0{,}95 = 47{,}5$ ; FN = 2,5.
3. Saudáveis = 9950; FP = $9950 \times 0{,}05 = 497{,}5$ ; TN = 9452,5.
4. VPP = $47{,}5 / (47{,}5 + 497{,}5) \approx 8{,}7\%$ .
5. Moral: prevalência baixa faz os FP superarem os TP mesmo com teste de alta qualidade.
Ex. 79.26AplicaçãoGabarito
Teste com sensibilidade 99% e especificidade 98%. Calcule o VPP para uma mulher com probabilidade prévia de gravidez de 30%. Compare com o VPP para prevalência 0,5% (exercício 79.25) e interprete a diferença.
Selecione a alternativa correta
$\text{VPP} \approx 95{,}5\%$ — prevalência alta inverte o efeito da base rate fallacy $\text{VPP} = 30\%$ — confunde prior com posterior $\text{VPP} = 99\%$ — usa somente a sensibilidade, ignora os falsos positivos $\text{VPP} \approx 8{,}7\%$ — usa prevalência baixa de outro exercício em vez de 30\%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.20
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Prevalência 30%, sens 99%, espec 98%. VPP = $(0{,}99 \times 0{,}30)/(0{,}99 \times 0{,}30 + 0{,}02 \times 0{,}70) = 0{,}297/0{,}311 \approx 95{,}5\%$ . Compare com VPP ≈ 8,7% para prevalência 0,5%: o mesmo par (sens, espec) produz valores preditivos completamente diferentes dependendo da prevalência. O prior domina.
Ex. 79.27Aplicação
Teste com sensibilidade 90% e especificidade 95%. Usando a forma de odds: (a) calcule $\text{LR}^+$ ; (b) calcule o posterior para um prior de 1% (prevalência 1%). Resp: $\approx 15{,}4\%$ .
Selecione a alternativa correta
$\text{LR}^+ = 18$ ; posterior odds $\approx 0{,}182$ ; posterior $\approx 15{,}4\%$ $\text{LR}^+ = 0{,}9$ ; usa sensibilidade diretamente sem dividir por $(1-\text{espec})$ $\text{LR}^+ = 18$ ; posterior odds $= 18$ (esquecer de multiplicar pelos prior odds) $\text{LR}^+ = 9{,}5$ ; divide sensibilidade pela especificidade em vez de $(1-\text{espec})$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.19
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$\text{LR}^+ = \text{sens}/(1 - \text{espec}) = 0{,}90/0{,}05 = 18$ . Prior odds com prevalência 1%: $1/99$ . Posterior odds: $(1/99) \times 18 = 18/99 \approx 0{,}182$ . Posterior: $0{,}182/(1 + 0{,}182) \approx 15{,}4\%$ . A forma de odds torna transparente como o LR transforma o prior odds em posterior odds via multiplicação.
Ex. 79.28Aplicação
Doença com prevalência 1%. Dois testes independentes positivos (sensibilidade 90%, especificidade 90% cada). Use atualização sequencial: o posterior do 1.º teste torna-se o prior do 2.º. Qual o posterior após cada teste?
Selecione a alternativa correta
Posterior $\approx 8{,}33\%$ após o 1.º e $\approx 44{,}9\%$ após o 2.º teste positivoPosterior $\approx 44{,}9\%$ já após o 1.º teste; o 2.º não muda o resultadoPosterior $= 81\%$ após dois testes — eleva a sensibilidade ao quadradoPosterior $= 1\%$ — a prevalência domina e dois testes não alteram o prior
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.3 · ex. 3.22
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Dois testes independentes positivos (sens = espec = 90%), prevalência 1%. Passo 1: $\text{VPP}_1 = (0{,}9 \times 0{,}01)/(0{,}9 \times 0{,}01 + 0{,}1 \times 0{,}99) = 0{,}009/0{,}108 \approx 8{,}33\%$ . Passo 2 (prior = 8,33%): $\text{VPP}_2 = (0{,}9 \times 0{,}0833)/(0{,}9 \times 0{,}0833 + 0{,}1 \times 0{,}9167) = 0{,}075/0{,}167 \approx 44{,}9\%$ . Dois testes positivos consecutivos eleva a probabilidade de 1% para quase 45%.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. 1.º teste: prior = 1%, sens = espec = 90%.
2. $\text{VPP}_1 = (0{,}9 \times 0{,}01)/(0{,}9 \times 0{,}01 + 0{,}1 \times 0{,}99) \approx 8{,}33\%$ .
3. 2.º teste: prior = 8,33%, mesma sens e espec.
4. $\text{VPP}_2 = (0{,}9 \times 0{,}0833)/(0{,}9 \times 0{,}0833 + 0{,}1 \times 0{,}9167) \approx 44{,}9\%$ .
5. Atalho via odds: $\text{LR}^+ = 9$ ; prior odds = 0,0101; posterior odds após dois testes = $0{,}0101 \times 9 \times 9 = 0{,}818$ ; posterior = 0,818/1,818 ≈ 45%.
Ex. 79.29Modelagem
Polígrafo: sensibilidade 70%, especificidade 80%. Suspeito com prior de culpa 5%. Calcule o posterior após resultado positivo no polígrafo via forma de odds. O resultado é suficiente para condenação?
Selecione a alternativa correta
Posterior $\approx 15{,}5\%$ — não suficiente para condenação, dado o padrão além de dúvida razoávelPosterior $= 70\%$ — usa sensibilidade do polígrafo como posteriorPosterior $= 5\%$ — o prior baixo domina completamente o resultadoPosterior $\approx 35\%$ — multiplica prior pela sensibilidade sem normalizar
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.3 · ex. 3.22
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Polígrafo: sens 70%, espec 80%. Prior odds: $0{,}05/0{,}95 \approx 0{,}0526$ . $\text{LR}^+ = 0{,}70/0{,}20 = 3{,}5$ . Posterior odds: $0{,}0526 \times 3{,}5 \approx 0{,}184$ . Posterior: $0{,}184/1{,}184 \approx 15{,}5\%$ . Com apenas 15% de probabilidade posterior de culpa, o polígrafo não é prova suficiente para condenação sob o padrão penal de "além de dúvida razoável" (que exigiria posterior muito maior).
Ex. 79.30Modelagem
COVID-19 em fase endêmica: prevalência 5%. Teste rápido: sensibilidade 80%, especificidade 95%. Calcule o VPP usando frequências em 10 000. Deve-se isolar automaticamente todos os positivos sem confirmação adicional?
Selecione a alternativa correta
$\text{VPP} \approx 48{,}7\%$ ; quase metade dos positivos são falsos — justifica confirmação com PCR $\text{VPP} = 80\%$ — usa sensibilidade diretamente como VPP $\text{VPP} \approx 96\%$ — ignora os 475 falsos positivos no denominador $\text{VPP} = 5\%$ — confunde prevalência com VPP
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.3 · ex. 3.20
Ver solução
COVID-19: prevalência 5%, sens 80%, espec 95%. Em 10 000: doentes = 500, TP = 400, saudáveis = 9500, FP = 475. VPP = $400/(400+475) = 400/875 \approx 45{,}7\%$ . Menos da metade dos positivos são verdadeiros infectados — isolamento automático sem confirmação PCR teria custo econômico elevado com benefício epidemiológico limitado.
Ex. 79.31Modelagem
Dois testes positivos com razões de verossimilhança $r_1$ e $r_2$ (condicionalmente independentes dado a hipótese). Qual o efeito na forma de odds? A razão de verossimilhança combinada é $r_1 + r_2$ ou $r_1 \times r_2$ ?
Selecione a alternativa correta
Posterior odds $= r_1 \times r_2 \times$ prior odds — produto dos LRs, não somaPosterior odds $= r_1 + r_2 \times$ prior odds — as razões se somamO segundo teste sempre reduz o VPP por introduzir mais oportunidades de erroPosterior odds $= (r_1 + r_2)/2 \times$ prior odds — média dos LRs individuais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.3 · ex. 3.22
Ver solução
Quando os testes são condicionalmente independentes dado a hipótese, as razões de verossimilhança combinam-se por multiplicação: $\text{LR}^+_{\text{total}} = r_1 \times r_2$ . Na forma de odds: posterior odds após dois testes = prior odds $\times r_1 \times r_2$ . A soma seria incorreta — ela confundiria o produto com a aditividade de probabilidades. Cada teste positivo com $\text{LR}^+ > 1$ sempre aumenta o posterior.
Ex. 79.32Compreensão
O que é a base rate fallacy (falácia da taxa base) no contexto de testes diagnósticos?
Selecione a alternativa correta
Ignorar a prevalência (prior) ao interpretar um resultado de teste positivoConfundir sensibilidade com especificidade do testeUsar frequências absolutas em vez de probabilidades para calcular o VPPAplicar Bayes com mais de duas hipóteses simultaneamente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.21
Ver solução
A base rate fallacy é especificamente a falha em incorporar a prevalência (prior, taxa base) ao calcular a probabilidade posterior. Confundir sensibilidade com especificidade é um erro diferente. Usar frequências absolutas é recomendado, não um erro. Aplicar Bayes com múltiplas hipóteses é correto — a partição pode ter mais de dois elementos.
Ex. 79.33Compreensão
Por que o prior importa mesmo em "ciência objetiva"? Uma análise frequentista que ignora o prior equivale a qual suposição implícita sobre o parâmetro?
Selecione a alternativa correta
O prior pontual implícito é $\theta = \theta_0$ sob $H_0$ ; toda análise tem assunções sobre parâmetrosO prior não importa para análises objetivas; o $p$ -valor é livre de assunções sobre parâmetrosIgnorar o prior equivale a usar prior uniforme, que é completamente neutro e objetivoA objetividade científica exige que todos os priors sejam iguais a zero para máxima imparcialidade
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.22
Ver solução
O prior importa porque é o ponto de partida da atualização bayesiana. Mesmo análises "objetivas" têm priors implícitos: testar $H_0$ com $p$ -valor equivale a atribuir prior pontual em $\theta = \theta_0$ . A crítica ao prior "subjetivo" ignora que a objetividade do $p$ -valor está nos procedimentos de controle de erro de longo prazo, não na ausência de assunções sobre parâmetros. Ambas as abordagens têm assunções; a diferença é em que forma elas aparecem.
Ex. 79.34Compreensão
Qual a diferença prática entre usar prior $\theta \sim \text{Beta}(1,1)$ e $\theta \sim \text{Beta}(10,10)$ para modelar a taxa de sucesso de um processo? Com qual dos dois o posterior será mais sensível a novos dados?
Selecione a alternativa correta
Beta(1,1) é mais sensível: com $\alpha+\beta = 2$ vs $20$ , a likelihood domina mais cedoBeta(10,10) é mais sensível pois tem mais massa concentrada em torno da médiaAmbos têm mesma sensibilidade aos dados pois têm a mesma média 0,5Nenhum muda com novos dados pois são priors conjugados — o posterior é exatamente o prior
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.20
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O prior Beta(1,1) é uniforme em $[0,1]$ — não favorece nenhum valor de $\theta$ e tem "pseudo-contagem" total $\alpha + \beta = 2$ . O prior Beta(10,10) tem pseudo-contagem 20 — equivale a "já observamos 10 sucessos e 10 fracassos". Para dominar Beta(10,10), a likelihood precisa de mais dados. Com $n = 5$ observações adicionais, Beta(1,1) fica dominada mais completamente que Beta(10,10).
Ex. 79.35Compreensão
O que significa a notação $P(A \text{ E } B)$ e como calculá-la no caso geral? Como a fórmula muda se $A$ e $B$ são independentes?
Selecione a alternativa correta
$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ — regra geral; simplifica para $P(A) \times P(B)$ se independentes $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ — sempre $P(A \cap B) = 0$ para todos os eventos, pois a interseção é sempre vazia $P(A \cap B) = P(A \mid B)$ — a interseção e a condicional são a mesma coisa
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 37
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A regra geral da multiplicação: $P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ . Se $A$ e $B$ são independentes, $P(A \mid B) = P(A)$ , logo $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Se mutuamente exclusivos, $P(A \cap B) = 0$ (caso especial). O caso geral requer a probabilidade condicional.
Ex. 79.36Compreensão
Complete: $P(A) + P(A') =$ _____ . Explique por que essa regra é fundamental para o cálculo bayesiano com duas hipóteses complementares.
Selecione a alternativa correta
$P(A) + P(A') = 1$ — o evento e seu complemento cobrem todo o espaço amostral $P(A) + P(A') = 0$ — complemento cancela o evento $P(A) + P(A') = P(A)^2$ — o complemento é o quadrado do evento $P(A) + P(A') = 2$ — dois eventos cobrem o dobro do espaço amostral
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 35
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A regra do complemento: $P(A) + P(A') = 1$ . Isso decorre da axiomática de Kolmogorov: o espaço amostral completo tem probabilidade 1, e $A$ e $A'$ são mutuamente exclusivos e exaustivos. É usada extensivamente em Bayes: $P(\neg H) = 1 - P(H)$ .
Ex. 79.37Desafio
Problema de Monty Hall: 3 portas, 1 carro, 2 cabras. Você escolhe a porta 1; Monty (que sabe onde está o carro) abre a porta 3 (que tem uma cabra). Deve-se trocar para a porta 2? Use o teorema de Bayes para justificar.
Selecione a alternativa correta
Deve trocar: $P(\text{carro na porta 2} \mid \text{Monty abre porta 3}) = 2/3$ Tanto faz: após Monty abrir a porta 3, as duas portas restantes têm probabilidade $1/2$ cadaNão deve trocar: a porta 1 foi escolhida antes; a informação de Monty não altera o prior de 1/3Deve trocar: $P(\text{carro na porta 2} \mid \text{Monty abre porta 3}) = 1/3$ (mesma probabilidade do início)
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Monty Hall via Bayes. Hipóteses: $H_1$ = carro na porta 1, $H_2$ = porta 2, $H_3$ = porta 3. Você escolhe porta 1. Monty abre porta 3. Evidência $E$ = "Monty abre porta 3". Likelihoods: $P(E \mid H_1) = 1/2$ (escolhe aleatoriamente entre 2 e 3); $P(E \mid H_2) = 1$ (só pode abrir 3); $P(E \mid H_3) = 0$ . $P(E) = 1/2 \times 1/3 + 1 \times 1/3 = 1/2$ . Posterior da porta 1: $(1/2 \times 1/3)/(1/2) = 1/3$ . Posterior da porta 2: $(1 \times 1/3)/(1/2) = 2/3$ . Deve-se trocar para a porta 2.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Priors uniformes: $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = 1/3$ .
2. Você escolhe porta 1. Monty (que sabe onde está o carro) abre porta 3.
3. Evidência $E$ : Monty abriu a porta 3. Likelihoods: $P(E|H_1) = 1/2$ , $P(E|H_2) = 1$ , $P(E|H_3) = 0$ .
4. Lei da probabilidade total: $P(E) = 1/2 \cdot 1/3 + 1 \cdot 1/3 + 0 = 1/2$ .
5. Posteriors: $P(H_1|E) = 1/3$ , $P(H_2|E) = 2/3$ , $P(H_3|E) = 0$ . Troca!
Ex. 79.38DesafioGabarito
Demonstre o teorema de Bayes a partir da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total para uma partição $\{H_1, \ldots, H_n\}$ .
Selecione a alternativa correta
$P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i)P(H_i) / \sum_j P(E \mid H_j)P(H_j)$ — de $P(H_i \cap E)/P(E)$ pela lei da prob. total $P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) / P(H_i)$ — inverte numerador e denominador do prior $P(H_i \mid E) = P(H_i) / P(E)$ — esquece o fator de verossimilhança $P(E \mid H_i)$ $P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) \times P(H_i)$ — esquece a normalização pelo denominador
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OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.14
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Por definição de probabilidade condicional: $P(H_i \mid E) = P(H_i \cap E)/P(E)$ . Pelo teorema da multiplicação: $P(H_i \cap E) = P(E \mid H_i)P(H_i)$ . Pela lei da probabilidade total: $P(E) = \sum_j P(E \mid H_j)P(H_j)$ . Substituindo: $P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i)P(H_i)/\sum_j P(E \mid H_j)P(H_j)$ . $\square$
Ex. 79.39DemonstraçãoGabarito
Demonstre que a forma de odds de Bayes (posterior odds = LR $\times$ prior odds) segue diretamente do teorema de Bayes para dois eventos complementares $H$ e $\neg H$ .
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Posterior odds $=$ LR $\times$ prior odds — o fator $P(E)$ cancela no quociente posterior/complementoPosterior odds $=$ LR $+$ prior odds — as duas razões se somam linearmentePosterior odds $=$ LR $\times P(E)$ — o denominador não cancela no quocienteA forma de odds só vale para priors uniformes com $P(H) = P(\neg H) = 1/2$
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OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.16
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Para $\{H, \neg H\}$ : $P(H \mid E) = P(E \mid H)P(H)/P(E)$ e $P(\neg H \mid E) = P(E \mid \neg H)P(\neg H)/P(E)$ . Dividindo: $P(H \mid E)/P(\neg H \mid E) = [P(E \mid H)/P(E \mid \neg H)] \times [P(H)/P(\neg H)]$ . O fator $P(E)$ cancela no quociente. Posterior odds = LR $\times$ prior odds. $\square$
Ex. 79.40Demonstração
Mostre que a média do posterior Beta( $\alpha + k$ , $\beta + n - k$ ) converge para o MLE $k/n$ quando $n \to \infty$ , para qualquer prior fixo Beta( $\alpha, \beta$ ). O que isso implica sobre a relação assintótica entre inferência bayesiana e frequentista?
Selecione a alternativa correta
A média posterior converge para $k/n$ quando $n \to \infty$ para qualquer prior fixo Beta $(\alpha,\beta)$ — Bayes e MLE convergemA média posterior nunca converge para o MLE; o prior sempre distorce o estimador assintoticamenteA convergência ocorre somente quando $\alpha = \beta = 1$ (prior uniforme)A média posterior converge para $\alpha/(\alpha+\beta)$ (média do prior) mesmo para $n \to \infty$
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OpenIntro Statistics · §3.4 · ex. 3.20
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Com $n$ lançamentos e $k$ caras, MLE = $k/n$ . Média posterior com Beta( $\alpha, \beta$ ): $(\alpha + k)/(\alpha + \beta + n)$ . Quando $n \to \infty$ : $(\alpha + k)/(\alpha + \beta + n) \to k/n$ , pois os termos $\alpha, \beta$ tornam-se negligenciáveis. Para qualquer prior fixo (com $\alpha + \beta$ finito), o posterior concentra-se na MLE. Implicação: com dados suficientes, bayes e frequentismo convergem — o prior é "apagado" pela likelihood.

Fontes

Grinstead, C.M. & Snell, J.L. — Introduction to Probability (2nd ed.) · GNU FDL · Dartmouth College. Capítulo 4 (§4.1): Probabilidade condicional, independência, teorema de Bayes — fonte primária da maioria dos exercícios de urnas, moedas e demonstrações desta lição.
Diez, D.M., Çetinkaya-Rundel, M., Barr, C.D. — OpenIntro Statistics (4th ed.) · CC-BY-SA · OpenIntro. Seções §3.2–3.4: probabilidade condicional, Bayes, tabelas de frequência e atualização bayesiana — fonte dos exercícios de VPP, atualização sequencial e prior conjugado.
Illowsky, B. & Dean, S. — Statistics (OpenStax) · CC-BY · OpenStax. Seção §3.4 (Contingency Tables and Probability Trees): diagnóstico médico, spam filtering e árvores de probabilidade — base dos exercícios de Naive Bayes e fraude.