v1 · padrão canônico

Lição 100 — Consolidação Trimestre 10 (EDOs)

Workshop integrador de EDOs: separáveis, lineares de 1ª ordem, populações, 2ª ordem com coeficientes constantes, vibrações, RLC, Euler numérico e resfriamento de Newton.

Usado em: AP Calculus BC (EUA) · Leistungskurs Mathematik Klasse 12 (Alemanha) · H2 Mathematics (Singapura) · Spécialité Maths Terminale (França)

\underbrace{y' + p(x)\,y = q(x)}_{\text{1ª ordem linear}} \quad \Big| \quad \underbrace{ay'' + by' + cy = q(x)}_{\text{2ª ordem coef.\,constantes}}

Dois modelos estruturais cobrem quase toda aplicação do trimestre. O da esquerda resolve com fator integrante $\mu = e^{\int p\,dx}$ . O da direita resolve pela equação característica $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ . Casos não analíticos recebem Euler ou RK4.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Mapa de técnicas e critérios de decisão

"The existence and uniqueness theorem says: there is exactly one solution curve through each point (x₀, y₀) where f and ∂f/∂y are continuous." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.2

"The idea behind the integrating factor is to write the left-hand side as an exact derivative." — OpenStax Calculus Vol. 2 §4.5

Tabela de técnicas do trimestre:

EDO	Forma canônica	Técnica	Solução geral
Separável	$y' = g(x)h(y)$	Separa e integra	Implícita
Linear 1ª	$y'+py=q$	$\mu=e^{\int p}$	$y = \frac{1}{\mu}\int\mu q\,dx + C$
Malthus	$\dot P = rP$	Separável	$P = P_0 e^{rt}$
Logística	$\dot P = rP(1-P/K)$	Separável + frações parciais	$P = K/(1+Ae^{-rt})$
Resfriamento	$\dot T = -k(T-T_a)$	Separável	$T = T_a + (T_0-T_a)e^{-kt}$
2ª homogênea	$ay''+by'+cy=0$	Char. $a\lambda^2+b\lambda+c=0$	3 casos
2ª forçada	$ay''+by'+cy=q$	$y_h + y_p$	Coef. a det.
Euler numérico	Qualquer	$y_{n+1}=y_n+hf$	Sequência

Observação

Analogia eletro-mecânica. A tabela

Mecânico	Elétrico
Massa $m$	Indutância $L$
Amortecedor $c$	Resistência $R$
Mola $k$	$1/C$
Força $F$	Tensão $V$
Posição $x$	Carga $Q$

é exata porque ambos os sistemas são modelados pela mesma EDO de 2ª ordem. Engenheiros trocam sistemas mecânicos por circuitos — mais fáceis de medir — e importam resultados de volta.

SVG — Diagrama de decisão EDO

Exemplos resolvidos

Exemplo· Fator integrante: EDO linear de 1ª ordem com q(x) não trivial

Problema. Resolva $y' + (2/x)y = x^2$ .

Estratégia. Identificar $p(x) = 2/x$ e calcular $\mu = e^{\int 2/x\,dx} = x^2$ . Multiplicar a EDO por $\mu$ e reconhecer o lado esquerdo como derivada de produto.

Resolução.

\frac{d}{dx}(x^2 y) = x^4 \;\Longrightarrow\; x^2 y = \frac{x^5}{5} + C \;\Longrightarrow\; y = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2}.

Verificação. $y' = 3x^2/5 - 2C/x^3$ . Substitui: $y' + 2y/x = 3x^2/5 - 2C/x^3 + 2x^2/5 + 2C/x^3 = x^2$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2 §4.5, Example 4.14.

Exemplo· Equação característica com raízes complexas e condições iniciais

Problema. Resolva o PVI $y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1$ .

Estratégia. Calcular a equação característica $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$ . Raízes complexas $\alpha \pm i\beta$ dão solução com exponencial e funções trigonométricas. Usar as CIs para determinar $C_1, C_2$ .

Resolução.

\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = -1 \pm 2i.

y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2 \sin 2x).

CI em $x=0$ : $y(0) = C_1 = 1$ .

y' = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x).

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = -1 + 2C_2 = -1$ , logo $C_2 = 0$ .

Solução: $y = e^{-x}\cos 2x$ .

Verificação. $y' = -e^{-x}\cos 2x - 2e^{-x}\sin 2x$ ; $y'' = e^{-x}\cos 2x + 4e^{-x}\sin 2x - 2e^{-x}\sin 2x + ..$ — após álgebra, $y'' + 2y' + 5y = 0$ . Confere.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.2, Example 2.2.4.

Exemplo· Modelo logístico com dados populacionais reais

Problema. População de uma cidade: 50 mil em 2000, 80 mil em 2010. Capacidade de suporte estimada em 200 mil. Modelo logístico $\dot P = rP(1-P/K)$ . Ache $r$ e preveja a população em 2030.

Estratégia. A solução logística é $P(t) = K/(1+Ae^{-rt})$ . Usar $P(0) = 50$ para achar $A$ ; usar $P(10) = 80$ para achar $r$ ; calcular $P(30)$ .

Resolução. $K = 200$ , $P(0) = 200/(1+A) = 50 \Rightarrow A = 3$ .

P(t) = \frac{200}{1 + 3e^{-rt}}.

$P(10) = 200/(1+3e^{-10r}) = 80 \Rightarrow 1 + 3e^{-10r} = 2{,}5 \Rightarrow e^{-10r} = 0{,}5$ .

$r = \ln 2/10 \approx 0{,}0693$ ano⁻¹.

$P(30) = 200/(1 + 3e^{-30 \times 0{,}0693}) = 200/(1 + 3 \times 0{,}125) = 200/1{,}375 \approx 145$ mil.

Verificação. $P(0) = 200/4 = 50$ . $P(10) = 200/(1+3/2) = 200/2{,}5 = 80$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2 §4.4, Example 4.11.

Exemplo· Método de Euler aplicado a resfriamento de Newton: erro vs. passo

Problema. Café a 90 °C, $T_a = 22$ °C, $k = 0{,}1$ min⁻¹. Use Euler com $h = 2$ min para calcular $T(4)$ . Compare com o valor exato.

Estratégia. EDO: $T' = -0{,}1(T - 22)$ , $T(0) = 90$ . Dois passos de Euler. Solução exata: $T(t) = 22 + 68e^{-0{,}1t}$ .

Resolução.

Passo 1 ( $t=0 \to 2$ ): $f(0, 90) = -0{,}1(90-22) = -6{,}8$ . $T(2) \approx 90 + 2\times(-6{,}8) = 76{,}4$ °C.

Passo 2 ( $t=2 \to 4$ ): $f(2, 76{,}4) = -0{,}1(76{,}4-22) = -5{,}44$ . $T(4) \approx 76{,}4 + 2\times(-5{,}44) = 65{,}52$ °C.

Exato: $T(4) = 22 + 68e^{-0{,}4} = 22 + 68\times 0{,}6703 \approx 67{,}6$ °C.

Erro: $67{,}6 - 65{,}5 = 2{,}1$ °C (cerca de 3%). Com $h = 0{,}5$ min o erro cai a 0,13%.

Verificação. Fórmula de erro local de Euler: $O(h^2) = O(4) = 0{,}1^2 \times 68 \times (e^{-0{,}1 \times 0}/2) \approx 0{,}34$ °C por passo, acumulando a ~0,68 °C — ordem correta.

Fonte. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico Cap. 8, Seção 8.2, Exemplo 8.3.

Lista de exercícios

45 exercícios · 11 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 30Compreensão 7Modelagem 5Desafio 3

Fontes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versão 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.2–2.6, §8.2: fonte primária para EDOs de 1ª e 2ª ordem, sistemas dinâmicos e revisão integrada.
OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.3–4.5: separáveis, lineares, logística e resfriamento com exercícios de síntese.
REAMAT UFRGS. Cálculo Numérico (Python). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/main.html — Cap. 8: Euler, ordem de convergência, RK4 e estabilidade.