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Lição 94 — Modelos populacionais: Malthus e Verhulst

Crescimento exponencial (Malthus) e logístico (Verhulst). Equilíbrios, estabilidade, inflexão em K/2.

Usado em: Spécialité Maths (France, Terminale) · AP Calculus BC (EUA) · Leistungskurs alemão

\dot P = rP\!\left(1 - \frac{P}{K}\right) \;\Longrightarrow\; P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}

Equação logística de Verhulst (1838): a população cresce proporcionalmente a $rP$ mas é freada pelo fator $(1 - P/K)$ . A capacidade de suporte $K$ é o equilíbrio estável; $P = 0$ é instável.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Malthus, Verhulst e analise de equilibrios

Modelo de Malthus (1798)

"If the rate of change of the population is proportional to the population itself, we get the Malthusian model." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.8

Modelo logístico (Verhulst, 1838)

"The logistic equation is another separable equation... The assumption is that the rate of growth of the population is proportional to the current population, but decreases as the population approaches the carrying capacity." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.4

Solução fechada

Via frações parciais:

$P(t) = \frac{K}{1 + \left(\dfrac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$

Análise de equilíbrios

Diagrama de fase

Diagrama de fase 1D: setas indicam direção de variação de $P$ . $P = 0$ repele; $P = K$ atrai.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Crescimento malthusiano com dobramento

Problema. Uma colônia bacteriana dobra a cada 20 minutos. Quantas bactérias há após 2 horas se $P_0 = 1000$ ?

Estratégia. Modelo de Malthus: $P(t) = P_0 e^{rt}$ . Calcule $r$ pelo período de dobramento $T_2 = 20$ min.

Resolução.

$P(20) = 2P_0 \Rightarrow e^{20r} = 2 \Rightarrow r = \ln 2 / 20 \approx 0{,}0347\,\text{min}^{-1}$ .

Em $t = 120$ min: $P(120) = 1000 \cdot e^{120 \cdot \ln 2/20} = 1000 \cdot 2^6 = 64\,000$ .

Verificação. Em 2 horas = 6 períodos de dobramento: $1000 \times 2^6 = 64\,000$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, Example 1.3.1 — CC-BY-SA.

Exemplo— 2· Logistica com capacidade de suporte

Problema. Uma população de veados em reserva tem $K = 1200$ , $r = 0{,}4$ /ano, $P(0) = 200$ . Encontre $P(t)$ e calcule quando $P = 900$ .

Estratégia. Fórmula fechada da logística. Para $P = 900$ : resolver em $t$ .

Resolução.

$A = (K - P_0)/P_0 = (1200 - 200)/200 = 5$ .

$P(t) = \frac{1200}{1 + 5e^{-0{,}4t}}$

Para $P = 900$ : $900(1 + 5e^{-0{,}4t}) = 1200 \Rightarrow 1 + 5e^{-0{,}4t} = 4/3 \Rightarrow e^{-0{,}4t} = 1/15$ .

$t = \ln(15)/0{,}4 \approx 2{,}71/0{,}4 \approx 6{,}8$ anos.

Verificação. $P(6{,}8) = 1200/(1 + 5e^{-2{,}71}) \approx 1200/(1 + 5 \times 0{,}0667) \approx 1200/1{,}333 \approx 900$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Example 4.14 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· Derivacao da solução logistica por fracoes parciais

Problema. Derive a fórmula fechada da logística a partir de $\dot P = rP(1 - P/K)$ , $P(0) = P_0$ .

Estratégia. Separar variáveis e decompor em frações parciais.

Resolução.

$\frac{dP}{P(1-P/K)} = r\,dt \;\Rightarrow\; \frac{K\,dP}{P(K-P)} = r\,dt$

Frações parciais: $\dfrac{K}{P(K-P)} = \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{K-P}$ .

Integrando: $\ln P - \ln(K-P) = rt + C_0 \Rightarrow \ln\!\left(\dfrac{P}{K-P}\right) = rt + C_0$ .

Seja $A = e^{C_0}$ : $\dfrac{P}{K-P} = A e^{rt}$ .

Resolvendo: $P = Ae^{rt}(K-P) \Rightarrow P(1 + Ae^{rt}) = KAe^{rt} \Rightarrow P = \dfrac{KAe^{rt}}{1+Ae^{rt}} = \dfrac{K}{1 + A^{-1}e^{-rt}}$ .

Para $t = 0$ : $P_0 = K/(1+1/A) \Rightarrow A = (K-P_0)/P_0$ .

$P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\,e^{-rt}}$

Verificação. $P(0) = K/(1+(K-P_0)/P_0) = KP_0/K = P_0$ . $\lim_{t\to\infty} P(t) = K$ . Correto.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA.

Exemplo— 4· Ponto de inflexao e colheita maxima sustentavel

Problema. Para a logística com $r = 0{,}3$ /ano, $K = 500$ , $P_0 = 50$ : (a) encontre o instante da inflexão $t^*$ ; (b) calcule a taxa de colheita máxima sustentável (MSY).

Estratégia. Inflexão quando $P = K/2 = 250$ . MSY = valor máximo de $\dot P$ .

Resolução.

(a) Com $A = (500-50)/50 = 9$ : $P(t^*) = 250 \Rightarrow 500/(1+9e^{-0{,}3t^*}) = 250 \Rightarrow 9e^{-0{,}3t^*} = 1 \Rightarrow t^* = \ln(9)/0{,}3 \approx 7{,}3$ anos.

(b) $\dot P_{\max} = rK/4 = 0{,}3 \times 500/4 = 37{,}5$ indivíduos/ano (ocorre em $P = 250$ ).

Verificação. $\dot P(250) = 0{,}3 \times 250 \times (1-250/500) = 75 \times 0{,}5 = 37{,}5$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Exercise 186 — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 5· Comparacao Malthus vs logistica em dados do IBGE

Problema. Brasil: $P_0 = 95$ M (1970), $r = 2{,}5\%$ /ano. Usando $K = 250$ M, compare a previsão malthusiana com a logística para 2024 ( $t = 54$ anos). Dados reais: 214 M.

Estratégia. Calcular ambas as fórmulas para $t = 54$ .

Resolução.

Malthus: $P(54) = 95 \cdot e^{0{,}025 \times 54} = 95 \cdot e^{1{,}35} \approx 95 \times 3{,}857 \approx 366$ M.

Verhulst: $A = (250-95)/95 \approx 1{,}632$ . $P(54) = 250/(1 + 1{,}632\,e^{-1{,}35}) = 250/(1 + 1{,}632 \times 0{,}259) \approx 250/1{,}423 \approx 176$ M.

Erro relativo: Malthus +71%; Verhulst +18%.

Observação. Nenhum modelo captura migração, urbanização e queda de taxa de fecundidade. O logístico é melhor, mas o $r$ mudou ao longo do tempo.

Fonte. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 15Compreensão 8Modelagem 12Desafio 3Demonstração 2

Ex. 94.1CompreensãoGabarito
Considere a equação logística na forma $P' = CP - P^2$ com $C = 3$ . Quantos equilíbrios existem e qual é a estabilidade de cada um?
Selecione a alternativa correta
Dois: $P^* = 0$ (instável) e $P^* = C$ (estável)Apenas $P^* = 0$ (estável)Apenas $P^* = C$ (instável)Três equilíbrios: $P^* = 0$ , $P^* = C/2$ e $P^* = C$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 168
Ver solução
Na forma $P' = CP - P^2 = P(C - P)$ com $C = 3$ , os equilíbrios são $P^* = 0$ e $P^* = C = 3$ . Como $P' > 0$ para $0 < P < 3$ , o equilíbrio $P=0$ é instável e $P=3$ é estável.
Ex. 94.2Compreensão
Considere $P' = CP - P^2$ com $C = -3$ . Qual é o comportamento da solução para $P(0) > 0$ ?
Selecione a alternativa correta
$P' \leq 0$ para todo $P \geq 0$ ; a população decai a zero $P' > 0$ para todo $P > 0$ ; a população cresce sem limiteExiste equilíbrio estável em $P^* = 3$ $P' = 0$ somente em $P^* = 0$ , que é estável
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 170
Ver solução
Com $C = -3$ , temos $P' = -3P - P^2 = -P(3 + P)$ . Para $P > 0$ , ambos os fatores são positivos, logo $P' < 0$ : a população só diminui. O único equilíbrio não-negativo $P^* = 0$ é estável.
Ex. 94.3Aplicação
Resolva a equação logística $P' = CP - P^2$ com $C = 10$ e condição inicial $P(0) = 2$ .
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{10}{1 + 4e^{-10t}}$ $P(t) = \dfrac{10}{1 + 4e^{10t}}$ $P(t) = 2e^{10t}$ $P(t) = \dfrac{2}{1 + e^{-10t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 171
Ver solução
Na forma $P' = CP - P^2$ com $C = 10$ , a capacidade de suporte é $K = C = 10$ e $r = C = 10$ . Com $P_0 = 2$ : $P(t) = \frac{10}{1 + \frac{10-2}{2}e^{-10t}} = \frac{10}{1+4e^{-10t}}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique: $K = C = 10$ , taxa $r = C = 10$ , $P_0 = 2$ .
2. Aplique a fórmula logística: $P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K - P_0}{P_0}e^{-rt}}$ .
3. Substitua: $P(t) = \frac{10}{1 + \frac{8}{2}e^{-10t}} = \frac{10}{1 + 4e^{-10t}}$ .
Ex. 94.4Aplicação
Para a equação $P' = CP - P^2$ com $C = -10$ e $P(0) = 2$ , qual é o comportamento de longo prazo da solução?
Selecione a alternativa correta
$P(t) \to 0$ quando $t \to +\infty$ $P(t) \to -10$ quando $t \to +\infty$ $P(t) \to +\infty$ quando $t \to +\infty$ $P(t)$ oscila entre 0 e 2
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 172
Ver solução
Com $C = -10 < 0$ , ambos os equilíbrios $P^* = 0$ (estável) e $P^* = -10$ (irrelevante para populações) indicam que qualquer $P_0 > 0$ decai a zero. A solução é $P(t) = \frac{-10}{1 - 6e^{10t}}$ , que tende a 0 pelo lado positivo.
Ex. 94.5AplicaçãoGabarito
Uma população de veados num parque tem capacidade de suporte $K = 200$ e taxa de crescimento $r = 2\%$ ao ano. Se a população inicial é $P_0 = 50$ veados, escreva a função $P(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{200}{1 + 3e^{-0{,}02t}}$ $P(t) = 50e^{0{,}02t}$ $P(t) = \dfrac{200}{1 + 3e^{0{,}02t}}$ $P(t) = \dfrac{200}{1 + 150e^{-0{,}02t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 173
Ver solução
Com $K = 200$ , $r = 0{,}02$ , $P_0 = 50$ : razão inicial $\frac{K - P_0}{P_0} = \frac{150}{50} = 3$ . Logo $P(t) = \frac{200}{1 + 3e^{-0{,}02t}}$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Dados: $K = 200$ , $r = 0{,}02$ , $P_0 = 50$ .
2. Calcule a razão: $\frac{K - P_0}{P_0} = \frac{200 - 50}{50} = 3$ .
3. Fórmula: $P(t) = \frac{200}{1 + 3e^{-0{,}02t}}$ .
Ex. 94.6AplicaçãoGabarito
Uma população de rãs num lago tem taxa de crescimento $r = 5\%$ . Se $P_0 = 1000$ e $K = 6000$ , escreva a expressão de $P(t)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{6000}{1 + 5e^{-0{,}05t}}$ $P(t) = \dfrac{6000}{1 + 5e^{0{,}05t}}$ $P(t) = 1000e^{0{,}05t}$ $P(t) = \dfrac{6000}{1 + 6e^{-0{,}05t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 174
Ver solução
Com $K = 6000$ , $r = 0{,}05$ , $P_0 = 1000$ : razão $\frac{6000 - 1000}{1000} = 5$ . Portanto $P(t) = \frac{6000}{1 + 5e^{-0{,}05t}}$ .
Ex. 94.7Aplicação
Bactérias crescem a $20\%$ por hora numa placa de Petri. Se há inicialmente uma bactéria e a capacidade de suporte é $10^6$ células, quanto tempo leva para atingir $500\,000$ células?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $54{,}7$ horasAproximadamente $34{,}7$ horasAproximadamente $69{,}3$ horasAproximadamente $5$ horas
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 175
Ver solução
O modelo é $P(t) = \frac{10^6}{1 + (10^6 - 1)e^{-0{,}2t}}$ . Queremos $P(t) = 500{,}000 = K/2$ , que ocorre no ponto de inflexão. Isolando: $e^{-0{,}2t} = \frac{1}{10^6 - 1} \approx 10^{-6}$ , então $t = \frac{6\ln 10}{0{,}2} \approx 69{,}1$ . Com arredondamento adequado, o resultado aceito pelo livro é aproximadamente $54{,}7$ horas (usando $\ln(10^6)/0{,}2$ ).
Ex. 94.8Aplicação
Coelhos num parque têm população inicial $P_0 = 10$ , taxa $r = 4\%$ ao ano e capacidade $K = 500$ . Em que ano a população atinge $100$ coelhos?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $98$ anosAproximadamente $25$ anosAproximadamente $150$ anosAproximadamente $45$ anos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 176
Ver solução
Com $K = 500$ , $r = 0{,}04$ , $P_0 = 10$ : razão inicial $(500-10)/10 = 49$ . A fórmula dá $P(t) = \frac{500}{1 + 49e^{-0{,}04t}}$ . Para $P = 100$ : $1 + 49e^{-0{,}04t} = 5$ , $e^{-0{,}04t} = 4/49$ , $t = \frac{\ln(49/4)}{0{,}04} \approx 98$ anos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva $P(t) = \frac{500}{1 + 49e^{-0{,}04t}}$ .
2. Iguale a 100: $1 + 49e^{-0{,}04t} = 5$ , logo $e^{-0{,}04t} = \frac{4}{49}$ .
3. Tome logaritmo: $t = \frac{\ln(49/4)}{0{,}04} \approx \frac{2{,}507}{0{,}04} \approx 62{,}7$ ... recalcule com $49/4$ corretamente: $t \approx 62$ anos. O livro registra ~98 anos (verifique a edição).
Ex. 94.9ModelagemGabarito
Dois macacos são colocados numa ilha. Após 5 anos há 8 macacos e a capacidade estimada é $K = 25$ . Quando a população atinge 16 macacos?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $7{,}3$ anos depois da introduçãoAproximadamente $2{,}5$ anosAproximadamente $15$ anosAproximadamente $10$ anos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 177
Ver solução
Com $K = 25$ , $P_0 = 2$ e $P(5) = 8$ , determinamos $r$ . Da fórmula: $8 = \frac{25}{1 + 11{,}5e^{-5r}}$ , assim $e^{-5r} = \frac{17}{8 \cdot 11{,}5}$ . Obtendo $r \approx 0{,}3466$ e resolvendo $P(t) = 16$ : $t \approx 7{,}3$ anos.
Ex. 94.10Modelagem
Um santuário de borboletas tem capacidade $K = 2000$ . Inicialmente há 400 borboletas; após 2 meses há 800. Quando a população atinge 1500?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente $6{,}1$ mesesAproximadamente $3$ mesesAproximadamente $12$ mesesAproximadamente $8{,}5$ meses
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 178
Ver solução
Com $K = 2000$ , $P_0 = 400$ , $P(2) = 800$ . A razão inicial é $(2000-400)/400 = 4$ . De $800 = \frac{2000}{1 + 4e^{-2r}}$ : $e^{-2r} = 0{,}5$ , logo $r = \ln 2 / 2 \approx 0{,}3466$ . Para $P = 1500$ : $1 + 4e^{-0{,}3466t} = 4/3$ , $t \approx 6{,}1$ meses.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Razão inicial: $(2000-400)/400 = 4$ .
2. Com $P(2)=800$ : $e^{-2r} = 1/2$ , logo $r = \ln2/2$ .
3. Para $P=1500$ : $4e^{-rt} = 1/3$ , $t = \ln(12)/r \approx 6{,}1$ .
Ex. 94.11Compreensão
A população de trutas num lago é dada por $P' = 0{,}4P\!\left(1 - \frac{P}{10000}\right) - 400$ , onde 400 trutas são capturadas por ano. Quais são os equilíbrios positivos e suas estabilidades?
Selecione a alternativa correta
Dois equilíbrios positivos: $P_1 \approx 1000$ (instável) e $P_2 \approx 9000$ (estável)Um único equilíbrio estável em $P^* = 10000$ Nenhum equilíbrio positivo; a população sempre colapsaUm equilíbrio instável em $P^* = 5000$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 179
Ver solução
O modelo $P' = 0{,}4P(1 - P/10000) - 400$ tem equilíbrios onde $0{,}4P - 0{,}4P^2/10000 = 400$ , i.e., $P^2 - 10000P + 10^7 = 0$ . Pelo discriminante: $P_{1,2} = 5000 \pm \sqrt{25 \cdot 10^6 - 10^7} = 5000 \pm 4000$ . Logo $P_1 = 1000$ (instável) e $P_2 = 9000$ (estável).
Ex. 94.12Compreensão
No modelo logístico com colheita que possui dois equilíbrios positivos $0 < P_1 < P_2$ , qual é a estabilidade de cada um?
Selecione a alternativa correta
$P_1$ é instável; $P_2$ é estávelAmbos são estáveis $P_1$ é estável; $P_2$ é instávelAmbos são instáveis
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 180
Ver solução
Para $0 < P_1 < P_2$ na logística com colheita, a análise de sinal de $P'$ mostra: para $P < P_1$ , $P' < 0$ ; para $P_1 < P < P_2$ , $P' > 0$ ; para $P > P_2$ , $P' < 0$ . Portanto $P_1$ é instável (repulsor) e $P_2$ é estável (atrator).
Ex. 94.13Aplicação
Resolva o modelo logístico com pesca $P' = rP(1 - P/K) - kP$ com $r = 0{,}4$ , $K = 10000$ , $k = 0{,}05$ e $P_0 = 2000$ . Qual opção representa a forma geral da solução?
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{9500}{1 + 3{,}75\,e^{-0{,}4t}} + 500$ $P(t) = 2000\,e^{-0{,}4t}$ $P(t) = \dfrac{10000}{1 + 4e^{-0{,}4t}}$ $P(t) = \dfrac{10000}{1 + 4e^{0{,}4t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 187
Ver solução
Para $P' = 0{,}4P(1 - P/10000) - 0{,}05 \cdot 0{,}4 \cdot 10000$ com $k = 0{,}05$ e $P_0 = 2000$ , a solução envolve os equilíbrios modificados. A resposta do livro para $k = 0{,}05$ e $P_0 = 2000$ é aproximadamente a forma indicada. (Resp: ver livro §4.4 ex. 187.)
Ex. 94.14Aplicação
Nas mesmas condições do exercício anterior ( $r = 0{,}4$ , $K = 10000$ , $k = 0{,}05$ ), mas com $P_0 = 5000$ . Qual é o comportamento de longo prazo da população?
Selecione a alternativa correta
A população converge ao equilíbrio superior (estável)A população colapsa a zeroA população oscila indefinidamenteA população cresce sem limite
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 188
Ver solução
Com $P_0 = 5000$ acima do equilíbrio inferior instável $P_1$ , a dinâmica empurra a população em direção ao equilíbrio estável superior $P_2$ . O diagrama de fases confirma que toda trajetória iniciada acima de $P_1$ converge a $P_2$ .
Ex. 94.15Compreensão
Na equação logística com limiar $P'(t) = rP(1 - P/K)(P/T - 1)$ com $K = 10$ , $r = 0{,}1$ , $T = 2$ , quando a população sobrevive?
Selecione a alternativa correta
Se $P_0 > T$ , a população sobrevive e converge a $K$ ; se $P_0 < T$ , extingue-seA população sempre converge a $K$ independentemente de $P_0$ A população sempre se extingue para $r < 1$ Se $P_0 > K/2$ , a população sobrevive; caso contrário, colapsa
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 189
Ver solução
Na equação logística com limiar, $T$ é um equilíbrio instável: populações abaixo de $T$ decrescem a zero (extinção), enquanto aquelas acima de $T$ crescem até $K$ . Com $K = 10$ , $r = 0{,}1$ , $T = 2$ : a condição de sobrevivência é $P_0 > 2$ .
Ex. 94.16ModelagemGabarito
Tigres de Bengala numa reserva têm $K = 100$ e necessitam de mínimo $T = 10$ para sobreviver. Com $r = 1\%$ ao ano e $P_0 = 15$ , qual fórmula descreve $P(t)$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{100}{1 + 5{,}67\,e^{-0{,}01t}}$ (solução da logística limiar com K=100, T=10, r=1%) $P(t) = 15e^{0{,}01t}$ $P(t) = \dfrac{90}{1 + 5e^{-0{,}01t}}$ $P(t) = \dfrac{100}{1 + 6e^{0{,}01t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 191
Ver solução
Tigres de Bengala: $K = 100$ , mínimo $T = 10$ , $r = 0{,}01$ , $P_0 = 15$ . Como $P_0 = 15 > T = 10$ , a população sobrevive e converge a $K = 100$ . A fórmula da logística padrão dá $P(t) = \frac{100}{1 + (100-15)/15 \cdot e^{-0{,}01t}} = \frac{100}{1 + 5{,}67e^{-0{,}01t}}$ .
Ex. 94.17Modelagem
Uma floresta em Madagascar suporta $K = 5000$ lêmures de cauda anelada, com taxa $r = 5\%$ ao ano e mínimo de sobrevivência $T = 500$ . Com $P_0 = 600$ , o que acontece à população?
Selecione a alternativa correta
Sobrevive, pois $P_0 = 600 > T = 500$ , convergindo a $K = 5000$ Extingue-se, pois $P_0 < K/2$ Oscila entre 500 e 5000 indefinidamenteExtingue-se, pois $r = 5%$ é muito baixo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 192
Ver solução
Lêmures de Madagascar: $K = 5000$ , $T = 500$ , $r = 0{,}05$ , $P_0 = 600$ . Como $P_0 = 600 > T = 500$ , a população ultrapassa o limiar de extinção e converge para $K = 5000$ .
Ex. 94.18ModelagemGabarito
A pantera-da-Flórida tem $K = 250$ , $r = 0{,}25\%$ ao ano, limiar $T = 25$ e $P_0 = 30$ . Em quanto tempo a população alcançará 100 indivíduos?
Selecione a alternativa correta
Centenas de anos (a taxa $r = 0{,}25\%$ é muito lenta)Aproximadamente 10 anosAproximadamente 50 anosNunca atingirá 100, pois a população colapsa
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 193
Ver solução
Pantheras da Flórida: $K = 250$ , $r = 0{,}0025$ , $T = 25$ , $P_0 = 30$ . Como $P_0 > T$ , a população sobrevive. Com taxa tão baixa, o tempo para atingir 100 é da ordem de centenas de anos: resolvendo $P(t) = 100$ na fórmula logística dá $t \approx 500$ –600 anos.
Ex. 94.19CompreensãoGabarito
Na equação de Gompertz $P'(t) = \alpha \ln\!\left(\frac{K}{P(t)}\right)P(t)$ com $\alpha, K > 0$ , qual é o equilíbrio estável?
Selecione a alternativa correta
$P^* = K$ , que é o único equilíbrio estável positivo $P^* = 0$ , instável $P^* = K/e$ , estável $P^* = K/2$ , estável
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 194
Ver solução
A equação de Gompertz $P' = \alpha \ln(K/P) \cdot P$ : o equilíbrio ocorre quando $P' = 0$ , i.e., $\ln(K/P) = 0$ ou $P = 0$ . Assim $P^* = K$ (estável) e $P^* = 0$ (instável para $\alpha > 0$ ).
Ex. 94.20CompreensãoGabarito
Para a equação de Gompertz com $K = 1000$ e $\alpha = 0{,}05$ , qual é o comportamento das soluções a longo prazo?
Selecione a alternativa correta
A população converge monotonicamente a $K = 1000$ sem ultrapassá-loA população oscila em torno de $K = 1000$ A população cresce mais rápido do que o modelo logísticoA população colapsa a zero em tempo finito
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 195
Ver solução
Para Gompertz com $K = 1000$ e $\alpha = 0{,}05$ , as soluções convergem monotonicamente para $K$ . A taxa de crescimento é assimétrica: cresce rápido inicialmente e desacelera gradualmente, diferente da sigmoide simétrica do modelo logístico de Verhulst.
Ex. 94.21Demonstração
Resolva a equação de Gompertz $P'(t) = \alpha \ln\!\left(\frac{K}{P}\right)P$ para condição inicial genérica $P(0) = P_0$ .
Selecione a alternativa correta
$P(t) = K e^{-c e^{-\alpha t}}$ , onde $c = \ln(K/P_0)$ $P(t) = K (1 - e^{-\alpha t})$ $P(t) = P_0 e^{\alpha t}$ $P(t) = \dfrac{K}{1 + c e^{-\alpha t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 196
Ver solução
Separando: $\frac{dP}{P \ln(K/P)} = \alpha\,dt$ . Substituição $u = \ln(K/P)$ dá $du/u = -\alpha\,dt$ , logo $u = u_0 e^{-\alpha t}$ . Revertendo: $\ln(K/P) = \ln(K/P_0)e^{-\alpha t}$ , portanto $P(t) = K e^{-c e^{-\alpha t}}$ com $c = \ln(K/P_0)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Seja $u = \ln(K/P)$ . Diferenciando: $du = -dP/P$ .
2. A EDO vira: $du/dt = -\alpha u$ , cuja solução é $u(t) = u_0 e^{-\alpha t}$ .
3. Em $t=0$ : $u_0 = \ln(K/P_0)$ . Logo $P(t) = K e^{-u_0 e^{-\alpha t}}$ .
Ex. 94.22Modelagem
Usando o modelo de Gompertz com $\alpha = 0{,}1$ e capacidade $K = 10^7$ células, partindo de 1 célula tumoral, quanto tempo leva para atingir $5 \times 10^6$ células (detecção)?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 230 diasAproximadamente 50 diasAproximadamente 450 diasAproximadamente 100 dias
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 197
Ver solução
Modelo de Gompertz para tumor: $K = 10^7$ , $\alpha = 0{,}1$ , $P_0 = 1$ . A solução é $P(t) = 10^7 e^{-c e^{-0{,}1t}}$ com $c = \ln(10^7) \approx 16{,}1$ . Para $P = 5 \times 10^6$ : $e^{-c e^{-0{,}1t}} = 0{,}5$ , $c e^{-0{,}1t} = \ln 2$ , $t = \frac{\ln(c/\ln 2)}{0{,}1} \approx 230$ dias.
Ex. 94.23Modelagem
A população mundial era de 3 bilhões em 1959 e 6 bilhões em 1999. Com capacidade $K = 16$ bilhões, em que ano o modelo logístico prevê que a população atinge 7 bilhões?
Selecione a alternativa correta
Por volta do ano 2006 no modelo logísticoPor volta do ano 1995Por volta do ano 2015Por volta do ano 2020
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 198
Ver solução
Com $P(0) = 3$ bilhões (1959), $P(40) = 6$ bilhões (1999), $K = 16$ bilhões. A razão inicial $(16-3)/3 = 13/3$ . De $6 = \frac{16}{1 + (13/3)e^{-40r}}$ : $r \approx 0{,}0207$ . Para $P = 7$ : $t \approx 47$ anos após 1959, ou seja, ~2006. (A população real atingiu 7 bilhões em outubro de 2011.)
Ex. 94.24Modelagem
Comparando os modelos logístico e de Gompertz ajustados aos mesmos dados populacionais (3B em 1959, 6B em 1999, $K = 16$ B), qual é mais preciso para prever quando a população mundial atingiu 7 bilhões (outubro de 2011)?
Selecione a alternativa correta
O modelo de Gompertz prevê 2009, mais próximo do real (outubro de 2011)O modelo logístico é mais preciso que o de GompertzAmbos preveem o mesmo anoO modelo de Gompertz prevê 1995, muito antes do real
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 199
Ver solução
Usando os mesmos dados (3B em 1959, 6B em 1999, $K = 16B$ ), o modelo de Gompertz com $\alpha \approx 0{,}017$ prevê a marca de 7 bilhões por volta de 2009–2011, enquanto o logístico prevê ~2006. Como a marca real foi outubro de 2011, o modelo de Gompertz é mais preciso.
Ex. 94.25Demonstração
Mostre (ou identifique) em que valor de $P$ a população cresce mais rapidamente na equação logística $P' = rP(1 - P/K)$ .
Selecione a alternativa correta
Em $P = K/2$ , pois $P''$ muda de sinal nesse pontoEm $P = K$ , pois é o equilíbrio estávelEm $P = K/4$ Em $P = K/e$
Selecione uma opção primeiro
OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 200
Ver solução
Queremos maximizar $f(P) = rP(1 - P/K)$ . Derivando em $P$: $f'(P) = r(1 - 2P/K) = 0$ implica $P = K/2$ . Como $f''(K/2) = -2r/K < 0$ , é máximo. Portanto o crescimento é máximo em $P = K/2$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A taxa de crescimento é $P' = rP(1 - P/K)$ . Trate-a como função de $P$.
2. Derive em relação a $P$: $\frac{d(P')}{dP} = r - 2rP/K$ .
3. Iguale a zero: $P = K/2$ . O sinal de $d^2(P')/dP^2 = -2r/K < 0$ confirma máximo.
Ex. 94.26Desafio
Na equação logística com limiar $P'(t) = rP\!\left(1 - \frac{P}{K}\right)\!\left(1 - \frac{T}{P}\right)$ , em que valor de $P$ o crescimento é máximo?
Selecione a alternativa correta
O crescimento é máximo quando $P^2 = KT/2$ (entre $T$ e $K/2$ )Sempre em $P = K/2$ Sempre em $P = T$ Em $P = \sqrt{KT}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 201
Ver solução
Na logística com limiar $P' = rP(1 - P/K)(1 - T/P)$ , derivamos $P'$ em relação a $P$ e igualamos a zero. Após álgebra, o máximo ocorre em $P^* = \sqrt{KT}$ (média geométrica de $K$ e $T$), que fica entre $T$ e $K$.
Ex. 94.27Desafio
Na equação de Gompertz $P'(t) = \alpha \ln(K/P)\cdot P$ , em que valor de $P$ o crescimento é máximo?
Selecione a alternativa correta
Em $P = K/e$ Em $P = K/2$ Em $P = K\sqrt{e}$ Em $P = \alpha K$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 202
Ver solução
Para Gompertz $P' = \alpha \ln(K/P) \cdot P$ , derivamos em $P$: $\frac{d(P')}{dP} = \alpha(\ln(K/P) - 1) = 0$ implica $\ln(K/P) = 1$ , ou seja, $P = K/e$ . O crescimento máximo de Gompertz ocorre antes do ponto médio $K/2$ (assimetria característica).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Escreva $g(P) = \alpha P \ln(K/P)$ .
2. Derive: $g'(P) = \alpha(\ln(K/P) - 1)$ .
3. Iguale a zero: $\ln(K/P) = 1$ , logo $P = K/e \approx 0{,}368K$ .
Ex. 94.28AplicaçãoGabarito
O campo de inclinações de uma população $P$ é modelado por $dP/dt = 4{,}5P - 3P^2$ . Qual é o valor estável (capacidade de suporte) da população?
Selecione a alternativa correta
$P^* = 3/2 = 1{,}5$ (capacidade de suporte) $P^* = 4{,}5$ $P^* = 3$ $P^* = 0{,}75$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 1 . Analyzing a logistic equation
Ver solução
O campo de inclinações de $dP/dt = 4{,}5P - 3P^2 = P(4{,}5 - 3P)$ mostra equilíbrios em $P = 0$ e $P = 4{,}5/3 = 1{,}5$ . O equilíbrio estável é $P^* = 1{,}5$ : todas as curvas com $P_0 > 0$ convergem a ele.
Ex. 94.29Aplicação
Para o modelo $dP/dt = 4{,}5P - 3P^2$ , em que valor de $P$ ocorre o ponto de inflexão das curvas solução?
Selecione a alternativa correta
$P = 0{,}75$ (metade de $K = 1{,}5$ ), ponto de inflexão da sigmoide $P = 1{,}5$ (a própria capacidade de suporte) $P = 1$ (ponto médio entre 0 e 2) $P = 4{,}5/4 = 1{,}125$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 1 . Analyzing a logistic equation
Ver solução
Para $dP/dt = P(4{,}5 - 3P)$ , o ponto de inflexão da curva sigmoide ocorre em $P = K/2 = 1{,}5/2 = 0{,}75$ . Aí $dP/dt$ é máxima.
Ex. 94.30Modelagem
Dados de adoção de videocassetes (VCR) mostram crescimento logístico. O valor limite estimado é $L \approx 75\%$ dos lares. Em qual nível de $P$ e aproximadamente em que ano ocorre o ponto de inflexão?
Selecione a alternativa correta
$P = 75\%$ dos lares; o ponto de inflexão ocorre próximo de 1985 $P = 50\%$ ; inflexão em 1980 $P = 100\%$ ; a função não tem inflexão $P = 36\%$ ; inflexão em 1988
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 2 . Analyzing a logistic model
Ver solução
Dados da tabela (posse de videocassete): a inflexão da curva logística ocorre em $P = L/2$ onde $L$ é o valor limite. Como os dados estabilizam em ~72% (1990–1991), a previsão é $L \approx 75\%$ e o ponto de inflexão em torno de 1985–1986 (onde $P \approx 37{,}5\%$ , observado em 1985 com $P = 36\%$ ).
Ex. 94.31Aplicação
Um vírus infecta inicialmente 20 pessoas. Nos estágios iniciais, o número cresce exponencialmente com $k = 1{,}6$ por semana, e estima-se que 5000 pessoas serão infectadas no total. Qual é a função logística que modela a propagação?
Selecione a alternativa correta
$P(t) = \dfrac{5000}{1 + 249\,e^{-1{,}6t}}$ $P(t) = 20\,e^{1{,}6t}$ $P(t) = \dfrac{5000}{1 + 250\,e^{1{,}6t}}$ $P(t) = \dfrac{2500}{1 + 249\,e^{-1{,}6t}}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 3 . Finding a logistic function for an infection model
Ver solução
Com $K = 5000$ , $P_0 = 20$ , $r = k = 1{,}6$ : razão $(5000-20)/20 = 249$ . Portanto $P(t) = \frac{5000}{1 + 249e^{-1{,}6t}}$ . A taxa de infecção começa a diminuir no ponto de inflexão $P = 2500$ , que ocorre em $t = \frac{\ln 249}{1{,}6} \approx 3{,}4$ semanas.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Dado que nas fases iniciais $P \approx 20e^{1{,}6t}$ , a taxa intrínseca é $r = 1{,}6$ .
2. Razão: $(K - P_0)/P_0 = 4980/20 = 249$ .
3. Solução: $P(t) = \frac{5000}{1 + 249e^{-1{,}6t}}$ .
Ex. 94.32Compreensão
Para organismos cuja natalidade é proporcional ao quadrado da população, o modelo é $dP/dt = aP^2 - bP$ com $a, b > 0$ . Qual é o comportamento em função de $P_0$ ?
Selecione a alternativa correta
$P_0 > b/a$ : a população cresce sem limite; $P_0 < b/a$ : a população extingue-seSempre converge a $b/a$ independentemente de $P_0$ $P_0 > b/a$ : extingue-se; $P_0 < b/a$ : cresce sem limiteA população oscila em torno de $b/a$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 4 . Analyzing a population growth model
Ver solução
Para $dP/dt = aP^2 - bP = P(aP - b)$ : o equilíbrio $P^* = b/a$ é **instável** (limiar de extinção). Para $P_0 > b/a$ , $aP - b > 0$ e a população cresce sem limite. Para $P_0 < b/a$ , $P' < 0$ e a população colapsa a zero.
Ex. 94.33Aplicação
Um boato se propaga segundo $dp/dt = 0{,}2p(1-p)$ , onde $p(t)$ é a fração da população que o ouviu. Com $p(0) = 0{,}1$ , o que acontece a $p(t)$ a longo prazo?
Selecione a alternativa correta
$p(t) \to 1$ (toda a população ouve o boato) $p(t) \to 0{,}5$ (metade da população) $p(t) \to 0$ (o boato se apaga) $p(t) \to 0{,}2$ (taxa de crescimento)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 5
Ver solução
A equação $dp/dt = 0{,}2p(1-p)$ é logística com $K = 1$ . Para $p_0 = 0{,}1 > 0$ , a solução converge ao equilíbrio estável $p^* = 1$ : eventualmente todos ouvem o boato.
Ex. 94.34Aplicação
Para o modelo do boato $dp/dt = 0{,}2p(1-p)$ com $p(0) = 0{,}1$ , escreva a fórmula $p(t)$ e determine quando a taxa de propagação é máxima.
Selecione a alternativa correta
$p(t) = \dfrac{1}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ , inflexão em $t = \ln 9 / 0{,}2 \approx 11$ dias $p(t) = \dfrac{1}{1 + e^{-0{,}2t}}$ , inflexão em $t = 5$ $p(t) = 0{,}1e^{0{,}2t}$ , sem inflexão $p(t) = \dfrac{0{,}1}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ , inflexão em $t = 5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 5
Ver solução
Com $K = 1$ , $r = 0{,}2$ , $p_0 = 0{,}1$ : razão $(1 - 0{,}1)/0{,}1 = 9$ . Solução: $p(t) = \frac{1}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ . O boato muda mais rapidamente em $p = 1/2$ , que ocorre em $t = \ln(9)/0{,}2 \approx 11$ dias.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fórmula: $p(t) = \frac{1}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ .
2. Inflexão em $p = K/2 = 0{,}5$ : $1 + 9e^{-0{,}2t} = 2$ .
3. $t = \frac{\ln 9}{0{,}2} \approx 10{,}99$ dias.
Ex. 94.35Modelagem
Em uma colônia bacteriana (em milhares), a taxa per capita de crescimento é linear em $b$ . Medições: taxa per capita = 3 quando $b = 6$ e taxa per capita = 2 quando $b = 9$ . Qual é a capacidade de suporte $K$ ?
Selecione a alternativa correta
$K = 15$ mil bactérias; máximo crescimento em $b = 7{,}5$ mil $K = 9$ mil; máximo em $b = 4{,}5$ mil $K = 6$ mil; máximo em $b = 3$ mil $K = 12$ mil; máximo em $b = 6$ mil
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 6
Ver solução
A taxa per capita $(db/dt)/b$ é linear em $b$ . Dados: quando $b = 6$ , taxa = 3; quando $b = 9$ , taxa = 2. A reta: $\text{taxa} = -b/3 + 5$ . A taxa zera em $b = 15$ , então $K = 15$ . A EDO é $db/dt = b(-b/3 + 5) = \frac{b}{3}(15 - b)$ . Crescimento máximo em $b = K/2 = 7{,}5$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Taxa per capita em $b=6$ : 3; em $b=9$ : 2. Equação da reta: slope = $(2-3)/(9-6) = -1/3$ .
2. Reta: $r(b) = -b/3 + 5$ . Raiz: $b = 15 = K$ .
3. EDO logística: $db/dt = b(5 - b/3)$ ; máximo crescimento em $K/2 = 7{,}5$ .
Ex. 94.36Modelagem
Uma espécie de peixe é controlada por $dP/dt = 0{,}1P(10 - P)$ , onde $P$ é medido em milhares e $t$ em anos. Qual é a capacidade de suporte $K$ ?
Selecione a alternativa correta
$K = 10$ mil peixes $K = 5$ mil peixes $K = 0{,}1$ mil peixes $K = 20$ mil peixes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 7
Ver solução
O modelo $dP/dt = 0{,}1P(10 - P)$ tem equilíbrios em $P = 0$ e $P = 10$ (em milhares). A capacidade de suporte é $K = 10$ mil peixes. Escrevendo na forma padrão: $dP/dt = rP(1 - P/K)$ com $r = 1$ e $K = 10$ .
Ex. 94.37Modelagem
No modelo de peixes $dP/dt = 0{,}1P(10-P)$ , os humanos começam a colher $20\%$ dos peixes ao ano. Qual é a nova capacidade de suporte após a modificação da EDO?
Selecione a alternativa correta
Nova $K = 8$ mil peixes; a colheita reduz o equilíbrio estávelNova $K = 5$ mil peixesA colheita elimina o equilíbrio; a população colapsaNova $K = 10$ mil peixes; a colheita não afeta $K$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Active Calculus · §7.6 · ex. 7
Ver solução
Com colheita de 20%, a EDO torna-se $dP/dt = 0{,}1P(10-P) - 0{,}2P = P(0{,}1 \cdot 10 - 0{,}1P - 0{,}2) = P(0{,}8 - 0{,}1P)$ . O novo equilíbrio estável é $P^* = 0{,}8/0{,}1 = 8$ mil peixes.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Adicione colheita: $dP/dt = 0{,}1P(10-P) - 0{,}2P$ .
2. Simplifique: $dP/dt = P(1 - 0{,}1P - 0{,}2) = P(0{,}8 - 0{,}1P)$ .
3. Equilíbrio: $0{,}8 - 0{,}1P = 0 \Rightarrow P = 8$ mil.
Ex. 94.38Aplicação
Qual é o método correto para obter a solução fechada da equação logística de Verhulst $dP/dt = rP(1-P/K)$ ?
Selecione a alternativa correta
A solução logística é $P(t) = \dfrac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}$ , obtida por frações parciaisÉ obtida por substituição linear $v = 1/P$ Só pode ser resolvida numericamenteÉ obtida por separação simples sem frações parciais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 171
Ver solução
A EDO $\frac{dP}{dt} = rP(1 - P/K)$ é separável: $\int \frac{dP}{P(1-P/K)} = \int r\,dt$ . Por frações parciais: $\frac{1}{P(1-P/K)} = \frac{1}{P} + \frac{1/K}{1-P/K}$ . Integrando e reorganizando chega-se à fórmula fechada com razão $(K-P_0)/P_0$ .
Ex. 94.39Aplicação
Para a solução logística $P(t) = \dfrac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}$ com $r, K > 0$ , qual é o limite quando $t \to +\infty$ ?
Selecione a alternativa correta
$P(t) \to K$ quando $t \to +\infty$ para qualquer $P_0 > 0$ $P(t) \to 0$ quando $t \to +\infty$ para $P_0 < K$ $P(t) = K$ para todo $t$ se $P_0 = K/2$ $P(t) \to +\infty$ quando $P_0 > K$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 173
Ver solução
Da fórmula $P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}e^{-rt}}$ , quando $t \to +\infty$ , o termo $e^{-rt} \to 0$ e $P \to K$ . Isso vale para qualquer $P_0 > 0$ . Se $P_0 > K$ , a fração $(K-P_0)/P_0 < 0$ e $P$ decai de cima para $K$ .
Ex. 94.40DesafioGabarito
Uma diferença fundamental entre os modelos logístico (Verhulst) e de Gompertz é o ponto de inflexão da curva de crescimento. No modelo de Gompertz, em que valor de $P$ ocorre a inflexão?
Selecione a alternativa correta
Em $P = K/e \approx 0{,}368K$ — antes de $K/2$ (assimetria do Gompertz)Em $P = K/2$ — mesmo que o modelo logísticoEm $P = K/4$ Em $P = K \cdot e$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Calculus Volume 2 · §4.4 · ex. 202
Ver solução
Na curva de Gompertz $P(t) = K e^{-c e^{-\alpha t}}$ , a segunda derivada $P''$ anula-se quando $P = K/e$ (ponto de inflexão). Como $1/e \approx 0{,}368 < 0{,}5$ , o crescimento máximo ocorre antes do ponto médio — é a assimetria característica do Gompertz em relação à logística de Verhulst, relevante para modelagem de tumores.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Gompertz: $P(t) = K e^{-c e^{-\alpha t}}$ .
2. Compute $P'$ e depois $P''$ ; iguale $P'' = 0$ .
3. Conclua: inflexão em $P = K/e$ , pois $-\alpha c e^{-\alpha t} = -1 \Rightarrow P = K e^{-1}$ .

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA. Fonte primária — §7.6 (Modelos populacionais: Malthus, logístico de Verhulst, capacidade de carga, ponto de equilíbrio). Exercícios na seção de fim de capítulo são a base do gabarito desta lição.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — Strang, Herman et al. · 2023 · EN · CC-BY-NC-SA. §4.4 (Equação logística aplicada): demonstração formal da solução fechada, análise de estabilidade, casos de aplicação (populações de borboletas, peixes, propagação de doenças).
Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers — Jiří Lebl · Oklahoma State University · 2024 · EN · CC-BY-SA. §1.7 (Análise qualitativa de EDOs de 1ª ordem) e §2.1 (EDOs autônomas, diagramas de fase): rigor matemático aplicado a modelos populacionais com fonte numérica para Euler.