Lição 98 — Método de Euler (numérico)

Considere $y'=4y$, $y(0)=0{,}5$. A solução exata é $y=0{,}5e^{4x}$. O método de Euler com $\Delta x=0{,}2$ produz em $x=0{,}2$ uma aproximação que é, em relação ao valor exato: (Resp: subestima; Euler: $y_1=0{,}9$)

Use o método de Euler com $\Delta t=1$ (1 passo) para resolver $dB/dt=0{,}06B$, $B(0)=1200$. Qual é $B(1)$? (Resp: $B(1)\approx1272$)

Continue o exercício de juros: $dB/dt=0{,}06B$, $B(0)=1200$. Agora com $\Delta t=0{,}5$ e 2 passos, $B(1)\approx$: (Resp: $\approx1273$)

Para $y'=6x$, $y(0)=2$, use Euler com 2 passos para estimar $y(1)$. O valor exato é $y(1)=5$. A aproximação com 2 passos é:

No exercício $y'=6x$, $y(0)=2$: ao passar de 2 para 4 passos de Euler até $x=1$, o que acontece com o erro?

Use o método de Euler com $\Delta x=0{,}1$ para estimar $y(1{,}4)$, onde $y'=-x-y$, $y(1)=1$. (Resp: $y(1{,}4)\approx0{,}256$)

Use o método de Euler com passo $h=0{,}4$ para estimar $y(2)$, onde $y'=5x+y^2$, $y(0)=0$.

Lei de resfriamento de Newton: $T'=-k(T-T_r)$, com $T(0)=100$°F, $T_r=70$°F. Alice tem $k=0{,}5$, Bob tem $k=0{,}1$. A taxa inicial de resfriamento de Alice é:

Na situação com temperatura oscilante $T_r=70+10\sin t$, qual afirmação descreve melhor o comportamento do café de Alice ($k=0{,}5$) versus Bob ($k=0{,}1$)?

Para $y'=y$, $y(0)=1$, as aproximações de Euler são $E_{0{,}2}=2{,}4883$ e $E_{0{,}1}=2{,}5937$. Usando convergência acelerada (extrapolação de Richardson), a melhor estimativa de $y(1)$ é:

O método de Euler Melhorado (Heun) aplica a média das inclinações no início e no fim do intervalo. Sua ordem de convergência é:

Aplicando o Euler Melhorado com $h=0{,}2$ à EDO $y'=y$, $y(0)=1$, a estimativa $y(0{,}2)$ é: (Resp: 1,222)

Para $y'=y$, $y(0)=-1$, a solução exata é $y=-e^x$. Com Euler $h=0{,}2$: os primeiros dois valores aproximados são:

Para $y'=y$, $y(0)=-1$ (solução exata $y=-e^x$). Euler com $h=0{,}2$: $y_1$ e $y_2$ valem:

Para $y'=-5t$, $y(0)=-2$, solução exata $y=-5t^2/2-2$. Com Euler $h=0{,}1$, os primeiros dois valores $y_1$, $y_2$ são:

Para $y'=2^x$, $y(0)=0$, solução exata $y=(2^x-1)/\ln2$. Euler com $h=0{,}2$ e 5 passos estima $y(1)\approx$:

A EDO $dx/dt=\cosh(t)$, $x(0)=2$ tem solução exata $x(t)=\sinh(t)+2$. O valor exato $x(1)$ é:

Para $y'=-3y$, $y(0)=1$, solução exata $y=e^{-3x}$. Um passo de Euler de tamanho $h$ a partir de $x=0$ dá:

Para $y'=t^2$, $y(0)=2$, a solução exata é $y=t^3/3+2$. O primeiro passo de Euler com $h=0{,}25$ dá:

Para $y'=2t$, $y(0)=0$, a solução exata é $y=t^2$. Para $y'=-2y$, $y(0)=2$, a solução exata é $y=2e^{-2x}$. Um passo Euler com $h=0{,}25$ em $y'=-2y$ dá:

Para $y'=y+t^2$, $y(0)=3$, solução exata $y=5e^t-t^2-2t-2$. Com Euler $h=0{,}1$:

Continuando: para $y'=y+t^2$, $y(0)=3$, o Euler com $h=0{,}1$ dá $y_1=$:

Para $y'=ty$, $y(0)=2$, a solução exata em $t=1$ vale:

Para $y'=ty$, $y(0)=2$, ao diminuir o passo $h$ no Euler:

Verifique que $y=2e^{-2x}$ resolve o PVI $y'=-2y$, $y(0)=2$: