v1 · padrão canônico

Lição 104 — Teste z e teste t de Student

Teste z para média com sigma conhecido. Teste t de Student: uma amostra, duas amostras independentes (Welch e pooled), e pareado. Condições de aplicação e escolha do teste adequado.

Usado em: 3.º ano do EM (17-18 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · H2 Statistics singapurense

T = \frac{\bar X - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad \text{(uma amostra, } \sigma \text{ desconhecido)}

O teste t de Student substitui o desvio padrão populacional desconhecido pelo desvio amostral $s$ , pagando o preço com caudas mais pesadas (distribuição $t_{n-1}$ ). Para duas amostras independentes, usa-se Welch (variâncias diferentes) ou pooled (variâncias iguais). Para pares, opera-se sobre as diferenças.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Teste z — sigma conhecido

Teste t — uma amostra

"A distribuição t de Student é apropriada quando usamos o desvio padrão amostral $s$ em lugar de $\sigma$ . As caudas mais pesadas refletem a incerteza adicional de estimar $\sigma$ ." — OpenIntro Statistics, §5.3

Teste t — duas amostras independentes

Definição· Welch t (variancias diferentes)

Para $X_{1,i} \overset{\text{iid}}{\sim} F_1(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $X_{2,j} \overset{\text{iid}}{\sim} F_2(\mu_2, \sigma_2^2)$ , independentes, testando $H_0: \mu_1 = \mu_2$ :

T_W = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} \overset{H_0}{\approx} t_\nu

o que isso quer dizer · Estatística de Welch: usa os desvios de cada grupo separadamente, sem assumir variâncias iguais.

Os graus de liberdade $\nu$ são aproximados pela fórmula de Welch-Satterthwaite:

\nu = \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

o que isso quer dizer · Graus de liberdade efetivos de Welch-Satterthwaite. Sempre entre min(n1-1, n2-1) e n1+n2-2.

Definição· Pooled t (variancias iguais)

Quando $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ (variâncias assumidas iguais):

s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

o que isso quer dizer · Variância pooled: estimativa combinada da variância comum usando ambos os grupos.

T_P = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} \overset{H_0}{\sim} t_{n_1 + n_2 - 2}

o que isso quer dizer · Estatística t pooled: graus de liberdade exatos n1+n2-2.

Recomendação: use Welch por padrão, pois é robusto mesmo quando $\sigma_1 = \sigma_2$ . O pooled t é válido apenas quando igualdade de variâncias é razoável.

Teste t pareado

Árvore de decisão para escolha do teste. Use Welch por padrão para duas amostras independentes.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 104.1· Teste t de uma amostra (basico)

Problema. O tempo de espera em um pronto-socorro foi historicamente $\mu_0 = 45$ min. Após implementação de triagem digital, uma amostra de $n = 25$ atendimentos deu $\bar X = 40$ min e $s = 10$ min. Ao nível 5%, o tempo médio diminuiu?

Estratégia. $H_0: \mu \geq 45$ , $H_1: \mu < 45$ (unilateral à esquerda). Estatística t com $df = 24$ .

Resolução.

$T = \frac{\bar X - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{40 - 45}{10/\sqrt{25}} = \frac{-5}{2} = -2{,}50$

Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,24} = -1{,}711$ . Como $-2{,}50 < -1{,}711$ , rejeitamos $H_0$ .

p-valor: $P(t_{24} \leq -2{,}50) \approx 0{,}010 < 0{,}05$ . Confirmado.

Verificação. IC 95% unilateral: $\mu > 40 - 1{,}711 \times 2 = 36{,}58$ min. Como 45 está acima do limite inferior (mas o teste é sobre a superioridade de 45 vs o novo sistema, que foi rejeitada), consistente.

Fonte. OpenStax Statistics, §9.5, Exemplo 9.9 — CC-BY.

Exemplo— 104.2· Welch t — duas amostras independentes (intermediario)

Problema. Compare a pressão arterial sistólica de dois grupos de pacientes:

Grupo dieta: $n_1 = 12$ , $\bar X_1 = 132$ mmHg, $s_1 = 18$ mmHg.
Grupo medicamento: $n_2 = 15$ , $\bar X_2 = 125$ mmHg, $s_2 = 10$ mmHg.

Ao nível 5%, as médias diferem?

Estratégia. $H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ (bilateral). Usar Welch pois variâncias aparentemente diferentes ( $18^2 = 324$ vs $10^2 = 100$ , razão 3,24).

Resolução.

$\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{18^2}{12} + \frac{10^2}{15}} = \sqrt{27 + 6{,}667} = \sqrt{33{,}667} = 5{,}803$

$T_W = \frac{132 - 125}{5{,}803} = \frac{7}{5{,}803} = 1{,}206$

Graus de liberdade de Welch (aproximação): $\nu \approx 17$ (calculando pela fórmula completa). Valor crítico bilateral: $t_{0{,}025,\,17} = 2{,}110$ . Como $1{,}206 < 2{,}110$ , não rejeitamos $H_0$ .

Verificação. p-valor $\approx 0{,}244 > 0{,}05$ . Com $n_1 = 12$ e $n_2 = 15$ , o poder é limitado para detectar diferenças de 7 mmHg. Um estudo maior seria recomendado.

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exemplo 5.12 — CC-BY-SA.

Exemplo— 104.3· Teste t pareado — antes e depois (intermediario)

Problema. Dez corredores tiveram seu VO2max medido antes e depois de 8 semanas de treinamento intervalado. As diferenças ( $D_i = \text{depois} - \text{antes}$ ) em mL/kg/min foram: 3, 1, 4, 2, 5, 0, 3, 2, 4, 2. Ao nível 5%, o treinamento melhorou o VO2max?

Estratégia. $H_0: \mu_D = 0$ , $H_1: \mu_D > 0$ (unilateral). Calcular $\bar D$ e $s_D$ das diferenças.

Resolução.

$\sum D_i = 3+1+4+2+5+0+3+2+4+2 = 26$ . $\bar D = 26/10 = 2{,}6$ mL/kg/min.

$\sum D_i^2 = 9+1+16+4+25+0+9+4+16+4 = 88$ . $s_D^2 = (88 - 10 \times 2{,}6^2)/(10-1) = (88 - 67{,}6)/9 = 20{,}4/9 = 2{,}267$ . $s_D = 1{,}506$ .

$T = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}} = \frac{2{,}6}{1{,}506/\sqrt{10}} = \frac{2{,}6}{0{,}4763} = 5{,}46$

Valor crítico $t_{0{,}05,\,9} = 1{,}833$ . Como $5{,}46 > 1{,}833$ , rejeitamos $H_0$ . p-valor $< 0{,}001$ .

Verificação. IC 95% para $\mu_D$ : $2{,}6 \pm 2{,}262 \times 0{,}476 = 2{,}6 \pm 1{,}077$ , ou seja, $[1{,}52;\; 3{,}68]$ mL/kg/min. Como o IC não inclui 0, consistente com a rejeição de $H_0$ .

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exemplo 5.14 — CC-BY-SA.

Exemplo— 104.4· Pooled t versus Welch — quando usar cada um (avancado)

Problema. Dois processos de usinagem produzem peças metálicas. Processo A: $n_1 = 20$ , $\bar X_1 = 50{,}2$ mm, $s_1 = 0{,}8$ mm. Processo B: $n_2 = 25$ , $\bar X_2 = 50{,}0$ mm, $s_2 = 0{,}9$ mm. Calcule o teste pooled e o de Welch. Compare.

Estratégia. Ambos testam $H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ com $\alpha = 0{,}05$ .

Resolução.

Pooled: $s_p^2 = (19 \times 0{,}64 + 24 \times 0{,}81)/(20+25-2) = (12{,}16 + 19{,}44)/43 = 31{,}60/43 = 0{,}735$ . $s_p = 0{,}857$ .

$T_P = (50{,}2 - 50{,}0)/(0{,}857\sqrt{1/20+1/25}) = 0{,}2/(0{,}857 \times 0{,}3) = 0{,}2/0{,}257 = 0{,}778$ . $df = 43$ .

Welch: $\mathrm{SE} = \sqrt{0{,}64/20 + 0{,}81/25} = \sqrt{0{,}032 + 0{,}0324} = \sqrt{0{,}0644} = 0{,}254$ . $T_W = 0{,}2/0{,}254 = 0{,}787$ . $\nu \approx 43$ (variâncias similares).

Ambos: $T \approx 0{,}78$ , $p \approx 0{,}44$ . Não rejeitamos $H_0$ . Os dois testes concordam quando as variâncias são similares.

Verificação. A razão das variâncias é $0{,}81/0{,}64 = 1{,}27$ — próxima de 1. Quando $s_1 \approx s_2$ , pooled e Welch produzem resultados praticamente idênticos.

Fonte. OpenStax Statistics, §10.1, Exemplo 10.1 — CC-BY.

Exemplo— 104.5· Escolha do teste correto — caso completo (avancado)

Problema. Uma pesquisadora quer comparar o tempo de sono de adolescentes em escola integral versus escola regular. Ela coletou 15 adolescentes de cada tipo de escola, de forma independente. Dados resumidos: integral: $\bar X_1 = 7{,}2$ h, $s_1 = 1{,}4$ h; regular: $\bar X_2 = 8{,}1$ h, $s_2 = 0{,}8$ h. Ao nível 5%, o sono difere? Use o teste adequado.

Estratégia. Grupos independentes, variâncias aparentemente diferentes ( $s_1/s_2 = 1{,}75$ ). Usar Welch t.

Resolução.

$H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ (bilateral).

$\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}4^2/15 + 0{,}8^2/15} = \sqrt{1{,}96/15 + 0{,}64/15} = \sqrt{0{,}1307 + 0{,}04267} = \sqrt{0{,}1733} = 0{,}4163$ .

$T_W = (7{,}2 - 8{,}1)/0{,}4163 = -0{,}9/0{,}4163 = -2{,}162$ .

Graus de liberdade de Welch (aproximação): $\nu \approx 22$ . Valor crítico: $t_{0{,}025,\,22} = 2{,}074$ .

Como $\lvert -2{,}162 \rvert = 2{,}162 > 2{,}074$ , rejeitamos $H_0$ ao nível 5%. p-valor $\approx 0{,}042$ .

Tamanho de efeito de Cohen: $d = 0{,}9/\sqrt{(1{,}4^2 + 0{,}8^2)/2} = 0{,}9/\sqrt{1{,}3} = 0{,}9/1{,}14 = 0{,}79$ — efeito grande.

Verificação. IC 95% para $\mu_1 - \mu_2$ : $-0{,}9 \pm 2{,}074 \times 0{,}4163 = -0{,}9 \pm 0{,}863$ , ou seja, $[-1{,}763;\; -0{,}037]$ . Como não inclui 0, consistente com rejeição de $H_0$ .

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exercício 5.17 — CC-BY-SA.

Lista de exercícios

41 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 14Compreensão 16Modelagem 11

Ex. 104.1Compreensão
Uma amostra aleatória de $n = 20$ observações de uma população aproximadamente normal com desvio padrão desconhecido. Qual distribuição usar para o teste de hipótese de $H_0: \mu = \mu_0$ ?
Selecione a alternativa correta
Distribuição normal padrão, porque $n$ é grande o suficienteDistribuição $t$ com $df = n - 1$ , porque $\sigma$ é desconhecido e $n$ é pequenoDistribuição $t$ com $df = n$ , para compensar o desvio padrão estimadoDistribuição normal padrão, porque o TCL garante normalidade da média
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.1
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Quando $\sigma$ é desconhecido e substitui-se por $s$ , a estatística $T = (\bar X - \mu_0)/(s/\sqrt{n})$ segue distribuição $t_{n-1}$ . Isso é verdade independentemente do tamanho amostral, embora para $n$ grande a $t_{n-1}$ se aproxime de $\mathcal{N}(0,1)$ . O TCL garante normalidade de $\bar X$ , não da estatística de teste quando $\sigma$ é estimado.
Ex. 104.2AplicaçãoGabarito
Uma amostra aleatória é retirada de uma população aproximadamente normal com desvio padrão desconhecido. Para $n = 6$ e nível de confiança de 90%, qual é o grau de liberdade e o valor crítico $t^\star$ corretos?
Selecione a alternativa correta
$df = 10$ , $t^\star = 1{,}812$ $df = 5$ , $t^\star = 2{,}015$ $df = 5$ , $t^\star = 1{,}476$ $df = 6$ , $t^\star = 1{,}440$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.1
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Para $n = 6$ : $df = 5$ . Para um IC de 90%, $\alpha/2 = 0{,}05$ , logo $t^\star = t_{0{,}05,\,5} = 2{,}015$ . Resposta: $df = 5$ , $t^\star = 2{,}015$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Para $n = 6$ e CL = 90%, o grau de liberdade é $df = n - 1 = 5$ .
2. O valor crítico bilateral com $\alpha/2 = 0{,}05$ e $df = 5$ é $t^\star = 2{,}015$ .
3. O valor crítico unilateral com $\alpha = 0{,}10$ e $df = 5$ é $t^\star = 1{,}476$ .
4. Atenção: intervalo de confiança de 90% corresponde a $\alpha/2 = 0{,}05$ em cada cauda, logo $t^\star = t_{0{,}05,\,5} = 2{,}015$ .
5. A opção correta reúne o único par consistente com o exercício: para $n=6$ , $df = n-1 = 5$ e $t^* = 2{,}015$ na margem bilateral de 90%. A opção D mistura $df=6$ e é o distrator mais comum.
Ex. 104.3Aplicação
Uma amostra aleatória de $n = 11$ observações de população normal com $\sigma$ desconhecido resultou em $T = 1{,}91$ (teste bilateral). Qual o p-valor e a conclusão para $\alpha = 0{,}05$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}085$ ; não rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}043$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}020$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}170$ ; não rejeita $H_0$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.3
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Para $n = 11$ , $df = 10$ . Com $T = 1{,}91$ bilateral: p-valor $= 2 \times P(t_{10} > 1{,}91) \approx 2 \times 0{,}0425 = 0{,}085$ . Como $0{,}085 > 0{,}05$ , não rejeita $H_0$ .
Ex. 104.4Aplicação
Uma amostra de $n = 26$ observações de população normal com $\sigma$ desconhecido resultou em $T = 2{,}485$ (teste bilateral). Qual é o p-valor e a conclusão para $\alpha = 0{,}01$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}020$ ; rejeita $H_0$ ao nível 1%Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}040$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 1%Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}010$ ; rejeita $H_0$ Para $n = 26$ , $T = 2{,}485$ : p-valor $\approx 0{,}100$ ; não rejeita $H_0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.4
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Para $n = 26$ , $df = 25$ . Com $T = 2{,}485$ bilateral: p-valor $= 2 \times P(t_{25} > 2{,}485) \approx 0{,}020$ . Como $0{,}020 > 0{,}01$ , não rejeitamos $H_0$ ao nível 1%. Rejeita ao nível 5% (p menor que 0,05), mas não ao 1%.
Ex. 104.5Aplicação
Um IC de 95% para $\mu$ com $n = 36$ observações é $(18{,}985;\; 21{,}015)$ . Recupere a média amostral $\bar X$ e o desvio padrão amostral $s$ .
Selecione a alternativa correta
$\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 3{,}09$ $\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 1{,}55$ $\bar X = 20{,}0$ ; $s \approx 6{,}18$ $\bar X = 18{,}985$ ; $s \approx 3{,}09$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.5
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Média: $\bar X = (18{,}985 + 21{,}015)/2 = 20{,}0$ . Margem de erro: $1{,}015$ . Com $t^\star_{0{,}025,\,35} \approx 2{,}030$ : $s = 1{,}015 \times 6/2{,}030 \approx 3{,}00$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. A média amostral é o ponto médio do IC: $\bar X = (18{,}985 + 21{,}015)/2 = 20{,}0$ .
2. A margem de erro é $ME = (21{,}015 - 18{,}985)/2 = 1{,}015$ .
3. Para um IC de 95% com $n = 36$ , $df = 35$ : $t^\star_{0{,}025,\,35} \approx 2{,}030$ .
4. $ME = t^\star \times s/\sqrt{n} \Rightarrow s = ME \times \sqrt{n}/t^\star = 1{,}015 \times 6/2{,}030 \approx 3{,}00$ .
5. Resposta: $\bar X = 20{,}0$ , $s \approx 3{,}0$ (ligeiramente diferente de 3,09 por arredondamento de $t^\star$ ).
Ex. 104.6AplicaçãoGabarito
Um IC de 90% para $\mu$ com $n = 25$ observações é $(65;\; 77)$ . Calcule a média amostral, a margem de erro e o desvio padrão amostral.
Selecione a alternativa correta
$\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 16{,}5$ $\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 18{,}0$ $\bar X = 65$ ; $ME = 12$ ; $s \approx 30{,}0$ $\bar X = 71$ ; $ME = 6$ ; $s \approx 12{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.6
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Média: $\bar X = (65 + 77)/2 = 71$ . ME: $(77 - 65)/2 = 6$ . Com $n = 25$ , $df = 24$ e IC de 90%: $t^\star_{0{,}05,\,24} = 1{,}711$ . Então $s = ME \times \sqrt{n}/t^\star = 6 \times 5/1{,}711 \approx 17{,}5$ . A opção mais próxima é $s \approx 18{,}0$ .
Ex. 104.7ModelagemGabarito
Vinte e cinco nova-iorquinos responderam sobre horas de sono por noite: $\bar X = 7{,}73$ h, $s = 0{,}77$ h. Teste $H_0: \mu = 8$ vs $H_1: \mu < 8$ com $\alpha = 0{,}05$ . Qual é a conclusão?
Selecione a alternativa correta
$T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}046$ ; rejeitamos $H_0$ : nova-iorquinos dormem menos que 8 h $T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}092$ ; não rejeitamos $H_0$ ao nível 5% $T = -1{,}75$ ; p-valor $\approx 0{,}023$ ; rejeitamos $H_0$ ao nível 5% $T = -2{,}11$ ; p-valor $\approx 0{,}023$ ; rejeitamos $H_0$ ao nível 5%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.7
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Com $\bar X = 7{,}73$ , $s = 0{,}77$ , $n = 25$ : $T = (7{,}73 - 8)/(0{,}77/5) = -0{,}27/0{,}154 = -1{,}75$ . Teste unilateral (menor que 8): p-valor $= P(t_{24} \leq -1{,}75) \approx 0{,}046$ . Como $0{,}046 < 0{,}05$ , rejeitamos $H_0$ . Há evidência de que nova-iorquinos dormem menos que 8 h em média.
Ex. 104.8Aplicação
Dados $H_0: \mu = 60$ , $H_A: \mu \neq 60$ , $s = 8$ , $n = 20$ . Para qual valor de $\bar X$ o p-valor seria exatamente $0{,}05$ (unilateral superior)?
Selecione a alternativa correta
$\bar X = 60 + t_{0{,}05,\,19} \times 8/\sqrt{20} \approx 63{,}11$ $\bar X = 60 - t_{0{,}05,\,19} \times 8/\sqrt{20} \approx 56{,}89$ $\bar X = 60 + 1{,}96 \times 8/\sqrt{20} \approx 63{,}50$ $\bar X = 60 \pm t_{0{,}025,\,19} \times 8/\sqrt{20}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.9
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$H_0: \mu = 60$ , $H_A: \mu \neq 60$ , $s = 8$ , $n = 20$ , $df = 19$ . Para p-valor exatamente 0,05 num teste bilateral (5% em cada cauda): precisa $|T| = t_{0{,}05,\,19} = 1{,}729$ . Então $\bar X = 60 + 1{,}729 \times 8/\sqrt{20} = 60 + 3{,}09 = 63{,}09$ .
Ex. 104.9ModelagemGabarito
Georgianna afirma que as crianças de sua cidade tomam em média menos de 5 anos de aula de piano. Amostra: $n = 20$ , $\bar X = 4{,}6$ anos, $s = 2{,}2$ anos. Teste $H_0: \mu = 5$ vs $H_1: \mu < 5$ com $\alpha = 0{,}05$ .
Selecione a alternativa correta
$T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}21$ ; Georgianna não tem evidência para sua afirmação $T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}42$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T = -1{,}62$ ; p-valor $\approx 0{,}06$ ; rejeita $H_0$ ao nível 10% $T = -0{,}81$ ; p-valor $\approx 0{,}11$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.11
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$T = (4{,}6-5)/(2{,}2/\sqrt{20}) = -0{,}814$ , $df = 19$ . p-valor (unilateral) $\approx 0{,}213 > 0{,}05$ . Não rejeitamos $H_0$ : sem evidência estatística de que a média é menor que 5 anos.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $H_0: \mu = 5$ , $H_1: \mu < 5$ (afirmação de Georgianna). $n = 20$ , $\bar X = 4{,}6$ , $s = 2{,}2$ .
2. $T = (4{,}6 - 5)/(2{,}2/\sqrt{20}) = -0{,}4/0{,}492 = -0{,}814$ . $df = 19$ .
3. p-valor unilateral: $P(t_{19} \leq -0{,}814) \approx 0{,}213$ .
4. Como $0{,}213 > 0{,}05$ , não rejeitamos $H_0$ . A afirmação de Georgianna não tem suporte significativo nos dados.
5. IC de 95%: $4{,}6 \pm 2{,}093 \times 0{,}492 = (3{,}57;\; 5{,}63)$ . Como 5 está no IC, consistente com não-rejeição.
Ex. 104.10Modelagem
Pesquisadores coletaram amostras de sangue de 52 policiais expostos à exaustão de automóveis: $\bar X = 124{,}32$ $\mu$ g/l de chumbo, $s = 37{,}74$ $\mu$ g/l. Uma população de referência tem concentração média de 35 $\mu$ g/l. Teste $H_0: \mu = 35$ vs $H_1: \mu > 35$ com $\alpha = 0{,}05$ .
Selecione a alternativa correta
$T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ : policiais têm exposição ao chumbo maior que 35 $\mu$ g/l $T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0{,}001$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T \approx 2{,}43$ ; p-valor $\approx 0{,}019$ ; rejeita $H_0$ ao nível 5% $T \approx 13{,}5$ ; p-valor $\approx 0$ ; não rejeita $H_0$ , pois o tamanho do efeito é pequeno
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.12
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$T = (124{,}32 - 35)/(37{,}74/\sqrt{52}) = 89{,}32/5{,}235 \approx 17{,}07$ . $df = 51$ . p-valor $\approx 0$ (extremamente pequeno). Rejeitamos $H_0$ : policiais têm concentração média de chumbo muito superior a 35 $\mu$ g/l.
Ex. 104.11Compreensão
Para um mesmo nível de confiança, como $t^\star_{df}$ se compara a $z^\star$ e qual o efeito no intervalo de confiança?
Selecione a alternativa correta
Ambos têm as mesmas caudas quando $df$ é grande $t^\star_{df}$ é sempre maior que $z^\star$ para o mesmo nível de confiança, tornando o IC mais largo $t^\star_{df}$ é menor que $z^\star$ quando $n > 30$ , tornando o IC mais estreitoA diferença entre $t^\star$ e $z^\star$ depende somente da variância, não de $n$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.10
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Para qualquer nível de confiança e todo $df$ finito, $t^\star_{df} > z^\star$ . Isso resulta num IC mais largo, refletindo a incerteza adicional por estimar $\sigma$ com $s$ . Quando $df \to \infty$ , $t^\star_{df} \to z^\star$ .
Ex. 104.12Aplicação
Pesquisadores compararam preços de diamantes de 0,99 quilates ( $n_1 = 23$ ) e de 1,00 quilate ( $n_2 = 23$ ), padronizados pelo peso. Houve diferença significativa de preços ao nível 5%? Teste bilateral.
Selecione a alternativa correta
$T_W = 2{,}32$ ; $\nu \approx 42$ ; rejeita $H_0$ : há diferença nos preços dos diamantes $T_W = 2{,}32$ ; $\nu = 44$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W = 1{,}48$ ; $\nu \approx 42$ ; não rejeita $H_0$ $T_W = 2{,}32$ ; rejeita $H_0$ apenas ao nível 10%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.24
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Com $n_1 = n_2 = 23$ , $\bar X_1 = 44{,}51$ , $s_1 = 13{,}32$ , $\bar X_2 = 56{,}81$ , $s_2 = 16{,}13$ : $\mathrm{SE} = \sqrt{13{,}32^2/23 + 16{,}13^2/23} \approx 4{,}43$ . $T_W = (44{,}51 - 56{,}81)/4{,}43 \approx -2{,}78$ . $\nu \approx 41$ . Valor crítico bilateral $\approx 2{,}02$ . Rejeita $H_0$ : os preços padronizados diferem significativamente.
Ex. 104.13Modelagem
Um estudo coletou dados de admissões hospitalares por acidentes de trânsito na sexta-feira 6 e na sexta-feira 13, para seis pares de datas nos mesmos locais. Qual tipo de teste é mais adequado?
Selecione a alternativa correta
É um teste t pareado, pois as medições são nas mesmas datas (sexta-13 vs sexta-6)É um teste t de duas amostras independentes, pois os grupos são os dias diferentesÉ um teste t pareado, pois cada par de datas (6.ª vs 13.ª) é medido no mesmo localÉ um teste z, pois as amostras são grandes o suficiente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.25
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As contagens de admissões hospitalares na sexta-feira 6 e na sexta-feira 13 foram feitas nos mesmos locais em datas pareadas. Logo, é um teste t pareado sobre as diferenças $D_i = \text{contagem}_{6} - \text{contagem}_{13}$ para cada par de datas.
Ex. 104.14Aplicação
Um experimento comparou o peso de frangos alimentados com "linseed" ( $n_1 = 12$ ) e "horsebean" ( $n_2 = 10$ ). Assumindo condições de inferência satisfeitas, os pesos médios diferem ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
Welch t com $T_W \approx 3{,}73$ ; rejeita $H_0$ : frango alimentado com linseed e horsebean têm pesos médios diferentesWelch t com $T_W \approx 1{,}52$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%Pooled t com $T_P \approx 3{,}73$ ; rejeita $H_0$ Welch t com $T_W \approx 3{,}73$ ; não rejeita $H_0$ pois $\nu < 30$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.27
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Com os dados do estudo: $n_1 = 12$ (linseed, $\bar X_1 = 218{,}8$ , $s_1 = 52{,}2$ ), $n_2 = 10$ (horsebean, $\bar X_2 = 160{,}2$ , $s_2 = 38{,}6$ ). $T_W \approx 3{,}03$ , $\nu \approx 19$ . p-valor $\approx 0{,}007$ . Rejeita $H_0$ : os pesos diferem significativamente.
Ex. 104.15ModelagemGabarito
Dados da EPA: eficiência na cidade de carros manuais ( $n_1 = 26$ , $\bar X_1 = 25{,}1$ mpg, $s_1 = 4{,}4$ ) e automáticos ( $n_2 = 26$ , $\bar X_2 = 22{,}1$ , $s_2 = 5{,}2$ ). Há diferença significativa ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
Sim, o manual é significativamente mais eficiente ( $T_W \approx 3{,}43$ ; rejeita $H_0$ )Não, os dados não mostram diferença significativa ( $T_W \approx 1{,}21$ ; não rejeita $H_0$ )O automático é significativamente mais eficiente ( $T_W \approx -3{,}43$ ; rejeita $H_0$ )Não há evidência suficiente; deve-se usar teste z pois as amostras são grandes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.28
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Com $n_1 = 26$ (manual, $\bar X_1 = 25{,}1$ mpg, $s_1 = 4{,}4$ ), $n_2 = 26$ (automático, $\bar X_2 = 22{,}1$ , $s_2 = 5{,}2$ ): $\mathrm{SE} = \sqrt{4{,}4^2/26 + 5{,}2^2/26} \approx 1{,}30$ . $T_W = 3{,}0/1{,}30 \approx 2{,}31$ , $\nu \approx 48$ . Rejeita $H_0$ : carros manuais têm maior eficiência na cidade ao nível 5%.
Ex. 104.16ModelagemGabarito
Frangos foram aleatoriamente alocados a dietas de caseína ( $n = 12$ ) ou soja ( $n = 14$ ). A diferença de peso foi significativa ao nível 5%? Pode-se atribuir causalidade?
Selecione a alternativa correta
Não; p-valor $\approx 0{,}20$ ; não há evidência de diferença significativa entre as dietasSim, mas não é possível afirmar causalidade pois o experimento não controlou variáveis de confusãoSim, e como os frangos foram aleatoriamente alocados, o maior peso pode ser atribuído à dieta com caseínaSim, mas apenas ao nível 10%, pois a amostra é pequena
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.29
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Com os dados do experimento (casein: $n = 12$ , $\bar X \approx 323{,}6$ g, $s \approx 64{,}4$ ; soybean: $n = 14$ , $\bar X \approx 246{,}4$ , $s \approx 54{,}1$ ): $T_W \approx 3{,}34$ ; rejeita $H_0$ . Por ser experimento randomizado, o maior peso pode ser atribuído à dieta com caseína.
Ex. 104.17Aplicação
Os mesmos 52 carros da questão anterior foram avaliados na rodovia. Manual: $\bar X_1 = 28{,}3$ mpg, $s_1 = 6{,}2$ ; automático: $\bar X_2 = 23{,}3$ , $s_2 = 5{,}0$ , $n_1 = n_2 = 26$ . Calcule um IC de 98% para a diferença de eficiência na rodovia.
Selecione a alternativa correta
IC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (0{,}7;\; 9{,}3)$ mpg; manual superior na rodoviaIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (-1{,}0;\; 8{,}0)$ mpg; não conclusivoIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (2{,}0;\; 8{,}0)$ mpg; manual superiorIC 98%: $\mu_{\text{manual}} - \mu_{\text{auto}} \in (-3{,}0;\; 11{,}0)$ mpg; inclui zero
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.30
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Com $n_1 = n_2 = 26$ , rodovia: manual ( $\bar X_1 = 28{,}3$ , $s_1 = 6{,}2$ ), automático ( $\bar X_2 = 23{,}3$ , $s_2 = 5{,}0$ ). SE $\approx 1{,}52$ . $t^\star_{0{,}01,\,48} \approx 2{,}407$ . IC: $5{,}0 \pm 2{,}407 \times 1{,}52 = 5{,}0 \pm 3{,}66 = (1{,}34;\; 8{,}66)$ . Não inclui 0: manual superior.
Ex. 104.18ModelagemGabarito
Um experimento de isolamento sensorial aplicou o teste MMPI antes e depois do tratamento em 42 sujeitos alocados a três grupos. Para testar se um grupo específico reduziu seus escores, qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
Trata-se de um teste t pareado sobre as diferenças pré-pós para cada sujeitoTrata-se de um teste t de duas amostras independentes: pré vs pósDeve-se usar um teste z pois a amostra total é de 42 sujeitosUsa-se pooled t pois as variâncias pré e pós são supostamente iguais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.31
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O mesmo sujeito foi testado antes e depois do tratamento, gerando pares $(\text{pré}_i, \text{pós}_i)$ . Para testar a eficácia do tratamento, forma-se $D_i = \text{pré}_i - \text{pós}_i$ e aplica-se um teste t de uma amostra sobre $D_i$ — isso é o teste t pareado.
Ex. 104.19Compreensão
Verdadeiro ou falso: ao comparar médias de duas amostras com $n_1 = 20$ e $n_2 = 40$ , podemos usar o modelo normal para a diferença de médias pois $n_2 \geq 30$ .
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro: quando $n_2 \geq 30$ , a distribuição normal é sempre adequada para a diferença de médiasFalso: mesmo com $n_2 \geq 30$ , o modelo normal para a diferença de médias exige que AMBOS os grupos tenham $n$ suficientemente grande ou que as populações sejam normaisVerdadeiro: o TCL garante normalidade da diferença de médias quando qualquer um dos grupos tem $n \geq 30$ Falso: para a diferença de médias, o modelo normal exige que $n_1 = n_2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.3 · ex. 7.32
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A afirmação é falsa. Para usar o modelo normal para $\bar X_1 - \bar X_2$ , ambos os grupos devem satisfazer as condições de normalidade da média amostral individualmente. Ter apenas $n_2 \geq 30$ não é suficiente se $n_1$ for pequeno e a população for não-normal.
Ex. 104.20CompreensãoGabarito
Um artigo afirmou que a média de horas de estudo semanal dos alunos é 2,5 h. Um novo estudo quer verificar se a média aumentou. Amostra: $n = 26$ , $\bar X = 3$ h, $s = 1{,}8$ h, $\sigma = 1{,}5$ (conhecido). Formule $H_0$ e $H_a$ .
Selecione a alternativa correta
$H_0: \mu = 2{,}5$ h; $H_a: \mu > 2{,}5$ h; teste unilateral superior $H_0: \mu > 2{,}5$ h; $H_a: \mu = 2{,}5$ h; teste bilateral $H_0: \mu = 2{,}5$ h; $H_a: \mu \neq 2{,}5$ h; teste bilateral $H_0: \mu < 2{,}5$ h; $H_a: \mu \geq 2{,}5$ h; teste unilateral inferior
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 8
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O artigo estabeleceu que a média era 2,5 h; o objetivo do novo estudo é verificar se a média aumentou. Logo: $H_0: \mu = 2{,}5$ , $H_a: \mu > 2{,}5$ (unilateral superior).
Ex. 104.21Aplicação
Uma pesquisa com 75 maratonistas de longa data revelou $\bar X = 17{,}4$ anos de corrida e $s = 6{,}3$ anos. Teste a hipótese de que a média populacional poderia ser 15 anos. Formule $H_0$ e $H_a$ .
Selecione a alternativa correta
$H_0: \mu = 15$ anos; $H_a: \mu \neq 15$ anos; teste bilateral $H_0: \mu \geq 15$ anos; $H_a: \mu < 15$ anos; teste unilateral inferior $H_0: \mu = 17{,}4$ anos; $H_a: \mu \neq 15$ anos; teste bilateral $H_0: \mu \leq 15$ anos; $H_a: \mu > 15$ anos; teste unilateral superior
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 9
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Queremos verificar se a média populacional "poderia ser 15 anos" — isso implica um teste bilateral: $H_0: \mu = 15$ , $H_a: \mu \neq 15$ . A amostra dá $\bar X = 17{,}4$ , mas a hipótese nula é sobre o parâmetro populacional.
Ex. 104.22CompreensãoGabarito
Um teste verifica se o preço médio de carros de médio porte em uma região é R$32.000. Descreva os erros tipo I e tipo II no contexto do problema.
Selecione a alternativa correta
Erro tipo I: concluir que o preço médio não é R\ $32.000 quando é; Erro tipo II: concluir que é R\$ 32.000 quando não éErro tipo I: concluir que o preço médio é R\$32.000 quando não é; Erro tipo II: concluir que não é quando éErro tipo I e tipo II são iguais neste caso, pois a hipótese é bilateralErro tipo I: concluir que o preço é maior que R\$32.000; Erro tipo II: concluir que é menor
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 11
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$H_0: \mu = 32{,}000$ . Erro tipo I: rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira — concluir que o preço médio difere de R\$ 32.000 quando de fato é R\$ 32.000. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa — concluir que o preço médio é R\$ 32.000 quando na realidade é diferente.
Ex. 104.23Compreensão
Um saco de dormir é testado para suportar $-15°$ F ( $H_0$ : suporta). Você acredita que ele não suporta. Descreva os erros tipo I e tipo II.
Selecione a alternativa correta
Erro tipo I: concluir que o saco suporta $-15°$ F quando não suporta; Erro tipo II: concluir que não suporta quando suportaErro tipo I: concluir que o saco não suporta $-15°$ F quando suporta; Erro tipo II: concluir que suporta quando não suportaErro tipo I e tipo II têm a mesma consequência prática neste casoErro tipo I é quando $\alpha = 0{,}05$ ; Erro tipo II é quando $\beta = 0{,}20$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 12
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$H_0$ : o saco suporta $-15°\mathrm{F}$ . Erro tipo I: rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira — afirmar que o saco não suporta quando na verdade suporta. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa — afirmar que o saco suporta quando na verdade não suporta (o mais perigoso para o consumidor).
Ex. 104.24Compreensão
Para o problema do saco de dormir ( $H_0$ : suporta $-15°$ F), descreva em palavras o que significa $1 - \beta$ (poder do teste).
Selecione a alternativa correta
$1 - \beta$ é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira $1 - \beta$ é a probabilidade de concluir corretamente que o saco não suporta $-15°$ F quando de fato não suporta $1 - \beta$ é a probabilidade de cometer erro tipo I $1 - \beta$ é a probabilidade de o saco realmente suportar $-15°$ F
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 14
Ver solução
O poder do teste é $1 - \beta$ : a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é de fato falsa. No contexto do saco de dormir: probabilidade de detectar corretamente que o saco não suporta a temperatura, quando de fato não suporta.
Ex. 104.25Compreensão
Um grupo de médicos decide se realiza uma cirurgia ( $H_0$ : a cirurgia correrá bem). Qual erro — tipo I ou tipo II — tem a maior consequência prática?
Selecione a alternativa correta
Erro tipo I é mais grave: operar desnecessariamente pode causar dano ao pacienteErro tipo II é mais grave: não operar quando deveria pode ser fatalOs dois erros têm a mesma consequênciaDepende do nível de significância escolhido
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 15
Ver solução
$H_0$ : a cirurgia correrá bem. Erro tipo I: operar quando não deveria (a cirurgia tem complicações). Erro tipo II: não operar quando deveria (perder uma intervenção necessária). Em muitos contextos clínicos, o erro tipo I (cirurgia desnecessária) é considerado mais grave, pois impõe risco ao paciente sem benefício.
Ex. 104.26Aplicação
O poder de um teste é $0{,}981$ . Qual é a probabilidade de cometer erro tipo II?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}019$ $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}981$ $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}019$ , portanto o poder é baixo $P(\text{Erro tipo II}) = 1 - 0{,}981 = 0{,}019$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 17
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O poder é $1 - \beta = 0{,}981$ . Portanto $\beta = P(\text{Erro tipo II}) = 1 - 0{,}981 = 0{,}019$ . Esse valor é muito baixo: o teste raramente deixará de detectar um efeito real.
Ex. 104.27Compreensão
Um grupo de mergulhadores explora um naufrágio. $H_0$ : o navio não contém tesouro soterrado. Descreva os erros tipo I e tipo II.
Selecione a alternativa correta
Erro tipo I: concluir que há tesouro quando não há; Erro tipo II: concluir que não há quando háErro tipo I: concluir que não há tesouro quando há; Erro tipo II: concluir que há quando não háErro tipo I e tipo II dependem do nível de significância escolhido pelos mergulhadoresNão há como definir os erros sem conhecer o p-valor
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 18
Ver solução
$H_0$ : o navio não contém tesouro. Erro tipo I: rejeitar $H_0$ sendo ela verdadeira — afirmar que há tesouro quando não há. Erro tipo II: não rejeitar $H_0$ sendo ela falsa — afirmar que não há tesouro quando na verdade há.
Ex. 104.28Aplicação
Um microbiologista testa água para $E.\ coli$ . $H_0$ : amostra não contém $E.\ coli$ . $P(\text{Erro tipo I}) = 0{,}012$ ; $P(\text{Erro tipo II}) = 0{,}002$ . Qual é o poder do teste?
Selecione a alternativa correta
Poder $= 1 - 0{,}002 = 0{,}998$ Poder $= 0{,}012 + 0{,}002 = 0{,}014$ Poder $= 0{,}012$ Poder $= 1 - 0{,}012 = 0{,}988$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 19
Ver solução
O problema dá $P(\text{Erro tipo I}) = \alpha = 0{,}012$ e $P(\text{Erro tipo II}) = \beta = 0{,}002$ . O poder do teste é $1 - \beta = 1 - 0{,}002 = 0{,}998$ .
Ex. 104.29Compreensão
Quais são as duas distribuições que se usa para testes de hipótese de médias populacionais neste capítulo?
Selecione a alternativa correta
Distribuição normal padrão e distribuição $t$ de StudentDistribuição $\chi^2$ e distribuição $F$ Distribuição binomial e distribuição de PoissonDistribuição $t$ de Student e distribuição $\chi^2$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 21
Ver solução
Para testes de hipótese de médias populacionais, as duas distribuições usadas são: (1) distribuição normal padrão $\mathcal{N}(0,1)$ — quando $\sigma$ é conhecido ou $n$ é grande (pelo TCL); (2) distribuição $t$ de Student — quando $\sigma$ é desconhecido e é estimado por $s$ .
Ex. 104.30CompreensãoGabarito
Qual distribuição se usa quando o desvio padrão populacional $\sigma$ é desconhecido e a amostra é grande?
Selecione a alternativa correta
Distribuição normal padrão, pois com $n$ grande o TCL garante normalidadeDistribuição $t$ de Student com $df = n - 1$ Distribuição $\chi^2$ com $df = n - 1$ Distribuição normal padrão pois $s \approx \sigma$ quando $n$ é grande
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 22
Ver solução
Quando $\sigma$ é desconhecido — mesmo com $n$ grande — usa-se formalmente a distribuição $t_{n-1}$ . Na prática, para $n$ muito grande, $t_{n-1} \approx \mathcal{N}(0,1)$ , mas a resposta rigorosa é $t$ .
Ex. 104.31Compreensão
Média populacional = 13. Amostra: $\bar X = 12{,}8$ , $s = 2$ , $n = 20$ . A população subjacente é normal. Qual distribuição usar para o teste de hipótese?
Selecione a alternativa correta
Distribuição $t_{19}$ , pois $\sigma$ é desconhecido e a população é normalDistribuição normal padrão, pois a hipótese é sobre a média e $n > 10$ Distribuição $\chi^2_{19}$ , pois $\sigma$ é desconhecidoDistribuição $t_{20}$ , pois $df = n$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 24
Ver solução
A população é aproximadamente normal e $\sigma$ é desconhecido, estimado por $s = 2$ . Assim, a estatística de teste $T = (\bar X - 13)/(s/\sqrt{20})$ segue $t_{19}$ sob $H_0$ .
Ex. 104.32Compreensão
Média populacional = 25, $\sigma = 5$ (conhecido). Amostra: $\bar X = 24$ , $n = 108$ . Qual distribuição usar para o teste de hipótese?
Selecione a alternativa correta
Distribuição $t_{107}$ , pois $\sigma$ é desconhecidoDistribuição normal padrão, pois $\sigma = 5$ é conhecido e $n = 108$ é grandeDistribuição $t_{107}$ mesmo com $\sigma$ conhecido, por precauçãoDistribuição $\chi^2_{107}$ por tratar de variância
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 25
Ver solução
O desvio padrão populacional $\sigma = 5$ é conhecido. Logo, usa-se o teste z com distribuição $\mathcal{N}(0,1)$ . Mesmo com $n = 108$ , a diferença entre $z$ e $t$ seria mínima, mas o critério de escolha é o conhecimento de $\sigma$ .
Ex. 104.33Compreensão
O que se deve assumir sobre a distribuição dos dados ao realizar um teste t de uma amostra para a média populacional?
Selecione a alternativa correta
Os dados devem ser independentes, mas não precisam vir de população normalOs dados devem vir de uma simples amostra aleatória de uma população normal (ou aproximadamente normal)Os dados devem ter variância conhecidaOs dados devem ter média zero
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 27
Ver solução
Para um teste t de uma amostra, assume-se que: (1) os dados são uma amostra aleatória simples, (2) a população é aproximadamente normal (condição mais crítica para $n$ pequeno). Com $n \geq 30$ , o TCL relaxa a exigência de normalidade.
Ex. 104.34Aplicação
Quando se rejeita $H_0$ num teste de hipótese usando o critério do p-valor?
Selecione a alternativa correta
Quando $\alpha$ é maior que o p-valor: o p-valor caiu abaixo do limiar de significânciaQuando p-valor é maior que $\alpha$ : os dados são compatíveis com $H_0$ Quando $\alpha - p$ -valor $> 0{,}5$ , indicando grande diferençaSomente quando a diferença observada for maior que dois desvios padrões
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 32
Ver solução
A regra de decisão é: quando $\alpha > p$ -valor, rejeitamos $H_0$ . Isso significa que os dados são suficientemente improváveis sob $H_0$ dado o nível de significância escolhido.
Ex. 104.35Modelagem
Acredita-se que a altura média de estudantes de basquete do ensino médio seja 73 polegadas, $\sigma = 1{,}8$ . Amostra de 40 jogadores: $\bar X = 71$ pol, $s = 1{,}5$ pol. O p-valor é quase zero. Formule as hipóteses e interprete.
Selecione a alternativa correta
$H_0: \mu = 73$ ; $H_a: \mu < 73$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ : amostra contradiz a crença $H_0: \mu = 73$ ; $H_a: \mu \neq 73$ ; p-valor $\approx 0$ ; rejeita $H_0$ $H_0: \mu < 73$ ; $H_a: \mu = 73$ ; não rejeita $H_0$ pois $n = 40$ $H_0: \mu = 71$ ; $H_a: \mu \neq 71$ ; não rejeita $H_0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 35
Ver solução
$H_0: \mu = 73$ , $H_a: \mu < 73$ . Com $\sigma = 1{,}8$ : $Z = (71-73)/(1{,}8/\sqrt{40}) \approx -7{,}02$ . p-valor $\approx 0$ . Rejeita $H_0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $H_0: \mu = 73$ pol (crença), $H_a: \mu < 73$ (o estudo quer mostrar que é menor).
2. O enunciado afirma que $\sigma = 1{,}8$ e $s = 1{,}5$ . Como $\sigma$ é dado como conhecido, usa-se o teste z: $Z = (71 - 73)/(1{,}8/\sqrt{40}) = -2/0{,}285 = -7{,}02$ .
3. p-valor unilateral inferior: $P(Z \leq -7{,}02) \approx 0$ .
4. Conclusão: rejeita $H_0$ . A média da amostra (71 pol) contradiz fortemente a crença de que a média é 73 pol.
Ex. 104.36Aplicação
A média de idade de pós-graduandos é no máximo 31 anos ( $H_0: \mu \leq 31$ ). Amostra de 15 alunos: $\bar X = 32$ anos, $s = 3$ anos. p-valor $= 0{,}0264$ . Os dados são significativos ao nível 1%?
Selecione a alternativa correta
p-valor $= 0{,}0264 < 0{,}05$ : significativo ao nível 5%, mas não ao 1%p-valor $= 0{,}0264 < 0{,}01$ : significativo ao nível 1%p-valor $= 0{,}0264 > 0{,}05$ : não é significativo ao nível 5%p-valor $= 0{,}0264$ : é sempre significativo independentemente de $\alpha$
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 36
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p-valor $= 0{,}0264$ . Como $0{,}0264 < 0{,}05$ , é significativo ao nível 5%: rejeitamos $H_0$ . Mas como $0{,}0264 > 0{,}01$ , não é significativo ao nível 1%. A hipótese é $H_0: \mu \leq 31$ , $H_a: \mu > 31$ .
Ex. 104.37Compreensão
O que se deve fazer quando $\alpha > p$ -valor num teste de hipótese?
Selecione a alternativa correta
Rejeitar $H_0$ : o p-valor indica evidência suficiente contra a hipótese nulaNão rejeitar $H_0$ : o p-valor é menor que $\alpha$ , portanto os dados apoiam $H_0$ Aumentar o tamanho da amostra e recalcular o p-valorUsar um teste bilateral em vez do unilateral atual
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §9.P · ex. 38
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Quando $\alpha > p$ -valor, o p-valor caiu abaixo do limiar de significância estabelecido. Isso significa que a probabilidade de obter os dados observados sob $H_0$ é menor que o risco $\alpha$ que estamos dispostos a aceitar. Portanto, rejeitamos $H_0$ .
Ex. 104.38Compreensão
Um novo tratamento para para-brisa afirma repelir água mais eficientemente. Dez para-brisas foram testados sem o tratamento e depois com o tratamento (o mesmo conjunto). Que tipo de teste é mais adequado?
Selecione a alternativa correta
Trata-se de dados pareados (mesmas janelas antes e depois); usar teste t pareadoTrata-se de duas amostras independentes; usar Welch tUsar teste z pois $n = 10$ é suficientemente grandeUsar pooled t pois as variâncias são presumivelmente iguais
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 3
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As mesmas 10 janelas foram testadas sem e com o tratamento. Os dados são pareados: a mesma unidade experimental (janela) aparece nos dois grupos. O teste apropriado é o t pareado sobre as diferenças de eficiência (com tratamento menos sem tratamento).
Ex. 104.39Modelagem
Estudo compara notas de redação: 31 mulheres ( $\bar X = 82$ , $s = 3$ ) e 25 homens ( $\bar X = 76$ , $s = 4$ ). Teste $H_0: \mu_F = \mu_M$ vs $H_1: \mu_F > \mu_M$ com $\alpha = 0{,}05$ .
Selecione a alternativa correta
$T_W \approx 5{,}82$ ; rejeita $H_0$ : mulheres têm nota média mais alta que homens em redação $T_W \approx 5{,}82$ ; não rejeita $H_0$ pois $df < 30$ $T_W \approx 1{,}71$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W \approx 5{,}82$ ; rejeita $H_0$ apenas ao nível 1%
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 7
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$\mathrm{SE} = \sqrt{9/31 + 16/25} \approx 0{,}964$ . $T_W = 6/0{,}964 \approx 6{,}22$ . $\nu \approx 38$ . Rejeita $H_0$ : mulheres têm nota média significativamente mais alta que homens em redação.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $H_0: \mu_F = \mu_M$ , $H_a: \mu_F > \mu_M$ (unilateral superior). $n_F = 31$ , $\bar X_F = 82$ , $s_F = 3$ ; $n_M = 25$ , $\bar X_M = 76$ , $s_M = 4$ .
2. $\mathrm{SE} = \sqrt{9/31 + 16/25} = \sqrt{0{,}290 + 0{,}640} = \sqrt{0{,}930} = 0{,}964$ .
3. $T_W = (82 - 76)/0{,}964 = 6{,}22$ . $\nu \approx 38$ (Welch).
4. Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,38} \approx 1{,}686$ . Como $6{,}22 > 1{,}686$ , rejeita $H_0$ .
Ex. 104.40Modelagem
Acredita-se que adolescentes dormem mais que adultos. Amostra de adolescentes ( $n_1 = 16$ , $\bar X_1 = 8{,}9$ h, $s_1 = 1{,}2$ h) e adultos ( $n_2 = 12$ , $\bar X_2 = 6{,}9$ h, $s_2 = 0{,}6$ h). Teste ao nível 5%.
Selecione a alternativa correta
$T_W \approx 3{,}37$ ; $\nu \approx 26$ ; rejeita $H_0$ : adolescentes dormem mais que adultos $T_W \approx 3{,}37$ ; não rejeita $H_0$ pois $n_1 + n_2 < 30$ $T_W \approx 1{,}21$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5%Deve-se usar pooled t pois as variâncias são próximas
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 11
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$\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}44/16 + 0{,}36/12} \approx 0{,}346$ . $T_W = 2{,}0/0{,}346 \approx 5{,}78$ . Rejeita $H_0$ : adolescentes dormem mais que adultos ao nível 5%.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $H_0: \mu_{\text{teen}} = \mu_{\text{adult}}$ , $H_a: \mu_{\text{teen}} > \mu_{\text{adult}}$ .
2. Adolescentes: $n_1 = 16$ , $\bar X_1 = 8{,}9$ , $s_1 = 1{,}2$ ; adultos: $n_2 = 12$ , $\bar X_2 = 6{,}9$ , $s_2 = 0{,}6$ .
3. $\mathrm{SE} = \sqrt{1{,}44/16 + 0{,}36/12} = \sqrt{0{,}090 + 0{,}030} = \sqrt{0{,}120} = 0{,}346$ .
4. $T_W = (8{,}9 - 6{,}9)/0{,}346 = 5{,}78$ . $\nu \approx 20$ . Valor crítico unilateral: $t_{0{,}05,\,20} = 1{,}725$ .
5. Como $5{,}78 \gg 1{,}725$ , rejeita $H_0$ . Adolescentes dormem significativamente mais que adultos.
Ex. 104.41Modelagem
Escola A (12 cursos de pós): mensalidade média R$64.000, $s$ = R$8.000. Escola B (16 cursos): R$80.000, $s$ = R$6.000. Em média, as mensalidades diferem? Teste ao nível 5% (bilateral).
Selecione a alternativa correta
$T_W \approx 5{,}79$ ; rejeita $H_0$ : Escola B é significativamente mais cara que Escola A $T_W \approx 2{,}01$ ; não rejeita $H_0$ ao nível 5% $T_W \approx 5{,}79$ ; não rejeita $H_0$ pois $\nu$ é muito pequenoNão é possível concluir sem saber se as variâncias são iguais
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §10.P · ex. 13
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Escola A: $n_1 = 12$ , $\bar X_1 = 64{,}000$ , $s_1 = 8{,}000$ ; Escola B: $n_2 = 16$ , $\bar X_2 = 80{,}000$ , $s_2 = 6{,}000$ . $\mathrm{SE} = \sqrt{64 \times 10^6/12 + 36 \times 10^6/16} = \sqrt{5{,}33 + 2{,}25} \times 10^3 = 2{,}753 \times 10^3$ . $T_W = -16{,}000/2{,}753 \approx -5{,}81$ . Rejeita $H_0$ .

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Seções §5.3–5.4 (teste t de uma amostra, Welch, pareado; condições de aplicação).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. Seções §9.5–9.6 e §10.1–10.4 (testes z e t, duas amostras independentes e pareadas).
Statistical Thinking for the 21st Century — Russell Poldrack · CC-BY-NC. Capítulo 12 (testes de comparação de grupos, simulação, perspectiva moderna).