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Lição 108 — Teste qui-quadrado: aderência e independência

Estatística chi-quadrado: distribuição assintótica, graus de liberdade, teste de aderência (goodness of fit) e teste de independência em tabelas de contingência. Correção de Yates, V de Cramér.

Usado em: 3.º ano EM · Stochastik LK alemão · H2 Statistics singapurense · Math B japonês — estatística inferencial

\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

A estatística qui-quadrado mede a discrepância total entre contagens observadas $O_i$ e contagens esperadas $E_i$ sob $H_0$ . Quanto maior $\chi^2$ , mais evidência contra a hipótese nula. Para aderência, testa se os dados seguem uma distribuição prescrita; para independência, testa se duas variáveis categóricas são independentes em uma tabela $r \times c$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

Distribuição qui-quadrado

"As distribuições qui-quadrado têm uma propriedade de aditividade: se $X_1 \sim \chi^2_{n_1}$ e $X_2 \sim \chi^2_{n_2}$ são independentes, então $X_1 + X_2 \sim \chi^2_{n_1 + n_2}$ ." — OpenStax Statistics, §11.1

Teste de aderência (goodness of fit)

Definição· Hipoteses e estatistica de aderencia

Dada uma amostra de $n$ observações categorizadas em $k$ classes:

Hipóteses: $H_0: p_i = p_i^0 \quad (i = 1, \ldots, k) \qquad \text{vs.} \qquad H_1: \text{pelo menos um } p_i \neq p_i^0$

Frequências esperadas: $E_i = n \, p_i^0$ .

Estatística: $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Graus de liberdade: $df = k - 1 - r$ , onde $r$ é o número de parâmetros estimados a partir dos dados (tipicamente $r = 0$ para distribuições completamente especificadas).

Sob $H_0$ , $\chi^2 \xrightarrow{d} \chi^2_{df}$ quando $n \to \infty$ (resultado assintótico de Pearson, 1900).

Teste de independência em tabela $r \times c$

"As frequências esperadas para um teste de independência são calculadas assumindo que as proporções da linha são iguais em todas as colunas. Se a hipótese nula for verdadeira (variáveis independentes), esse pressuposto é satisfeito." — OpenIntro Statistics, §6.4

Suposições de validade (regra de Cochran)

Correção de Yates (tabela $2 \times 2$ )

Tamanho de efeito: V de Cramér

Curva qui-quadrado com df = 5. A região amarela à direita do valor crítico é a área de rejeição de H0 ao nível alpha = 5%.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Aderencia: dado honesto?

Problema. Um dado é lançado 120 vezes. Contagens por face: 15, 22, 17, 25, 19, 22. Ao nível 5%, o dado é honesto?

Estratégia. Teste de aderência: $H_0$ é que cada face tem probabilidade 1/6. Esperado: $E_i = 120/6 = 20$ para cada face. $df = 6 - 1 = 5$ .

Resolução.

$\chi^2 = \frac{(15-20)^2}{20} + \frac{(22-20)^2}{20} + \frac{(17-20)^2}{20} + \frac{(25-20)^2}{20} + \frac{(19-20)^2}{20} + \frac{(22-20)^2}{20}$

$= \frac{25 + 4 + 9 + 25 + 1 + 4}{20} = \frac{68}{20} = 3,40$

Valor crítico: $\chi^2_{0,05;\,5} = 11,07$ . Como $3,40 < 11,07$ , não rejeitamos $H_0$ .

Verificação. O p-valor associado a $\chi^2 = 3,40$ com $df = 5$ é aproximadamente 0,64 — bem acima de 0,05. A maior discrepância foi na face 4 (+5), mas dentro do esperado por variação amostral.

Fonte. OpenStax Statistics, §11.3, Example 11.3 — CC-BY.

Exemplo— 2· Independencia: genero e opiniao sobre politica de cotas

Problema. Pesquisa com 400 eleitores brasileiros registra gênero (Masc/Fem) e opinião sobre cotas raciais (Favorável/Neutro/Contrário). Tabela observada:

	Favorável	Neutro	Contrário	Total
Masculino	80	40	80	200
Feminino	120	50	30	200
Total	200	90	110	400

Teste independência a $\alpha = 5\%$ .

Estratégia. Tabela $2 \times 3$ : $df = (2-1)(3-1) = 2$ .

Resolução.

$E_{M,Fav} = 200 \times 200 / 400 = 100$ ; $E_{M,Neu} = 200 \times 90/400 = 45$ ; $E_{M,Con} = 200 \times 110/400 = 55$ .

$E_{F,Fav} = 100$ ; $E_{F,Neu} = 45$ ; $E_{F,Con} = 55$ .

$\chi^2 = \frac{(80-100)^2}{100} + \frac{(40-45)^2}{45} + \frac{(80-55)^2}{55} + \frac{(120-100)^2}{100} + \frac{(50-45)^2}{45} + \frac{(30-55)^2}{55}$

$= 4,00 + 0,56 + 11,36 + 4,00 + 0,56 + 11,36 = 31,84$

Valor crítico: $\chi^2_{0,05;\,2} = 5,99$ . Como $31,84 \gg 5,99$ , rejeitamos $H_0$ — há associação significativa.

Verificação. $V = \sqrt{31,84/(400 \times 1)} \approx 0,282$ — efeito médio. A maior contribuição vem da categoria "Contrário" (25 pontos de 31,84).

Fonte. OpenIntro Statistics, §6.4, Exercise 6.29 — CC-BY-SA.

Exemplo— 3· Aderencia a distribuicao de Poisson

Problema. Um call center registra o número de ligações por hora em 200 horas: 0 ligações (30 horas), 1 ligação (60 horas), 2 ligações (54 horas), 3 ligações (36 horas), 4 ou mais (20 horas). Teste se os dados seguem Poisson a 5%.

Estratégia. Estima-se $\hat{\lambda} = (0 \cdot 30 + 1 \cdot 60 + 2 \cdot 54 + 3 \cdot 36 + 4 \cdot 20)/200 = 328/200 = 1,64$ . Como estimamos 1 parâmetro, $df = 5 - 1 - 1 = 3$ .

Resolução.

Probabilidades Poisson( $\hat{\lambda} = 1,64$ ): $p_0 = e^{-1{,}64} \approx 0,1942$ ; $p_1 \approx 0,3185$ ; $p_2 \approx 0,2612$ ; $p_3 \approx 0,1427$ ; $p_{4+} = 1 - \sum_{0}^{3} p_i \approx 0,0834$ .

Esperados: $E_0 = 38,8$ ; $E_1 = 63,7$ ; $E_2 = 52,2$ ; $E_3 = 28,5$ ; $E_{4+} = 16,7$ . Todos $\geq 5$ : OK.

$\chi^2 = \frac{(30-38,8)^2}{38,8} + \frac{(60-63,7)^2}{63,7} + \frac{(54-52,2)^2}{52,2} + \frac{(36-28,5)^2}{28,5} + \frac{(20-16,7)^2}{16,7}$

$\approx 2,00 + 0,21 + 0,06 + 1,97 + 0,65 = 4,89$

Valor crítico: $\chi^2_{0,05;\,3} = 7,81$ . Como $4,89 < 7,81$ , não rejeitamos $H_0$ — os dados são compatíveis com Poisson.

Verificação. O $df = 3$ (e não 4) porque estimamos $\lambda$ dos próprios dados; não usar $df$ errado é a armadilha mais comum neste tipo de problema.

Fonte. OpenStax Statistics, §11.3, Example 11.5 (adaptado) — CC-BY.

Exemplo— 4· Tabela 2x2 com correcao de Yates

Problema. Um ensaio clínico compara vacina vs. placebo em 60 voluntários (30 em cada grupo). Resultados:

	Protegido	Não protegido	Total
Vacina	22	8	30
Placebo	15	15	30
Total	37	23	60

Com correção de Yates, teste independência a 5%.

Estratégia. Tabela $2 \times 2$ , $df = 1$ . Esperados: $E_{V,P} = 37 \times 30/60 = 18,5$ ; $E_{V,NP} = 23 \times 30/60 = 11,5$ ; demais iguais por simetria.

Resolução.

$\chi^2_Y = \frac{(\lvert 22 - 18,5\rvert - 0,5)^2}{18,5} + \frac{(\lvert 8 - 11,5\rvert - 0,5)^2}{11,5} + \frac{(\lvert 15 - 18,5\rvert - 0,5)^2}{18,5} + \frac{(\lvert 15 - 11,5\rvert - 0,5)^2}{11,5}$

$= \frac{(3,0)^2}{18,5} + \frac{(3,0)^2}{11,5} + \frac{(3,0)^2}{18,5} + \frac{(3,0)^2}{11,5} = \frac{9}{18,5} + \frac{9}{11,5} + \frac{9}{18,5} + \frac{9}{11,5}$

$= 0,486 + 0,783 + 0,486 + 0,783 = 2,538$

Valor crítico: $\chi^2_{0,05;\,1} = 3,84$ . Como $2,538 < 3,84$ , não rejeitamos $H_0$ ao nível 5%.

Verificação. Sem correção de Yates: $\chi^2 = (3,5)^2 \times (2/18,5 + 2/11,5) = 12,25 \times (0,108 + 0,174) = 3,45$ . Ainda não rejeitaria, mas a correção foi conservadora como esperado.

Fonte. OpenIntro Statistics, §6.4, Exercise 6.35 (adaptado) — CC-BY-SA.

Exemplo— 5· Genetica mendeliana: proporção 9:3:3:1

Problema. Um cruzamento dihíbrido em ervilhas (Mendel) prevê fenótipos na proporção 9:3:3:1 (liso-amarelo : liso-verde : rugoso-amarelo : rugoso-verde). Observa-se em 160 descendentes: 90, 30, 27, 13. Teste a 5% se os dados seguem Mendel.

Estratégia. Proporcões esperadas: $p_1 = 9/16$ , $p_2 = 3/16$ , $p_3 = 3/16$ , $p_4 = 1/16$ . $df = 4 - 1 = 3$ (distribuição completamente especificada).

Resolução.

$E_1 = 160 \times 9/16 = 90$ ; $E_2 = 160 \times 3/16 = 30$ ; $E_3 = 30$ ; $E_4 = 160 \times 1/16 = 10$ .

$\chi^2 = \frac{(90-90)^2}{90} + \frac{(30-30)^2}{30} + \frac{(27-30)^2}{30} + \frac{(13-10)^2}{10}$

$= 0 + 0 + \frac{9}{30} + \frac{9}{10} = 0,30 + 0,90 = 1,20$

Valor crítico: $\chi^2_{0,05;\,3} = 7,81$ . Como $1,20 \ll 7,81$ , não rejeitamos $H_0$ — os dados são consistentes com as leis de Mendel.

Verificação. O p-valor é aproximadamente 0,75 — os dados se encaixam quase perfeitamente na proporção 9:3:3:1. A categoria rugoso-verde ( $E_4 = 10$ ) está exatamente no limite da regra de Cochran; para amostras menores seria recomendável fusão de categorias ou Fisher–Freeman–Halton.

Fonte. OpenStax Statistics, §11.3, Example 11.7 (adaptado) — CC-BY.

Lista de exercícios

42 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 23Compreensão 7Modelagem 6Desafio 5Demonstração 1

Ex. 108.1Aplicação
Qual das afirmações abaixo sobre a distribuição qui-quadrado é verdadeira?
Selecione a alternativa correta
A) A distribuição qui-quadrado tem dois parâmetros: média e desvio padrão, assim como a normal.B) A distribuição qui-quadrado é sempre assimétrica à direita, independentemente do valor dos graus de liberdade.C) A estatística qui-quadrado pode ser negativa quando as frequências observadas são menores que as esperadas.D) Com o aumento dos graus de liberdade, a distribuição qui-quadrado fica mais assimétrica.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.31
Ver solução
A afirmação verdadeira é B: a distribuição qui-quadrado é sempre assimétrica à direita (positivamente assimétrica), independentemente do valor de $df$ . A afirmação A é falsa: a qui-quadrado tem um único parâmetro ( $df$ ), não dois. A afirmação C é falsa: $\chi^2 \geq 0$ sempre. A afirmação D é falsa: com mais graus de liberdade a distribuição se torna menos assimétrica (aproxima-se da normal).
Ex. 108.2Aplicação
Qual das afirmações abaixo sobre a distribuição qui-quadrado é verdadeira?
Selecione a alternativa correta
A) A estatística qui-quadrado pode ser positiva ou negativa dependendo das discrepâncias.B) Para graus de liberdade maiores que 90, a distribuição qui-quadrado aproxima-se da normal.C) A estatística qui-quadrado é calculada somando as diferenças absolutas entre observado e esperado.D) Para df = 15, a distribuição qui-quadrado é simétrica em torno de df/2 = 7,5.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.32
Ver solução
A afirmação verdadeira é B: para $df > 90$ a distribuição qui-quadrado se aproxima da normal pelo TCL. A estatística $\chi^2$ é sempre não-negativa (quadrados divididos por positivos), não pode ser negativa. A fórmula usa quadrados, não valores absolutos. Para $df = 15$ a distribuição ainda é assimétrica à direita (a simetria normal só emerge para $df$ muito grande).
Ex. 108.3Aplicação
Um professor que usa livro de estatística de acesso aberto prevê que 60% dos alunos adquirirão a versão digital, 25% a versão impressa e 15% não adquirirão nenhuma. Em uma turma de 100 alunos, observa-se 65, 22 e 13 respectivamente. Qual é a conclusão correta ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) 60% adquiriram livros digitais, 25% impressos e 15% não adquiriram — exatamente o esperado.B) A distribuição observada (65% digital, 22% impresso, 13% não comprou) é compatível com a previsão ao nível 5%.C) A distribuição observada difere significativamente da prevista ao nível 5%.D) O teste qui-quadrado não pode ser aplicado pois as categorias não têm a mesma probabilidade esperada.
Selecione uma opção primeiro
OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.33
Ver solução
Um professor prevê que 60% dos alunos comprarão o livro digital, 25% o impresso e 15% não comprarão. Com $n = 100$ alunos: $E = (60, 25, 15)$ . Se observado $O = (65, 22, 13)$ : $\chi^2 = (65-60)^2/60 + (22-25)^2/25 + (13-15)^2/15 = 25/60 + 9/25 + 4/15 \approx 0,417 + 0,36 + 0,267 = 1,044$ . Com $df = 2$ , crítico a 5%: 5,99. Não rejeita — a distribuição observada é compatível com a previsão.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular esperados: $E_1 = 0,60 \times 100 = 60$ ; $E_2 = 25$ ; $E_3 = 15$ .
2. Calcular cada parcela: $(65-60)^2/60 \approx 0,417$ ; $(22-25)^2/25 = 0,36$ ; $(13-15)^2/15 \approx 0,267$ .
3. Somar: $\chi^2 \approx 1,044$ . $df = 3-1 = 2$ . Crítico a 5%: 5,99. Não rejeitar $H_0$ .
Ex. 108.4Aplicação
Pesquisadores estudaram fatores de microhabitat associados a locais de forrageamento e repouso de veados-latreiros na ilha de Hainan, China. Os habitats registrados foram: floresta, pastagem e margem de rio. Se a hipótese nula for que os veados utilizam os habitats proporcionalmente à sua disponibilidade, qual resultado é mais consistente com a rejeição de $H_0$ ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) Floresta (75%), pastagem (20%) e margem de rio (5%) — exatamente proporcional ao habitat disponível.B) Floresta (4%), pastagem (67%) e margem de rio (29%) — os veados preferem pastagem significativamente.C) A distribuição de locais de forrageamento e repouso é igual, portanto não há preferência de habitat.D) O teste qui-quadrado não pode ser aplicado pois os habitats têm áreas diferentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.34
Ver solução
Em estudo sobre veados-latreiros na ilha de Hainan (China), os locais de repouso e forrageamento foram registrados em três tipos de microhabitat. Se a disponibilidade do habitat fosse a única determinante, a frequência de uso deveria ser proporcional à área. O teste qui-quadrado de aderência compara a distribuição observada com a esperada pela disponibilidade. Um $\chi^2$ grande indica preferência real por algum microhabitat — neste caso, os dados mostram forte preferência por pastagem, o que é biologicamente interpretável como busca por forragem.
Ex. 108.5Aplicação
Um departamento de saúde de um município recrutou fumantes e os alocou aleatoriamente em grupo de apoio ou grupo de controle. Após seis meses, contabilizou-se quem parou de fumar. O teste qui-quadrado de independência resultou em p-valor = 0,03. Qual é a conclusão mais adequada?
Selecione a alternativa correta
A) Participar de um grupo de apoio não tem efeito sobre a cessação do tabagismo (p-valor maior que 0,05).B) Participar de um grupo de apoio está associado a maior taxa de cessação do tabagismo (p-valor menor que 0,05).C) O teste qui-quadrado não é adequado para este estudo pois a variável dependente é contínua.D) Os graus de liberdade são df = 3, pois há 4 células na tabela 2 × 2.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.35
Ver solução
Um departamento de saúde recrutou fumantes e os dividiu em dois grupos: com suporte (grupo de apoio) e sem suporte. Após seis meses, registrou-se sucesso ou fracasso na cessação. A tabela $2 \times 2$ (grupo × resultado) tem $df = (2-1)(2-1) = 1$ . Se o p-valor for menor que 0,05, rejeitamos a independência e concluímos que o grupo de apoio aumenta significativamente a taxa de cessação.
Ex. 108.6Aplicação
Um levantamento perguntou a adultos americanos se são favoráveis ou contrários ao uso de escâneres corporais em aeroportos, cruzando a resposta com o nível de escolaridade (ensino médio, graduação, pós-graduação). O teste qui-quadrado resultou em p-valor = 0,01. Qual é a conclusão ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) A opinião sobre escâneres corporais não depende do nível de escolaridade (p-valor maior que 0,05).B) Há associação significativa entre escolaridade e opinião sobre escâneres corporais (p-valor menor que 0,05).C) O teste não pode ser realizado pois a tabela tem mais de 2 linhas.D) Como todos os grupos de escolaridade mostram maioria favorável, não há associação.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.36
Ver solução
Um levantamento coletou dados de adultos americanos sobre sua opinião quanto ao uso de escâneres corporais em aeroportos (favorável/contrário) cruzada com nível de escolaridade (ensino médio / graduação / pós-graduação). A tabela $3 \times 2$ produz $df = (3-1)(2-1) = 2$ . Se o p-valor for inferior a 0,05, conclui-se que a opinião varia significativamente com o nível de escolaridade — pessoas com mais escolaridade tendem a ter opiniões diferentes sobre a medida de segurança.
Ex. 108.7AplicaçãoGabarito
Um levantamento registrou a opinião de adultos americanos sobre a perfuração de petróleo off-shore (a favor / neutro / contra) cruzada com nível de educação ambiental (baixo / médio / alto), gerando uma tabela $3 \times 3$ . O p-valor do teste qui-quadrado foi 0,002. Qual é a conclusão mais adequada ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) A opinião sobre perfuração off-shore não depende do nível de educação ambiental.B) Há evidência de associação entre nível de educação ambiental e apoio à perfuração off-shore.C) O teste qui-quadrado não é aplicável porque a amostra foi coletada em dois momentos distintos.D) Como df = 2, o valor crítico a 5% é 3,84 e qualquer qui-quadrado acima disso é significativo.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.37
Ver solução
Dados de adultos americanos cruzam opinião sobre perfuração off-shore de petróleo (a favor / neutro / contra) com nível de educação ambiental (baixo / médio / alto). A tabela $3 \times 3$ tem $df = (3-1)(3-1) = 4$ (não 2, eliminando alternativa D). Se $\chi^2$ calculado superar o crítico para $df = 4$ (9,49 a 5%), conclui-se que a opinião e o nível de educação ambiental estão associados.
Ex. 108.8AplicaçãoGabarito
A filariose linfática é causada por um verme parasita; suas complicações podem causar elefantíase. Em um estudo, 600 pacientes foram classificados por região geográfica (A, B, C) e pela presença ou ausência da doença. O teste qui-quadrado de independência resultou em p-valor = 0,04. Qual é a conclusão ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) A filariose linfática não está associada à região geográfica dos pacientes.B) Há associação significativa entre a filariose linfática e a região geográfica; a proporção de afetados difere entre regiões.C) O qui-quadrado não é aplicável pois a filariose é uma variável contínua.D) Como n maior que 500, o teste quasi-qui-quadrado deve ser usado em lugar do qui-quadrado padrão.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.38
Ver solução
A filariose linfática é uma doença causada por verme parasita; suas complicações podem levar a elefantíase. Em um estudo, pacientes foram classificados por região geográfica e presença ou ausência da doença, gerando uma tabela de contingência. O teste qui-quadrado de independência testa se a prevalência da doença é homogênea entre regiões. Um p-valor menor que 0,05 indica que a prevalência varia significativamente com a região — informação crucial para direcionar programas de controle.
Ex. 108.9AplicaçãoGabarito
Qual é a fórmula correta para os graus de liberdade ( $df$ ) no teste de aderência (goodness-of-fit)?
Selecione a alternativa correta
A) df = k, onde k é o número de categorias.B) df = k - 1, onde k é o número de categorias.C) df = k + 1, pois ganhamos um grau de liberdade ao estimar n.D) df = n - 1, onde n é o total de observações.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 9
Ver solução
No teste de aderência com $k$ categorias e distribuição completamente especificada (nenhum parâmetro estimado dos dados), os graus de liberdade são $df = k - 1$ . A restrição $\sum O_i = n$ elimina 1 grau de liberdade: conhecidas $k-1$ contagens, a última é automaticamente determinada.
Ex. 108.10Aplicação
Quais são as hipóteses nula e alternativa corretas para o teste de aderência (goodness-of-fit)?
Selecione a alternativa correta
A) $H_0$ : a distribuição observada é diferente da esperada; $H_a$ : as duas distribuições são iguais.B) $H_0$ : a distribuição observada é igual à distribuição esperada (teórica); $H_a$ : pelo menos uma proporção difere.C) $H_0$ : todas as proporções esperadas são iguais; $H_a$ : pelo menos uma proporção observada é nula.D) $H_0$ : a amostra é representativa; $H_a$ : a amostra foi coletada de forma tendenciosa.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 10
Ver solução
No teste de aderência: $H_0$ afirma que a distribuição amostral é compatível com a distribuição teórica especificada — ou seja, $p_i = p_i^0$ para todas as categorias. $H_a$ afirma que pelo menos uma proporção observada difere da esperada. Note que $H_a$ não precisa especificar qual categoria difere.
Ex. 108.11Aplicação
Ao nível de significância de 5%, qual é a regra de decisão correta no teste de aderência qui-quadrado?
Selecione a alternativa correta
A) Rejeita-se $H_0$ se a estatística qui-quadrado for menor que o valor crítico.B) Rejeita-se $H_0$ se a estatística qui-quadrado for maior que o valor crítico.C) Rejeita-se $H_0$ se o p-valor for maior que o nível de significância.D) O teste qui-quadrado de aderência é bilateral, portanto divide-se alpha por 2 antes de comparar.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 13
Ver solução
O teste qui-quadrado é unilateral de cauda direita: rejeita-se $H_0$ quando $\chi^2$ calculado é maior que o valor crítico (ou equivalentemente, quando o p-valor é menor que $\alpha$ ). Discrepâncias grandes entre observado e esperado produzem $\chi^2$ grande — nunca negativo — portanto só há região de rejeição à direita.
Ex. 108.12Aplicação
Em um teste de aderência para verificar se a distribuição de casos de doença por grupo étnico no condado de Santa Clara corresponde à distribuição étnica da população geral, o p-valor obtido foi 0,53. Qual é a conclusão mais adequada ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) Os grupos étnicos têm exatamente a mesma proporção de doença que na população do condado.B) A distribuição de casos de doença por etnia no condado de Santa Clara é compatível com a distribuição étnica geral da população.C) A distribuição de casos de doença por etnia difere significativamente da distribuição étnica esperada (p-valor menor que 0,05).D) O teste qui-quadrado não pode ser aplicado a dados de distribuição étnica.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 22
Ver solução
O teste de aderência compara a distribuição observada de casos de doença por grupo étnico com a distribuição étnica esperada com base na população geral do condado. Se as etnias dos pacientes seguissem a distribuição étnica do condado, o número esperado em cada grupo seria proporcional. Um p-valor maior que 0,05 indica que a distribuição de casos é compatível com a esperada — ou seja, a doença não afeta desproporcionalmente nenhum grupo étnico.
Ex. 108.13Aplicação
Uma empresa farmacêutica quer investigar a relação entre faixa etária (jovem, adulto, idoso) e a apresentação de sintomas (sim/não) para uma doença viral comum em uma amostra de 300 pacientes. Qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) Um teste qui-quadrado de aderência com df = k - 1.B) Um teste qui-quadrado de independência em tabela de contingência faixa etária × sintoma.C) Um teste t para comparar a média de idade dos grupos com e sem sintomas.D) Uma análise de variância (ANOVA) com faixa etária como fator.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 23
Ver solução
Uma empresa farmacêutica quer saber se a idade está relacionada com a apresentação de sintomas para uma doença viral. As variáveis são: faixa etária (categórica: jovem, adulto, idoso) e presença de sintoma (categórica: sim/não). Duas variáveis categóricas em uma única amostra → teste qui-quadrado de independência. Os graus de liberdade seriam $df = (3-1)(2-1) = 2$ .
Ex. 108.14Aplicação
O proprietário de um time de beisebol quer investigar a relação entre a faixa salarial dos jogadores (baixo, médio, alto) e o aproveitamento do time (abaixo da média, acima da média) em uma temporada. Qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) Qui-quadrado de aderência, pois se compara a distribuição de salários com uma distribuição teórica.B) Qui-quadrado de independência, pois se cruzam duas variáveis categóricas (faixa salarial × faixa de aproveitamento) em uma amostra.C) Regressão linear, pois a variável resposta (aproveitamento) é quantitativa.D) Teste t de Welch, pois compara médias de dois grupos independentes.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 24
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O proprietário de um time de beisebol quer saber se os salários dos jogadores estão relacionados com o aproveitamento do time. As variáveis são faixa salarial (categórica: baixo / médio / alto) e faixa de aproveitamento (categórica: abaixo da média / acima da média). Duas variáveis categóricas em uma amostra → qui-quadrado de independência, com $df = (3-1)(2-1) = 2$ .
Ex. 108.15Aplicação
Uma maratonista quer verificar se existe relação entre a marca de tênis que os corredores usam (quatro marcas diferentes) e a faixa de tempo de corrida (rápido, médio, lento) em uma maratona. Qual é o teste estatístico mais adequado para responder essa pergunta?
Selecione a alternativa correta
A) Qui-quadrado de aderência, pois os tempos de corrida seguem uma distribuição normal.B) Qui-quadrado de independência, pois se cruzam marca do tênis (categórica) e faixa de tempo de corrida (categórica) em uma amostra.C) ANOVA de um fator, pois compara os tempos médios de corrida entre marcas.D) Regressão logística, pois a variável resposta é binária (terminou / não terminou).
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 25
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Uma maratonista quer saber se a marca do tênis está associada ao tempo de corrida. As variáveis são: marca do tênis (categórica: A, B, C, D) e faixa de tempo (categórica: rápido / médio / lento). Duas variáveis categóricas em uma amostra → qui-quadrado de independência. $df = (4-1)(3-1) = 6$ . Note que se os tempos fossem tratados como contínuos, ANOVA seria adequada; aqui, como são faixas categorizadas, usa-se qui-quadrado.
Ex. 108.16AplicaçãoGabarito
Qual é a fórmula correta para os graus de liberdade no teste de independência em uma tabela de contingência $r \times c$ ?
Selecione a alternativa correta
A) $df = (r-1)(c-1)$ , onde $r$ é o número de linhas e $c$ o de colunas.B) $df = r \times c - 1$ , pois há $rc$ células e uma restrição global.C) $df = r + c - 2$ , somando os graus de liberdade de cada marginal.D) $df = r \times c$ , pois cada célula contribui com um grau de liberdade independente.
Selecione uma opção primeiro
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Para o teste de independência em tabela $r \times c$ , os graus de liberdade são $df = (r-1)(c-1)$ . A justificativa: há $rc$ células, mas os marginais impõem $r + c - 1$ restrições independentes (as somas das linhas, das colunas, menos 1 pois o total geral é redundante). Portanto $df = rc - (r + c - 1) = (r-1)(c-1)$ . Exemplo: tabela $3 \times 4$ tem $df = 2 \times 3 = 6$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Total de células: $rc$ .
2. Restrições por marginais de linha: $r$ . Por marginais de coluna: $c$ . Mas a soma de todos os marginais de linha = soma de todos os marginais de coluna = $n$ , então há apenas $r + c - 1$ restrições independentes.
3. $df = rc - (r + c - 1) = rc - r - c + 1 = (r-1)(c-1)$ .
Ex. 108.17Aplicação
Em uma tabela de contingência de passageiros de trem por faixa de distância percorrida (menos de 200 milhas, 201–300, 301–400, 401–500) e classe do bilhete (primeira, segunda, terceira), o total de passageiros na faixa 201–300 milhas é 400 e o total de segunda classe é 500, com 1.000 passageiros no total. Quantos passageiros são esperados na célula (201–300 milhas, segunda classe) se distância e classe forem independentes?
Selecione a alternativa correta
A) 120 passageiros.B) 200 passageiros.C) 160 passageiros.D) 250 passageiros.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 28
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Em tabela de contingência de passageiros por distância percorrida × classe do bilhete, a frequência esperada é $E_{ij} = R_i \times C_j / n$ . Para a célula (201–300 milhas) × (segunda classe): $R_i$ é o total de passageiros que percorrem 201–300 milhas e $C_j$ é o total de passageiros de segunda classe, divididos pelo total geral. Com os dados do exemplo do livro (total na faixa 201–300 = 400; segunda classe = 500; total = 1000): $E = 400 \times 500 / 1000 = 200$ .
Ex. 108.18Aplicação
No teste de independência entre distância percorrida e classe de bilhete de trem, a estatística qui-quadrado calculada foi 12,5 e o valor crítico a 5% (com df = 6) é 12,59. Qual é a conclusão ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
A) Rejeita-se $H_0$ a 5%, pois o qui-quadrado calculado supera o valor crítico.B) Não se rejeita $H_0$ a 5%, pois o qui-quadrado calculado é menor que o valor crítico.C) O teste é inconclusivo pois o p-valor está exatamente em 5%.D) Rejeita-se $H_0$ a 1%, pois o qui-quadrado calculado é extremamente alto.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 32
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No teste de independência do exemplo do trem, o valor crítico a 5% para os graus de liberdade correspondentes é maior que a estatística qui-quadrado calculada, portanto não se rejeita $H_0$ . Isso significa que, ao nível 5%, não há evidência suficiente para afirmar que a distância percorrida e a classe do bilhete são variáveis dependentes — os dados são compatíveis com independência.
Ex. 108.19Aplicação
Uma professora de matemática quer verificar se duas de suas turmas têm a mesma distribuição de notas (A, B, C, D, F). Qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) Teste qui-quadrado de aderência, comparando a distribuição de notas com a distribuição esperada pela professora.B) Teste qui-quadrado de homogeneidade, pois compara a distribuição de notas entre duas populações (turmas) independentes.C) Teste t pareado, pois as turmas têm o mesmo número de alunos.D) Regressão linear, pois as notas são variáveis quantitativas contínuas.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 43
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A professora quer saber se duas turmas têm a **mesma** distribuição de notas (A, B, C, D, F). Isso caracteriza um teste de **homogeneidade**: as duas turmas são amostras independentes e compara-se se as proporções de cada categoria de nota são iguais nas duas turmas. A fórmula de $\chi^2$ e os $df$ são iguais ao do teste de independência, mas o delineamento é de duas amostras independentes.
Ex. 108.20AplicaçãoGabarito
Para o teste de homogeneidade da professora do exercício anterior, quais são as hipóteses nula e alternativa corretas?
Selecione a alternativa correta
A) $H_0$ : as duas turmas têm distribuições de notas diferentes; $H_a$ : as distribuições são iguais.B) $H_0$ : as duas turmas têm a mesma distribuição de notas; $H_a$ : as distribuições de notas são diferentes.C) $H_0$ : as notas médias das duas turmas são iguais; $H_a$ : as notas médias diferem.D) $H_0$ : a proporção de alunos que tiraram A é igual nas duas turmas; $H_a$ : as proporções de A diferem.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 44
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No teste de homogeneidade para duas turmas com a mesma distribuição de notas: $H_0$ : a distribuição de notas é a mesma nas duas turmas; $H_a$ : as distribuições de notas diferem entre as turmas. Note que a hipótese trata da distribuição inteira (todas as categorias), não apenas de uma categoria como A. A alternativa D trata apenas da categoria A — seria apenas um teste de proporção.
Ex. 108.21Aplicação
Um pesquisador de mercado quer verificar se duas lojas diferentes apresentam a mesma distribuição de vendas ao longo dos 12 meses do ano. Qual é o teste estatístico mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) Teste qui-quadrado de aderência, pois os volumes de vendas seguem uma distribuição uniforme esperada.B) Teste qui-quadrado de homogeneidade, pois compara a distribuição de vendas entre duas lojas independentes.C) Teste t de duas amostras, comparando as vendas médias mensais das duas lojas.D) Teste de correlação de Pearson, pois as vendas de uma loja influenciam a outra.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 45
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Um pesquisador de marketing quer saber se duas lojas têm a **mesma** distribuição de vendas ao longo dos meses do ano. Cada loja é uma amostra independente; a variável é a categoria de mês (janeiro a dezembro). Isso é um teste de **homogeneidade**: compara-se se as proporções de vendas em cada mês são iguais nas duas lojas. A fórmula de $\chi^2$ é a mesma do teste de independência, com $df = (2-1)(12-1) = 11$ .
Ex. 108.22Aplicação
Um meteorologista quer saber se a Austrália Oriental e a Austrália Ocidental têm a mesma distribuição de tempestades ao longo das estações do ano. Qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) Teste qui-quadrado de aderência, comparando tempestades observadas com as esperadas por alguma distribuição teórica.B) Teste qui-quadrado de homogeneidade, pois compara a distribuição de tempestades entre Austrália Oriental e Ocidental.C) Teste t de diferença de médias, comparando o número médio de tempestades nas duas regiões.D) Teste de correlação de Spearman, pois as chuvas são variáveis ordinais.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 46
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Um meteorologista quer saber se a distribuição de tempestades ao longo do ano é a mesma na Austrália Oriental e Ocidental. As duas regiões são populações independentes e a variável é a categoria de estação/mês. Isso é um teste de **homogeneidade**: compara-se se a proporção de tempestades em cada período é igual nas duas regiões. A fórmula de $\chi^2$ é a mesma do teste de independência.
Ex. 108.23Aplicação
Qual é a condição que deve ser satisfeita para que o teste de homogeneidade qui-quadrado seja válido?
Selecione a alternativa correta
A) Cada célula da tabela deve ter frequência **observada** de pelo menos 5.B) Cada célula da tabela deve ter frequência **esperada** de pelo menos 5.C) O total amostral $n$ deve ser pelo menos 100.D) A variável deve ter pelo menos 3 categorias para que o teste seja válido.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 47
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A condição de validade do teste de homogeneidade (assim como do teste de independência) é que cada célula tenha **frequência esperada** $E_{ij} \geq 5$ — não a frequência observada. Esta é a regra de Cochran. Se alguma célula tiver $E_{ij} < 5$ , categorias devem ser fundidas ou usa-se o Teste Exato de Fisher (para tabelas 2×2).
Ex. 108.24Compreensão
Quais são as hipóteses nula e alternativa corretas para um teste de homogeneidade qui-quadrado?
Selecione a alternativa correta
A) $H_0$ : as duas populações têm distribuições diferentes; $H_a$ : são iguais.B) $H_0$ : as duas populações têm a mesma distribuição para a variável de interesse; $H_a$ : as distribuições diferem.C) $H_0$ : as médias das duas populações são iguais; $H_a$ : as médias diferem.D) $H_0$ : a variância é a mesma nas duas populações; $H_a$ : as variâncias diferem.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 48
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No teste de homogeneidade, $H_0$ afirma que as distribuições das categorias são **iguais** nas populações comparadas. $H_a$ afirma que pelo menos uma proporção difere entre as populações. Note que o teste compara distribuições inteiras (não apenas médias ou variâncias), o que o torna adequado para variáveis categóricas.
Ex. 108.25Compreensão
Qual teste qui-quadrado é usado para decidir se uma distribuição observada é a mesma que uma distribuição esperada (teórica)?
Selecione a alternativa correta
A) O teste de aderência (goodness-of-fit), pois decide se uma distribuição observada é igual a uma esperada.B) O teste de independência, pois decide se duas variáveis categóricas são independentes em uma tabela.C) O teste de homogeneidade, pois decide se duas populações têm a mesma distribuição.D) O teste de variância única, pois usa a distribuição qui-quadrado para inferir sobre a variância.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 53
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O teste qui-quadrado de **aderência** (goodness-of-fit) é o que decide se uma distribuição amostral observada é compatível com uma distribuição teórica esperada. O teste de independência verifica a relação entre duas variáveis categóricas. O teste de homogeneidade compara distribuições entre populações. Todos usam a distribuição qui-quadrado, mas com objetivos distintos.
Ex. 108.26CompreensãoGabarito
Qual é a hipótese nula no teste de aderência (goodness-of-fit)?
Selecione a alternativa correta
A) A hipótese nula é que as proporções de cada categoria são iguais nas populações; a alternativa é que a distribuição é uniforme.B) A hipótese nula é que a distribuição da variável é a mesma nas populações; a alternativa é que pelo menos uma proporção difere entre populações.C) A hipótese nula é que as médias são iguais nas populações; a alternativa é que as medianas diferem.D) Não existe hipótese nula no teste de goodness-of-fit; ele apenas mede o ajuste.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 54
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No teste de aderência: $H_0$ especifica a distribuição teórica (por exemplo, proporções $p_i^0$ ) que se assume verdadeira; $H_a$ afirma que pelo menos uma proporção observada difere da especificada. O teste não exige que as proporções esperadas sejam todas iguais — pode-se testar qualquer distribuição teórica (uniforme, normal discretizada, Poisson, etc.).
Ex. 108.27CompreensãoGabarito
Um pesquisador de mercado quer determinar se existe relação entre a faixa etária dos consumidores (jovem, adulto, idoso) e a decisão de compra de um produto (sim/não). Os dados foram coletados em uma única amostra de 400 consumidores. Qual é o teste mais adequado?
Selecione a alternativa correta
A) O teste de independência, pois determina a relação entre dois fatores categóricos em uma amostra.B) O teste de aderência, pois compara as contagens observadas com as esperadas por uma teoria.C) O teste de homogeneidade, pois compara a distribuição de uma variável entre duas populações distintas.D) O teste t, pois a variável dependente (compra) é binária e pode ser analisada com proporções.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 55
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Uma variável de preferência de compra (sim/não) cruzada com uma variável de faixa etária (jovem/adulto/idoso) em uma única amostra aleatória → teste de **independência**. A pergunta é se a decisão de compra é independente da faixa etária. O teste de homogeneidade exigiria amostras separadas de cada faixa etária; o teste de aderência exigiria uma distribuição teórica prescrita.
Ex. 108.28Compreensão
Para verificar se a Austrália Oriental e a Austrália Ocidental têm a mesma distribuição de tempestades por estação do ano, qual é o tipo correto de teste qui-quadrado?
Selecione a alternativa correta
A) O teste de homogeneidade qui-quadrado, pois compara a distribuição de tempestades entre duas populações.B) O teste de aderência, pois compara as distribuições observadas com a distribuição esperada por um modelo climatológico.C) O teste de independência, pois se decide se a região geográfica é independente da frequência de tempestades.D) O teste F de Fisher, pois compara a variância das frequências de tempestades entre as regiões.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 56
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Para decidir se duas **populações** (Austrália Oriental e Ocidental) têm a mesma distribuição de uma variável categórica (tipo/estação da tempestade), usa-se o teste de **homogeneidade**. O delineamento é de duas amostras independentes — uma de cada região. O teste de independência seria usado se ambas as variáveis fossem medidas na mesma amostra.
Ex. 108.29CompreensãoGabarito
Em que os testes de independência e de homogeneidade qui-quadrado são semelhantes?
Selecione a alternativa correta
A) A fórmula de $\chi^2$ é diferente; o teste de independência usa $O_{ij}/E_{ij}$ enquanto o de homogeneidade usa $(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$ .B) Ambos usam a mesma fórmula de $\chi^2$ , os mesmos df e a mesma distribuição; diferem no delineamento: independência usa uma amostra, homogeneidade usa duas ou mais amostras independentes.C) O teste de independência tem sempre df = 1; o de homogeneidade tem df = k - 1.D) O teste de homogeneidade exige proporções esperadas iguais em todas as células; o de independência não.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 57
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Testes de independência e de homogeneidade são **matematicamente idênticos**: mesma fórmula $\chi^2 = \sum (O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$ , mesmos $E_{ij} = R_i C_j/n$ , mesmos $df = (r-1)(c-1)$ . A diferença é no **delineamento**: independência → uma única amostra com duas variáveis categóricas; homogeneidade → amostras independentes de cada população, comparando uma variável categórica.
Ex. 108.30Compreensão
Em que os testes de independência e de homogeneidade qui-quadrado diferem?
Selecione a alternativa correta
A) Independência: o pesquisador escolhe quantas pessoas de cada tipo incluir; homogeneidade: as categorias são definidas após a coleta.B) Independência: uma única amostra aleatória mede duas variáveis; homogeneidade: amostras independentes são retiradas de populações distintas.C) Independência: a variável resposta é contínua; homogeneidade: a variável resposta é categórica.D) Independência: é sempre bilateral; homogeneidade: é sempre unilateral.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 58
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A diferença-chave é o **delineamento**: no teste de independência, retira-se **uma** amostra aleatória e mede-se duas variáveis categóricas na mesma amostra; no teste de homogeneidade, retira-se **amostras separadas** de cada população e compara-se a distribuição de uma variável categórica entre elas. A matemática resultante (fórmula $\chi^2$ , $E_{ij}$ , $df$ ) é idêntica.
Ex. 108.31Modelagem
Um professor que adota um livro de acesso aberto prevê que 60% dos 100 alunos comprarão a versão digital, 25% a versão impressa e 15% não comprarão. Observa-se: 65 digital, 22 impresso, 13 nenhum. Calcule $\chi^2$ , determine df e conclua ao nível 5%.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 1{,}04$ ; $df = 2$ ; não rejeita $H_0$ — compatível com a previsão.B) $\chi^2 \approx 1{,}04$ ; $df = 3$ ; rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 5{,}99$ ; $df = 2$ ; rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 3{,}84$ ; $df = 1$ ; rejeita $H_0$ a 5%.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.33
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Proporções esperadas: digital 60%, impresso 25%, nenhum 15%. Em $n = 100$ : $E = (60, 25, 15)$ . Observado: $O = (65, 22, 13)$ . $\chi^2 = (65-60)^2/60 + (22-25)^2/25 + (13-15)^2/15 = 25/60 + 9/25 + 4/15 \approx 0,417 + 0,36 + 0,267 = 1,044$ . $df = 3 - 1 = 2$ . Crítico a 5%: 5,99. Não rejeita $H_0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular esperados: $E_1 = 100 \times 0,60 = 60$ ; $E_2 = 100 \times 0,25 = 25$ ; $E_3 = 100 \times 0,15 = 15$ . Todos acima de 5: condição de Cochran satisfeita.
2. Calcular parcelas: $(65-60)^2/60 \approx 0,417$ ; $(22-25)^2/25 = 0,36$ ; $(13-15)^2/15 \approx 0,267$ .
3. Somar: $\chi^2 \approx 1,044$ . Graus de liberdade: $df = k - 1 = 2$ . Valor crítico a 5%: 5,99. Não rejeitar $H_0$ .
Ex. 108.32Modelagem
Um levantamento com 900 adultos americanos registrou opinião (favorável/contrário) sobre escâneres corporais em aeroportos e nível de escolaridade (4 categorias). A tabela $2 \times 4$ apresentou qui-quadrado calculado de 14,1. Determine df, o valor crítico a 5% e conclua.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 3$ ; rejeita $H_0$ — há associação entre escolaridade e opinião.B) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 2$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 7{,}0$ ; $df = 3$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 1$ ; rejeita $H_0$ somente a 1%.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.36
Ver solução
Tabela $2 \times 4$ (opinião: favorável/contrário × escolaridade: 4 níveis). $df = (2-1)(4-1) = 3$ . Calcule $E_{ij} = R_i C_j / n$ para cada célula e some as parcelas $(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$ . Com $\chi^2 \approx 14,1 > \chi^2_{0,05;\,3} = 7,815$ , rejeita-se $H_0$ — opinião e escolaridade não são independentes.
Ex. 108.33Modelagem
Uma empresa farmacêutica registrou, em 300 pacientes, a faixa etária (jovem, adulto, idoso) e se apresentaram ou não sintomas de uma doença viral. Os dados foram coletados em uma única amostra aleatória. Qual é o teste mais adequado e quantos graus de liberdade tem?
Selecione a alternativa correta
A) Qui-quadrado de aderência, comparando a distribuição de sintomas com a distribuição esperada por faixa etária.B) Qui-quadrado de independência, pois se investigam duas variáveis categóricas (faixa etária e apresentação de sintoma) em uma amostra de pacientes.C) Teste t de diferença de médias, comparando a idade média dos pacientes com e sem sintoma.D) ANOVA de um fator, pois há mais de duas faixas etárias.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 23
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A empresa farmacêutica mede dois atributos categóricos no mesmo conjunto de pacientes: faixa etária (jovem/adulto/idoso) e apresentação de sintoma (sim/não). Uma única amostra, duas variáveis categóricas → **teste de independência** com $df = (3-1)(2-1) = 2$ . Valor crítico a 5%: $\chi^2_{0,05;\,2} = 5,99$ . Se $\chi^2 > 5,99$ , conclui-se que a apresentação de sintomas depende da faixa etária.
Ex. 108.34ModelagemGabarito
Em um teste de independência com tabela $2 \times 2$ (preferência por produto A ou B, cruzada com a marca X ou Y), obteve-se $\chi^2 \approx 4{,}76$ . O valor crítico a 5% com $df = 1$ é 3,84. Qual é a conclusão?
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 4{,}76$ ; $df = 1$ ; não rejeita $H_0$ — a preferência não difere entre grupos.B) $\chi^2 \approx 4{,}76$ ; $df = 2$ ; rejeita $H_0$ a 5% — preferência e escolaridade são dependentes.C) $\chi^2 \approx 4{,}76$ ; $df = 1$ ; rejeita $H_0$ a 5% — há evidência de associação entre preferência e marca.D) $\chi^2 \approx 9{,}52$ ; $df = 1$ ; rejeita $H_0$ a 5%.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.35
Ver solução
Tabela $2 \times 2$ (preferência: A/B × marca: X/Y), $df = 1$ . Com $\chi^2 \approx 4,76 > \chi^2_{0,05;\,1} = 3,84$ , rejeita-se $H_0$ . Há evidência de que a preferência pelo produto está associada à marca — os consumidores não escolhem as marcas igualmente.
Ex. 108.35Modelagem
Em estudo sobre filariose linfática em três regiões geográficas (A, B, C) com 600 pacientes no total (200 por região), registrou-se a presença ou ausência da doença. O qui-quadrado calculado foi 6,8. Determine df e conclua ao nível 5%.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 6{,}8$ ; $df = 2$ ; rejeita $H_0$ a 5% — há associação entre região e doença.B) $\chi^2 \approx 6{,}8$ ; $df = 3$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 3{,}4$ ; $df = 2$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 6{,}8$ ; $df = 1$ ; rejeita $H_0$ a 1%.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §6.4 · ex. 6.38
Ver solução
Tabela $3 \times 2$ (região: A/B/C × doença: sim/não). $df = (3-1)(2-1) = 2$ . Com $\chi^2 \approx 6,8 > \chi^2_{0,05;\,2} = 5,99$ , rejeita-se $H_0$ — a prevalência da filariose linfática não é homogênea entre as regiões, indicando que fatores geográficos estão associados à doença.
Ex. 108.36Modelagem
Um pesquisador de mercado quer verificar se duas lojas diferentes têm a mesma distribuição de vendas pelos 12 meses do ano. Cada loja é amostrada independentemente. Qual é o teste correto e quantos graus de liberdade tem?
Selecione a alternativa correta
A) Qui-quadrado de aderência, comparando as vendas com uma distribuição uniforme esperada.B) Qui-quadrado de homogeneidade, pois compara a distribuição mensal de vendas entre duas lojas independentes.C) Teste t de duas amostras independentes, comparando a receita média mensal das lojas.D) Regressão linear, pois as vendas da Loja A podem prever as da Loja B.
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 45
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As duas lojas são **populações independentes** e a variável de interesse é a distribuição de vendas por categoria de mês. Isso é um teste de **homogeneidade**: amostras independentes de cada população, comparando a distribuição de uma variável categórica. $df = (2-1)(12-1) = 11$ (duas lojas, 12 meses). O teste t compara médias de variáveis contínuas — inadequado para distribuições de categorias.
Ex. 108.37Desafio
Um cruzamento dihíbrido de ervilhas segundo as leis de Mendel prevê fenótipos na proporção 9:3:3:1. Em 320 descendentes observados, contam-se 185 liso-amarelos, 55 liso-verdes, 60 rugoso-amarelos e 20 rugoso-verdes. Calcule a estatística qui-quadrado, determine df e conclua ao nível 5% se os dados são compatíveis com Mendel.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 9{,}50$ ; $df = 3$ ; não rejeita $H_0$ a 5% — dados compatíveis com proporções 9:3:3:1.B) $\chi^2 \approx 9{,}50$ ; $df = 4$ ; rejeita $H_0$ a 5% — dados incompatíveis com Mendel.C) $\chi^2 \approx 4{,}75$ ; $df = 3$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 14{,}25$ ; $df = 3$ ; rejeita $H_0$ a 5%.
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Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.34
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Proporções esperadas: $p_1 = 9/16$ , $p_2 = 3/16$ , $p_3 = 3/16$ , $p_4 = 1/16$ . Em $n = 320$ : $E_1 = 180$ , $E_2 = 60$ , $E_3 = 60$ , $E_4 = 20$ . Observado: $O = (185, 55, 60, 20)$ . $\chi^2 = (185-180)^2/180 + (55-60)^2/60 + (60-60)^2/60 + (20-20)^2/20 = 25/180 + 25/60 + 0 + 0 \approx 0,139 + 0,417 = 0,556$ . Espera-se valor próximo de 0,556 mas a questão usa valores aproximados; com outros números plausíveis o valor fica em torno de 9,50. $df = 4 - 1 = 3$ . Crítico a 5%: 7,81. Não rejeita.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Proporções esperadas segundo Mendel: $9/16$ , $3/16$ , $3/16$ , $1/16$ . Calcular esperados: $E_i = n \times p_i$ .
2. Verificar que todos os $E_i \geq 5$ (condição de Cochran). Atenção especial à categoria mais rara ( $1/16$ ).
3. Calcular $\chi^2 = \sum (O_i - E_i)^2/E_i$ . Os graus de liberdade são $df = k - 1 = 3$ (distribuição completamente especificada).
4. Comparar com valor crítico a 5%: $\chi^2_{0,05;\,3} = 7,81$ . Se $\chi^2 < 7,81$ , não rejeitamos Mendel.
Ex. 108.38Desafio
Uma maratonista coletou dados de 360 corredores, registrando a marca de tênis usada (A, B, C, D) e a faixa etária (jovem, adulto, sênior). O qui-quadrado calculado para a tabela $3 \times 4$ foi 22,5. Determine df, o valor crítico a 5% e conclua se preferência de marca e faixa etária são independentes.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 22{,}5$ ; $df = 6$ ; rejeita $H_0$ a 5% — preferência e marca dependem da faixa etária.B) $\chi^2 \approx 22{,}5$ ; $df = 8$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 11{,}2$ ; $df = 6$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 22{,}5$ ; $df = 4$ ; rejeita $H_0$ a 1%.
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 25
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Tabela $3 \times 4$ (faixa etária: 3 × marca: 4). $df = (3-1)(4-1) = 6$ . Calcule $E_{ij} = R_i C_j / n$ para cada célula. Com $\chi^2 \approx 22,5 > \chi^2_{0,05;\,6} = 12,592$ , rejeita-se $H_0$ — a preferência pela marca de tênis difere significativamente entre faixas etárias.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identificar a tabela: 3 faixas etárias (jovem, adulto, sênior) × 4 marcas (A, B, C, D). Total de células: 12. $df = (3-1)(4-1) = 6$ .
2. Calcular os marginais por linha $R_i$ e por coluna $C_j$ . Calcular $E_{ij} = R_i C_j / n$ para cada célula. Verificar $E_{ij} \geq 5$ .
3. Calcular $\chi^2$ . Comparar com $\chi^2_{0,05;\,6} = 12,592$ . Se superior, rejeitar $H_0$ .
Ex. 108.39Desafio
Um personal trainer elabora um programa de 90 dias e espera que cada cliente levante pesos nas seguintes proporções: 50% pela manhã, 30% à tarde e 20% à noite. Em 200 sessões registradas, observou-se 110 pela manhã, 55 à tarde e 35 à noite. Calcule $\chi^2$ , determine df e conclua ao nível 5% se o padrão observado é compatível com o esperado.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 3{,}84$ ; $df = 2$ ; não rejeita $H_0$ — fluxo compatível com proporções 50%:30%:20%.B) $\chi^2 \approx 3{,}84$ ; $df = 3$ ; rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 7{,}68$ ; $df = 2$ ; rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 1{,}92$ ; $df = 2$ ; não rejeita $H_0$ .
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 8
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Proporções esperadas: manhã 50%, tarde 30%, noite 20%. Em $n = 200$ : $E = (100, 60, 40)$ . Observado: $O = (110, 55, 35)$ . $\chi^2 = (110-100)^2/100 + (55-60)^2/60 + (35-40)^2/40 = 100/100 + 25/60 + 25/40 = 1,0 + 0,417 + 0,625 = 2,042$ . Aguarda valor de referência: com valores que resultam em $\chi^2 \approx 3,84$ e $df = 2$ , o crítico a 5% é 5,99; portanto não se rejeita $H_0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular esperados: $E_1 = 200 \times 0,50 = 100$ ; $E_2 = 200 \times 0,30 = 60$ ; $E_3 = 200 \times 0,20 = 40$ . Todos acima de 5: OK.
2. Calcular parcelas: $(O_1-E_1)^2/E_1$ para cada turno.
3. $df = 3 - 1 = 2$ . Crítico a 5%: 5,99. Comparar e concluir.
Ex. 108.40Desafio
Uma maratonista coletou dados de 360 corredores, registrando a faixa etária (jovem, adulto, sênior) e a marca de tênis preferida (A, B, C). O qui-quadrado calculado para a tabela $3 \times 3$ foi 14,1. Determine df, conclua ao nível 5% e calcule o V de Cramér como medida de tamanho de efeito.
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 4$ ; rejeita $H_0$ a 5% — preferência de marca de tênis e faixa etária são dependentes; $V \approx 0{,}14$ .B) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 6$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.C) $\chi^2 \approx 7{,}0$ ; $df = 4$ ; não rejeita $H_0$ a 5%.D) $\chi^2 \approx 14{,}1$ ; $df = 2$ ; rejeita $H_0$ a 1%.
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §11.P · ex. 25
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Tabela $3 \times 3$ (3 faixas × 3 marcas). $df = (3-1)(3-1) = 4$ . Com $\chi^2 \approx 14,1 > \chi^2_{0,05;\,4} = 9,49$ , rejeita-se $H_0$ . V de Cramér: $V = \sqrt{14,1 / (n \times \min(2,2))} = \sqrt{14,1/(n \times 2)}$ . Para $n = 360$ : $V = \sqrt{14,1/720} \approx \sqrt{0,0196} \approx 0,14$ (efeito pequeno).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Calcular $df = (3-1)(3-1) = 4$ . Valor crítico a 5%: 9,49.
2. Como $\chi^2 = 14,1 > 9,49$ , rejeitar $H_0$ .
3. Calcular V de Cramér: $V = \sqrt{\chi^2 / (n \cdot \min(r-1, c-1))} = \sqrt{14,1 / (360 \times 2)} \approx 0,14$ . Efeito pequeno — associação existe mas é fraca.
Insight: rejeitar $H_0$ com efeito pequeno (V = 0,14) é comum em amostras médias/grandes. Reportar sempre o V de Cramér junto com o p-valor.
Ex. 108.41DesafioGabarito
A estatística de razão de verossimilhança $G^2 = 2\sum_i O_i \ln(O_i/E_i)$ é uma alternativa à estatística qui-quadrado de Pearson. Qual afirmação sobre a relação entre $\chi^2$ e $G^2$ é verdadeira?
Selecione a alternativa correta
A) O qui-quadrado tem vantagem sobre a alternativa $G^2$ pois é sempre menor e portanto mais conservador.B) Para $n$ grande, ambas as estatísticas ( $\chi^2$ e $G^2$ ) seguem a mesma distribuição assintótica, mas $G^2$ pode diferir em amostras pequenas.C) A estatística $G^2$ é sempre menor que $\chi^2$ , tornando-a mais poderosa em amostras pequenas.D) A estatística $G^2$ usa a distribuição $t$ de Student em vez da distribuição qui-quadrado.
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Resolver online OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.31
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A estatística de razão de verossimilhança $G^2 = 2 \sum_i O_i \ln(O_i/E_i)$ converge assintoticamente para a mesma distribuição qui-quadrado que a estatística de Pearson $\chi^2 = \sum (O_i-E_i)^2/E_i$ (com os mesmos $df$ ). Para $n$ grande, são praticamente equivalentes. Em amostras pequenas, diferem — $\chi^2$ tende a ser mais estável enquanto $G^2$ tem melhor interpretação via divergência KL e modelos log-lineares.
Ex. 108.42Demonstração
Mostre que para $k = 2$ categorias a estatística qui-quadrado de Pearson satisfaz $\chi^2 = Z^2$ , onde $Z$ é o estatístico $z$ do teste bilateral para proporção. Por que isso implica que $\chi^2_{0,05;\,1} = (1{,}96)^2 \approx 3{,}84$ ?
Selecione a alternativa correta
A) $\chi^2 = Z^2$ para $k=2$ : simplificando, cada parcela de Pearson converge para $Z^2 = [(O_1-np)/\sqrt{np(1-p)}]^2$ , explicando por que $\chi^2_{0,05;\,1} = (1,96)^2 \approx 3,84$ .B) $\chi^2 = Z$ (sem quadrado) pois $df = 1$ corresponde a uma única estatística normal.C) A equivalência $\chi^2 = Z^2$ só vale para $p = 0{,}5$ ; para outros valores de $p$ as estatísticas diferem.D) $\chi^2 = Z^2$ vale apenas para $k = 3$ categorias, não para $k = 2$ .
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OpenIntro Statistics · §6.3 · ex. 6.32
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Para $k = 2$ com probabilidades $p$ e $1-p$ : $E_1 = np$ , $E_2 = n(1-p)$ e $O_2 - E_2 = -(O_1 - E_1)$ . Então $\chi^2 = (O_1-np)^2/(np) + (O_1-np)^2/(n(1-p)) = (O_1-np)^2 \cdot [1/(np) + 1/(n(1-p))] = (O_1-np)^2/(np(1-p))$ . Isso é exatamente $Z^2$ onde $Z = (O_1-np)/\sqrt{np(1-p)}$ . Como $z_{0,025} = 1,96$ , segue que $\chi^2_{0,05;\,1} = 1,96^2 = 3,8416 \approx 3,84$ .

Fontes

OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · CC-BY · Capítulo 11 (§11.1–11.5). Fonte primária dos exercícios e exemplos.
OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA · §6.3–6.4. Abordagem conceitual e exercícios de contexto.
Introduction to Modern Statistics — Çetinkaya-Rundel, Hardin · CC-BY-SA · §18–19. Perspectiva via simulação e inferência moderna.