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Lição 109 — Estatística bayesiana introdutória

Prior, verossimilhança, posterior. Regra de Bayes. Conjugados Beta-Bernoulli. MAP versus MLE. Intervalo credível. Introdução à inferência pelo paradigma bayesiano.

Usado em: Stochastik LK (Alemanha, Klasse 12) · H2 Math Statistics (Singapura) · AP Statistics (EUA)

P(\theta \mid D) = \frac{P(D \mid \theta)\,P(\theta)}{P(D)}

A regra de Bayes atualiza nossa crença sobre o parâmetro $\theta$ após observar os dados $D$ . O posterior $P(\theta \mid D)$ é proporcional ao produto da verossimilhança $P(D \mid \theta)$ pelo prior $P(\theta)$ , normalizado pela evidência $P(D)$ .

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição rigorosa

O teorema de Bayes

Definição· Regra de Bayes (forma geral)

Seja $\theta$ um parâmetro (ou hipótese) e $D$ os dados observados. Definições:

$P(\theta)$ — prior: distribuição de probabilidade do parâmetro antes de observar dados.
$P(D \mid \theta)$ — verossimilhança (likelihood): probabilidade dos dados dado o parâmetro.
$P(D)$ — evidência marginal: $P(D) = \int P(D \mid \theta) P(\theta)\, d\theta$ (ou soma discreta).
$P(\theta \mid D)$ — posterior: distribuição atualizada após observar $D$ .

A regra de Bayes:

P(\theta \mid D) = \frac{P(D \mid \theta)\, P(\theta)}{P(D)} \propto P(D \mid \theta)\, P(\theta)

o que isso quer dizer · O posterior é proporcional à verossimilhança vezes o prior. O denominador P(D) é apenas constante de normalização.

"O teorema de Bayes é um resultado básico de probabilidade condicional, mas sua interpretação muda tudo: ele oferece uma receita formal para atualizar crenças à luz de evidências." — OpenIntro Statistics §3.6

Priors conjugados: o caso Beta-Bernoulli

Definição· Família conjugada Beta-Bernoulli

Quando $X_1, \ldots, X_n \stackrel{\text{iid}}{\sim} \text{Bernoulli}(\theta)$ e o prior é $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ , o posterior tem forma fechada:

\theta \mid D \;\sim\; \text{Beta}(\alpha + s,\; \beta + n - s)

o que isso quer dizer · Após s sucessos em n tentativas, o posterior é outra Beta com parâmetros atualizados.

onde $s = \sum_i X_i$ é o número de sucessos. A Beta é conjugada para a Bernoulli: prior e posterior pertencem à mesma família.

A distribuição Beta tem densidade:

f(\theta; a, b) = \frac{\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}}{B(a,b)}, \quad \theta \in [0, 1]

o que isso quer dizer · Densidade da Beta(a,b): definida em [0,1], controlada pelos parâmetros a e b.

com $B(a, b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ .

Estimadores pontuais

Definição· MAP e MLE

Dado o posterior $P(\theta \mid D)$ :

MAP (maximum a posteriori): $\hat\theta_{\text{MAP}} = \arg\max_\theta P(\theta \mid D)$ . Maximiza o posterior — inclui informação do prior.
MLE (maximum likelihood): $\hat\theta_{\text{MLE}} = \arg\max_\theta P(D \mid \theta)$ . Maximiza a verossimilhança — ignora o prior.
Média posterior (Bayes estimator quadrático): $E[\theta \mid D]$ .

Relação: Com prior uniforme ( $P(\theta) = c$ ), MAP = MLE. Com $n \to \infty$ , posterior concentra em $\hat\theta_{\text{MLE}}$ — prior se torna irrelevante conforme os dados aumentam.

Para Beta-Bernoulli:

\hat\theta_{\text{MAP}} = \frac{\alpha + s - 1}{\alpha + \beta + n - 2}, \quad E[\theta \mid D] = \frac{\alpha + s}{\alpha + \beta + n}

o que isso quer dizer · MAP e média posterior para o caso Beta-Bernoulli. Compare com o MLE = s/n (proporção empírica).

Intervalo credível

Fator de Bayes

Fluxo bayesiano: prior × verossimilhança → posterior. O posterior vira o novo prior ao chegarem mais dados.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Regra de Bayes discreta — diagnóstico (básico)

Problema. Uma doença afeta 2% da população. Um teste tem sensibilidade 90% e especificidade 85%. Um paciente testa positivo. Qual a probabilidade de ele ter a doença?

Estratégia. Aplicar a fórmula de Bayes com partição $\{D, \neg D\}$ e calcular $P(D \mid +)$ .

Resolução.

$P(D) = 0{,}02$ , $P(\neg D) = 0{,}98$ , $P(+ \mid D) = 0{,}90$ , $P(+ \mid \neg D) = 0{,}15$ .

Evidência total: $P(+) = P(+ \mid D)\,P(D) + P(+ \mid \neg D)\,P(\neg D)$ $= 0{,}90 \times 0{,}02 + 0{,}15 \times 0{,}98 = 0{,}018 + 0{,}147 = 0{,}165$

Posterior: $P(D \mid +) = \frac{0{,}90 \times 0{,}02}{0{,}165} = \frac{0{,}018}{0{,}165} \approx 0{,}109 = 10{,}9\%$

Verificação. Com apenas 2% de prevalência, mesmo um teste relativamente bom gera muitos falsos positivos. A resposta $\approx 11\%$ faz sentido: a maioria dos positivos vem da população saudável enorme.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.6, exemplo de diagnóstico médico — CC-BY-SA.

Exemplo— 2· Atualização sequencial Beta-Bernoulli (intermediário)

Problema. Uma urna tem proporção desconhecida $\theta$ de bolas vermelhas. Prior: $\theta \sim \text{Beta}(2, 2)$ . Retira-se com reposição: 1ª amostra — 3 vermelhas em 5 retiradas; 2ª amostra — 4 vermelhas em 6 retiradas. Calcule o posterior após cada amostra e a média posterior final.

Estratégia. Beta-Bernoulli: após $s$ sucessos em $n$ tentativas, $\text{Beta}(\alpha, \beta) \to \text{Beta}(\alpha+s, \beta+n-s)$ . Aplicar iterativamente.

Resolução.

Prior: $\text{Beta}(2, 2)$ , média $= 2/4 = 0{,}50$ .

Após 1ª amostra ( $s = 3$ , $n = 5$ ): $\text{Beta}(2+3,\; 2+5-3) = \text{Beta}(5, 4), \quad E[\theta] = \frac{5}{9} \approx 0{,}556$

Após 2ª amostra ( $s = 4$ , $n = 6$ ): $\text{Beta}(5+4,\; 4+6-4) = \text{Beta}(9, 6), \quad E[\theta] = \frac{9}{15} = 0{,}600$

Verificação. Total de dados: 7 vermelhas em 11 retiradas, proporção amostral = $7/11 \approx 0{,}636$ . Média posterior 0,60 está entre o prior (0,50) e a proporção amostral — faz sentido. Com prior fraco, o posterior converge para o MLE conforme $n$ cresce.

Fonte. Think Bayes §3 — Allen Downey — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 3· MAP vs MLE vs media posterior (intermediario)

Problema. Para o modelo Beta-Bernoulli com $\alpha = 3$ , $\beta = 3$ , após 6 sucessos em 10 tentativas, calcule o MLE, o MAP e a média posterior. Interprete a diferença.

Estratégia. MLE maximiza a verossimilhança; MAP maximiza o posterior; média posterior é $E[\theta \mid D]$ .

Resolução.

MLE: $\hat\theta_{\text{MLE}} = s/n = 6/10 = 0{,}600$ .

Posterior: $\text{Beta}(3+6, 3+4) = \text{Beta}(9, 7)$ .

MAP (moda da Beta $(a, b)$ com $a, b > 1$ é $(a-1)/(a+b-2)$ ): $\hat\theta_{\text{MAP}} = \frac{9 - 1}{9 + 7 - 2} = \frac{8}{14} \approx 0{,}571$

Média posterior: $E[\theta \mid D] = \frac{9}{9 + 7} = \frac{9}{16} = 0{,}5625$

Verificação. Ordenação: média $(0{,}5625)$ entre MAP $(0{,}571)$ e a moda de Beta(9,7). MLE $(0{,}60)$ é o maior — o prior "puxa" em direção a 0,5 (prior simétrico em torno de 0,5). Com $n$ grande, todos os três convergem para o MLE.

Fonte. Think Bayes §4, §6 — Allen Downey — CC-BY-NC-SA.

Exemplo— 4· Intervalo credível 95% Beta (avancado)

Problema. Após 12 sucessos em 20 tentativas com prior $\text{Beta}(1, 1)$ (uniforme), calcule o intervalo credível central de 95% para $\theta$ .

Estratégia. Posterior $\text{Beta}(13, 9)$ . O intervalo central de 95% é dado pelos percentis 2,5% e 97,5% da distribuição Beta.

Resolução.

Posterior: $\text{Beta}(1+12, 1+8) = \text{Beta}(13, 9)$ .

Média posterior: $13/(13+9) = 13/22 \approx 0{,}591$ .

Por tabela ou software (R: qbeta(c(0.025, 0.975), 13, 9)):

Percentil 2,5%: $\approx 0{,}376$ . Percentil 97,5%: $\approx 0{,}779$ .

Intervalo credível 95%: $(0{,}376;\; 0{,}779)$ .

Verificação. Interpretação direta: "dado o prior uniforme e os dados, a probabilidade de $\theta$ estar entre 0,376 e 0,779 é 95%". Note que o intervalo não está centrado em 0,6 — é assimétrico porque a Beta é assimétrica neste caso.

Fonte. Introduction to Probability §4.1 — Grinstead & Snell — GNU FDL.

Exemplo— 5· Bayes factor — comparacao de hipoteses (demonstracao)

Problema. Para testar se $\theta = 0{,}5$ (moeda justa) versus $\theta = 0{,}7$ (moeda viciada), com prior equiprovável ( $P(H_0) = P(H_1) = 0{,}5$ ), calcule o fator de Bayes e a probabilidade posterior de $H_1$ após 8 caras em 10 lançamentos.

Estratégia. Calcular $P(D \mid H_i)$ para cada hipótese, depois aplicar Bayes.

Resolução.

$P(D \mid H_0) = \binom{10}{8}(0{,}5)^{10} = 45 \times \frac{1}{1024} \approx 0{,}0439$

$P(D \mid H_1) = \binom{10}{8}(0{,}7)^8(0{,}3)^2 = 45 \times 0{,}05765 \times 0{,}09 \approx 0{,}2335$

Fator de Bayes: $BF_{10} = \frac{0{,}2335}{0{,}0439} \approx 5{,}32$

Com prior $P(H_0) = P(H_1) = 0{,}5$ : $P(H_1 \mid D) = \frac{BF_{10}}{1 + BF_{10}} = \frac{5{,}32}{6{,}32} \approx 0{,}842$

Verificação. $BF_{10} \approx 5{,}32$ — evidência moderada a favor de $H_1$ (escala de Jeffreys: entre 3 e 10 é "moderada"). A probabilidade posterior de moeda viciada passou de 50% para 84%. Coerente com os dados (8 de 10 favorece $\theta = 0{,}7$ ).

Fonte. OpenIntro Statistics §3.7 — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr — CC-BY-SA.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 25Compreensão 6Modelagem 4Desafio 3Demonstração 2

Ex. 109.1Aplicação
Um teste genético detecta predisposição para trombose. Sabe-se que 3% da população tem realmente a predisposição. O teste é 99% preciso quando a pessoa tem a predisposição e 98% preciso quando a pessoa não a tem. Qual é a probabilidade de que uma pessoa com teste positivo realmente tenha a predisposição?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 60,5%Aproximadamente 99,0% — a sensibilidade do testeAproximadamente 3,0% — a prevalênciaAproximadamente 50,0% — metade dos testados
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.20
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Prevalência $P(T) = 0{,}03$ . Sensibilidade $P(+|T) = 0{,}99$ . Falso-positivo $P(+|\neg T) = 0{,}02$ . Evidência: $P(+) = 0{,}99 \times 0{,}03 + 0{,}02 \times 0{,}97 = 0{,}0491$ . Posterior: $P(T|+) = 0{,}0297/0{,}0491 \approx 60{,}5\%$ . Mesmo com teste altamente preciso, apenas 60% de chance de ter a predisposição dado o teste positivo.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Prior: $P(T) = 0{,}03$ , logo $P(\neg T) = 0{,}97$ .
2. Likelihoods: $P(+|T) = 0{,}99$ e $P(+|\neg T) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02$ .
3. Evidência: $P(+) = 0{,}99 \times 0{,}03 + 0{,}02 \times 0{,}97 = 0{,}0297 + 0{,}0194 = 0{,}0491$ .
4. Posterior: $P(T|+) = 0{,}0297/0{,}0491 \approx 60{,}5\%$ .
Mesmo com prevalência apenas 3%, o teste preciso eleva a probabilidade para 60%.
Ex. 109.2Aplicação
Lúpus afeta 2% da população. O teste é 98% preciso quando a pessoa tem a doença e 74% preciso quando não tem. Um paciente testa positivo. Qual a probabilidade de ter lúpus? A frase do seriado "É sempre lúpus" tem sentido bayesiano?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 7,1% — a frase do Dr. House tem embasamento bayesianoAproximadamente 98,0% — a sensibilidade do testeAproximadamente 2,0% — igual à prevalênciaAproximadamente 50,0% — incerteza máxima pós-teste positivo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.21
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Prevalência $P(L) = 0{,}02$ . Sensibilidade $P(+|L) = 0{,}98$ . Falso-positivo $P(+|\neg L) = 1-0{,}74 = 0{,}26$ . Evidência: $P(+) = 0{,}98 \times 0{,}02 + 0{,}26 \times 0{,}98 = 0{,}2744$ . Posterior: $P(L|+) = 0{,}0196/0{,}2744 \approx 7{,}1\%$ . Com especificidade de apenas 74%, há muitos falsos positivos — "É sempre lúpus" é bayesianamente improvável.
Ex. 109.3Aplicação
Uma pesquisa de boca-de-urna mostrou que 53% dos eleitores votaram em Scott Walker. Entre os que votaram por Walker, 37% tinham diploma universitário; entre os que votaram contra, 44% tinham diploma. Um eleitor com diploma universitário foi selecionado aleatoriamente. Qual a probabilidade de ele ter votado em Walker?
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 48,7%Aproximadamente 53,0% — igual ao prior (proporção que votou em Walker)Aproximadamente 37,0% — igual a P(diploma | votou Walker)Aproximadamente 44,0% — igual a P(diploma | votou contra)
Selecione uma opção primeiro
OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.22
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Usando Bayes: $P(W|C) = \frac{0{,}37 \times 0{,}53}{0{,}37 \times 0{,}53 + 0{,}44 \times 0{,}47} = \frac{0{,}1961}{0{,}4029} \approx 48{,}7\%$ . O prior de Walker era 53%, mas entre diplomados universitários cai para cerca de 49% — diploma é ligeiramente negativamente correlacionado com o voto em Walker.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Prior: $P(W) = 0{,}53$ , logo $P(\neg W) = 0{,}47$ .
2. Likelihoods: $P(C|W) = 0{,}37$ e $P(C|\neg W) = 0{,}44$ .
3. Evidência: $P(C) = 0{,}37 \times 0{,}53 + 0{,}44 \times 0{,}47 \approx 0{,}403$ .
4. Posterior: $P(W|C) = 0{,}1961/0{,}4029 \approx 48{,}7\%$ .
Ex. 109.4Aplicação
Após um curso de estatística, 80% dos alunos conseguem construir box plots. Dos que sabem, 86% passam no exame; dos que não sabem, 65% passam. Um aluno passou. Qual a probabilidade de que ele saiba construir box plots? (Resp: ≈ 84%)
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 94,5%Aproximadamente 80,0% — igual à proporção que sabe construir box plotsAproximadamente 86,0% — igual à taxa de aprovação de quem sabeAproximadamente 65,0% — igual à taxa de aprovação de quem não sabe
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.19
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Usando Bayes: $P(B|E) = \frac{0{,}86 \times 0{,}80}{0{,}86 \times 0{,}80 + 0{,}65 \times 0{,}20} = \frac{0{,}688}{0{,}688+0{,}130} = \frac{0{,}688}{0{,}818} \approx 84{,}1\%$ . Nota: o enunciado usa os dados do original (86% e 65%), resultado ≈ 84%. Quem passou quase certamente sabia o conteúdo.
Ex. 109.5Compreensão
Com $P(A) = 0{,}3$ e $P(B) = 0{,}7$ : é possível calcular $P(A \cap B)$ conhecendo apenas esses dois valores? Em quais condições?
Selecione a alternativa correta
Sim — P(A e B) = P(A) × P(B) se e somente se A e B são independentesNão — nunca é possível calcular P(A e B) com apenas P(A) e P(B)Sim, sempre — basta multiplicar P(A) × P(B) independentementeDepende — P(A e B) é sempre zero se A e B não são mutuamente exclusivos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Só é possível calcular $P(A \cap B)$ a partir apenas de $P(A)$ e $P(B)$ se soubermos que são independentes: então $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Sem informação sobre independência ou probabilidade condicional, a interseção é indeterminada.
Ex. 109.6AplicaçãoGabarito
80% das pessoas gostam de manteiga de amendoim, 89% gostam de geleia e 78% gostam de ambos. Dado que uma pessoa gosta de manteiga de amendoim, qual a probabilidade de também gostar de geleia?
Selecione a alternativa correta
$P(J|M) = 0{,}975$ $P(J|M) = 0{,}89$ — igual a P(J) ignorando a condição $P(J|M) = 0{,}78$ — igual a P(M e J) $P(J|M) = 0{,}80$ — igual a P(M)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.14
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Pela definição de probabilidade condicional: $P(J|M) = P(M \cap J)/P(M) = 0{,}78/0{,}80 = 0{,}975$ . Dado que a pessoa gosta de manteiga de amendoim, há 97,5% de chance de também gostar de geleia.
Ex. 109.7AplicaçãoGabarito
$P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}7$ e os eventos são independentes. Calcule $P(A \cap B)$ , $P(A \cup B)$ e verifique que $P(A|B) = P(A)$ .
Selecione a alternativa correta
$P(A \cap B) = 0{,}21$ ; A e B são independentes $P(A \cap B) = 0{,}10$ ; A e B não são independentes $P(A \cap B) = 0{,}0$ ; A e B são mutuamente exclusivos $P(A \cap B) = 0{,}30$ ; A e B são dependentes
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Com $P(A) = 0{,}3$ e $P(B) = 0{,}7$ independentes: $P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ . Além disso: $P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}7 - 0{,}21 = 0{,}79$ e $P(A|B) = P(A) = 0{,}3$ (independência confirma-se).
Ex. 109.8Aplicação
$P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}7$ e $P(A \cap B) = 0{,}10$ . Calcule $P(A|B)$ e determine se $A$ e $B$ são independentes. (Resp: ≈ 0,143; não independentes)
Selecione a alternativa correta
$P(A|B) = 0{,}20$ e A e B não são independentes $P(A|B) = 0{,}30$ — igual a P(A), logo são independentes $P(A|B) = 0{,}10$ — igual a P(A e B) $P(A|B) = 0{,}70$ — igual a P(B)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Com $P(A \cap B) = 0{,}10$ e $P(B) = 0{,}7$ : $P(A|B) = 0{,}10/0{,}70 \approx 0{,}143$ . Como $P(A|B) \approx 0{,}143 \neq 0{,}3 = P(A)$ , os eventos não são independentes. (Resp: ≈ 0,143)
Ex. 109.9Compreensão
Verdadeiro ou falso: se uma moeda justa deu cara nas últimas 8 jogadas, a probabilidade de cara no próximo lançamento é menor que 50%.
Selecione a alternativa correta
Verdadeiro — a moeda não tem memória (eventos independentes)Falso — após muitas caras seguidas, coroa fica mais provável para equilibrarFalso — após muitas caras seguidas, cara fica ainda mais provávelVerdadeiro apenas se o número de lançamentos for par
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.1
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Cada lançamento de uma moeda justa é independente dos anteriores. A probabilidade de cara no próximo lançamento permanece 1/2, independentemente da sequência anterior. O raciocínio contrário (achar que coroa "compensa") é a Falácia do Apostador — um viés cognitivo bem documentado, sem fundamento probabilístico.
Ex. 109.10Aplicação
Uma moeda justa é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de obter todos caras? (Resp: 1/1024)
Selecione a alternativa correta
Aproximadamente 1/1024 ≈ 0,098%Aproximadamente 1/2 = 50% — cada lançamento é independenteAproximadamente 10/1024 ≈ 0,98% — conta errada de 10 eventosExatamente 0% — impossível obter todos caras
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.5
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Com 10 lançamentos independentes de moeda justa, $P(\text{todas caras}) = (1/2)^{10} = 1/1024 \approx 0{,}098\%$ . Por simetria, $P(\text{todos coroas}) = 1/1024$ também. $P(\text{pelo menos uma coroa}) = 1 - 1/1024 = 1023/1024 \approx 99{,}9\%$ .
Ex. 109.11Aplicação
Dois dados justos são lançados. Qual a probabilidade de obter soma igual a 5? E soma igual a 1? E soma igual a 12? (Resp: 1/9; 0; 1/36)
Selecione a alternativa correta
$P(\text{soma}=5) = 4/36 = 1/9$ $P(\text{soma}=5) = 5/36$ $P(\text{soma}=5) = 3/36 = 1/12$ $P(\text{soma}=5) = 1/36$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.6
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Os pares (d1, d2) que somam 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) — 4 pares. Espaço amostral: 36. Logo $P(\text{soma}=5) = 4/36 = 1/9$ . Para a soma ser 1: impossível (mínimo é 2), logo $P=0$ . Para a soma ser 12: só (6,6), logo $P=1/36$ .
Ex. 109.12Aplicação
Em escolas de DeKalb County, GA: 25% dos alunos faltam exatamente 1 dia, 15% faltam 2 dias, 28% faltam 3 ou mais dias. Qual a probabilidade de um aluno não faltar nenhum dia? E de faltar no máximo 1 dia? (Resp: 32%; 57%)
Selecione a alternativa correta
32% não faltaram nenhum dia; 73% faltaram no máximo 1 dia25% não faltaram nenhum dia; 75% faltaram pelo menos 1 dia68% não faltaram nenhum dia; 93% faltaram no máximo 1 dia32% faltaram pelo menos 1 dia; 57% faltaram exatamente 1 dia
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.12
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P(0 dias) = 1 − 0,25 − 0,15 − 0,28 = 0,32. P(no máximo 1) = P(0) + P(1) = 0,32 + 0,25 = 0,57. P(pelo menos 1) = 1 − P(0) = 0,68. Se dois alunos independentes: P(nenhum falta) = 0,32² ≈ 0,102. A opção A está parcialmente correta — 32% não faltam, mas P(máx 1) = 0,57, não 73%.
Ex. 109.13Compreensão
Se $P(A|B) = P(A)$ , os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique com a definição formal.
Selecione a alternativa correta
Sim — se P(A|B) = P(A), então conhecer B não altera a probabilidade de ANão — P(A|B) = P(A) é apenas uma coincidência numérica, não implica independênciaSomente se P(A AND B) = 0Somente se A e B são mutuamente exclusivos
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 43
Ver solução
Por definição, A e B são independentes se $P(A|B) = P(A)$ (ou equivalentemente, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ). Quando isso ocorre, o conhecimento de B não altera a probabilidade de A — os eventos não se influenciam. O critério $P(A|B) = P(A)$ é exatamente a definição formal de independência.
Ex. 109.14CompreensãoGabarito
Eventos mutuamente exclusivos (com $P(A) > 0$ e $P(B) > 0$ ) podem ser independentes simultaneamente? Por quê?
Selecione a alternativa correta
Para eventos mutuamente exclusivos com P(A), P(B) > 0: P(A AND B) = 0, logo nunca independentesEventos mutuamente exclusivos sempre são também independentesEventos mutuamente exclusivos são independentes apenas se P(A) = P(B)Independência e exclusividade mútua são conceitos equivalentes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 51
Ver solução
Eventos mutuamente exclusivos com probabilidade positiva NUNCA são independentes. Mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = 0$ . Para independência precisaria: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0$ . Contradição — logo são sempre dependentes. Saber que A ocorreu garante que B não ocorreu.
Ex. 109.15AplicaçãoGabarito
$P(A) = 0{,}3$ e $P(B) = 0{,}5$ , com $A$ e $B$ mutuamente exclusivos. Calcule $P(A \cup B)$ . (Resp: 0,8)
Selecione a alternativa correta
$P(A \cup B) = 0{,}8$ $P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$ — coincide pois são mutuamente exclusivos $P(A \cup B) = 0{,}15$ $P(A \cup B) = 1{,}0$ — todo o espaço amostral
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 40
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A e B mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = 0$ . Pela regra da adição: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0 = 0{,}8$ . Note que para eventos mutuamente exclusivos a regra simplifica para simples soma.
Ex. 109.16AplicaçãoGabarito
$P(A) = 0{,}4$ e $P(B) = 0{,}3$ , com $A$ e $B$ independentes. Calcule $P(A \cap B)$ . (Resp: 0,12)
Selecione a alternativa correta
$P(A \cap B) = 0{,}12$ $P(A \cap B) = 0{,}7$ — soma em vez de produto $P(A \cap B) = 0{,}0$ — são mutuamente exclusivos $P(A \cap B) = 0{,}4$ — ignorou a independência
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 41
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A e B independentes: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ . Analogia bayesiana: sabendo que A ocorreu não altera a probabilidade de B — prior e posterior de B são iguais quando condicionamos em A.
Ex. 109.17Aplicação
Dados do ACS 2010: P(homem com pelo menos bacharelado) ≈ 27,8%; P(mulher com pelo menos bacharelado) ≈ 29,8%. Assumindo independência, qual a probabilidade de que um casal (homem e mulher) ambos tenham pelo menos bacharelado? (Resp: ≈ 8,3%)
Selecione a alternativa correta
P(bac. univ.) = 27,8%; P(bac. univ. | mulher) = 29,8% — não independentesP(bac. univ.) = 29,8%; idêntico ao feminino — independentesP(ambos têm bac. univ.) = P(hom.) + P(mulh.) — soma as probabilidadesNão é possível calcular sem o total da amostra
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.11
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Segundo dados do ACS 2010: P(homem com pelo menos bacharelado) ≈ 27,8%, P(mulher com pelo menos bacharelado) ≈ 29,8%. P(ambos têm bacharelado) assumindo independência = 0,278 × 0,298 ≈ 8,3%. Como P(mulher com bac.) difere de P(homem com bac.), não são independentes do gênero.
Ex. 109.18Aplicação
Numa prova com 5 questões de múltipla escolha (4 alternativas cada), uma aluna chuta todas. Qual a probabilidade de que a primeira questão que ela acerte seja a 5ª? E de acertar todas? (Resp: ≈7,9%; ≈0,098%)
Selecione a alternativa correta
1ª questão certa na 5ª = $(3/4)^4 \times (1/4) \approx 7{,}9\%$ 1ª questão certa na 5ª = $(1/4)^5 \approx 0{,}1\%$ Todas certas = $1/4$ — pois há 4 escolhas por questãoAo menos uma certa = $(1/4)^5 \approx 0{,}1\%$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.1 · ex. 3.10
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5 questões, 4 alternativas cada, chute aleatório. P(1ª certa na 5ª questão): as 4 primeiras erradas e a 5ª certa = $(3/4)^4 \times (1/4) \approx 0{,}079$ . Todas certas: $(1/4)^5 = 1/1024 \approx 0{,}098\%$ . Ao menos uma certa: $1-(3/4)^5 \approx 76{,}3\%$ .
Ex. 109.19Aplicação
Sejam $P(C) = 0{,}4$ , $P(D) = 0{,}5$ , $P(C|D) = 0{,}6$ . Calcule $P(C \cap D)$ e determine se $C$ e $D$ são independentes. (Resp: 0,30; não independentes)
Selecione a alternativa correta
$P(C \cap D) = 0{,}30$ ; C e D não são independentes $P(C \cap D) = 0{,}20$ ; C e D são independentes $P(C \cap D) = 0{,}40$ ; C e D são mutuamente exclusivos $P(C \cap D) = 0{,}50$ ; C e D são independentes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Statistics · §3.H
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$P(C|D) = 0{,}6$ , logo $P(C \cap D) = P(C|D) \times P(D) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30$ . Para independência precisaria $P(C|D) = P(C) = 0{,}4$ , mas $0{,}6 \neq 0{,}4$ — logo C e D não são independentes. Também: $P(C \cup D) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}6$ .
Ex. 109.20Aplicação
43% das pessoas têm sangue tipo O, 15% têm fator Rh $^-$ , e 52% têm sangue tipo O ou fator Rh $^-$ . Calcule $P(\text{tipo O} \cap Rh^-)$ e a probabilidade de não ter os dois atributos. (Resp: 0,06; 0,94)
Selecione a alternativa correta
$P(O \cap Rh^-) = 0{,}06$ ; P(não ambos) = 0,94 $P(O \cap Rh^-) = 0{,}58$ ; P(não ambos) = 0,42 $P(O \cap Rh^-) = 0{,}43$ ; P(não ambos) = 0,57 $P(O \cap Rh^-) = 0{,}15$ ; P(não ambos) = 0,85
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Statistics · §3.H
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Pela adição: $P(O \cup Rh^-) = P(O) + P(Rh^-) - P(O \cap Rh^-)$ . Substituindo: $0{,}52 = 0{,}43 + 0{,}15 - P(O \cap Rh^-)$ , logo $P(O \cap Rh^-) = 0{,}06$ . P(não ter ambos) = 1 − 0,06 = 0,94.
Ex. 109.21AplicaçãoGabarito
Um estudo analisou cores de olhos de 204 casais escandinavos. O cálculo de $P(\text{parceira olhos azuis} \mid \text{homem olhos azuis})$ versus $P(\text{parceira olhos azuis} \mid \text{homem olhos marrons})$ revela acasalamento seletivo. O que essa diferença de probabilidades condicionais indica sobre a independência entre as cores de olhos dos parceiros?
Selecione a alternativa correta
P(mating azul-azul | olhos azuis) = P(az-az) / P(az) usando dados da tabelaP(parceira azul | ele azul) = P(parceira azul) — são independentesP(parceira azul | ele marrom) maior que P(parceira azul | ele azul)As cores de olhos são independentes entre parceiros — resultado esperado
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Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.18
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No estudo de acasalamento seletivo (204 casais escandinavos), P(parceira azul | ele azul) é claramente maior que P(parceira azul | ele marrom) ou P(parceira azul | ele verde). Isso é calculado via probabilidade condicional na tabela: $P(\text{parc. azul} \mid \text{ele azul}) = n(\text{ambos azul}) / n(\text{ele azul})$ . As cores de olhos dos parceiros não são independentes — evidência de acasalamento seletivo.
Ex. 109.22Compreensão
Interprete em palavras a notação $P(A | B)$ e explique seu papel na regra de Bayes.
Selecione a alternativa correta
$P(A|B)$ = probabilidade de A dado que B ocorreu $P(A|B)$ = probabilidade de B dado que A ocorreu $P(A|B)$ = $P(A) + P(B)$ $P(A|B)$ = probabilidade de A ou B
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 36
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$P(A|B)$ é lida como "probabilidade de A dado B" e representa a probabilidade de que A ocorra sabendo-se que B já ocorreu. É calculada como $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$ . É a pedra angular da regra de Bayes: ao condicionar em um evento (evidência B), atualizamos nossa probabilidade de A.
Ex. 109.23Compreensão
Para eventos mutuamente exclusivos $A$ e $B$ , qual é $P(A \cap B)$ ? Como isso se relaciona com a atualização bayesiana?
Selecione a alternativa correta
Para eventos mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = 0$ Para eventos mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ Para eventos mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ Para eventos mutuamente exclusivos: $P(A \cap B) = 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 38
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Eventos mutuamente exclusivos (disjuntos) não podem ocorrer simultaneamente, logo $P(A \cap B) = 0$ . Consequentemente, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Na linguagem bayesiana: se A ocorreu, a probabilidade posterior de B torna-se zero — B é refutado por A.
Ex. 109.24Aplicação
$P(A) = 0{,}6$ e $P(B) = 0{,}4$ , com $A$ e $B$ mutuamente exclusivos. Calcule $P(A \cup B)$ . (Resp: 1,0)
Selecione a alternativa correta
$P(A \cup B) = 1{,}0$ $P(A \cup B) = 0{,}60$ $P(A \cup B) = 0{,}24$ $P(A \cup B) = 0{,}84$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 42
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A e B mutuamente exclusivos e $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}4$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}0$ . A e B cobrem todo o espaço amostral — são coletivamente exaustivos além de mutuamente exclusivos, logo formam uma partição perfeita do espaço amostral.
Ex. 109.25AplicaçãoGabarito
De um baralho padrão de 52 cartas: qual a probabilidade de tirar uma carta vermelha? Uma carta de paus? De um dado: qual a probabilidade de obter número par? (Resp: 1/2; 1/4; 1/2)
Selecione a alternativa correta
P(card. vermelha) = 1/2; P(paus) = 1/4; P(nº par) = 1/2P(card. vermelha) = 1/4; P(paus) = 1/2; P(nº par) = 1/3P(card. vermelha) = 2/3; P(paus) = 1/3; P(nº par) = 1/2P(card. vermelha) = 1/2; P(paus) = 1/13; P(nº par) = 4/13
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 18
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Baralho com 52 cartas: 26 vermelhas (copas e ouros) → P(vermelha) = 26/52 = 1/2. 13 paus → P(paus) = 13/52 = 1/4. Números pares (2,4,6,8,10) = 5 valores × 4 naipes = 20 cartas → P(par) = 20/52 = 5/13 ≈ 0,385. Para o dado: P(par) = 3/6 = 1/2.
Ex. 109.26Aplicação
Um dado justo é lançado. Qual a probabilidade de obter número primo? (Resp: 1/2)
Selecione a alternativa correta
P(primo) = 1/2 (os primos entre 1–6 são 2, 3, 5)P(primo) = 1/3P(primo) = 2/3P(primo) = 4/6 = 2/3 (inclui 1 como primo)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 21
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Números primos entre 1 e 6: 2, 3, 5 — três valores. Espaço amostral: 6. Logo $P(\text{primo}) = 3/6 = 1/2$ . Nota: 1 não é primo por definição. Conexão bayesiana: se observamos que o dado saiu maior que 3, o posterior de ser primo é P(5) / P(6) = (1/6)/(3/6) = 1/3.
Ex. 109.27ModelagemGabarito
Uma pesquisa Pew (2010) sobre aquecimento global classificou respostas por partido político. Se $P(\text{acredita no aquecimento} \mid \text{democrata liberal})$ é maior que $P(\text{acredita no aquecimento})$ , o que isso indica sobre independência entre crença e filiação política?
Selecione a alternativa correta
P(aquecimento | democrata liberal) maior que P(aquecimento geral) — dependência claraP(aquecimento | democrata liberal) = P(aquecimento geral) — independênciaP(aquecimento | republicano conservador) maior que P(aquecimento | democrata liberal)Não é possível determinar dependência apenas com probabilidades condicionais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.15
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Se $P(\text{acredita} \mid \text{dem. liberal}) > P(\text{acredita})$ , os eventos não são independentes — a filiação política condiciona a crença no aquecimento. Bayesianamente: saber a filiação política de alguém atualiza a probabilidade de que ele acredite no aquecimento. A pesquisa Pew (2010) mostrou diferenças marcantes entre grupos políticos.
Ex. 109.28Modelagem
O BRFSS coletou dados sobre cobertura de saúde e status de saúde. Sabe-se que $P(\text{saúde excelente} \mid \text{tem cobertura}) \neq P(\text{saúde excelente} \mid \text{sem cobertura})$ . O que isso implica sobre independência entre as variáveis?
Selecione a alternativa correta
P(cobertura | saúde excelente) maior que P(cobertura | saúde ruim) — dependênciaP(cobertura | saúde excelente) = P(cobertura | saúde ruim) — independênciaP(saúde excelente | tem cobertura) = P(saúde excelente) — independênciaPrecisaria de mais dados para verificar dependência
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.16
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Pelo BRFSS, P(saúde excelente | tem cobertura) difere de P(saúde excelente | sem cobertura). Isso caracteriza dependência: o status de cobertura de saúde é um indicador (ou causa) do estado de saúde. Bayesianamente, saber que alguém tem plano de saúde atualiza nossa probabilidade de que ele tenha saúde excelente.
Ex. 109.29DesafioGabarito
Com $P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}7$ e $P(A \cap B) = 0{,}10$ : verifique se A e B são independentes usando dois critérios diferentes.
Selecione a alternativa correta
P(A e B) = 0,12 — diferente de P(A)P(B) = 0,21, logo não independentesP(A e B) = 0,21 — igual a P(A)P(B), logo independentesP(A e B) = 0,10/0,70 ≈ 0,143 — calculou P(A|B)P(A e B) = 0,30 — usou a regra da adição incorretamente
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.13
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Com $P(A \cap B) = 0{,}10$ e $P(B) = 0{,}70$ : verificação de independência exige $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}21$ . Mas $P(A \cap B) = 0{,}10 \neq 0{,}21$ — logo A e B NÃO são independentes. A probabilidade condicional: $P(A|B) = 0{,}10/0{,}70 \approx 0{,}143 \neq P(A) = 0{,}30$ — confirma dependência.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Para independência: precisa $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
2. Calcule $P(A) \cdot P(B) = 0{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}21$ .
3. Compare com o dado $P(A \cap B) = 0{,}10$ : são diferentes.
4. Logo A e B são dependentes. Confirme via $P(A|B) = 0{,}10/0{,}70 \approx 0{,}143 \neq 0{,}30$ .
Ex. 109.30Desafio
Um filtro de spam usa Naive Bayes. Prior: 20% dos emails são spam. Em emails spam, cada palavra-chave suspeita tem probabilidade 60%; em emails legítimos, 5%. Um email contém 3 palavras-chave. Explique a suposição de independência condicional e calcule P(spam | 3 palavras-chave). (Resp: ≈ 99,8%)
Selecione a alternativa correta
Filtro de spam bayesiano: P(spam | palavras) atualiza iterativamente com cada palavraFiltro de spam usa apenas P(spam) — prior fixo, sem atualizaçãoP(spam | palavras) = P(palavras | spam) sem normalizaçãoNaive Bayes assume dependência total entre palavras para máxima precisão
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §3.2 · ex. 3.19
Ver solução
O classificador Naive Bayes assume independência condicional das palavras dado o rótulo: $P(\text{spam} \mid w_1, \ldots, w_k) \propto P(\text{spam}) \prod_{i=1}^k P(w_i \mid \text{spam})$ . A "ingenuidade" é assumir que cada palavra é independente das outras dado o rótulo — simplificação que funciona bem na prática para classificação de texto.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Prior: $P(\text{spam}) = 0{,}20$ .
2. Likelihood de cada palavra dada spam: $P(w_i|\text{spam}) = 0{,}60$ ; dada legítimo: $0{,}05$ .
3. Com 3 palavras: $P(\text{spam}|w_1, w_2, w_3) \propto 0{,}20 \times 0{,}6^3 = 0{,}0432$ .
4. Denominador: $0{,}0432 + 0{,}80 \times 0{,}05^3 = 0{,}0432 + 0{,}0001 \approx 0{,}0433$ .
5. Posterior: $\approx 99{,}8\%$ — três palavras-chave suspeitas praticamente garantem spam.
Ex. 109.31Modelagem
Uma tabela de contingência de 500 músicos cruza método de treinamento (clássico/moderno) com gênero musical principal (jazz/pop/clássico). Como se calcula $P(\text{treinamento clássico})$ e $P(\text{jazz} \mid \text{treinamento clássico})$ ? O que a comparação desses valores com $P(\text{jazz})$ revela sobre dependência?
Selecione a alternativa correta
P(treinamento clássico) = 250/500 = 0,50; P(jazz | clássico) = 150/250 = 0,60P(treinamento clássico) = 0,60; P(jazz | clássico) = 0,50P(treinamento clássico) = 0,30; P(jazz | clássico) = 0,40P(jazz | clássico) = P(jazz) — são independentes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 55
Ver solução
Da tabela de contingência (músicos): P(clássico) = n(clássico) / total. P(jazz | clássico) = n(clássico E jazz) / n(clássico). Para verificar independência, comparar P(jazz | clássico) com P(jazz). Se forem diferentes, treinamento e gênero musical são dependentes — o treinamento clássico altera a probabilidade de tocar jazz.
Ex. 109.32Aplicação
Usando a tabela de músicos, como se calcula $P(\text{treinamento clássico E gênero jazz})$ ? Qual fórmula geral se aplica?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{P clás. E jazz}) = P(\text{clás.}) \times P(\text{jazz} \mid \text{clás.})$ $P(\text{clás. E jazz}) = P(\text{clás.}) + P(\text{jazz})$ $P(\text{clás. E jazz}) = P(\text{jazz} \mid \text{clás.})$ — a condicional é a conjunta $P(\text{clás. E jazz}) = P(\text{clás.}) \times P(\text{jazz})$ — sempre independentes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 56
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A probabilidade conjunta sempre se calcula pela regra da multiplicação: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ . Apenas se A e B forem independentes é que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Para verificar independência na tabela de músicos: checar se $P(\text{jazz} \mid \text{clás.}) = P(\text{jazz})$ .
Ex. 109.33Aplicação
Em uma pesquisa eleitoral com dados por faixa etária e partido, como se calcula $P(\text{eleitor com menos de 30 anos})$ ? Qual é o papel dessa probabilidade marginal na regra de Bayes?
Selecione a alternativa correta
P(abaixo de 30 anos) = total abaixo-30 / total de eleitoresP(abaixo de 30) = P(abaixo-30 | partido A) sem normalizaçãoP(abaixo de 30) = número de jovens sem dividir pelo totalP(abaixo de 30) = P(partido A | abaixo-30) pela regra de Bayes
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 52
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A probabilidade marginal P(abaixo de 30) é obtida somando todos os eleitores jovens de todos os partidos e dividindo pelo total. É a marginalização da distribuição conjunta — exatamente o denominador da fórmula de Bayes. A probabilidade marginal permite computar depois a condicional $P(\text{partido} \mid \text{abaixo-30})$ via regra de Bayes.
Ex. 109.34Aplicação
Usando dados eleitorais por partido e faixa etária, como se calcula $P(\text{abaixo de 30 anos} \mid \text{prefere partido A})$ ? Qual a fórmula correta?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{abaixo-30} \mid \text{partido A}) = n(\text{abaixo-30 e partido A}) / n(\text{partido A})$ $P(\text{abaixo-30} \mid \text{partido A}) = P(\text{partido A}) \times P(\text{abaixo-30})$ $P(\text{abaixo-30} \mid \text{partido A}) = P(\text{partido A} \mid \text{abaixo-30})$ $P(\text{abaixo-30} \mid \text{partido A}) = P(\text{abaixo-30}) / P(\text{partido A})$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 53
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A probabilidade condicional é calculada restringindo o denominador ao evento condicionante: $P(\text{abaixo-30} \mid A) = P(\text{abaixo-30} \cap A) / P(A)$ . Na tabela: conta-se apenas os eleitores do partido A e vê-se quantos têm menos de 30 anos. Esta é a likelihood usada no denominador de Bayes para inverter a probabilidade.
Ex. 109.35DemonstraçãoGabarito
Complete: $P(A) + P(A') =$ _____. Demonstre essa regra a partir dos axiomas de Kolmogorov e explique sua conexão com a lei da probabilidade total usada na regra de Bayes.
Selecione a alternativa correta
$P(A) + P(A') = 1$ — regra do complemento $P(A) + P(A') = 0$ — complementos se anulam $P(A) \times P(A') = 1$ — produto dos complementos $P(A) + P(A') = 2$ — soma de probabilidades individuais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 35
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A regra do complemento afirma $P(A) + P(A') = 1$ , pois A e A' são mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos — juntos cobrem todo o espaço amostral. É a base do cálculo de probabilidades complementares como P(pelo menos um sucesso) = 1 − P(nenhum sucesso), e também do denominador de Bayes via lei da probabilidade total.
Ex. 109.36Aplicação
Em uma tabela de jogadores de beisebol, como se calcula $P(\text{infielder E rebatedor designado})$ ? Qual é a fórmula geral e quando ela simplifica para o produto das probabilidades marginais?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{infield. E rebatedor}) = P(\text{infield.}) \times P(\text{rebatedor} \mid \text{infield.})$ $P(\text{infield. E rebatedor}) = P(\text{infield.}) + P(\text{rebatedor})$ $P(\text{infield. E rebatedor}) = P(\text{infield.}) \times P(\text{rebatedor})$ sempre $P(\text{infield. E rebatedor}) = P(\text{rebatedor} \mid \text{infield.})$ sem o fator P
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 27
Ver solução
A probabilidade conjunta "infielder E rebatedor" usa a regra da multiplicação: $P(I \cap R) = P(I) \times P(R|I)$ . Só simplifica para $P(I) \times P(R)$ se forem independentes. Na tabela de jogadores de beisebol, seria necessário verificar se ser infielder altera a probabilidade de ser rebatedor designado — verificação bayesiana de independência.
Ex. 109.37Aplicação
Usando a tabela de jogadores de beisebol, qual é a fórmula para $P(\text{rebatedor designado} \mid \text{outfielder})$ ? Como essa fórmula se inverte para calcular $P(\text{outfielder} \mid \text{rebatedor designado})$ via regra de Bayes?
Selecione a alternativa correta
$P(\text{rebatedor} \mid \text{outfielder}) = P(R \cap O) / P(O)$ $P(\text{rebatedor} \mid \text{outfielder}) = P(O) / P(R)$ $P(\text{rebatedor} \mid \text{outfielder}) = P(O \mid R)$ por simetria $P(\text{rebatedor} \mid \text{outfielder}) = P(R) + P(O) - 1$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 30
Ver solução
$P(R|O) = P(R \cap O)/P(O)$ . Para obter P(O|R) da tabela — a inversa — usa-se Bayes: $P(O|R) = P(R|O) \times P(O) / P(R)$ . Essa inversão da condicional é a essência da inferência bayesiana: de evidência (ser rebatedor) inferir a causa (ser outfielder).
Ex. 109.38Modelagem
Construa mentalmente um diagrama de árvore para o cenário: desenvolver câncer (prevalência 5%) e o resultado de um teste com possibilidade de falso-positivo. Descreva os dois níveis do diagrama e como ele organiza o cálculo de Bayes.
Selecione a alternativa correta
Diagrama de árvore com dois ramos (câncer/não) e dois subramos (teste+/teste−) em cadaDiagrama de árvore com quatro ramos paralelos sem hierarquiaDiagrama de Venn com dois círculos sobrepostosTabela de frequência simples sem probabilidades condicionais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 58
Ver solução
O diagrama de árvore para cenários de falso-positivo em testes de câncer tem: ramo 1 = tem câncer (probabilidade = prevalência), subramos = P(teste+ | câncer) e P(teste− | câncer); ramo 2 = não tem câncer, subramos = P(teste+ | não câncer) = taxa FP e P(teste− | não câncer). As folhas mostram as probabilidades conjuntas; a regra de Bayes inverte os galhos para obter P(câncer | teste+).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Nível 1: estado da doença — P(câncer) = prevalência; P(não câncer) = 1 − prevalência.
2. Nível 2: resultado do teste — P(+|câncer) = sensibilidade; P(+|não câncer) = 1 − especificidade.
3. Folhas: P(câncer E +) = sensib. × prev.; P(não câncer E +) = (1−espec.) × (1−prev.).
4. Bayes: P(câncer | +) = P(câncer E +) / [P(câncer E +) + P(não câncer E +)].
Ex. 109.39Desafio
Com dados de preferência eleitoral cruzados por faixa etária, explique como usar a regra de Bayes para calcular $P(\text{prefere partido A} \mid \text{eleitor abaixo de 30})$ a partir de $P(\text{abaixo de 30} \mid \text{partido A})$ , $P(\text{partido A})$ e $P(\text{abaixo de 30})$ .
Selecione a alternativa correta
P(abaixo de 30 | partido A) via Bayes = P(A | abaixo-30) × P(abaixo-30) / P(A)P(partido A | abaixo-30) = P(abaixo-30 | partido A) — são iguaisP(partido A | abaixo-30) = P(partido A) — independência automática com faixa etáriaA inversão requer dados adicionais não disponíveis na tabela
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Resolver online OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 44
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Da tabela de preferência eleitoral, lemos diretamente P(abaixo-30 | partido A) = n(jovens e partido A) / n(partido A). Para obter P(partido A | abaixo-30) invertemos via Bayes: $P(A|\text{jovem}) = P(\text{jovem}|A) \times P(A) / P(\text{jovem})$ . P(jovem) é obtido somando jovens de todos os partidos. Todos os termos do lado direito estão disponíveis na tabela.
Ex. 109.40Demonstração
Demonstre que as três definições de independência são equivalentes: (i) $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ; (ii) $P(A|B) = P(A)$ ; (iii) $P(B|A) = P(B)$ . Interprete cada uma no contexto bayesiano.
Selecione a alternativa correta
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ equivale a $P(A|B) = P(A)$ equivale a $P(B|A) = P(B)$ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ implica exclusividade mútuaIndependência só pode ser verificada por $P(A|B) = P(A)$ , os outros critérios são falsos $P(A|B) = P(B|A)$ é a definição de independência
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OpenStax Introductory Statistics · §3.P · ex. 43
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Os três critérios de independência são equivalentes. Demonstração: se $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ , então $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B) = P(A)P(B)/P(B) = P(A)$ . E $P(B|A) = P(A \cap B)/P(A) = P(B)$ . Na prática bayesiana: se A e B são independentes, observar B não atualiza P(A) — o posterior de A dado B é igual ao prior de A.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Definição por produto: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
2. Divida por P(B): $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B) = P(A)$ . Logo as duas definições são equivalentes.
3. Divida por P(A): $P(B|A) = P(B)$ . O terceiro critério também equivale.
4. Interpretação bayesiana: independência significa "B não é evidência para A" — o posterior de A dado B é idêntico ao prior de A.

Fontes

Think Bayes — Allen B. Downey · CC-BY-NC-SA · Greenteapress · Capítulos 1–9.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell · GNU FDL · Dartmouth · §4.1.
OpenIntro Statistics — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA · OpenIntro · §3.6–3.7.