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Lição 110 — Consolidação Trim 11: Inferência Estatística

Workshop de síntese do trim 11: IC para média, testes z e t, ANOVA, qui-quadrado, regressão simples e múltipla, e inferência bayesiana — todos os pilares da estatística inferencial em um mapa integrado.

Usado em: 3.º ano do EM / Stochastik LK alemão · Math B japonês (Estatística) · H2 Mathematics (Singapura) — Statistics

\hat\theta \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\quad T = \frac{\bar X - \mu_0}{s/\sqrt{n}};\quad P(\theta \mid D) \propto P(D \mid \theta)\,P(\theta)

O trim 11 em três equações: intervalo de confiança para estimar, estatística $T$ para testar, e regra de Bayes para atualizar crenças. Toda inferência estatística é variação dessas três formas.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Síntese formal do trim 11

Os três pilares da inferência estatística

Definição· Pilar 1 — Estimação por intervalo de confiança

Seja $X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$ .

IC bilateral de nível $1-\alpha$ para $\mu$ ( $\sigma$ conhecido):

\bar X \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

o que isso quer dizer · Intervalo de confiança para média com desvio-padrão populacional conhecido.

IC com $\sigma$ desconhecido — usa distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade:

\bar X \pm t_{\alpha/2;\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}

o que isso quer dizer · Intervalo de confiança para média com desvio-padrão amostral (uso prático mais comum).

Tamanho amostral para margem de erro máxima $E$ :

n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2

o que isso quer dizer · Fórmula do tamanho de amostra: quadrado de z vezes sigma, dividido por E ao quadrado.

"Um intervalo de confiança fornece uma faixa plausível de valores para o parâmetro da população. A interpretação correta: se repetirmos o procedimento muitas vezes, $(1-\alpha)100\%$ dos intervalos construídos conterão o verdadeiro parâmetro." — OpenIntro Statistics §5.2

Definição· Pilar 2 — Teste de hipótese (visão unificada)

Todo teste de hipótese segue o mesmo esquema:

Enunciar $H_0$ e $H_1$ .
Calcular a estatística de teste sob $H_0$ .
Calcular o p-valor = $P(\text{resultado tão ou mais extremo que o observado} \mid H_0)$ .
Se $p \leq \alpha$ , rejeitar $H_0$ .

Mapa de testes:

Cenário	Estatística	Distribuição
1 média, $\sigma$ conhecido	$Z = (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$	$N(0,1)$
1 média, $\sigma$ desconhecido	$T = (\bar X - \mu_0)/(s/\sqrt{n})$	$t_{n-1}$
2 médias independentes	Welch $T$	$t_{\nu}$ (graus de liberdade de Welch)
$k$ médias	$F = MS_B/MS_W$	$F_{k-1,\,N-k}$
Tabela de contingência	$\chi^2 = \sum (O-E)^2/E$	$\chi^2_{(r-1)(c-1)}$
Proporção vs valor de referência	$Z = (\hat p - p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$	$N(0,1)$

Definição· Pilar 3 — Regressão e modelagem preditiva

Regressão linear simples $\hat Y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X$ :

\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\quad \hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X

o que isso quer dizer · Estimadores de mínimos quadrados ordinárias para regressão simples.

Regressão múltipla $\hat{\mathbf{y}} = X\hat{\boldsymbol\beta}$ :

\hat{\boldsymbol\beta} = (X^\top X)^{-1} X^\top \mathbf{y}

o que isso quer dizer · Estimador vetorial de mínimos quadrados para regressão múltipla.

Coeficiente de determinação e sua versão ajustada:

R^2_{\text{adj}} = 1 - \frac{(1-R^2)(n-1)}{n-p-1}

o que isso quer dizer · R-quadrado ajustado penaliza preditores extras que não contribuem para o ajuste.

Teorema· Regra de Bayes para atualização de crenças

Seja $\theta$ o parâmetro de interesse, $D$ os dados observados:

P(\theta \mid D) = \frac{P(D \mid \theta)\,P(\theta)}{P(D)} \propto P(D \mid \theta)\,P(\theta)

o que isso quer dizer · A distribuição posterior é proporcional à verossimilhança vezes o prior.

Conjugada Beta-Binomial: se $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ e $X \mid \theta \sim \text{Bin}(n, \theta)$ , então:

\theta \mid X \sim \text{Beta}(\alpha + X,\; \beta + n - X)

o que isso quer dizer · Distribuição posterior quando o prior é Beta e a verossimilhança é binomial — o prior se atualiza somando sucessos e fracassos.

Fluxo de decisão do trim 11 — cada pergunta estatística tem seu método.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· IC 95% para nota média do ENEM (desvio desconhecido)

Problema. Uma amostra de $n = 36$ candidatos do ENEM 2023 na disciplina de Matemática apresentou média $\bar X = 580$ pontos e desvio-padrão amostral $s = 90$ pontos. Construa um IC 95% para a nota média populacional $\mu$ .

Estratégia. Como $\sigma$ é desconhecido, usa-se a distribuição $t$ com $n - 1 = 35$ graus de liberdade. Localize $t_{0,025;\,35}$ em tabela.

Resolução.

$t_{0,025;\,35} = 2{,}030$ .

Margem de erro: $E = 2{,}030 \times \frac{90}{\sqrt{36}} = 2{,}030 \times 15 = 30{,}45$ .

IC 95%: $(580 - 30{,}45\;;\; 580 + 30{,}45) = (549{,}55\;;\; 610{,}45)$ .

Verificação. A margem cresce com $s$ e diminui com $\sqrt{n}$ . Para $n = 144$ , a margem seria $2{,}030 \times 90/12 = 15{,}2$ — metade, pois quadruplicamos o $n$ .

Fonte. OpenIntro Statistics §5.2 — Exercício 5.5, p. 222 · CC-BY-SA.

Exemplo— 2· Teste t de uma amostra vs meta governamental

Problema. O governo afirma que o tempo médio de atendimento em UBSs é $\mu_0 = 20$ minutos. Uma auditoria amostra $n = 25$ atendimentos: $\bar X = 24{,}8$ min, $s = 7{,}2$ min. Ao nível $\alpha = 5\%$ , há evidência de que a média real supera 20 min?

Estratégia. Teste $t$ unilateral à direita ( $H_1: \mu > 20$ ), com $df = 24$ .

Resolução.

$T = \frac{24{,}8 - 20}{7{,}2/\sqrt{25}} = \frac{4{,}8}{1{,}44} = 3{,}33$ .

$t_{0,05;\,24} = 1{,}711$ (unilateral). Como $3{,}33 > 1{,}711$ , rejeita-se $H_0$ .

p-valor: $P(t_{24} \geq 3{,}33) \approx 0{,}001 < 0{,}05$ . Há evidência de que o tempo médio supera 20 minutos.

Verificação. IC 95% unilateral inferior: $24{,}8 - 1{,}711 \times 1{,}44 = 22{,}33$ min. O valor $\mu_0 = 20$ está abaixo desse limite, confirmando a rejeição.

Fonte. Statistics, OpenStax §9.4 — adaptado do exemplo 9.10, p. 476 · CC-BY.

Exemplo— 3· ANOVA de um fator — produtividade com 3 adubos

Problema. Três adubos foram testados em grupos de $n_i = 10$ plantas cada. Produtividade (kg): $\bar X_1 = 12{,}0$ , $\bar X_2 = 14{,}5$ , $\bar X_3 = 13{,}2$ . Média geral $\bar X = 13{,}23$ . $SS_W = 162$ (soma dos quadrados intra-grupos). Ao nível 5%, há diferença entre adubos?

Estratégia. ANOVA: calcule $SS_B$ , obtenha $F$ , compare com $F_{0,05;\,2,\,27}$ .

Resolução.

$SS_B = 10[(12{,}0 - 13{,}23)^2 + (14{,}5 - 13{,}23)^2 + (13{,}2 - 13{,}23)^2]$ $= 10[1{,}513 + 1{,}613 + 0{,}001] = 31{,}27$ .

$MS_B = 31{,}27/2 = 15{,}64$ ; $MS_W = 162/27 = 6{,}00$ .

$F = 15{,}64 / 6{,}00 = 2{,}61$ .

$F_{0,05;\,2,\,27} \approx 3{,}35$ . Como $2{,}61 < 3{,}35$ , não se rejeita $H_0$ — não há evidência de diferença entre os adubos ao nível 5%.

Verificação. p-valor $\approx 0{,}092 > 0{,}05$ . Resultado consistente. Com $n_i = 20$ por grupo, o poder seria maior e poderia haver rejeição.

Fonte. OpenIntro Statistics §7.5 — estrutura baseada no exemplo de ANOVA, p. 319 · CC-BY-SA.

Exemplo— 4· Regressão linear simples — salário vs anos de experiência

Problema. Com $n = 20$ profissionais: $\bar X = 8$ anos, salário médio R$ 6.200 ( $\bar Y = 6200$ ), $S_{xx} = 180$ , $S_{xy} = 54000$ . Ajuste o modelo de regressão e interprete os coeficientes.

Estratégia. Calcule $\hat\beta_1$ e $\hat\beta_0$ pelas fórmulas de mínimos quadrados; interprete no contexto.

Resolução.

$\hat\beta_1 = S_{xy}/S_{xx} = 54000/180 = 300$ .

$\hat\beta_0 = \bar Y - \hat\beta_1 \bar X = 6200 - 300 \times 8 = 3800$ .

Modelo: $\hat Y = 3800 + 300\,X$ (em reais, $X$ em anos).

Interpretação. Cada ano adicional de experiência está associado a um aumento médio de R$ 300 no salário. O intercepto R$ 3.800 é o salário estimado para 0 anos de experiência (extrapolação — use com cautela).

Verificação. Para $X = 10$ anos: $\hat Y = 3800 + 3000 = 6800$ reais. Plausível dado $\bar Y = 6200$ para $\bar X = 8$ .

Fonte. OpenIntro Statistics §8.2 — baseado no Exercício 8.13 (dados de salários), p. 360 · CC-BY-SA.

Exemplo— 5· Atualização bayesiana — proporção de defeitos em linha de produção

Problema. Um engenheiro de qualidade acredita a priori que a proporção de defeitos $\theta$ em uma linha tem distribuição $\text{Beta}(3, 17)$ (média prior $= 3/20 = 15\%$ ). Inspeciona $n = 40$ peças e encontra $X = 4$ defeitos. Qual é a distribuição posterior e qual é a nova estimativa pontual para $\theta$ ?

Estratégia. Usar conjugada Beta-Binomial: posterior $= \text{Beta}(\alpha + X, \beta + n - X)$ .

Resolução.

Posterior: $\text{Beta}(3 + 4,\; 17 + 40 - 4) = \text{Beta}(7, 53)$ .

Média posterior: $7/(7+53) = 7/60 \approx 11{,}7\%$ .

IC credível 95%: quantis 2,5% e 97,5% da $\text{Beta}(7, 53)$ , aproximadamente $[0{,}049;\; 0{,}221]$ .

Verificação. Antes: média prior 15%. Depois de ver 4 defeitos em 40 (MLE = 10%), a posterior desloca para 11,7% — média ponderada entre prior e dados. Com amostras maiores, a posterior se aproximaria cada vez mais do MLE.

Fonte. Statistical Thinking for the 21st Century, Ch. 15 — estrutura do exemplo Beta-Binomial, §15.3 · CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 22Compreensão 10Modelagem 7Desafio 1

Ex. 110.1Aplicação
Em 2013, a Fundação Pew reportou que 45% dos adultos norte-americanos vivem com uma ou mais doenças crônicas. O estudo reportou um erro-padrão de cerca de 1,2%. Construa um IC 95% para a proporção real e interprete o intervalo no contexto do estudo.
Selecione a alternativa correta
IC 95%: aproximadamente 42,6% a 47,4%IC 95%: aproximadamente 43,5% a 46,5%IC 95%: aproximadamente 41,0% a 49,0%IC 95%: aproximadamente 44,0% a 46,0%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.7
Ver solução
Com $\hat p = 0{,}45$ e erro-padrão $EP = 0{,}012$ , o IC 95% é $0{,}45 \pm 1{,}96 \times 0{,}012 = 0{,}45 \pm 0{,}0235$ , ou seja, de 42,6% a 47,4%. Interpretação: com 95% de confiança, entre 42,6% e 47,4% dos adultos norte-americanos vivem com uma ou mais doenças crônicas.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Dados: $\hat p = 0{,}45$ , $EP = 0{,}012$ , modelo normal válido.
2. Valor crítico para IC 95%: $z_{0{,}025} = 1{,}96$ .
3. Margem de erro: $1{,}96 \times 0{,}012 = 0{,}02352$ .
4. IC: $(0{,}45 - 0{,}024\;; 0{,}45 + 0{,}024) \approx (42{,}6\%\;; 47{,}4\%)$ .
Interpretação frequentista correta: o procedimento produz intervalos que cobrem a proporção verdadeira em 95% das repetições.
Ex. 110.2Aplicação
Uma pesquisa de 2013 constatou que 52% dos usuários adultos do Twitter nos EUA obtêm pelo menos alguma notícia por essa plataforma. O erro-padrão da estimativa foi 2,4%. Construa um IC 99% para a fração de usuários adultos do Twitter que consomem notícias pelo serviço e interprete o intervalo.
Selecione a alternativa correta
IC 99%: aproximadamente 46,2% a 57,8%IC 99%: aproximadamente 47,1% a 56,9%IC 99%: aproximadamente 44,8% a 59,2%IC 99%: aproximadamente 48,0% a 56,0%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.8
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Com $\hat p = 0{,}52$ e $EP = 0{,}024$ , o valor crítico para IC 99% é $z_{0{,}005} = 2{,}576$ . Margem: $2{,}576 \times 0{,}024 = 0{,}0618$ . IC: $(0{,}52 - 0{,}062\;; 0{,}52 + 0{,}062) \approx (45{,}8\%\;; 58{,}2\%)$ . Interpretação: com 99% de confiança, entre 46,2% e 57,8% dos usuários adultos do Twitter obtêm notícias pela plataforma. (Resp: aprox. 46,2% a 57,8%)
Ex. 110.3CompreensãoGabarito
Sobre o IC 95% construído no exercício anterior (doença crônica, EP = 1,2%): é verdadeiro ou falso que, se repetíssemos o estudo 1.000 vezes e construíssemos um IC 95% para cada repetição, aproximadamente 950 desses ICs conteriam a fração verdadeira de adultos com doenças crônicas? Justifique.
Selecione a alternativa correta
Verdadeira: se repetirmos o estudo 1.000 vezes, aproximadamente 950 dos ICs conterão a proporção verdadeiraFalsa: se repetirmos 1.000 vezes, exatamente 950 ICs conterão o parâmetroVerdadeira: o IC específico construído contém o parâmetro com probabilidade 95%Falsa: o IC nunca contém o parâmetro verdadeiro com certeza
Selecione uma opção primeiro
OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.9
Ver solução
A afirmação é verdadeira. A interpretação correta do IC 95% é que o procedimento produz intervalos que cobrem o parâmetro verdadeiro em aproximadamente 95% das repetições — não exatamente 950, mas aproximadamente. Um IC já construído ou cobre o parâmetro ou não; não há probabilidade associada a um intervalo fixo.
Ex. 110.4Compreensão
Sobre o estudo de usuários do Twitter (proporção 52%, EP = 2,4%): é verdadeiro ou falso que, para reduzir o erro-padrão da estimativa, devemos coletar menos dados? Justifique.
Selecione a alternativa correta
Falsa: reduzir a amostra aumenta o erro-padrão, alargando o ICVerdadeira: com amostra menor, o IC é mais precisoVerdadeira: o erro-padrão independe do tamanho amostralFalsa: o IC 90% é sempre mais largo que o IC 99%
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.10
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A afirmação é falsa. Reduzir a amostra aumenta o erro-padrão $EP = \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ , alargando o IC — o oposto do que a afirmação sugere. Além disso, o IC 90% é mais estreito que o IC 99%, pois usa um valor crítico menor.
Ex. 110.5CompreensãoGabarito
Uma administradora hospitalar coletou uma amostra de 64 pacientes e obteve o IC 95% de (128 min, 147 min) para o tempo médio de espera na emergência. Qual afirmação abaixo está correta?
Selecione a alternativa correta
Com 95% de confiança, o tempo médio de espera de todos os pacientes do hospital está entre 128 e 147 minutosCom 95% de confiança, o tempo médio de espera dos 64 pacientes da amostra está entre 128 e 147 minutos95% dos pacientes esperam entre 128 e 147 minutosUm IC 99% seria mais estreito que o IC 95% apresentado
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.11
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O IC 95% estima a média populacional — não a média amostral (essa é fixa, igual a 137,5 min) nem a distribuição individual dos tempos de espera. Um IC 99% seria mais largo, não mais estreito. A margem de erro é $(147 - 128)/2 = 9{,}5$ min e a média amostral é $(128 + 147)/2 = 137{,}5$ min.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Média amostral: $\bar x = (128 + 147)/2 = 137{,}5$ min.
2. Margem de erro: $E = (147 - 128)/2 = 9{,}5$ min.
3. O IC estima a média de todos os pacientes do hospital, não apenas dos 64 amostrados.
4. IC 99% seria mais largo (valor crítico maior); IC 90% seria mais estreito.
Interpretação correta: o procedimento produz intervalos que cobrem a média verdadeira em 95% das repetições.
Ex. 110.6Compreensão
O General Social Survey reportou que adultos norte-americanos passaram em média entre 3,40 e 4,24 dias (IC 95%) com problemas de saúde mental nos últimos 30 dias, com base em 1.151 respostas. Qual é a interpretação correta desse IC?
Selecione a alternativa correta
Com 95% de confiança, os adultos norte-americanos passaram em média entre 3,40 e 4,24 dias com problemas de saúde mental nos últimos 30 dias95% dos adultos norte-americanos passaram entre 3,40 e 4,24 dias com problemas de saúde mentalO intervalo (3,40; 4,24) contém a média populacional com probabilidade 95%O IC 95% é equivalente à média mais ou menos 1 desvio-padrão
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.12
Ver solução
O IC 95% estima a média populacional, não a distribuição individual. A afirmação correta é que o procedimento de construção desses intervalos captura o parâmetro verdadeiro em 95% das repetições. O intervalo já construído ou contém a média verdadeira ou não — não existe probabilidade 95% atribuível a um intervalo fixo na visão frequentista.
Ex. 110.7Aplicação
Um site expôs 1% dos visitantes novos a um novo design. De 752 visitantes que viram o novo design, 64 se registraram. Verifique as condições necessárias para construção de um IC e calcule o IC 90% para a fração de visitantes que se registrariam com o novo design.
Selecione a alternativa correta
IC 90%: aproximadamente 7,0% a 10,0%; condições satisfeitas pois há pelo menos 10 sucessos e 10 fracassosIC 90%: aproximadamente 6,2% a 10,8%; condições não verificadasIC 90%: aproximadamente 8,0% a 9,0%; condições satisfeitasIC 90%: aproximadamente 5,5% a 11,5%; condições não satisfeitas pois a amostra é pequena
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.13
Ver solução
Verificação: $np = 752 \times 0{,}085 = 64$ e $n(1-p) = 688$ — ambos maiores que 10, condição satisfeita. $\hat p = 64/752 \approx 0{,}0851$ . $EP = \sqrt{0{,}0851 \times 0{,}9149/752} \approx 0{,}01012$ . Margem IC 90%: $1{,}645 \times 0{,}01012 \approx 0{,}0166$ . IC: $(6{,}8\%\;; 10{,}2\%)$ , aproximadamente 7,0% a 10,0%.
Ex. 110.8Aplicação
Uma loja amostrou aleatoriamente 603 clientes ao longo do ano e encontrou que 142 deles fizeram a visita por causa de um cupom recebido pelo correio. Construa um IC 95% para a fração de todos os clientes do ano que visitaram a loja em razão de cupom.
Selecione a alternativa correta
IC 95%: aproximadamente 20,1% a 27,0%IC 95%: aproximadamente 19,5% a 27,6%IC 95%: aproximadamente 21,5% a 25,5%IC 95%: aproximadamente 18,0% a 29,0%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.14
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$\hat p = 142/603 \approx 0{,}2355$ . $EP = \sqrt{0{,}2355 \times 0{,}7645/603} \approx 0{,}01729$ . Margem IC 95%: $1{,}96 \times 0{,}01729 \approx 0{,}0339$ . IC: $(0{,}2355 - 0{,}034\;; 0{,}2355 + 0{,}034) \approx (20{,}1\%\;; 26{,}9\%)$ . (Resp: aprox. 20,1% a 27,0%)
Ex. 110.9AplicaçãoGabarito
Uma empresa de tutoria quer saber se a maioria dos estudantes melhora as notas após usar seus serviços. Enuncie as hipóteses nula e alternativa em palavras e em símbolos para esse teste.
Selecione a alternativa correta
$H_0$ : a maioria dos estudantes NÃO melhora as notas ( $p \leq 0{,}5$ ); $H_1$ : a maioria melhora ( $p > 0{,}5$ ) $H_0$ : todos os estudantes melhoram as notas ( $p = 1$ ); $H_1$ : nem todos melhoram $H_0$ : nenhum estudante melhora ( $p = 0$ ); $H_1$ : algum estudante melhora ( $p > 0$ ) $H_0$ : a empresa de tutoria é ineficaz; $H_1$ : a empresa é extremamente eficaz
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.15
Ver solução
A empresa quer verificar se a maioria dos estudantes melhora as notas. Hipótese nula: $H_0: p \leq 0{,}5$ (ou $p = 0{,}5$ , o limiar). Hipótese alternativa: $H_1: p > 0{,}5$ (maioria melhora). Este é um teste unilateral à direita para proporção.
Ex. 110.10Aplicação
Desde 2008, restaurantes na Califórnia exibem calorias no cardápio. Antes disso, a ingestão calórica média dos clientes era 1.100 kcal. Pesquisadores querem saber se a exibição das calorias reduziu a ingestão. Enuncie as hipóteses em palavras e símbolos.
Selecione a alternativa correta
$H_0$ : a ingestão calórica média após exibição do cardápio é 1.100 kcal ( $\mu = 1100$ ); $H_1$ : é menor ( $\mu < 1100$ ) $H_0$ : a ingestão calórica diminuiu ( $\mu < 1100$ ); $H_1$ : permaneceu igual ( $\mu = 1100$ ) $H_0$ : a exibição das calorias é ineficaz; $H_1$ : a exibição aumenta a ingestão $H_0$ : $\mu = 0$ ; $H_1$ : $\mu \neq 1100$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.16
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Antes da exibição, a média era 1.100 kcal. A pesquisa quer verificar se a exibição dos dados calóricos reduziu a ingestão. Hipótese nula: $H_0: \mu = 1100$ kcal (nenhuma mudança). Hipótese alternativa: $H_1: \mu < 1100$ kcal (ingestão reduziu). Teste unilateral à esquerda.
Ex. 110.11Aplicação
Um estudo sugere que 60% dos estudantes universitários passam 10 ou mais horas semanais se comunicando online. Você coleta uma amostra de 160 estudantes e 70% deles confirmam essa frequência. Ao nível 5%, há evidência de que a fração real difere de 60%? Use o teste z para proporção.
Selecione a alternativa correta
$Z \approx 2{,}60$ ; rejeita-se $H_0$ ao nível 5%; há evidência de que a fração real difere de 60% $Z \approx 2{,}60$ ; não se rejeita $H_0$ ao nível 5% $Z \approx 1{,}30$ ; não se rejeita $H_0$ ao nível 5% $Z \approx 3{,}90$ ; rejeita-se $H_0$ ao nível 1%
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.17
Ver solução
$\hat p = 0{,}70$ , $n = 160$ , $p_0 = 0{,}60$ . $Z = (0{,}70 - 0{,}60)/\sqrt{0{,}60 \times 0{,}40/160} = 0{,}10/\sqrt{0{,}0015} = 0{,}10/0{,}03873 \approx 2{,}58$ . Valor crítico bilateral ao nível 5%: $z_{0{,}025} = 1{,}96$ . Como $2{,}58 > 1{,}96$ , rejeita-se $H_0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Dados: $\hat p = 112/160 = 0{,}70$ , $p_0 = 0{,}60$ , $n = 160$ .
2. $EP = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{0{,}60 \times 0{,}40/160} = 0{,}03873$ .
3. $Z = (0{,}70 - 0{,}60)/0{,}03873 \approx 2{,}58$ .
4. p-valor bilateral $\approx 0{,}010 < 0{,}05$ . Rejeita-se $H_0$ .
Note que o EP do teste usa $p_0$ (valor hipotético), não $\hat p$ .
Ex. 110.12Compreensão
Um estudo indica que 25% dos jovens de 25 anos são casados. Você suspeita que isso está errado. De uma amostra de 776 jovens de 25 anos, 24% são casados. Um colega propõe $H_0: p = 0{,}24$ e $H_1: p \neq 0{,}25$ . Há algum problema com essas hipóteses? Explique.
Selecione a alternativa correta
As hipóteses estão trocadas: $H_0$ deveria ser $p = 0{,}25$ (valor de referência) e $H_1$ seria $p \neq 0{,}25$ As hipóteses estão corretas: $H_0: p = 0{,}24$ e $H_1: p \neq 0{,}25$ são válidasAs hipóteses estão corretas pois $H_0$ deve refletir os dados observadosNão há problema nas hipóteses; apenas o nível de significância está errado
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.18
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A hipótese nula deve refletir o valor de referência do estudo anterior ( $p_0 = 0{,}25$ ), não o valor observado na amostra. O amigo trocou as hipóteses: $H_0$ é sempre o valor de referência, e $H_1$ é a afirmação que queremos testar (p diferente de 0,25 indica uma hipótese bilateral). Correto: $H_0: p = 0{,}25$ e $H_1: p \neq 0{,}25$ .
Ex. 110.13Compreensão
Adolescentes foram consultados sobre cyberbullying, e entre 54% e 64% relataram tê-lo sofrido (IC 95%). Um jornal afirma que a maioria dos adolescentes sofreu cyberbullying. Esse IC suporta a afirmação? Explique.
Selecione a alternativa correta
Sim, o IC suporta a afirmação pois 54% a 64% são todos valores acima de 50%Não, o IC não suporta pois inclui valores abaixo de 50%Não é possível determinar a partir de um IC se a maioria foi afetadaSim, mas apenas se o IC tivesse sido de 99% de confiança
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.19
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O IC 95% para a proporção de adolescentes que sofreram cyberbullying é 54% a 64%. Como todos os valores no intervalo são maiores que 50%, o IC suporta a afirmação do jornal de que a maioria (mais de 50%) dos adolescentes sofreu cyberbullying. Se o intervalo incluísse valores abaixo de 50%, a afirmação seria incerta.
Ex. 110.14Compreensão
O erro-padrão de $\hat p$ é maior quando (I) $n = 125$ ou (II) $n = 500$ ? Explique seu raciocínio usando a fórmula do erro-padrão de uma proporção.
Selecione a alternativa correta
O erro-padrão é maior quando $n = 125$ , pois o EP diminui com o aumento de $n$ O erro-padrão é maior quando $n = 500$ O erro-padrão é igual nos dois cenáriosO erro-padrão independe de $n$ para proporções
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.20
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O erro-padrão de $\hat p$ é $EP = \sqrt{p(1-p)/n}$ . Quanto maior $n$ , menor o EP. Portanto o EP é maior quando $n = 125$ (cenário I) e menor quando $n = 500$ (cenário II). Isso significa que com $n = 500$ as estimativas são mais precisas.
Ex. 110.15Aplicação
Um levantamento da Rasmussen Reports com 1.000 adultos americanos encontrou que 42% acreditam que o aumento do salário mínimo ajudará a economia. Realize um teste de hipótese adequado para verificar se a maioria dos adultos americanos acredita nessa afirmação ou não.
Selecione a alternativa correta
Rejeita-se $H_0$ ; há evidência de que menos de 50% dos adultos americanos acreditam que o salário mínimo ajudará a economiaNão se rejeita $H_0$ ; não há evidência de que a proporção difere de 50%Rejeita-se $H_0$ ; há evidência de que mais de 50% apoiam o aumentoNão se rejeita $H_0$ ; o IC 95% inclui 50%
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.21
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$\hat p = 0{,}42$ , $n = 1000$ , $H_0: p = 0{,}50$ , $H_1: p < 0{,}50$ (teste unilateral à esquerda). $Z = (0{,}42 - 0{,}50)/\sqrt{0{,}50 \times 0{,}50/1000} = -0{,}08/0{,}01581 \approx -5{,}06$ . p-valor unilateral $\approx 0$ . Rejeita-se $H_0$ de forma muito significativa. A evidência indica que menos da maioria acredita que o aumento ajudará a economia.
Ex. 110.16AplicaçãoGabarito
Quatrocentos estudantes de uma grande universidade foram amostrados aleatoriamente; 289 disseram não dormir o suficiente. Teste se isso representa uma diferença estatisticamente significativa de 50%, usando nível de significância de 1%.
Selecione a alternativa correta
Rejeita-se $H_0: p = 0{,}5$ ao nível 1%; há evidência de que a proporção que não dorme o suficiente difere de 50%Não se rejeita $H_0$ ao nível 1%; não há evidência suficienteRejeita-se $H_0$ apenas ao nível 5%, não ao nível 1%Não se pode realizar esse teste pois $n$ é muito pequeno
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.22
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$\hat p = 289/400 = 0{,}7225$ . $Z = (0{,}7225 - 0{,}5)/\sqrt{0{,}5 \times 0{,}5/400} = 0{,}2225/0{,}025 = 8{,}9$ . Valor crítico ao nível 1%: $z_{0{,}005} = 2{,}576$ . Como $8{,}9 \gg 2{,}576$ , rejeita-se $H_0$ com p-valor praticamente zero. A proporção de estudantes que não dormem o suficiente difere significativamente de 50%.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $\hat p = 289/400 = 0{,}7225$ .
2. $EP = \sqrt{0{,}5 \times 0{,}5/400} = 0{,}025$ .
3. $Z = (0{,}7225 - 0{,}5)/0{,}025 = 8{,}9$ .
4. Nível 1%: valor crítico $z_{0{,}005} = 2{,}576$ . Rejeita-se $H_0$ .
Resultado claro: mais de 72% dos estudantes não dormem o suficiente, bem acima de 50%.
Ex. 110.17Aplicação
Dadas as hipóteses $H_0: p = 0{,}3$ e $H_1: p \neq 0{,}3$ , com tamanho amostral $n = 90$ : para qual proporção amostral $\hat p$ o p-valor seria exatamente 0,05? Todas as condições de inferência estão satisfeitas.
Selecione a alternativa correta
$\hat p \approx 0{,}3792$ ; para esse valor, o p-valor bilateral é 0,05 dado $H_0: p = 0{,}3$ , $n = 90$ $\hat p \approx 0{,}3200$ ; o p-valor é exatamente 0,05 $\hat p \approx 0{,}4000$ ; esse é o único valor possível $\hat p \approx 0{,}2500$ ; porque 0,05 é um p-valor muito baixo
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Resolver online OpenIntro Statistics · §5.2 · ex. 5.23
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Para p-valor bilateral de 0,05, precisamos $|Z| = 1{,}96$ . $EP = \sqrt{0{,}3 \times 0{,}7/90} = \sqrt{0{,}002333} \approx 0{,}04830$ . Então $|\hat p - 0{,}3|/0{,}04830 = 1{,}96$ , ou seja $|\hat p - 0{,}3| = 0{,}09467$ . As soluções são $\hat p \approx 0{,}3947$ ou $\hat p \approx 0{,}2053$ .
Ex. 110.18Aplicação
Uma amostra aleatória de tamanho $n = 6$ foi selecionada de uma população aproximadamente normal com desvio-padrão desconhecido. Determine os graus de liberdade e o valor crítico $t^\star$ para um IC de 90%.
Selecione a alternativa correta
Graus de liberdade $df = 5$ ; $t^\star \approx 2{,}015$ para CL = 95%Graus de liberdade $df = 6$ ; $t^\star \approx 1{,}943$ para CL = 95%Graus de liberdade $df = 5$ ; $t^\star \approx 1{,}645$ para CL = 95%Graus de liberdade $df = 29$ ; $t^\star \approx 2{,}045$ para CL = 95%
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.1
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Para $n = 6$ e CL = 90%: $df = n - 1 = 5$ ; na tabela t, $t^\star_{5;\,0{,}05} \approx 2{,}015$ . Para IC 95% (erro 5% bilateral), usa-se o quantil 97,5% da t com 5 graus de liberdade, que é 2,571. Para CL = 90% (erro 10% bilateral), o valor é 2,015. Verificar na tabela t: df = 5, CL = 90% → $t^\star \approx 2{,}015$ .
Ex. 110.19Compreensão
Três curvas simétricas e unimodais são apresentadas: a normal padrão ( $z$ ), a distribuição $t$ com 5 graus de liberdade e a $t$ com 1 grau de liberdade. Qual delas tem as caudas mais pesadas? Justifique em termos da incerteza associada ao tamanho amostral.
Selecione a alternativa correta
A distribuição t com 1 grau de liberdade tem as caudas mais pesadas das três curvas apresentadasA distribuição t com 5 graus de liberdade tem as caudas mais pesadas que a normal padrão e a t com 1 glA normal padrão tem caudas mais pesadas que ambas as distribuições tAs três distribuições têm o mesmo formato pois todas são simétricas e unimodais
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.2
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A distribuição t com 1 grau de liberdade (distribuição de Cauchy) tem as caudas mais pesadas das três. Conforme os graus de liberdade aumentam, a t se aproxima da normal padrão. Com 5 gl, a t tem caudas mais pesadas que a normal, mas mais leves que a t com 1 gl. Isso reflete maior incerteza com amostras menores.
Ex. 110.20Aplicação
Uma amostra aleatória de uma população aproximadamente normal com desvio-padrão desconhecido apresentou $n = 11$ e estatística de teste $T = 1{,}91$ . Determine o p-valor aproximado e verifique se $H_0$ seria rejeitada ao nível $\alpha = 0{,}05$ .
Selecione a alternativa correta
$n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}085 > 0{,}05$ ; não se rejeita $H_0$ $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : p-valor $\approx 0{,}040 < 0{,}05$ ; rejeita-se $H_0$ $n = 17$ , $T = -3{,}45$ : p-valor $\approx 0{,}050$ ; não se rejeita $H_0$ $n = 7$ , $T = 0{,}83$ : p-valor $\approx 0{,}01$ ; rejeita-se $H_0$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.3
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Para $n = 11$ , $T = 1{,}91$ : $df = 10$ . O p-valor bilateral para $T = 1{,}91$ com 10 gl é aproximadamente 0,085, portanto maior que 0,05 — não se rejeita $H_0$ . Para $n = 17$ , $T = -3{,}45$ : $df = 16$ , p-valor bilateral $\approx 0{,}003 < 0{,}05$ — rejeita-se $H_0$ .
Ex. 110.21Aplicação
Um IC 95% para a média populacional $\mu$ é dado como $(18{,}985;\;21{,}015)$ , baseado em uma amostra aleatória simples de $n = 36$ observações. Use a distribuição $t$ para calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral.
Selecione a alternativa correta
Média amostral $\bar x = 20{,}0$ ; desvio-padrão amostral $s \approx 2{,}15$ Média amostral $\bar x = 20{,}0$ ; desvio-padrão amostral $s \approx 3{,}00$ Média amostral $\bar x = 18{,}985$ ; desvio-padrão amostral $s \approx 6{,}45$ Média amostral $\bar x = 20{,}0$ ; desvio-padrão amostral $s \approx 1{,}28$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.5
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IC 95% com $n = 36$ : $\bar x = (18{,}985 + 21{,}015)/2 = 20{,}0$ . Margem de erro: $E = (21{,}015 - 20{,}0) = 1{,}015$ . Com $df = 35$ , $t^\star_{35;\,0{,}025} \approx 2{,}030$ . Então $s/\sqrt{36} = E/t^\star = 1{,}015/2{,}030 \approx 0{,}500$ , logo $s \approx 0{,}500 \times 6 = 3{,}00$ . (Resp: $\bar x = 20{,}0$ , $s \approx 3{,}00$ )
Ex. 110.22Aplicação
Um IC 90% para a média populacional é $(65;\;77)$ . A distribuição populacional é aproximadamente normal com desvio-padrão desconhecido. O IC é baseado em $n = 25$ observações. Calcule a média amostral, a margem de erro e o desvio-padrão amostral.
Selecione a alternativa correta
Média amostral $= 71$ ; margem de erro $= 6$ ; desvio-padrão amostral $\approx 15{,}7$ Média amostral $= 71$ ; margem de erro $= 12$ ; desvio-padrão amostral $\approx 31{,}4$ Média amostral $= 70$ ; margem de erro $= 7$ ; desvio-padrão amostral $\approx 18{,}2$ Média amostral $= 65$ ; margem de erro $= 6$ ; desvio-padrão amostral $\approx 20{,}0$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.6
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IC 90% com $n = 25$ : $\bar x = (65 + 77)/2 = 71$ . Margem de erro: $E = (77 - 65)/2 = 6$ . Com $df = 24$ , $t^\star_{24;\,0{,}05} \approx 1{,}711$ . $s/\sqrt{25} = 6/1{,}711 \approx 3{,}506$ , então $s \approx 3{,}506 \times 5 \approx 17{,}5$ . (Resp: média = 71, margem = 6, s ≈ 17,5)
Ex. 110.23ModelagemGabarito
Uma amostra aleatória de 25 nova-iorquinos respondeu sobre quanto dormem por noite. Resumo estatístico: $\bar x = 7{,}73$ horas, $s = 0{,}77$ h. A estimativa pontual sugere que nova-iorquinos dormem menos de 8 horas em média. O resultado é estatisticamente significativo ao nível 5%?
Selecione a alternativa correta
Sim, há evidência de que nova-iorquinos dormem em média menos de 8 horas; $T = -1{,}75$ , p-valor $\approx 0{,}046$ Não há evidência suficiente; $T = -1{,}75$ , p-valor $\approx 0{,}093$ Sim, há evidência; $T = -3{,}50$ , p-valor $< 0{,}001$ Não há evidência; o resultado depende do nível de significância escolhido após ver os dados
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.7
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Seja $\bar x = 7{,}73$ h, $s = 0{,}77$ h, $n = 25$ . Teste unilateral à esquerda: $H_0: \mu = 8$ , $H_1: \mu < 8$ . $T = (7{,}73 - 8)/(0{,}77/\sqrt{25}) = -0{,}27/0{,}154 \approx -1{,}75$ . Com $df = 24$ , p-valor unilateral $\approx 0{,}046 < 0{,}05$ . Rejeita-se $H_0$ ao nível 5%.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. $H_0: \mu = 8$ horas; $H_1: \mu < 8$ horas (unilateral à esquerda).
2. $T = (\bar x - \mu_0)/(s/\sqrt{n}) = (7{,}73 - 8)/(0{,}77/5) \approx -1{,}75$ .
3. $df = 24$ ; p-valor unilateral à esquerda $\approx 0{,}046$ .
4. Como $0{,}046 < 0{,}05$ , rejeita-se $H_0$ .
Construa também o IC 95% para verificar consistência com o teste.
Ex. 110.24Modelagem
Pesquisadores estudando antropometria coletaram medidas corporais de 507 indivíduos fisicamente ativos. A altura média amostral foi 171,1 cm, com desvio-padrão amostral de 9,4 cm. Calcule um IC 90% para a altura média de indivíduos ativos.
Selecione a alternativa correta
A média amostral é 171,1 cm; o IC 90% é aproximadamente (170,2 cm; 172,0 cm)A média amostral é 171,1 cm; o IC 95% é aproximadamente (170,2 cm; 172,0 cm)A média amostral é 171,1 cm; o IC 90% é aproximadamente (168,5 cm; 173,7 cm)A média amostral é 171,1 cm; o IC 90% é exatamente (171,0 cm; 171,2 cm)
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.8
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Com 507 indivíduos, $df = 506$ (usa-se $z^\star \approx 1{,}645$ para IC 90% com n grande). Média pontual: $\bar x = 171{,}1$ cm. Erro-padrão: $s/\sqrt{n} \approx 9{,}4/\sqrt{507} \approx 0{,}417$ cm. Margem 90%: $1{,}645 \times 0{,}417 \approx 0{,}686$ cm. IC 90%: $(170{,}4\;; 171{,}8)$ cm, aproximadamente (170,2; 172,0).
Ex. 110.25Aplicação
Dadas as hipóteses $H_0: \mu = 60$ e $H_1: \mu \neq 60$ , com desvio-padrão amostral $s = 8$ e tamanho amostral $n = 20$ : para qual valor de $\bar x$ o p-valor seria igual a 0,05? Todas as condições necessárias estão satisfeitas.
Selecione a alternativa correta
$\bar x \approx 63{,}1$ ou $\bar x \approx 56{,}9$ ; esses são os valores que produziriam p-valor = 0,05 no teste bilateral $\bar x = 60$ e $\bar x = 55$ seriam os valores com p-valor = 0,05 $\bar x \approx 61{,}5$ ou $\bar x \approx 58{,}5$ $\bar x = 63$ exatamente, pelo cálculo da distribuição t
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.9
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$H_0: \mu = 60$ , $H_1: \mu \neq 60$ . $s = 8$ , $n = 20$ , $df = 19$ . Para p-valor bilateral de 0,05, precisamos $|T| = t^\star_{19;\,0{,}025} \approx 2{,}093$ . $|\bar x - 60|/(8/\sqrt{20}) = 2{,}093$ . $|\bar x - 60| = 2{,}093 \times 1{,}789 \approx 3{,}74$ . Então $\bar x \approx 63{,}74$ ou $\bar x \approx 56{,}26$ .
Ex. 110.26Compreensão
Para um dado nível de confiança, $t^\star_{df}$ é maior que $z^\star$ . Explique como essa diferença afeta a largura do IC construído com a distribuição $t$ em comparação com o IC construído com a distribuição normal.
Selecione a alternativa correta
$t^\star_{df} > z^\star$ para qualquer grau de liberdade finito; o IC com $t$ é mais largo, refletindo maior incerteza com $\sigma$ desconhecido $t^\star_{df} < z^\star$ ; o IC com $t$ é mais estreito e portanto mais preciso $t^\star_{df} = z^\star$ para todo $df \geq 30$ $t^\star_{df} > z^\star$ torna o IC mais estreito pois aumenta a precisão
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.10
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Como $t^\star_{df} > z^\star$ , a margem de erro $t^\star \cdot (s/\sqrt{n})$ é maior que $z^\star \cdot (\sigma/\sqrt{n})$ . Isso resulta em um IC mais largo quando se usa a distribuição t em vez da normal. A razão: com $\sigma$ desconhecido, há incerteza adicional sobre a dispersão populacional, que o t captura com caudas mais pesadas. À medida que $df \to \infty$ , $t^\star_{df} \to z^\star$ .
Ex. 110.27Modelagem
Georgianna afirma que, em uma cidade famosa por sua escola de música, a criança média faz menos de 5 anos de aulas de piano. Uma amostra aleatória de 20 crianças da cidade tem média de 4,6 anos de aulas e desvio-padrão de 2,2 anos. Teste a alegação de Georgianna ao nível 5%.
Selecione a alternativa correta
Não se rejeita $H_0$ ; $T \approx -0{,}81$ , p-valor $\approx 0{,}21 > 0{,}05$ ; não há evidência de que a média é menor que 5 anosRejeita-se $H_0$ ; $T \approx -0{,}81$ , p-valor $\approx 0{,}21 < 0{,}05$ ; há evidência da alegaçãoRejeita-se $H_0$ ; $T \approx -1{,}62$ , p-valor $\approx 0{,}06 < 0{,}10$ Não se rejeita $H_0$ ; $T \approx -1{,}62$ , p-valor $\approx 0{,}06 > 0{,}05$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.11
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Teste unilateral à esquerda: $H_0: \mu = 5$ , $H_1: \mu < 5$ . $T = (4{,}6 - 5)/(2{,}2/\sqrt{20}) = -0{,}4/0{,}492 \approx -0{,}813$ . Com $df = 19$ , p-valor unilateral $\approx 0{,}21 > 0{,}05$ . Não se rejeita $H_0$ . O IC 95% unilateral superior: $4{,}6 + t_{0{,}05;\,19} \times 0{,}492 \approx 4{,}6 + 0{,}862 = 5{,}46$ anos — o valor 5 está dentro.
Ex. 110.28Modelagem
Pesquisadores mediram a concentração de chumbo no sangue de 52 policiais que trabalham em controle de tráfego urbano. Média amostral: 124,32 $\mu$ g/L; desvio-padrão: 37,74 $\mu$ g/L. Um estudo anterior com indivíduos sem exposição registrou média de 35 $\mu$ g/L. Há evidência de que a exposição ao escapamento eleva a concentração de chumbo?
Selecione a alternativa correta
Rejeita-se $H_0: \mu = 35$ ; a concentração média real de chumbo no sangue dos policiais é significativamente diferente de 35 $\mu$ g/LNão se rejeita $H_0: \mu = 35$ ; não há evidência suficienteRejeita-se $H_0: \mu = 35$ apenas ao nível 10%, não ao nível 5%O teste não é válido pois $n = 52$ é pequeno demais
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.12
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$\bar x = 124{,}32$ , $s = 37{,}74$ , $n = 52$ , $\mu_0 = 35$ . $T = (124{,}32 - 35)/(37{,}74/\sqrt{52}) = 89{,}32/5{,}233 \approx 17{,}07$ . Com $df = 51$ , esse valor T é extremamente grande — o p-valor é praticamente zero. Rejeita-se $H_0$ com fortíssima evidência de que os policiais têm concentração de chumbo bem acima de 35 $\mu$ g/L.
Ex. 110.29AplicaçãoGabarito
Um pesquisador de mercado quer estimar economias em seguro de carro para uma empresa concorrente. Com base em estudos anteriores, assume desvio-padrão de R$ 100. Ele quer uma margem de erro de no máximo R$ 10 com 95% de confiança. Qual é o tamanho mínimo de amostra?
Selecione a alternativa correta
$n \geq 385$ $n \geq 97$ $n \geq 1.537$ $n \geq 245$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.13
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Com $\sigma = 100$ , margem máxima $E = 10$ , IC 95% ( $z_{0{,}025} = 1{,}96$ ): $n \geq (z_{0{,}025} \cdot \sigma/E)^2 = (1{,}96 \times 100/10)^2 = (19{,}6)^2 = 384{,}16$ . Arredondando para cima: $n \geq 385$ . (Resp: n ≥ 385)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Fórmula: $n \geq (z_{\alpha/2} \cdot \sigma/E)^2$ .
2. Dados: $\sigma = 100$ , $E = 10$ , $z_{0{,}025} = 1{,}96$ .
3. $n \geq (1{,}96 \times 10)^2 = (19{,}6)^2 = 384{,}16$ .
4. Arredonda para cima: $n = 385$ .
Regra geral: para reduzir a margem à metade, quadruplica-se n.
Ex. 110.30AplicaçãoGabarito
O desvio-padrão das notas do SAT em determinada faculdade é 250 pontos. Dois estudantes querem estimar a nota média com margem de erro máxima de 25 pontos. Raina quer usar IC 90% e Luke quer IC 95%. Qual tamanho amostral mínimo cada um precisa?
Selecione a alternativa correta
Raina: $n \geq 271$ ; Luke: $n \geq 385$ ; Luke precisaria de amostra maior por usar nível de confiança maiorRaina: $n \geq 385$ ; Luke: $n \geq 271$ Raina: $n \geq 271$ ; Luke: $n \geq 271$ ; o nível de confiança não afeta o tamanho amostralRaina: $n \geq 542$ ; Luke: $n \geq 1.083$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §7.1 · ex. 7.14
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Raina (IC 90%, $z_{0{,}05} = 1{,}645$ ): $n \geq (1{,}645 \times 250/25)^2 = (16{,}45)^2 = 270{,}6$ → $n = 271$ . Luke (IC 95%, $z_{0{,}025} = 1{,}96$ ): $n \geq (1{,}96 \times 250/25)^2 = (19{,}6)^2 = 384{,}2$ → $n = 385$ . Maior confiança exige maior amostra.
Ex. 110.31Aplicação
Considere uma regressão que prediz o peso (kg) a partir da altura (cm) de homens adultos. Quais são as unidades do coeficiente de correlação, do intercepto e da inclinação?
Selecione a alternativa correta
Coeficiente de correlação: adimensional; intercepto: kg; inclinação: kg/cmCoeficiente de correlação: kg/cm; intercepto: adimensional; inclinação: kgTodos os três são adimensionaisCoeficiente de correlação: adimensional; intercepto: cm; inclinação: cm/kg
Selecione uma opção primeiro
Resolver online OpenIntro Statistics · §8.17 · ex. 8.17
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O coeficiente de correlação de Pearson $r$ é sempre adimensional (varia entre -1 e 1). O intercepto $\hat\beta_0$ tem as unidades da variável resposta (kg). A inclinação $\hat\beta_1$ tem unidades de Y por unidade de X (kg/cm): para cada centímetro adicional de altura, o peso previsto muda em $\hat\beta_1$ kg.
Ex. 110.32Compreensão
Para uma reta de regressão, a incerteza associada ao estimador da inclinação $\hat\beta_1$ é maior quando: (I) há muita dispersão ao redor da reta ou (II) há pouca dispersão ao redor da reta? Explique.
Selecione a alternativa correta
A incerteza associada à inclinação é maior quando há muita dispersão ao redor da reta (cenário I)A incerteza é maior quando há pouca dispersão ao redor da reta (cenário II)A incerteza é igual nos dois cenáriosA incerteza associada à inclinação depende apenas do tamanho amostral, não da dispersão
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.18 · ex. 8.18
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Quando há muita dispersão ao redor da reta de regressão (resíduos grandes), o erro-padrão de $\hat\beta_1$ é maior, pois a mesma inclinação poderia ter sido produzida por linhas bem diferentes. Com pouca dispersão (resíduos pequenos), os dados apontam mais claramente para uma inclinação específica, reduzindo a incerteza. Matematicamente: $SE(\hat\beta_1) = s_e / \sqrt{S_{xx}}$ , onde $s_e$ cresce com a dispersão dos resíduos.
Ex. 110.33AplicaçãoGabarito
Ajustamos uma reta de regressão para prever a vida útil (em dias) de uma maçã com base no seu peso. Para uma maçã específica, prevemos 4,6 dias. O resíduo dessa maçã é $-0{,}6$ dias. Superestimamos ou subestimamos a vida útil? Explique.
Selecione a alternativa correta
Subestimamos a vida útil; o resíduo é negativo ( $e = -0{,}6$ dias)Superestimamos a vida útil; o resíduo é positivo ( $e = +0{,}6$ dias)O resíduo é nulo; a predição foi exataSubestimamos a vida útil; o resíduo é positivo ( $e = +0{,}6$ dias)
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.19 · ex. 8.19
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Resíduo: $e = Y_{obs} - \hat Y = Y_{obs} - 4{,}6$ . O enunciado diz que o resíduo é $-0{,}6$ dias, ou seja, $Y_{obs} = 4{,}0$ dias. Como $e < 0$ , o valor observado está abaixo do previsto — superestimamos a vida útil. A maçã durou menos do que o modelo previa.
Ex. 110.34Aplicação
Uma reta de regressão prediz a incidência de câncer de pele (por 1.000 pessoas) a partir do número de dias ensolarados no ano. Para determinado ano, prevemos 1,5 incidentes por mil pessoas e o resíduo é $+0{,}5$ . Superestimamos ou subestimamos a incidência? Explique.
Selecione a alternativa correta
Subestimamos a incidência de câncer de pele; o resíduo é positivo ( $e = +0{,}5$ )Superestimamos a incidência; o resíduo é negativo ( $e = -0{,}5$ )A predição foi exata; o resíduo é zeroSubestimamos; o resíduo é negativo ( $e = -0{,}5$ )
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.20 · ex. 8.20
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Resíduo: $e = Y_{obs} - \hat Y$ . Com $\hat Y = 1{,}5$ e $e = +0{,}5$ , o valor observado é $Y_{obs} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2{,}0$ . Como $e > 0$ , o valor observado está acima do previsto — subestimamos a incidência de câncer de pele. O modelo previu 1,5 por mil mas o real foi 2,0 por mil.
Ex. 110.35Modelagem
A Associação de Agências de Turismo da Turquia reportou o número de turistas estrangeiros e os gastos turísticos por ano. Três gráficos são fornecidos: diagrama de dispersão com reta ajustada, gráfico de resíduos e histograma de resíduos. O que cada gráfico revela sobre a adequação do modelo de regressão linear?
Selecione a alternativa correta
Relação positiva e linear; resíduos sem padrão sistemático sugerem que a reta é adequadaRelação negativa entre número de turistas e gastosNão há relação linear; os dados formam uma curva parabólicaA relação existe mas os resíduos mostram forte heterocedasticidade, tornando a regressão inválida
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.21 · ex. 8.21
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Um diagrama de dispersão com ajuste de mínimos quadrados, gráfico de resíduos e histograma dos resíduos são as três ferramentas padrão de diagnóstico de regressão. Se o diagrama mostra tendência positiva e o gráfico de resíduos não apresenta padrão sistemático (resíduos aleatórios ao redor de zero), a reta de regressão é adequada. O histograma dos resíduos aproximadamente simétrico sugere normalidade dos erros.
Ex. 110.36Modelagem
O diagrama de dispersão abaixo mostra a relação entre calorias e carboidratos (g) de itens do cardápio do Starbucks. Descreva a relação entre as variáveis e o que seria necessário para ajustar a reta de mínimos quadrados para prever os carboidratos a partir das calorias.
Selecione a alternativa correta
Há relação positiva entre calorias e carboidratos; calcular a reta de mínimos quadrados requer os valores de $S_{xy}$ e $S_{xx}$ Há relação negativa; itens com mais calorias têm menos carboidratosNão há relação; as calorias não ajudam a prever os carboidratosA reta de regressão não pode ser ajustada pois a distribuição dos resíduos é assimétrica
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.22 · ex. 8.22
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O diagrama de dispersão entre calorias e carboidratos (g) no cardápio do Starbucks permite verificar a direção e a força da relação. Espera-se relação positiva (mais calorias geralmente implica mais carboidratos). A reta de mínimos quadrados $\hat Y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X$ minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. Verificar as condições (linearidade, resíduos sem padrão, variância aproximadamente constante, normalidade dos resíduos) é o próximo passo.
Ex. 110.37Aplicação
O trem Amtrak Coast Starlight vai de Seattle a Los Angeles. O tempo médio entre paradas é 129 minutos (DP = 113 min); a distância média entre paradas é 108 milhas (DP = 99 milhas); a correlação entre tempo de viagem e distância é $r = 0{,}636$ . Escreva a equação da reta de regressão para prever o tempo a partir da distância.
Selecione a alternativa correta
$\hat\beta_1 \approx 0{,}726$ min/milha; a reta de regressão tem inclinação positiva e $R^2 \approx 0{,}636$ $\hat\beta_1 \approx 1{,}141$ min/milha; a reta tem inclinação positiva e $R^2 \approx 0{,}636$ $\hat\beta_1 \approx 0{,}726$ min/milha; $R^2 \approx 0{,}798$ $\hat\beta_1 \approx 0{,}500$ min/milha; $R^2 \approx 0{,}400$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.23 · ex. 8.23
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Dados: $\bar x = 108$ milhas, $s_x = 99$ milhas, $\bar y = 129$ min, $s_y = 113$ min, $r = 0{,}636$ . Inclinação: $\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x = 0{,}636 \times 113/99 = 0{,}636 \times 1{,}141 \approx 0{,}726$ min/milha. $R^2 = r^2 = 0{,}636^2 \approx 0{,}404$ . Intercepto: $\hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1 \bar x = 129 - 0{,}726 \times 108 \approx 50{,}6$ min.
Ex. 110.38AplicaçãoGabarito
Dados de medidas corporais: perímetro do ombro médio 107,20 cm (DP = 10,37 cm); altura média 171,14 cm (DP = 9,41 cm); correlação entre altura e perímetro do ombro: $r = 0{,}67$ . Escreva a equação da reta de regressão para predizer a altura a partir do perímetro do ombro.
Selecione a alternativa correta
$\hat Y = -105{,}01 + 2{,}608\,X$ ; a reta prediz altura a partir do perímetro do ombro $\hat Y = 105{,}01 + 2{,}608\,X$ $\hat Y = -105{,}01 + 0{,}608\,X$ $\hat Y = 171{,}14 + 0{,}608\,X$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.24 · ex. 8.24
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Dados: $\bar x = 107{,}20$ cm, $s_x = 10{,}37$ cm, $\bar y = 171{,}14$ cm, $s_y = 9{,}41$ cm, $r = 0{,}67$ . Inclinação: $\hat\beta_1 = r \cdot s_y/s_x = 0{,}67 \times 9{,}41/10{,}37 \approx 0{,}608$ . Intercepto: $\hat\beta_0 = 171{,}14 - 0{,}608 \times 107{,}20 \approx 171{,}14 - 65{,}18 \approx 105{,}96$ . Modelo: $\hat Y \approx 105{,}96 + 0{,}608\,X$ .
Ex. 110.39ModelagemGabarito
A saída de regressão abaixo prediz o número anual de assassinatos por milhão de habitantes a partir do percentual de população em situação de pobreza, em uma amostra aleatória de 20 áreas metropolitanas. Coeficientes estimados: intercepto = $-29{,}901$ , inclinação = $2{,}559$ ; $s = 5{,}512$ , $R^2 = 70{,}52\%$ . Escreva o modelo linear, interprete o intercepto, a inclinação e o $R^2$ , e calcule o coeficiente de correlação.
Selecione a alternativa correta
$\hat Y = -29{,}901 + 2{,}559\,X$ ; cada ponto percentual a mais de pobreza está associado a 2,56 assassinatos a mais por milhão $\hat Y = 29{,}901 + 2{,}559\,X$ ; a pobreza está negativamente associada aos homicídios $\hat Y = -29{,}901 + 5{,}512\,X$ ; o coeficiente é o desvio-padrão residual $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}559\,X$ ; $R^2 = 8{,}40\%$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.25 · ex. 8.25
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A saída de regressão fornece: $\hat\beta_0 = -29{,}901$ e $\hat\beta_1 = 2{,}559$ . Modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}559\,X$ . Interpretação da inclinação: cada ponto percentual a mais de população em pobreza está associado, em média, a 2,56 assassinatos anuais a mais por milhão de habitantes. O intercepto (−29,9) é uma extrapolação — 0% de pobreza está fora do intervalo dos dados. $R^2 = 70{,}52\%$ : 70,5% da variação nos homicídios é explicada pela pobreza.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Leia os coeficientes da saída: intercepto $= -29{,}901$ , inclinação $= 2{,}559$ .
2. Escreva o modelo: $\hat Y = -29{,}901 + 2{,}559\,X$ .
3. Interprete a inclinação no contexto: +1 p.p. de pobreza → +2,56 assassinatos/milhão.
4. $R^2 = 70{,}52\%$ ; coeficiente de correlação: $r = \sqrt{0{,}7052} \approx 0{,}840$ .
Atenção: correlação não é causalidade — pobreza e homicídios podem ter causas comuns.
Ex. 110.40Desafio
A saída de regressão abaixo prediz o peso do coração (em g) de gatos domésticos a partir do peso corporal (em kg), usando um banco de dados de 144 gatos. Coeficientes estimados: intercepto = $-0{,}357$ , inclinação = $4{,}034$ ; $s = 1{,}452$ , $R^2 = 64{,}66\%$ . Escreva o modelo linear, interprete o intercepto e a inclinação, interprete o $R^2$ e calcule o coeficiente de correlação $r$ .
Selecione a alternativa correta
Intercepto: sem interpretação prática (gatos com peso 0 kg); inclinação: cada kg a mais no peso do corpo está associado a 4,034 g a mais no peso do coração; $r \approx 0{,}804$ Intercepto: o coração de um gato médio pesa $-0{,}357$ g; inclinação: 4,034 g/kg; $r \approx 0{,}646$ Intercepto: $-0{,}357$ g — sem interpretação prática; inclinação: 4,034 g/kg; $r \approx 0{,}646$ Intercepto: 4,034 g; inclinação: $-0{,}357$ g/kg; $r \approx 0{,}804$
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Resolver online OpenIntro Statistics · §8.26 · ex. 8.26
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Coeficientes: intercepto $= -0{,}357$ g (sem interpretação prática — peso corporal 0 kg não existe), inclinação $= 4{,}034$ g/kg (cada kg a mais no peso corporal está associado a 4,034 g a mais no peso do coração). $R^2 = 64{,}66\%$ : 64,7% da variação no peso do coração é explicada pelo peso corporal. Coeficiente de correlação: $r = \sqrt{R^2} = \sqrt{0{,}6466} \approx 0{,}804$ . (Sinal positivo pois a inclinação é positiva.)
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Modelo: $\hat Y = -0{,}357 + 4{,}034\,X$ (peso do coração em g, peso corporal em kg).
2. Intercepto ( $-0{,}357$ g): extrapolação para peso = 0 — sem sentido prático.
3. Inclinação ( $4{,}034$ g/kg): associação linear positiva.
4. $r = \sqrt{0{,}6466} \approx 0{,}804$ ; positivo porque inclinação positiva.
Com $n = 144$ gatos, o modelo é bem estimado; verificar resíduos seria o próximo passo.

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA · Base para IC, testes z/t, ANOVA, regressão e qui-quadrado (§5–8).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY · Cobertura sistemática de IC (§8), testes de hipótese (§9), duas amostras (§10), qui-quadrado e ANOVA (§11), regressão linear (§12–13).
Statistical Thinking for the 21st Century — Poldrack · CC-BY-NC · Abordagem moderna de inferência bayesiana (Ch. 15), valor preditivo positivo e interpretação de p-valores.
Introduction to Probability — Grinstead e Snell · GNU FDL · Propriedades de variância e demonstrações de estimadores (§9.3).