v1 · padrão canônico

Lição 111 — Espaços vetoriais: axiomas, subespaços, base, dimensão

Definição abstrata via 8 axiomas. Subespaços, combinação linear, base, dimensão. O salto da geometria de setas para a estrutura algébrica que sustenta toda a álgebra linear moderna.

Usado em: Leistungskurs Algebra Linear (Klasse 12 alemã) · H2 Mathematics — Singapura · Math III japonês (vetores e espaços)

\dim V = n \iff V \cong K^n

Um espaço vetorial $V$ sobre o corpo $K$ é um conjunto fechado para soma e multiplicação por escalar, satisfazendo 8 axiomas. A dimensão $\dim V$ é o número de vetores em qualquer base, e determina $V$ a menos de isomorfismo: todo $K$ -espaço de dimensão $n$ é estruturalmente idêntico a $K^n$ .

Livros que cobrem esta lição

A First Course in Linear Algebra — Robert Beezer · §VS (Vector Spaces), §S (Subspaces), §LI (Linear Independence), §B (Bases), §D (Dimension) · GNU FDL · Definições e teoremas com demonstrações detalhadas; exercícios numerados usados nesta lição.
Linear Algebra — Jim Hefferon · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III · CC-BY-SA · Abordagem axiomática rigorosa com exemplos de espaços de polinômios e matrizes; todos os exercícios sourced nesta lição vêm do cap. 2.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · Capítulo 1 (Vector Spaces), Capítulo 2 (Finite-Dimensional Vector Spaces) · CC-BY-NC · Exposição elegante sem determinantes-first; blockquotes da porta formal extraídos daqui; exercícios de demonstração sourced do cap. 2.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definição axiomática

Os 8 axiomas de espaço vetorial

Definição· K-espaço vetorial

Seja $K$ um corpo (tipicamente $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Um $K$ -espaço vetorial é um conjunto não-vazio $V$ equipado com duas operações:

adição: $+ : V \times V \to V$
multiplicação por escalar: $\cdot : K \times V \to V$

satisfazendo, para todos $u, v, w \in V$ e $a, b \in K$ :

#	Axioma	Fórmula
1	Associatividade	$(u + v) + w = u + (v + w)$
2	Comutatividade	$u + v = v + u$
3	Neutro aditivo	$\exists\, \mathbf{0} \in V : v + \mathbf{0} = v$
4	Oposto	$\exists\, (-v) \in V : v + (-v) = \mathbf{0}$
5	Distributividade vetorial	$a(u + v) = au + av$
6	Distributividade escalar	$(a + b)v = av + bv$
7	Compatibilidade	$a(bv) = (ab)v$
8	Identidade escalar	$1 \cdot v = v$

"We will use the term field to refer to either $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ . Elements of a field are called scalars. A vector space is a set $V$ along with an addition on $V$ and a scalar multiplication on $V$ such that the following properties hold..." — Axler — Linear Algebra Done Right, §1A

"A subset $W$ of $V$ is called a subspace of $V$ if $W$ is a vector space under the addition and scalar multiplication defined on $V$ ." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS

Definição· Combinação linear, span, independência linear, base

Dado $S = \{v_1, \ldots, v_k\} \subseteq V$ :

Combinação linear: $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k$ com $c_i \in K$ .
Span (espaço gerado): $\text{span}(S) = \{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i \in K\}$ — o menor subespaço contendo $S$ .
Linearmente independente (LI): $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0} \Rightarrow c_1 = \cdots = c_k = 0$ .
Base: $\mathcal{B} \subseteq V$ que é LI e $\text{span}(\mathcal{B}) = V$ .
Dimensão: $\dim V = |\mathcal{B}|$ — bem-definido pelo teorema abaixo.

SVG — Hierarquia dos conceitos

Hierarquia: corpo fornece escalares; V satisfaz 8 axiomas; base tem dim V elementos; classificação dá V ≅ Kⁿ.

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Verificação dos 8 axiomas para polinômios (aplicação)

Problema: Mostre que $\mathcal{P}_2 = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 : a_i \in \mathbb{R}\}$ com soma usual de polinômios e multiplicação por escalar real é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ .

Estratégia: Verificar os 8 axiomas diretamente para polinômios genéricos. A maioria herda das propriedades dos reais (corpo).

Resolução:

Tome $p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ e $q = b_0 + b_1 x + b_2 x^2$ em $\mathcal{P}_2$ , e $c, d \in \mathbb{R}$ .

Fechamento: $p + q = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 \in \mathcal{P}_2$ . $cp = ca_0 + ca_1 x + ca_2 x^2 \in \mathcal{P}_2$ .

Axioma 1 (assoc.): $(p+q)+r = p+(q+r)$ — coeficientes são reais, associatividade herdada.

Axioma 2 (comut.): $p+q = q+p$ — coeficientes são reais, comutatividade herdada.

Axioma 3 (neutro): $\mathbf{0} = 0 + 0x + 0x^2$ . Claramente $p + \mathbf{0} = p$ .

Axioma 4 (oposto): $-p = -a_0 - a_1 x - a_2 x^2 \in \mathcal{P}_2$ e $p + (-p) = \mathbf{0}$ .

Axioma 5: $c(p+q) = c(a_0+b_0) + \ldots = cp + cq$ . Distributividade dos reais.

Axioma 6: $(c+d)p = (c+d)a_0 + \ldots = cp + dp$ . Idem.

Axioma 7: $c(dp) = c(da_i x^i) = (cd)a_i x^i$ . Associatividade da multiplicação real.

Axioma 8: $1 \cdot p = 1 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 x + 1 \cdot a_2 x^2 = p$ .

Todos os 8 axiomas verificados. Logo $\mathcal{P}_2$ é $\mathbb{R}$ -espaço vetorial.

Verificação: A base canônica $\{1, x, x^2\}$ é LI (nenhum é combinação linear dos outros) e gera $\mathcal{P}_2$ . Logo $\dim \mathcal{P}_2 = 3$ , consistente com 3 coeficientes livres.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS Exemplo VS.EXS — GNU FDL.

Exemplo— 2· Verificar subespaço: matrizes simétricas (intermediario)

Problema: Mostre que $W = \{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2} : A^T = A\}$ (matrizes $2\times2$ simétricas) é subespaço de $\mathcal{M}_{2\times2}$ .

Estratégia: Verificar os 3 critérios de subespaço: zero, fechamento por soma e por escalar.

Resolução:

Zero: A matriz nula satisfaz $\mathbf{0}^T = \mathbf{0}$ , logo $\mathbf{0} \in W$ .

Fechamento por soma: Sejam $A, B \in W$ , ou seja $A^T = A$ e $B^T = B$ . Então: $(A + B)^T = A^T + B^T = A + B.$ Logo $A + B \in W$ .

Fechamento por escalar: Seja $c \in \mathbb{R}$ e $A \in W$ . Então: $(cA)^T = c A^T = c A.$ Logo $cA \in W$ .

Os 3 critérios verificados: $W$ é subespaço.

Verificação: Uma base de $W$ é $\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}$ — três matrizes LI, logo $\dim W = 3$ . Faz sentido: simetria impõe $a_{12} = a_{21}$ , deixando 3 entradas livres ( $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ ).

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, Capítulo 2 §2.I Exercício 2.I.1.17 — CC-BY-SA.

Exemplo— 3· Encontrar base e dimensao de um span (intermediario)

Problema: Encontre uma base e a dimensão do subespaço $W = \text{span}\{v_1, v_2, v_3\}$ onde $v_1 = (1, 2, 3)$ , $v_2 = (2, 4, 6)$ , $v_3 = (1, 0, 1)$ .

Estratégia: Montar a matriz com os vetores como linhas e escalonar. Linhas não-nulas da forma escalonada formam uma base do span.

Resolução:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_2 - 2L_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 - L_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{trocar } L_2, L_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Duas linhas não-nulas. Uma base de $W$ :

$\mathcal{B} = \{(1, 2, 3),\ (0, -2, -2)\} \quad \text{ou equivalentemente} \quad \{(1, 2, 3),\ (0, 1, 1)\}$

Logo $\dim W = 2$ .

Verificação: $v_2 = 2v_1$ (dependente — confirma que não contribui). $v_3 = v_1 - (0,2,2)/2 \cdot 1 + \ldots$ — pode ser escrito como combinação de $(1,2,3)$ e $(0,1,1)$ . O span é um plano em $\mathbb{R}^3$ .

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LI Exemplo LI.LIHS — GNU FDL.

Exemplo— 4· Coordenadas numa base não canonica (avancado)

Problema: Seja $\mathcal{B} = \{b_1, b_2\} = \{(1, 1), (1, -1)\}$ uma base de $\mathbb{R}^2$ . Encontre as coordenadas do vetor $v = (5, 1)$ nesta base.

Estratégia: Resolver o sistema $c_1 b_1 + c_2 b_2 = v$ para os escalares $c_1, c_2$ — as coordenadas de $v$ na base $\mathcal{B}$ .

Resolução:

c_1 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}

Sistema:

\begin{cases} c_1 + c_2 = 5 \\ c_1 - c_2 = 1 \end{cases}

Somando: $2c_1 = 6 \Rightarrow c_1 = 3$ . Subtraindo: $2c_2 = 4 \Rightarrow c_2 = 2$ .

As coordenadas de $v$ na base $\mathcal{B}$ são $[v]_\mathcal{B} = (3, 2)$ .

Verificação: $3(1,1) + 2(1,-1) = (3,3) + (2,-2) = (5, 1)$ . Correto.

Nota: o vetor $v = (5,1)$ é o mesmo objeto geométrico; o que muda são suas representações numéricas dependendo da base escolhida. Mudança de base apenas muda as coordenadas, não o vetor.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right, §2B — CC-BY-NC.

Exemplo— 5· Demonstracao: 0 cdot v = 0 usando os axiomas (demonstracao)

Problema: Usando somente os 8 axiomas de espaço vetorial, demonstre que $0 \cdot v = \mathbf{0}$ para todo $v \in V$ (onde $0$ é o escalar zero e $\mathbf{0}$ é o vetor neutro).

Estratégia: O escalar $0$ não aparece diretamente nos axiomas. A estratégia é usar $0 = 0 + 0$ (propriedade dos escalares) e o axioma 6 (distributividade escalar), depois cancelar usando o oposto.

Resolução:

Seja $w = 0 \cdot v$ . Queremos mostrar $w = \mathbf{0}$ .

Passo 1. No corpo $K$ , temos $0 = 0 + 0$ (zero é neutro da adição em $K$ ).

Passo 2. Pelo axioma 6 (distributividade escalar): $0 \cdot v = (0 + 0) \cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v = w + w.$

Passo 3. Logo $w = w + w$ .

Passo 4. Adicionando $(-w)$ (oposto de $w$ , axioma 4) em ambos os lados: $w + (-w) = (w + w) + (-w) = w + (w + (-w)) \quad \text{(axioma 1)}$ $\mathbf{0} = w + \mathbf{0} \quad \text{(axioma 4 e 3)}$ $\mathbf{0} = w.$

Portanto $0 \cdot v = \mathbf{0}$ . $\blacksquare$

Verificação: O resultado é um teorema, não axioma — ele é consequência dos 8. A prova usa: $K$ é anel, axiomas 1 (associativ.), 3 (neutro), 4 (oposto), 6 (distrib. escalar). Nenhum axioma foi usado desnecessariamente.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right, §1A, Proposition 1.2 — CC-BY-NC.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 10Compreensão 12Desafio 2Demonstração 16

Fontes

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §VS, §S, §LC, §LI, §B, §D. Fonte primária dos exercícios.
Linear Algebra — Jim Hefferon · 2020 · EN · CC-BY-SA · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III. Fonte dos exemplos e exercícios do cap. 2.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024 · 4ª ed · EN · CC-BY-NC · Capítulos 1–2. Fonte das demonstrações e porta formal.