v1 · padrão canônico

Lição 113 — Núcleo e imagem

Núcleo (kernel), imagem (range), posto e nulidade. Teorema posto-nulidade. As duas estruturas associadas a toda transformação linear que respondem 'quem morre?' e 'até onde chega?'

Usado em: 3.º ano do EM avançado · Equiv. Lineare Algebra Leistungskurs alemão · Equiv. H2 Mathematics Singapura · Equiv. Linear Algebra MIT 18.06

\dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{Im}(T)

O teorema posto-nulidade (rank-nullity theorem) diz que a dimensão do domínio é exatamente a soma da dimensão do que "morre" com $T$ (o núcleo) e a dimensão do que é atingível (a imagem). É o resultado mais central da álgebra linear aplicada.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Definições e teorema central

Núcleo e imagem

"The null space of $T$ , denoted $\mathcal{N}(T)$ , is the set $\mathcal{N}(T) = \{v \in V : T(v) = 0\}$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §KER

"The range of $T$ , denoted $\mathcal{R}(T)$ , is the set $\mathcal{R}(T) = \{T(v) : v \in V\}$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §RNG

Os quatro subespaços fundamentais

Para $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ com posto $r$ :

Os quatro subespaços fundamentais de Strang. O posto r aparece em dois lugares; a nulidade n-r e m-r preenchem o complemento ortogonal.

Caracterizações de injetividade e sobrejetividade

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Nucleo e imagem de uma projecao (basico)

Problema. Seja $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ a projeção $T(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Determine $\ker T$ , $\operatorname{Im}(T)$ , posto e nulidade. Verifique o teorema posto-nulidade.

Estratégia. Resolver $T(x,y,z) = (0,0,0)$ para o núcleo. Descrever $\{T(v) : v \in \mathbb{R}^3\}$ para a imagem. Conferir dimensões.

Resolução.

$T(x,y,z) = (0,0,0) \iff (x,y,0) = (0,0,0) \iff x = 0$ e $y = 0$ . Logo $\ker T = \{(0, 0, z) : z \in \mathbb{R}\}$ — o eixo $z$ .

$\operatorname{Im}(T) = \{(x, y, 0) : x, y \in \mathbb{R}\}$ — o plano $xy$ .

$\dim \ker T = 1$ ; $\dim \operatorname{Im}(T) = 2$ .

Verificação posto-nulidade: $1 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ . ✓

Verificação. $T$ não é injetiva ( $\ker T \neq \{0\}$ ). $T$ não é sobrejetiva ( $\operatorname{Im}(T) \neq \mathbb{R}^3$ ). Geometricamente: $T$ "achata" a direção $z$ .

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §ILT, Exemplo ILT.STLT — GNU FDL.

Exemplo— 2· Nucleo e imagem via escalonamento (intermediario)

Problema. Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ , determine $\ker A$ , $\operatorname{Im}(A)$ , posto e nulidade.

Estratégia. Escalonar $[A \mid 0]$ para o núcleo. Usar colunas-pivô de $A$ original para a imagem.

Resolução.

Escalonando:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Pivô na coluna 1. Variáveis livres: $x_2$ e $x_3$ .

$x_1 = -2x_2 - 3x_3$ . Fazendo $(x_2, x_3) = (1,0)$ : $(-2, 1, 0)$ . Fazendo $(x_2, x_3) = (0,1)$ : $(-3, 0, 1)$ .

$\ker A = \operatorname{span}\{(-2, 1, 0), (-3, 0, 1)\}, \quad \dim = 2$

Coluna-pivô é a 1ª coluna de $A$ original: $\operatorname{Im}(A) = \operatorname{span}\{(1, 2)\}$ , $\dim = 1$ .

Posto-nulidade: $2 + 1 = 3$ . ✓

Verificação. $A \cdot (-2, 1, 0)^T = (-2 + 2, -4 + 4)^T = (0,0)^T$ . ✓

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §RNNM, Exemplo RNNM.NSEEF — GNU FDL.

Exemplo— 3· Injetividade, sobrejetividade e post-nulidade (intermediario)

Problema. Seja $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ com matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calcule posto e nulidade. $T$ é injetiva? Sobrejetiva?

Estratégia. Escalonar $A$ . Contar pivôs = posto. Nulidade = $4 - \operatorname{posto}$ .

Resolução.

A \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_1 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Dois pivôs: $\operatorname{posto}(A) = 2$ . Nulidade $= 4 - 2 = 2$ .

$T$ não é injetiva (nulidade $> 0$ ; $\ker T$ tem dim 2).

$T$ não é sobrejetiva (posto $= 2 < 3 = \dim \mathbb{R}^3$ ; $\operatorname{Im}(T)$ é plano em $\mathbb{R}^3$ ).

Verificação. $2 + 2 = 4 = \dim \mathbb{R}^4$ . ✓

Fonte. Hefferon, Linear Algebra, cap. 3, §II.2, Exemplo 2.16 — CC-BY-SA.

Exemplo— 4· Derivacao como transformacao linear (avancado)

Problema. Seja $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$ o operador derivação ( $D(p) = p'$ ). Determine $\ker D$ , $\operatorname{Im}(D)$ , posto e nulidade. Verifique posto-nulidade.

Estratégia. Usar a base $\{1, t, t^2, t^3\}$ de $\mathcal{P}_3$ . Aplicar $D$ a cada elemento base.

Resolução.

$D(1) = 0$ , $D(t) = 1$ , $D(t^2) = 2t$ , $D(t^3) = 3t^2$ .

$\ker D = \{p \in \mathcal{P}_3 : p' = 0\} = \{p : p \text{ constante}\} = \operatorname{span}\{1\}$ .

$\operatorname{Im}(D) = \operatorname{span}\{1, 2t, 3t^2\} = \mathcal{P}_2$ .

$\dim \ker D = 1$ , $\dim \operatorname{Im}(D) = 3$ .

Posto-nulidade: $1 + 3 = 4 = \dim \mathcal{P}_3$ . ✓

Verificação. $D$ não é injetiva (constantes morrem). $D$ não é sobrejetiva (nenhum polinômio de grau 3 na imagem — $\dim \operatorname{Im} = 3 < 4$ ).

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §LT, Exemplo LT.MFLT — GNU FDL.

Exemplo— 5· Demonstracao: injetiva sse nucleo trivial (demonstracao)

Problema. Demonstre: $T: V \to W$ linear é injetiva se e somente se $\ker T = \{0\}$ .

Estratégia. Provar ambas as direções. Usar a definição de injetividade ( $T(u) = T(v) \Rightarrow u = v$ ) e a linearidade de $T$ .

Resolução.

( $\Rightarrow$ ) Suponha $T$ injetiva. Se $v \in \ker T$ , então $T(v) = 0 = T(0)$ . Por injetividade, $v = 0$ . Logo $\ker T = \{0\}$ .

( $\Leftarrow$ ) Suponha $\ker T = \{0\}$ . Sejam $u, v \in V$ com $T(u) = T(v)$ . Então $T(u) - T(v) = 0$ , e por linearidade $T(u - v) = 0$ . Logo $u - v \in \ker T = \{0\}$ , donde $u - v = 0$ , i.e., $u = v$ . Portanto $T$ é injetiva.

Verificação. A prova é completa (ambas as direções). O argumento usa apenas linearidade de $T$ e definição de núcleo — sem hipóteses extras.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §ILT, Teorema KILT — GNU FDL.

Lista de exercícios

40 exercícios · 10 com solução desenvolvida (25%)

Aplicação 15Compreensão 12Modelagem 3Desafio 5Demonstração 5

Ex. 113.1Aplicação
Dê um exemplo de transformação linear $T$ com $\dim \ker T = 3$ e $\dim \operatorname{Im}(T) = 2$ . Qual deve ser a dimensão do domínio? (Resp: dim domínio = 5)
Selecione a alternativa correta
Qualquer $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2$ com $\ker T$ de dim 3É impossível ter dim nulo 3 e dim imagem 2 simultaneamenteDeve-se ter dim nulo + dim imagem = dim do contradomínioToda transformação $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ satisfaz isso
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 1
Ver solução
Pelo teorema posto-nulidade, dim nulo + dim imagem = dim domínio. Com dim nulo = 3 e dim imagem = 2, precisa-se de dim domínio = 5. Exemplo: $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2$ com $T(x_1,\ldots,x_5)=(x_1,x_2)$ — núcleo tem dim 3, imagem tem dim 2.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Pelo teorema posto-nulidade: dim nulo + dim imagem = dim domínio.
2. Queremos dim nulo = 3, dim imagem = 2, logo dim domínio = 5.
3. Exemplo explícito: $T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1,x_2)$ de $\mathbb{R}^5$ a $\mathbb{R}^2$ . Núcleo = $\{x_1=0, x_2=0\}$ , dim 3. Imagem = $\mathbb{R}^2$ , dim 2.
Ex. 113.2AplicaçãoGabarito
Seja $T: \mathbb{F}^4 \to \mathbb{F}^2$ linear com $\ker T = \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{F}^4: x_1=5x_2,\,x_3=7x_4\}$ . Determine uma base do núcleo e a nulidade de $T$ . (Resp: nulidade 3)
Selecione a alternativa correta
Base: $\{(-5,1,0,0),(-7,0,1,0),(0,0,0,1)\}$ ; nulidade 3, posto 1Base: $\{(5,1,0,0),(7,0,1,0)\}$ ; nulidade 2Núcleo trivial; $T$ é injetivaNulidade 2, posto 2
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 12
Ver solução
O núcleo é $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{F}^4: x_1=5x_2,\,x_3=7x_4\}$ . Parametrizando por $x_2,x_3,x_4$ livres: base $\{(-5,1,0,0),(-7,0,1,0),(0,0,0,1)\}$ . Nulidade = 3, posto = 1. Pelo teorema posto-nulidade $T$ é sobrejetiva sobre $\mathbb{F}^2$ ... na verdade posto 1 $< 2$ , mas o enunciado fixa o núcleo — verifique: nulidade 3, logo posto $= 4-3=1$ . $T$ não é sobrejetiva.
Ex. 113.3Aplicação
Seja $U$ subespaço tridimensional de $\mathbb{R}^8$ e $T: \mathbb{R}^8 \to \mathbb{R}^5$ linear com $\ker T = U$ . Prove que $T$ é sobrejetiva. (Resp: posto = 5)
Selecione a alternativa correta
$T$ é sobrejetiva, pois posto $= 5 = \dim\mathbb{R}^5$ $T$ não é sobrejetiva; posto $< 5$ $T$ é injetivaNão é possível concluir sem a fórmula explícita de $T$
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Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 13
Ver solução
$T: \mathbb{R}^8 \to \mathbb{R}^5$ com $\ker T = U$ , dim $U = 3$ . Pelo teorema posto-nulidade: dim imagem = $8 - 3 = 5$ . Logo imagem tem dim 5 = dim $\mathbb{R}^5$ . $T$ é sobrejetiva.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Teorema posto-nulidade: nulidade + posto = dim domínio = 8.
2. Nulidade = dim $U$ = 3. Logo posto = $8-3=5$ .
3. dim imagem = 5 = dim $\mathbb{R}^5$ . Portanto imagem = $\mathbb{R}^5$ e $T$ é sobrejetiva.
Ex. 113.4AplicaçãoGabarito
Dê um exemplo de $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ tal que $\operatorname{Im}(T) = \ker T$ . (Resp: dim domínio deve ser par)
Selecione a alternativa correta
$T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ com $T(x,y,z,w) = (z,w,0,0)$ : núcleo = imagem = $\{(0,0,z,w)\}$ É impossível ter $\operatorname{Im}(T) = \ker T$ para qualquer $T$ Só existe quando $T$ é a transformação nulaOcorre para $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 5
Ver solução
Para $\operatorname{Im}(T) = \ker T$ é necessário que dim núcleo = dim imagem. Pelo teorema posto-nulidade: dim núcleo + dim imagem = dim domínio, logo dim domínio = 2 · dim núcleo — deve ser par. Em $\mathbb{R}^4$ : $T(x,y,z,w)=(z,w,0,0)$ tem núcleo = $\{(x,y,0,0)\}$ e imagem = $\{(0,0,z,w)\}$ — ambos dim 2 e iguais como subespaços.
Ex. 113.5Compreensão
Prove que não existe $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5)$ tal que $\operatorname{Im}(T) = \ker T$ .
Selecione a alternativa correta
Não existe: pelo teorema posto-nulidade, dim domínio seria ímpar (5 = par é impossível para nulidade = imagem)Existe: basta tomar $T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1,0,0,0,0)$ Existe: toda transformação de $\mathbb{R}^5$ pode ter imagem igual ao núcleoDepende da escolha de $T$
Selecione uma opção primeiro
Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 6
Ver solução
Se $\operatorname{Im}(T)=\ker T$ , então dim imagem = dim núcleo. Pelo teorema posto-nulidade: dim núcleo + dim imagem = 5, logo $2 \cdot \dim\ker T = 5$ . Mas 5 é ímpar — impossível. Logo não existe tal $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Suponha que existe $T$ com $\operatorname{Im}(T)=\ker T$ .
2. Então dim imagem = dim núcleo = $k$ .
3. Teorema posto-nulidade: $k + k = 5$ , ou seja $2k=5$ — sem solução inteira. Contradição.
Ex. 113.6Aplicação
Seja $v_1, \ldots, v_m \in V$ e defina $T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^m, V)$ por $T(z_1,\ldots,z_m) = z_1 v_1 + \cdots + z_m v_m$ . Qual propriedade de $T$ corresponde a $v_1,\ldots,v_m$ ser L.I.? (Resp: injetividade de $T$ )
Selecione a alternativa correta
Base do $\ker T$ : $\{(1,-2,1,0,0),(−7,2,0,1,0),(0,0,0,0,1)\}$ ; nulidade 3Nulidade 2, posto 3; $T$ é sobrejetivaNúcleo trivial; $T$ é injetivaNulidade 4, posto 1
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 3
Ver solução
Pelo enunciado de Axler §3B ex. 3: defina $T: \mathbb{F}^5 \to \mathbb{F}^2$ . Pelo teorema posto-nulidade, nulidade + posto = 5. Posto $\leq 2$ . Para $v_1,v_2$ L.I. em $W$ e $T(z_1,\ldots,z_5)=z_1v_1+z_2v_2$ : posto = 2, nulidade = 3. A lista $v_1,v_2$ é L.I. $\Leftrightarrow$ $T$ é sobrejetiva; gera $W$ $\Leftrightarrow$ posto = dim $W$ .
Ex. 113.7Aplicação
Para $T: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ com $T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1-x_2+5x_3\\-4x_1+2x_2-10x_3\end{pmatrix}$ , determine uma base do $\ker T$ e decida se $T$ é injetiva.
Selecione a alternativa correta
Base do $\ker T$ : $\{(1,−2,1)\}$ ; $T$ não é injetivaNúcleo trivial; $T$ é injetivaNulidade 2; $T$ não é sobrejetivaNulidade 0, posto 3
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. C25
Ver solução
Beezer §ILT ex. C25: $T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1-x_2+5x_3\\-4x_1+2x_2-10x_3\end{pmatrix}$ . A segunda linha é $-2$ vezes a primeira. Escalonando: 1 pivô, nulidade = 2. Mas verifiquemos: o sistema $2x_1-x_2+5x_3=0, -4x_1+2x_2-10x_3=0$ dá uma única equação. Variáveis livres: $x_2, x_3$ . Base do núcleo inclui $(1/2,1,0)$ e $(-5/2,0,1)$ ou equivalentemente escalonando, nulidade = 2. Opção correta: injetividade falha pois nulidade $> 0$ .
Ex. 113.8AplicaçãoGabarito
Para $T: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ com $T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+y+z\\x-y+2z\\x+2y-z\end{pmatrix}$ , determine $\ker T$ e decida se $T$ é injetiva.
Selecione a alternativa correta
$\ker T = \{0\}$ (trivial); $T$ é injetiva $\ker T$ tem dim 1; $T$ não é injetiva $\ker T$ tem dim 2Não é possível determinar sem mais cálculo
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. C27
Ver solução
Beezer §ILT ex. C27: $T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+y+z\\x-y+2z\\x+2y-z\end{pmatrix}$ . Calcule o determinante da matriz $A = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&-1&2\\1&2&-1\end{pmatrix}$ : $\det A = 2(1-4)-1(-1-2)+1(2+1)=2(-3)+3+3=-6+6=0$ . Espere — det = 0, logo nulidade $> 0$ , $T$ não é injetiva. A opção correta é a segunda.
Ex. 113.9Compreensão
Suponha $T \in \mathcal{L}(V,W)$ injetiva e $v_1,\ldots,v_n$ L.I. em $V$ . O que se pode afirmar sobre $Tv_1,\ldots,Tv_n$ ?
Selecione a alternativa correta
Para $T$ injetiva e $v_1,\ldots,v_n$ L.I. em $V$ , os vetores $Tv_1,\ldots,Tv_n$ são L.I. em $W$ $T$ injetiva não preserva independência linear $Tv_1,\ldots,Tv_n$ podem ser L.D. mesmo que $v_i$ sejam L.I.A afirmação vale apenas se $T$ for sobrejetiva
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 9
Ver solução
Seja $T$ injetiva e $v_1,\ldots,v_n$ L.I. em $V$ . Suponha $a_1 Tv_1+\cdots+a_n Tv_n=0$ . Por linearidade $T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=0$ . Como $T$ é injetiva, $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$ . Por L.I.: todos $a_i=0$ . Logo $Tv_1,\ldots,Tv_n$ são L.I.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Assuma combinação linear nula dos $Tv_i$ : $\sum a_i Tv_i = 0$ .
2. Linearidade: $T(\sum a_i v_i)=0$ .
3. $T$ injetiva: $\ker T = \{0\}$ , logo $\sum a_i v_i = 0$ .
4. L.I. dos $v_i$ : todos $a_i = 0$ . Portanto $Tv_i$ são L.I.
Ex. 113.10Compreensão
Suponha $v_1,\ldots,v_n$ geradores de $V$ e $T \in \mathcal{L}(V,W)$ . O que se pode afirmar sobre $Tv_1,\ldots,Tv_n$ ?
Selecione a alternativa correta
$Tv_1,\ldots,Tv_n$ geram $\operatorname{Im}(T)$ $Tv_1,\ldots,Tv_n$ geram $W$ inteiro $Tv_1,\ldots,Tv_n$ são sempre L.I.Não se pode afirmar nada sobre a imagem
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 10
Ver solução
Se $v_1,\ldots,v_n$ geram $V$ , então todo $v \in V$ é combinação linear dos $v_i$ . Logo $Tv = T(\sum a_i v_i) = \sum a_i Tv_i$ — todo vetor em $\operatorname{Im}(T)$ é combinação linear de $Tv_1,\ldots,Tv_n$ . Portanto estes geram $\operatorname{Im}(T)$ .
Ex. 113.11Compreensão
Suponha $V$ e $W$ ambos de dimensão finita. Prove que existe transformação linear injetiva de $V$ a $W$ se e somente se: (Resp: dim $V \leq \dim W$ )
Selecione a alternativa correta
Existe injetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V \leq \dim W$ Existe injetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V = \dim W$ Sempre existe uma injetiva independente das dimensõesExiste injetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V \geq \dim W$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 16
Ver solução
Se $\dim V \leq \dim W$ : estenda uma base de $V$ a uma base de $W$ e defina $T$ mapeando cada base de $V$ a distintos vetores de base de $W$ — isso dá injetiva. Se $\dim V > \dim W$ : pelo teorema posto-nulidade, nulidade $= \dim V - \text{posto} \geq \dim V - \dim W > 0$ , logo nenhuma $T$ é injetiva.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. ( $\Rightarrow$ ) Se $T$ injetiva existe: nulidade = 0, logo posto = dim $V \leq \dim W$ .
2. ( $\Leftarrow$ ) Se $\dim V \leq \dim W$ : defina $T$ levando base de $V$ a vetores L.I. em $W$ . Então $\ker T = \{0\}$ .
Ex. 113.12CompreensãoGabarito
Suponha $V$ e $W$ ambos de dimensão finita. Existe transformação linear sobrejetiva de $V$ sobre $W$ se e somente se: (Resp: dim $V \geq \dim W$ )
Selecione a alternativa correta
Existe sobrejetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V \geq \dim W$ Existe sobrejetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V = \dim W$ Existe sobrejetiva $V \to W$ $\Leftrightarrow$ $\dim V \leq \dim W$ Sempre existe sobrejetiva independente das dimensões
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 17
Ver solução
Se $\dim V \geq \dim W$ : construa $T$ levando base de $V$ para gerar toda a base de $W$ — sobrejetiva. Se $\dim V < \dim W$ : posto $\leq \dim V < \dim W$ , logo imagem $\neq W$ , impossível ser sobrejetiva.
Ex. 113.13Aplicação
Suponha $W$ de dimensão finita e $T \in \mathcal{L}(V,W)$ . Prove que $T$ é injetiva se e somente se existe:
Selecione a alternativa correta
$T$ é injetiva $\Leftrightarrow$ existe $S \in \mathcal{L}(W,V)$ com $ST = I_V$ $T$ injetiva $\Leftrightarrow$ $TS = I_W$ para algum $S$ $T$ injetiva $\Leftrightarrow$ $T$ tem inversa à direita $T$ injetiva $\Leftrightarrow$ $S = T$ para todo $S \in \mathcal{L}(W,V)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 19
Ver solução
Se $T$ injetiva: defina $S$ na imagem de $T$ como inversa esquerda e estenda a zero. Então $ST(v)=S(Tv)=v$ . Reciprocamente, se $ST=I_V$ e $Tv=0$ , então $v=STv=S(0)=0$ : $T$ injetiva.
Ex. 113.14Aplicação
Suponha $W$ de dimensão finita e $T \in \mathcal{L}(V,W)$ . Prove que $T$ é sobrejetiva se e somente se existe $S \in \mathcal{L}(W,V)$ com $TS = I_W$ . (Resp: $S$ é inversa à direita)
Selecione a alternativa correta
$T$ é sobrejetiva $\Leftrightarrow$ existe $S \in \mathcal{L}(W,V)$ com $TS = I_W$ $T$ sobrejetiva $\Leftrightarrow$ $ST = I_V$ para algum $S$ $T$ sobrejetiva $\Leftrightarrow$ $S = T^{-1}$ sempre existe $T$ sobrejetiva $\Leftrightarrow$ $\ker T = \{0\}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 20
Ver solução
Se $T$ sobrejetiva: para cada vetor da base de $W$ escolha uma pré-imagem; defina $S$ por linearidade. Então $TS(w)=T(S(w))=w$ . Reciprocamente, se $TS=I_W$ : dado $w \in W$ , $w = TS(w) = T(S(w)) \in \operatorname{Im}(T)$ . Logo $T$ sobrejetiva.
Ex. 113.15Compreensão
Prove que não existe $T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^5, \mathbb{F}^2)$ cujo núcleo seja exatamente $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5): x_1=3x_2,\,x_3=x_4=x_5=0\}$ .
Selecione a alternativa correta
Não existe $T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^5, \mathbb{F}^2)$ com núcleo $= \{(x_1,\ldots,x_5): x_1=3x_2,\,x_3=x_4=x_5=0\}$ Existe tal $T$ ; o núcleo descrito tem dim 1Existe tal $T$ com dim núcleo 4Depende da escolha de $T$
Selecione uma opção primeiro
Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 14
Ver solução
O conjunto descrito é $\{(x_1,x_2,0,0,0): x_1=3x_2\} = \operatorname{span}\{(3,1,0,0,0)\}$ , de dimensão 1. Para $T: \mathbb{F}^5 \to \mathbb{F}^2$ , pelo teorema posto-nulidade: nulidade + posto = 5. Se nulidade = 1, posto = 4. Mas posto $\leq \dim\mathbb{F}^2 = 2$ . Contradição: 4 $>$ 2. Logo não existe tal $T$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. O conjunto $\{x_1=3x_2,\,x_3=x_4=x_5=0\}$ = $\operatorname{span}\{(3,1,0,0,0)\}$ , dim 1.
2. Teorema posto-nulidade com dim domínio 5: nulidade + posto = 5.
3. Nulidade = 1 implica posto = 4. Mas posto $\leq \dim\mathbb{F}^2 = 2$ . Impossível.
Ex. 113.16Compreensão
Prove que $\ker(T) \subseteq \ker(S \circ T)$ para transformações lineares $T: U \to V$ e $S: V \to W$ .
Selecione a alternativa correta
$\ker(T) \subseteq \ker(S \circ T)$ para toda composição $\ker(S \circ T) \subseteq \ker(T)$ sempre $\ker(S \circ T) = \ker(T)$ sempreNão há relação geral entre os núcleos
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Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. T15
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Se $v \in \ker T$ , então $Tv = 0$ , logo $(S \circ T)(v) = S(Tv) = S(0) = 0$ . Portanto $v \in \ker(S \circ T)$ . Assim $\ker T \subseteq \ker(S \circ T)$ .
Ex. 113.17Compreensão
Seja $A$ uma matriz e $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ com $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ . Prove que $\ker T = \mathcal{N}(A)$ (espaço nulo de $A$ ).
Selecione a alternativa correta
O núcleo de $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ é exatamente o espaço nulo $\mathcal{N}(A)$ O núcleo de $T$ é o espaço-coluna de $A$ O núcleo é o espaço-linha de $A$ O núcleo de $T$ depende do contradomínio, não de $A$
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. T20
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$\ker T = \{\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n : T(\mathbf{x})=0\} = \{\mathbf{x}: A\mathbf{x}=0\} = \mathcal{N}(A)$ . A definição do espaço nulo de uma matriz é precisamente o conjunto de soluções do sistema homogêneo, que é o núcleo de $T$ .
Ex. 113.18AplicaçãoGabarito
Seja $T: M_{22} \to P_2$ definida por $T\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\right)=(a+b)+(a+c)x+(a+d)x^2$ . $T$ é injetiva? Determine $\ker T$ .
Selecione a alternativa correta
$T: M_{22} \to P_2$ não é injetiva; $\ker T$ contém matrizes não-nulas $T$ é injetiva; $\ker T = \{0\}$ $T$ é bijetivaNão é possível determinar sem o determinante
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. C30
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$T\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(a+b)+(a+c)x+(a+d)x^2$ . Para $T = 0$ : $a+b=0, a+c=0, a+d=0$ . Tome $a=1,b=-1,c=-1,d=-1$ : $T\neq 0$ ... Reanalisando: dim $M_{22}=4$ , dim $P_2=3$ . Pelo teorema posto-nulidade, nulidade $\geq 1$ . Logo $T$ não é injetiva.
Ex. 113.19Aplicação
Para $S: \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^3$ com $S\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1+x_2+3x_3-4x_4\\x_1+3x_2+4x_3+3x_4\\-x_1+2x_2+x_3+7x_4\end{pmatrix}$ , encontre $\mathbf{w} \in \mathbb{C}^3$ com pré-imagem vazia.
Selecione a alternativa correta
$\mathbf{w}$ sem pré-imagem é aquele fora do espaço-coluna de $A$ ; por exemplo $\mathbf{w}=(1,0,0)^T$ Todo $\mathbf{w} \in \mathbb{C}^3$ tem pré-imagem por $S$ $S$ é sobrejetiva; não existe $\mathbf{w}$ sem pré-imagemPrecisa-se calcular o posto para decidir
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. C22
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Beezer §SLT ex. C22: $S: \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^3$ com matriz $A$ dada. Posto de $A$ determina sobrejetividade. Escalonando a matriz do enunciado, se posto $< 3$ , existem vetores sem pré-imagem. O espaço-coluna de $A$ é o conjunto atingível; qualquer $\mathbf{w}$ fora dele não tem pré-imagem.
Ex. 113.20Aplicação
Para $T: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ com $T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1-x_2+5x_3\\-4x_1+2x_2-10x_3\end{pmatrix}$ , determine uma base de $\operatorname{Im}(T)$ e decida se $T$ é sobrejetiva. (Resp: posto 1)
Selecione a alternativa correta
Base de $\operatorname{Im}(T)$ : $\{(2,-4)^T\}$ ; $T$ não é sobrejetiva (posto 1)Base de $\operatorname{Im}(T)$ : $\mathbb{C}^2$ inteiro; $T$ sobrejetivaImagem trivial: posto 0Posto 2; $T$ sobrejetiva
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. C25
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$T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1-x_2+5x_3\\-4x_1+2x_2-10x_3\end{pmatrix}$ . A segunda linha é $-2$ vezes a primeira. Posto = 1. Base da imagem: $\{(2,-4)^T\}$ (ou equivalentemente $\{(1,-2)^T\}$ ). Imagem é um subespaço 1-dimensional de $\mathbb{C}^2$ : não sobrejetiva.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Identifique que linha 2 = $-2$ × linha 1 da matriz.
2. Escalonamento: 1 pivô. Posto = 1.
3. Coluna-pivô de $A$ original: $(2,-4)^T$ . Base da imagem: $\{(2,-4)^T\}$ .
4. Imagem $\neq \mathbb{C}^2$ : não sobrejetiva.
Ex. 113.21Aplicação
Para $T: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^4$ com $T\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b-c\\a-b+c\\-a+b+c\\a+b+c\end{pmatrix}$ , determine uma base de $\operatorname{Im}(T)$ e decida se $T$ é sobrejetiva.
Selecione a alternativa correta
Base de $\operatorname{Im}(T)$ : dois vetores L.I.; $T$ não é sobrejetiva (posto 2 $< 4$ )Posto 4; $T$ sobrejetivaPosto 3; imagem 3-dimensionalPosto 1; imagem 1-dimensional
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. C27
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$T: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^4$ com $T(a,b,c)=(a+b-c, a-b+c, -a+b+c, a+b+c)$ . A matriz é $4 \times 3$ ; posto $\leq 3$ . Calculando: as quatro linhas têm combinações lineares — posto = 2 (verifique somando linhas). Imagem é 2-dimensional em $\mathbb{C}^4$ ; $T$ não é sobrejetiva.
Ex. 113.22Aplicação
Para $T: P_2 \to P_4$ com $T(p(x)) = x^2 p(x)$ , determine uma base de $\operatorname{Im}(T)$ e decida se $T$ é sobrejetiva. (Resp: posto 3)
Selecione a alternativa correta
Base de $\operatorname{Im}(T)$ : $\{x^2, x^3, x^4\}$ ; $T$ não é sobrejetiva ( $P_4$ tem dim 5)Base de $\operatorname{Im}(T)$ : $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ ; $T$ sobrejetivaImagem trivial; $T$ é a transformação nulaPosto 2; imagem 2-dimensional
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. C29
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$T: P_2 \to P_4$ , $T(p(x))=x^2 p(x)$ . Para base $\{1,x,x^2\}$ de $P_2$ : $T(1)=x^2, T(x)=x^3, T(x^2)=x^4$ . Base de imagem: $\{x^2,x^3,x^4\}$ , dim 3. Dim $P_4 = 5$ . Não sobrejetiva (os polinômios $1$ e $x$ não estão na imagem).
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Aplique $T$ à base de $P_2$ : $T(1)=x^2$ , $T(x)=x^3$ , $T(x^2)=x^4$ .
2. Imagem = $\operatorname{span}\{x^2,x^3,x^4\}$ , dim 3.
3. Dim $P_4 = 5 > 3$ : não sobrejetiva.
Ex. 113.23Aplicação
Para $T: P_4 \to P_3$ com $T(p(x))=p'(x)$ , determine uma base de $\operatorname{Im}(T)$ e decida se $T$ é sobrejetiva. (Resp: sobrejetiva)
Selecione a alternativa correta
Base de $\operatorname{Im}(T)$ : $\{1,x,x^2,x^3\}$ ; $T: P_4 \to P_3$ via derivação é sobrejetivaImagem = $P_4$ ; $T$ não é sobrejetivaImagem = $\{0\}$ ; $T$ é a transformação nulaPosto 3; $T$ não cobre $P_3$ inteiro
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. C30
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$T: P_4 \to P_3$ , $T(p(x))=p'(x)$ . Base $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ : $T(1)=0, T(x)=1, T(x^2)=2x, T(x^3)=3x^2, T(x^4)=4x^3$ . Imagem = $\operatorname{span}\{1,2x,3x^2,4x^3\}=P_3$ . Posto 4 = dim $P_3$ : sobrejetiva.
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Aplique $T$ à base de $P_4$ : imagens são $0, 1, 2x, 3x^2, 4x^3$ .
2. Imagem = $\operatorname{span}\{1,x,x^2,x^3\} = P_3$ , dim 4.
3. Dim contradomínio = dim $P_3 = 4$ : sobrejetiva.
Ex. 113.24Compreensão
Prove que $\operatorname{Im}(S \circ T) \subseteq \operatorname{Im}(S)$ para transformações lineares $T: U \to V$ e $S: V \to W$ .
Selecione a alternativa correta
$\operatorname{Im}(S \circ T) \subseteq \operatorname{Im}(S)$ para toda composição $\operatorname{Im}(S) \subseteq \operatorname{Im}(S \circ T)$ $\operatorname{Im}(S \circ T) = \operatorname{Im}(S)$ sempreNão há relação geral entre as imagens
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Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. T15
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Qualquer $w \in \operatorname{Im}(S \circ T)$ é da forma $w = (S \circ T)(u) = S(T(u))$ para algum $u$ . Logo $w = S(T(u)) \in \operatorname{Im}(S)$ . Portanto $\operatorname{Im}(S \circ T) \subseteq \operatorname{Im}(S)$ .
Ex. 113.25CompreensãoGabarito
Para $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ com $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ , prove que $\operatorname{Im}(T) = \operatorname{Col}(A)$ (espaço-coluna de $A$ ).
Selecione a alternativa correta
$\operatorname{Im}(T) = \operatorname{Col}(A)$ (espaço-coluna de $A$ ) $\operatorname{Im}(T)$ é o espaço-linha de $A$ $\operatorname{Im}(T) = \mathcal{N}(A)$ (espaço nulo) $\operatorname{Im}(T)$ depende apenas da dimensão de $A$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §SLT · ex. T20
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$\operatorname{Im}(T) = \{A\mathbf{x}: \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}$ . Escrevendo $A\mathbf{x} = x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n$ (combinação linear das colunas $a_i$ de $A$ ), temos $\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span}\{a_1,\ldots,a_n\} = \operatorname{Col}(A)$ .
Ex. 113.26Compreensão
Para uma transformação linear $T: U \to V$ , para quais vetores $\mathbf{v} \in V$ a pré-imagem $T^{-1}(\mathbf{v})$ é um subespaço de $U$ ?
Selecione a alternativa correta
Somente $\mathbf{0} \in V$ tem pré-imagem subconjunto subespaço de $U$ (a pré-imagem de $\mathbf{0}$ é $\ker T$ )Todo $\mathbf{v} \in V$ tem pré-imagem que é subespaçoNenhum $\mathbf{v}$ tem pré-imagem que seja subespaçoTodo vetor não-nulo tem pré-imagem que é subespaço
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Resolver online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. T10
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A pré-imagem $T^{-1}(\mathbf{v}) = \{u \in U: T(u)=\mathbf{v}\}$ é subespaço somente se contiver $\mathbf{0}$ . Mas $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ , logo $\mathbf{0} \in T^{-1}(\mathbf{v})$ somente quando $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Assim $T^{-1}(\mathbf{v})$ é subespaço apenas para $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , e nesse caso é $\ker T$ .
Ex. 113.27DesafioGabarito
Mostre que $R: S_{22} \to P_1$ definida por $R\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}=(2a-b+c)+(a+b+2c)x$ não é injetiva, exibindo $\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ com $R(\mathbf{x})=R(\mathbf{y})$ .
Selecione a alternativa correta
$R: S_{22} \to P_1$ não é injetiva; existem $\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ com $R(\mathbf{x})=R(\mathbf{y})$ $R$ é injetiva; $\ker R = \{0\}$ $R$ é bijetivaNão é possível determinar sem calcular o determinante
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Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT · ex. C40
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Dim $S_{22}$ (matrizes simétricas $2\times 2$ ) = 3; dim $P_1$ = 2. Pelo teorema posto-nulidade, nulidade + posto = 3, posto $\leq 2$ , logo nulidade $\geq 1$ . $R$ não pode ser injetiva. Exemplo explícito: resolva $2a-b+c=0$ e $a+b+2c=0$ com $a,b,c$ não todos nulos.
Ex. 113.28CompreensãoGabarito
Suponha que existe transformação linear em $V$ cujo núcleo e imagem são ambos de dimensão finita. O que se pode concluir sobre $V$ ?
Selecione a alternativa correta
$V$ é de dimensão finita (dim nulo + dim imagem = dim $V$ finita) $V$ pode ter dimensão infinitaNão se pode concluir nada sobre dim $V$ $V = \{0\}$
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Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 15
Ver solução
Se dim nulo $T$ e dim imagem $T$ são ambos finitos, então pelo teorema posto-nulidade generalizado dim $V$ = dim nulo + dim imagem é finita. Logo $V$ é de dimensão finita.
Ex. 113.29DesafioGabarito
Suponha $U, V$ de dimensão finita, $S \in \mathcal{L}(V,W)$ e $T \in \mathcal{L}(U,V)$ . Prove que: (Resp: subaditividade da nulidade)
Selecione a alternativa correta
dim nul $(ST) \leq$ dim nul $(S)$ + dim nul $(T)$ dim nul $(ST)$ = dim nul $(S)$ + dim nul $(T)$ sempredim nul $(ST) \geq$ dim nul $(S)$ + dim nul $(T)$ Não há relação entre as nulidades
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Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 22
Ver solução
Considere $T: U \to V$ , $S: V \to W$ . Restrinja $T$ ao espaço $T^{-1}(\ker S)$ . Pelo teorema posto-nulidade aplicado a esta restrição: dim nul $(ST)$ $\leq$ dim nul $T$ + dim nul $S$ . Pois nul $(ST)$ = $T^{-1}(\ker S)$ e sua dimensão é no máximo nul $T$ + dim $(\ker S \cap \operatorname{Im}T)$ $\leq$ /dev/null $T$ + nul $S$ .
Ex. 113.30Desafio
Suponha $U, V$ de dimensão finita, $S \in \mathcal{L}(V,W)$ e $T \in \mathcal{L}(U,V)$ . Prove que: (Resp: dim Im $(ST) \leq \min$ (dim Im $S$ , dim Im $T$ ))
Selecione a alternativa correta
dim Im $(ST) \leq \min($ dim Im $(S)$ , dim Im $(T))$ dim Im $(ST)$ = dim Im $(S)$ · dim Im $(T)$ dim Im $(ST) \geq \max($ dim Im $(S)$ , dim Im $(T))$ dim Im $(ST)$ = dim Im $(S)$ + dim Im $(T)$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 23
Ver solução
Im $(ST) = S(T(U)) \subseteq S(V) =$ Im $(S)$ : logo dim Im $(ST) \leq$ dim Im $(S)$ . Também $T(U)$ tem dim = Im $(T)$ , e $S$ restrito a $T(U)$ tem imagem de dim $\leq$ dim $T(U)$ = dim Im $(T)$ . Logo dim Im $(ST) \leq \min$ (dim Im $S$ , dim Im $T$ ).
Ex. 113.31Desafio
Suponha $P \in \mathcal{L}(V)$ com $P^2 = P$ (projeção). Prove que $V = \ker P \oplus \operatorname{Im}(P)$ .
Selecione a alternativa correta
$V = \ker P \oplus \operatorname{Im}(P)$ para qualquer projeção $P^2=P$ $\ker P \cap \operatorname{Im}(P) \neq \{0\}$ em geralA decomposição vale apenas para projeções ortogonais $V = \ker P$ quando $P^2 = P$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 27
Ver solução
Seja $P^2 = P$ . Todo $v \in V$ escreve-se $v = Pv + (v-Pv)$ . Tem-se $Pv \in \operatorname{Im}(P)$ e $P(v-Pv) = Pv - P^2v = Pv - Pv = 0$ , logo $v-Pv \in \ker P$ . Intersecção: se $u \in \ker P \cap \operatorname{Im}(P)$ , então $u=Pw$ e $Pu=0$ , logo $u=Pw=P^2w=Pu=0$ . Portanto $V = \ker P \oplus \operatorname{Im}(P)$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decomponha: $v = Pv + (v - Pv)$ , com $Pv \in \operatorname{Im}(P)$ .
2. Verifique: $P(v-Pv) = Pv - P^2v = 0$ , logo $v-Pv \in \ker P$ .
3. Intersecção trivial: $u \in \ker P \cap \operatorname{Im}(P) \Rightarrow u = Pw, Pu=0 \Rightarrow u = P^2w = Pu = 0$ .
Ex. 113.32Modelagem
Suponha $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ com $\deg Dp = (\deg p)-1$ para todo polinômio não-constante $p$ . Prove que $D$ é sobrejetiva.
Selecione a alternativa correta
$D$ é sobrejetiva: dado $p \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ , existe primitiva $q$ com $q'=p$ $D$ não é sobrejetiva em geral $D$ é injetiva e sobrejetiva (bijetiva) $D$ é injetiva mas não sobrejetiva
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Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 28
Ver solução
Se $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ com $\deg Dp = (\deg p)-1$ para polinômios não-constantes: dado qualquer $p \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ , tome um polinômio de grau $\deg p + 1$ cuja derivada é $p$ (primitiva). Tal polinômio existe, portanto $p \in \operatorname{Im}(D)$ . Logo $D$ é sobrejetiva.
Ex. 113.33Modelagem
Suponha $p \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ . Prove que existe polinômio $q \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ tal que $5q'' + 3q' = p$ .
Selecione a alternativa correta
Existe $q \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ com $5q'' + 3q' = p$ para todo $p$ dadoExistência de $q$ depende das condições sobre $p$ Não existe tal $q$ em geralExiste $q$ apenas para $p$ constante
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Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 29
Ver solução
Defina $T: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$ por $T(q) = 5q'' + 3q'$ . Afirmamos que $T$ é sobrejetiva. O operador $T$ leva polinômios de grau $n$ a polinômios de grau $n-1$ (pois o termo de maior grau em $q'$ domina). Esse argumento é análogo ao do ex. 28 (operador reduz grau), portanto $T$ é sobrejetiva: para todo $p$ , existe $q$ com $T(q)=p$ .
Ex. 113.34Modelagem
Suponha $\varphi \in \mathcal{L}(V,\mathbb{F})$ , $\varphi \neq 0$ e $u \in V$ com $u \notin \ker\varphi$ . Prove que $V = \ker\varphi \oplus \operatorname{span}\{u\}$ .
Selecione a alternativa correta
$V = \ker\varphi \oplus \operatorname{span}\{u\}$ para $u \notin \ker\varphi$ $V = \ker\varphi$ sempre que $\varphi \neq 0$ A decomposição só vale quando $\varphi$ é sobrejetiva $\ker\varphi \cap \operatorname{span}\{u\} \neq \{0\}$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 30
Ver solução
Seja $\varphi \in \mathcal{L}(V,\mathbb{F})$ , $\varphi \neq 0$ , $u \notin \ker\varphi$ . Tome $v \in V$ : $v = (v - \frac{\varphi(v)}{\varphi(u)}u) + \frac{\varphi(v)}{\varphi(u)}u$ . O primeiro termo está em $\ker\varphi$ (aplique $\varphi$ : $\varphi(v)-\varphi(v)=0$ ). O segundo é em span $\{u\}$ . Intersecção trivial: se $\alpha u \in \ker\varphi$ , então $\alpha\varphi(u)=0$ , e como $\varphi(u)\neq 0$ , $\alpha=0$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Decomponha $v = (v - \frac{\varphi(v)}{\varphi(u)}u) + \frac{\varphi(v)}{\varphi(u)}u$ .
2. Primeiro termo: aplique $\varphi$ e obtenha 0 — pertence a $\ker\varphi$ .
3. Intersecção: $\alpha u \in \ker\varphi \Rightarrow \alpha=0$ . Portanto soma direta.
Ex. 113.35Desafio
Suponha $V$ de dimensão finita, $X \subseteq V$ subespaço e $Y \subseteq W$ subespaço de dimensão finita. Existe $T \in \mathcal{L}(V,W)$ com $\ker T = X$ e $\operatorname{Im}(T) = Y$ se e somente se:
Selecione a alternativa correta
Existe $T \in \mathcal{L}(V,W)$ com $\ker T = X$ e $\operatorname{Im}(T) = Y$ $\Leftrightarrow$ $\dim X + \dim Y = \dim V$ Tal $T$ existe para quaisquer $X \subseteq V$ e $Y \subseteq W$ Tal $T$ existe apenas quando $X = \{0\}$ $\dim X + \dim Y = \dim W$ é a condição correta
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 31
Ver solução
Se existe tal $T$ : pelo teorema posto-nulidade, dim $X$ + dim $Y$ = dim $V$ . Reciprocamente, se dim $X$ + dim $Y$ = dim $V$ : escolha complemento $Z$ de $X$ em $V$ (dim $Z$ = dim $Y$ ); tome isomorfismo $T|_Z: Z \to Y$ e estenda com $T|_X = 0$ . Então $\ker T = X$ e $\operatorname{Im}(T) = Y$ .
Ex. 113.36Demonstração
Suponha $W$ de dimensão finita e $S, T \in \mathcal{L}(V,W)$ . Prove que $\ker S \subseteq \ker T$ se e somente se existe $E \in \mathcal{L}(W)$ com $T = ES$ .
Selecione a alternativa correta
$\ker S \subseteq \ker T$ $\Leftrightarrow$ existe $E \in \mathcal{L}(W)$ com $T = ES$ $\ker S \subseteq \ker T$ $\Leftrightarrow$ $T = S$ A condição $T = ES$ implica $\ker S = \ker T$ Isso vale apenas quando $S$ é injetiva
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 25
Ver solução
( $\Leftarrow$ ) Se $T=ES$ : $Sv=0 \Rightarrow Tv=ESv=E(0)=0$ , logo $\ker S \subseteq \ker T$ . ( $\Rightarrow$ ) Se $\ker S \subseteq \ker T$ : para $w \in \operatorname{Im}(S)$ defina $E(w)=Tv$ onde $Sv=w$ — bem-definido pois $\ker S \subseteq \ker T$ . Estenda $E$ a $W$ arbitrariamente. Então $T=ES$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. ( $\Leftarrow$ ) $Sv=0 \Rightarrow Tv=ESv=0$ : $\ker S \subseteq \ker T$ .
2. ( $\Rightarrow$ ) Defina $E$ em Im $(S)$ : $E(Sv) = Tv$ . Bem-definido: se $Sv_1=Sv_2$ , então $v_1-v_2 \in \ker S \subseteq \ker T$ , logo $Tv_1=Tv_2$ .
3. Estenda $E$ a $W$ e obtenha $T=ES$ .
Ex. 113.37Demonstração
Suponha $V$ de dimensão finita e $S, T \in \mathcal{L}(V,W)$ . Prove que $\operatorname{Im}(S) \subseteq \operatorname{Im}(T)$ se e somente se existe $E \in \mathcal{L}(V)$ com $S = TE$ .
Selecione a alternativa correta
$\operatorname{Im}(S) \subseteq \operatorname{Im}(T)$ $\Leftrightarrow$ existe $E \in \mathcal{L}(V)$ com $S = TE$ $\operatorname{Im}(S) \subseteq \operatorname{Im}(T)$ $\Leftrightarrow$ $S = T$ A condição vale apenas quando $T$ é sobrejetiva $\operatorname{Im}(S) \subseteq \operatorname{Im}(T)$ $\Leftrightarrow$ $S = ET$ para algum $E$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 26
Ver solução
( $\Leftarrow$ ) Se $S=TE$ : Im $(S) = T(E(V)) \subseteq T(V) =$ Im $(T)$ . ( $\Rightarrow$ ) Se Im $(S) \subseteq$ Im $(T)$ : para cada vetor de base $e_i$ de $V$ , $Se_i \in$ Im $(T)$ , logo existe $f_i \in V$ com $Tf_i=Se_i$ . Defina $E(e_i)=f_i$ e estenda linearmente. Então $S=TE$ .
Ex. 113.38Demonstração
Suponha $V$ de dimensão finita e $T \in \mathcal{L}(V,W)$ . Prove que existe subespaço $U \subseteq V$ com $U \cap \ker T = \{0\}$ e $\operatorname{Im}(T) = \{Tu: u \in U\}$ .
Selecione a alternativa correta
Existe subespaço $U \subseteq V$ com $U \cap \ker T = \{0\}$ e $\operatorname{Im}(T) = \{Tu: u \in U\}$ O complemento do núcleo é únicoTal $U$ não existe quando $\ker T \neq \{0\}$ Somente existe quando $T$ é injetiva
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Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 11
Ver solução
Como $V$ é de dimensão finita, escolha um complemento $U$ de $\ker T$ em $V$ : $V = \ker T \oplus U$ . Então $U \cap \ker T = \{0\}$ . A restrição $T|_U: U \to W$ tem núcleo trivial (pois $U \cap \ker T = \{0\}$ ), logo é injetiva. Como $T(V) = T(\ker T + U) = \{0\} + T(U) = T(U)$ , temos Im $(T) = \{Tu: u \in U\}$ .
Ex. 113.39DemonstraçãoGabarito
Suponha $V$ de dimensão finita, $T \in \mathcal{L}(V,W)$ e $U$ subespaço de $W$ . Prove que dim $\{v \in V: Tv \in U\}$ = dim nul $T$ + dim $(U \cap \operatorname{Im}(T))$ .
Selecione a alternativa correta
dim $\{v \in V: Tv \in U\}$ = dim nul $T$ + dim $(U \cap \operatorname{Im}(T))$ dim $\{v \in V: Tv \in U\}$ = dim $U$ + dim nul $T$ dim $\{v \in V: Tv \in U\}$ = dim $V$ sempredim $\{v \in V: Tv \in U\}$ = dim nul $T$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 21
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Seja $S = \{v \in V: Tv \in U\}$ . Considere a restrição $T|_S: S \to U$ . Pelo teorema posto-nulidade: dim $S$ = dim nul $(T|_S)$ + dim Im $(T|_S)$ . O núcleo de $T|_S$ = $\ker T$ (pois $\ker T \subseteq S$ ). A imagem de $T|_S$ = $T(S) = U \cap$ Im $(T)$ . Logo dim $S$ = dim nul $T$ + dim $(U \cap$ Im $(T))$ .
Ver passo a passo (com o porquê)
1. Note que $S = T^{-1}(U)$ é subespaço de $V$ .
2. Restrinja: $T|_S: S \to U$ . Aplique teorema posto-nulidade.
3. Núcleo de $T|_S$ = $\ker T$ ; imagem = $T(S) = U \cap$ Im $(T)$ .
Ex. 113.40Demonstração
(a) Suponha dim $V=5$ e $S, T \in \mathcal{L}(V)$ com $ST=0$ . Prove que dim Im $(TS) \leq 2$ . (b) Dê exemplo com dim Im $(TS)=2$ .
Selecione a alternativa correta
Existem $S, T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^5)$ com $ST = 0$ e dim Im $(TS) = 2$ Para $\dim V=5$ e $ST=0$ : dim Im $(TS) \leq 1$ sempredim Im $(TS) = 0$ quando $ST = 0$ dim Im $(TS)$ pode ser 3 quando $ST=0$ e dim $V=5$
Selecione uma opção primeiro
Resolver online Axler — Linear Algebra Done Right 4e · §3B · ex. 24
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(a) Se $ST=0$ : Im $(T) \subseteq \ker S$ . Então Im $(TS) = T(S(\mathbb{F}^5))$ e dim Im $(S) \leq$ dim $\ker T$ . Além disso Im $(TS) \subseteq$ Im $(T)$ e dim Im $(T) \leq 5 -$ dim Im $(S)$ . Com $ST=0$ e dim = 5, por análise de dimensões: dim Im $(TS) \leq 2$ . (b) Exemplo com igualdade: tome $S, T$ com Im $(T) = \ker S$ e dim Im $(T)=2$ , dim Im $(S)=3$ .

Fontes desta aula

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 3ª ed. · EN · GNU FDL · §KER, §RNG, §ILT, §SLT, §RNNM, §PSPHS, §IVLT, §LT. Fonte primária dos exercícios.
Linear Algebra — Jim Hefferon · 4ª ed. · EN · CC-BY-SA · cap. 3, §II. Fonte secundária para exercícios de modelagem, composição e exemplos de espaços de polinômios.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 4ª ed. · EN · CC-BY-NC · §3D. Perspectiva abstrata sem determinantes (referência para as 7 portas).