Lição 119 — Síntese: Black-Scholes revisited

Em Black-Scholes, $N(d_1)$ e $N(d_2)$ dependem de escores padronizados. O que mede um $z$-score (escore-$z$)?

Padronizar uma distribuição normal (subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão) faz o quê com a média?

Qual o escore-$z$ de $x = 12$, se ele está dois desvios-padrão à direita da média? (mesma padronização usada para obter $d_1, d_2$)

Suponha $X \sim N(2, 6)$ (média 2, desvio 6). Que valor de $x$ tem escore-$z$ igual a 3?

Suponha $X \sim N(-1, 2)$ (média $-1$, desvio 2). Qual o escore-$z$ de $x = 2$?

Uma normal tem média 6 e desvio-padrão $1{,}5$. Qual o escore-$z$ de $x = 5{,}5$?

Pela regra empírica (68-95-99,7), cerca de que percentual dos valores de uma normal está a até um desvio-padrão da média (esquerda e direita)?

Cerca de que percentual dos valores de uma normal está a até dois desvios-padrão da média (ambos os lados)?

Seja $X \sim N(54, 8)$ (média 54, desvio 8). Encontre a probabilidade de $x > 56$.

Seja $X \sim N(54, 8)$. Encontre o 60.º percentil (o valor $k$ tal que $P(x < k) = 0{,}60$).

Para a normal padrão $N(0,1)$ — a mesma de $N(d)$ em BS — qual a área aproximada da região $Z < -1{,}35$?

Para a normal padrão $N(0,1)$, qual a área aproximada da região $Z < 0{,}18$? (este é exatamente o tipo de leitura de $N(d_1)$)

No modelo CAPM, os retornos de uma carteira são normais com retorno médio anual de 14,7% e desvio-padrão 33%. Qual a probabilidade aproximada de um retorno positivo (maior que 0%)?

O fator de desconto $e^{-rT}$ em BS é um decaimento exponencial. A que tipo de modelo exponencial a meia-vida está associada, e qual o papel dela?

A temperatura de um objeto, em $^\circ$F após $t$ minutos, é $T(t) = 68\,e^{-0{,}0174t} + 72$. Qual a temperatura aproximada após uma hora e meia (90 min)?

Uma substância tem meia-vida de $2{,}045$ minutos. Partindo de $132{,}8$ g, quantas meias-vidas se passam até decair a $8{,}3$ g?

O crescimento contínuo $P(t) = P_0 e^{rt}$ ($r>0$) é o irmão do desconto $e^{-rT}$ de BS. Derive uma fórmula geral para o tempo $t$ em que a população cresce por um fator $M$.

Mudança de base aparece ao reescrever taxas em BS. Prove que $b^x = e^{x\ln b}$ para $b > 0$, $b \neq 1$.

Um tumor recebe $0{,}5$ g de Iodo-125, com taxa de decaimento de $1{,}15\%$ ao dia. Quantos dias, aproximadamente, para metade decair (meia-vida)?

Pela Lei do Resfriamento de Newton, uma sopa a $100\,^\circ$F esfria num ambiente a $69\,^\circ$F; após 15 min está a $95\,^\circ$F. O modelo tem a forma $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}$. Qual o valor inicial de $T_0 - T_s$?

A CDF $N(d)$ é uma integral; calcular áreas é a base. Use fórmulas de área para avaliar $\int_0^3 (3 - x)\,dx$.

Use fórmulas de área para avaliar $\int_2^3 (3 - x)\,dx$.

Use fórmulas de área para avaliar $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$ (semicírculo — a mesma ideia de área sob curva da gaussiana).

Encontre a área líquida com sinal entre $f(x) = 2 - x$ e o eixo $x$ em $\int_1^3 (2-x)\,dx$.

Sabendo que $\int_0^1 x\,dx = \tfrac12$, $\int_0^1 x^2\,dx = \tfrac13$ e $\int_0^1 x^3\,dx = \tfrac14$, calcule $\int_0^1 (1 + x + x^2 + x^3)\,dx$.

Com os mesmos dados ($\int_0^1 x\,dx = \tfrac12$ etc.), calcule $\int_0^1 (1 - x + x^2 - x^3)\,dx$.

Com $\int_0^1 x\,dx = \tfrac12$, $\int_0^1 x^2\,dx = \tfrac13$, calcule $\int_0^1 (1 - x)^2\,dx$.

Use o teorema da comparação para mostrar que $\int_0^3 (x^2 - 6x + 9)\,dx \geq 0$.

Use o teorema da comparação para justificar $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,dx \leq \int_0^1 \sqrt{1 + x^2}\,dx$.

O valor médio de uma função num intervalo é central no Teorema do Valor Médio para integrais. Encontre o valor médio de $f(x) = x^2$ em $[-1, 1]$.

Encontre o valor médio de $f(x) = 4 - x^2$ em $[0, 2]$.

Encontre o valor médio de $f(x) = \sin x$ em $[0, 2\pi]$.

A aproximação de $N(d)$ e da inversão de vol usa polinômios de Taylor. Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = 1 + x + x^2$ centrado em $a = 1$.

Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \sqrt{x}$ centrado em $a = 4$.

Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \ln x$ centrado em $a = 1$ (o $\ln$ que aparece em $d_1$).

Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = e^x$ centrado em $a = 1$ (a exponencial do desconto).

Encontre a série de Taylor de $f(x) = x^4$ centrada em $a = -1$.

Qual a série de Taylor de $f(x) = e^x$ centrada em $a = -1$?

Qual a série de Taylor de $f(x) = e^x$ centrada em $a = 1$?

Calcule a série de Taylor de $f(x) = 2 - x$ em torno de $x = 1$.